Black Litterman模型的贝叶斯替代方案

2022-6-11 04:38:16

加利福尼亚大学，黑色凋落物模型的贝叶斯替代方案S.Andreian和John S.J.hs客户统计和应用概率，SantaBarbaramandrei@ucsb.edu,hsu@pstat.ucsb.eduDecember2018年12月27日摘要Black-Litterman模型将投资者的个人观点与历史数据相结合，并给出最佳投资组合权重。在本文中，我们将介绍原始的Black-Litterman模型（第1节），我们将修改该模型，使其符合贝叶斯框架，将投资者的个人观点视为回报均值的直接先验，并在回报协方差矩阵上添加一个典型的逆Wishart先验（第2节）。最后，我们将使用LeonardandHsu（1992）[5]的想法，在卵巢矩阵的对数上添加一个先验知识（第3节）。对投资者个人观点的信心水平进行了敏感性模拟，并根据2018年1月的回报率组成的测试数据集对模型的性能进行了评估。1原始的黑色垃圾模型黑色垃圾模型是在20世纪90年代初开发的，已广泛用于资产配置。该模型试图将市场均衡与投资者的个人观点相结合。可以证明，投资者的最佳投资组合是与市场均衡投资组合成比例的投资组合和反映其观点的投资组合加权和的总和。有关如何创建个人视图的示例，请参见第1.2节；有关模型的更多详细信息，请参见第1.3节。有关如何计算市场均衡的更多详细信息，请参阅第1.1小节。1.1估计市场均衡当所有投资者持有市场投资组合weq时，市场处于均衡状态。

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2022-6-11 04:38:19

当该投资组合中的资产需求等于供应时。如果我们用π表示市场均衡收益，那么CAPM方程是π=λ∑weq。这里，λ是投资者的风险规避系数，∑是投资组合中资产回报的方差矩阵[3]。1.2个人视图示例让我们看看如何在传统模型中输入个人视图。例如，让我们考虑4种资产：AAPL、AMZN、GOOG和MSFT。此外，让我们考虑一下，我们认为AAPL的表现将比AMZN好2%，我们还认为GOOG的回报率将达到5%。P中的列按我们之前列举的顺序表示4种股票。P和q中的每一行代表一个个人视图：P=1.-1 0 00 0 1 0, q=0.020.05每个个人观点都与投资者对观点的不确定性有关。置信度的度量值作为对角线条目输入到矩阵中Ohm. 正如我们将在下一节中介绍模型的假设时所看到的（方程式（1），Ohm 是协方差矩阵。因此，在主对角线上，我们将有我们个人观点的回报差异。因此，一个较小的价值反映了该观点的高度可信度，反之亦然（一种获取Ohm 是通过简单的手动插补，另一种方法是估算）。1.3黑人随行人员方法既然我们已经看到了模型的各个部分，我们已经准备好呈现数学公式。我们将认为投资者正在关注n项资产，对这些资产有k种不同的看法。资产回报被认为是随机的，r~ N（u，∑）。我们根据该回报的平均值创建了一个先验值：u~ N（π，τ∑）。然而，对于任何一般协方差矩阵，证明将以完全相同的方式工作（请参见附录A中的证明）。

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2022-6-11 04:38:22

变量π代表市场均衡收益，它是通过使用与CAPM（4）等价的方程获得的：π=λ∑weq，λ是投资者的风险规避参数，weq是市场均衡权重和∑thecovenance矩阵。此外，这里τ被认为是反映CAPM先验不确定性的参数。请注意，τ越小，ru将越接近市场均衡收益π。除此之外，我们还有投资者的个人观点：Pu~N（q，Ohm), 其中使用了与前一节1.2中相同的符号【3】。因此，该模型由以下3个分布表示，其中最后2个是先验分布：r~ N（u，∑）u~ N（π，τ∑）Pu~ N（q，Ohm)（1）通过组合2个先验值（上面的最后2个分布）并将其作为回报分布的新先验值，可以表明回报的后验值为（请参见附录a的证明）：r~ N（(R)u，M）-1+∑），其中使用的符号为，M-1=(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1(2)u =(τΣ)-1+PTOhm-1便士-1.(τΣ)-1π+PTOhm-1季度（3）同样，设∑=M-1+∑回到上一节中给出的个人观点示例，如果投资者认为谷歌的表现将优于其他3家公司，那么对谷歌和其他3家公司分别赋予长权重（正权重）1和短权重（负权重）就足够了。在Black Littermanmodel中，收益被认为是随机的，我们刚刚看到后验分布也是正态的，但平均值由方程（3）表示。该方程适当地考虑了市场波动性和相关性。让我们进一步看看使用收益率的后验值时得到的权重w。

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2022-6-11 04:38:25

具有风险规避参数λ的投资者试图在最小化风险的同时最大化投资组合的收益时，解决该问题的典型方法是最大化函数wTu-λwT'∑w相对于w。通过取w的导数，我们获得了一个与CAPM等价的方程：u=λ∑w<=> w=λ\'∑-1u（4），使用等式（3）和恒等式（∑+M-1)-1=米-M（M+∑）-1)-1M，可以显示：w*=1+τ（weq+PT×）) = τOhm-1qλ- A.-1P∑1+τweq- A.-1P∑1+τPTτOhm-1qλA=Ohmτ+P∑1+τP上述第一个等式表明，黑人同窝狗最优投资组合权重是平衡权重加上个人观点的加权和（PThas as columns of the views）。此外，第二个方程式中的三个术语也有解释：o第一个术语表明，通过具有高回报qk（q的第k个值）或具有较小的不确定性ωk（这是Ohm 因此它等于ωkinOhm-1）第二项表明，如果协方差和市场均衡收益之间的产品价值较高，则权重会受到惩罚。这表明该视图包含的附加信息较少最后一项表明，如果不同投资组合视图之间的协方差很高，则优化权重会受到惩罚。这很有意义——这意味着不同的观点几乎没有添加新的信息。我们还可以观察到这样一个事实，即如果投资者有一个不同的风险厌恶参数^λ，他可以使用方程^w获得优化的投资组合权重*=λ^λw*2反向Wishart∑2.1简介首先，我们必须观察我们希望在原始方法的基础上进行哪些潜在改进。

