弱反馈下传染McKean-Vlasov系统的唯一性

2022-6-11 05:27:19

当达到这一最低水平时，银行必须出售资产以提高其杠杆率，如果这些出售涉及普通非流动资产（ρ>0），则会压低这些资产的价格，从而导致其他银行的杠杆率下降（α>0）。然而，请注意，达到阈值的银行现在应该重置为更高的杠杆率（在资产出售后），而不是违约，但主要的数学困难仍然是触及边界的正面反馈。此外，ρ依赖于L也是很自然的，因此出售共同资产会降低银行之间的相关性。通过简单的符号变化，后一种系统可以被重新表述为电耦合神经元的“尖峰”模型，这已在[7，8]中进行了研究。在这种情况下，每个粒子模拟神经元的膜电位，当该电位达到上限阈值时，神经元被称为“尖峰”：即，它发出一个电信号，使所有其他电位增加α/N，尖峰神经元本身被重置为预定值。1.1爆破和物理跳跃条件由于正反馈，对于足够大的α>0，（CMV）的解可以产生跳跃不连续，我们称之为爆破，如[15，21]。为了研究这些情况下的唯一性，有必要解决爆破时的模糊性（参见【15，第1.2款和第2节】中的说明和进一步讨论）。这是通过指定相关跳转大小必须满足物理跳转条件来实现的Lt=inf{x>0：νt-（[0，αx]）<x}，（PJC）概率为1，其中νt-是由νt（S）定义的νtde的左极限：=P（Xt∈ S、所有S的t<τ| B）∈ B（R），其中τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}和ν是X的定律。也就是说，流动ν给出了在公共噪声B条件下在原点吸收的X的边缘定律。

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nandehutu2022

2022-6-11 05:27:22

我们注意到L在（MV）中是确定的，因此自然地，条件（PJC）应该用νt=P（Xt）来理解∈ ·, t<τ）与ρ=0的（CMV）一样。简而言之，（PJC）是跳跃大小的正确规格，原因有二。首先，在（CMV）的情况下，该条件给出了L为cádlág所需的最小跳跃大小【21，第3.3条】。其次，将[8，21]中构造的解作为有限粒子系统（如上所述）的极限点获得，相应的离散版本（PJC）给出了跳跃行为的唯一合理物理描述，然后该离散条件在极限内产生（PJC）。还应注意的是，（MV）的一般（可能是非物理）解可以直接从Nadtochyi和Shkolnikov[24]证明的广义Schauder不动点定理构造，在Z和f上的适当条件下。在物理跳跃条件存在的情况下，因此，只考虑不想立即跳变的初始密度是很自然的（与L为cádlág且初始为零一致）。事实上，很自然地，只局限于不断发展的系统可以达到的状态，并回顾（PJC）是左极限νt的规则-, 这转化为初始条件ν满足inf{x>0:ν（[0，αx]）<x}=0（1.1），在f（x）=x的情况下（对于一般f，应将（1.1）中的左侧替换为（1.2）中的右侧，t=0，L=0）。虽然这一条件对于布朗驱动下的cádlág解是必要的，如[21，Prop.3.3]中的（CMV），但对于更一般的Z，可以构造（MV）的cádlág解。具体而言，与[24，（3.15）]类似，可以取Zt：=Bt+AtwithAt：=αP（X+infs<tBs≤ 0）和f（x）=x。

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2022-6-11 05:27:25

如果Xis使得（1.1）的左侧是严格正的，并且没有强制要求该正性会导致L立即跳转（正如（PJC）所暗示的那样），那么L：=A给出了（MV）的连续解，尽管通过选择X违反了（1.1）。在本文中，关于跳跃的唯一数学贡献是当Z是标准布朗运动且f（x）=x时的情况（见第3节）。然而，如果考虑一般反馈函数f，对应于（PJC）的条件很简单Lt=infx>0：νt-0，α·（f（x+Lt-) - f（Lt-))< x个. （1.2）1.2布朗情况下的偏微分方程观点我们现在简要回顾一下现有的基本设置Zt=bt和f（x）=x的偏微分方程方法，其中B是标准布朗运动。如果我们让vt表示νt的密度，即x在原点被吸收的定律，那么我们（至少正常地）得到了PDEtVt（x）=xxVt（x）+αLtxVt（x），Lt=xVt（0），Vt（0）=0，（1.3）对于x∈ (0, ∞). 在这里，传染反馈作为一个传输术语出现，它以与穿过边界的电流成比例的速率将质量推向原点。设置v（t，x）：=-αVt（x- αLt），对于α>0，V和L的方程为电视=xxv开启（αLt，∞), xv（t，αLt）=-αLt，v（t，αLt）=0。（1.4）这是一个斯特凡问题，用于模拟占据半无限条带（αLt，∞): 液体最初过冷至温度v（0，x）=-αV（x）在冰点V=0以下，并且演化的“冻结锋”由x=αLt给出。如果V（0，·）=-c、然后，该系统的适定性表现出明显的二分法：对于c<1，它采用显式相似解，而对于c，则不可能存在解≥ 1.

