时间变化法的主要兴趣实际上是在考虑问题2.4.2.2时间变化（J）Cir时。以下结果是本文的第二个主要贡献。它表明时间变化接近x← xθ提供了问题2的解决方案。推论2。设y是参数为Ξ的几乎肯定为正的HAJD。然后，在（11）中定义的模型xθ与Θ← Θ?（t；Ξ）解决问题2。证据因为y是一个HAJD，所以py是一条贴现曲线，可以分析。此外，由于y几乎肯定是正的，所以后者严格地说是递减的。我们根据定理1得出结论。现在让我们考虑JCIR模型，即带有Ξ=（κ，β，0，δ，α，ω）的HAJD。通过选择（α，ω）使αω=0，将CIR视为特例。那么，dyt=κ（β- yt）dt+δ√ytdWt+dJt，y>0，（19），其中κ、β、δ为严格正常数，ω、α为非负常数。最佳时钟Θ？（15）给出了给定严格递减曲线的完美曲线，其中与该模型相关的正向曲线由fy（t）=fJCIR（t）：=fJCIR（t）in（28）：fJCIR（t）=2κβ（etγ）给出- 1） 2γ+（κ+γ）（etγ- 1） +y4γetγ[2γ+（κ+γ）（etγ- 1） ]+2ωα（etγ- 1） 2γ+（κ+γ+2α）（etγ- 1） ，（20）式中γ：=√κ+ 2δ. 时变过程xθt=θ（t）yθtare的动力学由（12）给出，其中dyθt=κ（β- yθt）θ（t）dt+δqθ（t）yθtdBt+dJθt，yθ=y。其中B是Fθ-布朗运动，Jθ是具有跳跃大小平均值α和时间t瞬时到达率ωθ（t）的非均匀复合泊松过程。因此，应用于JCIR（TC-JCIR）的时间变化技术解决了问题2。特别是，与S-JCIR（其关注的参数为正）相比，xθ上的正性约束在每个（严格递减的）市场曲线和每个Ξ上都会自动满足（因此y并不完全等于0）。

然而，我们已经表明，通过考虑PS-JCIR，xИ，+可以确保正性。使用Ξ+而不是Ξ？可以完成这项工作，但代价是有一个进程xД，+也就是说，在很大程度上，是确定性的（即xД，+t位于市场（t）附近的一个小社区）。因此，与相应的PS-JCIR相比，TC-JCIR模型预计具有更高的波动性，至少在一段时间内。下一个定理总结了这一点，这是本文的第三个主要结果。定理2。让Pmarketbe是一条严格递减的贴现曲线，y是一个带有参数Ξ的JCIR++过程，这样完美的函数JCIR++模型xΞ？这是阳性的。然后，由（20）给出的fy（t）=fJCIR（t；Ξ）的ODE（15）允许满足Ξ？（t） =Θ？（t；Ξ）≥ t。此外，相应的完美函数TC-JCIR模型的方差xθ？tsatis fies：1）VXθ？t型≥ VhX^1？ti， t型≥ 0.2）Vxθ？t型≥ Vhx^1？t如果以下其中一项成立：i）y=β+ωακ，ii）f市场常数和y≤ β+ωακ，iii）y>β+ωακ，t<Θ？-1（t），iv）（κβ+ωα）/γ<y<β+ωακ，t>Θ？-1（t），其中t：=κln1+y+2ωα/γy- β - ωα/κ和t：=γln（γ- κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα（κ+γ）（yγ- κβ -ωα) - 2ωα.证据见第7.4节。综上所述，TC-JCIR模型（包括TC-CIR）为问题2：过程xθ？是非负的（与S-JCIR xД相比），几乎可以理解为简单的JCIR差异（与PS-JCIR xД？，+相比），为每个严格递减的贴现曲线（作为JCIR+模型）提供了完美的拟合，并在某种程度上具有更大的差异（与PS-JCIR xД？，+相比）。特别是，从经验上观察到，TC-JCIR的积分方差与无约束（即，波动性大，但波动性高）S-JCIR模型x？的积分方差相似？。

因此，当需要积极约束时，TC-JCIR避免了JCIR++模型的缺点。唯一需要支付的价格是，时钟不是封闭式的，但需要（简单的）数字版本。该模型的特性，即完美拟合和高方差特征，将在下一节中对信贷风险建模的各种应用进行说明。5信贷风险模型的应用我们考虑第2.1.2节所述的简化形式违约模型，使用CIR基础模型y（即（19）和J≡ 0). 默认强度λ建模为CIR++（λ← λДt：=yt+Д（t））或使用TC-CIR（λ← λθt：=θ（t）yΘ（t））。请注意，根据对（Pmarket，Ξ），CIR++进程可能具有负值。服用Ξ时会出现这种情况← Ξ?使用MSE方法（9）给出，除非（10）中有明确的约束，否则会导致← Ξ?,+. 请记住，当λ表示强度过程时，S-CIR模型（λД）实际上是错误的，因为观察到负强度的概率为非零，而pλД（t）不能解释为与Cox模型相关的生存概率。然而，我们将该模型的结果作为基准，因为正如导言中所解释的，这是一种非常标准的方法。我们将CIR++（S-CIR和PS-CIR）与TC-CIR在与参考实体为福特股份有限公司的真实案例相关的几个方面进行了比较。我们还讨论了相关的TC-JCIR案例。我们首先分析了这两种模型的完美特征，以及λ的非负性。然后比较积分过程∧的方差。然后，我们分析他们在两种不同应用中的行为，即各种信用违约掉期期权的定价（也称为。

以福特为参考实体的CDS期权或CDSO），或福特为交易对手的典型FRA和IRS风险的信用估值调整（CVA）。它很好地承认，像CDS或CDSO这样的“纯信贷工具”在现实条件下对利率的随机性非常不敏感。Brigo and Alfonsi（2005）和Brigo and Cousot（2006）对CIR基础模型进行了明确讨论。因此，我们考虑一个确定的短速率过程，它由符号ru=r（u）强调。在这种情况下，只需得到Prs（t）=Ds（t）=e-Rtsr（u）du。在续集中，我们首先说明了S-CIR、PS-CIR和TC-CIR的完美特性，当默认模型根据福特股份有限公司的生存概率曲线进行校准时。然后，我们使用该模型对CDSO进行定价，并计算CVA图。5.1 CDS期限结构的完美fit我们考虑了福特公司的CDS期限结构，并表明考虑一组参数Ξ，存在产生完美fit的Ξ和Θ。在续集中，我们在移位和时钟函数上删除了星形上标。因此，Ξ？对应于对给定的Pmarketcurve无约束优化的CIR参数，并且Д和Θ表示对应的最佳移位和时钟函数。在非负性约束下找到的相应参数为Ξ？+，^1+和Θ+。信用违约掉期（CDS）是一种金融工具，被称为保护买方和保护卖方的双方使用，用于将保护买方在第三方（称为参考实体）发生特定违约事件时将承担的金融损失转移给保护卖方。通常，我们将τ设置为后者的默认时间。在时间t签订的违约掉期中，从时间t开始，到期日为Tb，保护买方在一组付款日期Ta支付息票（价差）k。