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2022-6-11 04:38:28

但原始方法的缺点是什么从附录A中给出的证明中，我们注意到，这不是一种真正的贝叶斯方法，因为如前一节所述，（1）中最后2个方程表示的分布被组合起来，以找到u的新先验。这被用作返回的优先顺序。o最初的方法不考虑任何当前回报，我们希望对特定时期（即投资者的投资期限）的回报进行建模。因此，我们希望有r，r。。。，rm~ Nn（u，∑）o协方差矩阵∑根据原始方法中的历史数据进行估计。因此，我们希望优先考虑∑的分布，当数据来自正态分布时，协方差矩阵最常用的方法是使用逆Wishartconjugate优先。让r，r。。。，rm~ Nn（u，∑）是投资者正在考虑的n项资产在m长时间内的观察收益。此外，我们希望考虑一个先验值，即我们个人观点P直接预测的回报平均值。因此，与传统模型类似，我们将得到Pu~ N（q，Ohm). 不同之处在于，我们想添加一个额外的逆Wishart Previor∑~ W-1(ν, Σ). 因为返回r∈ Rn，而prior在Pu上∈ Rk（k是视图数），之前的未完全指定，这表明我们需要创建一个可逆P。此外，一旦我们有了可逆的P，我们可以遵循两种方法：o获得u的分布，如果P是可逆的，这很容易做到从一开始就将返回转换为个人视图空间：r*i=P ri。

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2022-6-11 04:38:31

这个过程仍然需要P是可逆的，在变换空间中获得后验值后，我们必须能够变换回来。因此，无论哪种方式，我们都需要一个可逆的矩阵P，这就引出了下面的讨论。2.2创建可逆P我们个人观点的矩阵很可能不可逆，因为正如我们在第1.2节中所看到的，我们可以有相对观点（行总和为0的观点），我们可以有绝对观点（一行中只有一个1）。此外，我们将拥有的k视图（P中的行数）将小于我们正在考虑交易的n资产（P中的列数）。在本节中，我们将介绍一种方法，在该方法中，我们可以将行添加到P，从而得到平方矩阵P*是可逆的。其主要思想是基于一种方式，即一行将矩阵简化为梯队形式。众所周知，矩阵是可逆的，因为它的降行梯形是单位矩阵。这就给了我们一个想法，即取矩阵并向其添加行，以使其可逆：o对于P中只有0的每一列，我们必须创建一个新行，该新行在相应列中只有一个1，在所有其他列中只有一个0。o如果一行有1个以上的非零条目，那么除了数据透视列中的entries之外，每一行都必须创建一个包含1的行。例如，如果我们考虑第1.2节中的矩阵P，上面的过程会给出：=1.-1 0 00 0 1 0→1.-1 0 00 0 1 00 0 0 1→1.-1 0 00 0 1 00 0 0 10 1 0 0= P*=聚丙烯请注意，我们用P表示*基于P的增广可逆矩阵，并通过P中加入的部分。我们在本节开头看到，模型方程为：r，r。。。，rm |u，∑~ Nn（u，∑）Pu~ Nk（q，Ohm)Σ ~ W-1（ν，∑）如前所述，我们有两种方法。

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2022-6-11 04:38:34

我们选择使用个人观点转换回报，因此，让r*i=P*国际扶轮社。因此，r*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*), 其中u*= P*u和∑*= P*∑P*T、现在，在转换到个人观点空间后，3个方程变成：r*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*)u*~ Nn（q*, Ohm*)Σ*~ W-1（ν，∑）但是，就像u一样*, Σ*显然取决于u，∑，我们还有q*, Ohm*取决于原始q，Ohm:q*= E[u*] = E【P】*u]=E聚丙烯u=qq(5)Ohm*= V ar（P*u）=V ar聚丙烯u=Ohm P V ar（u）PTPV ar（u）PTPV ar（u）PT（6） 2.3后验分布的推导现在我们已经找到了一种将P扩充为矩阵P的方法*这是可逆的，我们还设法创建了相应的q*和Ohm*, 这个问题是在一个更典型的贝叶斯框架中提出的：r*, r*, ..., r*m |u*, Σ*~ Nn（u*, Σ*)(7)u*~ N（q*, Ohm*)(8)Σ*~ W-1（ν，∑）（9）从（7）中，我们得到我们收益的联合密度为：f（r*, ..., r*m |u*, Σ*) ∝ det（∑）*)-mexp(-mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*))从（8）中，我们得到u的密度*is：f（u*) ∝ det公司(Ohm*)-经验值-(u*- q*)TOhm*-1(u*- q*)类似地，使用（9），我们得到∑的密度*is:f（∑）*) ∝ det（∑）*)-ν+n+1exp-T rΣΣ*-1.因此，通过将上述3个方程相乘，我们得出所有方程的联合密度为：f（r*, ..., r*m、 u*, Σ*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp-T rΣΣ*-1.det公司(Ohm*)-·经验值(-(u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) +mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)!)（10）让我们关注第二个指数中的括号，并让我们验证以下结果。引理1。以下等式成立，其中*=Pmi=1r*im:mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) =mXi=1（r*我- \'\'r*)T∑*-1（右*我- \'\'r*)++ m（(R)r*- u*)T∑*-1（(R)r*- u*)证据