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2022-6-11 05:27:28

这种情况激发了Dembo和Tsai最近的分析【10】，该分析通过离散化粒子近似的标度行为来研究临界状态c=1。一个相关的研究路线是[2，3，22]，它考虑了PDEtu（t，x）=xxu（t，x）+u（t，0）xu（t，x），xu（t，0）=-x的u（t，0），（1.5）∈ (0, ∞), 作为细胞极化的模型：u是细胞中分子标记的密度，用正半线表示，密度的时间演化与x=0时细胞膜上标记的浓度耦合。如果weset▄Vt（x）：=α-1'xu（t，y）dy，然后我们返回（1.3），初始条件▄V（x）=α-1'xu（y）dy.Calvez等人[2，3]表明，（1.5）允许全局弱解，如果''∞u（y）dy≤ 1，如果'，则u在限定时间内爆炸为不完整∞u（y）dy>1，且unon增加（有关某些因素，另请参见[22]）。注意，在上述两个例子中，可解性主要取决于初始条件与α的比较-同样的关系将在下一节的结果中发挥重要作用。现在回到过冷Stefan问题，有一篇关于其适定性的早期文献，关于有限条带上（1.4）的微小变化。这可以追溯到Fasano和Primicerio【12，13】，他们给出了初始数据的条件，在此条件下，系统在所有时间或某个有限爆炸时间内都可以在经典解类中唯一解。如果源项Ltδ（x- c）对于一些c>0的情况，将δ添加到（1.3）中，其中δ是三角函数，则系统的质量保持不变。回顾前面描述的有限粒子系统，这对应于粒子到达边界后立即重置为预定值c（而不是被吸收）的情况。Carillo等人将分析归结为类似Stefan的问题。

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2022-6-11 05:27:31

[4] 表明，对于α≤ 0时，始终存在唯一的经典解，而对于α>0时，经典解存在到可能的有限爆炸时间（对于杯形到边界并在那里消失的初始条件）。有关更多背景信息，请参见[1，5]。在这一点上，重要的是要强调，[8，21，24]中的（MV）和（CMV）的解在时间上是全局的：它们不会在某个爆炸时间停止存在，即使事实上，对于足够大的α>0[15，Thm.1.1]，必须有跳跃不连续形式的爆炸。1.3布朗情形中问题的最新历史除了存在结果[21，24]，关于（MV）的文献集中在Z是布朗运动，B，直到绝对连续漂移的情形。为清楚起见，wethus将重点放在本小节中的Zt=Bt和f（x）=x上。受PDE观点的不完全结果的启发，当α>0时，Delarue等人[7，8]引入了本质上是PDE问题（1.3）解的广义概率概念，即（MV）。最近，通过Nadtochiy和Shkolnikov【23】以及本文作者和Hambly【15】的独立研究，继续研究这个问题的唯一性和规律性。以下是结果的简要概述：o让X=X>0。在[7]中，有一个α∈ （0，1）这样，对于任何α∈ （0，α），（MV）在任何时间间隔上都有一个C解L，并且该解在此类中是唯一的。该结果适用于（神经元）版本，其中粒子在撞击边界时重置在与[7]相同的设置下，对于任何α>0的情况，[8]获得（MV）的全局解，作为前面描述的（神经元）粒子系统的极限点。此外，如果极限点之间存在唯一性，则存在混沌传播让V∈ H（0，∞).

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mingdashike22

2022-6-11 05:27:34

对于任何α>0，[23]给出了在爆炸时间t？>0，以便L∈ L（0，t）表示t<t？kLkL（0，t）爆炸ast↑ t？。此外，在t？在这类解决方案中。o让V∈ L∞和V（x）≤ Cxβ对于某些C，β>0。对于任何α>0的情况，[15]给出了爆炸时间t>0，以便L∈ L（0，t）fort<t？kLkL（0，t）爆炸为t↑ t？。此外，在t？在所有候选解决方案中，以及| Lt |≤ 千吨级-1.-对于任何t<t？，β在[0，t]上？。请注意，最终结果可以与第二个项目符号的结果相结合，即（CMV，ρ=0）到爆炸时间的混沌传播（或对于较小的α>0，全局）。基于上述结果，Kaushansky和Reisinger【19】和Kaushansky、Lipton和Reisinger【18】提出并分析了（CMV，ρ=0）直至爆炸时间的数值格式。1.4论文概述和主要结果在第2节中，我们证明了α（定理2.2）上的小条件下（MV）的全局唯一性，这定义了弱反馈区域。在此基础上，我们证明了（CMV）在弱反馈区域是全局适定的（定理2.3）。在第3节中，对于一般α>0且没有小尺寸条件的情况，我们专门研究了Zt=bt和f（x）=x的（MV）。在这种情况下，我们将技术从第2节扩展到在初始密度接近零的形状的温和假设下的短时唯一性（定理3.1）。最后，我们利用这个结果证明了爆破后问题的局部唯一性（定理3.3）。2弱反馈的全局唯一性本节的主要目的是证明弱反馈区域中（MV）的解的唯一性，即当反馈参数α满足适当的小条件时（定理2.2）。

