具有背景风险的可能性投资模型

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收藏 2022-06-11

英文标题：
《Possibilistic investment models with background risk》
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作者：
Irina Georgescu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In the study of investment problem, aside from the investment risk the background risk appears. Both the investment risk and the background risk are probabilistically described by random variables. This paper starts from the hypothesis that the two types of risk can be represented both probabilistically (by random variables) and possibilistically (by fuzzy numbers). We will study three models in which the investment risk and the background risk can be: fuzzy numbers, a random variabl-a fuzzy number and a fuzzy number-a random variable. A portfolio problem is formulated for each model and an approximate calculation formula of the optimal solution is proved.
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中文摘要：
在投资问题的研究中，除了投资风险外，还出现了背景风险。投资风险和背景风险都用随机变量进行概率描述。本文从假设这两种类型的风险可以用概率（随机变量）和可能性（模糊数）来表示开始。我们将研究三种模型，其中投资风险和背景风险可以是：模糊数、随机变量（模糊数）和模糊数（随机变量）。对每个模型都建立了一个投资组合问题，并证明了最优解的近似计算公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：General Finance 一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science 计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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Possibilistic_investment_models_with_background_risk.pdf
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2022-6-11 12:39:26

具有背景风险的可能性投资模型irina GeorgescuAcademy of Economic StudiesPiat,a Romana No 6 R 70167，O ciul Postal 22，Bucharest，Romania电子邮件：irina。georgescu@csie.ase.roAbstractIn在投资问题的研究中，除了投资风险外，还出现了背景风险。投资风险和背景风险都用随机变量进行概率描述。本文从假设这两种类型的风险可以用概率（随机变量）和可能性（模糊数）来表示开始。我们将研究三种模型，其中投资风险和背景风险可以是：模糊数、随机变量（模糊数）和模糊数（随机变量）。每个模型都有一个投资组合问题，并证明了最优解的近似计算公式。关键词：可能性风险厌恶、背景风险、模糊数s1简介背景风险对投资者决策的影响是风险管理文献中经常出现的一个主题（参考文献参见[12]、[18]）。[10]、[11]、[12]、[18]、[19]中研究的模型研究了投资风险和背景风险，它们对最优投资组合选择的影响，最优解的计算等。本文的一个基本假设是，投资风险和背景风险都是随机变量。另一方面，在过去几年中，在扎德可能性理论框架下建立的风险管理模型出现了。可能性分布取代随机变量，通常的概率指标（期望值、方差、协方差）被适当的概率指标取代[1]、[5]、[6]、[8]、[13]。

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2022-6-11 12:39:29

一类重要的可能性分布由模糊数[7]、[8]表示，这些模型大多基于模糊数。本文提出了一种可能性背景下的背景风险模型方法。在构建模型时，我们将注意到将投资风险和背景风险联系起来的四种方法。投资风险背景风险1概率可能性2可能性可能性3可能性可能性4概率可能性案例1在[12]第68页中处理。本文将研究其他三个案例。对于每一个模型，都将制定一个关于可能预期效用[1 6]或混合预期效用[17]的优化问题，并证明解的最大计算公式。本文的组织结构如下。第2节介绍了模糊数及其运算和指标（[5]、[7]、[8]、[15]）。在第3节多维可能性扩展效用中，回顾了混合预期效用及其一些性质（[16]、[17]）。这两个概念将用于定义第5节中模型的目标函数- 第4节包含一个不含背景风险的两态可能性模型。它是[12]概率模型的可能性类比，代表了下一节中主题的起点。代理人将初始财富投资于ris k——自由资产（债券）和风险资产（股票）之间，应找到能为其带来最大收益的投资组合。该模型的特点是，股票收益率是一个模糊数，而不是[12]中所述的随机变量。建立了一个可能性条件下的投资组合问题，研究了其最优解及其近似计算。在第5节中，该投资模型包含可能的背景风险。

