持久易腐的最优投资消费保险

2022-6-14 05:55:28

本文涉及可抵扣保险计划文献中的多条线索，包括但不限于Arrow（1971）、Mossion（1968）、Briys（1986）、Gollier（1994）、Gollier and Schlesinger（1995）、Touzi（2000）、Moore and Young（2006）和Perera（2010）。现代经济提供种类繁多的消费品。出于建模目的，每种商品可分为易腐商品或耐用商品，而耐用资产通常是耐用消费品，如住房和汽车。可调节的商品，如住房与其他金融资产（即股票和债券）不同，因为所有者可以获得公用事业和房屋净值。对于许多经济代理人来说，房屋是他们投资组合中的主要资产和最大资产。然而，投资-消费保险选择文献中并未很好地讨论此类积极耐用资产与其他金融资产持有的相互作用。这是由于难以将房地产市场中的各种摩擦或因素结合起来。购买房屋需要首付，假设要求房主保持正的房屋净值状况。此外，与债券和股票等其他金融资产相比，住房投资通常杠杆率较高，流动性相对较低，决策对代理人一生的财富积累或福利至关重要。如果代理人不面临流动性约束，那么购买住房将使其拥有住房。这有助于代理人利用房屋净值来抵御金融风险，并在面临房价风险的同时获得多元化收益。

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2022-6-14 05:55:31

当耐用消费品进行交易时，将产生随时间变化的投资机会，影响金融资产的投资策略。然而，在保险文献中，对耐用消费品最佳保险范围的研究却很少。另一方面，许多研究人员研究了耐用消费品的最优消费和投资。其中包括Hindy和Huang（1993）、Detemple和Giannikos（1996）、Cuocoand Liu（2000）和Cocco（2004）。本文扩展了德马托斯和席尔瓦（2014）的研究结果，他们在易腐耐用消费品的跳跃式差异市场中分析了这一问题。然而，他们没有考虑耐用消费品的最佳保险水平。在本文中，我们使用de Matos和Silva（2014）非常相似的技术来衡量金融市场跳跃的影响，保险对耐用消费品的作用，以及耐用和易腐商品的同时消费受出售前耐用资产的比例交易成本的影响。考虑这两种商品的重要性将使我们能够在金融市场价格不连续的情况下检查不同交易成本结构的影响。我们将这些影响结合起来，以显示投资战略的重要性和变化，这已在财务文献中进行了讨论。2、经济模型考虑了在有限时间范围内的一个经济主体，该经济主体具有易腐消费品、耐用消费品和两种金融资产，在其估值中受到正贴现的影响。这意味着投资决策没有时间终止，经济代理人关注的是其投资组合的短期动态行为，而不是长期动态行为。

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何人来此

2022-6-14 05:55:34

市场是在随机基础上确定的Ohm, F英尺t型≥0，P因此英尺t型≥0是P-二维布朗运动产生的自然滤波的增强W（t），W（t）和二维Poisson过程N（t），N（t）强度分别等于λ和λ。这里，W（t）、W（t）、N（t）和N（t）是独立的过程。构成随机动态建模框架的要素如下：（a）交易资产时不存在交易成本或税费。（b）金融证券和耐用消费品可以无限量购买，并且完全可以分割。（c）金融证券可以卖空，但耐用消费品不能卖空。考虑中的金融市场由满足以下随机微分方程（SDE）的非分红风险资产（t）组成：dS（t）=S（t-) （uSdt+σSdW（t）- η（dN（t）- λdt）），t≥ 0，（2.1），其中u是恒定增值率减去N的补偿率λ，σ是恒定波动率参数，η>0是风险资产的跳跃系数。其他金融资产是一种无风险证券，支付恒定的持续复合利率r。我们假设，如Damgaard et al.（2003）所述，耐用商品的单价P（t）遵循几何布朗运动，满足SDEdP（t）=P（t）（uPdt+σPdW（t）+σP 2dW（t）），t≥ 0，（2.2），其中uP>0，σP>0和σP 2≥ 0是常量标量。我们注意到，当σP 2≥ 我们还假设耐用消费品的库存随时间以一定的比率δ贬值。我们还假设耐用消费品可能会因可保险事件而受损，例如自然灾害，由泊松过程N（t）表示。