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2022-6-11 05:27:37

我们的证明方法基于一个令人惊讶的简单比较论证，这个论证是“零阶”的，因为它没有利用解的微分或分析性质，L是时间的函数，V是空间的函数。从概率上讲，这是很自然的，因为麦肯-弗拉索夫公式（MV）不涉及任何衍生工具，而不是德国能源部的观点（1.3）。当驱动噪声Z出现粗略漂移时，我们的零阶方法的价值最为明显，因为早期文献[4、7、15、23]中开发的分析工具无法应用于此类设置。2.1弱反馈区域的唯一性我们对McKean–Vlasov系统（MV）感兴趣，在一般假设Z是一个连续的随机过程，Z⊥ 十、和f∈ C（[0，1]，R）。（H）我们的首要任务是进行上述比较论证。我们将它作为引理与定理2.2分开，因为我们将在第3节中再次需要它。图2.1提供了其证明的可视化，这有助于突出这个引理和由此产生的定理2.2的几何特性。引理2.1（比较引理）。假设L和'L是初始条件为ν的假设（H）下（MV）的两个解。然后| Lt-\'Lt |≤ Ehνsups公司≤t{αf（Ls）- Zs}，sups≤t{αf（(R)Ls）- Zs}我∨ Ehνsups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤t{αf（Ls）- Zs}i、何处\'∨’ 表示右侧两个值中的最大值。证据设L和L是假设（H）下（MV）的任意两个解，通过相同的随机过程Z和相同的随机起点xd耦合，根据ν分布。

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可人4

2022-6-11 05:27:41

也就是说，两个解L和'L由下式给出Xt=X+Zt- αf（Lt）τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（τ≤ t），和(R)Xt=X+Zt- αf（\'Lt）\'τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}Lt=P（(R)τ≤ t）。那么我们有了-\'\'Lt≤ Pinfs公司≤tXs公司≤ 0，infs≤t'x>0= Pinfs公司≤t{X+Zs- αf（Ls）}≤ 0，infs≤t{X+Zs- αf（\'Ls）}>0= Psups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}<X≤ sups公司≤t{αf（Ls）- Zs}.反过来，XgivesLt上的条件-\'\'Lt≤ Eh^∞sups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}<x≤ sups公司≤t{αf（Ls）- Zs}ν（dx）i=Ehνsups公司≤t{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤t{αf（Ls）- Zs}i、最后，我们可以注意到，通过对称性，交换了L和‘L’的相同不等式也成立，因此我们得到了结果。考虑到下面定理2.2的陈述和证明，可以方便地引入符号Kfkt：=sups≤t | f（s）|和kfkLip（x）：=supy6=z∈[0，x]| f（y）- f（z）| | y- z |。下面的定理2.2几乎是引理2.1的直接结果，一旦我们对输入之间的关系设置了适当的限制。具体而言，我们在给定f和ν的反馈参数α上引入了一个“小”条件（2.1），该条件定义了任何Z选项的弱反馈状态（MV）。图2.1：从引理2.1中，红色曲线为X，蓝色曲线为'X，通过初始值X和驱动器Z的给定校准进行耦合。写入Lt-\'\'Lt≤ P（τ≤ t<τ）当t=1.6时，我们可以看到，随着x的减小，我们只能从红色曲线第一次触及x轴（在第二个图中x=0.72处）到蓝色曲线将其拉近（在第三个图中x=0.59处）这一概率得到贡献。因此概率等于ν（0.59，0.72），其中0.59=sups≤t{αf（(R)Ls）- Zs}和0.72=sups≤t{αf（Ls）- Zs}。根据定理2.2，可以直接看到0.72-0.59≤ αkf（L）- f（(R)L）kt，因为后者将两条曲线之间的距离限定在[0，t]上。定理2.2（弱反馈区域的唯一性）。

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可人4

2022-6-11 05:27:43

设L和'L是（MV）在假设（H）下的任意两个解，并假设初始条件ν具有adensity V：（0，∞) → (0, ∞). 如果反馈参数α∈ R等于|α|·kVk∞· KKKLIP（LT）∨\'LT）<1，（2.1）对于某些T>0，则L=\'L在[0，T]上。特别是，如果f具有全局Lipschitz常数和Vis有界，则（2.1）给出了α的范围，对于该范围，存在（MV）的全局唯一性，与Z.证明的选择无关。我们只需要考虑α≥ 0，因为我们可以将减号吸收到f中。设L和L表示（MV）的任意两个解，并观察f（\'Ls）=f（Ls）+f（\'Ls）- f（Ls）≥ f（Ls）- kf（L）- f（(R)L）KR代表s≤ r、将此不等式应用于引理2.1的界，得到| Lr-\'Lr |≤ Eν-αkf（L）- f（(R)L）kr+sups≤r{αf（Ls）- Zs}，sups≤r{αf（Ls）- Zs}∨ Eν-|α| kf（L）- f（(R)L）kr+sups≤r{αf（(R)Ls）- Zs}，sups≤r{αf（(R)Ls）- Zs}.写入Z*r： =支持≤r{αf（Ls）- Zs}和'Z*对于与“L”对应的相同运行上限，上述值变为“Lr”-\'Lr |≤ Eh^Z*rZ公司*r-αkf（L）-f（(R)L）krV（x）dxi∨ Eh^′Z*r'Z*r-αkf（L）-f（(R)L）krV（x）dxi，所以对于所有r≥ 0，| Lr-\'Lr |≤ αkVk∞kf（L）- f（(R)L）kr。使用f的局部Lipschitz性质，如（2.1）所示，并取上半数r∈ [0，T]，然后我们得到kl-\'\'LkT≤ αkVk∞KKKLIP（LT∨\'\'LT）kL-\'\'LkT。因此，小尺寸条件（2.1）强制kL-根据需要，LkT=0。这就完成了证明。确定输入f、V和α的选择，使小条件（2.1）保持在某个区间[0，T]，并假设随机驱动程序zt具有密度pt。那么νthas是密度vt和kVtk∞≤ kVk公司∞, 从简单估计νt（S）可以看出≤^∞^Spt（x+z- αf（Lt））V（x）dzdx≤ kVk公司∞· |S |，（2.2）适用于所有S∈ B（R）。

