基于机器学习算法的风险管理

2022-6-14 04:10:23

不完全市场离散时间套期保值的深度学习*+Joseph MIKAEL§Xavier WARINPkFebruary，2019摘要提出了几种基于机器学习的算法来解决不完全市场中的套期保值问题。不完全性的来源是非流动性、非交易风险因素、离散对冲日期和比例交易成本。利用均方误差准则，将本文介绍的算法诱导的套期保值策略与经典的随机控制技术进行了比较。一些推荐的算法足够灵活，可以处理创新损失标准，并将使用这些新标准获得的套期保值策略的损益分布与使用经典MSE标准获得的损益分布进行比较。最有效的算法在非零交易成本的情况下进行了测试，并展示了如何在单个训练阶段通过随机组合学习阶段的平均成本和方差标准来获得整个帕累托前沿。关键词。不完全市场、交易成本、深度学习、LSTM1简介尽管其具有可取的特性，但一旦我们考虑到交易成本、离散时间套期保值日期、流动性不足、非交易风险因素（如交易量风险）等，完整市场假设就会被破坏。。。这些特性使得完整性假设在大多数金融市场中不现实，尤其是在商品市场上交易时。在不完全市场中，无法实现的或有权益（即无法通过自我融资策略复制的或有权益）并不是空的，因此，需要一个标准来决定如何在卖方和买方之间分担风险。文献涉及三类标准：分位数对冲、效用函数和基于矩的标准。分位数对冲（见F"ollmer和Leucert（1999），Bouchard等人。

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2022-6-14 04:10:26

（2017）的目标是构建一个hedgingstrategy，在所需成本受限的情况下，最大限度地提高成功对冲的可能性。分位数套期保值提供的另一种可能性是设定短缺概率ε，并将套期保值策略类别中的成本最小化，以使索赔覆盖的概率至少为1-ε.基于效用的标准和更准确的效用差异（见Carmona（2008））受到学术界的青睐，因为它有时可以获得分析价格和对冲策略。然而，由于相关的风险规避系数很难确定，从业人员没有使用这种方法。我们在本文中使用的最后一个族是基于对冲投资组合分布的矩。最简单的基于矩的标准是方差标准，该标准最小化对冲投资组合的方差和投资组合的局部方差（参见Schweizer（1999）的连续时间调查）。然而，二次标准以同样的方式惩罚损失和收益。这可能被视为一个缺点，但这有助于为买方和卖方提供相同的价格。Gobet et al.（2018）通过在损失函数中引入一种不对称性来扩展局部均方标准，这种不对称性惩罚的损失大于收益。在方差准则或局部方差准则的情况下，Tankov（2003）给出了使用一些Levy过程对资产建模时的连续时间套期保值策略。一旦选择了标准，就必须计算交易策略，使其最小化。必须制定具体方法来处理不完整性的来源（无论是流动性不足、交易成本、非交易风险因素等）套期保值产品的有限可用性可以通过两种方式处理。

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2022-6-14 04:10:29

首先，Potters和Bouchaud（2003）、Gathereal（2010）或Lehalle和Laruelle（2013）研究了在市场上出售或购买基础产品的价格影响。随着交易量的增加，影响越大，卖家倾向于限制交易量*EDF研发+西蒙。fecamp@edf.frEDF研发§joseph。mikael@edf.frPEDF研发和FiME，l\'Energiekxavier三月财务实验室。warin@edf.frvolume一次性出售。第二种方法是假设在实践中，风险经理意识到市场的流动性约束，并尝试实施考虑到这些约束的战略。在对冲投资组合的全球方差最小化的情况下，Warin（2019）开发了一些基于回归的算法，以计算对冲策略，同时考虑所有这些流动性约束。在文献中，交易成本处理与离散对冲一起出现。Eland（1985）的开创性工作建议使用Black-Scholes公式和修正的波动率。Kabanov和Safarian（2009）对Leland（1985）模型给出了复制界错误。Toft（1996）使用均值-方差标准分析了在交易成本存在的情况下，离散再平衡期权对冲的成本和风险之间的权衡。一般来说，当没有最优套期保值策略的封闭式公式可用时，我们使用一些随机动态规划算法，以避免维数灾难。据我们所知，不存在任何算法来确定具有任意标准、流动性约束和交易成本以及高维稳健性的最优策略。在本文中，我们提出了一些机器学习算法来推导最优套期保值策略第一组算法试图通过解决全球风险最小化问题来计算对冲头寸。

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2022-6-14 04:10:32

对冲策略使用不同类型的架构进行计算。最高效的体系结构易于实施，可用于流动性约束、一般风险标准和交易成本。该算法速度快，可用于高维空间。该方法与E等人（2017）提出的算法直接相关，该算法通过控制BSDE方法中的z项，使用全局优化问题来解决半线性偏微分方程第二和第三种算法是Warin（2019）所述两种算法的机器学习版本，只能用于方差标准：使用动态规划方法，在每个时间步解决一些最小化问题，以计算最优套期保值策略。这种方法基于一系列的局部优化，在解决非线性问题方面，这种想法已被证明比全局优化方法更有效，如Huréet al.（2019）、Beck et al.（2017）、Germain et al.（2020）。我们首先描述了套期保值问题，定义了价格模型，并给出了几个用于实验的损失函数。在详细介绍了所使用的不同算法之后，我们将重点放在方差标准上，并比较不同算法在涉及可变数量风险因素（无论是否可交易）的期权上获得的结果。我们将StOpt library Gevret等人（2016）使用Warin（2019）中描述的算法2在高性能计算机上进行的计算作为参考。然后，我们使用前面提到的不同风险标准训练第一个算法，并讨论这些标准对对冲投资组合分布的影响。