，tb只要引用实体不是默认的。如果TAB和Tb之间发生违约，保护卖方同意向保护买方支付一笔LGD。在适用的情况下，保护买方将根据违约前最后一个付款日期以来累计的价差进行最终付款。有关该产品力学的更多详细信息，请参阅Brigo and Alfonsi（2005）和Brigo and El Bachir（2010）。鉴于利率对图表的影响很小，且我们的主要目标是讨论违约模型的影响，我们在下面的数值应用中考虑了零风险无利率。有关实际市场惯例的更多详细信息，我们请感兴趣的读者参阅Markit（2004），CDS期限结构由一组与各种到期日的CDS相关的面值息差组成。到期日为Ti的CDS合同的时间-t票面价差st（Ti）定义为合同价差k，该合同价差将CDS合同的价值设定为时间t时的0。票面价差于2018年11月12日从彭博社获取，如下表所示。到期日（年）1 3 5 7 10利差（bps）18.3 136.6 191.9 267.6 280.6表1:2018年11月12日福特股份有限公司的CDS利差期限结构。资料来源：彭博社。在这种情况下，市场曲线Pmarketto fitted是风险中性生存概率曲线，定义为G（t）：=Q（τ>t），与给定参考实体（此处为福特公司）的默认时间τ相关。它可以通过反转相应金融工具的无套利定价公式从CDS报价中提取。实际上，一个人只有几个校准方程，比如n，由市场报价的数量给出（这里，n=5）。因此，在没有进一步假设的情况下，无法估计完整（即有限维）市场曲线G。

通常的市场惯例是考虑国际掉期和衍生品协会（ISDA）的CDS模型，即JP Morgan模型，Markit（2004），该模型提供了适用于DSS的实际无套利定价公式的略微简化版本。在这种方法中，曲线G通过正风险率函数h进行参数化，与瞬时远期利率市场G（t）：=e的作用类似-Rth（s）ds，其中h本身由n个常数h，h，…，参数化，HN从展区中引导，与到期日T、T、…、，Tn.让我们关注地平线T=Tn。根据市场惯例，假设h在到期日之间是分段常数，即，假设参数形式：h（T）=nXi=1{Ti-1.≤t<Ti}hi-1，其中T=0，h=s1-带LGD的RW：=1- R、 R=40%假设企业和hi的回收率为正常数。即使标准较低，也可以首选其他规范，如按比例线性参数化：h（t）=nXi=1{Ti-1.≤t<Ti}你好- 你好-1吨- Ti公司-1（t- Ti公司-1） +你好-1..Markit（2009年3月13日）。图1和图2的面板（a）分别考虑了这两种不同的危险率函数规格。这些框架产生类似（但略有不同）的市场曲线G（t）（面板上的绿色曲线（d））。对于其中的每一个，我们首先计算“最佳”基础CIR模型y。根据市场实践，我们采用Ξ← Ξ?将（1）与Pmodel一起使用← Py考虑（2）为误差函数，T为可用的液体CDS到期日集。在每种情况下，我们考虑与最佳移位（由（9）给出）或最佳时钟（由（16）给出）相关的两个调整强度模型。后者分别显示在面板（b）和（c）上。模型曲线PλД（S-CIR）和Pλθ（TC-CIR）以洋红色显示在面板（d）上；它们彼此同意，并由于完美的fit而崩溃为G（t）。

请注意，危险率函数的参数化并不重要：存活概率曲线G、Py和Pλ在这两种情况下都非常相似。类似地，图1的两个面板（c）和2.0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08th（t）（a）分段恒定危险率（h）0 2 4 6 8 10中的时钟函数Θ看起来非常相似-0.01 0.00 0.01 0.02tД（t）（b）最佳换档（Д=Д？）0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10tΘ（t）（c）最佳时钟（Θ=Θ？）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（d） 生存概率（Py，G=PλД=Pλθ）图1：用调整后的CIR模型拟合福特股份有限公司CDS期限结构。生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段恒定风险率函数h（t）进行参数化，面板（a）。基本模型是一个CIR，参数为Ξ=Ξ？whereΞ？=（κ，β，η，δ，α，ω）=（0.0555，0.3018，0，0.2939，0，0）由（9）得到，y=h。移位函数Д（t）← φ?（t，Ξ？）如面板（b）所示。面板（c）给出时钟Θ（t）← Θ?（t；Ξ？）。最终，面板（d）得出了市场给出的生存概率曲线（G（t），绿色），或与各种强度模型λ的Q（τ（λ）>t相关的生存概率曲线：最佳基础模型λ← y（导致Q（τ（y）>t）=Py（t，Ξ？），蓝色虚线），λ← λИ（S-CIR）和λ← λθ（TC-CIR模型）。通过构造Θ和Θ，最后两条曲线相交（洋红），并与G（t）一致。0 2 4 6 8 100.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07次（t）（a）分段线性危险率（h）0 2 4 6 8 10-0.020-0.015-0.010-0.005 0.000tД（t）（b）最佳换档（Д=Д？）0 2 4 6 8 100 2 4 6 8 10tΘ（t）（c）最佳时钟（Θ=Θ？）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（d） 生存概率（Py，G=PλД=Pλθ）图2：用调整后的CIR拟合福特股份有限公司CDS期限结构。

生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段线性风险率函数h（t）进行参数化，面板（a）。基本模型y为CIR，参数为Ξ=Ξ？whereΞ？=（κ，β，η，δ，α，ω）=（0.0620，0.2729，0，0.2926，0，0）由式（9）得出，y=h。移位函数Д（t）← φ?（t，Ξ？）如面板（b）所示。面板（c）给出时钟Θ（t）← Θ?（t；Ξ？）。最终，面板（d）得出了市场给出的生存概率曲线（G（t），绿色），或与各种强度模型λ的Q（τ（λ）>t相关的生存概率曲线：最佳基础模型λ← y（导致Q（τ（y）>t）=Py（t，Ξ？），蓝色虚线），λ← λИ（S-CIR）和λ← λθ（TC-CIR模型）。通过构造Θ和Θ，最后两条曲线相交（洋红），并与G（t）一致。表2给出了本文其余部分数值示例中使用的参数。κβδy？0.0555 0.3018 0.2939 hΞ+0.2118 0.0030 0.0006 hΞ？0.0624 0.2975 0.3343 0.0000Ξ?,+3.8252.10-019.6881.10-031.5195.10-013.2093.10-10表2：使用福特分段恒定危险率的校准参数。参数Ξ？和Ξ+对应于具有和不具有正性约束的CIR模型y的参数，其中Yi被外部设置为分段风险率函数的第一级，h=0.0030。其他参数，Ξ？和Ξ？，+，对应于类似的情况，但Yi是进入优化过程的参数。在所有情况下，我们取α=ω=0。请注意，在图1和图2中，移位函数Д可以取负值。这意味着偏移方法S-CIR产生负的默认强度λИ，并且通过这种方式校准后，会受到影响。特别是，我们不能将λД解释为与Cox过程相关的默认强度。这与TC-CIR方法相反，因为如果SOI为y，λθ是一个正过程。

