我们将标准α幂期权的价格表示为Mα（x，t）。标准电力期权的定价公式如下所示。定理2.1α-幂标准期权的价格，给出了Black-Scholes方程（1）、（2）的解asMα（x，t）=eu（t-t） xα（4）这里u（r，q，σ，α）=（α- 1） r- αq+σ（α- α） （5）使用转换的证明=lnxz公司+r- q-σ+ ασ（T- t）σp（T- t）-1然后将等式（3）更改为以下等式。V（x，t）=eu（t-t） xα√2πZ∞-∞e-ydy=eu（T-t） xα。（Q.E.D）4 Hyong chol O和Dae sung ChoeDe定义2基于标准α-幂选项的二元合约称为“α-幂二元期权”。i、 幂二元期权的价格是（1）满足终值条件v（x，t）=xα·1（sx>sξ）（6）这里s（+或-）被称为上下二元期权的“符号指示器”，我们将α-幂期权的价格表示为（Mα）sξ（x，t）。自（Mα）+ξ（x，T）+（Mα）-ξ（x，T）=Mα（x，T）我们在α幂标准期权价格与相应的上α幂二元期权和下α幂二元期权之间有如下对称关系。（Mα）+ξ（x，t）+（Mα）-ξ（x，t）=Mα（x，t）（7）定理2.2α-幂二元期权（解（1），（5））的价格如下所示。（Mα）sξ（x，t）=eu（t-t） xαN（sd）（8）Hered=d（xξ，r，q，σ，α，t- t）=lnxξ+r- q-σ+ ασ（T- t）(σ√T- t）-1（9）N（d）=√2πZd-∞e-根据[8]的介词1，我们有（Mα）sξ（x，t）=e-r（T-t） σp2π（t- t） Z∞ze2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ（T-t）zα1（sz>sξ）dz让我们使用变量变换=lnxz公司+r- q+σ+ασ（T- t）（σp（T- t））-1Thenln z=ln x+r- q-σ+ ασ（T- t）- y（σp（T）- 考虑1（sz>sξ）=1（s ln z>s lnξ）=1（sy<sd），那么我们有（Mα）+ξ（x，t）=eu（t-t） xα√2πZ+∞-∞e--y1（sy<sd）dy=幂二元和正态分布标准的定价公式。。。

5再次使用变量转换y′=sy，dy′=sdy，我们得到i=eu（T-t） xα√2πsZ+s∞-s∞e--y′1（y′<sd）dy′=eu（T-t） xα√2πZsd-∞e--y′dy′==eu（T-t） xαN（sd）（QED）备注1：考虑到期支付函数的二进制条件具有更一般形式的情况。i、 eV（x，t）=xα·1（sxβ>sξ）（10）我们有1（sxβ>sξ）=1（s·sgn（β）x>s·sgn（β）ξβ）=1（tx>tζ），所以如果我们t=s·sgn（β），ζ=ξβ，（1），（10）的解被给出为（Mα）tζ（x，t）。备注2：当α=0时，α幂二元期权为现金二元期权，当α=1时，为资产二元期权。定理m（2.2）将[2，3，6]的Firstorder二进制选项的结果作为特例包括在内。

正如第3节所示，通过使用α-幂二元期权，我们可以表示金融合同的价格，而这些合同不能用现金或集合二元期权来表示。定义3（1）的解，其有效期为V（X，T）=XβnδXiK，τ，τ′，α(11)δXiK，τ，τ′，α=lnXiK公司+r- q-σ+ αστ（σpτ′）-1被称为“电力正态分布价格标准选项”。表示τ=T- t、 定理2.3（1）、（11）的解如下V（X，τ；τ，τ′）=Xβeu（β）τN（d）（12），其中=lnXiK公司+r- q-σ+iβτ+ατiτ+τσ（iτ+τ）（σpiτ+τ′）-1== δXiK，iτ+τ，iτ+τ′，iβτ+ατiτ+τ（13） 和u（β）=（β- 1） r- βq+σ（β- β） 可由（5）6 Hyong chol O和Dae sung ChoeProof从[8]的属性1得出，（1），（11）的解表示为：V（X，τ，τ，τ′）==e-rτσ√2πτZ+∞zβz√2πZδ（ziK，τ，τ′，α）-∞e-ydy公司e-2στlnXz+（r-q-σ)τdz=I（14），此处δ（ziK，τ，τ′，α）=lnziK+（r- q-σ+ ασ)τ（σpτ′）-1In（14）取变量变换：y=ypτ′pτ′+iτ+ilnXz+（r- q-σ+ βσ)τ（σpτ′+iτ）-1（15）年=lnXz+（r- q-σ+ βσ)τ那么我们有（y，y）（y，z）=zσ√τpτ′pτ′+iτ和z>0<=> y<+∞ andy<δ（ziK，τ，τ′，α）<=><=> y<σpτ′+iτlnXiK+（r- q-σ） （τ+iτ）+（ατ+iβτ）σ== δlnXiK，τ+iτ，τ′+iτ，ατ+iβτ+iτ= 在（14）的被积函数的最后一个指数函数的指数中，我们考虑了xpβlnXz=Xβzβe-rτ·e（rβ-qβ+σ（β-β） ）τy=pτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′那么我们可以将方程（14）改写为：I=Xβeu（βτ）2πpτ′+Iτpτ′Zd-∞Z+∞-∞e√τ′+iτ√τ′y-易√τ√τ′+ydydy（16）幂二元正态分布标准定价公式。。。7In（16）指数ispτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′！+y=pτ′+iτpτ′y- 易√τpτ′！+伊辛斯√τ′+iτ√τ′R+∞-∞e√τ′+iτ√τ′y-易√τ√τ′!dy公司=√2π，我们可以将方程（16）重写如下：I=Xβeu（β）ττ√2πZd-∞e-ydy=Xβeu（β）τN（d）。

