股权债务评估 - 外文文献专区

2022-6-11 09:11:40

基于权益的债务评估Alexander Fromm*+1耶拿大学数学研究所，Ernst Abbe Platz，07 743 Jena，Germany 2019年1月9日摘要我们考虑一类参与权，即公司向对绩效薪酬感兴趣的投资者发行的义务。尽管拥有理想的经济属性，但基于股权的债务义务（EbDO）在会计和合同定价方面带来了挑战。我们在离散时间和连续时间设置中制定并解决相关的数学问题。在后一种情况下，问题归结为一个前向-后向随机微分方程（FBSDE），并使用解耦场方法进行求解。2010年数学学科分类。91G50、91G80、60H30。关键词。参与权、夹层资本、前后向随机微分方程、去耦场。简介基于股权的债务义务（EbDO）是一种参与权形式：它们构成了投资者和公司之间的法律安排，根据该安排，投资者可以获得公司的股份。与普通股相反，EbDO并不构成公司的共同所有权。这在法律上是一种债务形式。同时，债务量不是固定的，而是取决于公司未来的业绩。EbDO在其他类型的参与权中是独一无二的，因为它们提供了对公司未来股权最直接、最可靠的访问：EbDO定义为任何债务，根据该债务，所欠资金在未来某个时刻（到期日）是公司股权的增加函数。在这里，公司的权益定义为其所有资产的总和减去其在给定时刻的所有未偿债务的总量。我们在第1节中讨论了EBDO背后的动机，并将其与其他形式的参与进行了比较。

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2022-6-11 09:11:43

EbDOs的一个关键优势是，公司和各自的投资者可以同时胜负。因此，一方利用另一方的可能性大大降低。*A、 from感谢德国研究基金会通过项目AN 1024/4-1提供的支持。+亚历山大。fromm@uni-耶拿。然而，在实践中使用EBDO存在一个障碍：虽然EBDOI的薪酬是股本的函数，但股本也是未偿EbDOs预期薪酬的函数，因为在计算股本时必须考虑所有债务。因此，公司股本以及未偿EbDO债务的价值并没有明确定义，而只是通过未偿EbDO的支付功能隐含地给出。从数学角度来看，我们面临以下问题：给定一家公司的总股本，即其资产价值减去所有未履行债务的价值，并给出一系列未偿EBDO的薪酬函数，明确计算总股本如何在公司和投资者之间分配，这样，公司剩余的股份（即净股本）在对其应用支付函数时会产生投资者的股份。一个更根本的问题是，在第一个计划中，这一问题有一个独特的解决方案。能够解决这一问题对EbDOs在实践中的适用性至关重要：首先，公司通常有法律义务了解并报告其股票。更重要的是，公司必须在EbDO到期时了解其权益，否则无法确定支付金额。最后，了解grossequity的变化如何影响实际股本非常有用：例如，这将允许公司管理层确定新EbDO的售价。

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2022-6-11 09:11:46

价格必须使公司因募集资金而增加的资产超过未偿债务的增加，从而使实际股本因交易而增加。我们解决了在离散时间模型和连续时间模型下评估EbDO债务和计算净权益的问题。虽然这两种模型各有优缺点，但两种方法都可以在实践中使用。然而，离散时间情况下的计算在数学上不太具挑战性，更容易实现。然而，连续时间模型更灵活，允许扩展到更复杂的问题。在研究连续时间模型的过程中，我们将EbDO债务评估问题简化为向前向后的随机微分方程（FBSDE）。不幸的是，结果系统是耦合的，即前向方程和后向方程都不能独立于另一个方程进行模拟。此外，这种耦合系统不一定是适定的。长期以来，要找到保证给定完全耦合的FBSDE拥有解决方案的条件是一个长期的挑战。例如，在【7】、【11】、【10】、【12】、【3】、【8】中提供了充分的条件（另请参见其中的参考文献）。[4]中开发的解耦领域的方法（另请参见前体文章[9]和[8]）对于确定是否存在解决方案非常有用。解耦场描述了后向部分Y对前向分量X的函数依赖性。如果完全耦合的FBSDE的系数满足Lipschitz条件，则存在一个具有解三元组（X，Y，Z）和具有良好正则性的解耦场的最大非消失区间。

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2022-6-11 09:11:49

解耦场的方法包括分析解耦场梯度的动力学，以确定FBSDE是否在整个时间间隔内有解[0，T]。该方法可以成功地应用于涉及耦合FBSDE的各种问题：在[6]中，构造了具有二维正演方程的二次强耦合FBSDE的解，以获得具有非线性漂移的高斯过程的Skorokhod嵌入问题的解。在[5]中，不完全市场中的效用最大化问题被视为一类效用函数，通过构造相关耦合FBSDE的解来解决。在最近的工作【2】中，该方法用于获得差异系数最优控制问题的解决方案。在本文中，我们遵循类似的方法来证明我们的FBSDE实际上是适定的。本文的结构如下：在第1节中，我们从纯经济学的角度讨论EBDO，并考虑其关键特性。在第二节中，我们用数学方法描述了离散时间内的BDO评估问题。在第三节中，我们解决了离散时间问题，证明了其适定性，并推导了一个简单的数值格式来计算解。在第4节中，连续时间问题以耦合FBSDE的形式表示。由于我们依赖解耦场的方法来研究该系统，因此我们在第5节简要介绍了该方法及其基本理论。最后，第6节显示了第4节中FBSDE解的存在性和唯一性。此外，对于一个简单的示例，显式地获得了解。