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2022-6-11 04:38:37

我们将从操纵右侧开始：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i+r*T∑*-1r级*)+先生*T∑*-1'r*- 先生*T∑*-1u*- mu*T∑*-1'r*+ mu*T∑*-1u*但自从m r*=Pmi=1r*我=> 先生*T=Pmi=1r*我们得到：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i） +2mr*T∑*-1'r*--mXi=1r*它Σ*-1u*- u*T∑*-1mXi=1r*我+mXi=1u*T∑*-1u*==mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1'r*- r*T∑*-1r级*i） +2mr*T∑*-1'r*--mXi=1r*iT∑*-1u*-mXi=1u*T∑*-1r级*i+mXi=1u*T∑*-1u*我们观察到∑*-1和\'r*不要依赖于总和。因此，我们可以将它们计算出来：RHS=mXi=1（r*iT∑*-1r级*我- r*iT∑*-1u*- u*T∑*-1r级*i+u*T∑*-1u*)++ 2mr*T∑*-1'r*-mXi=1r*它Σ*-1'r*- \'\'r*Σ*-1mXi=1r*我==mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) + 2mr*T∑*-1'r*- 先生*T∑*-1'r*-- 先生*T∑*-1'r*=mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)在继续之前，让我们做一个记号：s=Pmi=1（r*我-\'\'r*)T∑*-1（右*我-\'\'r*)m级-现在，通过引理1，我们可以从（r）的联合密度返回到第二个指数中的偏执*, ..., r*m、 u*, Σ*)（方程式（10））：（u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) +mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) == （m）- 1） s+m（(R)r*- u*)T∑*-1（(R)r*- u*) + (u*- q*)TOhm*-1(u*- q*) == （m）- 1） s+（(R)r*- u*)T（m∑）*-1）（(R)r*- u*) + (u*- q*)TOhm*-1(u*- q*)（11）引理2。（填写方框）对于任何A∈ Rp×反向定义，B∈ Rp×反向半定义和a、b∈ Rpt以下标识有效：（y）- a） TA（y- a） +（y- b） TB（y- b） =（y- y*)T（A+B）（y- y*)++（a）- b） TH（a-b），其中y*= （A+B）-1（Aa+Bb）和H=A（A+B）-1B。此外，如果B为正定义，则H=（A-1+B-1)-1.[6]由于我们的两个正态分布都不是退化的，因为我们可以有两个∑的倒数*和Ohm*, 我们得出结论，它们没有任何等于0的特征值。此外，由于它们是协方差矩阵，我们知道它们是正半定义的。因此，它们的特征值大于或等于0。但由于它们不能为0，我们观察到它们必须严格大于0。

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2022-6-11 04:38:39

这意味着两个矩阵都是正定义的，因此我们可以使用第二个公式来表示H inLemma 2。现在，我们准备将此结果应用于y=u的方程式（11）*, a=\'r*,b=q*, A=m∑*-1和B=Ohm*-1:(10) <=> (11) <=> （m）- 1） s+（u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)++（(R)r*- q*)TH（(R)r*- q*),其中u*= （m∑）*-1+Ohm*-1)-1（m∑）*-1'r*+Ohm*-1季度*) 和H=m∑*+ Ohm*-1、如果我们用等式（10）表示的节理密度返回这个结果，我们得到：f（r*, ..., r*m、 u*, Σ*) ∝∝ det（∑）*)-mexp-(u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)··经验值-（(R)r*- q*)TH（(R)r*- q*) + （m）- 1） s··det公司(Ohm*)-det（∑）*)ν+n+1exp-T rΣΣ*-1.因为唯一依赖于u的部分*是上述方程的第一行，我们得出结论：f（u*|r*, ..., r*m、 ∑*) ∝ 经验值-(u*- u*)T（m∑）*-1+ Ohm*-1)(u*- u*)=>u*|r*, ..., r*m、 ∑*~ Nn型u*, Σ*, 其中u*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1.m∑*-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1（12）以确定∑的后面*, 更容易从方程（10）表示的原始节理密度开始。