（QED）3申请3.1储蓄计划提供指数选择在储蓄计划中，持有人有权选择国内利率和国外利率。因此，该储蓄合同是一种利率交换期权[1，9]。设Rd表示国内（无风险）利率，Rf表示国外（无风险）利率，X（t）本币/外币兑换率，Y（t）=X（t）-1： 外币/本币汇率。假设1）储蓄计划的投资金额为1（国内）货币单位，rd、Rf均为常数。2） 到期付款如下：Vf=Vd·X-1（T）=最大erdTX-1（0）erfT（外币单位）3）汇率满足Garman Kohlhage n[4]模型：dX（t）X（t）=λ·dt+σdW（t）。4） 期权的国外价格由确定性函数Vf=Vf（X，t）给出。在假设1）-4）下，Vf=Vf（X，t），提供指数选择的储蓄计划的国外价格函数是PDE初始值问题的解决方案Vft+XVfX个+σ+rd- 射频十、Vf十、- rfVf=0（17）Vf（X，t）=最大{erdTX-1（T），X-1（0）erfT}。（18） 事实上，根据It公式和假设4），dX（t）= (-uX-1（t）+σX-1（t））dt- σX-1（t）dW（t）8 Hyong chol O和Dae sung ChoeBy-对冲，构建投资组合∏∏=Vf（X，t）-  · 十、-1（该投资组合包括一张期权， 本币单位及其价格以外币计算。）我们选择 所以d∏=rfdt。

根据公式，我们有DVF=Vft+σXVfX+uXVf十、dt+σXVfXdW。Thend∏=dVf- 十、-  · rdX公司-1吨==Vft+σXVfX+uXVf十、+ σXVfXdW公司-  · (-uX-1+σX-1） ·dt--σX-1dW- rdX公司-1吨=Vft+σXVfX+uXVf十、-  · (-uX-1+σX-1) - rdX公司-1.dt公司++σXVf十、- σX-1.dW=rf∏dt=rf（Vf-  · 十、-1） ·DTTHESVft+σXVfX+uXVf十、-  · (-uX-1+σX-1) - rdX公司-1.dt公司++σXVf十、- σX-1.如果我们选择 = 十、Vf十、 那么我们有Vft+σXVfX+uXVf十、- 十、VfX（uX-1.- σX-1.- rdX公司-1+rfX-1) - rfVf=0我们有期权价格的PDE模型。Vft+σXVfX+（σ+rd- rf）X五、十、- rfVf=0（17）是一个BS-PDE，利率为rf，股息为2rf- 研发部- σ和波动率σ。我们可以用幂二元期权来表示问题（17）、（18）的解。x=x（0）是已知数量，到期支付函数（18）重写如下。Vf（X，T）=最大{erdTX-1，x-1erfT}==erdTX-1· 1erdT X-1<x-1 RDT公司= erdTX公司-1·1（X<K）+X-1·1（X>K）。电力二元正态分布标准定价公式。。。9此处K=xe（rd-rf）T。因此，根据定理2，期权的国外价格计算如下。Vf（x，t）=erdT（M-1)-K（x，t）+x-从（5）中，我们得到以下定理。（我们考虑了u(-1) = -rd，u（0）=-rf）定理3.1在假设1 4下，提供指数选择的储蓄计划的国外价格是问题（17）、（18）的解决方案，由vf（x，t）=erdtX给出-1N(-d） +x个-1 RFTN（d）（19）HEED=lnx-1erfterdtX-1.-σ（T- t）σ√T- t、 d=lnx-1erfterdtX-1+σ（T- t） σ√T- t（20）备注。该公式的财务含义是明确的。erdTX公司-1是当以国内利率和x保存1个单位（国内货币）时，储蓄账户现值的外国价格-1当1个单位（本国货币）以外币汇率保存时，RFT是储蓄账户的现值（外币）。N个(-d） N（d）是这两个数量在期权价格中的比例。

