对于任何递增序列ti∈ T和递减序列Ai∈ Ohm 因此，所有都是Fti的一个原子，我们有∩iAi6=φ。让我们也陈述一下作为标准体系的性质的含义：让我们在Ohm 满足（1），并让uibe在Fi（i）上具有一致的概率测度序列≥1). 然后，从Parthasarathy（1967）开始，我们得到了以下定理：定理1。【Parthasarathy】如果条件（2）成立，则ui（i≥1） 允许扩展WI≥1Fi。对于任何F停止时间τ，我们定义Fτ-作为包含所有形式A集合的最小σ代数∩ t的{t<τ}∈ [0，T]和A∈ Ft.参见Protter（2005）示例，第105页。Carr等人（2014）给出了以下定理。定理2。考虑概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P），过程Mj如（1）所定义，Mj=1。然后存在一个唯一的概率度量，称之为Pj(Ohm, FTj公司∞) 这样，对于任何停止时间0<ν<∞,1、Pj（A∩ {Tj∞>ν ∧T}）=EP[1AMjν∧T] （3）对于所有A∈ Fν∧T、 2。对于所有非负Fν∧t可测量随机变量U取[0，∞],EPj[U1{Tj∞>ν∧T}]=EP[UMjν∧T{Tj>ν∧T}]（4）且▄Mjt=Mjt{Tj∞>t} ，3。EP[U1{Tj>ν∧T}]=EPj【U▄Mjν∧T] （5）4。mj是真鞅当且仅当ifPj（Tj∞>T）=1（6）证明。回想一下我们的假设，即Mj=1。观察到停止过程（Mj）rjis是一个非负鞅。因此，它生成一个度量Pjion(Ohm, FTj公司∞i） 由dPji提供：=（Mj）RjiTdP用于ALI∈ N、 注意概率测度族{Pji}对于所有i，在▄Pi+k▄FTj中是一致的∞=Pii、 k级∈ N和FTj∞=Wi公司∈Nfrjith Parthasarathy（1967）的扩展t heorem V.4.1给出了概率测度Pjon（FTj）的存在性∞) 这样Pj | FRji=Pji。现在让我们检查一下这个定理的条件在我们的例子中是否确实满足。我们需要检查{FRji}i∈Nis是一个标准系统。

如果这是真的，我们可以应用前面提到的Parthasarathy的扩张定理，并得出FTj上的每个概率测度∞扩展到一个n FT的概率测度。我们从Carr et al（2014）得到{FRji}i的一个有效条件∈Nto bea标准体系如下：{英尺}t∈[0，T]：={Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是对标准系统的正确连续修改。在Carr et al（2014）中Ohm 和过滤{Ft}t∈[0，T]这样{Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是标准系统的右连续修改：设E表示具有可数基的局部紧空间（例如，对于某些n，E=R2d+2∈ N） 让（Ohm) 是右连续路径的空间ω：[0，T]→[0, ∞] ×E，其jthcomponentωjofω是ωj（Tj∞（ω） +t）=∞ 对于所有t≥ 0，且限制保持开启状态（0，Tj∞（ω） ）其中Tj∞（ω） 表示ωj=∞. 设{Ft}t∈[0，T]表示路径和{Ft}T生成的过滤∈[0，T]其右侧连续修改。然后，根据Dellacherie（1972）、Meyer（1972）和F¨ollmer（1972；示例6.3.2）的任何著作，可以得出{Ft∩ FTj公司∞}t型∈[0，T]是对标准系统的正确连续修改。在我们正在研究的示例中，我们可以将过程mjtwi等同于ωj，ω的jthcomponent。因此，在我们的例子中，我们有{FTj∞}我∈Nis是一个标准系统。与Carr et al（2014）第2节中使用的论点类似，我们也有任何概率度量Q(Ohm, FRj）可扩展为概率度量Qon(Ohm, 英尺）。请注意，对于所有∈ Fν∧T、 和停止时间ν，Pj（A∩ {Rj>ν∧T}）=limi→∞Pj（A∩ {Rji>ν∧ T}）=limi→∞Pji（A∩ {Rji>ν∧T}）=limi→∞EP[1A∩{Rji>ν∧T}（Mj）RJi]=利米→∞EP[1A∩{Rji>ν∧T}Mjν∧T] =EP[1AMjν∧T] 由此，我们得到（3）。