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2022-6-11 09:11:52

请注意，我们没有提供一个数值格式来近似第4节中介绍的FBSDE的解：FBSDE的数值处理是一个单独的主题，通常在更一般的上下文中考虑。1 EBDO与导言中提到的其他形式的参与相比，研究基于股权的债务的动机可以称为投资者的参与问题：投资者拥有可以帮助公司实现其生产目标的资产。假设投资者在特定时刻不需要或不使用这些资产，并且可以向公司提供这些资产，前提是其投资有足够的回报。很明显，这种回报应该来自投资者和公司之间的法律安排对公司资产的索赔。问题在于设计合同，使双方都能平均受益或预期受益。任何成功安排的第一个先决条件当然是公司拥有健全的业务战略，这样公司内部的资产可能会因利润而增长。请注意，这些利润往往不仅来源于公司现有的专有技术和专业知识，但事实上，通过投资者的参与，该公司能够积聚各种资源，以首先实施一个非琐碎的生产计划。换言之，资源集中本身，例如通过发行参与权，可以显著提高企业的能力和盈利能力。从数学上讲，利润可以定义为公司股本的及时变化。根据权益的含义（如总权益或净权益），可以进一步区分总利润和净利润。

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2022-6-11 09:11:55

除了对盈利能力的假设外，成功安排的第二个先决条件是对投资者获得公司未来盈利份额的含义有一个明确的定义。同意支付是一个很自然的过程，该支付是从作出安排的那一刻起到安排结束的一段时间内整体盈利的函数明确的到期日。由于目前的权益是已知的，只有未来的权益是一个随机变量，这相当于假设支付是未来权益的函数。与其他参与权不同，EbDO是净权益的函数，而不是任何其他权益概念的函数。请注意，净权益是公司的真实权益，因为这是在考虑并减去所有现有债务（包括未偿EBDO本身）后剩余的权益。我们进一步假设这种支付函数正在增加：未来净股本越大，投资者在到期时获得的收益就越多。假设净资产为零的情况下没有支付也是很自然的。典型的EbDO支付函数ish（y）：=α·（y- y） +，其中y≥ 0，α>0是固定常数，其中·+表示实数的正部分。换句话说，payoff等于α（y- y）如果未来权益y大于y，则后者通常设置为签订合同时的权益。如果y≤ y、另一方面，根本没有报酬。现在假设对于具有支付功能的EbDO，已达到到期日。然后，总股本x，即所有资产减去所有固定资产（即基于非绩效的负债）的总和是已知的或可以直接计算出来的。假设只有一个EbDO，没有其他基于绩效的债务，则值y仍然未知，并由条件y+h（y）=x隐式给出。如果y=0且x>0，则唯一解为y=x1+α。

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2022-6-11 09:11:59

相应地，h（y）=xα1+α。请注意，无论选择Howlageα>0，y均为正值。因此，公司可以发行的ebdo数量没有限制。除EBDO外，还有其他用于基本相同经济目的的参与计划。举个例子，让我们命名普通股、优先股和参与权，其中支付是总股本的函数或总股本在一段时间内的变化。作为一个具体的例子，我们可以考虑payoffh（x）：=α（x- x） +，其中x≥ 0指公司在未来某一固定时刻的总股本。在这种情况下，净权益为y=x- h（x），假设没有其他基于绩效的债务。请注意，α>0不应超过1，否则将发生破产，以获得足够大的收益！与上述备选方案相比，EbDOs是一种优越的解决方案有多种原因，从某种意义上讲，EbDOs作为一种安排，为投资者和公司提供了更好的交易。我们现在简要地讨论了关键优势：可预测性和可测量性：正如我们在以下章节中所看到的，投资者可以根据其对公司（未来）盈利能力的预期，明确计算其作为EbDO持有人的平均收入。这个随机变量的其他力矩也可以计算出来。除此之外，投资者知道随着合同中约定的到期日，付款何时发生。这是一个显著的优势。g、普通股：在后一种情况下，投资者可能不知道何时会支付股息，以及是否会支付任何股息。此外，此类薪酬不一定与公司业绩挂钩：盈利的公司并不立即意味着他们将以股息的形式支付。

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2022-6-11 09:12:02

这很可能取决于管理层和/或其他投资者（股东）的决策，而isoften仅受到特定投资者的显著影响。这可能对少数股东尤其重要。如果该公司没有支付任何股息，并且没有可靠的机制迫使其支付股息，那么持有该公司的股份可能只会让纯粹的投机者感兴趣，而不会让实际投资者感兴趣。激励：EBDO的一个关键优势是，它们可以防止公司与各自投资者之间的利益冲突。这是因为支付是支付后公司剩余部分（以及所有其他支付和/或未来支付的预期价值）的增加函数。因此，在不减少自身净权益的情况下，公司无法采取任何行动来减少支付费用。相反，投资者在不帮助公司成长的情况下，无法采取任何行动来增加其回报。换句话说，公司和投资者“坐在同一条船上”。由此，所有EbDO持有者“坐在同一条船上”。公司的净权益是每个人都希望最大化的参考价值。EBDO的上述属性不容低估，因为它非常适合高管和其他对公司行使控制权或以其他方式影响其经济绩效的人员的薪酬。