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2022-6-11 12:39:32

在这里，投资风险和背景风险都是模糊数。投资组合价值将用这两个模糊数表示，模型的目标函数将是[16]意义上的可能性预期。近似值α**最优解的近似值将表示为w.r.t.近似值α*第4节问题的最优解和模糊数的一些可能指标（经验值、方差、协方差）。接下来几节中的投资模型结合了概率论和可能性理论：在第6节中，投资风险是一个模糊数，背景风险是一个随机变量，而在第7节中，投资风险成为一个随机变量，背景风险成为一个模糊数。这两个模型的目标函数被建立为混合预期效用[17]，优化问题的近似解由可能性指标和概率指标的组合表示。在本文的所有模型中，都研究了最优解随投资者风险厌恶程度的变化方式。2模糊数的可能性指标在本节中，我们回顾了[7]、[8]、[5]模糊数的定义、属性及其一些性质。此外，我们还将介绍模糊数的主要指标（期望值、变量和协方差）（见[4]、[6]、[9]、[20]、[23]、[26]）。设X是一组状态。X的模糊子集是函数A:X→ [0, 1]. 如果存在x，则模糊集A是正常的∈ X使得A（X）=1。模糊集A的支持度为supp（A）={x∈ X | A（X）>0}。我们认为X=R。

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2022-6-11 12:39:35

对于γ∈ [0，1]，R的模糊子集的γ–水平集αγ由αγ定义={x∈ R | A（x）≥ γ} 如果γ>0cl（supp（A）），如果γ=0cl（supp（A））是集supp（A）的拓扑闭包 R、如果[A]γ是R中任意γ的凸子集，则称模糊集A为模糊凸集∈ [0, 1].定义2.1如果A是正态、模糊凸、连续且有界支撑，则R的模糊子集A称为模糊数。如果A是一个模糊数，[A]γ=[A（γ），A（γ）]表示所有γ∈ [0，1]和[a（0，a（0）]是a的支撑。模糊点是一个模糊数a，支撑有一个元素。设A，B为两个模糊数，λ∈ R、通过应用Zadeh的扩展原理[25]，我们通过（A+B）（x）=supy+z=xmin（A（y），B（z））（λA）（x）=supλy=xA（y）来定义模糊数A+B和λA，这样，具有真实数的运算扩展到具有模糊数的运算。实数的大多数性质都是为实数保留的。如果[A]γ=[A（γ），A（γ）]，[B]γ=[B（γ），B（γ）]，那么[A+B]γ=[A（γ）+B（γ），A（γ）+B（γ）]，[λA]γ=[λA（γ），λA（γ）]，如果λ≥ 如果λ<0，[λA]γ=[λA（γ），λA（γ）]。如果A，Anare fuzzy数和λ，λn∈ 然后可以考虑模糊数nxi=1λiAi。一个非负单调递增函数f:[0，1]→ 如果R满足正态条件rf（γ）dγ=1，则R为加权函数。我们定义了模糊数a和加权函数f，使得对于llγ，[a]γ=[a（γ），a（γ）]∈ [0, 1].定义2.2【13】A的f加权概率预期值定义为（f，A）=R（A（γ）+A（γ））f（γ）dγ。如果f（γ）=γ的2γ∈ [0，1]那么E（f，A）是[4]中引入的可能性平均值。如果A，…，则在2.3中提出建议，Anare模糊数与λ。

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2022-6-11 12:39:38

，λn∈ R thenE（f，nXi=1λiAi）=nXi=1λiE（f，Ai）。备注2.4如果A是模糊数，则E（f，A）∈ [a（0），a（0）]=补充（a）。定义2.5【1】，【26】A的f加权可能性方差由v ar（f，A）=R[（A（γ））定义- E（f，A））+（A（γ）- E（f，A））]f（γ）dγ。定义2.6【1】，【26】设A，B为两个模糊数，使得对于任意γ，【A】γ=【A（γ），A（γ）】，【B】γ=【B（γ），B（γ）】∈ [0, 1]. A和B的f加权协方差由cov（f，A，B）=R[（A（γ））-E（f，A））（b（γ）-E（f，B））+（a（γ）-E（f，A））（b（γ）-E（f，B））]f（γ）dγ。对于f（γ）=2γ，γ∈ [0，1]可能性方差和可能性方差的概念出现在[4]中。关于2.7[15]Cov（f，A，B）=R[A（γ）B（γ）+A（γ）B（γ）]f（γ）dγ的建议-E（f，A）E（f，B）推论2.8 V ar（f，A）=R[A（γ）+A（γ）]f（γ）dγ- E（f，A）3多维预期效用在本节中，我们回顾了多维可能性预期效用[16]和混合预期效用[17]的定义和一些性质。让u：Rn→ R是C类的n维效用函数。如果~X=（X，…，Xn）是一个随机向量，那么u（~X）=u（X，…，Xn）是一个随机变量，其期望值M（u（~X））称为~X w.R.t.u的（概率）期望效用。概率期望效用的概率对应物是与可能性向量相关的概率期望效用，加权函数和效用函数。可能性向量的形式为A=（A，…，An），其中每个复合元都是一个模糊数。我们确定了权重函数f和效用函数u:Rn→ R、设~A=（A，…，An）是一个可能性向量，使得对于任何γ，[Ai]γ=[Ai（γ），bi（γ）]∈ [0，1]和i=1，n、我们表示~a（γ）=（a（γ），an（γ））和~b（γ）=（b（γ），bn（γ））。当随机变量X出现时，可以推断它被报告到概率空间(Ohm, K、 P）其中Ohm R