这个比例取决于其中哪个更大，尤其是在到期日，一个是0，另一个是1。当通货膨胀率为1.3.2几何平均亚式期权时，公式（19）、（20）等于[9]。几何平均亚式期权是一种期权，其到期支付不仅取决于标的资产的终端价格，还取决于标的资产在其使用寿命上的价格几何平均值[6]。该期权在时间t的价格取决于标的资产在时间t的价格以及标的资产价格在时间间隔[0，t]上的几何平均JT。设0=T<T<···<Tm=T为离散监控时间，Xnbe为标的资产价格。然后，标的资产价格的离散几何平均值仍然是时间tn，用jn=JTn=nYi=1Xi表示！n=enPni=1ln xit到期付款的期权（JT- K） +=（mpX···Xm）- K） +被称为离散几何平均亚洲期权。类似地，标的资产价格到时间[0，t]的几何平均值被表示为Sjt=Ettln sτdτ10 Hyong chol O和Dae sung ChoeThe期权，到期付款（JT- K）+=etRtln Sτdτ- K+被称为连续几何平均亚洲期权（看涨期权）（具有固定的行使价格）。连续几何平均亚式（看涨期权）的价格（含fixedexercise价格）是以下问题的解决方案五、t+Jln X- ln JtJ+σXσVX+（r- q） X个五、十、- rV=0（21）V（X，J，T）=（JT- K） +位于域{0≤ X<∞, 0≤ J<∞, 0≤ t型≤ T}。引理3.1【6】具有x e d行使价格的几何平均亚洲看涨期权的价格由v（x，J，t）=e给出-r（T-t） {[JtST-t] Te公司r*+(σ*)（T-t） N（d*) - 千牛（d*)} （22）遗传*=TlnJtXT-tKT+[r*+ (σ*)]（T- t） σ*√T- t、 d*= d*- σ*√T- tr公司*= （r）- q-σ） T型- t2T，σ*=σ（T- t）√3我们现在建立离散几何平均亚式期权价格的微分方程模型。

设0=T<···<Tn=T为固定监测时间，X，····，Xnbe分别为时间T，····，Tn的资产价格。具有固定价格和n次监控时间的离散几何Caverage亚洲期权的价格用Vn（X，t）表示。B定义到期付款等于Vn（Xn，Tn）=n√X···Xn- K+. 时间间隔Ti<t的期权价格≤ Ti+1由Vin（X，t）表示，i=1，·，n- 1.因为在时间间隔Tn内-1<t≤ t组件X、···、Xn的价格-1在已知数量的情况下，可将试验付款写入VN-1n（X，Tn）=npX···Xn-1Xn- K（23）间隔Tn-1<t≤ Tn，这可以被视为一个普通期权，具有e xpirypayo ff（23），因此在此区间内，离散几何平均亚式期权的价格是Black-Scholes方程终值问题的解决方案-1n=越南-1nt+σX越南-1nX+（r-q） X个越南-1n十、-rVn公司-1n=0，（X>0，Tn-1<t<Tn），Vn-1n（X，Tn）=npX···Xn-1Xn- K+（24）幂二元正态分布标准定价公式。。。11此价格Vn-1n（X，t）依赖于X，t以及X，·Xn-1和so Vn-1N可写为Vn-1n（X，t；X，···Xn-1). 因为X=Xn-1时间Tn-1，特别是期权价格isVn-1n（X，Tn- 1.十、 ···，Xn-2，X）在间隔Tn上-2<t≤ 田纳西州-1、价格X、···、Xn-2、监测时间t、··、Tn-2at Tn-2<t≤ 田纳西州-1是已知的数量，因此在此时间间隔内，该选项成为一个普通选项（BS pde的解决方案），其支付为Vn-1n（X，Tn-1.十、 ···，Xn-2，X）。价格取决于X，t以及X，···，Xn-2.