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2022-6-11 09:12:05

当每个人都有兴趣增加相同的价值，即净资产时，它会推动这些人进行合作。灵活性：与普通股不同，EbDO可以根据个人投资者的需要量身定制，通过适当选择相应的支付函数和到期日来反映特定投资者的偏好。发行容易：普通股的一个主要问题是稀释：发行的股票越多，预计已发行股票的价值将下降得越多，特别是如果s股以相对较低的价格出售。这意味着，一方面，由于通过公共基金筹集的资金，公司股本增加，但另一方面，现有投资者不一定会从这一增加中受益。鉴于管理层保护现有投资者利益的承诺，没有直接的标准来决定在何种情况下发行新股是合适还是不合适。然而，对于EbDO来说，这个问题不会出现：任何增加公司净资产的行动都对公司和现有EbDO持有人都有好处。换句话说，公司管理层可以自由地集中精力提高净股本，例如通过发行EBDO。它必须只确保没有EbDO低于所谓的风险中性价格出售（见第3节）。这方面的另一个问题出现在以总股本为基础的参与权上：由于所有总股本最终都由现有投资者主张并在现有投资者之间分配，而剩余净股本相比之下变得微不足道，因此可以发行多少此类参与权就有一个自然的限制。

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2022-6-11 09:12:08

同时，公司可能无法通过发行额外参与权筹集更多资金，因为现有投资者仍将获得总股本及其增量的份额，即使新投资者的贡献更大。这可能会导致“投资僵局”，因为公司无法向新投资者提供合理的交易，即不等于现有投资者立即利用新投资者的交易。然而，这一问题在EbDO中并不存在，因为未完成EbDO的总体数量没有自然限制。无论现有的EbDO债务结构如何，总股本都不可能完全“消耗”，从而使净股本达到零：否则EbDO债务也将为零，因此，净股本实际上等于总股本。换句话说，总有容纳新投资者的空间。此外，与基于总股本的参与权不同，该公司不能仅通过EBDO破产。相反，EBDO具有摊销作用，有助于保护公司免于破产。在公司治理方面保持中立：与普通股不同，EBDO不与任何控股权益挂钩。换句话说，他们不构成公司的共同所有权，也无权影响管理层的决策或管理层的组成。虽然一开始人们可能会认为这是一个劣势，但实际上没有，因为由于额外的安排或现有或预定的经理职位，各投资者可能仍然可以对公司行使控制权。一般来说，投资者既没有必要也不总是希望在公司运营中行使控制权和干预权。

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2022-6-11 09:12:11

无论内部公司治理程序是什么，其设计都应确保经济上合理的决策。特别是，公司应由最有能力实现既定业务目标的人来运营。显然，这不一定是提供大量资产的个人或群体。值得注意的是，特别是对于多元化程度较高的投资者，既不希望也不可能对投资组合中的每家公司承担管理责任。相反，如果公司通过股份或参与权筹集资金，从而导致共同所有权，投资者可能不愿意投资，甚至不愿意调查公司是否应该投资：公司可能最终会被未来的投资者控制，这些投资者的身份仍然未知，以至于该投资者被迫购买“麻袋猫”。总之，公司的内部章程、组成和合规标准是一个重要但完全独立的话题。无论所选择的公司设计是什么，公司用于筹集资金的投资工具都不能干扰内部决策机制，或者至少这种干扰不是“硬编码的”。这使您可以自由选择最有效的内部规则和实践。不变性w.r.t.ju Ristion：与普通股不同，EbDO的经济含义始终相同，无论其管辖范围如何。普通股持有人的权利和公司对股东的义务，以及少数股东和多数股东之间的关系可能因司法管辖区而异。此外，正在颁布的新法律可能会改变现有投资的性质。

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能者818

2022-6-11 09:12:14

具有固定到期日和支付功能的明确金融义务形式的参与权大大减少了此类不确定性。税收效率：请注意，一家公司通常就其股本的正变动缴纳公司税，但不一定就总股本的增量缴纳公司税。如果股本总额增加，同时EbDO未偿债务的价值也会增加。这会减少公司的净利润，并影响其必须支付的公司税。根据司法管辖区的不同，这可能会使EBDO（和其他参与权）在公司税收方面比普通股更具吸引力。综上所述，从纯粹的经济角度来看，EBDO是一种非常理想的安排，它将投资者的利益与各公司在给定时期内以最有效和可靠的方式取得的整体经济成功结合在一起。同时，这种安排的性质带来了一个不平凡的评估和会计问题：因为支付是净权益的函数，而净权益取决于支付，两者都不能独立于另一方来确定。换言之，如何在投资者和公司之间分配给定的总股本，从而使投资者的支付成为公司剩余资产的规定函数，这并不是先验的明确。虽然对于特殊情况，例如，如果只有一个投资者且EbDO立即到期，问题的解决方案很简单，但需要一定程度的复杂性来处理一般情况。在以下几节中，我们将在严格的数学环境中阐述、研究和解决这个问题。2具体时间内的问题公式∈ N let 0≤ T<T<…<t确定未来时代。此外，假设∈ {1, . . .

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2022-6-11 09:12:17

，n}有一个支付函数hi：[0，∞) → [0, ∞), 这决定了在时间Ti到期的所有EBDO的总薪酬。该薪酬是公司在Ti时的净资产净值的函数。每个HI都是单调递增的。此外，我们假设所有i的hi（0）=0。否则，我们可以将报酬分成常数部分和从0开始的单调递增部分。然后将固定部分添加到固定债务（即不取决于公司业绩的债务）中，并在计算总股本X时予以考虑≥ 时间0时为0。该值具有确定性，可通过将公司所有资产的价值相加，并从中减去所有非EbDO债务来计算。我们的主要目标是计算时间0时公司的股本年增长率。如果T=0，公司将向T到期的EbDO持有人支付h（Y）金额。更一般地说，必须随时了解公司的当前股权，不仅是为了报告，而且是为了能够知道在给定时刻必须向EbDO持有人支付多少。我们的第二个目标是计算预期薪酬≥ 对于任意i=1，…，在未来时间t成熟的0个EBDO，n、我们用xit表示时间Tiand的总股本X′i：=Xi- hi（Yi）在时间Ti，i=1，…，发生支付后的总股本，n、我们必须有X′n=yn，因为总股本和所有EbDO债务偿还后的净股本一致。与grossequity Xiand一样，净权益Yi和随机变量X′iis要求为非负。我们的计算基础是EbDO债务X=X′之前的当前权益∈ [0, ∞),不同于Xi，Yi，X′i，i=1，n、是一个先验知识，我们称之为0=：T时的总股本。