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2022-6-11 12:39:41

X的预期值将表示为M（X）。本文中的所有效用函数都将具有C类定义3.1[16]A w.r.t.f和u的可能预期效用由（1）E（f，u（~ A））=r[u（~ A（γ））+u（~ b（γ））]f（γ）dγ定义。备注3.2如果n=1，则发现[14]中的一维预期效用定义为：（2）E（f，u（A））=R[u（A（γ））+u（b（γ））]f（γ）dγ。备注3.3设n=1。（i）如果u：R→ R是E（f，u（A））=E（f，A）时的单位函数。（ii）如果u（x）=（x- E（f，A））表示所有x∈ R然后E（f，u（A））=V ar（f，A）。（iii）如果λ∈ R和u（x）=λ，对于所有x∈ R然后E（f，u（A））=λ。备注3.4设n=2，u（x，y）=（x- E（f，A））（y- E（f，A））表示所有x，y∈ R、然后E（f，u（A，A））=Cov（f，A，A）。关于3.5[16]的建议设g，h为两个n维效用函数和a，b∈R、如果u=ag+bh，则E（f，u（~ A））=aE（f，g（~ A））+bE（f，h（~ A））。混合向量的形式为（~ A，~ X）=（A，…，An，X，…，Xm），其中~ A=（A，…，An）是概率向量，~ X=（X，…，Xm）是随机向量。让u：Rn+m→ R是一个效用函数，（~ a，~ X）是一个混合向量。假设γ的[Ai]γ=[Ai（γ），bi（γ）]∈ [0，1]和i=1，n、对于任何γ∈ [0，1]wedenoteu（~ a（γ），~ X）（ω）=u（a（γ），an（γ），X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohmu（~ b（γ），~ X）（ω）=u（b（γ），bn（γ），X（ω），Xn（ω）），ω∈ Ohm通过这些，我们定义了两个函数u（~ a（γ），~ X）：Ohm → R和u（~ b（γ），~ X）：Ohm →显然是随机向量。定义3.6【17】设（~ A，~ X）为混合向量。（A，~ X）w.r.t.f和u的混合预期效用由（3）E（f，u（~ A，~ X））=r[M（u（~ A（γ），~ X））+M（u（~ b（γ），~ X））]f（γ）dγ定义。混合扩展效用同时推广了可能性期望效用和概率期望效用。关于3.7[17]的建议设g，h为两（m+n）维效用函数anda，b∈ R

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nandehutu2022

2022-6-11 12:39:44

如果u=ag+bh，则E（f，u（~ A，~ X））=aE（f，g（~ A，~ X））+bE（f，h（~ A，~ X））。4可能性投资模型【12】第65页介绍了概率投资模型，其中在固定期限内，代理人将财富投资于无风险资产和风险资产。无风险资产被解释为政府债券，风险资产被解释为股票。瑞斯基资产的回报率是一个随机变量。在实际期限结束时，代理人将全部财富进行投资。代理人的问题在于发现资产和股票之间的分配，从而实现最大收益。在本节中，我们将研究[12]模型的可能性版本，该模型基于风险资产回报率是模糊数的假设。设r为债券的无风险回报，x为股票回报的价值。代理人将α投资于s股票和w- α在键中。根据第66页【12】的规定，投资组合的价值（w- α、 α）期末为（w- α）（1+r）+α（1+x）=w（1+r）+α（x- r） =w+α（x- r）其中，w=w（1+r）是从债券中获得的未来财富。在我们研究的可能性模型中，x是一个模糊数a的值。我们将函数（1）g（α，w，x）=w+α（x- r）如果模糊数A是股票收益率，那么投资组合的价值（w-α、 α）在每iod的末尾由模糊数g（α，w，A）=w+α（A）描述- r）。我们确定了权重函数f。

