随机利率模型下GMWB可变年金的征税

2022-6-14 03:50:58

随机利率模型中GMWB可变年金的征税Andrea Molent*摘要可变年金的税收建模一直被忽视，但考虑到它可以显著改善对提取动态的解释，并导致更好地建模这些保险产品的财务成本。Moenig和Bauer【19】在考虑采用GMWB可变年金时，首先观察到了纳入税收模型的重要性。特别是，他们考虑使用simpleBlack-Scholes动力学来描述潜在的安全性。然而，正如Goudenège等人所观察到的那样，GMWB是长期产品，因此考虑随机利率对财务评估和政策持有人行为都有相关影响。本文研究了这两个要素在GMWB评估中的结果。为此，我们开发了一个数字框架，该框架可以有效地计算保单的公允价值。数值结果表明，考虑税收和随机利率对GMWB合同的退出策略和成本有决定性影响。此外，这可以解释为什么这些产品在寻求退休投资保护形式的人们中如此受欢迎。关键词：可变年金、税收、随机利率、最优提取、树方法。*意大利乌迪内大学经济统计科学研究部-andrea。molent@uniud.it1简介可变年金是具有保险范围的递延税款投资合同。过去几年，全球此类产品的市场一直在稳步增长，2019年在美国创下了2008年以来的最佳销售年。

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2022-6-14 03:51:01

据安全退休研究所（Secure Retirement Institute）[27]，2019年可变年金销售额超过1000亿美元，几乎占年金总销售额的一半。在本文中，我们重点关注一种特殊类型的可变年金，称为Gua ranteed最低提取福利（GMWB），它承诺在保单有效期内通过现金提取的方式回报整个初始投资，并在合同到期时支付相当于剩余账户价值的最终付款。通常，保单持有人（以下简称PH）一次性支付全部保费，并有权在每个合同周年日提取可变金额的保险金，最低保证金额。由于保单中包含的担保，PH可以从其账户中提取资金，即使资金已经用完。此外，如果PHD死亡发生在合同到期之前，则其继承人将收到剩余账户价值作为一次性付款。合同开始时支付的保费决定了r isky账户，该账户根据财务指数（通常是基金）随时间而变化，但由于保险人收取的费用以及PH为管理GMWB合同而提取的款项，该账户也会减少，保险公司通常采用对冲技术，这种技术依赖于在风险中性概率框架下计算保单的公平价格。此外，通过从风险资产账户中扣除部分费用来确定混合成本。此外，通过使用大数定律来降低死亡率风险（参见Bernard和Kwak【2】和Lin等人【17】对基于变动和半静态的可变年金对冲的解释）。价格和希腊式计算通常依赖于数值计算，数值计算基于产品、金融市场和金融机构行为的便捷模型。

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2022-6-14 03:51:04

事实上，由于PH可以选择（在合同规定的特定范围内）提取金额，因此他可以决定性地推动合同的总支付。无论如何，美国和伯尔穆丹期权定价的普通技术导致的价格与市场观察结果有显著差异（Moenig和Bauer[19]）。对于理论-经验价格差距的一种可能解释，可以在客户必须面对的税收动态的正确模型中找到。在本法规中，Moenig和Bauer【19】建议对PH征收的税收进行建模，并考虑合同的主观估价。具体而言，他们表明，当考虑税收时，PH提取的频率低于无税提取的频率，并且通过使用普通定价技术，可以获得符合经验观察的价格。此外，Moenig a和Zhu【20】观察到，税收优惠待遇是使可变年金成为如此流行的工具的关键因素之一，因此，正确的建模可以改进对这些产品仍不清楚的机制的解释。Westess指出，在[19]和[20]中的调查是通过假设基础基金的Black-Scholes模型来完成的。利率是可变年金评估中的另一个相关因素。正如Go udenègeet等人[12]所观察到的，由于GMWB合同的期限很长，可能持续近25年，Black Scholes模型似乎不适合如此长的时间间隔，它假设利率和波动率不变。几位作者研究了在考虑随机利率的同时评估GMWB合同的可能性。例如，Peng等人[24]在Vas ic e k随机利率模型下开发了GMWB公允价值的解析近似值。Donnelly等人。

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2022-6-14 03:51:07

[7] 考虑通过高级Heston-Hull-White模型中的交替方向隐式方法进行定价和计算。Dai等人【6】开发了一个基于树的模型，将随机利率和死亡率纳入其评估框架。Gudkov等人【14】采用运营商分割法，将GMWB产品的价格低于短期利率、波动率和死亡率。舍甫琴科（Shevchenko）和罗（Luo）[28]采用高阶高斯-埃尔米特求积（Gauss-Hermitequadration）来评估瓦西塞克利率模型下的GMWB合同。最近，Goudenège等人。[13] 利用混合树PDE方法和机器学习技术，在同时考虑随机利率和随机波动性的模型中有效评估GMWB合同。更一般地说，就随机利率框架中的可变年金定价而言，考虑e d，值得一提的是，Bacinello和Zoccolan[1]的工作开发了一种蒙特卡罗弹性方法，以研究在考虑随机利率、波动性和死亡率的模型下，阈值费用对产品最优保险策略的影响，包括累积和死亡保证收益。我们还提到Goudenège等人【11】，他们使用混合树PDE方法评估随机利率下的GLWBcontract。本文研究了在同时考虑税收待遇和随机利率的情况下，GMWB的定价和PH行为。特别是，继Moenig和Bauer【19】和Moenig和Zhu【20】之后，我们通过对所有政策学习的恒定边际所得税税率和对政策外投资的资本利得的恒定边际税率对GMWB进行征税建模。