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2022-6-11 04:38:42

通过收集依赖于∑的项*我们得到：f（σ）*|r*, ..., r*m、 u*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp(-mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) + T rΣΣ*-1.!)（13）我们注意到这非常接近于另一个逆Wishart分布，剩下的唯一一步就是操纵指数。让我们注意到mxi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) ∈ R=>mXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*) == T rmXi=1（r*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)!=mXi=1T r（r）*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)但在T族内部，只要维数一致，矩阵是循环交换的：mXi=1T r（r）*我- u*)T∑*-1（右*我- u*)=mXi=1T r（r）*我- u*)（r）*我- u*)T∑*-1.== T rmXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)T∑*-1.最后，利用这个结果和方程（13），我们得到：（13）<=> f（∑）*|r*, ..., r*m、 u*) ∝ det（∑）*)-ν+m+n+1exp(-T圈∑+mXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)TΣ*-1!)我们注意到这是逆Wishart分布的核心。因此，我们可以得出结论：∑*|r*, ..., r*m、 u*~ W-1ν+m，∑+mXi=1（r*我- u*)（r）*我- u*)T（14）现在我们有了后验分布，我们可以实现一个GibbsSampler，我们将在下一节中看到，我们还将了解如何估计模型的参数。2.4实施为了实施，选择了4种股票：苹果（AAPL）、亚马逊（AMZN）、谷歌（GOOG）和微软（MSFT）。考虑了2015年1月2日至2017年5月1日的4家公司的收盘价，并计算了回报。现在，该数据分为两部分，一部分表示当前数据（最后m返回r，…，rm，这里m=21），其余部分表示用于估计模型中参数的历史数据。之所以选择m=21，是因为我们正在考虑对大约一个月内发生的回报进行建模，21是一个月内的平均交易日数。因此，在本例中，此类投资者的交易期将超过一个月。

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2022-6-11 04:38:45

下一步是增强P，如第2.2节所述。一次P*创建时，我们可以创建我们的转换返回r*i=P*国际扶轮社。对于本例，个人视图为（列分别代表AAPL、AMZN、GOOG、MSFT）：P=1.-1 0 00 0 1 -1., q=0.020.05如果我们看方程（8）表示的模型中的第二个假设，我们注意到q*和Ohm*分别是u的平均值和协方差矩阵*, 这又是特定月份的平均回报（同样，在本例中，m=21，大约一个月）。因此，估计参数的一种解决方案是从历史数据中每个月的收益中提取收益，并计算其平均值。这样，我们就可以估算出月平均回报率*i、 i是1和历史数据中月数之间的整数。一旦我们得到这些，我们就可以估计出^q*和^Ohm*取^u的平均值和协方差*i、但是，我们必须记住，我们需要在上述评估中反映我们的个人观点。在等式（5）和（6）中，我们展示了如何将刚刚介绍的程序中的估计值与投资者的个人观点结合起来：o等式（5）表明我们应该采用*通过上述估算获得，并将前k个条目替换为q（k，如开头所述，是个人观点的数量）。o方程式（6）表明，我们应该取得到的^Ohm*并将左上角的k×k矩阵替换为我们个人选择的Ohm.现在，我们估计了模型的参数，基于方程（14）和（12）表示的后验概率，使用了一个典型的吉布斯样本。选择了10个燃烧期，吉布斯取样器的迭代次数为10次。吉布斯取样器完成后，只需取模拟u的平均值*（t），称之为^u*, 和模拟∑的平均值*（t），称之为^∑*.

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2022-6-11 04:38:48

然而，我们必须记住，thoseAlgorithm 1 Gibbs Sampler1：∑*（t+1）| r*, ..., r*m、 u*（t）~ W-1.ν+m，∑+Pmi=1（r*我- u*（t））（r*我- u*（t））t2:u*（t+1）| r*, ..., r*m、 ∑*（t+1）~ Nn型u*（t+1），∑*（t+1）, 其中u*（t+1）=m∑*（t+1）-1+ Ohm*-1.-1.m∑*（t+1）-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*（t+1）=m∑*（t+1）-1+ Ohm*-1.-1使用P转换*, 因此，现在我们必须将它们转换回原始空间：^u=P*-1^u*,^∑=P*-1^Σ*P*-T、就像在原始模型中一样，为了获得权重，可以使用与第1.3节中提出的CAPM类似的方程：w=λ^∑-1^u. 这里，λ=2.5，在原始模型中。在选择λ时，也有广泛的研究。对于交易股票，风险规避系数在2到3之间是合理的。[4] 最后，我们准备将原始模型下得到的结果与此模型得到的结果进行比较。2.5结果比较在我们深入研究如何比较这两种方法之前，让我们观察到，为了进行任何类型的比较，必须确保使用相同的数据集，并以相同的方式估计参数。尽管个人观点相同（P，Ohm, q）这两种方法的不同之处在于，替代方法的aprior为∑，而原始方法利用市场均衡收益，这是使用π=λ∑weq估计的。在下表中，我们可以并排查看两者的设置：Alternative Originalr*, r*, ..., r*m级~ Nn（u*, Σ*)u*~ N（q*, Ohm*)r~ N（u，∑）u~ N（π，τ∑）替代市场均衡，替代方法只是有另一个参数，如第2.4节所述进行估计（其他替代方法也有优先于∑，并考虑当前数据）。除此之外，两者使用相同的数据集和相同的参数。

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2022-6-11 04:38:51

现在，问题变成了如何比较两者。一个显而易见的方法是，如果一个人在实际市场上使用它们，那么看看这两种方法的表现如何，这将在本文后面的模型的结果部分介绍。然而，我们更感兴趣的是检查从吉布斯取样器获得的后验平均值与我们个人的意见有多接近。备注1。因为对于这两种型号，我们都有Pu~ N（q，Ohm), 我们观点中的不确定性越小Ohm), 标准偏差越小，投资者对这一特定观点就越有把握。因此，从上述备注中，我们将了解P^′u的行为，以及Ohm. 但如何定义“小”？正如我们在第2.4节中所看到的，视图的预期回报为q=0.020.05. 因此，即使值为10-4是相当大的，因为这将是我们观点的差异，因此，标准偏差将变为10-因此，第一个视图的95%置信区间为（0，0.04）。如果试图输入更小的ω，则反向Wishart随机发生器会产生非奇异性误差。因此，我们得出结论，我们比较了矩阵对角线值的模型Ohm 介于0和-4、虽然我们不能输入较小的ω，但为了检查以下备注，我们将q改为q=0.20.5. 所以，对于这两种模型，都实现了一种穷举方法，该方法将计算Ohm a后验平均值^u。一旦获得，距离| P^u- q |可为两种模型计算。备注2。自Pu起~ N（q，Ohm), 我们有那个limOhm→OPu=q a.s.因此，作为Ohm 越来越小，我们期望越来越接近q。备注3。