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能者818

2022-6-11 12:39:47

我们假设代理具有递增和凹的效用函数u:R→ C类R，[A]γ=[A（γ），A（γ）]，γ∈ [0, 1].我们构造了函数：（2）h（α，w，x）=u（g（α，w，x））=u（w+α（x- r））然后是与投资组合相关的平均收益（w- α、 α）将是与f、A和h相关的可能预期效用：K（α，w）=E（f，h（α，w，A））=R[h（α，w，A（γ））+h（α，w，A（γ））]f（γ）dγ乘以（2）（3）K（α，w）=R[u（g（α，w，A（γ））+u（g（α，w，A（γ））]f（γ）dγ投资者的选择表m*使得（4）K（α*, w） =4.1（i）上的最大αK（α，w）命题函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α*是（4）i fff的最佳解决方案K（α*,w）α= 0.证据（i）通过（3）我们获得K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））g（α，w，a（γ））α+u′（g（α，w，a（γ）））g（α，w，a（γ））α] f（γ）dγButg（α，w，x）α=x- r、因此（5）K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）- r） +u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） ]f（γ）dγ从（5）开始，然后是（6）K（α，w）α=R[u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） +u′（g（α，w，a（γ）））（a（γ）-r） ]f（γ）dγ函数u是凹的，因此u′（g（α，w，a（γ）））≤ 0和u′（g（α，w，a（γ）））≤0，因此（6）表示K（α，w）α≤ 0表示任何α。那么K（α，w）是凹面α。（ii）遵循（i）。以下结果是Mossin（21）定理的可能版本。4.2中的建议假设u′>0且u′<0。（i）如果E（f，A）=r，则α*= 0。（ii）如果r<E（f，A），则α*> 0.证明。（i）我们不认为g（0，w，x）=w，因此从（5）可以得出K（0，w）α=R[u′（w）（a（γ））- r） +u′（w）（a（γ）- r） ]f（γ）dγ=u′（w）r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγ=u′（w）（E（f，A）- r）如果E（f，A）=r，则K（0，w）α=0，然后根据命题4.1（ii），α*= 0是（4）的最佳解。（ii）荒谬地假设α*≤ 从r<E（f，A）和u′（w）>0，它如下K（0，w）α=u′（w）（E（f，A）-r） >0。由于u′小于0，K（α，w）α在α中减少。相应地，α*≤ 0表示0=K（α*,w）α≥K（0，w）α> 0.

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可人4

2022-6-11 12:39:52

矛盾表明α*> 以下结果建立了最优解α的近似计算公式*问题（4）的。关于4.3α的建议*≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）证明。我们将一阶泰勒近似写成u′（w+α（x- r））在w周围：u′（g（α，w，x））=u′（w+α（x- r）（）≈ u′（w）+α（x- r） u′（w）然后，考虑ACCOUNT（5）K（α，w）α≈R[（u′（w）+α（a（γ））- r） u′（w））（a（γ）- r） ]f（γ）dγ++r[（u′（w）+α（a（γ）- r） u′（w））（a（γ）- r） ]f（γ）dγ，表示i=r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγI=R[（a（γ））- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ如下K（α，w）α≈ u′（w）I+αu′（w）I。我们计算I和I：I=Ra（γ）+a（γ）f（γ）dγ- r=E（f，A）- rI=R[α（γ）+α（γ）- 2r（a（γ）+a（γ））+2r]f（γ）dγ=R[a（γ）+a（γ）]f（γ）dγ- 2rRa（γ）+a（γ）f（γ）dγ+rBy推论2。8，R[a（γ）+a（γ）]f（γ）dγ=V ar（f，a）+E（f，a），thusI=V ar（f，a）+E（f，a）- 2rE（f，A）+r=V ar（f，A）+（E（f，A）- r）那么K（α，w）α≈ u′（w）（E（f，A）- r） +αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]考虑到这一关系，方程式的近似解K（α*,w）α=0的形式为α*≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）。我们都从[2]、[3]、[2]中得到了效用函数u的箭头-普拉特指数：（7）ru（w）=-u′（w）u′（w）对于任何w∈ R、然后从命题4.3得出（8）α*≈ru（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）考虑两个具有一维效用函数u的agent，通常u′>0，u′>0，u′<0，u′<0。我们用r（w）=ru（w）和r（w）=ru（w）表示u和u的Arr-ow-Pratt指数。我们从[12]第14页回忆起，u比u-ffr（w）更厌恶风险≥ r（w）表示任何w∈ R、推论4.4 Letα*, α*对于效用函数uan和u，是问题（4）的最优解。如果代理ui比uthenα更厌恶风险*≤ α*.证据