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2022-6-14 03:51:10

此外，我们还包括一个基于保费的保险人纳税模型，这在以往的研究中被忽视。由于税收的原因，合同的评估并不简单，因此我们采用了与[19]相同的主观性风险中性评估方法。特别是，在本表格中，给定的税前现金流的价值是建立税前投资组合所需的金额，该组合复制了所考虑的现金流。这导致保险公司和PH对保单进行不同的评估，我们从这两个角度进行调查。就随机利率而言，我们考虑了赫尔-怀特模型（赫尔[16]），该模型因其校准的可行性和不可能性分布而经常被学者和实践者采用。该模型已经应用于其他有关GMWB可变年金的研究工作中（如[7]、[6]、[12]和[13]）。我们强调，同时考虑税收和随机利率是一项具有挑战性的任务，因为要同时考虑多个因素，需要计算效率。特别是，在所考虑的模型中评估GMWB策略是一个四维（加上时间）问题，这意味着在计算时间和所需的工作内存方面都需要很高的计算成本。此外，通过主观风险中性估值方法对政策进行评估需要解决许多固定点问题，这会增加协同计算成本。最后，我们假设PH值采用n最优退出策略，这意味着动态控制问题的数值解。为了管理这种计算效率，我们使用了一种向后的dynamicapproach，它利用树方法来计算公平合同价格。

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2022-6-14 03:51:13

特别是，我们使用多项式树通过马尔可夫链来近似随机利率过程，这代表了Goudenège等人已经使用的有效数值解。值得注意的是，树方法已经被用于研究GMWB合同。在这篇文章中，我们提到了Costabile【4】和Costabile等人【5】的工作，他们利用三项式树来评估GMWB政策，并调查PHH决策，同时在模型中包括外部因素。为了验证我们的方法，我们进行了一些数值实验。具体而言，我们研究保单的估值如何根据保险人和PH人员的不同而变化，以及如何通过包括或不包括税收以及通过改变利率和基金的参数来修改提款策略。数值结果显示了许多有趣的发现。首先，如果考虑税收，PH保单的公允价值高于保险人的公允价值。这意味着PHA向保单支付的价格比保险公司的价格高，因此买卖合同对他们双方来说都是一笔不错的交易。其次，我们观察到税收和利率建模对PH的退出策略有显著影响。据我们所知，这是关于GMWB定价和退出策略的第一次分析，它同时考虑了税收和随机利率。我们的研究对于所获得的定性观测和所采用的数值解都是有用的。该文件的提醒安排如下。第2节介绍了基础和利率过程的随机模型。第3节描述了GMWB合同和税收模式。第4节介绍了定价假设。

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2022-6-14 03:51:16

第五节介绍了定价方法和技术措施。第6节给出了各种例子的数值结果。最后，第7节得出结论。2随机模型为了确定本文其余部分使用的符号，让我们介绍Black-ScholesHull-White模型。赫尔-怀特模型[16]是历史上最重要的利率模型之一，目前常用于选择定价目的。特别是，债券、Caplet和掉期期权价格的闭合公式的存在是该模型的重要优点之一。此外，它能够产生负利率，这是近年来市场上实际观察到的。我们报告了B-lack-Scholes-Hull-White模型的动力学，该模型将利率的动力学与基础的动力学结合起来：（dSt=rtStdt+σStdZStdrt=k（θt- rt）dt+ωdZrt，（2.1），其中zs和zr是带d的布朗运动ZSt、Zrt= ρdt。此外，σ、k和ω为正值，并且给出了初始值S>0和稀有值。此外，θ是一个确定性函数，由零息债券的市场价值通过校准完全确定（见Brigo和Mercurio[3]），因此零息债券的理论价格与市场价格完全匹配。设PM（0，T）表示到期时间T为0时零息票债券的市场价格。然后，市场瞬时远期利率由Fm（0，T）=- ln PM（0，T）T、（2.2）众所周知，（短期）利率过程r可以写成一个srt=Yt+β（T），（2.3），其中Y是一个随机过程，其动力学由dyt=-kYtdt+ωdZrt，Y=0，（2.4），β（t）是一个实值函数，β（t）=fM（0，t）+ω2k（1- 经验值(-kt））。