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2022-6-11 04:38:54

如果我们看u的后面*我们有：u*|r*, ..., r*m、 ∑*~ Nn型u*, Σ*, 其中u*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1.m∑*-1'r*+ Ohm*-1季度*Σ*=m∑*-1+ Ohm*-1.-1如果我们考虑Ohm*=> Ohm*-1较大，因此整个术语m∑*-1+ Ohm*-1.≈ Ohm*-1.=> （m∑）*-1+ Ohm*-1)-1.≈ Ohm*. 类似地，（m∑）*-1'r*+Ohm*-1季度*) ≈ Ohm*-1季度*对于足够小的Ohm*. 因此，我们预计模拟u的平均值*（t）接近q*. 或者，用alreadyused表示，^u*≈ q*. 因此，通过使用前面的备注，我们得到了P（P*-1u*) ≈ q、下图中的2个对角线条目作为轴的2个Ohm第三个代表距离| Pu-q |=| P（P*-1u*) - q |：图1：结果Ohm 对于替代模型，图2:Ohm 对于原始模型，我们从z轴（表示上述距离）注意到，修改后的模型更接近个人视图。我们可以在表1中查看不同ω和ω对的距离的一些特定值。然而，我们想看看P^u的结构是否与q相似。为此，我们保留了这两个条目Ohm 等于，我们在小ωs.t上穷尽搜索。Ohm = ωI，我们将P^u的2个条目与相应的ω一起绘制。请注意，图2.5中的蓝点表示q的准确值=0.20.5, ω=0时可得到。通过比较这两个图，我们注意到不仅红色点表示的点模拟更接近，而且整个曲线（通过插值获得）似乎更接近蓝色点表示的理论值。

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2022-6-11 04:38:57

此外，我们注意到，在这两种情况下，随着ω的增加，P^u离q更远，这是理论上应该出现的。ωω原始备选方案-40.0001 0.154 0.052-40.00015 0.2 0.063-40.0002 0.235 0.077-40.00025 0.263 0.118-40.0003 0.286 0.118-40.00035 0.305 0.145-40.0004 0.321 0.177-40.00045 0.335 0.222-40.0005 0.347 0.282-40.00055 0.357 0.354表1：具有特定距离值的表格图3：结果Ohm 对于替代模型，图4:Ohm 对于原始模型2.6，我们是否需要可逆P？在第2.2节中，我们介绍了通过添加行来创建可逆矩阵PBS的方法。理想情况下，不应以任何方式修改视图矩阵。此外，一般来说，不能通过添加行来创建可逆矩阵，尤其是当视图数接近所选的stocks数时。此外，增广P的方法也不是唯一的。因此，我们希望能够从投资者的输入中得出P不变时的后验值。因此，在本节中，我们将考虑与之前相同的设置，唯一的区别是P不是平方均方：r，r。。。，rm |u，∑~ Nn（u，∑）Pu~ Nk（q，Ohm)Σ ~ W-1（ν，∑）由于P出现在我们的模型假设的第二个方程中，唯一会改变我们之前的后面的是u。因此，在联合分布中，我们将只考虑依赖于u：f（u| r，…，rm）的术语∝ 经验值(-mXi=1（ri- u）T∑-1（ri- u））··exp-（Pu- q） T型Ohm-1（Pu- q）对于第一个指数，我们可以使用引理1。这产生：f（u| r，…，rm）∝ 经验值-（m）- 1） s+m（r-u）T∑-1（右- u)··经验值-（q）- Pu）TOhm-1（q- Pu）我们记得s=Pmi=1（ri-\'\'r）T∑-1（ri-(R)r）m-1因此，该术语不依赖于u。

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2022-6-11 04:38:59

现在，让我们关注指数中的其余项：（r- u）T（m∑）-1）（r）- u）+（q- Pu）TOhm-1（q- Pu）==rT（m∑-1） r- 2rT（m∑）-1） u+uT（m∑）-1） u+夸脱Ohm-1季度- 2夸脱Ohm-1Pu++uTPTOhm-1Pu=uTm∑-1+PTOhm-1便士u - 2.rT（m∑）-1） +夸脱Ohm-1便士u++rT（m∑）-1） r+qTOhm-1q由于只有前两项依赖于u，我们得到：f（u| r，…，rm，∑）∝ 经验值-uT（m∑）-1+PTOhm-1P）u··经验值-2（m∑）-1r+PTOhm-1q）Tu引理3。设M为对称可逆矩阵，则下列恒等式成立：xTMx- 2bTx=（x- M-1b）TM（x- M-1b）- bTM公司-1防腐蚀。我们只需要展开二次项：（x- M-1b）TM（x- M-1b）=xTMx- 2bTM公司-1Mx+bTM-1毫米-1b==xTMx- 2bTx+bTM-1b因此，如果我们将这个引理用于x=u，M=M∑-1+PTOhm-1P和b=m∑-1r+PTOhm-1q，我们得到u的后验分布的指数为-仍然位于公式前面，为了便于编写，我们在下面省略了它）：u - （m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1季度）T（m∑）-1+PTOhm-1P）··u - （m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1季度）- bTM公司-1最后，我们注意到b和M不依赖于u，因此u的后位由第一个大项决定，这实际上是正态分布的密度：u| r。。。，rm，∑~ N（upost，∑post），其中upost=（m∑）-1+PTOhm-1P）-1（m∑）-1r+PTOhm-1q）∑岗位=m∑-1+PTOhm-1便士-1该后验值与使用第一种方法（由方程式（12）表示）获得的后验值非常接近，唯一的区别在于，在这种新方法中，矩阵P显示出来。这是因为在这里，我们没有改变投资者输入的矩阵P，而在之前的方法中，我们添加了P以使其可逆。2.7实现实现此模型非常简单，因为它与前一版本非常相似。唯一不同的是，在u的后面，我们出现了P，而在之前的模型中，没有P，因为我们向其添加行，使其变得可逆。