为了在CIR++框架中解决这个问题，需要依赖PS-CIR。我们注意到相应的过程y+和λД，+。如图3所示，福特公司的例子表明，这个过程非常严格：它会导致曲线Py以非常低的速率下降。特别是，PλД，+的形状基本上是由位移引起的，而不是由基本模型y引起的。这是有问题的：它基本上等于说h≈ Д，即PS-CIR过程λД，+本质上是确定性的。这将对生成的默认模型造成很大限制，并将在其余小节中进一步讨论。0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（吨）●●●●●●（a） 生存概率（Py+，G=Pλν，+）0 2 4 6 8 100.6 0.7 0.8 0.9 1.0tG（t）●●●●●●（b） 生存概率（Py+，G=PλИ，+）0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06 0.08tД（t）（c）移位函数（Д=Д？，+）0 2 4 6 8 100.00 0.02 0.04 0.06tД（t）（d）移位函数（Д=Д？，+）图3：使用λД？、拟合福特股份有限公司CDS期限结构+（PS-CIR）。面板（a）和（c）对应于y+=H，其中面板（b）和（d）对应于y+是优化参数之一的情况。生存概率曲线G（t）通过从彭博社2018年11月12日的市场价格中提取的分段常数风险率函数h（t）进行参数化。参数Ξ+在约束条件下计算← φ?（t；Ξ？，+）≥ 0 . 基本模型y+是一个CIR，参数为Ξ=Ξ+（左）和Ξ=Ξ+（右）。5.2方差分析可以对各种综合过程的方差进行有趣的观察。如后两节所示，在考虑金融应用时，它们将产生重要影响，其中∧在控制波动性和协方差效应方面起着核心作用。首先，观察具有最佳参数Ξ？与带参数Ξ？，+的综合CIR相比，预计具有更大的方差。

由于移位约束，后一种情况下的贴现曲线py比前一种情况下的贴现曲线py要大得多，也就是说，一般情况下（t；Ξ？，+）≥ Py（t；Ξ？）。这可以从图3的面板（a）和（b）中观察到。使用Ξ？，+时，Pmarket=G的形状的实质部分来自确定性转移。这相当于限制了过程的随机性。毫不奇怪，这将影响集成过程Y的方差。事实上，由于CIR过程的贴现曲线带有参数Ξ+通常使用参数Ξ？，我们直觉地期望CIR的方差与参数Ξ？大于带有参数Ξ？，+的CIR的值，由于下限为零。换言之，即使似乎很难提供正式的证明，人们通常也会直觉地认为以下结论成立：v∧Д（t）=vY（t；Ξ？）≥ vY（t；Ξ？，+）=v∧？，+（t）。图4中的情况确实如此：v∧Д（点蓝色）占主导地位，v∧Д，+（纯蓝色）。其次，观察到对于给定的基本过程y，积分TC-CIR的方差始终大于积分PS-CIR的方差。实际上，当在正约束条件下工作时（即，当y由Ξ？，+驱动时），我们必然有Ξ+（t）：=Κ（t；Ξ？，+）≥ t、 与定理2不一致。因为对于任何参数，Y的方差是时间的递增函数（附录中的引理6，第7.1.2节），对于Ξ← Ξ?,+特别地，v∧θ，+（t）=vY（Θ+（t）；Ξ?,+) ≥ vY（t；Ξ？，+）=v∧？，+（t）。第三，我们从图4中观察到，至少在本例中，TC CIRusingΞ？与S-CIR的方差相当：v∧θ（t）≈ vY（t；Ξ？）=v∧Д（t）。S-CIR的方差预计将接近相应C-CIR模型的方差，这一事实可以直观地理解如下。

如上所述，参数Ξ← Ξ?使用（9）计算得出的HAJD y最能拟合市场曲线，时钟用于吸收剩余的差异。因此，人们期望时钟与实际时间的偏差不会太大，即θ（t）≈ 1和两个进程的行为相似。特别地，yθ的参数是按θ（t）缩放的y的参数，xθt=θ（t）yθt≈ yθt，至少当pmarket和基本HAJD模型py之间的关系不是太差时；参见（17）。综上所述，我们观察到，当在正性约束下处理CIR+，必须在有效（但低波动性）PS-CIR过程λИ、+或波动（高波动性）S-CIR过程λД之间进行选择。相比之下，TC-CIR模型λθ始终有效（推论2），其方差始终大于PS-CIR对应物（定理2），其方差实际上与S-CIR生成的大水平相当。因此，TC-CIR是CIR+模型的有力挑战者。特别是，正如我们现在基于两个案例研究指出的那样，在处理实际信用风险应用程序时，它的特性特别有趣。0 2 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8tVar（a）y=h0 2 4 6 8 100.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0tVar（b）优化图4：λД、+（PS-CIRΞ=Ξ？、+（左）和Ξ=Ξ？、的集成版本的方差+（右），纯蓝色），λИ（S-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右）、蓝色虚线）和λθ（TC CIRwithΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右），洋红色）。5.3 CDS期权定价我们处理CDS期权（CDSO）的定价。由于CDSO是CDS上的一种期权，westart通过回顾CDS的无套利定价方程。我们注意到估值时间和假设τ>t，因为在违约后为CDS（或CDSO）定价是毫无意义的。

从保护买方的角度来看，1美元名义CDS CDSt（a、b、k）的时间t值从时间Ta开始，到期日为Tb、t≤ Ta<Tb，给定默认LGD=（1）的扩展k和（已知）损失-R） 由条件风险中性预期的保护和溢价的差异得出：CDSt（a、b、k）=E(1 - R） 1{Ta≤τ≤Tb}Prt（τ）| Gt-k E“bXi=a+1{τ≥Ti}αiPrt（Ti）+1{Ti-1.≤τ<Ti}αiτ- Ti公司-1吨- Ti公司-1部分（τ）Gt#带αi日期Ti之间的天数分数-1和Ti，在标准CDS中，约为0.25（季度付款日期）。在简化形式设置中，当默认值由强度为λ的Cox过程的第一次跳跃触发时，可以明确地开发此表达式，这要感谢关键引理：CDSt（a，b，k）=1{τ>t}-(1 - R） ZTbTaPrt（u）上λt（u）du- k Ct（a、b）, （21）其中Ct（a，b）是风险持续时间，即当价差为1:Ct（a，b）：=bXi=a+1αiPrt（Ti）Pλt（Ti）时，在合同有效期内支付的CDS溢价的时间t值-ZTiTi公司-1u- Ti公司-1吨- Ti公司-1αiPrt（u）上λt（u）du。在时间t时，将前向开始CDS设置为0的扩展，称为par扩展，由以下公式给出：{τ>t}st（a，b）：=1{τ>t}-(1 - R） RTbTaPrt（u）上λt（u）风管（a，b）。（22）在t=0时，此类合约上的看涨期权的无套利价格变为SO（a，b，k）=E（CDSTa（a、b、k））+Pr（Ta）= Pr（Ta）Ee-∧Ta（1- R）-bXi=a+1 Ztiti-1gi（u）Pr+λTa（u）du+,其中gi（u）：=（1- R） （R（u）+δTb（u））+kαir（u）Ti-Ti公司-1(1 - （u）- Ti公司-1） ，δs（u）以s为中心的Dirac Delta函数。将基本强度模型（λ）替换为其移位（λИ，λД，+）或时变（λθ）版本，可分别得出P SOД（a，b，k），P SOД，+（a，b，k）和P SOθ（a，b，k）的模型价格。有趣的是，这些模型同样易于处理，因为它们具有类似的表达式，可以用基过程λ或其时间积分∧来表示。