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2022-6-11 09:12:19

此外，我们必须假设总股本在支付之间演变的动力学。最简单的模型是几何布朗运动模型：我们假设xi等于X′i-1·Zi，其中Zi~ 液态氮u -σ· （Ti- Ti公司-1），σ·（Ti- Ti公司-1)具有上述参数的对数正态分布。u ∈ R决定总股本和σ的趋势∈ [0, ∞) 它在时间上的波动性。因此，当且仅当u=0时，总股本没有漂移（既不向上也不向下）。Zi是确定性的，且仅当σ（Ti- Ti公司-1） =0，否则它是随机的。σ反映了由于公司的内在表现，总股本未来演变的不确定性。我们假设Zi，i=1，n、是独立的随机变量。出于会计目的，有必要假设u=0，因为对未来利润的预期不能包括在当前权益的计算中。投资者可以将u设置为正值，以计算其EbDO的预期薪酬，前提是公司的平均增长率为u/单位时间。然而，这将是一种主观观点，不同于出于会计目的而采取的中立立场。在同样的背景下，我们必须要求易建联∈ {0，…，n}，是鞅。换句话说，当前净权益必须等于已知信息下的未来净权益预期。鞅性质必须保持w.r.t.Fi通过Fi给出：=σ（Zj，j=1，…，i），i∈ {0，…，n}，其中f是平凡的。现在，给定σ，x和pay-o-off函数，在u=0的假设下，计算Yas well asE[hi（Yi）]的问题可以在下一节中解决。该解决方案需要适当的自适应过程Xi、Yi、X′i、i=0。

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2022-6-11 09:12:23

，n，使上述所有内容都得到满足、存在，并且首先是独一无二的。我们指的是这样的Xi，Yi，X′i，i=0，n、作为EbDO评估问题的解决方案。总之，这样的三元组必须满足：1。（Xi），（X′i），（Yi）是非负的，适用于w.r.t.（Fi）i∈{0，…，n}，2。Xi=X′i-1·齐亚。s、就我而言∈ {1，…，n}，3。X′i=Xi- hi（Yi）a.s.为所有我∈ {1，…，n}，4。（一）一∈{0，…，n}是鞅w.r.t.（Fi）i∈{0，…，n}，5。Yn=X′na。s、 X′=X，其中X∈ [0, ∞) 已给出。3在离散时间内解决评估问题我们用Id表示[0]上的身份映射，∞). 让我们定义一个函数fn-1: [0, ∞ ) →[0, ∞) viafn公司-1（x′）：=E[（Id+hn）-1（x′Zn）]，x′≥ 请注意，函数Id+hn等于零，严格递增，因此是可逆的。它的倒数也是严格递增的，并且在零处为零。作为结果n-1: [0, ∞) → [0, ∞) 正在严格增加，以便fn-1(0) = 0. 接下来，我们定义fn-2（x′）：=E[（f-1n-1+hn-1)-1（x′Zn-1） ]，对于任意x′≥ 0.再一次，（f）-1n-1+hn-1)-1定义明确，严格地在零处增加和消失。因此，fn-2具有相同的属性。同样，我们定义了递归的fi-1（x′）：=E[（f-1i+hi）-1（x′Zi）]，x′≥ 0，对于每i=1，n- 这对我来说是正确的∈ {n- 1，n}同样，在设置fn：=Id之后。在这个向后递归的末尾，我们得到f：[0，∞) → [0, ∞). 所有fi：[0，∞) → [0, ∞)严格递增，并在0处消失。我们现在宣称，yc可以简单地计算为f（X）：定理3.1。存在唯一解Xi，Yi，X′i，i=0，n到EbDO evaluationproblem。此外，可以使用以下正向递归显式地获得这些进程：对于X∈ [0, ∞), 设置Y=f（X）和X′=X。然后，对于i∈ {1，…，n}，setXi：=X′i-1·Zi，Yi：=（f-1i+hi）-1（Xi），（1）X′i：=Xi- 嗨（易）。证据

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2022-6-11 09:12:25

首先，请注意，如果（1）的最后两个方程满足Xi，Yi，则随机变量X′iis非负≥ 0：我们有（f-1i+hi）（Yi）=Xi，soX′i=Xi- hi（Yi）=f-1i（彝语）≥ 0，i=1，n、这特别表明递归（1）定义得很好，结果过程不是负的。现在让我们来验证这些过程实际上是问题的解决方案：显然，Xi，Yi，X′iare改编（归纳论点）。注意X′n=f-1n（Yn）=Yn。因为性质Xi=X′i-1·zi和X′i=Xi- 嗨（Yi）是给我们的，我们必须只表明Yi，i∈ {0，…，n}，是鞅，即Yi-1=E[Yi | Fi-1] ：使用金融机构的定义-我们有真正的-1] =E[（f-1i+hi）-1（X′i-1·Zi）| Fi-1] =fi-1（X′i-1），因为σ（Zi）和Fi-1独立且X′i-1可测量w.r.t.Fi-现在如果i=1，我们有fi-1（X′i-1） =f（X′）=Y。否则，X′i-1=f-1i-1（易-1）收益率fi-1（X′i-1） =易-1，验证鞅性质。另一方面，我们可以证明，对于EbDO评估问题的任何解决方案，即对于任何三个非负和自适应过程，Xi，Yi，X′i，i=0，n、这样性质Xi=X′i-1·Zi，X′i=Xi- hi（Yi），Yn=X′n，X=X′，且（Yi）的鞅性质满足，递归（1）必须已经成立：即使不使用我们首次获得的鞅性质Yn=（f-1n+hn）-1（Xn）=（Id+hn）-1（Xn）自Yn=X′n=Xn- hn（Yn）。接下来考虑属性E[Yn | Fn-1] =Yn-1： Us ingYn=（Id+hn）-1（Xn）和Xn=X′n-1·Znwe获得-1=E[（Id+hn）-1（X′n-1Zn）| Fn-1] =fn-1（X′n-1).这意味着f-1n-1（Yn-1） =X′n-1=Xn-1.-hn公司-1（Yn-1），然后得出i=n的（1）-1使用简单的转换。类似地，考虑a j的鞅性质E[Yj+1 | Fj]=yjj∈ {1，…，n- 2} 假设（1）已验证所有i∈ {j+1。