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2022-6-14 03:51:18

（2.5）那么，B-lack-Scholes-Hull-White模型可以通过以下关系来描述：dSt=rtStdt+σStdZStS=(R)S，dYt=-kYtdt+ωdZrtY=0，rt=Yt+β（t）。（2.6）利率曲线情况是零息债券市场价格的一种特殊情况：在这种特殊情况下，到期日为t的零息债券在t时的价格由pm（t，\'t）=e给出-r（(R)t-t），（2.7），函数β由β（t）=r+ω2k（1）给出- ex p公司(-kt））。（2.8）我们强调，假设债券价格的波动曲线对我们的模型的发展不是必不可少的，但它简化了数值设置。3合同建模3.1建模分类为了对分类进行建模，我们遵循Moenig和Bauer[19]提出的相同方法，这反过来又是美国现行模型的简化版本。就PH而言，应根据未来的投资收益而不是投资金额纳税。特别是，我们假设对所有政策收益适用恒定的边际所得税税率τ，对政策外投资的资本收益适用恒定的边际税率κ。这意味着，如果PH建立了一个复制税后政策现金流的投资组合，则κ是应用于此类投资组合收益的ta x比率。相反，τ是对政策中PH\'s提取引起的所有收益适用的税率。特别是，按照后进先出法，在初始保费之前提取收益。为了完成税收建模，我们必须考虑与保险公司有关的税收，这通常有两种类型：保费税和净收入税（见Skipper[29]）。确定人寿保险公司的利润是一项挑战，因为预付款和索赔付款之间的时间不同，所以保费是最常见的。

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2022-6-14 03:51:21

此外，就美国人寿保险体系而言，保险公司可以选择根据保费或净收入征税（见Nissim【23】）。为了简单起见，我们采用了基于保费的税收，即保险人按照总保费GP的百分比支付一定比例的税款。因此，保险人应缴纳的税款为χ·GP，其中χ是保费税率。这种比率通常在0.5%到3%之间变化（见Moran[21]）。显然，保险人必须收回该税收成本，因此我们假设该金额作为初始成本间接应用于客户，从而减少总保费并确定净保费P，P=GP·（1- χ).3.2 GMWB合同我们在此研究的是由Moenig和Bauer首先调查的GMWB合同的简单版本【19】。我们考虑一个n x岁的个人，他购买了一份GMWB保单，该保单的到期日为有限的整数，以支付单一的gro ss保费GP。然后从总保费中扣除入职费用，净保费P记入保单账户。有三个变量决定了t时保单的状态，即账户价值Xt、收益基础GT和税基HTT，其在t=0时的值等于保单净保费，即X=G=H=P。（3.1）特别是，账户价值X代表保单的风险账户，其变化就像投资于市场基金一样，除了通过取款和管理成本降低ing之外。明确基础G代表保单中固有的担保，因为它规定了PHC可以进行的最大提取，而税基H代表了仍然可以从保单中提取的免税金额。让我来告诉你- 合同周年纪念日，即ti=i。

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2022-6-14 03:51:25

变量GT和HTDON在两个连续周年纪念日之间不会发生变化，即t∈ ]ti公司-1，ti[，而x根据基础投资基金的变化而变化。该基金由客户从保险公司提出的列表中选择。具体而言，让我们将基础基金的价值称为St，其根据（2.1）演变。然后，对于∈ ]ti公司-1，ti[，Xt遵循ST的sa me动态，除非持续对其进行跟踪，即isdXt=XtStdSt- ^1Xtdt。（3.2）（3.2）中的变量Д是（固定）费率，它控制账户价值提取的费用。在每个周年时间ti，根据合同最后一年内PH的存续情况确定保单的延续。为了描述政策重估机制，让usdenote使用X-tiand X+Tit在ti时任何现金流之前和之后的账户价值（我们对Gtiand Hti使用samenotation）。如果PH在前一年去世，则其继承人将收到死亡福利bi，该福利在时间Tian支付，由扣除税款后的剩余金额得出，即bi=X-ti公司- τ十、-ti公司- H-ti公司+, （3.3）式中，τ是所得税税率，（x）+=最大值（x，0）。支付死亡抚恤金后，合同终止，无剩余价值。相反，如果PH值没有消失，则他有权在一定限度内提取一定量的Wi。根据合同，PH明智选择的提款金额必须满足以下关系：0≤ wi公司≤ 最大值十、-ti，最小值gW，G-ti公司, （3.4）如果gw是一个正的常量值，则可以填写年度担保金额，并在合同中说明。特别是，如果gW=P/T，则PH有权在整个合同期限内，在每个合同周年纪念日提取正好等于gW的金额。

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2022-6-14 03:51:28

执行提款后，新帐户值由X+ti给出=十、-ti公司- wi公司+, （3.5）新的福利基数和税基由G给出-ti+1=G+ti=G-ti公司- wi公司+, 如果wi≤ 毛重最小值G-ti公司- wi，G-ti·X+tiX-ti公司+, 如果wi>gW（3.6）和H-ti+1=H+ti=H-ti公司-wi公司-十、-ti公司- H-ti公司++（3.7）。PH未收到wibec提取的全部金额，因为可能会收取一些费用和税款。具体而言，PH记录提取金额减去因提取金额超过担保金额而应向保险人支付的费用，并减去提前提取的罚款和税款。具体而言，他收到的净额由WI提供- 感觉- 佩尼- 计程车（3.8）是提取超过最小金额的费用gW，Gti, 对59.5岁之前的任何提款处以提前提款罚款，并对与提款相关的所得税征税。特别是，feei=si·wi公司- 最小值gW，G-ti公司+, （3.9）peni=sg·（wt- feei）·1{x+ti<59.5}，（3.10）和taxi=τ·minnwi- 感觉- 佩尼，十、-ti公司- H-ti公司+o、（3.11）系数siin（3.9）是一种称为退保费用的非负系数，通常随时间减少，在合同期限内为零。此外，sgin（3.10）是另一个决定提前退出惩罚的非负系数。特别是，由于这些合同通常作为退休养老金的补充，我们假设当合同到期时，PH值必须超过59.5年，因此在T时的最后一次提取时不适用罚款。最后，在时间T进行最后一次取款后，活动PH收到扣除税款后的剩余accountvalue，即x+T- τX+T- H+T+, （3.12）合同终止。4定价假设在本节中，我们介绍了定价框架。