例如，删除Ξforshort，∧ДTa=∧Ta+ZTaД（u）du，∧θTa=∧Θ（Ta），和PλДTa（u）=PλTa（u）eRuTaД（s）ds=eATa（u）-BTA（u）λTa+RuTaД（s）ds，PλθTa（u）=PλΘ（Ta）（u）=eAΘ（Ta）（u）-BΘ（Ta）（u）λΘ（Ta）。回想一下，当λ是（J）CIR过程时，这些表达式具有闭合形式。这种期权几乎没有流动性。然后，经常根据模型产生较大“隐含波动率”的能力进行比较。事实上，经验证据表明，这是CDS期权报价的一个典型特征。因此，我们比较了模型的“黑色波动率”：需要插入“Black-Scholes”类型的模型来复制模型价格的波动率。附录第7.5节回顾了P SO的黑色模型。因此，与模型价格P SOmodel（a，b，k）相关的黑色波动率是满足P SOmodel（a，b，k）=P SOBlack（a，b，k，’σ）的波动率‘∑）。回想一下，在所有情况下，强度过程λ都是根据市场进行校准的，即Pλ（t）=G（t）。换言之，例如，为基本强度过程λ选择一个CIR过程，该过程与具有（Д+）或不具有（Д）正性约束的正确移位相结合，或最终使用正确的时钟频率θ，所有三个模型都具有相同的生存概率曲线（PλД（t）=PλД，+（t）=Pλθ（t）=g（t））。因此，所有这些模型都同意面值价差：s（a，b）=（1- R） RTbTaPr（u）h（u）G（u）duC（a，b）。我们比较了S-CIR、PS-CIR和TC-CIR。TC-CIR中的基本HAJD过程y与S-CIR中的过程y相同。从表3可以看出，S-CIR特征意味着巨大的波动性。然而，回想一下，它允许负强度，因此是不适当的。PS-CIR模型无法产生与前面讨论一致的大波动水平。

TC-CIR介于两者之间：它排除了负强度，同时保持了大幅波动水平。人们可能会担心TC-CIR的隐含波动率相对较小。这可以通过两种方式解决。首先，可以使用参数Ξ。然而，Feller约束通常需要保持不变，这限制了流程的波动性。另一种方法是将JCIR模型视为HAJD。事实上，当需要较大的波动性时，通常会考虑JCIRis。然而，如第3.3节所述，通过增加跳跃活动增加波动性，同时保持对agiven市场曲线G的校准，强化了积极性问题。幸运的是，我们在TC-JCIR中没有这个问题。可以在不影响TC-JCIR积极性的情况下大幅增加跳跃活动。因此，当需要一个积极但波动性高的过程时，TC-JCIR似乎非常合适。表4使用与Brigo和Mercurio（2006）中给出的相同跳线参数对此进行了说明。对于扩散部分，我们保持与之前相同的参数Ξ，并在复合泊松过程J中使用跳跃率（ω）和跳跃大小（α）。在每种情况下，选择时钟Ξ时，模型都能完美地拟合福特的ssurvival概率曲线。有趣的是，（正）TC-JCIR模型的隐含波动率水平可能比PS-CIR大得多。

S-JCIR的结果也比PS-CIR大，但由于负强度问题严重，因此未显示结果。TaTbCIR++TC-CIRλДλД，+λθ1 3 67.12%1.03%43.68%1 5 45.10%1.25%26.92%1 7 27.72%1.64%16.86%1 10 21.52%1.65%12.86%3 5 61.30%0.85%57.16%3 7 34.88%1.15%36.33%3 10 27.65%1.08%27.17%5 7 34.81%1.16%42.60%5 10 30.96%0.93%31.19%7 10 45.37%0.63%38.93%BCTATIR++TC-CIRλИλД，+λθ1 3 65.21%9.48%44.00%1 5 42.35%5.88%26.56%1 7 25.30%4.87%16.30%1 10 19.37%2.94%12.27%3 5 63.87%8.02%58.67%3 7 35.20%4.50%36.10%3 10 27.02%3.44%26.62%5 7 35.77%4.59%43.32%5 10 30.35%3.70%30.61%7 10 10 45.05%5.16%39.40%表3：黑色挥发性对于CIR++模型（s-CIR和PS-CIR）和y=h（左）和使用蒙特卡罗模拟优化（右）（500K路径，时间步长为0.01）。在所有考虑的情况下，没有移位的CIR++模型是无效的，因为inf{λИt，t∈ [0，Ta]}<0。在两个有效的强度模型（λИ，+和λθt）中，后者表现出更高的隐含波动率。TaTbTC JCIR（ω，α）（0，0）（0.1，0.1）（0.15，0.15）1 3 43.68%79.04%100.17%1 5 26.92%48.07%69.69%1 7 16.86%30.43%44.00%1 10 12.86%23.33%33.75%3 5 57.16%65.50%82.60%3 7 36.33%42.85%53.17%3 10 27%33.17%41.36%5 7 42.60%49.13%60.11%5 10 31.19%37.34%45.78%71038.93%40.59%46.02%表4:TC-JCIRmodel隐含的现货（k=s（a，b））CDS期权的黑色波动率（跳跃到达率ω和跳跃大小α）使用蒙特卡罗模拟（10条路径，时间步长为0.01）和参数集Ξ=Ξ？但对于各种跳跃参数（α，ω）。5.4信贷估值调整中的错误方式风险影响危机后监管的一个主要问题是，将对信贷风险下估值的一些信贷调整考虑在内，对融资的资本要求进行建模。

交易对手信用风险定义为场外交易对手在合同到期前违约的风险。后者可以被视为给缔约方的一种选择，并可以通过调整OTC衍生品在风险中性的情况下定价，从而导致CVA。后者只不过是由于与OTC投资组合相关的未付款导致的预期损失。在风险中性规范中，假设τ>0，CVA的当前（t=0）值表示为：CVA=E(1 - R） V+τ{τ≤T}式中，V代表贴现风险（即，由随机贴现因子D重新标定的风险过程）。关键引理的直接应用（在这里有效的一些技术条件下）yieldsCVA=E(1 - R） ZTV+uλue-∧udu. （23）移位模型和时变模型的CVA，CVAД和CVAθ，对应于上述表达式，分别用（λД，λД）和（λθ，λθ）替换（λ，λ）。本节旨在说明可通过eithermodels获得的CVA图的数量级。特别是，我们的目标不是代表特定的风险敞口。相反，我们通过考虑两种典型动力学来简化分析：dVt=νdWVt，dVt=γ（T- t）-VtT公司- t型dt+νdWVt。其中WVis是F-布朗运动。第一个SDE是鞅的SDE，可以描述远期合约在现金流日期之前贴现价格的演变。第二个SDE对应于带漂移的布朗桥，并模拟了支付连续股息的资产折扣价格的动力学。这两个模型之前曾被inVrins（2017）和Brigo and Vrins（2018）用于以图解方式描述FRA和IRS的暴露。