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2022-6-14 05:55:37

我们假设，当保险事故发生时，耐用消费品中有一个恒定的部分是损失者损坏的。这意味着在任何给定的时间t，持有的耐用消费品的单位数量K（t）根据以下SDEdK（t）=K（t）演变-) (-δdt- `dN（t）），t≥ 0，（2.3），其中我们施加条件K（t）≥ 0，因为假设经济机构不能对耐用消费品进行空头头寸。经济代理人可以选择购买保险合同以弥补损失风险。我们用q（t）表示≥ 0保险范围的级别，即保险人在损失事件发生时支付的赔偿。代理可以在近期的任何时间t自由选择或更改aleft连续覆盖级别q（t）的级别。为简单起见，我们不要求q（t）≤ `K（t-)P（t）。我们假设保险费是连续支付的，并包括一个正荷载系数，由i（t）=Дλq（t），（2.4）给出，其中荷载系数≥ 1、经济主体必须为耐用商品和金融资产选择消费策略和交易策略。设c（t）为时间t时易腐消费品的消费率，它是一个具有可积性的渐进可测过程。为了实现其投资目标，经济代理人选择由无风险资产、风险资产和耐用消费品组成的投资组合。设π（t）和π（t）分别为在时间t投资于无风险资产和风险资产的金额。总财富由代理人在无风险和高风险资产以及耐用消费品投资中的投资之和得出。因此，这套交易策略由以R×R+为单位的四维渐进可测且合适的可积随机过程（π（t）、π（t）、K（t）、q（t））组成。

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nandehutu2022

2022-6-14 05:55:40

代理人的总财富由x（t）=π（t）+π（t）+K（t）P（t），t给出≥ 0。（2.5）假设代理人遵循自我融资消费投资保险策略（c（t）、π（t）、π（t）、K（t）、q（t）），代理人的财富过程X（t）随着SDEdX（t）=（rX（t-) + π（t-)（uS+λη）- r） +K（t-)P（t）（uP- r- δ) - Дλq（t））dt- c（t）dt+π（t-)σS+K（t-)P（t）σPdW（t）+K（t-)P（t）σP 2dW（t）- π（t-)ηdN（t）- （`K（t-)P（t）- q（t））dN（t），t≥ 0，（2.6），其中X（t-), etc.指的是时间t之前的流程值，即任意泊松跳到t之前。我们要求代理的策略满足偿付能力条件。也就是说，在任何时候，经济代理人的总财富总是非负的，因为他们知道风险资产价格过程可能会跳跃，并且可能发生保险事故。这些考虑因素导致X（t-) - ηπ（t-) ≥ 0，X（t-) - （`K（t-)P（t）- q（t））≥ 0（2.7）表示所有t>0。设（x，k，p）表示状态变量（x（0），k（0），p（0））的初始值。如果x>0，k，则称初始状态变量（x，k，p）处于偿付能力区域≥ 0，p≥ 策略π={π（t）=c（t），π（t），K（t），q（t）, t型≥ 如果π（t）和相应的财富X（t）满足（2.7）和约束条件，则0}是可容许的c（t）≥ 0，K（t）≥ 0，q（t）≥ 0，（2.8）对于所有t>0。对于偿付能力区域中的所有（x，k，p），都存在可接受的策略。例如，立即出售所有耐久性商品和风险资产的股份，只投资于无风险资产是一种可接受的策略。继Matos和Silver（2012）之后，我们考虑了一个经济代理人，他在有限的时间范围内最大化易腐和耐用品消费的时间可分离效用函数，byZ给出∞e-ρtu（c（t），K（t））dt，（2.9），其中常数ρ>0是经济主体的时间偏好参数。