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2022-6-14 03:51:31

首先，我们观察到，征税下的资产定价不是直接的，因为正如Ross[26]所观察到的那样，征税会导致价格的唯一性丧失。事实上，特定现金流的估值取决于个人捐赠和税率。按照Moenig和Bauer[19]的相同方法，我们将给定税后现金流的价值定义为特定代理人创建金融投资组合（由股票和债券组成）所需的金额，该投资组合在税后复制所考虑的现金流。显然，这种价值取决于对代理人征收的特定税款，客户和保险人之间可能存在显著差异。此外，就所考虑的金融工具而言，税收可能有所不同：通常对保险产品（如VA保单）征收较轻的税收，而对金融产品（如投资组合中的证券）征收较重的税收。首先，我们介绍了如何在假设PH主观评估的情况下评估GMWB合同，然后我们在假设INSURER主观评估的情况下给出了相同的评估方法。这两种观点的主要差异在于税收和对取款的控制。就税收而言，PHA必须对政策外的政策性收入和资本性收入纳税。相反，适用于保险公司的税收要简单得多：总保费的百分比。就提款而言，PH选择最佳提款，以最大化其资产的预期价值（扣除税收）：如果适用税收，该价值不等于保险人的负债。因此，PH提取的金额对他来说是最优的，但可能不同于考虑到保险人的观点计算的最差金额，即最大化保险人对PH的责任的金额。

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2022-6-14 03:51:34

这意味着，公共保险公司取款是为了实现经济回报最大化，而不是为了使保险公司的产出最大化：由于这两种策略并不一致，保险公司的成本低于最糟糕的取款案例。最后，我们强调，共同考虑的fra mework抓住了保险产品的一个有趣特征。税收使GMWB政策对客户特别有吸引力：虽然税收是针对政策的收益征收的，但税收制度对这类产品特别有利，因此，客户购买政策比通过复制投资组合复制政策更方便。在接下来的小节中，我们将展示如何根据PH和保险人的主观估价计算初始合同价值。我们强调，在这两种情况下，我们都计算了Black-Scholes-Hull-White模型在相同风险中性度量Q下复制投资组合的成本（见Brigo-andMercurio[3]）。4.1投保人的主观评估继Moe nig和Bauer【19】之后，我们考虑PH对合同的主观评估。这意味着我们要计算一个PH设置一个假设的复制投资组合所需的资金量，该投资组合复制税后政策现金流。具体而言，V（t，r，X，G，H）表示根据GMWB合同在t时的实际价值，分别为r利率、X账户价值、G担保基数和H税基。

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2022-6-14 03:51:37

具体而言，按照Moenig和Bauer[19]的相同方法，V代表了在时间t出售给客户的许多保单的平均期权价值。最后，为了计算时间t=0时PH的合同主观价值，我们在时间t向后，从时间T的合同到期日开始，并考虑政策状态参数发生的变化。4.1.1合同周年纪念日的价值函数首先，让我们用V表示+T、 rT、X+T、G+T、H+T最后一次提款后到期时的保单价值。该金额由最终支付金额isV给出+T、 rT、X+T、G+T、H+T= X+T- τX+T- H+T+. （4.1）现在，让我们关注时间ti的第i个合同周年纪念日。由于我们假设PH是活的，那么他有权从他的账户中提款。让V-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司andV公司+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti分别表示PH提款前后的保单价值。尤其是rti，X-ti，G-ti，H-ti是在时间ti提取前的状态参数，而ti、X+ti、G+ti、H+ti是在时间ti提取后的状态参数。请注意，无需区分提款前和提款后的利率值，因为该值不会因提款而改变，因此我们只需在两种情况下填写RTI。我们可以将这两个策略值之间的关系写成一般形式v-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司= 五+ti、rti、X+ti（wi）、G+ti（wi）、H+ti（wi）+（wi）- feei（wi）- 佩尼（威斯康星州）- taxi（wi）），（4.2），其中我们强调了许多变量对提取wi的依赖性，将其表示为wi的函数。特别是，方程（3.5）、（3.6）、（3.7）、（3.9）、（3.10）和（3.11）分别表示x+ti、G+ti、H+ti、feei、peni和taxion的相关性。