对实际曝光量的校准给出了参数的指示值。一般来说，没有理由假设驱动默认强度（W）的布朗运动与驱动曝光（WV）的布朗运动无关：这取决于手头的问题。通常，我们考虑通过引入布朗驱动因素之间的相关性而获得的错误方向风险（WWR）效应的一般情况。对于CIR+，我们假设dWtdWVt=ρdt，而对于TC-CIR，我们采用Mbaye和Vrins（2018）中设计的同步程序，以便在时间改变强度过程后保持相关性。在特殊情况下，如果交易对手的违约时间独立于贴现风险敞口（即ρ=0，即无错向风险），可以从（23）独立CVA公式中推断出CVA⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+ud和Ee-∧u= (1 - R） ZTfλ（u）EV+uPλ（u）du。回想一下，无论所选择的模型是什么，都假设它被校准为生存概率曲线G，从CDS价格中提取。这将导致Pλ（u）=G（t），并产生最佳移位和时钟功能，即在S-CIR和PS-CIR情况下的Θ或Θ+以及在TC-CIR情况下的Θ。在这种情况下，CVA⊥不依赖于默认模型：CVA⊥= -(1 - R） 中兴通讯V+udG（u）=（1- R） ZTh（u）EV+uG（u）du。然而，独立情况ρ=0是不现实的，可能导致对CVA Kim和Leung（2016）的严重高估或低估；Brigo和Vrins（2018）；Breton和Marzouk（2018年）。在WWR下，CVA依赖于模型。图5显示了三种不同模型的CVA相对于ρ的演变：λИ（CIR++无约束，纯蓝色），λД，+（CIR++有约束，虚线蓝色）和λθ（TC-CIR，虚线洋红），所有这些都按照福特的生存概率曲线G进行了校准。在无WWR的情况下，CVA等于独立CVA（青色）：它是FL，无模型，可以使用简单的积分进行计算。

在WWR下，使用蒙特卡罗模拟（100K路径，时间步长为0.01）和自适应控制变量计算CVA。TC-CIR和S-CIR模型表现出最大的WWR效应，因此似乎适合处理高WWR应用。回想一下，这里只有TC-CIR有效，因为S-CIR为负强度提供了空间。然而，PS-CIR几乎等于独立CVA。这可以从以下事实中理解：WWR本质上是V和e之间的协方差效应-Λ. 因此，具有∧大方差的模型在任何（非零）固定相关水平ρ下表现出更大的WWR效应。最终，TC-CIR提供了一个平衡的权衡：一方面，作为PS-CIR，它排除了S-CIR模型固有的负强度问题。但另一方面，它在一定程度上保留了S-CIR模型的方差，因此与PS-CIR相比，其方差要大得多。有关CVA计算中应用的自适应控制变量的实现，请参见Mbaye和Vrins（2018）。-1-0.5 0.0 0.5 1.00.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014ρCVA（a）dVt=νdWVt，y=h-1-0.5 0.0 0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012 0.014ρCVA（b）dVt=νdWVt，优化-1-0.5 0.0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008ρCVA（c）dVt=γ（T- t）-VtT公司-t型dt+νdWVt，y=h-1-0.5 0.0 0.5 1.00.000 0.002 0.004 0.006 0.008ρCVA（d）dVt=γ（T- t）-VtT公司-t型dt+νdWVt，Yooptimized图5：风险敞口信用相关性ρ对y=h（左）或Yooptimized（右）的典型5Y远期（顶部）和掉期风险敞口（底部）CVA水平的影响，ν=8%，γ=0.1%。曲线对应不同的强度模型：λИ，+（PS-CIR=Ξ？，+（左）和Ξ=Ξ+（右），蓝色虚线），λИ（S-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右）、纯蓝色）和λθ（TC-CIRΞ=Ξ？（左）和Ξ=Ξ？（右），点洋红）。

无错路风险的情况对应于FL（青色）线。6结论校准问题包括确定模型x的参数，以完美拟合给定的市场曲线。完美fit是定价环境中的一个重要特征，它与无套利机会相关，并修正交易头寸的估值。这需要两个重要特性：模型x必须（i）足够灵活（能够生成各种形状）和（ii）足够容易处理（便于参数的优化过程）。在这方面，Vasicek、CIR或JCIR等时间同质模型是非常好的候选模型，并广泛用于利率和信用风险建模。然而，就其本身而言，它们只有几个常数，因此缺乏校准灵活性。确定性转移张力提供了一个吸引人的解决方案。它包括从一个可跟踪的基本模型y开始，该模型以确定性的方式通过一个函数Д移动。由此产生的过程xt=yt+Д（t）变得完全灵活。事实上，任何折扣或生存概率曲线都可以通过这种模型生成。此外，它的可处理性水平与y非常相似，因为Д是确定性的。最终，对于每一条市场曲线，转变是什么？这就形成了闭合形式的完美曲线，作为y参数和市场曲线的函数。然而，当模型x需要满足一些范围约束时，这种方法就不那么有吸引力了。其中，在建模利率（取决于手头的经济类型）、死亡率、提前还款率或违约强度时，非负性至关重要。确实，在确定性转移方法中，从非负基过程y开始，不足以保证x将是x，而不需要对ν施加额外的约束。

此外，由于下限为零，当增加过程波动性时，这种约束变得越来越严重。显然，排除了考虑“负波动”的模型。然而，令人惊讶的是，当涉及到“负强度”时，这似乎并不适用。然而，bothare同样感到震惊。我们认为原因有两个：第一，负强度不会直接产生数值问题（与经常出现在平方根中的波动性相比），因此这个问题不太“明显”，第二，缺乏合理的替代方案。可以通过在Д上包含非负性约束来处理正性约束。然而，这再次引发了两个问题。首先，参数优化问题变得更加困难，其次，结果过程x的方差比没有约束的方差小得多，这与经验证据相矛盾。因此，人们往往倾向于忽视“消极内容”问题，优先考虑随机性和完美性。在本文中，我们开发了这样一种替代方案。它只是由改变时间的正均质性跳跃差异组成。该模型保持易处理的正时钟，通过简单的反转找到最佳时钟，与shift方法相比，该模型具有更大的隐含波动性。此外，对于一大类贴现曲线，包括所有递减贴现曲线，都可以实现完美的fit。该模型的特点已在从信贷风险中选取的专题示例中进行了说明，但也可以考虑其他应用。

因此，至少在（非常常见的）积极约束下，当需要较大的波动水平时，这种方法被证明是转换方法的竞争对手。7附录7.1一些同质跳转差异的性质设y为定义3中引入的F适应跳转差异，Yt：=Rtyudu其集成版本。我们表示vx（t）=vx（t；Ξ）：=V[xt]随机过程x在时间t参数化的方差。没有明确提及，下面给出的所有未经验证的结果都可以在例如Brigo和Mercurio（2006）中找到。引理中给出了新的结果，以供进一步参考。7.1.1 Vasicek模型Vasicek模型对应于特殊的HAJD情况（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ, η, 0, 0, 0).（3）中的Ay，ByFunction由：Ays（t；Ξ）给出=β -η2κ（Bys（t；Ξ）+s- t）-η4κBys（t；Ξ），Bys（t；Ξ）=κ1.- e-κ（t-s）.与该模型相关的正向曲线被证明为befVASs（t）：=（1- e-κ（t-s） ）κβ- η/2κ+η2κe-κ（t-s） （1）- e-κ（t-s） ）+字节-κ（t-s） 。（24）此外，y和y在任何时候都是正态分布的，其中e[yt]=y-κt+βκBy（t；Ξ），E[Yt]=yBy（t；Ξ）+β（t- By（t；Ξ）），vy（t）=η2κ1.- e-2κt,vY（t）=ηκt+1- e-2κt2κ- 2By（t；Ξ）.引理5。设y为Vasicek过程，y为其时间积分。函数vy（t）和vy（t）相对于t.Proof是递增的。对于vy（t），这是显而易见的，对于vy（t），一些操作会导致dTvy（t）=ηκ(1 - e-κt）≥ 0 .7.1.2 CIR模型CIR模型对应于特殊的HAJD情况（a（t），b（t），c（t），d（t），α，ω（t））=（κβ，-κ, 0, δ, 0, 0).式（3）中的Ay，ByFunction由：Ays（t；Ξ）=2κβδln2γexp{（κ+γ）（t- s） /2）}2γ+（κ+γ）（exp{（t- s） γ}- 1） ，Bys（t；Ξ）=2（exp{（t- s） γ}- 1） 2γ+（κ+γ）（exp{（t- s） γ}- 1).式中γ：=√κ+ 2δ.