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2022-6-14 04:10:35

最后，我们介绍了交易成本，并展示了如何通过使用均值和方差目标的随机组合来训练算法来估计帕累托前沿。本文的主要结果如下：o我们表明，使用深度神经网络算法解决合理现实的期权对冲问题（离散时间、不可对冲因素、有限的流动性、交易成本、一般风险标准）是可行的。o对于方差准则，对全局和局部神经网络结构进行了比较。与PDE解决方案相反，全局方法似乎比局部最小化方法更有效，因为它成本低得多，而且往往更准确。通过多次运行该算法，得到了陷入局部极小和近似最优解的局部极小方法。与半线性PDE分辨率相比，这种行为差异肯定与PDE分辨率中用作状态的直接过程不受控制的事实有关。在我们的例子中，部分状态是受控的，我们需要使用先验法则对状态进行随机采样。这似乎是解释全球方法优越性的关键点。通过动态编程和回归获得的参考文献只能在小维度上进行计算，但我们期望在更高维度上的结果仍然很好利用全局算法，我们能够有效地解决一些由于所用风险函数的结构而无法用经典动态规划方法解决的套期保值问题。例如，现在可以计算帕累托有效前沿。2问题描述在数值试验中，我们保留了Warin（2019）中使用的价格模型。

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2022-6-14 04:10:38

第2.1节进行了简短描述，我们参考原始文件了解更多详细信息。2.1风险因素建模我们得到了一个连续时间运行的金融市场：我们从概率空间开始(Ohm, F、 P），时间范围0<T<∞ 过滤F=（Ft），0≤ t型≤ T代表T时可用的信息。我们认为d+1资产^F，^FD可用于贸易。为了简单起见，我们假设azero利率，并假设存在一个无风险资产，其价格严格为正。我们使用^Fas数字，并立即传递到以^F打折的数量。我们表示Fi=^Fi/^F，i=1。。。d由此折现的量和F（Fi）i=1的向量。。das坐标。我们考虑了另一个表示为V的非交易风险因素（交易量风险）（Fi）i=1的演变。。V的dand分别由一个具有indAnd inR值的扩散过程来描述。更准确地说，交易量风险VT是随机的，并遵循t≥ u≥ 0动态：Vt=^Vt+Vu公司-^Vue-aV（t-u） +ZtuσVe-aV（t-s） dWVs（1），其中aVis为均值回复系数，σV≥ 0的波动率，wvt是布朗运动(Ohm, F、 P）。^Vu是在给定日期u前几年的平均负荷≥ 此均值回复模型通常用于表示某些电力合同的负荷动态。我们假设，对于i=1，d、价格是鞅，遵循动态：Fit=Fie-（σi，E）E-2ai，E（T-t）-e-2ai、ET4ai、E+E-ai，E（T-t） ^Wi，Et，^Wi，Et=σi，EZte-ai，E（t-s） dWis（2），其中Fit表示在t时看到的在t日交割的远期价格，该价格为所有人给出一次，并将对应于所考虑的合同的到期日、ai、风险因子i的均值回复参数、σi、风险因子i的波动性参数和Wisa布朗运动(Ohm, F、 P）使它们相互关联，也与WVt相关。

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2022-6-14 04:10:41

我们将表示向量（Ft，…，Fdt，Vt）。2.2套期保值问题我们考虑在时间T支付g（ST）的未定权益的套期保值问题，其中ST表示包含的索赔基础向量。在不失概括性的情况下，在下文中，我们将自己视为衍生品卖方。我们考虑一组有限的套期保值日期t<t<…<田纳西州-1< . . . < tN=T。离散套期保值日期带来了不完整性的第一个来源。在每个日期，每个折扣资产只能以有限的数量买卖，这是不完整的第二个来源。交易量风险VT无法交易，是不完整性的第三个来源。自我融资投资组合是一个ad维（Ft）自适应过程t、其在时间t的终值表示为X标准满意度：XT=p+dXi=1N-1Xj=0itj（Fitj+1- Fitj），其中p将被称为保费。在两个时间步之间i、对应于买入或卖出命令Cij+1：=itj+1- 其绝对值不应超过流动性liso：|it |≤ li，| Cij |≤ li，j=1，N- 1，i=1，d、给定损失函数L，表示YT=XT- g（ST）），我们搜索一个策略验证：（pOpt，Opt）=Argminp，L（XT- g（ST））=Argminp，L（YT）。（3）我们将重点关注以下损失函数：o由l（Y）=E定义的均方误差Y. （4）例如，Schweizer（1999）对其进行了深入研究。它的缺点是以同样的方式惩罚损失和收益。这也可以被视为一种优势，因为它为买方和卖方提供了相同的价值和策略不对称损耗定义为：Lα（Y）=E（1+α）YY≤0+年≥0. （5）当α>0（分别为0<α）时，损失（分别为收益）将受到惩罚。这将被称为对称损耗。例如，Gobet等人（2018年）对其进行了研究损失力矩2/力矩4函数定义为：Lα（Y）=EYY年≥0+ αEYY年≤0, α ≥ 1.