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2022-6-14 05:55:43

我们假设消费函数的效用表现出恒定的相对风险厌恶，givenbyu（c，k）=1- γcβk1-β1.-γ、 0<β<1，γ>0，γ6=1，（2.10），其中γ是风险规避常数，常数β决定易腐和耐用品消费的相对权重。代理的目标是获得可接受的策略π，使得t=0时的预期效用，给定为j（x，p，π）=EZ∞e-ρtu（c（t），K（t））dt（2.11）最大化。此处，由于有限时间范围和时间齐次状态方程（2.1）、（2.2）和（2.3），预期效用与时间无关。此外，预期效用将只取决于x和p，因为在没有交易成本的情况下，K（0）可以在没有任何成本的情况下调整到π指示的水平。由v（x，p）=supπJ（x，p，π），（2.12）给出的agentis的值函数，其中π是任何容许策略。根据动态规划原理，值函数满足v（x，p）=supπ（t）E中兴通讯-ρsu（c（s），K（s））ds+e-ρtV（X（t），P（t））, （2.13）式中，X（0）=X，P（0）=P。这里π（t）指任何限制于（0，t）的容许策略。3、无交易成本的解根据伊藤公式，我们找到对应于（2.13）as0=sup（c，π，k，q）n1的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程- γ（cβk1-β)1-γ- ρV（x，p）+rx+π（uS+λη- r） +kp（uP- r- δ) - Дλq- cV（x，p）x个+πσS+kp（σP+σP 2）+2πkpσSσPV（x，p）x+uPpV（x，p）p+（σp+σp 2）pV（x，p）p+kp（σP+σP 2）+πPσPσSV（x，p）x个p+λV（x）- ηπ，p）- V（x，p）+ λV（x）- （`kp）- q），p）- V（x，p）o、（3.1）其中π（t）=（c，π，k，q）对应于容许策略π。我们注意到（3.1）是时间独立的，这意味着最优策略应该是常数容许策略。继Damgaard等人。

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kedemingshi

2022-6-14 05:55:46

（2003）和de Matos和Silva（2014）的论点，并利用瞬时效用函数的同质性来降低问题的维数，我们注意到，对于κ>0，c、 π，k，q对于初始财富和初始持久价格（x，p），当且仅当（κc，κπ，k，κq）具有初始财富和初始持久价格（κx，κp），才是可容许的。因为u（κc，K）=κβ（1-γ） u（c，K），表示Vκx，κp=κβ1.-γ五、x、 p尤其是Vxp，1= p-β1.-γ五、x、 p对于κ=p。定义约化值函数v（y）=v（xp）=v（xp，1）并代入（3.1），我们得到v的HJB方程，即0=sup（^c，^π，k，^q）1.- γ^cβk1-β1.-γ+v（y）β(1 - γ） uP- ρ -σP+σP 2β(1 - γ)(1 - β(1 - γ))+ v（y）（r+（1- β(1 - γ））（σP+σP 2）- uP）（y- k）- δk- Дλ^q+^π（uS+λη- r- (1 - β(1 - γ））σSσP）- ^c+ v（y）πσS+（σP+σP 2）（y- k）- πσSσP（y- k）+ λ（v（y- η^π) - v（y））+λ（v（y）- （`k- ^q））- v（y））,（3.2）式中，v为v的一阶和二阶导数，归一化控制项^c=c/p，^π=π/p和^q=q/p。我们声称（3.2）具有形式为v（y）=1的解-γαvy1-γ，最优控制变量^c=αcy，^π=απy，k=αky，^q=αqy。这里，αk，αc，αq表示耐用消费品的最佳持有位置，易腐商品的最佳消费率和保险的最佳水平，所有这些都是以总财富的分数表示的。