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大多数88

2022-6-11 12:39:54

α的近似公式（8）*和α*已应用。推论4.5如果箭头-普拉特指数ru（w）减小，则α*（w）财富在增加。5可能性背景风险在下文中，我们将研究一个双资产模型，该模型对应于比前一节中更复杂的情况。在模型的初始数据中，除了财富w之外，还承认存在一种可能性类型的“背景风险”。我们的模型将是[12]第68页中模型的可能版本，其中背景风险由一个随机变量描述。在【12】的解释中，背景风险可能与劳动力公司有关。如第4节所述，age nt投资财富赢家债券和股票。债券的收益率是实数r，股票的收益率是模糊数rA。添加由模糊数B表示的背景风险。代理将和α投资于股票和w- α在键中。我们确定了权重函数f。乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设对于任何γ，模糊数A和B的等级集的形式为[A]γ=[A（γ），A（γ）]，[B]γ=[B（γ），B（γ）]∈ [0 , 1].我们构造了以下函数：（1）g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r）（2）h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））=u（w+y+α（x- r））函数h（α，w，，..）将被视为二维效用函数（变量为x，y），α，w为参数。然后，模糊数g（α，w，A，B）将是投资组合（w）的值-α、 α）在冲突结束时。

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2022-6-11 12:39:58

我们还考虑与投资组合相关的可能性预期效用（w- α、 α）：（3）K（α，w）=E（f，h（α，w，A，B）），那么投资者的问题是确定α**其中（4）K（α**, w） =最大αK（α，w）。根据（3）、（2）和定义3.1，我们得到K（α，w）=R[h（α，w，a（γ），b（γ））+h（α，w，a（γ），b（γ））]f（γ）dγ=R[u（g（α，w，a（γ），b（γ））+u（g（α，w，a（γ），b（γ））]f（γ）dγ，从这种形式的K（α，w）中可以立即得到（5）K（α，w）α=Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ））（a（γ）- r） f（γ）dγ++Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ（6）K（α，w）α=Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ++Ru′（g（α，w，a（γ），b（γ）））（a（γ）- r） f（γ）dγ乘（5）和（6）我们可以证明：5.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α**是（4）i ff的解决方案K（α**,w）α= 0.关于5.2α的建议**≈ α*-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r）证明。我们考虑u′（w+y+α（x））的一阶近似-r））w周围：u′（g（α，w，x，y））=u′（w+y+α（x- r）（）≈ u′（w）+u′（w）[y+α（x- r） ]f（γ）dγ那么，通过（1）我们可以写K（α，w）α≈R[u′（w）+（b（γ）+α（a（γ））- r） u′（w）]（a（γ）- r） f（γ）dγ+r[u′（w）+（b（γ）+α（a（γ）- r） u′（w）]（a（γ）- r） f（γ）dγ==u′（w）I+u′（w）I+αu′（w）I其中I=r[a（γ）+a（γ）- 2r]f（γ）dγI=R[b（γ）（a（γ））- r） +b（γ）（a（γ）- r） ]f（γ）dγI=r[（a（γ）- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ，根据第4.3条的证明，I=E（f，A）- r和I=V ar（f，A）+（E（f，A）- r）。