与该模型相关的正向曲线由Brigo andMercurio（2006）fCIRs（t）：=2κβ（e（t-s） γ- 1） 2γ+（κ+γ）（e（t-s） γ- 1） +yt4γe（t-s） γ[2γ+（κ+γ）（e（t-s） γ- 1)]. （25）可以明确计算CIR过程的重要特征（参见Dufresne（2001））。例如，y作为非中心卡方分布。y和y的两个一阶动量分别为byE[yt]=ye-κt+β1.- e-κt,E【yt】=ye-2κt+δ2κ+ βh2y年e-κt- e-2κt+ β1.- e-κti、 E【Yt】=tβ+（y- β)κ(1 - e-κt），E【Yt】=y- βκ+ δyκ-5β2κ+ tβ2yκ-2βκ+δκ+ tβ+e-κt“-2.y- βκ+2βδκ+t-2yβκ+2βκ-2yδκ+2βδκ#+ e-2κt“y- βκ-yδκ+βδ2κ#。与Vasicek模型相比，CIR的方差并不总是随时间单调递增；这取决于参数。然而，综合CIR的方差正在增加。这些性质将在下一个引理中得到证明，并将成为定理2证明的中心。引理6。设y为CIR过程，y为其时间积分。那么，vy（t）=Δκy（e-κt- e-2κt）+β2κ（1- e-κt）, （26）vY（t）=Δκ2β - 2κt（y- β) - （y）- β/2）e-κte-κt+tκβ+（y- 5β/2). （27）如果β≥ y、 否则，它将首次增加到时间t？，然后在（t？）上减小？，∞). 相反，vY（t）总是在增加。证据上述前两个时刻的方差计算非常简单。CIR方差的导数由ddtvy（t）=yδ给出(-e-κt+2e-2κt）+βδe-κt（1- e-κt）=δe-κt（β- y）- δe-2κt（β- 2年）。此表达式在正半直线att上有根=κln1年以上- β仅当y>β时。否则，vy（t）总是在t中增加。

经过一些操作后，可以写出积分CIR方差对时间的导数，即ddtvy（t）=Δκ2年-κt（e-κt- (1 - κt））+β（1- （2κt+e-κt）e-κt）.因为e-x个≥ 1.- x代表所有x≥ 0和y，κ是正常数，第一项对于所有t≥ 另一方面，β>0，检查1就足够了-g（κt）≥ 0表示所有t≥ 0，g（x）：=（2x+e-x） e类-x、 显然，g（0）=1，g（x）=2e-x（1- x个- e-x）≤ 0表示所有x≥ 0。因此，1- g（κt）≥ 0表示所有t≥ 0.7.1.3 JCIR模型通过调整相应CIR的特性，即使用相同的初始值和扩散参数，可以获得JCIR的特性。我们注意到前者是z，后者是y，对于它们的集成版本（分别是z和y）也是如此。因此，如果CIR（y，y）的参数集为Ξ=（κ，β，δ，0，0，y），则相应JCIR（z，z）的参数集为Ξ=（κ，β，δ，α，ω，z），其中z=yandα，ω≥ 与折扣曲线相关的函数由AZS（t；Ξ）=Ays（t；Ξ）+αωδ/2给出- κα - αln2γeγ+κ+2α（t-s） 2γ+（κ+γ+2α）（e（t-s） γ- 1） ，Bzs（t；Ξ）=Bys（t；Ξ）。从上述函数可以很容易地看出，与该模型相关的正向曲线读数为Fjcirs（t）：=fCIRs（t）+2ωα（e（t-s） γ- 1） 2γ+（κ+γ+2α）（e（t-s） γ- 1） ，（28），其中fCIRs（t）在（25）中给出。对于每个有效参数，fJCIRs（t）≥ 所有t的fCIRs（t）≥ s、 关于这些时刻，我们有以下结果。引理7。设y（resp.y）是一个CIR（resp.integrated CIR），z（resp.z）是一个JCIR（resp.integrated JCIR），具有相同的初值、相同的微分参数，但跳跃由（ω，α）控制。那么，E[zt]=E[yt]+ωακ（1- e-κt），E[Zt]=E[Yt]+ωακκt- (1 - e-κt）.vz（t）=vy（t）+ωα“δ1.- e-κtκ+ α1 - e-2κtκ#，vZ（t）=vY（t）+αωκ1.- e-κtκξ(3 - e-κt）- 4δ+ 2δte-κt+t2ακ + δ,式中ξ：=δ/2- ακ.

函数vz（t）相对于t增加，除非y>β+ωα/κ，在这种情况下，它首先增加到时间t，然后在（t，∞). 此外，vz（t）≥ vy（t），vZ（t）≥ vY（t）和vZ（t）总是在增加。证据应用伊藤引理，我们可以通过zt=ze求解JCIR SDE（19）-κt+β（1- e-κt）+δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs+中兴通讯-κ（t-s） dJs，（29）并找到管理综合JCIR流程的SDE zt=tβ+（z- β)κ(1 - e-κt）+δZtZse-κ（s-u）√zudWuds+中兴通讯-κ（s-u） dJuds。（30）从（29）中，我们可以写出[zt]=ze-κt+β（1- e-κt）+E中兴通讯-κ（t-s） DJ= E[yt]+ωα中兴通讯-κ（t-s） ds=E[yt]+ωακ（1- e-κt）。使用Ito等距，vz（t）=E[（zt- E[zt]]=E“δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs+中兴通讯-κ（t-s） DJ- ωα中兴通讯-κ（t-s） ds公司#= E“δ中兴通讯-κ（t-s）√zsdWs公司#+ E“中兴通讯-κ（t-s） （dJs- ωαds）#= vy（t）+Δωακ中兴通讯-2κ（t-s） （1）- e-κs）ds+2ωα中兴通讯-2κ（t-s） ds=vy（t）+ωα“δ1.- e-κtκ+ α1 - e-2κtκ#。使用适用于（30）的类似程序，结合Fubini定理，可以得出积分JCIR的预期和方差：E[Zt]=tβ+（z- β)κ(1 - e-κt）+E中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司= E【Yt】+EZtZtse公司-κudueκsdJs= E[Yt]+ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds=E【Yt】+ωακκt- (1 - e-κt）andvZ（t）=E[（Zt- E[Zt]]=E“δZtZse-κ（s-u）√zudWuds+中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司- E中兴通讯-κ（s-u） dJuds公司#= E“ΔκZt（1- e-κ（t-s） （）√zsdWs+κZt（1- e-κ（t-s） ）dJs-ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds#= E“ΔκZt（1- e-κ（t-s） （）√zsdWs公司#+ E“κZt（1- e-κ（t-s） ）（dJs- ωαds）#= vY（t）+ΔωακZt（1- e-κ（t-s） ）（1- e-κs）ds+2ωακZt（1- e-κ（t-s） ）ds=vY（t）+αωκ1.- e-κtκ(δ/2 - ακ)(3 - e-κt）- 4δ+ 2δte-κt+t2ακ + δ.请注意，可以使用另一个程序获得上述结果，即通过推导一次或两次（zt，zt）的特征函数ψt（u，v）=E[euzt+vZt]，可以从等式中恢复。（A.1）Duffee和G^arleanu（2001年）。然而，这个过程要重得多。请注意，此公式中存在拼写错误。正确的表达式可以在等式中找到。