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2022-6-11 09:12:28

，n}。使用Xj+1=X′j·Zj+1，我们得到yj=E[（f-1j+1+hj+1）-1（X′jZj+1）| Fj]=Fj（X′j）。这意味着f-1j（Yj）=X′j=Xj- hj（Yj），然后使用简单的变换得到i=j的（1）。这就完成了一个归纳论点，表明（1）适用于anyi∈ {1，…，n}。最后，考虑E[Y | F]=Ywe获得=E[（F-1+小时）-1（X′Z）| F]=F（X′）=F（X）。备注3.2。值得注意的是，一旦计算出函数fi，就可以使用递归（1）来模拟未来的总股本和净股本。使用MonteCarlo模拟可以直接获得E[hi（Yi）]的估计值。该预期收益表示在时间Ti到期的EBDO的总估计价值。通过执行相同的模拟，但趋势u不同于0，投资者可以在假设公司由于平均预期收益而以u>0的比率执行的情况下，计算或估计预期收益【hi（Yi）】。这允许为每个EbDO分配两个价格：风险中性价格，即假设公司控制下的资产既不增长也不收缩的预期收益，以及市场价格，即投资者根据其对公司未来业绩的预期愿意支付的价格。风险中性价格是要在公司的官方资产负债表中报告的价格，而市场价格是一个主观值，例如，由专业分析师使用。

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2022-6-11 09:12:31

这两个值可能会有很大不同，因为如果没有增长，EbDO可能基本上没有价值，但如果公司在很长一段时间内以稳定的速度增长，直到EbDO成熟，则可能变得非常有价值。风险中性价格和主观市场价格之间的差异是公司与投资者之间达成交易且EbDO按给定价格出售的直接原因：从公司的角度来看，该金额比EbDO更有价值，因为公司必须在其账簿中采取风险中性观点。另一方面，投资者可能会认为EbDO比购买EbDO所支付的固定金额更有价值，因为投资者正以正u工作，从而获得更高的价格。相反，由于对公司未来业绩的预期不佳，投资者可能主要与负u一起工作。在这种情况下，公司和投资者都可能对相反的交易感兴趣，即回购未偿债务。这可能会让公司通过消除未偿债务来改善其资产负债表，而投资者通过出售当前持有的头寸来保护自己免受未来损失。备注3.3。定理3.1证实，解决评估问题的关键是获得函数fi：[0，∞) → [0, ∞ ) 和（f-1i+1+hi+1）-1: [0, ∞) → [0, ∞), i=0，n- 请注意，前者是通过计算期望值从后者获得的。更精确地说，fi（x′）=E[（f-1i+1+hi+1）-1（x′Zi+1）]，对于任何x′≥ 0，其中Zi+1具有对数正态分布。这激发了一个简单的数值方案来计算或近似函数fi：假设我们有fi+1和hi+1的两个分段线性近似，这样这些近似值在零处增加并等于零。

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2022-6-11 09:12:34

我们还假设fi+1的分段线性近似严格递增。然后（f）的相应近似值-1i+1+hi+1）-1也是分段线性的，因为分段线性函数的反函数本身也是分段线性的。它也是严格递增的，并且在零处等于零。通过稍微滥用符号，让我们现在想象一下（f-1i+1+hi+1）-1是分段线性的。这意味着它是函数的线性组合，这些函数要么等于1，要么等于某个区间上的恒等式，要么等于其他任何地方的0。对于给定的x′>0，值E[（f-1i+1+hi+1）-1（x′Zi+1）]可以计算为形式为zbaρ（v）dv和/或zbaevρ（v）dv的积分的线性组合，其中-∞ < a<b<∞ 是显式计算的常数，其中ρ是正态分布的密度。这句话是真的，因为（f-1i+1+hi+1）-1是分段线性的，Zi+1等于应用于正态分布随机变量的指数函数。进一步观察到，可以使用标准正态分布的累积函数来明确计算公式RBAρ（v）dv和RBAEVρ（v）dv的表达式。由于根据上述情况，函数fi（x′）可以为任意给定的nx′显式计算，因此需要先获得fi的严格递增分段线性近似值，然后重复整个过程以获得fi的近似值-1依此类推，直到获得fis的分段线性近似值。虽然上述数值格式很容易实现，但如果存在大量的成熟度Ti：一个新函数fi：[0，∞) →[0, ∞) 需要对每个i进行计算。同时，如果存在如此高密度的到期日，支付流程j 7→Pji=1hi（Yi）可能越来越像一个连续的过程，其支付率是各自净权益的函数。