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2022-6-14 04:10:44

（6）该标准旨在惩罚损失方的重尾。3一些经典神经网络和随机梯度算法DEP神经网络是逼近函数的最先进工具（见Liang（2017））。本节介绍了两种用于机器学习的经典网络。第一种方法在随机优化界是众所周知的，因为它在E et al.（2017）、Huréet al.（2019）、Beck et al.（2017）、Germain et al.（2020）中被用于解决一些非线性PDE问题。第二种方法给出了在给定日期t处理一些非马尔可夫问题的可能性，因为轨迹的整个过去都保存在内存中。由于函数的神经近似是高度非线性的，它总是导致非凸优化问题，需要一些我们详细介绍的特定分辨率算法。3.1作为函数逼近器的前馈神经网络在本节中，我们假设输入为维度d（状态变量x），输出为维度d（要估计的值函数的数量）。该网络的特点是有许多层L+1∈ N \\{1，2}，m`，`=0，五十、每层神经元（单元或节点）的数量：第一层是m=d的输入层，最后一层是mL=d的输出层，L- 1之间的层称为隐藏层，为了简单起见，我们选择相同的维度m`=m，`=1，L- 1、前馈神经网络是从Rdto到RDX的函数，定义为compositionx∈ Rd7-→ AL公司o % o AL公司-1.o . . . o % o A（x）∈ R（7）此处A`，`=1，L是一种有效的转换：从RDA到Rm的AMAP，a，AL公司-对于称为权重的矩阵W和称为偏差项的向量β，%：R→ R是一个非线性函数，称为激活函数，并在a′的输出上按分量应用，即%（x。

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2022-6-14 04:10:47

，xm）=（%（x），…，%（xm））。激活函数的标准示例有sigmoid、ReLu、Elu、tanh。所有这些矩阵W`和向量β\'，`=1，五十、是神经网络的参数，可通过元素θ识别∈ RNm，其中Nm=PL-1`=0m`（1+m`+1）=d（1+m）+m（1+m）（L- 2） +m（1+d）是参数的数量。Hornick et al.Hornik et al.（1990）的通用近似定理指出，对于Rd上的任何有限测度ν，只要%是连续的和非常数的，d>0，则使m变化的所有前馈近似器集在L（ν）中是稠密的。假设方程（3）的最优控制是充分光滑的，从普遍逼近定理我们知道，可以使用具有有效深度和宽度的前馈神经网络来逼近控制。后一个定理没有告诉我们什么是最小深度和宽度，因此必须进行经验研究才能知道什么是最好的架构。通用逼近定理也没有告诉我们如何优化神经网络的权重，但似乎随机梯度下降在许多情况下都显示出良好的结果。3.2递归和经典LSTM神经网络作为时间相关函数逼近器或递归神经网络（RNN）是一种动态系统，能够有效地利用输入序列中的时间信息。对于RNN，输入是一个时间序列，在本文中，输出由两个向量组成：内存状态mt和输出状态Ct。在每个时间步t，Mt-1和Ct-1将时间序列交给一个递归单元，即神经网络，其权重在所有时间步长上共享（见图3）。长-短期记忆细胞（Hochreiter和Schmidhuber（1997））是捕获数据长期依赖性的有力工具。它们的设计旨在避免基本RNN所产生的一些消失梯度效应。

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2022-6-14 04:10:51

在LSTM单元中，称为门的结构通过向状态添加或删除信息来调节内存状态中包含的信息流。门由asigmoid神经网络层和逐点乘法运算组成。数学上，第t个单元格内的规则如下：Γft=σ（AfSt+UfCt-1+bf）Γit=σ（AiSt+UiCt-1+bi）Γot=σ（AoSt+UoCt-1+bo）Mt=Γft Mt公司-1+Γit tanh（AMSt+UMCt-1+bM），M=0Ct=Γot tanh（Mt），C=0（8），其中是Hadamard积，σ是sigmoid激活函数σ（x）=1+e-x个, Ao∈ Rh×d，Uh×ho，bo∈ Rh，h为细胞状态大小。Γfts表示忘记门。它决定需要从内存状态中删除哪些信息。这个决定是由一个称为“忘记门层”的sigmoid层做出的。它输出一个介于0和1之间的数字，并将其乘以内存状态MtLS1中的每个数字。Γ它是一个输入门，用于评估需要在内存状态中存储哪些新信息。输出网关层决定需要输出的内存状态的哪些部分。它基于内存状态的过滤版本。权重矩阵和偏差向量（Ao、Uo、bo）通过所有时间步骤共享，并在培训过程中学习。输出CTI用作未知函数的近似值。我们仍然注意到用于LSTM表示的参数集θ（8）。3.3一般优化算法由于使用神经网络导致高度非凸和非线性优化问题，我们使用小批量随机梯度下降法计算θ参数。

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2022-6-14 04:10:54

自适应矩估计（Adam）Kingma和Ba（2014）是一种计算每个参数的自适应学习率的方法。除了存储过去平方梯度的指数衰减平均值外，像AdaDelta Zeiler（2012）和RMSprop（Tieleman和Hinton（2012））一样，Adam还保持了与动量类似的过去梯度的指数衰减平均值。算法1全局算法的正向分辨率1：α：步长2：β，β∈ [0，1]，矩估计的指数衰减率，3：迭代次数n，4：批次，每次梯度下降迭代的模拟次数（批次大小）。5： θ随机选择6:m← 07:v← 08:t← 09：对于t=0。NIterdo10：Su← Nbatchsamples模拟Su，u=t。。。，田纳西州-1，T11:t← t+112：gt=θL（NNθt-1（Su）- g（ST））（获取梯度w.r.t目标函数）13:mt← mt公司-1+ (1 - β).gt（更新偏差一阶矩估计）14:vt← βvt-1+ (1 - β） gt（更新偏差二次原始矩估计）15：^mt←mt1-βt（计算偏差修正后的一阶矩估计值（βt代表β与t的幂之比））16：^vt←vt1-βt（计算偏差校正的第二原始矩估计值（βt代表β的t次方））17：θt← θt-1.- α^mt/(√^vt+) （更新参数）4全局套期保值问题的最优网络在本节中，我们将两个前馈网络的使用与我们提出的LSTM网络和LSTM网络的扩展进行比较。我们首先解释如何在Black-Scholes模型中对冲看涨期权的背景下使用之前提出的前馈网络。然后，我们详细说明了我们的LSTMextension，并比较了在没有任何对冲约束的情况下，在对冲问题上获得的结果。我们表明，修改后的LSTM网络可以提供最佳结果。最后，我们解释了如何调整我们的修改后的LSTM网络以应对流动性约束。