取ν=Rjiand A=Ohm 我们得到Pj（Rj>Rji∧T）=1我∈ N、 因此，我们得到Pj（A）=Pj（A∩ {R>Rji∧ T}）=A的EP[（Mj）RJiTA]∈ FRji。因为FRj=Wi∈NFRJiandSi公司∈Nfri是一个π系统，根据单调类定理的标准应用（参见[27，p.7]），我们得到了Pjon的唯一性(Ohm, FRj）。（4）从m（3）出发，从单调收敛定理出发，（5）从（4）出发，从Pj（Rj>T）=1出发，将（3）应用于U1{Rj>ν∧T}Mjν∧Tinsteadof U表示U和ν，如定理10所示。我们有以下定理2的重要定理：推论1。M的分量1:k是真鞅，分量k+1:dof M是严格局部鞅当且仅当j=1:k，Pj（Tj∞>T）=1，对于j=k+1:d，Pj（Tj∞≤ T）>0。也就是说，如果度量P:Pk下时间T之前的局部鞅m:Mkdo notexplode和度量Pk+1:Pd下时间T之前的局部鞅Mk+1:Mddoexplode。3多维差异的爆发在本节中，我们将讨论并展示Stroock&Varadhan（2006）中关于多维差异爆发主题的一些结果。本节中的未具体引用指的是该书。假设我们有一个概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P）。设X是一个求解Xt=σ（Xt）dBt+b（Xt）dt的rdvalue多维微分；X=X（7），其中，σ：Rd→ RDI是局部有界的d×d扩散系数矩阵，b:Rd→ RDI是局部有界漂移系数的d维向量。B是d维F布朗运动。设L为该微分X的扩展生成器：L=ddt+dXi，j=1ai，j（X）ddxidxj+dXi，j=1bi（X）ddxi（8），在上面，a=σσT。然后，我们有以下关于非爆炸的定理：定理3。

[定理10.2.1]假设存在一个非负函数V∈ C1,2（[0，T]×Rd）以及λ>0的存在，使得lim | x|→∞inf0≤t型≤TV（t，x）=∞ （9） 低压- λV≤ 0（10）那么，概率为1时，过程X在T.Proof之前不会爆炸。确定停止时间的顺序τn=inf{t：| Xt |≥ n} 。既然我们有我- λV≤ 0，在[0，T]×Rd上，我们获得tV（0，X）≥ E【E】-λ（T∧τn）V（T∧ τn，XT∧τn）]≥ e-λTEP[V（τn，Xτn）1τn<T]，因为如果τn<T，则| Xτn |=n是真的，并且我们假设lim | X|→∞inf0≤t型≤电视（t，x）=∞, 我们必须有那个Limn→∞P（τn<T）=0因为向量过程X在T之前不爆炸，过程S在T之前不爆炸，我们有P（T∞>T）=1。关于爆炸，我们还有以下定理：定理4。[还有定理10.2.1]假设存在一个数λ>0和一个有界函数V∈ C1,2（[0，T]×Rd），使得V（0，x）>e-λTsupx∈RdV（T，x）（11）和LV≥ λv然后，我们有limn→∞P（τn≤ T）>0。证据定义τn=inf{t：| Xt |≥ n} 。现在，我们假设LV≥ λV堡垒∈ [0, ∞), 我们有：V（0，x）≤ e-λT（supx∈RdV（T，x））P（τn>T）+（supt∈[0，T]supx∈RdV（t，x））P（τn≤ T）如果limn是真的→∞P（τn≤ T）为零，则我们将到达atV（0，x）≤ e-λTsupx∈RV（T，x），这是一个矛盾，因为我们假设函数V满足（11）。我们已经做了，并且我们已经确定，我们必须有P（τ∞≤ T）>0。备注5。请注意，该定理的条件足以确保向量X的每个分量都发生爆炸。这可以通过用停止时间τi，n=inf{t：| Xit |替换定理证明中的停止时间τ来看出≥ n} 。我们陈述了另外两个定理，涉及向量微分X的漂移和微分系数的条件，以便发生爆炸或非爆炸：定理6。