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nandehutu2022

2022-6-11 05:27:46

因此，小型条件（2.1）强制Lt=0表示所有T∈ [0，T]，由于物理跳跃条件（PJC），所以在[0，T]上弱反馈区域中（MV）的唯一解在所有[0，T]上都是连续的。2.2主要唯一性结果的应用我们现在给出了定理2.2的两个有趣结果。定理2.3（弱反馈的（CMV）适定性）。考虑带ρ的ConditionalMcken–Vlasov系统（CMV）∈ 在kVk约束下，α>0∞<α-（CMV）有一个唯一的解，该解作为【21，（3.1）】中有限粒子系统的唯一平均场极限。证据根据[21，定理3.2]，givenby（CMV）存在一个“松弛”解（\'X，\'L，\'P(R)Xt=X+p1- ρBt+ρBt- α\'Lt，\'Lt=P（\'τ≤ t | B，\'P），\'τ=inf{t≥ 0:Xt≤ 0}，\'P=定律（X | B，\'P），（B，\'P）⊥ B、对于二维布朗运动（B，B）和初始条件X⊥ （B，B，\'P），其中我们注意到，\'P是cádlág路径空间上的随机概率测度。设（eX，eL，eP）是另一个通过相同的布朗驱动（B，B）和相同的随机起点X耦合到（\'X，\'L，\'P）的松弛解。当比较eL和\'L时，条件作用确定了B，\'L，andeL的路径实现，因此我们可以应用定理2.2，zt=p1- ρBt+ρβt对于给定实现B=β。这证明了路径等式el=\'L，因此也证明了X=\'X andeP=\'P。从这里，山田-渡边变元（见[20]）给出了（X，B，B）-可测的松弛解（X，L，P）的存在性。但放松解的定义要求（X，B，B）在给定B的条件下独立于P，因此我们得到Lt=P（t≥ τ| B，P）=P（t≥ τ| B），因此（X，L）是（CMV）的最佳解。最后，[21，Thm.3.2]表明，粒子系统[21，（3.1）]的极限点在（CMV）的松弛解上得到支持，但这些极限点现在必须与唯一的Bonafide解（X，L）一致。

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kedemingshi

2022-6-11 05:27:49

因此，粒子系统在这个唯一的极限下是完全弱收敛的。为了与第1.1节中的PDE观点进行比较，设Vt为νt=P（Xt）的随机密度函数∈·, t<τB）。然后系统（CMV）产生随机PDEDVT（x）=xxVt（x）dt+αxVt（x）dLt- ρxVt（x）dBt，Vt（0）=0，对于（x，t）∈ (0, ∞) × [0, ∞), 其中Lt=1-'∞Vt（x）dx。人们可以通过正式整合各个部分来发现=xVt（0），但除非ρ=0，否则我们不能再期望L是可微的，并且Vt（·）在零处的导数无法定义。作为定理2.2的最终应用，我们给出了f（x）=-日志（1- x），如[23，24]中所研究，对于一般连续驱动Z.推论2.4。考虑f（x）=-日志（1-x） α>0，对于任何连续驱动程序Z，假设kVk∞< α-那么对于所有t，[0，t]上（MV）的解是唯一的≥ 0，使Lt<1- αkVk∞.证据请注意，kfkLip（x）=（1- x）-1，那么结果来自定理2.2。我们应该注意到，定理2.2和上述两个应用程序代表了引理2.1中思想的最直接的应用。事实上，通过更努力的工作和更具体的设置，可以获得更强大的结果。下一节给出了布朗情形的一个这样的例子。3局部唯一性对于纸张的其余部分，在爆破之后，我们返回到设置Zt=bt和f（x）=x，其中B是标准布朗运动，我们关注α>0的情况，对于这种情况，可能会发生爆破。