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2022-6-14 03:51:40

PH可能会采用静态提取策略，这意味着他提取的金额wi等于gW，与从政策状态参数中获取的值s有关。这样的策略很容易实施，但对他来说可能不是最佳策略。我们假设PH选择的金额将使其资产的预期价值最大化，即合同加上净提款，即wi=argmaxw∈[0，Wmax]V+ti，rti，X+ti（w），G+ti（w），H+ti（w）+ （w）- f eei（w）- 佩尼（w）- 滑行（w）），（4.3），其中Wmax=max十、-ti，最小值gW，G-ti公司（4.4）是合同允许的最大提款。我们观察到，在到期时，优化问题（4.3）可以很容易地解决，因为最终支付函数给出了支付后的连续值，这是一个封闭的公式。具体而言，我们可以证明，在这种特殊情况下，最优提取是给定的ywt=mingW，G-T. （4.5）此外，通过使用方程式（4.1）、（4.2）和（4.5），可以得到以下表达式：V-T、 rT，X-T、 G级-T、 H类-T= 最大值十、-T、 wT公司- τminnwT，十、-T- H-T+o- τwT公司-十、-T- H-T+++十、-T- wT公司+- H-T+. （4.6）一般来说，在考虑时间ti的最佳提取时，没有关于最后一个周年T的闭合公式。在一般情况下，最优提款必须通过一个数值程序来近似。4.1.2两个周年纪念日之间的价值函数动态在两个合同周年纪念日Tian和ti+1之间的时间内，变量G和H不会改变e。保单价值的变化完全是由于时间的推移以及账户价值X和利率r的变化。

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2022-6-14 03:51:43

继Moenig和Bauer【19】之后，通过非线性隐式方程给出tiofV+时的主观风险中性值：V+=EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiV-+κ1 - κ·EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiV-- 五++, （4.7）其中V+代表V+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti和V-代表V-ti+1，rti+1，X-ti+1，G-ti+1，H-ti+1. 此外，bi+1是死亡时可在ti+1支付的死亡抚恤金，根据（3.3）计算。此外，qx+ti是指活的PH值在一年内死亡的概率，而px+ti+1是指其至少能多活一年的概率。我们强调，如果假设有大量合同持有人，则可以使用死亡和存活概率：在这种情况下，死亡风险是可以分散的。4.2保险人的主观估价让U（t、r、X、G、H）表示GMWB合同的公允价值，但根据保险人的主观价值，即保险人设定复制投资组合所需的金额。由于某些原因，保险公司的估价与PH的估价不同。首先，适用于保险人的税收只涉及初始总保费，不适用于复制投资组合。其次，保险人必须支付总税额，而PH则收取净税额。最后，保险人没有决策权，只能接受PH关于提取金额的选择。正如PH的主观评估一样，为了在合同开始时计算保险人的主观价值，我们在时间上进行了倒退。4.2.1合同周年纪念日的价值函数Rylet U+T、 rT、X+T、G+T、H+T根据保险人的规定，是最后一次提款后到期时的保单价值。

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2022-6-14 03:51:46

该金额由税前最终支付额给出，即账户剩余价值：U+T、 rT、X+T、G+T、H+T= X+T.（4.8）此外，由于时间T的最佳提取wt由（4.5）给出，因此可以证明以下关系：U-T、 rT，X-T、 G级-T、 H类-T= 最大值十、-T、最小值gW，G-T. （4.9）现在，让我们关注第i个合同周年。功能U-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司安度+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti代表PH撤销《装载wi》前后的合同价值，这是问题的解决方案（4.3）。以下关系成立，U-ti、rti、X-ti，G-ti，H-ti公司= U型+ti、rti、X+ti（wi）、G+ti（wi）、H+ti（wi）+（wi）- feei（wi）- 佩尼（wi））。（4.10）方程式（4.10）与方程式（4.2）相似，但由于保险人必须在税前支付金额，因此不需要支付税款。4.2.2两个周年纪念日之间的价值函数动态与PH相反，保险人对复制投资组合不纳税。t+iof U时的主观风险中性值由死亡福利的贴现预期未来值加上保单价值得出，即isU+=EQe-Rti+1tirsdsqx+tibi+1+px+tiU-, （4.11）其中U+代表U+ti，rti，X+ti，G+ti，H+ti和U-代表U-ti+1，rti+1，X-ti+1，G-ti+1，H-ti+1.5定价方法根据PH的主观预期，在t=0时，GMWB合同的公允价值由V（0，r，P，P，P）表示，可以通过及时向后移动来计算。终端条件用（4.1）表示。为了向后进行，我们必须求解ti，ti+1[forti=T]中的非线性隐式方程（4.7-1.

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2022-6-14 03:51:49

，0，并应用关系（4.2）和（4.3）来处理由于在每个合同周年纪念日提取而导致的跳转。采用类似的方法，根据保险人的预期，合同的初始公允价值由U（0，r，P，P，P）表示，可以通过从终端条件（4.8）开始，通过求解反向方程（4.11）和应用关系式（4.10）来计算。我们观察到，计算U（0，r，P，P，P）需要了解最优取款，这可以通过并行计算V（0，r，P，P，P）来实现。我们强调，V和U的评估问题是四维问题（加上时间变量），这是一个非平凡的挑战，需要有效的数值方法来解决。5.1问题离散化在任何时候决定政策状态的变量是G、H、X和r。为了从数值上解决问题，我们倾向于将r替换为Y，因为Y的动力学更简单，可以很容易地通过Y计算r（2.3）。我们考虑Y的一组具体值Gyx，G的一组具体值Gyx，H的一组具体值Ggg，我们定义了一个四维网格G=GY×GX×GG×GH。首先，由于收益基数G和税基H是不超过P的非负值，因此值得利用区间[0，P]的均匀划分来定义GG和GH。特别是，我们=gj=jNGP，j=0，NG公司（5.1）和GH=hj=jNHP，j=0，全日空航空公司, （5.2）其中Ng和Nha是两个正整数。与G和H相反，帐户值X假定非负无界值。无论如何，由于保险公司的提款和费用，在保单有效期内，这样的价值不应该增长太多。事实上，正如MacKay et al。