通过重复该过程，我们得到Lvin=0（X>0，Ti<t<Ti+1）（25）Vin（X，Ti）=Vi+1n（X，Ti；X···，Xi，X），i=\'1，n- 2具有n次监测的固定行使价格的圆盘网几何平均亚式期权价格模型为（24），（25）。定理3.2具有固定行使行使价格的离散几何平均亚式期权的价格，具有n个监控时间，用Vn表示-kn（X，t）=npX···Xn-kXkneθk（t）N（dn-k（t）+nk（t））- Ke公司-r（Tn-t） N（dn-k（t））Tn-k≤ t<Tn-k+1，（k=(R)1，n- 1） （26）此处k（t）=σvuutk（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1- Ti））dn-k（X，t）=-1n-k{lnX···Xn-kXkKn+r- q-σ[k（Tn-k+1-t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1-田纳西州-i） ]}θk（t）=u（kn）（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1u英寸（Tn-i+1- Ti）= u（n）（Tn- 田纳西州-1） +u（n）（Tn-1.- 田纳西州-2） +···+u（kn）（Tn-k+1- t） 特别是在时间t=0时，我们有vn（X，0）=Xeθn-1（T）N（d+N∑）- Ke公司-r（Tn-t） 此处N（d）∑=n-1（0）σvuutn-1Xi=1（i（Tn-k+1- 田纳西州-i） ）12 Hyong chol O和Dae sung Choed=d（X，T）=∑-1“lnXnKn+（r- q-σ） n个-iXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） #θn-1（T）=n-1Xi=1u（in）（Tn-i+1-田纳西州-i） 首先证明我们找到了（24）的解。（24）的到期付款可以写为VN-1n（X，Tn）=（npX···Xn-1Xn- K） +=（npX···Xn）-1Xn- K） ·1（npX···Xn-1Xn>K）=（npX···Xn-1Xn- K） ·1X>KnX···Xn-1..这可以通过幂二元期权的价格组合以及Tn的定理2.2来表达-1<t<t我们有-1n（X，t；Tn）=npX···Xn-1.明尼苏达州+KnX···Xn-1（X，t；Tn）- K（M）+KnX···Xn-1（T，T；Tn）=npX···Xn-1eu（n）（Tn-t） N（dn（X，t））- Ke公司-r（Tn-t） N（dn（X，t））（27）遗传-1（X，t）=lnX···Xn-1Kn+r- q-σ（Tn- t）（σpTn- t）-1dn-1（X，t）=lnX···Xn-1Kn+r- q-σ+σn（Tn- t）（σpTn- t）-1=dn-1（X，t）+nσpTn- t=dn-1（X，t）+n（t） 因此，已证明（26）适用于Tn-现在我们假设（26）保持在区间Tn上-k<t<Tn-k+1并在区间Tn上找到价格公式-k-1<t<Tn-k、 间隔Tn上-k-1<t<Tn-k、 X，···，Xn-k-1已知数量，尤其是X=Xn-kat时间Tn-k

因此，在Tn-k、 我们有-kn（X，Tn-k田纳西州-k+1，Tn-1，Tn）==npX···Xn-k-1X（k+1）/neθk（n-k） N（dn-k（X，Tn）-k） （）- ke公司-r（Tn-t） N（dn-k（X，Tn-k） ）=f（X）- 幂二元正态分布标准的g（X）定价公式。。。13埃登-k（X，Tn-k） =（lnX···Xn-k-1Xk+1Kn+（r- q-σ） “kXi=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） #）·σvuutkXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）= δX···Xn-k-1Xk+1Kn，kXi=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） ，0，kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！dn-k（X，Tn-k） =dn-k（X，Tn-k） +nk（Tn-k）=lnX···Xn-k-1Xk+1Kn+（r- q-σ） “kXi=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） #+σnkXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）·σvuutkXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）= δX···Xn-k-1Xk+1Kn，kXi=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） ，nPki=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） Pki=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） ，kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！其中δ由（11）定义。和来自（25），Vn-k-1n（X，t）是（1）的溶液，其中过期付款f（X）- g（X）。现在，为了找到（1）的溶液Vf（X）和expirypayo fff（X），我们让τ=kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） ，τ=Tn-k- t、 τ′=kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） α=nPki=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） Pki=1i（Tn-k+1- 田纳西州-i） ，β=k+1n，i=k+1并应用定理2.3。因此我们有vf（X，t）=npX···Xn-k-1X（k+1）/neθk+1（t）N（dn-k-1） 埃登-k-1（X，t）=lnX···Xn-k-1Xk+1Kn+（r- q-σ） “（k+1）（Tn-k- t） +kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） #++σn“（k+1）（Tn-k- t） +kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）#·σvuut（k+1）（Tn-k- t） +kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）-114 Hyong chol O和Dae sung Choeθk+1（t）=u（k+1n）（Tn-k+1- t） +Pki=1u（in）（Tn-i+1- 田纳西州-i） 为了找到（1）的溶液Vg（X，t）和到期付款（X），我们让τ=kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） ，τ=Tn-k- t、 τ′=kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） α=0，β=0，i=k+1并应用定理2.3。