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能者818

2022-6-14 04:10:57

在以下情况下，~St=St-E【St】√E[（St-E（St））]表示St.4.1前馈神经网络体系结构在全球HedgingProblem上的规范化版本。解决第2.2节所述套期保值问题的可能方法包括训练N个不同的前馈神经网络（每个时间步一个），如Han et al.（2018）针对PDE案例所做的，如图1所示和第4.1.1节所述。这种架构（以下称为前馈控制）可能会产生大量待估计的权重和偏差（N* 深度* 宽度）。另一种可能性是按照Chan Wai Nam et al.（2019）的建议，如图2所示和第4.1.2节所述，训练一个由价格和成熟时间组成的前馈神经网络。该体系结构在下文中称为前馈合并控制。4.1.1前馈控制网络中的前馈控制结构，N-1网络依次馈送（▄Sti）i=1。。。N-1、前馈网络由θ（待估计的偏差和权重）参数化。第i个前馈神经网络图1：前馈基本结构：N- N的1个前馈网络- 1时间步图2：前馈合并架构：将时间维度添加到输入特征中，但在所有时间步内共享前馈偏差和权重网络提供了d维度控制ti（▄Sti，θ）。第一个控件t（~St，θ）和保费p（θ）是可训练变量。最终支付公式为：XT（θ）=p（θ）+dXi=1N-1Xj=0itj（~Stj，θ）（Fitj+1- Fitj）。问题（3）导致以下优化问题：θ*= ArgminθL（XT（θ）- g（ST））。

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mingdashike22

2022-6-14 04:11:00

（9） 4.1.2前馈合并控制结构在前馈合并控制结构中，一个神经网络连续地以（￠Sti）i=1。。。N-1、对于每一对（ti，~Sti），网络提供一个控制（ti，Sti，θ），其中θ表示待估计的偏差和权重。同样，第一个控件（t，~St，θ）和保费p（θ）是可训练变量。最终结果如下：XT（θ）=p（θ）+dXi=1N-1Xj=0i（tj，~Stj，θ）（Fitj+1- Fitj）。问题（3）导致以下优化问题：θ*= ArgminθL（XT（θ）- g（ST））。（10） 4.2递归网络套期保值问题的连续性使得递归神经网络（RNN）的使用具有相关性。例如，Chan Wai Nam et al.（2019）将这种网络用于PDE数值解析图3：递归架构。例如，该单元可以是LSTM单元。图4:LSTM单元可能与前馈网络结合（图受Olah（2015）启发）问题。正如Chung等人（2014）所述，在所有RNN架构中，LSTM神经网络（Seehchreiter和Schmidhuber（1997））具有若干优势，其中包括收敛速度和内存管理。例如，它将允许管理非马尔可夫基础模型。该体系结构在下文中称为经典LSTM。由于更多的层可能代表更复杂的输入函数，我们建议测试在STM单元输出中添加前馈网络是否有助于算法收敛，如图4所示。LSTM小区和前馈网络的这种组合在下文中称为增强LSTM小区。递归单元格被▄St馈送。它对一系列输入的递归调用提供了一系列底层位置变化（见图3）。

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2022-6-14 04:11:03

在每个日期tj，周期性单元格根据历史事件和控制^Cj（θ，（￠Sts）s产生d维输出≤j、(ts）s≤j））（在图4中简单地表示为CJ）没有边界。战略’计算j=0，N- 1.i=1，di（tj，（Sti）i≤j、 θ）=jXk=0^Cik（℃Sts）s≤j（ts，（~Sts）s≤j、 θ））。（11）最后的支付公式为：XT（θ）=p（θ）+dXi=1N-1Xj=0i（tj，（~Stk）k≤j、 θ）（Fitj+1- Fitj）。问题（3）导致以下优化问题：θ*= ArgminθL（XT（θ）- g（ST））。（12） 4.3神经网络额外参数神经网络结果取决于以下列出的一些额外参数。除非另有规定，所有测试用例都共享这些参数批量大小，我们在Adam优化器的每次迭代中给出的模拟数量等于50Adam初始学习率等于0.001（默认参数）。oLSTM单元中的LSTM单元数（Mt尺寸）等于50。o我们使用3个ReLU层和10的前馈部分的密度来增强LSTM单元在将数据交给神经网络之前，我们使用数据的批量归一化。用于归一化的平均值和方差在100 000个模拟的子集上计算一次除非另有规定，梯度下降算法中的迭代次数等于20000次。每1000次迭代，如果神经网络在测试集上的损失比以前更好，我们将保持神经网络状态。在下文中，使用TensorFlow进行测试（Abadi et al.（2015））。4.3.1全局神经网络体系结构的数值比较稳定1比较了方程（4）的均方套期保值误差，这两种体系结构以及Black-Scholes看涨期权（具有趋势u和波动率σ）的增广LSTM体系结构，具有无流动性约束。