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2022-6-14 03:51:52

[18] Bacinello和Z occolan[1]在一篇类似的文章中指出，当账户价值非常高时，PH有很大的动机通过撤回所有资金来终止合同。因此，根据Haentjens和In\'tHout[15]采用的空间网格的相同原理，我们认为GXA是点的非均匀分布，在过程Xis更可能出现的地方，点的密度更大。具体而言，我们考虑两组点：第一组Gx=xj=2.5·jNXP，j=0，NX公司（5.3）由NX+1个均匀分布的p点组成，p点介于0和2.5·p之间，第二个为Gx=xj=2.5·P·exp（ln（30）- ln（2.5））jNX, j=1，NX公司（5.4）由n个点组成，这些点在2.5·P和30·P之间均匀分布在对数上。那么，GX=GX∪GX和GX的第j点。此外，为了简单起见，我们考虑NX=NX，并称为GX的元素数NX。我们强调，系数2.5和30是根据经验确定的，以给出准确的结果，它们的微小变化不会对数值结果产生影响。最后，集合Gy的构造依赖于Goudenège等人在[13]中提出的三项式树。这种树定义了一个离散的马尔可夫链t与过程Y的前两个时刻相匹配。WesetGY公司=yj=（j- NY）σtY，j=0。第2个（5.5）其中σTy是一个正系数，取决于过程Y的标准偏差和NYis可测整数值，因此GYis由2NY+1个点组成，这些点均匀分布在-NYσtY；NYσ泰.附录A给出了工艺的技术细节t、系数σTy和整数NY。5.2 VOnce的反向评估网格G已经建立，我们可以在任何时间ti开始计算V denedon G的数值近似值。

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2022-6-14 03:51:54

特别是，对于每个策略一年一次的ti，我们计算一个函数\'V+i:G→ r对于g的任何点（y，x，g，h），V+i（y，x，g，h）近似于V+（ti，y+β（ti），x，g，h）。现在，我们还要计算一个函数-i： G级→ R使得对于g的任何点（y，x，g，h），\'V-i（y，x，g，h）近似于V-（ti，y+β（ti），x，g，h）。根据（4.6），g的每个点（y、x、g、h）的终端条件由以下公式给出：(R)V-T（y，x，g，h）=最大{x，wT（g）}- τmin重量（g），（x- h）+- τ重量（g）- （十）- h）+++ （十）- 重量（g））+- h类+, （5.6）式中，wT（g）=mingW，g.现在假设函数“V”-i+1在G上已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ 让我们通过求解方程（4.7）来重点计算‘V+i（y，x，G，h）’。特别是，根据Moenig和Bauer在Black-Scholes模型下采用的s-ame方法，可以验证方程（4.7）的解的存在性和唯一性。此外，根据方程式（4.7），“V+i（y，x，g，h）可解释为固定点问题的解决方案：V=f（V），（5.7），f（V）=方程式e-Rti+1天+β（s）dsF+κ1- κ·（F- 五）+|Yti=y，Xti=x, （5.8）式中，F代表F=qx+tiXti+1- τXti+1- h类++ px+ti+1'V-i+1Yti+1，Xti+1，g，h. （5.9）固定地点可能面临此类问题。关键在于计算（5.8）中出现的经验值。为了解决这个问题，我们采用了树方法。附录B中解释了技术细节。一旦知道函数“V+iis”，我们就可以计算“V”-通过解决与方程（4.3）相关的最优提款问题，IB。

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2022-6-14 03:51:57

那么，让我们再次计算（y，x，g，h）∈ G，让我们重点解决以下问题：(R)V-i（y，x，g，h）=最大值∈[0，Wmax]^f（w）（5.10），其中^f（w）=V+iy、 x+（w），g+（w），h+（w）+ （w）- f eei（w）- 佩尼（w）- 滑行（w）），（5.11）Wmax=最大值x、最小值gW，g, （5.12）x+（w）=（x- w） +（5.13）克+（w）=（g）- w） +，如果w≤ 毛重minng公司- w、 g·x+（w）xo+, 如果w>gW（5.14）h+（w）=h-w- （十）- h）++（5.15）feei（w）=si·w- 最小值gW，g+, （5.16）peni（w）=sg·（w）- f eei（w））·1{x+ti<59.5}，（5.17）滑行（w）=τ·minw- f eei（w）- 佩尼（w），（x）- h）+. （5.18）（5.10）的分辨率并非微不足道，因为函数^f没有平滑特性。特别是^f，由于正部分函数的存在，以及由于函数g+（w）在w=gW时的不连续点。因此，我们通过一种非常简单的方法来解决最大化问题（5.10）：我们在一组W点中评估目标函数，并记录在这些点上实现的最大值。特别地，我们认为W是两个集合的并集，Wand W。第一个集合，W={n·w、 n个∈ N}∩ [0，Wmax]是一组均匀分布的值，而第二组=gW，gW+10-6，Wmax∩ [0，Wmax]是一组可能不包括在W中的临界值。特别是gWand gW+10-6考虑处理gW处的不连续性。评估函数^f需要计算函数V+iat（y，x+（w），g+（w），h+（w）），对于任何w∈ W这些点可能不属于网格G，因为值x+（w）、G+（w）、h+（w）可能不分别属于GX、GG和GH。因此，为了计算“V+i（y，x+（w），g+（w），h+（w）），需要对Gof“V+iis”进行插值。为此，我们采用了三线性插值（Gomes等人【10】）。5.3 Uo的后向评估一旦有了V的近似值，我们就可以根据保险人的观点进行保单评估，即计算U。