[定理10.2.3]假设存在一些r和连续f函数A:[r，∞) → (0, ∞) andB：[r，∞) → ( 0, ∞) 对于ρ≥ （2r）和| x |=ρ，A（ρ）≥ hx，a（x）xi（12）hx，a（x）xiB（ρ）≥ （T族（a（x）+2hx，b（x）i（13）和，其中C（ρ）=eRρb（σ）dσ：R∞r[C（ρ）]-1dρRρC（σ）A（σ）dσ=∞.然后，进程X在时间T之前不会爆炸。备注7。该定理的条件s确保了满足定理3条件的函数V的存在，我们知道，定理3保证了过程X的非爆炸性。定理8。[定理10.2.4]假设，对于每个R>0，以下条件成立：inf |θ|=1inf | x |=Rhθ，a（x）θi>0和sup | x|≤R | b（x）|<∞.此外，假设存在连续函数A:[，∞) → (0, ∞) andB：[，∞) → (0, ∞) 对于ρ≥ 1，a nd | x |=ρ，a（ρ）≤ hx，a（x）xi（14）hx，a（x）xiB（ρ）≤ （T族（a（x）+2hx，b（x）i（15）和，其中C（ρ）=eRρb（σ）dσ：R∞[C（ρ）]-1dρRρC（σ）A（σ）dσ<∞.然后，过程X在时间T之前爆炸。备注9。该定理的条件确保以下条件成立：limT→∞画→∞Pn[τn≤ T]=1（16）因此，在某个特定时间之前，过程X发生爆炸，概率为1。提案1。我们可以替换Theo rem 6中的假设，即ρ≥ （2r）且A：[r，∞) → (0 , ∞) 和B：[r，∞) → (0, ∞) 假设INF1≤我≤d{xi}≥ 1和A：[，∞) → (0, ∞) 和B:[，∞) → (0, ∞) 同样的结果也成立。我们也可以替换定理8中的假设，即ρ≥ 1和A:[，∞) →(0, ∞) 和B:[，∞) → (0, ∞) 假设inf1≤我≤d{xi}≥ 1安达：[，∞) → (0, ∞) 和B:[，∞) → (0, ∞) 同样的结果也成立。我们省略了这个命题的证明。我们现在准备陈述我们的主要定理：定理10。让x=xx。。。xd+1. x′=xx。。。除息的. 设a=σT。定义βji（Mt，vt）=（σ）i，jσi，iσj，jMj。