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2022-6-11 05:27:52

正如第1.3节所强调的，在爆炸时间t之前，（MV）具有完全唯一性？>0，并且我们知道始终存在解（对于自然类的初始条件）；然而，本节的结果是首次解决爆炸后重启系统的唯一性问题。早期的唯一性方法（见第1.3节）在第一次爆炸时间t？时失效？，因为系统可能正在从密度Vt重新启动？这在起源地表现得不够好。原则上，我们所知道的是（PJC）强加inf{x>0：'αxVt？（y）dy<x}=0。（3.1）这里的问题是，（3.1）几乎没有暗示Vt的规律性？接近零度。如果没有进一步的信息，我们无法排除如图3.1所示的病理病例，因此似乎很难获得有效的控制来证明唯一性总是可以传播的。然而，在实践中，我们预计不会出现这些边缘情况，并且我们可以在这里证明，我们至少可以在上升后对密度进行多项式控制（定义为L的跳跃时间）。该观察结果源自左极限密度Vt？的分析结果？-（命题3.2），它允许我们通过应用我们接下来介绍的定理3.1来证明爆破后的短时唯一性（定理3.3）。3.1一般反馈的短时唯一性正如下一个结果所示，原点附近初始密度的多项式控制具有短时唯一性。证明的想法是使用上一节中的方法，但要确保大量质量到达边界的时间不足，从而抵消密度大于α的影响-1远离原点，并允许V（0+）=α-定理3.1（短时唯一性）。

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mingdashike22

2022-6-11 05:27:55

假设初始条件ν具有密度V，其中存在c>0、x>0和n∈ N使得v（x）≤ α-1.- cxn，对于所有x<x.（3.2），设L和L是（MV）的两个解，Zt=bt，f（x）=x，其中B是布朗运动。然后存在t>0，使得Lt=(R)Ltfor all t∈ [0，t]。证据对于速记，让Z*t： =支持≤t{αLs- Bs}，注意eν([-αkL-\'Lkt+Z*t、 Z*t）（）≤ E（t）·αkL-\'Lkt，（3.3），其中e（t）：=EhsupV（x）：x∈ [-αkL-\'Lkt+Z*t、 Z*t）i、我们将后一个期望分解为三个区域：Z*t型∈ [0，αkL-\'Lkt+t），Z*t型∈ [αkL-\'Lkt+t，x），Z*t型∈ [x，∞).由于L和'L是cádlág，我们可以取t>0足够小，因此对于所有t≤ twehaveαkL-\'\'Lkt+t≤ x/2和αLt，α′Lt≤ x/4。因此（t）≤ α-1P（Z*t型∈ [0，αkL-\'\'Lkt+t]+（α-1.- ctn）P（Z*t型∈ [αkL-\'\'Lkt+t，x]+kVk∞P（Z*t型∈ [x，∞))≤ α-1.- ctnP（Zt∈ [x/2，x]+千伏∞P（Z*t型∈ [x，∞))≤ α-1.- ctnP（sups≤tBs公司∈ [x，x]+千伏∞P（辅助≤tBs公司∈ [x，∞))= α-1.- ctn（Φ(-x/2t1/2）- Φ(-3x/4t1/2））+千伏∞Φ(-3x/4t1/2），图3.1：两个病理初始密度满足（3.1），α=5/3。蓝色曲线中有很多值高于接近零的临界值3/5。红色曲线严格保持在3/5以下，但所有导数在原点处消失，因此无法控制（3.2）中的形式。其中Φ是标准正常cdf。使用渐近界Φ(-cx） x个-1e级-cx/2，如x→ ∞,我们无法找到∈ （0，t）非常小，以至于E（t）<α-1对于所有t≤ t、因此，回顾（3.3），根据对称性和引理2.1，Lt-\'Lt |≤ (1 - ε）吉隆坡-\'Lkt，每t∈ （0，t），（3.4）对于某些ε∈ （0，1）。现在让t>0是L和‘‘L和t的第一个跳跃时间中的较小者。通过连续性，存在∈ [0，t]上的上确界。也就是说，kL-(R)Lkt=kL-\'Lks=| Ls-\'Ls |。如果s=0，则kL-\'Lkt=| L-\'L |=0，我们完成了。

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kedemingshi

2022-6-11 05:27:59

否则，s∈ （0，t），但这与t=无太阳kL时的（3.4）相矛盾-\'Lks=0，因此证明是完整的。值得强调的是，上述证明中的主要困难集中在初始时间t=0，这里我们面临V（0+）=α-事实上，对于任何足够小的t>0，差异性（和L的cádlágness）迫使密度v严格低于α-1在x=0的小邻域内（见[25，第6.4.3条]），这意味着我们基本上回到了定理2.2的弱反馈区域，尽管是在原点附近的局部意义上。通过类似的观察，我们可以使用定理3.1获得密度的全局唯一性，这些密度看起来像（3.2）靠近原点，但位于α以上-1充分发挥作用，使其在α以下-1在可能导致爆炸之前。3.2爆破后的短时唯一性在下文中，我们将展示如何将定理3.1的结论推广到爆破时间。主要的一点是，虽然我们不能在任意时间将溶液密度控制在接近零的位置，但我们可以证明密度在半直线的内部是解析的。在爆破时，这有助于控制系统重新启动时的新密度接近零，因为原点处的新点位于跳跃不连续之前的密度内部（见下面定理3.3的证明）。我们的分析性证明依赖于[14，16]中使用的核平滑和能量估计技术，但我们仅在此陈述结果，并将证明推迟到下一节。命题3.2（内部分析性）。假设初始条件ν具有密度v∈ L（0，∞) 假设（MV）有一个解Zt=bt，f（x）=x，我们定义νt：=P（Xt∈ ·, t<τ）。