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2022-6-14 05:55:49

将这些分数代入（3.2），我们得到0=sup（αc，απ，αk，αq）1.- γαβcα1-βk1.-γ+αv1- γβ(1 - γ） uP- ρ -（σP+σP 2）β（1- γ)(1 - β(1 - γ))+ αv（r+（1- β(1 - γ））（σP+σP 2）- uP）（1- αk）- Δαk- Дλαq+απ（uS+λη- r- (1 - β(1 - γ））σSσP）- αc- γαvαπσS+（σP+σP 2）（1- αk）- απσSσP（1- αk）+αv1- γλ((1 - ηαπ)1-γ- 1) + λ((1 - （`αk- αq））1-γ- 1).（3.3）将一阶条件应用于（3.3）并在一些简单的代数之后，对于σP6=0的情况，我们得到如下最优控制：αv=βαβ（1-γ)-1cα（1-β)(1-γ） k，αk=γσSσPuS+λη- r- γαπσS- (1 - β)(1 - γ） σSσP- ηλ(1 - ηαπ)-γ,αc=β1-β（σP+σP 2）（（1- β)(1 - γ） +γαk）+γαπσSσP+r- uP+δ+`λ（1- `αk+αq）-γαk，αq=最大值（`αk- (1 - φ-γ), 0).（3.4）将（3.4）中给出的最优控制替换为（3.3），我们通过数值解获得风险金融资产的最优控制απ。对于σP=0的情况，（3.4）变为αv=βαβ（1-γ)-1cα（1-β)(1-γ） k，0=uS+λη- r- γαπσS- (1 - β)(1 - γ） σSσP- ηλ(1 - ηαπ)-γ、 αc=β1-β（σP+σP 2）（（1- β)(1 - γ） +γαk）+γαπσSσP+r- uP+δ+`λ（1- `αk+αq）-γαk，αq=最大值（`αk- (1 - φ-γ），0），（3.5），可以代入（3.3）来求解αk。在数值求解常数（αc，απ，αk，αq）后，我们得到值函数v（x，p）=1- γαvp-(1-β)(1-γ） x（1-γ），（3.6），最优控制为π（t）=απX（t），K（t）=αkX（t）P（t），c（t）=αcX（t）和q（t）=αqX（t），其中X（t）是由（2.14）给出的控制生成的财富过程。剩余的财富随后投资于无风险账户。这里我们假设经济主体的时间偏好参数ρ足够大，以确保所谓的横向性条件成立。

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2022-6-14 05:55:53

例如，见de Matos和Silva（2014），Theorem1。综上所述，经济机构的最优消费和投资策略包括四个组成部分：易腐商品的消费c（t）、投资于耐用商品的价值P（t）K（t）、投资于耐用商品的保险覆盖水平q（t）和投资于风险资产的财富π（t）。所有这些成分都是总财富X（t）的常数分数。这些结果扩展了de Matos和Silva（2014）获得的结果，包括保险事件的泊松过程模型和耐久性商品的可选保险范围。最佳保险覆盖水平最直接地受到负载系数Д的影响，并且是后者的递减函数。当保险变得昂贵时，代理人将选择不购买任何保险。最优保险覆盖率也受风险规避系数γ的影响：风险规避越大，最优保险覆盖率越高。通过数值实验可以获得更多的见解。我们考虑了以不同参数值组合表示的几个场景，如表1所示。方案（a）是基本方案。场景（b）~（d）是通过更改多个参数中的一个而对基本场景的扰动。对于每种情况，我们计算最优策略（αc，απ，αk，αq）作为保险负荷的函数。结果如图1所示。从数值结果可以看出，保险负荷主要影响所选的覆盖水平。当Д=1，即不收取风险保费时，保险范围为全部。随着保险量的增加，所有考虑的情况下的保险范围都会减少，尽管递减率不同。保险负荷系数对其他持仓位置几乎没有任何影响。

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2022-6-14 05:55:56

如情景（b）所示，风险资产价格的负跳导致风险规避导致风险资产持有量减少，对其他持有量没有显著影响。情景（c）中风险资产和耐用商品价格之间的负相关导致两种持有量都显著增加，由于表1：无交易成本数值实验中的参数设置所产生的潜在对冲效应，情景（a）（b）（c）（d）β0.5？γ0.9？2r 0.02？uS0.06？σS0.25？uP0.02？δ0.015？σP0.1？0.1？σP0.2？η0.1？λ0.2？0.5？λ0.01？ρ0.04？负相关。代理人还可以为相同的保险因素提供更多的保险范围。如果代理人如情景（d）中所述更加规避风险，则风险资产和耐久性商品的持有量会减少，保险范围也会增加，这是较高风险规避的直接后果。1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数（a）（b）1 1.1 1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数1.1 1.2 1.3 1.4 1.500.20.40.60.81分数（c）（d）图1：投资于风险资产、耐用商品、易腐商品和保险范围购买的财富分数，作为不同情景下保险加载系数的函数（a）基本情景；（b）风险资产价格负跳；（c）风险资产和耐用商品价格之间的负相关和（d）较高的风险厌恶。4、耐用商品交易成本的解决方案在本节中，我们考虑了一个经济主体的最优消费、资产配置和保险覆盖策略，该经济主体面临的正交易成本与耐用商品的销售价格成比例，假设要将分配改为耐用商品，必须出售整个商品并购买新的商品，例如房子。