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2022-6-11 04:39:02

我们提醒自己，这是第一种方法，因为我们可以从Pu的先验分布中取反，很容易找到u的先验分布。使用推导的后验概率，吉布斯采样器为：算法2吉布斯采样器1：∑（t+1）| r。。。，rm，u（t）~ W-1.ν+m，∑+Pmi=1（ri- u（t））（ri- u（t））t2： u（t+1）| r。。。，rm，∑（t+1）~ Nupost（t+1），∑post（t+1）,upost（t+1）=（m∑（t+1）-1+PTOhm-1P）-1（m∑（t+1）-1r+PTOhm-1q）∑岗位（t+1）=m∑（t+1）-1+PTOhm-1便士-12.8结果与之前一样，我们将尝试研究我们的模型对不同置信水平的敏感性。当我们给出前一个模型的结果时所作的备注1和2仍然有效。自年起Ohm 我们在主对角线（称为ωi）上有我们视图中的方差Pu，ωi越小，我们在视图i中就越确定。这也应该反映在我们的后对角线上：如果我们提供非常大的ωi，这意味着我们对视图非常不确定，模型应该更多地考虑历史，而如果我们为ωi提供非常小的值，这意味着我们对视图非常确定，模型应该比历史更多地考虑它们。与之前一样，为了量化和可视化模型对不同置信水平的敏感性，我们将查看距离| Pupost-q |（在我们的图中，它将位于一个轴上）在ωi的不同组合上。之前选择了相同的4只股票（AAPL、AMZN、GOOG、MSFT），但由于这项工作是较新的，每天的回报是从2014年1月2日到2017年12月29日。视图是（行是视图，列按AAPL、AMZN、GOOG、MSFT的顺序表示4种股票）：q=0.020.05, P=-1 1 0 00 0 1 -1.当涉及到两个视图中的置信度级别时，可以输入小到10的值-7没有遇到任何数值问题，就像我们之前扩充矩阵P时所做的那样。

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2022-6-11 04:39:05

因此，在实现模型或输入任何值时，不需要对模型进行任何更改。我们在10之间取一个等距点（ω，ω）的网格-7和2·10-燃烧期设置为10，吉布斯取样器中的迭代次数设置为10。然而，人们也可以使用相同的观点，但考虑的是整个标准普尔500指数的每日回报率，而不仅仅是4只股票。为此，我们需要在前面提到的时期内，标准普尔500指数活跃交易的公司的每日回报。我们根本不需要改变q，但P有更多的列，它们将代表著名指数中的股票，对于相同的2个视图，它仍将有2行。我们可以通过确保在第一行和对应于AAPL的列中-1，在第一行和对应于AMZN的列中，我们将有一个1，第二行类似。当然，一些矩阵和向量的维数将大得多，因此，所有计算都将更加昂贵。因此，该版本被并行化，Gibbs采样器中的迭代次数减少到10次（正如我们将看到的，即使迭代次数很少，平均值也会收敛，但协方差矩阵不会收敛）。

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2022-6-11 04:39:08

间隔10-7至10-5对于浓度级，按以下方式将其分为4部分：（ω，ω）∈-6.→ 10-5, 10-6.→ 10-5.-5.→ 10-4, 10-5.→ 10-4.-6.→ 10-5, 10-5.→ 10-4.-5.→ 10-4, 10-6.→ 10-5.上述4个范围中的每一个都被划分为7个点的网格。每个点在一个核心上运行，运行时间略多于4个小时ω=10时-6，第一个视图的95%置信区间为（0.018，0.022），这表明投资者非常自信ω=10时-4，第一个视图的95%置信区间为（0，0.04），这表明投资者没有那么自信。图5：| Pu桩-q |仅获取4个库存时图6：| Pupost-q |当所示图表中的takingS&P 500时，我们注意到两条曲线的形状相似，尽管右侧的曲线随着OI变小（我们的模型中的ωII）更快收敛到0。此外，右侧的曲线似乎位于左侧的一条曲线下方。直觉上，这是因为当我们计算整个标准普尔500指数时，∑的先验信息更多。此外，两者的形状非常相似。距离变为0，ωigo变为0。这与我们对模型行为的直觉是一致的：随着人们对输入的视图越来越有信心，模型应该重视它们，而不是历史数据。反之亦然，在两个图中，随着ωibecome越大，距离似乎收敛到某个值。同样，这也是我们认为模型应该具有大ωi的地方，这表明人们对个人观点不确定，因此，历史应该发挥更重要的作用。