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2022-6-11 09:12:37

这激发了我们在以下章节中介绍和研究的连续时间模型。4连续时间内的问题公式在连续时间模型下，我们假设EBDO在很多点都不成熟0≤ T<T<…<T及时，但根据速率函数h：[0，T]×[0，∞) → [0, ∞) 在给定的时间周期[0，T]内。换句话说，一段时间内的总薪酬【0，t】，其中t∈ [0，T]由zth（s，Ys）ds给出，其中，Ysis是公司在s时的（先验未知）净权益。这里，T>0大于每个EbDO的到期日，因此所有未偿EbDO在时间间隔[0，T]内到期。请注意，值Ysis将随机确定或建模。事实上，我们的主要目标是计算Y。我们假设h（t，·）是单调递增的，满足h（t，0）=0，其中t∈ [0，T]是任意的。备注4.1。请注意，如果公司在其账簿中有固定到期日支付功能的EbDO，则相关支付（YTi）可近似为εrti-εhi（Ys）ds，一些小ε>0。该近似在数学上符合连续时间设置，支付率函数为（s，y）7→εhi（y）1[Ti-ε、 Ti]（s）。除了支付率h外，我们还有总均衡X≥ 0在时间0作为我们计算的起始点。最后，我们需要及时假设总股本的动态。很明显，总股本由于支付率h（s，Ys）而不断减少。除此之外，我们假设存在无漂移的几何布朗运动的随机波动特征。

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2022-6-11 09:12:40

因此，我们得到X的动态xs=X-Zsh（r，Yr）dr+ZsXr·σdWr，s∈ [0，T]，其中W是布朗运动，其中σ∈ [0, ∞) 是一个固定参数，决定了由于公司的内在绩效，总股本未来演变的不确定性。请注意，我们的工作假设是，公司平均不会收缩，也不会及时增长，因为对未来利润的预期不能包含在计算中，并且已知的未来支出已经包含在x的计算中。这意味着总财富7-→ Xt+Zth（s，Ys）ds是鞅。出于会计目的，我们还必须假设净权益Yt，t∈ [0，T]也是鞅。请注意，XT=YTholds s，因为我们假设在时间T之后没有更多未完成的EBDO。现在，鞅表示定理yieldsYs=XT-ZTsZrdWr，s∈ [0，T]，用一些平方可积过程Z。总之，我们必须求解以下耦合的前后向系统：Xs=X-Rsh（r，Yr）dr+RsσXrdWr，Ys=XT-RTsZrdWr，a.s.适用于所有s∈ [0，T]。（2）为了证明解X，Y的存在性和唯一性，我们使用了所谓的解耦场方法，该方法旨在分析耦合系统。Webrie在下一节中简要介绍了解耦领域的理论。该方法的基石是构建一个依赖时间的随机场u，该场u通过u（s，Xs）=Ys连接X和Y。备注4。2.在介绍我们分析的理论基础，然后在第6节中实际解决上述问题之前，让我们指出，强耦合FBSDE是一种强大而灵活的工具，可以制定和研究比（2）给出的问题更一般、更复杂的问题。例如，有人可能会对一个问题感兴趣，其中报酬率h也取决于ω∈ Ohm 或在总等式X上。

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2022-6-11 09:12:43

研究多维问题也是可能的，其中不同公司的净股本将同时确定，例如，由于两个或多个公司相互持有ebdos。如果有一组关联公司组成一个集团，则可能会发生这种情况。我们将这些考虑和归纳保留到未来的研究中，并将重点放在（2）提供的基本时间连续问题上。5解耦方法作为本文的一个关键结果，我们在第6节中证明了（2）的可解性。即使在h的Lipschitz假设下，由于（2）的耦合性质，证明（2）的适定性也不是微不足道的。我们的意思是，描述X动力学的正向方程通过h依赖于Y，而描述Y动力学的反向方程通过条件yt=XT依赖于X。这意味着这两个过程都不能独立于另一个过程进行模拟或计算。此外，即使在underLipschitz条件下，耦合系统也不总是可解的。因此，有必要考虑更微妙的结构特性来进行证明。我们的论证将基于我们在本节中简要总结的解耦领域的方法。对于固定时间范围T>0，我们考虑一个完整的过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P），其中Fcons包含所有空集，（Wt）T∈[0，T]是一维布朗运动，Ft：=σ（F，（Ws）s∈[0，t]），F：=英尺。

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2022-6-11 09:12:47

FBSDE的动力学由xs=X+Zsu（r，Xr，Yr，Zr）dr+Zsσ（r，Xr，Yr，Zr）dWr，Yt=ξ（XT）给出-ZTtf（r、Xr、Yr、Zr）dr-ZTtZrdWr，用于s、t∈ [0，T]和X∈ R、式中，（ξ，（u，σ，f））是可测函数，ξ：Ohm ×R→ R、 u：[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、 σ：[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、 f:[0，T]×Ohm ×R×R×R→ R、在整个截面u中，假设σ和f相对于（Ft）t可逐渐测量∈[0，T]。与经典解决方案（X、Y、Z）相比，解耦场的结构更加丰富。定义5.1。让t∈ [0，T]。A函数u：[t，t]×Ohm ×R→ R与u（T，·）=ξa.e.对于[T，T]上的（ξ，（u，σ，f）），如果对于所有T，T∈ [t，t]带t≤ tand anyFt可测量Xt：Ohm → R在[t，t]上存在逐步可测量的过程（X，Y，Z），例如xs=Xt+Zstu（R，Xr，Yr，Zr）dr+Zstσ（R，Xr，Yr，Zr）dWr，Ys=Yt-Ztsf（r、Xr、Yr、Zr）dr-ZtsZrdWr，Ys=所有s的u（s，Xs），（3）a.s∈ [t，t]。特别是，我们希望所有积分都得到很好的定义。关于这一定义的一些评论已经到位（3）中的第一个方程称为正向方程，第二个方程称为反向方程，第三个方程称为解耦条件注意，如果t=t，我们得到y=ξ（XT）a.s.作为解耦条件的结果，以及u（t，·）=ξ如果t=t，我们可以说三元组（X，Y，Z）求解FBSDE，这意味着它满足正向和反向方程，以及YT=ξ（XT）。这种关系yt=ξ（XT）被称为终端条件。下面我们需要引入进一步的符号。让我 [0，T]为区间，u:I×Ohm ×R→ 一个映射，使得u（s，·）对于每个s都是可测量的∈ 一、 We definelu，x：=支持∈Iinf{L≥ 0 |对于a.a.ω∈ Ohm : |u（s，ω，x）- u（s，ω，x′）|≤ L | x- x′|对于所有x，x′∈ R} ，其中inf := ∞. 我们还设置Lu，x：=∞ 如果u（s，·）不是每个s都可测量的∈ 我