所以我们有vg（X，t）=Ke-r（Tn-t） N（dn-k-1） 埃登-k-1（X，t）=lnX···Xn-k-1Xk+1Kn+（r- q-σ） “（k+1）（Tn-k- t） +kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）#·σvuut（k+1）（Tn-k- t） +kXi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）-我们有吗-k-1n（X，t）=Vf（X，t）- Vg（X，t）=npX···Xn-k-1X（k+1）/neθk+1（t）N（dn-k-1) - Ke公司-r（Tn-t） N（dn-k-1） 因此，我们已经证明了（26）。（QED）现在让我们找出离散几何平均亚洲期权的价格极限，因为离散监控区间变为零。设Vn（X，t）为具有固定行使价格和n次监控时间的离散几何平均亚洲期权的价格。那么我们有t型∈ [0，T），k∈ {1，···，n- 1} ，Tn-k≤ t<Tn-k+1:Vn（X，t）=Vn-kn（X，t）和V（X，J，t）是连续g几何平均亚洲看涨期权的价格，其中fixedexercise价格和J（t）=etRtln Xτdτ。然后我们得到了下面的收敛定理。定理3.3当分割子区间的最大长度为零，且n为整数时，离散几何平均亚洲看涨期权的（26）价格收敛于连续几何平均亚洲期权的（22）价格。也就是说，wehavelimn→∞Vn（X，t）=V（X，J，t），t型∈ [0，T）为简化讨论，证明时间T（0<T<T），并假设T{0=T，T，···，Tn=T}是[0，T]与长度相同的（n-1）子区间的划分。（在使用anypartition的情况下，可以用同样的方法证明收敛性。）然后k、 田纳西州-k≤ t<Tn-k+1，我们有Vn（X，t）=Vn-kn（X，t；Tn-k+1、···、Tn-1，Tn）==npX···Xn-kXk/neθkN（dn-k） +Ke-r（Tn-t） N（dn-k） 电力二元正态分布标准定价公式。。。

15此处为方便dn-k（X，t）和dn-k（X，t）可以重写如下。dn-k（X，t）=lnX···Xn-kXkKn+（r- q-σ)k（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）++σn“k（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1-田纳西州-（一）#··σpk（Tn- k+1）- t+k-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-1=nklnnpX···Xn-kXk/nKn+（r- q-σ)（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）++kσn“（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1-田纳西州-（一）#··σp（Tn- k+1）- t+kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-1dn-k（X，t）=nklnnpX···Xn-kXk/nKn+（r- q-σ)（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）··σp（Tn- k+1）- t+kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-1当我们有-k≤ t<Tn-k+1<->n- k- 1n- 1吨≤< t<n- 千牛- 1吨<->k- 1n- 1<T- tT≤千牛- 1我们有Limn吗→∞kn=T- tT（28）使用（28）我们有J（t）tT=tT·tZtln Xτdτ=Tlimn→∞n-kXi=1田纳西州- 1ln Xi== 画→∞nn型-kXi=1ln Xi=limn→∞lnnpX···Xn-k==ln极限→∞npX···Xn-kSo我们有j（t）tT=limn→∞npX···Xn-k（29）16 Hyong chol O和Dae sung Choe（田纳西州-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） =（Tn-k+1- t） +总氮- 1kk-1Xi=1i=（Tn-k+1- t） +总氮- 1k（k- 1） （2k- 1） 6k==（Tn-k+1- t） +千- 1n- 1.-6kTUsing（28）和limn→∞（Tn-k+1- t） =0，我们有limn→∞（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） =（T- t） （30）使用KLNX···Xn-kXkKn=nklnn√X···Xn-kXknKand（28）和（29），我们有limn→∞nklnnpX···Xn-kXk/nK=TT- tlnJ（t）tTXT-tTK（31）使用KPK-1i=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） +（Tn-k+1- t） =Tn-1公里-1+（Tn-k+1- t） 和（28）wehavelimn→∞kk公司-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） +（Tn-k+1- t） =TT- tT=T- t（32）现在重写asdn-k（X，t）=lnX···Xn-kXkKn+（r- q-σ)k（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）++σn“k（Tn-k+1- t） +千-1Xi=1i（Tn-i+1-田纳西州-（一）#··σpk（Tn- k+1）- t+k-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-1=nklnnpX···Xn-kXk/nKn+（r- q-σ)（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）++kσn“（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1-田纳西州-（一）#··σp（Tn- k+1）- t+kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-1幂二元和正态分布标准的定价公式。。。