让向量微分过程s X=中压求解（1）。假设对于i=1:k，存在函数aI，并且满足条件sin（12），使得aI（ρ）≥ hx，a（x）xi（17）hx，a（x）xiBi（ρ）≥ （T族（a（x）+2hx，b（x）i+2hx′，βi（x）i（18）+2hxd+1，（∑）i，d+1σi，i（x）(R)σ（x）也假设对于i=k+1:d，存在函数aia，并满足（14）中的条件，使得ai（ρ）≤ hx，a（x）xi（19）hx，a（x）xiBi（ρ）≤ （T race（a（x）+2hx，b（x）i+2hx′，βi（x）i（20）+2hxd+1，（∑）i，d+1σi，i（x）(R)σ（x）那么，M的分量1:k是真鞅，分量k+1:d是严格的局部鞅。证据Girsanov定理的应用告诉我们，在测度Pj下，微分X在爆炸时间内求解dMt=Mtσ（Mt，vt）dBt+βj（Mt，vt）；M=1（21）dvt=’σ（Mt，vt）dZt+b（Mt，vt）dt+（∑）j，d+1σj，j（Mt，vt）’σ（Mt，vt）；v=1（22），其中βji的Ith分量由βji=（∑）i，jσi，iσj，jMj给出。回想定理2 t，mj是鞅当且仅当P（Tj∞>T）=1。也就是说，当且仅当mj在Pj下的时间T之前没有爆炸。根据推论1，对于分量1:k是鞅ales，分量sk+1:d是严格局部鞅，我们需要分量1:k在测度P:pk下不爆炸，对于分量k+1:d在测度pk+1:Pd下爆炸。从定理6中，我们得到了（17）中的条件，以确保在时间t之前，在i=1:k的度量下，向量微分X不会爆炸。从定理8中，我们得到了（19）中的条件，以确保向量微分X在时间t之前，在i=k+1:d的度量下，向量微分X不会爆炸，这意味着，对于i=1:k的度量值，Mido no t爆炸，对于i=k+1:d的度量值，Mido爆炸。

因此，推论1中的条件已经满足，这意味着M的分量1:j是真鞅，分量j+1:d是严格局部鞅。让我们考虑一些例子。我们将重点关注二维和三维案例。示例1。假设我们有一个过滤概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈（0，T），P）和一个局部鞅S和一个随机变量v，求解：dSt=Stf（St，vt）dBt；S=1（23）dvt=σ（St，vt）dWt+b（St，vt）dt；v=1（24）假设[B，W]=ρ。假设我们想要S是鞅。为了实现这一点，我们需要它不在测度P下爆炸。用ξ表示过程X的爆炸时间=Sv公司, 让我们显示X under P满足的SDE：dSt=Stf（St，vt）dBtt<ξ+Stf（St，vt）1t<ξdt；S=1dvt=σ（St，vt）1t<ξdWt+b（St，vt）1t<ξdt+ρσ（St，vt）f（St，vt）1t<ξdt；我们将定理6中的函数A（x）和B（x）取为A（x）=x1+，<1。andB（x）=x。我们将这两个函数限制在区间[，∞). 如果我们选择f（x，x）=2x（| x |）1+σ（x，x）=2x（| x |）1+b（x，x）=-（2x+xx）（| x |）1+ρ=-1然后可以检查X在测度下不爆炸，并且S是真鞅。假设我们想要S是一个严格的局部鞅。然后，我们将定理8中的函数A（x）和B（x）取为A（x）=x2+，<1，d B（x）=x。我们将这两个函数限制在区间[，∞).如果我们选择f（x，x）=2x（| x |）2+σ（x，x）=2x（| x |）2+b（x，x）=x | x | 2+ρ=1，那么过程x在测度P下爆炸，得到严格的局部鞅。示例2。