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2022-6-14 03:52:00

由于两个原因，近似U比近似V更简单。首先，将隐式非线性方程（4.7）替换为显式方程（4.11）。其次，在近似V时，计算最佳提款的问题已经得到解决，因此我们只需恢复已计算的最佳提款。与我们对V所做的类似，我们考虑一个函数\'U+i:G→ R使得对于g的任何点（y，x，g，h），\'U+i（y，x，g，h）近似于U+（ti，y+β（ti），x，g，h）和函数\'U-i： G级→ 对于g的任意点（y，x，g，h），\'U-i（y，x，g，h）近似于U-（ti，y+β（ti），x，g，h）。根据（4.9），对于g的任何点（y，x，g，h），终端条件由以下公式给出：’U-T（y，x，g，h）=最大值x、最小值gW，g. （5.19）现在假设函数\'U-i+1在G上已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ G，让我们通过计算以下表达式来关注‘U+i（y，x，G，h）’的计算：’U+i（y，x，G，h）=等式e-Rti+1天+β（s）dsqx+tiXti+1+px+ti+1'U-i+1Yti+1，Xti+1，g，h|Yti=y，Xti=x.（5.20）我们使用与计算（5.8）相同的树方法来计算这样的n表达式。请注意，在这种情况下，不需要x点迭代，因为（5.20）通过显式方程给出了U+I。假设现在G上的函数\'U+已知。让我们fix（y，x，G，h）∈ G，让我们重点讨论‘U’的计算-i（y，x，g，h）。设wi为点（y，x，g，h）的问题（5.10）的最大点∈G、以下关系成立：(R)U-i（y，x，g，h）=U+iy、 x+（wi）、g+（wi）、h+（wi）+ （w）- f eei（wi）- peni（wi））（5.21），其中x+、g+、h+、f和peni的定义如（5.13）-（5.17）所示。同样在这种情况下，需要插值，我们再次使用三线性插值。5.4算法示意图我们给出了近似初始公平合同值V（0，r，P，P，P）和U（0，r，P，P）的算法示意图。1.

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2022-6-14 03:52:03

设置终端值“V”-T（y、x、g、h）和U-T（y，x，g，h）根据等式（5.6）和（5.19）在g.2中的前驱点（y，x，g，h）。对于所有i=T- 1.1（a）通过求解方程（5.8）和方程（5.20），计算g中每个点（y，x，g，h）的V+i（y，x，g，h）和U+i（y，x，g，h）；（b）计算“V”-i（y，x，g，h），通过求解g中每个点（y，x，g，h）的方程（5.10）；（c）计算“U”-i（y，x，g，h），通过求解g中每个点（y，x，g，h）的方程（5.21）；3、通过求解方程（5.8）和（5.20），计算“V+（0，P，P，P）和“U+（0，P，P，P）”。值V+（0，P，P，P）和U+（0，P，P，P）分别约等于V（0，r，P，P，P）和U（0，r，P，P，P）。我们指出，该算法是完全并行的：事实上，G中每个点的计算是相互独立的。VAs环境中的一种常见做法（例如，请参见Forsyth和Vetzal[9]）包括计算空中策略co stИ*在中，这是保险人保单的初始价值u（0，r，P，P，P）等于净保费P的特定值。为此，可将该算法插入secantmethod中，以求解方程U（0，r，P，P，P）（ν）=P。6数值结果在本节中，我们报告了一些数值试验的结果。表1、2、3报告了分析中使用的参数。此外，为了估计死亡率和生存概率q和p，我们采用2007年美国社会保障区人口周期生命表[3 0]。最后，我们强调，除了利率过程的参数外，这些参数与Moenigand Bauer采用的参数相同【19】。6.1计算公平费率我们从计算公平费率开始*根据保险人的主观估价。