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2022-6-14 05:55:59

我们假设交易成本与交易前耐用商品的总价值成比例，比例系数θ>0。对于交易成本，我们无法找到经济主体最优决策问题的半显式解决方案。相反，我们寻求这个问题的数值解。根据Damgaard et al.（2003），固定交易成本意味着耐用商品的交易次数最多可数。特别是，在任何时候，代理人都会决定消费率、持有风险资产的头寸以及购买的保险范围。此外，代理人根据所有当前信息决定是否交易该耐用货物，如果是，则决定交易后该耐用货物的持有头寸。显然，agent的优化问题是一个随机和脉冲控制相结合的问题。考虑到耐用商品交易的交易成本，状态变量的偿付能力区域变为{（x，k，p）：x>θkp，k≥ 0，p≥ 0}. 换言之，在扣除清算费用后立即清算所有资产后，代理人必须具有偿付能力。偿付能力条件（2.7）修改为X（t-) - ηπ（t-) > θK（t）P（t），X（t-) - （`K（t-)P（t）- 当t>0时，q（t））>θK（t）P（t）（4.1）。换言之，鉴于股市崩盘或保险事件可能发生，代理人必须随时能够出售耐用商品股票并保持偿付能力。与无交易成本的情况类似，代理的价值函数与时间无关。由于交易成本，价值函数现在取决于耐用货物持有量k（0）=k，在不丧失一般性的情况下，我们假设当前时间为t=0。代理商必须根据当前信息决定何时交易耐用商品。

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2022-6-14 05:56:01

因此，下一次交易耐用品的时间是一个停止时间，用τ表示，τ>0。对于t∈ （0，τ），耐用货物存量由K（t）=K（0）e给出-δt（1- `)N（t）=K（0）e-ξ（t），（4.2），其中ξ（t）=δt- 日志（1- `)N（t），由于耐久性商品按δ贬值，以及保险事件导致`×100%损失，发生率由泊松过程N表示。根据动态规划原理，（2.13）修改为asV（x，k，p）=sup（τ，k（τ），π（τ））EZτe-ρtuc（t），ke-ξ（t）dt+e-ρτVX（τ-) - θke-ξ（τ）P（τ），K（τ），P（τ）,（4.3）式中，π（τ）表示任何限制为（0，τ）且无持久商品交易的可接受策略，K（τ）≥ 0表示在τ之后立即持有耐用货物。经久耐用商品交易后，代理必须具有偿付能力。即X（τ-)-θke-ξ（τ）P（τ）>0。在进行（4.3）的数值解之前，我们首先用以下上界和下界来描述最优值函数：α1- γp-(1-β)(1-γ）（十）- θkp）1-γ≤ V（x，k，p）≤α1 - γp-(1-β)(1-γ） x1-γ、（4.4）式中，α=αvis由（3.4）或（3.5）给出，α=ββ（1-γ)(1-β)(1-β)(1-γ） rβ（1-γ)ρ+(δ-`λ)(1-β)(1-γ). 这里的上限由无交易成本情况下的值函数给出。下边界对应于Damgaard et al.（2003）和de Matos and Silva（2014）中概述的简单次优策略。此外，根据类似于无交易成本情况下的论点，可以证明V（x，k，p）是度（1）的同质- γ） in（x，k）和β度（1- γ） in（x，p）。通过应用这种同质性，值函数可以简化为v（x，k，p）=k1-γpβ（1-γ）五xkp公司（4.5）对于属于偿付能力区域的所有（x、k、p）。这里，v（z）=v（z，1，1）和由{z给出的关于z=xkpi的solvencyregion≥ θ}.