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2022-6-11 04:39:11

事实上，如果我们只考虑历史回报，u的无偏估计值为r，距离为| P r- q |=0.05388875，这是曲线图似乎趋于收敛的方向。我们将重点关注2018年1月使用该模型进行交易时将获得的利润（或损失）（测试数据包括2018年1月2日至2018年1月30日之间的每日回报），初始资本为100000美元（这不包括卖空的任何资本要求）。我们记得，为了获得投资组合权重，我们使用与之前相同的方法。根据吉布斯抽样，我们估计upostand∑postand，并使用CAPM方程4：w=2.5∑post-1u柱。尽管当我们对整个标准普尔500指数进行分析时，吉布斯采样器中的迭代次数很小，但我们从上述分析中注意到，我们仍然得到了很好的upost估计值，因为后验距离的行为与我们的直觉完全一样。对于小ωi，平均值的运行平均值也会快速收敛。然而，由于∑post的大小以及为了计算投资组合权重w必须取其倒数的事实，迭代次数不足以给出准确的预测结果。然而，为了完整性，考虑到整个标准普尔500指数，平均收益为13191.39美元，标准差为2908.134美元。现在，我们将展示仅使用4只股票时获得的利润。我们注意到第一个视图比第二个视图对利润曲线的影响更大。此外，随着第一种观点的可信度增加（ω变为0），Profits sky rocket也随之增加。

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2022-6-11 04:39:15

这是因为在2018年1月，AMZN的表现优于AAPL 23.997%，我们的观点是，AMZN确实会超过AAPL（尽管只有2%，是实际情况的10倍）。图7：仅持有4只股票的情况下，一个月内表现优于AAPL近24%的情况并不常见。因此，接下来我们将展示相同的结果，唯一的变化是我们用FB（Facebook）取代AMZN。我们使用了相同的数据集，所有其他输入与我们在本节开头介绍的完全相同，除问题外，我们还将研究当投资者输入与2018年1月发生的事情完全相同的个人观点（非常“知情”的投资者）以及与1月发生的事情完全相反的个人观点（非常“不知情”的投资者）时，模型的表现。因此，我们还将看看选择Seq时会发生什么=0.062128150.01366718和q=-0.062128150.01366718, 分别地图8：4只股票，FBin和q=[0.02，0.05]t图9：4只股票，FB in和视图与现实情况完全相同图10：4只股票，FB in和视图与现实情况相反图11：标准普尔500，FB in和q=[0.02，0.05]t图12：标准普尔500，FB in和视图与现实情况完全相同图13：标准普尔500FB in和视图与现实情况相反，就像之前一样，我们注意到，随着ωiget越来越小，当考虑到整个标准普尔500指数时，这条曲线似乎低于仅考虑4只股票时的曲线，并且接近于0。这可能是因为在包含批发和普尔500指数的协方差矩阵上，先验知识比只有4只股票的协方差矩阵上的知识要多。此外，对于相同的q，曲线具有相似的方向和一般形状。因此，这证实了这样一种信念，即尽管Gibbs采样器使用了少量迭代，但考虑到了整个标准普尔500指数，估计的后验平均值仍然是准确的。

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2022-6-11 04:39:17

然而，如前所述，∑的估计值-1当其规模较大时，其预测不够准确，无法进行非常可靠的预测。尽管如此，为了分析的完整性，我们继续保持前面提到的所有输入不变，并保持q=0.020.05. 考虑到整个标准普尔500指数，上述模拟对范围（ω，ω）的平均利润为11619.97美元，标准差为2852.246美元。在下一个图中，我们可以观察到仅考虑前面提到的4只股票时获得的收益。图14:FB-in和q=[0.02，0.05]t从图中可以看出，第一种观点对收益的影响高于第二种观点。这是因为如果我们让ω保持不变，结果曲线的增长速度要比保持ω不变得到的曲线快得多。3日志上的先验知识（∑）3.1简介就像使用反向Wishart先验知识介绍方法一样，让我们看看我们想要改进什么：o理想情况下，视图矩阵P不应该以任何方式增加或更改。它应该像用户输入的一样保留。o人们应该在使用过多次的逆Wishart之前尝试一种不同的方法。因此，其中两个假设将保持不变：r，r。。。，rm |u，∑~ Nn（u，∑）Pu~ Nk（q，Ohm)Leonard和Hsu（1992）[5]提出的关于协方差矩阵不同先验的一个非常有趣的想法。正如本节的标题所示，此优先级将实际记录在日志中（∑）。为了更好地理解Leonard和Hsu的想法，让我们看看分布：f（r，…，rm |u，∑）=（2π）-mndet（∑）-mexp(-mXi=1（ri- u）T∑-1（ri- u））设A=log（σ），λaia和λ∑i（i=1，n）分别为A和∑的特征值。由于A=log（λ），我们得到λAi=log（λ∑i）=> λ∑i=eλAi。