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2022-6-11 09:12:49

可以显示Lu，x<∞ 相当于u具有在x中真正Lipschitz连续的修改∈ R、我们用Lσ，z表示σw.R.t的Lipschitz常数。依赖于最后一个成分z。我们设置Lσ，z=∞ 如果σ在z上不是Lipschitz连续的，则由L-1σ，z=Lσ，zwe表示Lσ，zif Lσ，z>0和∞ 否则对于可积实值随机变量F，表达式Et[F]表示E[F | Ft]，而Et，∞【F】指ess sup E【F | Ft】，可能是∞, 但始终在所有常数c的范围内定义良好∈ [-∞, ∞] 使E【F | Ft】≤ c a.s.此外，我们编写kF k∞对于| F |的本质上确界。在实践中，对（X，Y，Z）的规律性有明确的认识是很重要的。例如，了解进程所在的空间以及它们如何对初始值的更改作出反应是很重要的。定义5.2。让u：[t，t]×Ohm ×R→ R是（ξ，（u，σ，f））的去耦场。如果Lu，x<L，我们说u是弱正则的-1σ，zand sups∈[t，t]ku（s，·，0）k∞< ∞.2、弱正则解耦域u称为强正则域，如果对于所有固定t，t∈ [t，t]，t≤ t、（3）中出现的过程（X、Y、Z）是唯一且令人满意的过程∈[t，t]Et，∞[| Xs |]+支持∈[t，t]Et，∞[| Ys |]+Et，∞Ztt | Zs | ds< ∞, （4）对于每个常量初始值Xt=x∈ R、此外，要求它们作为（x，s，ω）的函数可测量，甚至是弱可微的w.R.t.x∈ rN对于每个s∈ [t，t]映射xs和y是（x，ω）的可测函数，甚至是弱可微的w.r.t.x，使得ess supx∈Rsups∈[t，t]Et，∞h类|xXs | i<∞,ess supx∈Rsups∈[t，t]Et，∞h类|xYs | i<∞,ess supx∈REt，∞Ztt公司|xZs | ds< ∞. (5)3.

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2022-6-11 09:12:52

我们说，[t，t]上的解耦场在子区间[t，t]上是强正则的如果u限制为[t，t]，则[t，t]是（u（t，·），（u，σ，f））的强正则解耦场。在适当的条件下，可以发展出一个丰富的解耦场的存在性、唯一性和正则性理论。假设（SLC）：（ξ，（u，σ，f））满足标准Lipschitz条件（SLC）if1。（u，σ，f）在（x，y，z）中是Lipschitz连续的，Lipschitz常数为L，2。k（|u|+| f |+|σ|）（·，·，0，0，0）k∞< ∞,3. ξ : Ohm ×R→ R是可测的，使得kξ（·，0）k∞< ∞ 和Lξ，x<L-1σ，z。为了获得全球存在的概念，我们需要以下定义：定义5.3。我们定义了最大区间Imax （ξ，（u，σ，f））作为所有区间的并集给出的问题的[0，T] [0，T]，因此在[T，T]上存在一个弱正则解耦场u。请注意，最大间隔可能向左打开。同样，让我们注意到，我们在这样一个区间上定义了一个解耦场，作为一个映射，它是一个解耦场，一个包含T的非常紧的子区间。同样，我们可以将弱正则解耦域和强正则解耦域定义为限制在包含t的任意紧子区间内的映射，在上述定义的意义上，它们是弱（或强）正则解耦域。最后，我们在最大区间上有全局存在唯一性：定理5.4（[4]，定理5.1.11，引理5.1.12和推论2.5.5）。设（ξ，（u，σ，f））满足SLC。然后在Imax上存在唯一的强正则解耦场u。此外，Imax=[0，T]或Imax=（tmin，T），其中0≤ tmin<T。在后一种情况下，我们有限制↓tminLu（t，·），x=L-1σ，z。