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2022-6-11 12:40:00

我们计算I：I=R[a（γ）b（γ）+a（γ）b（γ）]f（γ）dγ- rRb（γ）+b（γ）f（γ）dγ。根据命题2.7R[a（γ）b（γ）+a（γ）b（γ）]f（γ）dγ=Cov（f，a，b）+E（f，a）E（f，b）thusI=Cov（f，a，b）+E（f，a）E（f，b）-rE（f，B）=Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r）通过替换I、I和IIin的近似表达式K（α，w）αWegetK（α，w）α≈ u′（w）（E（f，A）- r） +u′（w）[Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） ]+αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]通过这最后一个关系，方程的近似解K（α**,w）α=0isα**≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r）根据命题4.3α**≈ α*-Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r）。推论5.3两个代理的Let u，ube一维效用函数。假设u′>0，u′>0，u′<0，u′<0。Letα**, α**是问题（4）的解决方案，如果代理UI比uthenα更厌恶风险**≤ α**.证据采用提案5.2和第4.4条。推论5.4如果u的Arrow–Pratt指数下降，则α**（w）财富在增加。根据直觉，在股票产生的风险中加入背景风险，应该会使代理人减少对股票的投资，因此α**≤ α*. 以下结果给出了一个必要且有效的条件，使得α**≤ α*.关于5.5α的建议**≤ α*i ffer公司≤Cov（f，A，B）+E（f，A）E（f，B）E（f，B）证明。注意到V ar（f，A）+（E（f，A）- r）≥ 0，根据位置5.2，下一个等效值如下：α**≤ α*i off Cov（f，A，B）+E（f，B）（E（f，A）- r）≥ 0i ff r≤Cov（f，A，B）+E（f，A）E（f，B）E（f，B）6一个具有概率背景风险的可能性模型在本节中，我们将研究一个具有以下初始数据特征的双资产模型：o公司投资收益率为r的财富赢债券和收益率为模糊数A的股票o存在由随机变量YWe fix A加权函数f描述的背景风险。

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可人4

2022-6-11 12:40:03

乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设γ的[A]γ=[A（γ），A（γ）]∈ [0, 1]. 我们考虑第5节中定义的函数和hde:g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r），h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））在我们的模型中，优化问题的目标函数将是以下混合d预期效用（对应于混合向量（A，y））：（1）K（α，w）=E（f，h（α，w，A，y）），然后优化问题将是（2）K（α, w） =最大αK（α，w）根据定义3.6，K（α，w）写为（3）K（α，w）=[M（u（g（α，w，a（γ），Y））+M（u（g（α，w，a（γ），Y）））]f（γ）dγ常见计算结果（4）K（α，w）α=R（a（γ）- r） M（u′（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）+r（a（γ）- r） M（u′（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）（5）K（α，w）α=R（a（γ）- r） M（u′）（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）+r（a（γ）- r） M（u′）（g（α，w，a（γ），Y）））f（γ）d（γ）与（4）和（5）可以证明6.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α问题（2）的解决方案是否有效K（α,w）α= 0.Letα*是第4节问题（4）和α的解决方案上述问题（2）的解决方案。关于6.2α的建议≈ α*-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r）证明。