17从（30），（31），（32）我们有→∞dn-k（X，t）=TT-tlnJ（t）tTXT-tTK+（r- q-σ） T型-t+t-tTT公司-tTT公司-tσσqT-t==TlnJ（t）tXT-tKT公司+（r）- q-σ） T型-t2T型+T-tTσ（T- t） σt-tT√T-t型√==TlnJ（t）tXT-tKT+[r*+ (σ*)]（T- t） σ*√T- t=d*（33）同样重写asdn-k（X，t）=nklnnpX···Xn-kXk/nKn+（r- q-σ)（Tn-k+1- t） +kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-（一）··σp（Tn- k+1）- t+kk-1Xi=1i（Tn-i+1- 田纳西州-i） 哦！-从（30），（31），（32）我们有→∞dn-k（X，t）=TT-tlnJ（t）tTXT-tTK+（r- q-σ） T型-tσqT-t==TlnJ（t）tXT-tKT公司+（r）- q-σ） T型-t2T型（T- t） σt-tT√T-t型√==TlnJ（t）tXT-tKT+r*（T- t）σ*√T- t=d*（34）其中*= （r）- q-σ） T型- t2T，σ*=T- t型√3T18 Hyong chol O和Dae sung ChoeConsiderθk（t）=u（n）（Tn- 田纳西州-1） +u（n）（Tn-1.- 田纳西州-2） +···+u（kn）（Tn-k+1- t） ==Tn- 1Xi=1k- 1（英寸- 1） +（kn- 1） （Tn-k+1- t） 哦！r-田纳西州- 1公里-1Xi=1+kn（Tn-k+1- t） 哦！q--σTn- 1Xi=1k- 1（英寸-in）+（kn-kn）（Tn-k+1- t） 哦==田纳西州- 1.k（k- 1） 2n个- k（千牛- 1） （Tn-k+1- t）r-田纳西州- 1k（k+1）2n+kn（Tn-k+1- t）--σ田纳西州- 1.k（k- 1） （2k- 1） 6n+k（k- 1） 2n个+千牛-千牛（Tn-k+1- t）从（30），（31），（32）我们有→∞θk（t）=（T- t）2吨- （T- t）r-（T- t）2Tq-（T- t）3T+（t- t） 2吨σ==（r- q-σ） （T- t） 2T+（t- t） 3Tσ- r（T- t） ==（r*+(σ*)（T- t）- r（T- t） ）（35）从（33），（34），（35）我们得到了所需的结果（QED）。我们可以得到与定理3.2和定理3.3相同的浮动价格的几何亚式期权的结果。设0=T<···<Tn=T分别为固定的钼氮化时间和X，···，X监测时间的资产价格。用Vn（X，t）表示离散几何亚洲期权的价格和浮动汇率。从定义来看，expriy Payoff isVn（Xn，Tn）=十、-npX···Xn+表示间隔Ti<t上的期权价格≤ xn按Vin（X，t），i=1，····n- 1.

然后不在此间隔Tn-1<t<≤ Tn，资产价格X，···，Xn-1关于已知量，我们可以重写为。越南-1n（X，Tn）=十、-npX···Xn-1X1/n+（36）因此，在此区间内，具有浮动行使价格的离散地理计量亚洲期权是具有到期支付的avanilla期权（36），定价模型由VN给出-1n=0（X>0，Tn-1<t<Tn）Vn-1n（X，Tn）=十、-npX···Xn-1X1/n+（37）Vn-1n（X，t）取决于X，t和X，····，Xn-1和so Vn-1n（X，t）可由vn重写-1n（X，t；X，···，Xn-1) . 尤其是X=Xn-1时间Tn-1、价格Vn-1n（X，Tn-1幂二元和正态分布标准的定价公式。。。19可重写为VN-1n（X，t；X，···，Xn-2，X）。间隔Tn上-2<t≤ 田纳西州-1资产价格X、···、Xn-2在监测时间T，···，Tn-2为已知数量，因此在该区间内，期权为va nilla期权，到期支付-1n（X，t；X，···，Xn-2，X）。再次Vn-2n（X，t）依赖于X，t以及X，···，Xn-2、重复这些过程，wegetLVin=0（X>0，Ti<t<Ti+1）Vin（X，Tn）=Vi+1n（X，Ti；X···Xi，X），i=(R)1，n- 2.