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2022-6-14 04:11:06

使用Black-Scholes获得的结果也显示了。经过20000次迭代后，使用增广LSTM体系结构得到的结果优于使用两个前馈网络得到的结果。当然，布莱克·斯科尔斯在这种情况下，几乎完全的市场环境是无敌的，并且布莱克斯科尔斯误差将在连续时间内为0。然而，我们可以看到，与Black-Scholes相比，增广LSTM给出的复制误差相对较低。均方误差Black-Scholes（N（d））1.61e-05前馈增量【10，10，10】1.32e-04前馈增量【10，15，30】1.31e-04前馈合并【10，10，10】1.37e-04前馈合并【10，15，30】1.30e-04增强LSTM 50单位【10，10，10】1.73e-05表1：具有不同神经网络结构的Black-Scholes看涨期权的均方误差。Layersizes用列表表示（例如，[10、15、20]表示三个隐藏层，分别为10、15和20）。参数：S=K=1，t=1/365，t=1/12年，u=0，σ=0.2）。迭代次数设置为20000。前馈网络的激活函数是ReLu函数。在表2中，我们显示了方程（4）损失的均方误差，该损失源自经典的LSTM-cellon a无流动性约束普通看涨期权和2个市场利差看涨期权（具有Payoff（ST- 装货单- K） +）。我们将此损失与扩展LSTM单元的损失进行比较。我们可以看到，对于这里由2个市场价差表示的更复杂的支付，增加的LSTM单元给出的结果稍好一些。Black-Scholes看涨期权2市场扩展经典LSTM单元5.73e-05 3.64e-04增强LSTM单元3.97-05 1.11E-04表2：不同经典和增强LSTM架构之间的均方比较。

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2022-6-14 04:11:09

参数：看涨期权：T=3/12，t=1/360，S，u=0.02，σ=0.3-2个市场价差期权（S=1，S=0.5，K=0.5，σ=σ=0.3，u=u=2%，corr（W，W）=0.2）。4.4适应经常性架构以处理流动性约束由于流动性约束情况下的控制是有界的，必须转换网络的输出，我们建议使用tanh激活函数，如下所示：i（tj，（Sti）i≤j、 θ）=lijXk=0tanh（^Cik（℃Sts）s≤j（ts，（~Sts）s≤j、 θ）））。（13）顺便说一下，两个时间步之间的控制差异属于[-李，李]。5带约束套期保值问题的局部算法用于解决带约束套期保值问题的其他两种算法是基于Warin（2019）提出的动态规划原则的局部算法。要最小化的目标函数由方程（3）、（4）给出，因此对应于全局方差套期保值问题。在最初的文章中，作者使用一些网格来离散资产水平，并使用一些回归来计算条件期望。如前所述，这两种算法仅适用于优化方差问题。可以注意到，提出的两种局部机器学习算法可能与Huréet al.（2018）最近的一些工作有关；Bachouch等人（2018年）和Huré等人（2019年）。我们引入▄的空间在RdWi中（yen) ={（V，) ∈ R×Rd，Fti采用|k-~k|≤ lk，对于k=1，d} ，Θi（) ={(i、，N-1），其中j≥ 我，jare RDVALUEDTFTJ改编自|ki公司-~k|≤ lk|千焦+1- 千焦|≤ lkfor一级≤ j<N- 1，k=1。

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2022-6-14 04:11:12

，d}^Wi（~) ={（V，) 其中V为R值，Fti适应， ∈ Θi（Θ)}.如Warin（2019）中3.1号提案所示，问题（3）、（4）可以写成（p，^) = arg最小值∈R∈Θ（0）NXi=2E“Vi-dXk=1ki公司-1（Fkti- Fkti公司-1) - 不及物动词-1!#+E“V-dXk=1k（Fkt- Fkt）- p！#，（14）其中，粘度：VN=g（ST），Vi=E“g（ST）-dXk=1N-1Xj=i千焦（Fktj+1- Fktj）| Fti#，i=1，N- 1，（15）5.1第一个局部算法方程（14）给出了一个动态规划算法：在日期ti处引入当前状态sti的最优残差R，并在投资组合中投资我-1资产：R（ti、Sti、，我-1） =最小值（V，)∈^Wi(我-1） E“g（ST）-dXk=1N-1Xj=i千焦（Fktj+1- Fktj）- 五、|Fti#，（16）然后方程（14）给出Sr（ti，Si，我-1） =最小值（V，)∈Wi公司(我-1） E“V-dXk=1ki（Fkti+1- Fkti）- 五、+ R（ti+1，Sti+1，i） | Fti#（17）式中，V是公式（16）中argmin的第一个分量，计算R（ti+1，Sti+1，i）。在价格为鞅的特殊情况下，（17）中的（~V，V）独立于对冲策略，由（E[g（ST）| Fti+1]，E[g（ST）| Fti]）给出。ThenR（t，St，0）=最小值∈Θ（0）E“N-1Xi=0（E[g（ST）| Fti+1]-dXk=1ki（Fkti+1- Fkti）- E【g（ST）| Fti】#通过求解经典的局部最小方差问题，只剩下套期保值策略进行计算，使得每个时间步最小∈RdE“V-dXk=1k（Fkti+1- Fkti）- 五、|Fti#。

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2022-6-14 04:11:15

（18）然后，我们的目标是使用神经网络计算Vifunctions（因此仅计算条件期望）和最优控制iboth作为Sti在每个日期的函数，通过向后递归在每个时间步最小化（18）。与V不同，由于流动性限制和j∈ [jj] 其中最小约束jand最大约束jare in Rd.规范对冲产品头寸，我们引入^j=ψj(j） :=j-jj-jsuch that^j∈ [0, 1].在每个时间步，使用前馈神经网络将投资组合值和归一化命令参数化，作为归一化不确定性和位置的函数：^Vj（θj；^Stj，^j），^C（θj；^Stj，^j）第一个算法2采用向后递归（18）进行求解。然后，在每个时间步，通过使用机器学习方法实现方程（19）的求解，其中每个函数依赖于一些规范化变量，以简化方法的收敛性。方程（19）的分辨率通过使用经典随机梯度下降实现。备注5.1我们为^Vjand^创建了一个单一网络jletting^Vjdepend on^tj-1前一日的套期保值头寸。在这个鞅的情况下，可以创建两个网络，第二个网络仅用于表示V作为^S的函数。备注5.2套期保值头寸中的头寸x（在[0，1]d中归一化）在算法中统一采样。^stjar根据自己的经验法则进行抽样，^Stj+1有条件地抽样到^Stj。备注5.3神经网络的输出具有无界值。