假设我们有一个过滤概率空间(Ohm, 英尺，（英尺）t∈[0，T]，P）和两个局部鞅和N，以及一个随机波动率v，其解DST=Stf（St，Nt，vt）dBt；S=1dNt=Ntg（St，Nt，vt）dZt；N=1dvt=σ（St，Nt，vt）dWt+b（St，Nt，vt）dt；v=1让我们写入：B、 W= ρB、 Z= ρW、 Z= ρ让我们显示满足以下条件的SDESNv公司在P下：dSt=Stf（St，Nt，vt）dBtt<ξ+Stf（St，Nt，vt）1t<ξ；S=1dNt=Ntg（St，Xt，vt）dZtt<ξ+ρNtg（St，Xt，vt）u（St，Nt，vt）1t<ξ；X=1dvt=σ（St，Nt，vt）dWtt<ξ+b（St，Nt，vt）dt1t<ξ+ρf（St，Nt，vt）σ（St，Nt，vt）dt1t<ξ；v=1在上述ξ中，是向量过程X的爆炸时间=SNv公司.让我们展示满足以下条件的SDESXv公司在P下：dSt=Stf（St，Nt，vt）dBtt<ξ+ρStg（St，Nt，vt）f（St，Nt，vt）1t<ξ；S=1dXt=Xtg（St，Nt，vt）dZtt<ξ+Ntg（St，Nt，vt）1t<ξ；X=1dvt=σ（St，Xt，vt）dWtt<ξ+b（St，Xt，vt）dt1t<ξ+ρg（St，Xt，vt）σ（vt）1t<ξdt；v=1假设我们希望显示条件，使S为鞅，N为三次局部鞅。为此，我们需要S在测度下不爆炸，N在测度P下爆炸。我们将定理6中的函数A（x）和B（x）取为A（x）=x1+，<1。andB（x）=x。然后，我们将定理8中的函数A（x）和B（x）取为A（x）=x2+，<1和B（x）=x。我们将这四个函数都限制在区间[，∞).然后可以检查，如果我们选择ρ=-1，ρ=1，ρ=1和f（x，x，x）=√x（| x |）1+g（x，x，x）=√x（| x |）1+σ（x，x，x）=√x（| x |）1+b（x，x，x）=（| x |）2- （| x |）2+2（x+3x+3x）满足定理10的条件，给出了一个真鞅和一个非局部鞅。备注11。

在显示局部鞅是真鞅还是严格局部鞅的充分条件时，我们展示了条件s，使得整个向量X（其组成部分为d局部鞅s和s到Hastincvolatility v）不会在适当的不同概率测度下爆炸或爆炸。让我们简要地讨论一下这样一种情况，即我们只有价格过程和随机波动性；也就是说，其中X=Sv公司对于局部鞅S，假设S和v解以下SDE：dSt=Stf（vt）dBt；S=1（25）dvt=σ（vt）dWt+b（vt）dt；v=1（26）在S是鞅的情况下，回想一下，我们已经施加了向量过程的非爆炸性Sv公司. 米贾托维奇（Mijatovic）和乌鲁索夫（Urusov）在[23]中的作品，以及库伊特（Cuiet）的作品。文献[6]中的所有内容（尤其是文献[6]中的定理4.1，它概括了文献[23]中的定理2.1）暗示我们处于以下情况之一：1。v未达到零或∞ 根据措施P或P.2中的任一项。v未命中∞ b ut在度量值P下为零，在度量值P下为零，但未命中∞ 根据措施P.3。v未命中∞ 但在测度P下为零，d为零∞根据措施P.4。v未命中∞ 或在Pand hits下为零∞ 但在第5页下，doe并没有达到零。v不包含∞ 在P或P下，v在P下为零，但不在z e上取整P。根据sam e作者的说法，在S是严格局部鞅的情况下，我们在以下情况之一：1。v点击次数∞ 在P下，不在P下，v在P和P.2下为零。v点击次数∞ 在P下，不在P下，v在P下为零，但在P.3下不为零。v点击次数∞ 在P下，不在P下，在P或P下，v不为零。4、v点击∞ 在P下，不在P下，v在r P下不打零，但在P.5下，希塞罗打零。v在Pb下命中0，但在P下未命中∞ 在PBP下，但不在P下。6.