（B.9）杜菲和G^arleanu论文的草稿，可在作者的网页上下载。JCIR方差的导数由ddtvz（t）=yδ给出(-e-κt+2e-2κt）+βδe-κt（1- e-κt）+Δωακe-κt（1- e-κt）+2ωαe-2κt=δe-κt（β- y+ωα/κ）- δe-2κt（β- 2y+ωα/κ- 2ωα/δ) .此表达式在正半行att上有根：=κln1+y+2ωα/δy- β - ωα/κ（31）仅当y>β+ωα/κ时。否则，vy（t）总是在t中增加。从直觉上看，JCIR的方差不能小于CIR的方差，对于集成版本也是如此。然而，由于均值回复效应，这一点需要确认。很明显，vz（t）- vy（t）≥ 与vZ（t）相关的术语- vY（t）从零开始（因为显然vZ（0）=vY（0）=0）。这种差异正在增加：滴滴涕（vZ（t）- vY（t））=Δωακ1.- （2κt+e-κt）e-κt+2ωακ1.- e-κt≥ 0 .事实上，第二项明显为正，第一项的形式为Δωακ（1- g（κt）），其中函数g（x）=（2x+e-x） e类-xis显示为x以1为界≥ 在Lemma 6的证明中为0。这表明vZ（t）≥ vY（t）。因为vY（t）（来自引理6）和vZ（t）-vY（t）在增加；vZ（t）本身在增加。7.2一些特殊情况下，Px+yi是折扣曲线。首先，当Px，py是独立的，x，y是独立的，Px+ys=pxspy，两条时间s折扣曲线的乘积就是它自己的时间s折扣曲线时，观察到Px+yi是折扣曲线。下一个引理提供了y上Pyto在一般情况下是一条光滑曲线的充分条件。引理8。让T成为固定的时间范围。那么，无论y是正的还是负的，Py都是一条贴现曲线∈[0，T]ytis可积。证据我们从引理开始，给出交换期望和导数运算符的充分条件，如Pag\'es（2018）。引理9。

设I是R的非平凡区间，B（I）I和ψ的Borel集：I×Ohm →R，（x，ω）7→ ψ（x，ω）be a B（I） G-可测函数。如果函数ψ满足：（i）对于每个x∈ 一、 随机变量ψ（x，ω）∈ 五十、 （ii）ψx（x，ω）：=ψ（x，ω）所有x的xexists∈ I a.s.，（iii）存在Z∈ 每x一次∈ 一、 |ψx（x，ω）|≤ Z（ω）a.s。然后定义函数ψ（x）：=E[ψ（x，ω）]，并在每个x处可微分∈ I，导数ψ（x）dx=E[ψx（x，ω）]。现在我们继续证明引理8。让我们来确定≤ T因此ddte公司-Rtyudu公司= |yte-Rtyudu |≤ 年初至今≤ 支持∈[0，T]YT全部T∈ [0，T]。注意到supt∈[0，T]ytis可积，可以使用引理9和ψ（T，w）←e-Rtyu（w）段和Z（ω）← SyT：=支持∈[0，T]yt，证明导数和期望运算符之间交换的合理性：ddtPy（T）=ddtEhe-Rtyudui=Eddte公司-Rtyudu公司= -埃赫特-Rtyudui，其中右侧以Z的期望为界，Z是可积的。证据到此结束。为了使关于y的运行上确界的可积性的假设在实践中有用，它需要是“可检查的”。因此，我们需要给出更简单的有效条件（例如，基于y的SDE的系数），以保证SyT：=supt∈[0，T]| yt |满意度E[SyT]<∞.引理10。设W为布朗运动，J为具有常数跳跃强度ω的复合泊松过程，跳跃大小与平均值α呈指数分布，y解dyt=u（t，yt）dt+σ（t，yt）dWt+djt，其中y为正，E[RT |u（t，yt）| dt]<∞ 和E【RTσ（t，yt）dt】<∞. 然后，E[| SyT |]=E[SyT]<∞ 其中SyT：=支持∈[0，T]| yt |。证据SDE的解为y=y+Ztu（s，ys）ds |{z}At+Ztσ（s，ys）dWs |{z}Mt+Jt=> |yt |≤ |在|+| Mt |+Jt处，显示为≤ 支持∈[0，T]| At |{z}SAT+supt∈[0，T]| Mt |{z}SMT+支持∈[0，T]Jt{z}SJT。我们在续集中展示了SAT、SMT和SJTare是可积的。

这将得出证据的结论，因为它将导致toE[| SyT |]=E[SyT]≤ E【SAT】+E【SMT】+E【SJT】<∞ .假设E[RT |u（s，ys）| ds]<∞. 然后，SAT=supt∈[0，T]| y+Ztu（s，ys）ds |≤ |y |+支持∈[0，T]Zt |u（s，ys）| ds≤ |y |+ZT |u（s，ys）| ds。表明E[| SAT |]=E[SAT]≤ |y |+E[RT |u（s，ys）| ds]<∞.另一方面，M是鞅，因此| M |是子鞅：E[| Mt | Fs]≥ |E[Mt | Fs]|=| Ms |。然后我们可以应用Doob不等式，E[SMT]=E[supt∈[0，T]| Mt |]≤ee公司- 1.1+E[| | MT | log+| MT | |].使用-e≤ x日志x≤ xfor x≥ 0，| x log+x |=x log+x≤ |x对数x |≤ 最大值（e-1，x）：E[| MT | log+| MT |]≤ E[最大值（E-1，MT）]=E[E-1{MT≤e-1} +MT{MT>e-1}]≤ e-1+E【MT】。因此，E【SMT】≤ee公司- 1.1+e-1+E【MT】.使用Ito等距，E【MT】=EhRTσ（t，yt）dti，根据假设，其有界。同样，通过将Doob不等式应用于鞅（Jt），可以证明E[SJT]是有限的- ωαt），t≤ T实际上，Jt=| Jt- ωαt+ωαt |≤ |Jt公司- ωαt |+ωαt，t型≤ 这意味着≤ E[支持∈[0，T]| Jt- ωαt |]+ωαt≤ee公司- 1.1+e-1+E[（JT- ωαT）]+ ωαT=ee- 1.1+e-1+2ωαT+ ωαT<∞ .当x，y为HAJD时，可以检查Px+y是一条贴现曲线，可能是由相关的布朗运动驱动的。事实上，它们满足引理10.7.3定理1证明的假设，首先，对于每个θ和每个t，一个getsZtxθudu=Ztθ（u）yθ（u）du=ZΘ（t）yudu。因此，它们负指数的期望值也一致：Pxθ（t）=Py（Θ（t））。特定时钟频率θ？由校准方程给出，因此满足所有t，p市场（t）=Pxθ？（t） =Py（Θ？（t））。（32）在瞬时远期利率方面扭转这一平衡yieldsZtfmarket（u）du=ZΘ？（t） 财政年度（u）du。公式（15）只是后者的不同形式。一般来说，尚不清楚该ODE何时允许解决方案。然而，一个简单的例子是Py是一条严格递减的贴现曲线。