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2022-6-14 04:11:17

为了满足套期保值头寸的约束，对神经网络^C（θj；^Stj，^）的输出进行tanh变换j）允许在中有输出[-1，1]d.算法2第一个局部分辨率算法的后向分辨率（鞅情况）1:UN（^StN（ω），^N） =g（ST），^N∈ [0，1]d，2：对于j=N- 1，N- 2.1 do3：用于x∈ U（0，1）dθ*j=arg minθEUj+1（^Stj+1，ψj+1（φj（θ；^Stj，x）））- φj（θ；^Stj，x）。（Ftj+1- Ftj）-^Vj（θ；^Stj，x）|Ftj公司, （19）式中φj（θ；^Stj，x）=ψ-1j（x）+l tanh（^Cj（θ，^Stj，x））4： Uj（，.）=^Vj（θ*j、 .，.）5：最后：arg minp∈R∈[-l、 l]Eh（U（^St，ψ()) - C、（英尺- 英尺）- p） i5.2第二个局部算法第二个算法可以被视为第一个算法的路径泛化，其中在每个时间步，都会实现优化，以使用先前计算的命令计算当前时间步的值函数和命令。在该算法中，增益函数R由ω更新ω。然后，在Ti日，以资产价值或投资我-1日期为ti的客户-1： R（ti、Sti、，我-1） =g（ST）-dXk=1N-1Xj=i千焦（Fktj+1- Fktj），=(R)R（ti+1，Sti+1，（一）-dXk=1ki（Fkti+1- Fkti），如Warin（2019）所示，在第十一天，最佳控制与最小化问题相关：min（V，)∈R×RdE“（(R)R（ti+1，Sti+1，) -dXk=1k（Fkti+1- Fkti）- V）| Fti#。这导致了第二个算法3。算法3第二个局部分辨率的向后分辨率算法1：对于j=N- 1，N- 2.1 do2：用于x∈ U（0，1）dθ*j=arg minθEg（ST）-N-1Xk=jk、（Ftk+1- Ftk）-^Vj（θ；^Stj，x）|Stj公司, （20）在哪里j=φj（θ；^Stj，x）k+1=φk+1（θ*k+1，^Stk+1，ψk+1(k））对于k∈ [j，N- 2] φk（θ；^Stk，x）=ψ-k为1k（x）+l tanh（^Ck（θ，^Stk，x））∈ [j，N- 1] 3：最后：arg minp∈R∈[-l、 l]E“（g（ST）-N-1Xk=0k、（Ftk+1- Ftk）- p） #每个优化都使用随机梯度下降实现。

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2022-6-14 04:11:20

请注意，第二种算法的成本远远高于第一种算法，因为在每个时间步，必须从当前时间到资产到期日对一些指令值进行评估，以进行对冲。5.3局部算法的参数我们给出了优化过程中使用的参数：o在每个时间步，使用四层（即一个输入层、两个隐藏层和一个输出层）的经典前馈网络，每个层有12个神经元。前三层使用ELU激活功能，而输出层使用身份激活功能批量大小，即我们在每次迭代中用于进行Adam gradientupdate的模拟数量是2000在每个时间步骤中，使用的迭代次数限制为随着问题维数的增加而增加的次数，从4维问题的5000次到严格超过4维的问题的25000次初始学习率为1e- 3.6数值结果在无交易成本和均方误差的情况下，在本节中，我们使用薄离散化来评估最优方差，将三种基于机器学习的算法与基于随机控制的工具（Gevret et al.（2016））进行比较。6.1价差期权支付描述我们使用一些价差期权问题来比较这三种算法。本节中的支付是针对d≥ 2乘：g（ST）=VTFT-d- 1dXi=2位- K！+。（21）对于所有情况，我们采用以下参数：o到期日等于T=90天，oK=10，o套期保值日数N等于14（但对最后一个套期保值日的控制微不足道）。oli每个日期的流动性（即我们可以购买或出售的最大数量）等于所有基础的0.2，oF=40，σ1，e=0.004136，a1，e=0.0002（天）。o与选项相关的初始荷载满足V=1。这三种情况采用以下参数：1。

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2022-6-14 04:11:24

案例1：d=2，σV=0该案例是一个四维案例（2项资产和2项对冲头寸），其中：oF=30，σ2，E=0.003137，a2，E=0.0001（天）。oρ1,2=0.7是两项资产之间的相关性。2、情况2：d=2这是一个5维的情况，参数与第一种情况相同，但载荷不同，参数σV=0.02，aV=0.02（天）。每个可交易资产与非可交易资产V之间的相关性等于0.2。注意，这是σv>0.3的唯一情况。情况3：d=3，σV=0这是尺寸6中的情况，F=35，σ2，E=0.003137，a2，E=0.0001（天）。oF=25，σ3，E=0.005136，a3，E=0.0001（天）。o资产i和j之间的相关性见ρi，jand满意度：ρ1,2=0.7，ρ1,3=0.3，ρ2,3=0.5.6.1.1数值结果在表3中，给出了3种算法在10万次常见模拟中获得的方差，并与StOpt库获得的方差进行了比较。请注意，由于问题的大小，案例3并没有与StOpt库完全收敛。对于局部算法1和2，我们运行优化10次，并取得到的最佳方差。全局算法在计算时间方面远比局部算法有效，因为在core I3笔记本电脑的图形卡上，10000次迭代在220秒内运行，而算法2和3在案例3中可能需要一些小时。均方误差案例1案例2案例3未对冲投资组合8.3058 8.5250 10.5960用StOpt 0.3931 0.5160 0.4983用全局算法对冲0.3920 0.5205 0.4852用算法1对冲0.3971 0.5168 0.4763用算法2对冲0.3912 0.5183 0.4943表3：基于神经网络的算法和随机控制算法之间的均方比较图5，绘制了市场价差和全局神经网络算法的损失。案例1。案例2。案例3。案例2。