（38）具有浮动行使价格和n个监控时间的离散几何亚洲期权的定价模型为（37）和（38）。定理3.4具有浮动价格和n个监控时间的离散几何正弦期权的价格（对（37）、（38）的解）由Vn给出-kn（X，t；Tn-k+1、···、Tn-1，Tn）=Xe-q（Tn-t） N（dn-k）-npX···Xn-kXk/neθk（t）N（dn-k） （39）Tn-k≤ t<Tn-k+1，（k=(R)1，n- 1） 埃登-k级=lnXn公司-千牛-1n-1pX···Xn-k+（r- q-σ)n- 千牛- 1（Tn-k+1- t） +千-1Xj=1n- jn公司- 1（Tn- j+1- 田纳西州-j）++ σk（n- k） n（n- 1） （Tn-k+1- t） +千-1Xj=1j（n- j） n（n- 1） （Tn-j+1- 田纳西州-j）··σvuutn- 千牛- 1.（Tn-k+1- t） +千-1Xj=1n- jn公司- 1.（Tn-j+1- 田纳西州-j）-1dn-k级=lnXn公司-千牛-1n-1pX···Xn-k+（r- q-σ)n- 千牛- 1（Tn-k+1- t） +千-1Xj=1n- jn公司- 1（Tn- j+1- 田纳西州-j）··σvuutn- 千牛- 1.（Tn-k+1- t） +千-1Xj=1n- jn公司- 1.（Tn-j+1- 田纳西州-j）-1θk（t）=u（kn）（Tn-k+1- t） +千-1Xj=1u（jn）（Tn-j+1- 田纳西州-j） u（β）=（β- 1） r- βq+σ（β- β） 该证明被省略，因为它与定理3.2.20 Hyong chol O和Dae sung ChoeTheorem 3.5的证明类似。在浮动行权价格的情况下，如果我们增加监控次数n，离散几何亚式期权的价格收敛于具有浮动行权价格的V（X，J，t）连续几何亚式期权的价格。也就是说，我们有Limn→∞Vn（X，t）=V（X，J，t），其中V（X，J，t）由V（X，J，t）=e给出-q（T-t） XN（d*) - JtTXT文件-tTeθ*N（d*)何处*=√σ√T- t型t lnXJ+（r- q+σ）T- t型- σT- t3T型d*=√σ√T- t型t lnXJ+（r- q+σ）T- t型θ*= -q（T- t）- （r）- q+σ）T- t2T+σ（T- t） 6t该证明被省略，因为它与定理3.3的证明相似。备注：Remar k：该公式与[6]的公式略有不同。但当q=0.4高次幂二元期权时，它等于[3]的公式。定义4 s二阶α幂二元期权被定义为到期日为T的α幂二元期权上的二元合同。

除此之外，二阶α-幂二元期权的价格是（1）的解，时间为以下fORMV（x，T）=（Mα）sξ（x，T；T）1（sx>sξ），这里（Mα）sξ（x，T；T）是到期日为T的α-幂二元期权的价格。二阶α-幂二元期权的价格由（Mα）ssξ（x，T；T，T）表示，这称为二阶α-幂二元期权到期日T，T。相应地，α-幂二元期权被称为一阶α-幂二元期权。由于（Mα）ssξ（x，T；T，T）=（Mα）sξ（x，T；T）1（sx>sξ），我们有（Mα）+sξ（x，T；T，T）+（Mα）-sξξ（x，T；T，T）=（Mα）sξ（x，T；T）因此，一阶α幂二元期权的价格与相应的二阶α幂二元期权的价格之间存在平价关系。（Mα）+sξξ（x，t）+（Mα）-sξξ（x，t）=（Mα）sξ（x，t），t<幂二元和正态分布标准的定价公式。。。21定理4.1二阶幂二元期权的价格由（Mα）ssξξ（x，t；t，t）=eu（t）给出-t） xαN（sd，sd；ssρ）（40）Heredi=lnxξi+r- q-σ+ ασ（Ti- t）（σpTi- t）-1，ρ=rT- tT- tN（d，d；ρ）=2πp1- ρZd-∞Zd公司-∞e-y-2ρyy+y2（1-ρ） 根据[8]中的定义和位置1，我们得到（Mα）ssξ（x，t）==e-r（T-t） σp2π（t- t） Z∞-∞ze公司-2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ（T-t）1（sz>sξ）（Mα）sξ（z，T；T）dz==e-r（T-t） Z+∞-∞e-2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ（T-t）zσp2π（T- t） 1（sz>sξ）eu（T-T） zαz+∞-∞e-2σ（T-T）lnxz公司+r-q-σ+ασ（T-T）zσp2π（T- T） 1（sz>sξ）dzdz=xαeu（T-t） Z+∞-∞Z+∞-∞e-2σ（T-t）lnxz公司+r-q-σ+ασ（T-t）e-2σ（T-T）lnxz公司+r-q-σ+ασ（T-T）2πσzzp（T- t） （t- T）1（sz>sξ）1（sz>sξ）在这个积分中，我们使用变量syi的变化=lnxzi公司+r- q-σ+ ασ（Ti- t）（σpTi- t）-1，i=0，1然后dyi=（σ√Ti公司- t）-1.-dzizi。