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2022-6-14 05:56:04

如果z=θ，或x=θkp，即代理人的总财富刚好足以支付其耐用商品的清算成本，代理人必须立即清算，以避免破产。这意味着v（θ）=0。通过将（4.5）代入（4.4），变换后的值函数以α1为界- γ（z- θ)1-γ≤ v（z）≤α1 - γz1-γ. （4.6）通过以耐用商品价值K（t）P（t）、转化财富Z（t）=X（t）K（t）P（t）、易腐消费转化率^c（t）=c（t）K（t）P（t）、转化保险覆盖率^q（t）=q（t）K（t）P（t）和转化风险资产持有率^π（t）=π（t）K（t）P（t）来命名。在转换后的模型中，偿付能力条件（4.1）变为Z（t-) - η^π（t-) > θ、 Z（t-) - (` - ^q（t））>θ。（4.7）通过将（4.5）代入（4.3）并经过一些代数运算，我们得到了转换后的值函数pβ（1）的以下优化问题-γ） v（z）=sup（τ，^π（τ））E1- γZτe-ρt-(1-γ） ξ（t）^C（t）β（1-γ） P（t）β（1-γ） dt+e-ρτ-(1-γ） ξ（τ）P（τ）β（1-γ） Mv（Z（τ-))!,（4.8）式中，^π（τ）表示转换控制中的任何容许策略，限制为（0，τ），且干预值函数Mv（z）由Mv（z（τ）给出-)) = （Z（τ-) - θ)1-γM，（4.9），其中M=supZ（τ）≥θZ（τ）γ-1v（Z（τ））。（4.10）这里M是所谓的干预算子，通过选择使后者最大化的最优控制Z（τ），将值函数v映射到（最优）干预值函数Mv。换句话说，干预值函数Mv（Z（τ-)) 代表代理人在当前转换财富Z（τ-). 这里Z（τ）由K（τ）确定，K（τ）是指交易后持有的耐用商品，通过Z（τ）=ke-ξ（τ）（Z（τ-)-θ） K（τ）。表示byz*= arg最大值≥θzγ-1v（z），即交易后立即获得的最佳耐用商品库存为byK*（τ） =ke-ξ（τ）（Z（τ-) - θ） z*.

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2022-6-14 05:56:07

（4.11）将伊藤公式应用于（4.8），我们得到HJB方程as0=maxnH（z，v，v，v），Mv（z）- v（z）o，（4.12），其中HJB运算符h（z，v，v，v）=sup（π，c，q）n- ρv（z）+L（π，c，q）v（z）+cβ1- γo（4.13），其中β=β（1- γ），且发生器（^π，^c，^q）v（z）=v（z）(R)βuP-β(1 -(R)β）σP+v（z）(1 - z）（(R)uP- (1 -β）σP）+π（|uS- (1 -(R)β）σSσP）- ^c- λ^q+v（z）((1 - z） σP+^πσS）+（1- z） σP+λv（z- η^π) - v（z）+ λ(1 - `)1.-γv（z- ` + ^q1- `) - v（z）,（4.14）式中，ρ=ρ+δ（1- γ），uP=uP- r- δ、 uS=uS+λη- r、 σP=σP+σP。（4.12）形式的HJB方程以及适当的边界条件由Seydel（2010）表示为HJB拟变分不等式（HJBQVI），其中的解是在粘性解的框架下形成的。不幸的是，上述HJBQVI粘度解的存在性和唯一性超出了本文的范围。感兴趣的读者请参阅Seydel（2010），并参考了HJBQVI粘度解存在唯一性的信息相关概念和证明，该HJBQVI与一类带有跳跃扩散模型的组合随机和脉冲控制问题有关，当前模型是其中的特例。我们假设模型参数使得（4.12）的唯一粘度解存在于塞德尔（2010）的观点中。特别地，我们假设在没有交易成本的情况下，代理的时间偏好参数ρ足够大，可以保证所谓的Transversality条件，由ρ给出≥(R)βuP-β(1 -β）σP（4.15）满足要求。在稍微不同的模型设置下，类似条件见Dammgard（2003）。5.