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2022-6-11 04:39:20

最后，记住行列式是这些特征值的乘积，矩阵的轨迹是特征值的和，我们注意到det（∑）=Qni=1λ∑i=Qni=1eλAi=eT r（a）。通过在收益的联合分配中使用这个，并注意到（ri-u）T∑-1（ri-u) ∈ Rwe获得：f（r，…，rm |u，∑）=（2π）-mnexp(-T rmXi=1（ri- u）T∑-1（ri- u)!)expn公司-mT r（A）o=（2π）-mnexp(-T rmXi=1（ri- u）（ri- u）T∑-1!)expn公司-mT r（A）o=（2π）-mnexpn-mT r公司A+Se-A.oHere，S=mPmi=1（ri- u）T∑-1（ri- u). 在继续之前，让我们定义一个运算符并做一些标记。定义1。设A是一个n×n矩阵，A=（aij）i，j=1，n，然后我们定义一个操作符，该操作符将平行于主对角线的条目堆叠在向量中：V ec*（A）=aa。。。安| aa。。。一-1n ||a1n注意，如果A是n×n，V ec*（A） isn（n+1）×1。这一定义带来了以下符号：符号1。λ=V ec*（对数），α=V ec*（log（∑））∧=log（S），A=log（∑），d=n（n+1）Leonard和Hsu的想法是通过近似e来近似f（r，…，rm |u，∑）-A、该近似利用了x（ω）=e的事实-ω满足Volterra积分方程[2]：X（t）=S-t型-ZtSs-t（A- ∧）X（v）dv，0<t<∞,通过t=1、X（v）的迭代替换和矩阵S的谱分解，我们得到近似值为（请参见附录B的证明）：f*（r，…，rm |α）=（2πe）-mndet（S）-mexp-(α -λ） TQ（α-λ)（15）为了了解如何计算Q，我们首先必须引入一个couplemore符号。如果我们让ei，dito分别是具有相应特征值的ithnormalized特征向量，那么fijis是通过查看方程V ec得到的*（log∑）Tfij=eTilog∑ej，并确定log∑矩阵中条目的系数。通过这些fij，我们最终可以计算Q：ξij=（di- dj）didj（对数（di）- log（dj））Q=mnXi=1fiifTii+mnXi<jξijfijfTijRemark 4。

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2022-6-11 04:39:24

近似分布为：α| r。。。，rm≈~ N（λ，Q-1）现在，我们准备进入下一节，重新讨论模型的假设。3.2模型如前一节所述，我们将在日志上有一个优先级（∑）。但是如何构建一个直观的分布呢？可以使用的最简单的分布是多元正态分布，其中主对角线上的方差项有一个平均值θ和方差σ，副对角线上的方差项有另一个平均值θ和另一个方差σ。因此，我们得出以下模型：r。。。，rm |u，∑~ N（u，∑）（16）Pu~ N（q，Ohm) (17)α|θ, = V ec*（对数（∑））|θ， ~ N（Jθ，) （18）其中我们有以下符号：符号2。J=1 0: :1 00 1: :0 1, =σInOOσId-n, θ =θθ3.3后验分布的推导如果我们让θ具有一致的先验（θ∝ 1）通过将其从方程（18）的密度中积分出来，我们得到：命题1。f（α|σ，σ）=Zθdet()-经验值-(α -Jθ）T-1(α -Jθ）dθ==2πdet()-det（JT-1J）-经验值-αTGα, 其中g=身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.T-1.身份证件- J（JT-1J）-1JT-1.关于证明，请参见附录C。现在，通过使用该分布以及从等式（15）表示的收益分布的Volterra积分中获得的近似值，以及等式（17）表示的Pu上的先验值，我们最终可以获得近似联合分布：f（α，u，σ，σ，r，…，rm）≈∝ det公司()-det（JT-1J）-经验值-αTGα··det（S）-mexp-(α -λ） TQ（α-λ)··det公司(Ohm)-经验值-（Pu- q） T型Ohm-1（Pu- q）（19）我们将首先查找α的后部。因此，我们必须收集所有依赖于α的项。

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kedemingshi

2022-6-11 04:39:27

因为其中一个是从Volterra积分得到的近似值，所以后一个是近似分布：f*（α| r，…，rm，σ，σ，u）≈∝ 经验值-αTGα+（α- λ） TQ（α-λ)我们可以应用引理2（完成平方），y=α，a=0，a=G，b=λ，b=Q，我们得到：α| r。。。，rm，σ，σ，u≈~ N（α*, （Q+G）-1），其中α*= （Q+G）-1Qλ移动到σ，σ的后面，我们必须收集依赖于, 其中也包括G。我们注意到，从矩阵指数的Volterra积分近似中得到的项在后验曲线中没有显示出来。因此，这将是一个精确的分布：f（σ，σ|α，u，r，…，rm）∝ det公司()-det（JT-1J）-经验值-αTGα但是，可以以标量形式编写上述分布。通过应用附录C中的引理4，我们发现σ，σ的联合后向分布等于：f（σ，σ|α，u，r，…，rm）∝σ-n-1.σ-d-n-1exp-αTGα此外，通过应用也可在附录C中找到的引理5，我们得出方程的标量版本为：f（σ，σ|α，u，r，…，rm）∝σ-n-1exp(-2σnXi=1（αi- αv））σ-d-n-1exp(-2σdXi=n+1（αi- αc））这里，α表示方差项对数的平均值，α表示协方差项对数的平均值：αv=Pni=1αin，αc=Pdi=n+1αid- 因此，σ和σ的后验值都遵循逆伽马分布，并且它们是独立的：σ|α，u，r。。。，rm~ Γ-1n- 3，nXi=1（αi- αv）！σ|α，u，r。。。，rm~ Γ-1d- n- 3，dXi=n+1（αi- αc）！我们最终已经准备好计算u的后验值，方法是收集依赖于它的项。我们注意到，从矩阵指数的Volterra积分近似得到的项在后验值中没有显示出来。因此，就像σ和σ的后验值一样，这将是一个精确的分布。

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