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kedemingshi

2022-6-11 12:40:06

使用近似u′（g（α，w，x，y））≈ u′（w）+（y）+α（x-r））u′（w）从（4）得到K（α，w）α≈R（a（γ）- r） f（γ）M（u′（w）+u′（w）（Y+α（a（γ））- r）））dγ+r（a（γ）- r） f（γ）M（u′（w）+u′（w）（Y+α（a（γ））- r）））dγ=r（a（γ）- r） f（γ）[u′（w）+u′（w）M（Y）+αu′（w）（a（γ）- r） ]dγ+r（a（γ）- r） f（γ）[u′（w）+u′（w）M（Y）+αu′（w）（a（γ）- r） ]dγ表示命题4.3I=r[a（γ）+a（γ）的证明- 2r]f（γ）dγ=E（f，A）- rI=R[（a（γ））- r） +（a（γ）- r） ]f（γ）dγ=V ar（f，A）+（E（f，A）- r）那么K（α，w）α≈ （u′（w）+u′（w）M（Y））I+αu′（w）I==[u′（w）+u′（w）M（Y）]（E（f，A）- r） +αu′（w）[V ar（f，A）+（E（f，A）- r） ]通过这最后一个关系，方程的最优解K（α,w）α=0是α≈ -u′（w）u′（w）E（f，A）-rV ar（f，A）+（E（f，A）-r）-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r） =α*-M（Y）（E（f，A）-r） V ar（f，A）+（E（f，A）-r）推论6.3 Let u，ube两个u′>0，u′>0，u′<0，u′<0和α的一维效用函数, αUAN和u的问题（2）的解。如果代理UI比uthenα更厌恶风险≤ α.证据根据命题6.2和推论4.4。推论6.4如果效用函数f的Arrow–Pratt指数递减为α（w）财富在增加。证据根据命题6.2和推论4.5。推论6.5α*≤ αi f M（Y）（E（f，A）- r）≤ 0.7具有可能背景风险的概率模型本节讨论的两种资产模型具有以下特点：o代理人将收益率为r的财富赢债券投资于回报率为X的股票o背景风险由模糊数BWe fix A加权函数f表示。乐图：R→ R是agent的效用函数（C类，递增和凹）。假设γ的[B]γ=[B（γ），B（γ）]∈ [0, 1].

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能者818

2022-6-11 12:40:09

我们考虑函数g（α，w，x，y）=w+y+α（x- r），h（α，w，x，y）=u（g（α，w，x，y））。h（α，w，，.）是一个二维效用函数，（X，B）是一个混合向量。该模型优化问题的目标函数为以下混合期望效用：（1）K（α，w）=E（f，h（α，w，X，B））与投资组合相关的优化问题（w- α、 α）为（2）K（α▽, w） =最大αK（α，w）根据定义3.6，K（α，w）具有以下表达式K（α，w）=R[M（h（α，w，X，b（γ））+M（h（α，w，X，b（γ））]f（γ）dγ=R[M（u（g（α，w，X，b（γ））+M（u（g（α，w，X，b（γ））]f（γ）dγ从该等式立即得出：（3）K（α，w）α=RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ++RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ（4）K（α，w）α=RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]f（γ）dγ++RM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） [f（γ）dγ考虑到（3），（4）和u是凹的，我们可以很容易地证明7.1上的命题（i）函数K（α，w）在α中是凹的。（ii）实数α▽是（2）i ff的解决方案K（α▽,w）α= 0.关于7.2解α的近似值的建议▽问题（2）由（5）α给出▽≈ -u′（w）u′（w）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r）】。证据这里我们将使用近似值u′（g（α，w，x，y））≈ u′（w）+（y）+（x- r） α）u′（w）。

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nandehutu2022

2022-6-11 12:40:13

ThenM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]≈≈ M[u′（w）（X- r） +u′′（w）b（γ）（X）- r） +αu′（w）（X- r） ]==u′（w）（M（X）- r） +u′（w）b（γ）（M（X）- r） +αu′（w）M[（X- r） ]和类似的LYM[u′（g（α，w，X，b（γ）））（X- r） ]≈≈ u′（w）（M（X）- r） +u′（w）b（γ）（M（X）- r） +αu′（w）M[（X- r） ]由（4）得出K（α，w）α≈ u′（w）（M（X）- r） +u′（w）（M（X）- r） Rb（γ）+b（γ）f（γ）dγ++αu′（w）M[（X- r） ]综上所述K（α，w）α≈ u′（w）（M（X）-r） +u′（w）E（f，B）（M（X）-r） αu′（w）M[（X- r） ]然后方程K（α▽,w）α=0具有近似解α▽≈ -u′（w）u′（w）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r）】。备注7.3使用箭头–Pratt指数ru（w），（5）可写为（6）α▽=ru（宽）M（X）- rM[（X-r） ]-E（f，B）（M（X）-r） M[（X-r）】。推论7.4设u，ube两个u′>0，u′>0，u′<0，u′<0和α的一维效用函数▽, α▽uan和u问题（2）的解。如果agent ui比uthenα更具风险规避性▽≤ α▽.8结论本文提出了三种具有两个风险成分的投资模型：投资风险（股票）和背景风险（劳动收入）。投资风险和背景风险可以是随机变量的概率性，也可以是模糊数的可能性。[1 2]中的概率方法假设两种类型的风险都是随机变量。本文的模型涵盖了其他三种可能性。第一个模型是完全可能的：两种类型的风险都是模糊数。优化问题是根据[16]的可能性预期效用的概念来表述的。其他两种模型是混合的：一种是概率型（随机变量），另一种是可能性型（模糊数）。这里的优化问题是由[17]的混合期望效用的概念来表述的。对于这三种模型，都给出了最优解的近似计算公式。