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2022-6-11 05:28:01

然后，对于所有t>0，νthas是有界密度vt和y 7→ 及物动词-（y）在每个点x上都是解析的∈ (0, ∞).利用内部分析性，我们现在能够证明在爆破时间之后重启系统的短时唯一性。定理3.3（爆破后的短时唯一性）。设初始条件νhavea密度V∈ L（0，∞) 假设我们有一个解L到（MV），其中Zt=Btandf（x）=x，直到它的第一次爆破时间t？>0，其中B是布朗运动。然后系统可以在时间t重新启动？并且重新启动的解决方案在小时间间隔[t？，t？？]上是唯一的（在cádlág解决方案类中），对于一些t？？？>t？。证据注意，在第一次爆破时间t？，我们有νt？（S） =P（Xt？-- α书信电报？∈ S） =νt？-（S+αLt？）=^SVt？-（x+αLt？）DX适用于所有S∈ B（R），其中书信电报？由（PJC）唯一指定。因此，爆炸后，系统从新密度Vt？重新启动？关于νt？由VT提供？（x） =Vt？-（x+αLt？）对于所有x≥ 反过来，虽然Vt？-在x=0时不具有解析性，如下所示Lt？>0和Vt？-在内部进行分析，我们确实具有新密度vt的分析性？x=0时。所以我们有一个系列的扩展vt？（x） =Vt？（0）+Xn≥1cnxn，每x∈ [0，x]，对于某些x>0。如果Vt？(0) < α-1我们是否具备Vt所需的条件？通过使用非常小的xsu。如果Vt？(0) > α-1，那么，由于物理跳转条件（PJC）开启我保证了吗？满意度（3.1），如果x足够小，我们就有了一个矛盾。有没有提供Vt？(0) = α-1，那么在最后一种情况下，对于所有n，我们不能让cn=0≥ 1，所以letn：=最小值{n:cn6=0}。对于x>0非常小的情况，我们有vt？（十）≥ α-1+（cn+ε）xn，每x∈ [0，x]，其中|ε|≤|cn |。再次，如果cn>0，那么我们与（3.1）相矛盾，因此cn<0，所以我们有Vt？满足定理3.1中的条件（3.2）。

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2022-6-11 05:28:04

因此，定理3.1可以在第一次爆破时间t？之后的一小段时间内应用？。虽然我们在爆炸后得到了小时间唯一性，但需要注意的是，全局唯一性是本文中介绍的技术无法实现的。如果系统在连续时间内达到图3.1所示的病理状态，那么我们就不能传播我们的唯一性论证超过这个时间。在本文件的原始提交和当前修订之间，Delarue、Nadtochiy和Shkolnikov精确地解决了f（x）=x和zt=Bt的情况下（MV）的全局唯一性问题【9】。他们的一项关键技术成果是，如果系统是从不具备该特性的大量初始密度开始的，则排除出现改变原点附近单位时间内单调性的振荡密度（如图3.1所示）。3.3内部密度分析在最后一小节中，我们提供了命题3.2的证明。如前所述，它通过核平滑进行，因此对于任何δ>0和任何度量uon（0，∞), 我们定义了卷积TΔu（x）：=^∞Gδ（x，x）u（dx）和Trδu（x）：=^∞Grδ（x，x）u（dx），对于x≥ 0，其中核Gδ和Grδ分别是正半线上的吸收和反射高斯密度，由Gδ（x，x）给出：=√2πδne-（十）-x） 2δ- e-（x+x）2δo，Grδ（x，x）：=√2πδne-（十）-x） 2δ+e-（x+x）2δo.替换δ7→ 2δ，这些当然是正半直线上的Dirichlet和Neumann热核。作为对细心读者的一个警告，我们偶尔会用一个反命题，简单地写下TΔφ或TrΔφ，以表示应用于度量值的操作符，其中，don–Nikodym导数是函数φ。考虑到与（MV）相关的度量值νT的流动，本节的重点是对命题3.6中导出的TΔνT（·）导数的局部能量估计。

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nandehutu2022

2022-6-11 05:28:07

利用这一点和下面的两个引理，推论3.7表明νtin fact具有光滑的密度vt。最后，我们通过能量估计和Sobolev嵌入的特定形式完成命题3.2的证明，这在导数上给出了合适的局部逐点边界，保证了（0，∞).引理3.4（弱导数的存在）。假设lim infδ→0公里nxTδuk<∞. 那么u有一个n次弱导数nxu∈ L（0，∞) 和knxTδuk→ knxukasδ→ 0.证明。自lim infδ→0公里nxTδuk<∞, 一个标准的弱紧性论证给出了(nxTδu）δ>0收敛于强极限h=nxuin L（0，∞), 和khk≤lim infδ→0公里nxTΔuk。此外，我们可以检查nxTδu（x）=hu，nxGδ（·，x）i=(-1） nhu，nxGrδ（·，x）i=（Trδ(nu））（x）=Trδh。但Trδ是一个L-收缩，因此我们推断lim supδ→0公里nxTδuk≤ khk和henceknxTΔuk收敛于khk。无论初始条件ν如何，[15，第2.1项]表明，νthas为有界密度Vt：（0，∞) → (0, ∞) 对于所有正时间t>0。此外，如果ν的密度为L，那么我们可以控制每个vt的Lnorms，这将作为下面推论3.7中归纳论点的基本情况。引理3.5。如果ν的密度为V∈ L（0，∞), 然后kVtk≤ kVk每t≥ 0.证明。在[15，Prop.2.1]的证明中，我们得到vt（x）≤^∞√2πte-（十）-x+αLt）2tV（x）dx≤^∞√2πte-（十）-x+αLt）2tV（x）dx其中第二个不等式来自Cauchy–Schwarz。对x进行平方和积分得到结果。3.3.1命题3.2Let hνt的证明，φi：=\'φ（x）νt（dx）=E[φ（Xt）1t<τ]，对于本节的其余部分，让t？对于L的第一个跳跃时间，X在时间t？之前是连续的？。