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kedemingshi

2022-6-14 04:11:26

具有两个以上的时间步长图5：全局神经网络算法的损失函数。如图6、7和8所示，对于四种算法，2和3个市场价差的Delta遵循相同的形状。Future 1 Sim Nb 1 Future 1 Sim Nb 2 Future 1 Sim Nb 3 Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3图6：案例1的增量。数值结果表明，全局算法和局部算法给出了相似的结果。我们观察到，使用10次运行，局部算法在低维中给出了类似的结果，但随着维的增加，获得的结果可能会有很大的不同，这意味着优化器经常被困在远离结果的局部最小解中。此外，与globalalgorithm相比，每一步使用的迭代次数必须大大增加，这导致了非竞争性的运行时间。Future 1 Sim Nb 1 Future 1 Sim Nb 2 Future 1 Sim Nb 3 Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3图7：案例2的增量。Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3 Future 3 Sim Nb 1 Future 3 Sim Nb 2 Future 3 Sim Nb 3图8：案例3的增量。全局算法在维度6上仍然非常有效，并且能够非常快速地解决问题，因此可以提供一种解决高维度问题的方法。出现的一个问题是，当决策数量（即套期保值日期的数量）增加时，三种基于神经网络的算法如何执行。为了增加套期保值日的数量，我们可以增加到期日T，同时保持两个套期保值日之间的距离相同。由于所选模型的均值回复性质，更复杂的情况包括保持T=90天，同时增加套期保值日期的数量。

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2022-6-14 04:11:30

在表4中，我们计算了四种算法在28个（而不是之前的14个）套期保值日和0.15个（而不是0.20个）单位/日的流动性情况下的误差。这三种方法在准确性方面有效。由于优化策略的每个日期都要重新模拟，直到成熟为止，使用局部算法2所花费的时间急剧增加。随机控制全局Algo 1 Algo 20.271 0.265 0.259 0.262表4：情况1的均方误差，24个对冲日期，流动性为0.15.6.2测试不同的风险标准全局神经网络方法的优势之一是其灵活性。模型上没有特殊的模仿（马尔可夫或非马尔可夫，高斯或非高斯…）我们可以选择不同的损失函数。在本节中，我们从不同的损失函数中得出最优控制。在图9、10和11中，我们用方程式（4）、（5）和（6）中定义的损失函数绘制了对冲投资组合的分布图。一般来说，非对称损失函数给出了不同的分布形状。在左侧，不对称损失曲线和力矩2/力矩4损失曲线均低于均方损失曲线。在图11所示的最左侧尾部，均方损失函数是唯一一个被表示的函数：力矩2/力矩4和不对称损失函数避免了极端损失。这是按平均值支付的（分布的中间）：两个非对称损失函数的损失较小。一些分布质量被转移到右侧（增益侧）。

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2022-6-14 04:11:33

这是一个有吸引力的副作用：与均方误差相比，L2/L4和不对称损失函数更倾向于收益。放大左侧尾翼放大右侧尾翼图9：案例1和不同风险标准的对冲投资组合分布-放大尾翼用核密度估计方法构建放大左侧尾翼放大右侧尾翼图10：案例2和不同风险标准的对冲投资组合分布-放大尾翼左尾放大右侧尾翼最左侧尾部缩放最右侧尾部缩放图11：案例3和不同风险标准的对冲组合分布-尾部缩放7具有交易成本的期权对冲问题的数值结果在本节中，我们研究了在全局算法中实施时交易成本的影响。我们认为出售或购买一卷FIK的成本等于k.ci，ci≥ 0、当我们出售衍生产品时，策略X的终端财富和相关交易成本Y等于：XT=p+dXj=1N-1Xi=1jti（Sjti+1- Sjti），YT=dXj=1N-1Xi=1|jti公司- jti公司-1 | cj。我们使用以下定义的标准：dα（X, g（ST））=（1- α） E[YT]+αpE[（XT- g（ST））]，α∈ [0, 1]. （22）该标准描述了风险限制和对冲成本之间的权衡。

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能者818

2022-6-14 04:11:35

如果α=1，则该标准等效于第6.1.1节中研究的方差最小化；如果α=0，我们只需最小化交易成本而不考虑风险（这相当于什么都不做）。α ∈ [0，1]是风险和交易成本最小化权衡的帕累托边界的参数化。这个问题是一个投资组合管理问题，其中p是一个输入（未优化），我们在数值测试中取E[g（ST）]。7.1训练帕累托前沿代替训练神经网络的N个版本的N个α值，我们建议将α添加到神经网络的输入变量中（见图4），并在每次训练迭代中随机选取一个α值，然后随机均匀分布U（0，1）。通过这样做，我们为问题增加了一个维度，但我们得到了所有α的最优策略∈ 立即执行[0，1]。这与传统算法不同，传统算法更倾向于计算在RK上定义的N个函数，而不是在RK+1上定义的一个函数。获取整个帕累托边界有很多原因，例如它允许检索与预期交易成本目标预算相对应的α。为了获得帕累托前沿估计，我们增加了神经网络的宽度（3个50个隐藏层，而不是之前LSTM投影部分的10个神经元），并进行了10万次小批量梯度下降迭代，而到目前为止，只有2万次迭代是有效的。α由Sobol拟随机发生器生成。7.2数值结果我们考虑案例2的市场利差选项。和案例3。如6.1所述。所有可交易风险因素的交易成本相同，每单位交易量的交易成本设定为0.02。在图12中，我们绘制了不同α的平均交易成本和对冲投资组合价值的方差。