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2022-6-14 05:56:10

数值解HJB方程（4.12）~（4.14）可以改写为恭维问题的标准形式，如下所示：-ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1-γ≤ 0，Mv（z）- v（z）≤ 0,- ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1-γMv（z）- v（z）= 0，（5.1），其中M v由（4.9）和（^π）给出*, ^c*, ^q*) 通过最大化（4.13）获得。系统（5.1）为隐式非线性互补问题（NLCP），L和Mv均取决于未知函数v。可通过Seydel（2010）提出的停止时间迭代程序获得（5.1）的解，如下所示。另见Chancelier等人（2002年）。价值函数可以首先通过考虑从不交易耐用商品的次优策略来初始化。通过求解HJB方程得到次优值函数- ρv（z）+L（π）*,^c*,^q*)v（z）+^c*β1 - γ=0，（5.2），仅随机控制。通过数值求解（5.2），我们获得了值函数的第一次次次优估计。假设得到了当前估计值Vn，我们用当前估计值Mvn替换未知干预值函数Mv来求解显式NLCP（5.1），从而得到下一个值函数估计值Vn+1。此过程可继续进行，直至收敛。这包括求解算法的“主循环”。请注意，vn表示允许代理在n个未来停止时间交易耐用货物时的值函数。随着允许更多的耐用商品交易，价值函数得到改进，因此vn+1≥ 越南。次优值函数序列（vn）单调收敛于v→ ∞. 算法1概述了主循环。显式NLCP的解决方案，即“内环”，可以通过迭代求解一系列线性互补问题（LCP）来获得。

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2022-6-14 05:56:13

特别是，给定当前估计vn，最优随机控制^π*, ^c*, ^q*可通过最大化（4.13）获得，从而得到显式生成器L。这可替换为（5.1），从而得到LCP。通过数值求解LCP，更新当前估计VN，并通过最大化（4.13）更新随机控制。这种迭代一直进行到vn收敛。算法2中概述了内部循环。算法1主循环1：设置n=0，为vn2求解（5.2）：设置错误界限em>03：而true do4：计算Mv并设置Mvnin（5.1）5：为vn+1使用算法26：如果kvn+1求解NLCP（5.1）- 娱乐城∞< emthen7:break8:end if9:set n=n+110:end while11:return vnAlgorithm 2内环1:set erorr bound ei>02:set v=u=max（Mvn，vn）3:while true do4:set vlast=v5:solve for^π*, ^c*, ^q*从（4.13）到vlast6：计算L（^π）的离散版本L*,^c*,^q*)7：使用算法38：if kv求解v的结果LCP（5.3）- 弗拉斯特克∞< eithen9:break10:end if11:end while12:return V离散LCP问题可以使用Cryer（1971）提出的投影连续过松弛（PSOR）程序来解决。另见Hackbusch（1994）；Hilberet等人（2013年）。为了使用粒子群算法求解LCP，我们使用合适的离散格式在正则数值网格上离散v，从而得到离散LCP(R)ρv- 低压-^c*β1-γ≥ 0，v- u≥ 0,(R)ρv- 低压-^c*β1-γ·v- u= 0，（5.3），其中L是通过离散生成器L（^π）获得的矩阵*,^c*,^q*)带currentcontrols，^c*是当前消耗向量，v是未知值函数向量，u=max（Mv，v）是改进的干预值向量，其中理解离散干预算子M。这导致PSOR具有更快收敛速度的等效迭代。

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2022-6-14 05:56:16

为了演示PSOR过程，我们将（5.3）以一般形式重写为影音- b≥ 0，v- u≥ 0,影音- b>v- u= 0.（5.4）Hilber et al.（2013）表5.1概述了我们采用的PSOR程序，该表作为算法3生成，其中0<ω<2是松弛参数，k=1。。。，Kis是z的空间索引。算法3 PSOR迭代1：设置erorr界限ep>02：而true do3：设置vlast=v4：对于k=1。。。，K do5：w（K）=v（K）+ωA（K，K）b（k）-PjA（k，j）v（j）6： v（k）=最大值（w（k），u（k））7：结束8：如果kv- 弗拉斯特克∞< epthen9：break 10：end if11：end while12：return vIt应注意，为了使上述求解算法可控制表2：数值实验中使用的参数β0.5γ0.9 r 0.02uS0.06σS0.25uP0.02δ0.015σP0.1σP0.2η0.1λ0\'0.5λ0.01ρ0.04θ0.05verge，必须采用合适的离散化方案。在这里，我们采用Barles和Souganidis（1991）提出的有限差分（FD）离散化方案。读者可参考Barles和Souganidis（1991）的详细分析，包括拟议离散格式的收敛结果。为了测试我们的数值算法，我们使用表2中列出的参数进行了一些数值实验。如图2所示，在Д=1.2的情况下，价值函数、干预价值函数和关联无交易区等。随着停止时间迭代次数的增加，值函数的有界单调收敛如图2（a）所示，图2（b）显示了相应M值的收敛，由（4.10）给出。价值函数，尤其是超额价值函数v- 图2（c）和（d）显示了无交易区支持的Mv。显然，无交易区的特征是变换后的状态变量z具有上下界。