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2022-6-11 05:28:10

因此，将It^o的公式应用于已停止的进程X·∧τ、我们得到了弱PDEhνt，φi=hν，φi+^thνs，φid- α^thνs，φidLs，t∈ [0，t？）用于测试功能φ∈ C（0，∞) φ（0）=0时，我们使用φ（0）=0表示φ（Xt∧τ） =1t<τφ（Xt），对于t<t？。现在取任意ψ的φ：=TΔψ∈ C∞(0, ∞).然后φ∈ C∞(0, ∞), 所以通过部分积分和n次微分，我们可以推断出nxTΔνt（x）=n+2xTδνt（x）dt+αn+1xTrΔνt（x）dLt。对于x≥ 0（a.e.）。使用该d(nxTΔνt）=2nxTΔνt（x）dnxTΔνt（x），和重新排列，wegetdnxTΔνt（x）= nxTΔνt（x）n+2xTδνt（x）dt+2αnxTΔνt（x）n+1xTΔνt（x）dLt（3.5）+4αnxTΔνt（x）n+1xRΔνt（x）dLt，其中我们引入了余项rΔνt（x）：=^∞√2πδe-（x+x）2Δνt（dx）。（3.5）的要点当然是获得TδνT的导数的lestimate。由于我们只对内部正则性感兴趣，因此只需要局部估计，我们可以依赖截断函数来进行我们的论证。为此，我们首先对任意两个开放集U b W b（0，∞), 其中“b”表示紧凑型安全壳。那么，weletζ是一个光滑的切割函数，在U上ζ=1，ζ∈ （0，1）在W\\U上，否则ζ=0。请注意|xζ|+|xxζ|≤ C1W\\U，其中C仅取决于W和U。命题3.6（平滑能量估计）。对于所有整数a≥ 2和b≥ 1我们有TB？kζanxTΔνt？-k+^t？tbkζan+1xTΔνtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxTΔνtkdt+b^t？tb-1kζanxTδνtkdt+o（1），asδ→ 0，其中t？>0 L.Proof的第一次跳转时间。将（3.5）乘以ζA，并使用部分公式^g·f·f=-^g | f |和^g·f·f=-^g | f |+^g | f |，我们得到dkζanxTδνtk+kζan+1xTΔνtkdt=k|xxζa|nxTΔνtkdt- 2αkζanxTΔνtkdLt+4α^∞ζa（x）nxTΔνt（x）n+1xRΔνt（x）dxdLt。自|xζ||xxζ|≤ C、参数η>0且给定dkζa足够小的杨氏不等式nxTδνtk+kζan+1xTΔνtkdt≤ ca（a- 1） kζa-2.nxTΔνtkdt+4αη-1kζan+1xRΔνtkdLt，其中我们使用了aζ（a-1)/2≤ a（a-1） ζ（a-2)/2.

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2022-6-11 05:28:13

差异t 7→ tbkζanxTΔνtkw相对于t，并将积分范围提高到t？givestb？kζanxTΔνt？-k+^t？tbkζan+1xTΔνtkdt+b^t？tb-1kζanxTΔνtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxTΔνtkdt+4αη-1^t？tbkζan+1xRΔνtkdLt。仍需显示上述最终项消失为δ→ 将pδ（·）写入标准高斯变换核，从Rδ的定义可以看出|n+1xRΔνt（x）|≤n+1x^∞pδ（x+y）νt（dy）≤^∞|Q（δ-y、 δ-x） | pδ（x+y）νt（dy），对于双变量多项式Q。注pδ（x+y）≤ pδ（y）·e-x/2δ。应用引理3.4和Cauchy–Schwarz，我们得出结论|n+1xRΔνt（x）|=O（e-x/4δ）在t中均匀分布。由于ζ支撑在W上，kζan+1xRΔνtk=O（e-w/2δ）均匀分布在t中，其中w：=inf w>0。这足以完成证明。由于命题3.6给出了（n+1）次空间导数在次导数方面的控制，我们可以用它归纳证明Vt？-具有同位序的弱导数，因此在（0，∞).推论3.7（平滑度）。如果ν的密度为V∈ L（0，∞), 那么Vt？-∈ C∞(0, ∞).此外，Vt∈ C∞(0, ∞) 几乎所有t∈ （0，t？）和TB？kζanxVt？-k+^t？tbkζan+1xVtkdt≤ ca（a- 1） ^t？tbkζa-2.nxVtkdt+b^t？tb-1kζanxVtkdt。证据修复n≥ 假设对于所有U b W b（0，∞), 一≥ 2n和b≥ n我们有lim infδ→0^t？tbkζanxTΔνtkdt<∞. （3.6）那么Fatou引理和引理3.4意味着NxVT存在，并且对于everyU b（0，∞) 几乎所有的t∈ （0，t？），用^t？tbkζanxTΔνtkdt→^t？tbkζanxVtkdt<∞.因此，在命题3.6中取δ上的lim inf，就可以得出（3.6）对于n+1，对于任何a≥ 2（n+1），b≥ n+1。因为（3.6）适用于n=0和所有a、b≥ 0，通过引理3.5，使用归纳法，我们得出结论，该语句适用于所有n≥ 再次返回到Emma 3.6，我们推断出Lim infδ→0公里nxTΔνt？-kL（U）≤ lim infδ→0kζnnxTΔνt？-k<∞,对于每n≥ 0