v在Pb下命中0，但在P下未命中∞ 在P和P下。在上述情况下，测量值定义为定理2。参考文献[1]L.Andersen，V.Piterbarg，《随机波动率模型中的矩爆炸》《金融与随机》11:29-502006。[2] F.Biagini、H.F¨ollmer和S.Nedelcu，《转移鞅测度和作为次鞅的泡沫的诞生》，金融与随机，18297-3262014。[3] R.Bilina和P.Protter，《内幕交易的数学建模》，预印本，2015年。[4] P.Carr、T.Fisher和J.Ruf，关于爆炸性汇率、金融和随机性的期权套期保值18（1）：115-1442014[5]o.Chybiryakov，带跳跃的严格局部鞅的It^o积分公式，s'eminaire de Probabilit'es XL，斯普林格数学讲稿1899375-3882007。[6] Cui，Zhenyu，D.McLeish，C.Bernard，《基于时间齐次微分的随机波动率模型中的鞅性质》，MathematicalFinance，27294-2232017。[7] D.Criens，《多维差异市场中是否存在套利的确定性标准》，国际理论与应用金融杂志，21，第01期，1850002（2018）。[8] F.Delbaen和W.Schachermayer，《资产定价理论中几个问题的简单反例》，数学金融，8（1）：1-111998年。[9] F.Delbaen a和H.Shirakawa，《亚太金融市场正差异价格无套利条件》9:159168，2002年。[10] C.Dellacherie，《阿莱托雷斯合唱团，遗嘱认证学院》，第三卷88，第97-114页。柏林斯普林格，1969年。[11] C.Dellacherie Capacity’es et Processus Stochastiques，第67卷《Ergebnisseder Mathematik und ihrer Grenzebiet》，斯普林格·维拉格出版社，1972年。[12] H.F¨ollmer，《超级马丁格尔的退出措施》，Z.F¨ur Wahrscheinlichkeitsforerie and verw。盖贝特，21:154-161972年。[13] H。

Hulley，《金融模型中严格局部鞅的经济合理性》，C.Chiarella，A.Novikov（编辑），《当代定量金融》，DOI 10。1007/978-3-642-03479-44，施普林格·维拉g柏林海德堡，2010年。[14] N.Ikeda，S.Watanabe，《随机微分方程的比较定理及其应用》，大阪J.Math 14619-6331977。[15] I.Karatzas和S.Shreve，《布朗运动与随机微积分》，斯普林格，1991年。[16] M.Keller Ressel，2014，《纯跳跃严格局部鞅的简单示例，预印本，Stoch a stic过程及其应用》，第125卷，第114142-41532015号。[17] R.Khasminskii，《微分方程的随机稳定性》，Springer-VerlagBerlin-Heidelberg，2012年。[18] F.Klebaner和R.L ipt ser，2011年，当随机指数是真鞅时。Bene^s方法的推广，Probab理论。应用程序，5 8(1), 3862,2014.[19] 李雪梅，《严格局部鞅：示例、统计和概率字母129，65-682017》。[20] P.L.Lions，M.Musiela，《随机波动率模型的相关性和界限》，Ann。一、 H.Poincar\'e AN 24，1 16，2007年。[21]D.Madan和M.Yor，《严格本地马丁酒的It^o综合公式》，InMemoriam Paul Andr\'e Meyer，《数学讲义》，1874157-1702006。【22】P.A.Meyer，La m'esure de H.F'ollmer en th'rie de surmartingales。摘自：S’eminaire de Probabilit’es，VI，第118-129页。柏林斯普林格，1972年。[23]A.Mijatovic和M.Urusov，关于某些局部鞅的鞅性质，Probab。理论关系。Fields，152，1-302012。【24】A.Mijatovic和M.Urusov，《一维微分积分泛函的收敛》，电子。公社。概率。，17 (61) 1- 13, 2012.【25】K.成田，关于随机微分方程非爆炸定理的评论，Kod-ai数学杂志5:395-40，1982年。[26]K.R。

Parthasarathy，《度量空间上的概率测度》，纽约-伦敦：Aca demic出版社1967年。【27】P.Protter，《随机积分和微分方程》，Secon d版，2.1版，Springer Verla g，海德堡，2005年。[28]J.Ruf，《随机微分方程背景下的鞅性质》，选。公社。概率。20（2015）第34号，2015年1-10月。[29]C.Sin，《随机波动率模型的复杂性》，应用可能性进展，30256-2681998。[30]D.Stroock和S.R.S.Varadhan，《多维差异过程》，柏林-海德堡斯普林格出版社，2006年。