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2022-6-14 05:56:19

在非交易区内，代理人享有的价值大于立即以最佳方式交易耐用商品的价值，即最佳干预价值。在非交易区外，最优干预值超过了非交易值，因此交易立即发生，将价值函数带回非交易区内的最优位置，即非交易区内价值函数最大化的位置。之后，直到转换后的状态变量漂移或跳出非交易区，代理才会交易耐用商品。为了研究改变保险负荷系数Д的影响，我们额外取Д=1.0~ 1.5，增量为0.1。图3显示了M值、超额值函数和无交易区随Д增量的变化。可以看出，随着保险负荷的增加，超额价值函数减小，非交易区向右移动。非交易区的转移是由于随着保险成本的增加，耐久财持有量减少，以及耐久财持有量k与转换后的状态变量z之间呈逆比例关系。

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2022-6-14 05:56:22

超额价值函数的减少是由于价值函数的总体减少以及成本的增加。0 2 4 6 8 1060708090100 2 4 6 8 107.457.4557.467.4657.477.4757.487.485（a）值函数的收敛（b）M值的收敛0 2 4 6 8 10 1260657075808590950 2 4 6 8 10 12-0.0500.050.10.150.20.250.3（c）值和干预值函数（d）过量值函数图2：值函数v（z），过量值函数v（z）- vM（z），其中M=M（v），无交易区，最佳耐用商品持有水平z*对于保险负荷，Д=1.2.1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.57.4757.487.4857.497.4950 2 4 6 8 10 12-0.0500.050.10.150.20.250.3（a）干预值随Д变化（b）超额值函数随Д变化图3：改变保险负荷的影响Д：面板（a）显示了干预值M（v）作为Д的函数；面板（b）显示超额值函数v（z）- vM（z），其中M=M（v），表示不同的ν值。6、总结在本文中，我们考虑了连续时间经济中具有有限时间范围的经济主体的最优消费和投资问题。代理人面临多个风险因素，包括股票市场风险和崩盘、耐用商品价格波动和对耐用商品造成损害的可保事件，并且必须做出多个决策，包括风险和无风险资产分配、易腐和耐用商品消费以及耐用商品的可选保险范围。该代理以CRRA型效用函数的预期效用的形式，从有限时间范围内的消费中衍生出效用。我们首先为最优决策问题设计了一个半显式解决方案，当不存在交易成本时。

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2022-6-14 05:56:25

我们证明，保险费的增加会降低对耐用商品及其保险范围的需求。接下来，我们考虑了当交易成本与正在交易的耐用商品的总价值成比例时的最优决策问题。我们将agent的最优决策问题描述为一个随机和脉冲相结合的控制问题，带有一个隐式的干预值函数。这个问题属于所谓的HJBQVI的范畴。为了求解HJBQVI，我们遵循称为停止时间迭代的数值求解过程，并以数值方式获得代理的最优值函数。一旦正确实现，最优值函数将遵循有界单调收敛。此外，数值过程自动以非参数方式识别所谓的无交易区。在非交易区内，最优代理人不交易耐用商品。一旦状态变量移动到禁止交易区之外，代理人就以最佳方式交易耐用商品，以使状态变量回到禁止交易区内的最佳位置。我们进一步研究了保险成本对最优价值函数的影响。参考文献如箭头所示，K.J.，1971年。风险规避理论。摘自：Arrow，K.J.（编辑），《风险承受理论》中的文章。Markham Chicago，第90-120页。Barles，G.，Souganidis，P.E.，1991年。完全非线性二阶方程近似格式的收敛性。渐近分析4（3），271–283。布里斯，E.，1986年。保险与消费：连续时间案例。《风险与保险杂志》53（4），718–723。Chancelier，J.-P.，Oksendal，B.，Sulem，A.，2002年。组合随机控制和最优停止，以及组合随机和脉冲控制在数值逼近中的应用。

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