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2022-6-11 05:28:16

因此Vt？-在任意点x上具有所有阶的弱导数∈ U、所以在（0，∞), 因为U是任意的。最后，发送δ→ 引理3.6中的0给出了该语句的估计。最后，我们可以完成命题3.2的证明。命题3.2的证明。有必要在第一个跳跃时间证明结果，哪个跳跃时间比t？如上所述。介绍简写符号i（n，a，b）：=^t？tbkζanxVtkdt，其中我们回顾了针对固定U b W b（0，∞). 推论3.7 impliesI（n+1，a，b）≤ ca（a-1） I（n，a-2，b）+bI（n，a，b-1) ≤ （ct？a（a-1） +b）I（n，a-2，b-1).迭代参数givesI（n，2n，n）≤ I（0，0，0）Y1≤我≤n（ct？2i（2i- 1） +一）≤ Cn·（2n）！，对于C>0，常数取决于Vandζ。回到推论3.7我们有TB？kζanxVt？-k≤ （ct？a（a- 1） +b）I（n，a- 2，b- 1).因此，设置a=2n+2和b=n+1 givesknxVt？-kL（U）≤ t型-（n+1）？（ct？（2n+2）（2n+1）+n+1）·Cn·（2n）！=（C） n·（2n）！，对于另一个常数C>0，也取决于t？。自（2n）！≤ 4n（n！），我们得出结论nxVt？-kL（U）≤ （C） n·n！，对于每n≥ 0。（3.7）莫雷不等式【11，第5.6节，第4节】给出了常数c>0，使得KnxVt？-吉隆坡∞（U）≤ ck公司nxVt？-kH（U）≤ （C） n·n！，我们应用了（3.7），对于C>0，另一个常数与n无关。这个不等式保证x 7→ 及物动词？-（x）在U的内部是解析的，因此，由于U b（0，∞) 是任意的，我们得出结论x 7→ 及物动词？-（x）在everyx进行分析∈ (0, ∞).确认。我们非常感谢两位匿名评论员的评论和建议，他们改进了论文的陈述。参考文献【1】M.J.Cáceres、J.A.Carrillo和B.Perthame。非线性噪声积分神经元模型分析：爆破和稳态。J、数学。神经症。，1(7), 2011.[2] V.Calvez、N.Meunier和R.Voituriez。

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2022-6-11 05:28:19

具有边界漂移的一维Keller-Segel方程。C、 R.数学。Acad。Sci。巴黎，348:629–6342010。[3] V.Calvez、R.Hawkins、N.Meunier和R.Voituriez。自发细胞极化的非局部模型分析。暹罗J.应用。数学72: 594–622, 2012.[4] J.A.Carrillo、M.D.M.González、M.P.Gualdani和M.E.Schonbek。计算神经科学中非线性福克-普朗克方程的经典解。Comm.偏微分方程，38:385–4092013。[5] J.A.Carrillo、B.Perthame、D.Salort和D.Smets。计算神经科学中带噪积分和fire模型解的定性性质。《非线性》，28（9）：33652015。[6] R.Cont和E.Schaanning。监测间接传染。《银行与金融杂志》，104:85–1022019年。[7] F.Delarue、J.Inglis、S.Rubenthaler和E.Tanré。McKean-Vlasov型网络集成与火灾模型的全局可解性，Ann。应用程序。概率。25(4):2096–2133, 2015.[8] F.Delarue、J.Inglis、S.Rubenthaler和E.Tanré。具有奇异平均场自激的粒子系统。应用于神经网络，随机过程。应用程序。125(6): 2451–2492, 2015.[9] F.Delarue、S.Nadtochiy和M.Shkolnikov。带爆破的过冷斯特凡问题的整体解：正则性和唯一性。预印本。可在atarXiv获得：1902.051742019。[10] A.Dembo和L.C.Tsai。随机驱动前沿的临界性。拱定额机械。肛门。233: 643–699, 2019.[11] L.C.埃文斯。偏微分方程。研究生学习数学。美国数学学会，2010年。[12] A.Fasano和M.Primicerio。一些经典抛物型自由边界问题的新结果。夸脱应用程序。数学38: 439–460, 1981.[13] A.Fasano和M.Primicerio。Stefan-LikeProblem可解性的一个关键案例。数学冰毒。应用程序。Sci。，5: 84–96, 1983.[14] B.Hambly和S.Ledger。

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