在这种情况下，Pyadmitsan确实在正半直线上反转，注意到Qy。应用Qyto（32）收益率Θ？=Qy（P市场（t））。此外，递减函数的逆函数是递减的，两个递减函数的组合本身也是递增的。因此，如果Pmarketis减少，Θ？（t） 持续且严格地增加。此外，Θ？（0）=QyP市场（0）= Qy（1）=0。因此，Θ？存在，isa时钟。7.4定理2的证明从推论2可知，对于任何（非平凡）（J）具有参数Ξ的CIR过程y，存在时钟Ξ？（t） =Θ？（t；Ξ）在TC-JCIR xθ生成的曲线px之间产生一个完美的fit？t： =θ？（t） 是吗？（t） 。对于JCIR++，xх？也是如此？t、 这意味着：PxД？（t；Ξ）=p市场（t）=Pxθ？（t；Ξ），或等效地，e-Rt^1？（u） duPy（t；Ξ）=p市场（t）=Py（Ξ？（t）；Ξ) .因为y是JCIR，所以它可以在任何时间t任意接近0，因此校准约束等于强制φ？（t）≥ 0（或相当于fJCIR（t））≤ F市场（t））t型≥ 这意味着Py（Θ？（t）；Ξ) ≤ Py（t；Ξ）。因为Py（.；Ξ）是一个递减函数，所以最后一个不等式等价于Ξ？（t）≥ t、 为了证明1），我们从vY（t）（引理7）的增量开始。因此，vY（Θ？（t））≥ vY（t）自Θ起？（t）≥ t、 从（28）中，经过一些计算，我们得到ddtfJCIR（t）=4γetγκβ(γ - κ+（κ+γ）etγ）+yγ（γ- κ - （κ+γ）etγ）+ωα（2γ+（κ+γ）（etγ- 1))[2γ+（κ+γ）（etγ- 1） ]=4γetγ(γ - κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα+ 4γe2tγ(γ + κ)(κβ -yγ+ωα）+2ωα[2γ+（κ+γ）（etγ- 1)].从这个表达式可以看出，如果y<β+ωα/κandyγ，则fJCIRis严格增加≤ κβ + ωα. 如果y≥ β + ωα/κ.

否则，即，如果y<β+ωα/κandyγ>κβ+ωα，则导数的根att：=γln（γ- κ） （κβ+yγ+ωα）- 2ωα（κ+γ）（yγ- κβ -ωα) - 2ωα.i、 例如，fJCIRis首先增加，然后减少。约束？（t）≥ 0表示所有t，简单地表示fmarket（t）≥ fJCIR（t）和soθ？（t）≥fJCIR（t）fJCIR（Θ？（t））。观察条件y=β+ωα/κ对应于vy（t）增加而fJCIR（t）减少的情况，因此（i）成立。如果fmarketi是常数，我们就有fmarket（t）≥ fJCIR（t），这意味着fmarket（t）≥fJCIR（Θ？（t））。显然，如果fmarket（t）是常数或fJCIRis递减，那么θ？（t）≥ 1、如果vy（t）增加，则vy（Θ？（t））≥ vy（t）自Θ起？（t）≥ t、 根据V[xθ？t]：=θ？（t） vy（Θ？（t））和vy（t）（引理7）、（ii）、（iii）和（iv）的变化如下。特别是，取ωα=0，我们恢复了对应于TC-CIR模型的CIR情况。7.5 PSO的Black模型在这种情况下，Black-Scholes模型的工作原理如下。我们首先注意到，forwardstart CD可以根据交易会和约定的溢价之间的差异来编写。事实上，前者相当于保护腿。在（21）中插入（22）yieldsCDSt（a，b，k）=1{τ>t}（st（a，b）- k） Ct（a，b）。付款人默认掉期选项为SO（a、b、k）=E（sTa（a、b）- k） +CTa（a、b）D（Ta）= C（a，b）E（a，b）（sTa（a、b）- k）+（33）式中，E（a，b）代表与数字C（a，b）相关的等效度量Q（a，b）下的期望值。有趣的是，从（22）中可以清楚地看出，par价差s（a，b）是[0，Ta]上的Q（a，b）鞅。因此，CDSO的Black-Scholes模型自然地假设了par分布的Q（a，b）鞅动力学dst（a，b）=σst（a，b）dWst，t≤ 其中wsa是Q（a，b）-布朗运动。最后，通过设置r，标准Black-Scholes公式给出（33）中的期望值← 0

因此，PSO的Black-Scholes价格由p-SOBlack（a，b，k，’σ）=C（a，b）[s（a，b）Φ（d）给出- kΦ（d）]，其中d=lns（a，b）k+’σTa’’σ√Ta，d=d- (R)σpta和Φ是标准正态随机变量的分布函数。参考ST。Bielecki和M.Rutkowski。信用风险：建模、估价和对冲。斯普林格金融公司。斯普林格，2002年。T、 Bielecki、M.Jeanblanc和M.Rutkowski。信用风险建模。技术报告，大阪大学金融与保险研究中心，大阪（日本），2011年。M、 Breton和O.Marzouk。评估具有早期行使特征的衍生工具的交易对手风险。《经济动力与控制杂志》，88:1-12018。D、 Brigo和A.Alfonsi。利用SSRDstochastic强度和利率模型进行信用违约掉期校准和期权定价。《金融与随机》，9:29–42，2005年。D、 Brigo和L.Cousot。CDS选项定价的SSRD模型和市场模型之间的比较。《国际理论与应用金融杂志》，9（3），2006年。D、 Brigo和N.El Bachir。SSRJD随机强度模型中违约互换期权定价的精确公式。数学金融，20（3）：365–3822010。D、 Brigo和F.Merccurio。对分析可处理和时间齐次短期利率模型的确定性移位扩展。《金融与随机》，5:369–3882001。D、 Brigo和F.Mercurio。利率模型-理论与实践。Springer，2006年。D、 Brigo和F.Vrins。理清错路风险：通过改变衡量标准和漂移调整对CVA定价。《欧洲运筹学杂志》，269:254–264，2018年。D、 Brigo、A.Capponi和A.Pallavicini。无套利双边交易对手风险评估在抵押和信用违约掉期应用下。《数学金融》，24（1）：125–146，2014年。P、 卡尔和D.马丹。使用快速傅立叶变换进行期权估值。