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2022-6-14 04:11:38

如预期，当α~ 1，该策略给出了与第6.1.1节的纯方差最小化相似的结果；当α~ 0，我们将获得与未对冲投资组合相对应的结果。在图13和图14中，绘制了案例2和案例3的增量，用于一些具有多个α的模拟。对于较低的α，算法倾向于降低控制幅度，以降低交易成本。案例2。案例3。图12：不同α和0.02交易成本的利差期权均方与交易成本平均值。虚线对应于样条插值线。Sim Nb 1 Sim Nb 2图13：未来1和情况2的增量。以及各种αSim Nb 1 Sim Nb 2图14：未来1和案例3的Delta。提出了三种基于神经网络的未定权益套期保值算法（两种局部算法和一种全局算法）。与基于随机控制的技术相比，这三种算法显示了良好的效果。特别是，全局算法在执行速度和灵活性方面都很有趣。全局算法使用不同的已知损失函数进行测试，在全局算法中使用LSTM架构将允许使用一些非马尔可夫基础模型。此外，我们还提出了一种绘制帕累托边界的方法。我们将此方法应用于交易成本情况下最大化平均值和最小化方差之间的权衡（通过目标函数中均值和方差的α组合参数化）。

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2022-6-14 04:11:41

获得整个帕累托边界的好处有三个：o它提高了推理速度，因为我们不需要用不同的参数化重新训练算法；o进行逆向工程变得很容易（例如，获得哪个α对应于目标交易成本预算）；o更容易进行敏感性分析；与基于随机控制的算法相比，全局算法的缺点是缺乏收敛性证明。然而，全局算法允许处理任何其他技术都无法实现的情况。参考资料M。Abadi、A.Agarwal、P.Barham、E.Brevdo、Z.Chen、C.Citro、G.S.Corrado、A.Davis、J.Dean、M.Devin、S.Ghemawat、I.Goodfello、A.Harp、G.Irving、M.Isard、Y.Jia、R.Jozefowicz、L.Kaiser、M.Kudlur、J.Levenberg、D.Mane、R.Monga、S.Moore、D.Murray、C.Olah、M.Schuster、J.Shlens、B.Steiner、I.Sutskek Ver、K.Talwar、P.Tucker、V.Vanhoucke、V.Vasudevan、F.Vi~Algas、O.Vinyals、，P、典狱长M.Wattenberg、M.Wicke、Y.Yu和X.Zheng。TensorFlow：《异构系统上的大规模机器学习》，2015年。tensor Flow提供的软件。组织。A、巴楚赫、C.胡雷、N.朗格蕾内和H.范。有限水平随机控制问题的深层神经网络算法，第2部分：数值应用。arXiv预印本arXiv:1812.059162018。C、贝克、W·E和A·詹森。高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习近似算法。arXiv预印本arXiv:1709.059632017。B、 Bouchard、X.Tan和X.Warin。具有分支过程的一般lipschitz BSDE的数值逼近。arXiv预印本arXiv:1710.109332017。R、卡莫纳。差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2008年。Q、 Chan Wai Nam、J.Mikael和X.Warin。半线性偏微分方程的机器学习。

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2022-6-14 04:11:44

《科学计算杂志》，2019年2月。J、 Chung、C.Gulcehre、K.Cho和Y.Bengio。门控递归神经网络序列建模的经验评估。arXiv预印本arXiv:1412.35552014。W、 E、J.Han和A.Jentzen。高维抛物型偏微分方程和倒向随机微分方程的基于深度学习的数值方法。《数学与统计通讯》，5（4）：349–380，2017年。H、 F"ollmer和P.Leucert。分位数对冲。《金融与随机》，3（3）：251–2731999。ISSN 0949-2984。J、 Gatheral公司。无动态套利和市场影响。定量金融，10（7）：749–7592010。M、 Germain、H.Pham和X.Warin。非线性偏微分方程的深度向后多步格式及近似误差分析。arXiv预印本arXiv:2006.014962020。H、 Gevret、J.Lelong和X.Warin。Stopt，一个用于随机控制的开源库。https://gitlab.com/stochastic-control/StOpt, 2016.E、 Gobet、I.Pimentel和X.Warin。使用非对称风险函数的期权估值和套期保值：通过完全非线性偏微分方程的渐近最优性。工作文件，2018年4月。J、 Han、A.Jentzen和W.E.利用深度学习求解高维偏微分方程。《国家科学院学报》，115（34）：8505–85102018。ISSN 0027-8424。S、 Hochreiter和J.Schmidhuber。长期短期记忆。神经计算，9（8）：1735-17801997。K、霍尼克、M.斯丁奇科姆和H.怀特。使用多层前馈网络对未知映射及其导数的通用逼近。神经网络，3（5）：551–5601990。C、 Huré、H.Pham、A.Bachouch和N.Langreneé。有限域上随机控制问题的深层神经网络算法，第一部分：收敛性分析。arXiv预印本arXiv:1812.043002018。C、 Huré、H.Pham和X.Warin。

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