C考虑到-y-（yσ√T- t型- yσ√T- t） 2σ（t- T） =y- 2ρyy+y2（1- ρ） ，ρ=rT- tT- twe have（Mα）ssξ（x，t）=xαeu（t-t） 2πp1- ρZ+∞-∞Z+∞-∞ey公司-2ρyy+y2（1-ρ） 1（sy<sd）1（sy<sd）dydy=I22 Hyong chol O和Dae sung ChoeWe再次使用以下变量变化。y′=sy，y′=sy这个变化的雅可比矩阵是det公司s0 s= 所以我们有（Mα）ssξ（x，t）=xαeu（t-t） 2πp1- ρZ+∞-∞Z+∞-∞ey′型-2ssρy′y′+y′2（1-ρ） 1（sy′<sd）1（sy′<sd）dy′dy′=xαeu（T-t） 2πp1- ρN（sd，sd；ssρ）（QED）。定义5第n个α幂二元期权归纳定义为二元合同，到期日为（n-1）个α幂二元期权。也就是说，一个n阶α幂二元期权的价格是（1）的解，时间Tpayo fff为以下fo rmV（x，T）=（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（x，T；T，···，Tn-1） 1（sx>sξ）（41）此处（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（x，T；T，···，Tn-1是（n-1）阶α-幂二元期权的价格，有效期为T，···，Tn-该n阶α幂二元期权的价格用（Mα）s，s···sn表示-1ξ，ξ·ξn-1（x，t；t，t，···，Tn-1） 该期权被称为n阶α-幂二元期权，有n个到期日T，T，···，Tn-1、n阶α幂二元期权的价格与相应的（n）价格之间- 1） -次α-幂二元选项，存在以下奇偶关系（Mα）+，s···sn-1ξ，ξ·ξn-1（x，t）+（Mα）-,s···sn-1ξ，ξ·ξn-1（x，t）=（Mα）s···sn-1ξ，ξ·ξn-1（x，t），t<t定理4.2 n次α-幂二元期权的价格（问题（1）、（41）的解）如下所示。（Mα）s，s···sn-1ξ，ξ·ξn-1（x，t；t，t，···，Tn-1） =xαeu（Tn-1.-t） Nn（标准差，···，序号-1dn-1.An（s···sn）-1） ）埃雷迪=lnxξi+r- q-σ+ ασ（Ti- t）（σpTi- t）-1Nn（d，···，dn-1.（A）=2πn | detA | Zd-∞灯影组-1.-∞e-yTA公司-1ydy···dyn-1幂二元和正态分布标准的定价公式。。。

23A（ss···sn-1） =（sisjaij）n-1i，j=0，det[A（ss···sn-1） ]=det（A）和A=（aij）i，j=0，···，n-1是第n个矩阵，定义如下，如【8】。a=（T- t） /（t- T） ，an-1，n-1=（Tn）-1.- t） /（Tn-1.- 田纳西州-2） ，全部=（Ti- t） /（Ti- Ti公司-1） +（Ti- t） /（Ti+1- Ti）ai，i+1=ai+1，i=-p（Ti- t） （Ti+1- t） /（Ti+1- Ti），0≤ 我≤ n- 2对于其他指数，aij=0。定理2.2和定理4.1证明了n=1和n=2的情况。在n>2的情况下，我们将通过归纳给出pro的草图。我们认为定理4.2在n的情况下成立- 1、根据定义4.2，（Mα）s，s···sn-1ξ，ξ·ξn-1（x，t；t，t，···，Tn-1） 满意度（40）和V（x，T）=（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（x，T；T，···，Tn-1） ·1（sx>sξ）此处（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（x，TT，···，Tn-1） 是（n-1）次方二进制选项的价格。因此，通过[8]中的介词1（Mα）ss···sn-1ξξ·ξn-1（x，t；t，···，Tn-1） ==e-r（T-t） Z+∞-∞1（sz>sξ）σp2π（T- t） ze公司-lnxz公司+r-q-σ（Ti-t）2σ（T-t） （Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（z，T）dz根据归纳n假设，定理4.2的结果适用于（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（z，T）。因此我们有（Mα）s···sn-1ξ···ξn-1（z，T）=xαeu（Tn-1.-T） Nn（标准差，···，序号-1dn-1.An（s···sn）-1） ）将该等式代入上述积分r表示并计算积分，然后我们得到了定理4.2在n>2的情况下的结果。（验证结束）参考文献【1】Benninga，S.，Bjrk，T.和Wiener，Z。关于期权定价中数字的使用。《衍生品杂志》。2002年冬季。10(2): 1-16.[2] P.Buchen。，《双重到期外汇的定价》，量化金融，42040101-108。[3] P.Buchen（2012）《奇异期权定价导论》，C RC出版社，107-124。[4] M.Garman，S.Kohlhagen，“外币期权价值”，《国际货币与金融杂志》，2（1983），231-237。[5] Ingersoll，J.E.，《数字合同：简单到ols的复杂衍生品定价》，J。

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