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2022-6-11 09:12:56

（6）此外，对于任何t∈ Imax和任何初始条件Xt=x∈ R在[t，t]满足的情况下，FBSDE有一个唯一的解（X，Y，Z）∈[t，t]E[| Xs |]+支持∈[t，t]E[| Ys |]+EZTt | Zs | ds< ∞.等式（6）允许通过矛盾验证全局存在性，即Imax=[0，T]。我们将此方法视为解耦领域的方法。6求解连续时间问题为了应用上一节的结果，我们需要允许任意实初始值X=X∈ R in（2）。此外，我们通过将h的域设置为零来扩展h的域≤ 最后，我们假设h在x中是一致Lipschitz连续的。在此假设下，问题（2）满足（SLC）。我们使用解耦场的方法来证明[0，T]上存在（2）的解。由于（2）的参数满足（SLC），因此存在一个具有弱正则解耦场u的最大区间Imax（见定理5.4）。在下表中∈ Imax。设（X，Y，Z）=（Xt，X，Yt，X，Zt，X）是初值为X的[t，t]上（2）的解∈ R，使得所有（t，x）的Yt=u（t，Xt）a.s∈ 【t，t】×R。根据强正则性，u是弱可微的w.R.t。初始值x∈ R、在下文中，我们用uxa版本的u w.R.t.x的弱导数来表示，使得它在其存在的所有点与经典导数一致，并且在其他任何地方都与0一致。此外，过程（X，Y，Z）是弱可微的w.r.t.X。我们可以形式上区分（2）中的正向和反向方程。可以验证是否可以改变差异和积分，以及弱导数的链式规则是否适用（见[4]中的a.2和a.3节）。

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2022-6-11 09:12:59

因此，对于每个版本，我们都可以得到(xX，xY，xZ）=(xXt，x，xYt，x，xZt，x）的弱导数，使得对于∈ [t，t](xXs，xYs）是（Xs，Ys）的弱导数，对于每个t∈ [t，t]：xXt=1-Ztthy（s，Ys）xYsds+Zttσ·xXsdWs（7）和xYt=xXT型-ZTt公司xZsdWs，（8）用于P λ-几乎所有（ω，x）∈ Ohm ×R.通过重新定义(xX，xY）分别作为（7）和（8）的右侧，我们得到了过程(xX，xY）对于所有（ω，x）在时间上是连续的，但仍然是x，Y w.r.t.x的弱导数。从现在开始，我们总是假设xX和xY在时间上是连续的。我们还假设∈ [t，t]映射XXT和XT和Ytw的XYTAR弱导数。r、 t.x公司∈ R、尤其是xXt=1 a.s.，几乎所有x∈ R、为了得到弱导数ux的界，我们研究了过程Vt：=ux（t，Xt），t∈ [t，t]。回想一下，对于所有（t，x），Yt=u（t，Xt）a.s∈ [t，t]×R。因此，对于固定的t∈ [t，t]，方程w.r.t.x的两个边的弱导数∈ R必须与P重合 λ空集。弱导数的链式法则（见[1]中的推论3.2或[4]中的引理A.3.1）暗示，对于任何固定的∈ [t，t]，我们对P有 λ-几乎所有（ω，x）xYt公司{xXt>0}=ux（t，Xt）xXt型{xXt>0}=VtxXt型{xXt>0}。（9）现在，选择一个固定的x∈ 如图所示xXt=1 a.s。，（9），（7），（8）满足almostall（ω，t）∈ [t，t]×Ohm 此外，对于t=t，P，几乎可以肯定，（9）是令人满意的。请注意，自xX，xY在时间上是连续的，（7）和（8）实际上对所有t保持不变∈ [t，t]，P-几乎可以肯定。观察Vtis有界，因为uxis有界。现在我们来看看V的动力学。引理6.1。

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2022-6-11 09:13:03

过程（Vt）t∈[t，t]有一个时间连续的版本，这是一个It^o流程。此外，存在一个平方可积渐进过程bZ，使得（V，bZ）是BSDEVt=1的唯一解-ZTtbZsdWs-ZTt公司Vshy（s，Ys）- σbZsds，t∈ [t，t]。证据设τn=T∧ inf{t≥ 电话：xXt型≤n} 。在[t，τn]上，我们有Vt=xYt公司xXt，a.e.因此VHA是一个版本，它是在[t，τn]上的It^o过程。我们用vt=ux（t，x）+ZttbZsdWs+Zttκsdt，t来表示It^oprocess分解∈ [t，τn]。乘积公式得出，on【t，τn】，d（VtxXt）=Vt(-hy（t，Yt）xYtdt+σ·xXtdWt）+xXt型κtdt+bZtdWt+ σ · xXtbZtdt。观察VtxXt=xYt。漂移和扩散系数与系数（8）一致。这意味着：xZt=VtσxXt+XXTBZ与0=-Vthy（t，Yt）xYt+xXtκt+σ·xXtbZt。使用简单的转换，我们得到了bzt=xZt公司xXt型- σVt和κt=Vthy（t，Yt）Vt- σbZt，再次关于随机区间[t，τn]。仍需证明τ：=limn→∞τn=T a.s.到此结束注意，根据（7），xXtsatis fies，on【t，τ】，线性SDEdxXt=αtxXtdt+σxXtdWt，其中αt=-hy（t，Yt）vt是一致有界的。因此xXt型∧τn=expZt公司∧τntαs-σds+Zt∧τntσdWs.现在如果（limn→∞对于某些ω，xXτn）（ω）=0，然后limn→∞|Wt公司∧τn（ω）|=∞ 表示相同的ω。然而，这几乎对所有ω都是错误的。换句话说，持续的过程xxx不以概率1达到0，因此limn→∞τn=T a.s.特别是Vt=xYt公司xXta。e、 V有一个时间连续的版本。在下面，我们假设V是引理6.1的时间连续版本。注意，存在一个概率度量Q~ P使得dqdp=expZTtσdWt-ZTtσdt.根据Girsanov定理WQt：=Wt-Rttσds，t∈ [t，t]是一个布朗运动w.r.t.Q。观察V satifiesvt=1-ZTtbZsdWQs-ZTtVshy（s，Ys）ds，t∈ [t，t]。在新的概率测度下，我们现在证明：引理6.2。对于所有t∈ 我们有a.s。

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