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大多数88

2022-6-11 12:40:16

这些用投资者效用函数的箭头-普拉特指数[3]、[21]和一些可能性或概率指标（预期值、方差、协方差）表示。这些保证了计算效率，但由于近似而产生的误差评估仍然是一个公开的问题。最后，将这些模型应用于重要的实际情况仍然是未来可能研究的主题。这将导致四种投资模式的比较，这可能会向投资者建议使用其中一种模式。参考文献【1】S.S.Appadoo，A.Thavenewaran，《模糊数的可能矩生成函数及其应用》，《模糊集合与系统的进展》，第6卷，第1期，第33-62期，2010年6月【2】K.J.Arrow，《风险承受理论的方方面面》，赫尔辛基：Yri¨oJahnssonin S¨A¨ati¨o，19 65【3】K.J.Arrow，《风险承受理论论文》，荷兰北部，阿姆斯特丹，1970年【4】C.Carlsson，R.Full'er，关于模糊数的可能性均值和方差，模糊集系统。，122，200 1，31 5–326【5】C.C arlsson，R.Full'er，《决策可能性》，Springer，2011【6】C.Carlss on，R.Full'er，P.Majlender，O n可能性相关性，FuzzySets系统。，155，200 5，42 5–445【7】D.Dubois，H.Prade，《模糊y集与系统：理论与应用》，学术出版社，纽约，1980【8】D.Dubois，H.Prade，《可能性理论》，Plenum出版社，纽约，1988【9】D.Dubois，H.Prade，《模糊数的平均值》，模糊集系统。，，198 7，27 9–300【10】N.Doherty，H.Schlesinger，《不完全市场中的最优保险》，J.政治经济学，91，198 3，1045–1051【11】L.Eeckhoudt，C.Gollier，H.Schlesinger，《背景风险和风险承担行为的变化》，计量经济学，641996，683–690【12】L.Eeckhoudt，C.Gollier，H.Schlesinger，《风险下的经济和金融决策》，普林斯顿大学预科，2005【13】R。

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可人4

2022-6-11 12:40:19

Full'er，P.Majlender，关于模糊数的加权概率均值和变量，模糊集系统。，136，200 3，36 3–374【14】I.Georgescu，《风险规避的可能性方法，软计算》，152011，795–801【15】I.Georgescu，《可能性理论与风险》，Springer，2012【16】I.Georgescu，J.Kinnunen，《多维可能性风险规避，数学与计算机建模》，542011，689–696【17】I.Georgescu，J.Kinnunen，具有混合参数的多维风险规避，第六届IEEE应用计算智能和信息学国际研讨会（SACI 2011），5月19-21日，20-11日，罗马尼亚蒂米斯瓦拉，第63-68页【18】L.Guiso，M.Paiella，风险规避，财富和背景风险，J.欧洲经济协会，6，2008，1109-1150【19】J.J.Laffont，不确定性和信息经济学，麻省理工学院出版社，剑桥，1993年[20]P.Majlender，《可能性理论与决策支持的规范方法》，博士论文，图尔库计算机科学中心，2004年[21]J.Mossin，《理性保险与采购的各个方面》，J.Political Economics，761968，533-568[22]J.Pratt，《小风险与大风险均衡，计量经济学》，321964122-130[23]A.Thavenewaran，S.Appadoo，A.Paseka，《模糊数的加权可能矩及其在GARCH建模和期权定价中的应用》，数学和计算机建模，492009，352–368【24】L.A.Zadeh，模糊集，信息和控制，81965，22 8–253【25】L.A.Zadeh，模糊集作为可能性理论的基础，模糊集系统。，1，197 8，3–28【26】W.G.Zhang，Y.L.Whang，《模糊数的可能方差和协方差的比较研究》，基础信息学，792007257–263

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