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2022-6-14 03:52:06

特别是，我们考虑了一些具有不同初始利率r值、利率波动率ω和基础基金波动率σ的测试案例。数值结果见表4。通过比较表4的两行，我们观察到，在所有考虑的情况下，包括税收减少了减少a c计数值的费用，即政策成本。我们可以推测，reasonDescription参数VALUAGE在期初x 55保费P 100年至到期T 15年担保金额gWExcess提款费为8%，7%，1%, 0%, 0%, . . .费率^1将由所得税税率τ0%或30%资本利得税率κ0%或23%提前支取罚款sg10%确定。表1：PH和合同规范的参数选择。说明参数值初始基金价值基金波动率σ0.1，0.3初始利率r0.03，0.05利率均值反转速度k 1利率均值θt利率波动率ω0。05，0.1相关性ρ0.2表2：Bla-ck-Scholes-Hull-White模型的参数选择。说明参数值每年的时间步长GxNx中的NTPoints GhNh中的GGNg中的Points退出步长表3：数值方法的参数选择。因为这取决于退出策略：如果采用税收，从PH的角度来看，最佳退出策略（即根据其主观观点实现价值最大化的策略）与保险人角度来看的最差策略（即最大化其责任的策略）并不一致。此外，我们观察到，利率波动率越高，政策成本越大。这可能是因为，通过增加利率波动率，可以更容易观察到非常低（或负）的利率，这使得复制政策非常有意义。

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2022-6-14 03:52:10

因此，税收和利率建模对政策评估都有敏感的影响。6.2比较保单初始值我们现在计算PH的初始主观保单值V（0，r，P，P，P），并将其与Дequa l toД进行比较*在中，这是盈亏平衡费，如表4所示：这是PH自己复制该政策所需的金额。数值结果见表5。我们观察到，如果不征税，PH的主观估价等同于保险人的主观估价，合同对两者都是公平的，分别为=0.03、σ=0.16 r=0.05、σ=0.19ω=0.05ω=0.1ω=0.05ω=0.1无税69.35 94.81 41.91 56.97和税43.18 60.31 23.96 33.58表4：公平费用率*根据保险人的主观评估，改变r、σ和ω的值。r=0.03，σ=0.16 r=0.05，σ=0.19ω=0.05ω=0.1ω=0.05ω=0.1无税100.00 100.00 100.00 100.00含税110.13 110.69 114.97 115.91表5：根据PH的主观估值，考虑到Д=Д，公平初始期权价值V（0，r，P，P，P）*表4中的INas，改变r、σ和ω的值。两名特工。相反，当实施税收时，根据PH的主观估价，合同价值会增加，因为适用于政策的税收制度，这与适用于政策外投资的税收制度相比是有利的，因此在复制投资组合中也是有利的。现在让我们考虑χ=3%作为保险费率。在这样的保费税率下，保险人要求对所有成本收取的总保费P为103.09，因此净保费P为100，合同对保险人来说是公平的。根据表5，在所有考虑的情况下，客户愿意支付远高于103.90的费用来购买保单：例如，如果r=0.03，σ=0.16，ω=0.05，则PH对保单的主观价值为110.1 3。

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2022-6-14 03:52:12

因此，如果保险人将销售价格设定在103.09和110.13之间，则销售对PH和保险人都有利。所考虑的模型允许我们重新创建一个框架，使VAs对客户特别感兴趣：虽然对政策收益征税，但税制对这类产品特别有利。因此，GMWB政策对客户具有吸引力，对保险人具有吸引力。6.3比较含税和不含税的PH提取我们提出的最后一个数值测试包括在考虑或不考虑税收的情况下比较PH执行的最佳提取。特别是，我们考虑了r=0.03、σ=0.16和ω=0.05的情况（其他参数组合的结果相似）。此外，^1的价值被设定为与税收的收支平衡费，即*IN=43.18个基点。图6.1、6.2和6.3中报告了不同周年纪念日的最佳提款。第一列代表外汇的最佳金额-tiand rti，通过考虑G和H的不同值以及零税率，而在第二列中，通过同时考虑正收入税率和正资本利得税率。颜色越深的区域表示提取率越高。最后，在第三列中，无税和有税的最佳金额之间的差异。在这里，绿色区域表示无税提款较高，而红色区域（不可见）表示有税提款较高。我们可以观察到，最佳量取决于所有考虑的参数。特别是，提款策略可能会根据实际利率发生重大变化，如图6.3所示，Gt=Ht=100。

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2022-6-14 03:52:15

就税收对退出策略的影响而言，我们发现了Moenig和Bauer观察到的相同影响【19】：当实施税收时，PH值的退出小于不考虑税收时的退出。事实上，对于所有考虑的数字情况，图6.1、6.2和6.3中的最后几列仅显示正值，这意味着无税提取的金额较高。如【19】所述，在没有税收的情况下，随着账户价值越来越大，PH会被激励提取资金，而不是将其留在政策中，在政策中减少费用。相反，如果适用税收，提款将作为普通收入征税，如果投资于其他产品，则需缴纳资本利得税。因此，PH不取款更方便，让其在=100、H=100（不含税）下增长71010100 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=100、H=100（含税）7101010100 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=100和H=100770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100，不含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100，含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=100770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，不含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=50，含税70 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rG=50，H=50770 50 100 150 200账户价值X00.020.040.06利率rFigure 6.1：在前两列中，关于X的等高线图-（x轴）和r（y轴）的最佳提款时间t=4，不征税或征税。在第三列中，前两列中报告了无征税和有征税的最佳提款之间的差异。

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