基于模拟的非线性投资组合风险价值

2022-6-14 13:09:20

基于模拟的非线性投资组合风险值香港中文大学统计系陈俊耀、薛东尼和王会英Kongyukichen@link.cuhk.edu.hk tonysit@sta.cuhk.edu.hk hywong@sta.cuhk.edu.hkAbstractValue-自引入风险值（VaR）以来，它一直扮演着标准风险度量的角色。在实践中，通常采用delta-normal方法来近似具有期权头寸的投资组合的VaR。然而，当相关投资组合涉及具有非线性支付效应的高维衍生品头寸时，其有效性大幅降低；这些潜在高度相关的美式衍生品缺乏封闭式定价解决方案，这进一步使问题复杂化。本文提出了一种基于仿真的VaR估计通用算法，该算法可以方便地应用于任何现有的过程。我们的方案利用了横截面信息，并应用变量选择技术来简化现有的模拟框架。新方法的渐近性质表明，由于引入了额外的模型选择组件，收敛速度更快。我们还进行了一系列数值计算，与一些现有策略相比，验证了我们方法的有效性。关键词：Valu e-at-Risk、最小二乘蒙特卡罗、美式衍生品、高维投资组合1简介金融机构每天面临的挑战之一是重新评估其投资组合的价值和/或风险水平，这些投资组合在未来某个时间到期，通常可以用u（t，X）=supτ的形式表示∈TEQ{f（Xτ）| Ft}，（1）其中t（t>0）表示时间，f是在基础资产价值XT下评估的确定性支付函数，Q表示与P相关的风险中性概率度量，t是一系列停止时间。时间t之前的过滤表示为Ft。

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2022-6-14 13:09:23

更重要的是，根据这些估值，金融机构需要计算监管资本，以满足巴塞尔II对银行业BIS（2013）或偿付能力II对保险业的具体要求。监管资本的计算与风险价值（VaR）密切相关，这是一个基本量，在此基础上制定了一些其他一致的风险度量，包括Artzner et al.（1999）的预期缺口。读者可以参考Kou等人（2013）、Kou和Peng（2016）等进行进一步讨论。本文的重点是提出一种更有效的VAR估计方法。虽然高维投资组合或具有大量基础资产的衍生品很常见，但交易的证券的实质部分是具有非线性回报的衍生品；这使得一阶或二阶近似值不足以进行风险估计。因此，（1）及其相应风险度量的评估成为一项非常重要的任务。鉴于（1）的解析解在大多数情况下很难获得，模拟通常是唯一可行的方法；参见Chan和Wong（2015）；格拉斯曼（2003）；Hong等人（2014年）等。尽管它们很简单，但基于仿真的程序可能不可行，因为它的计算负担很重。虽然有了提高计算效率的新解决方案（例如，见Gramacy和Ludkovski，2015），但高维设置的扩展并不完全是直接的。要使用所选的特定统计模型评估t日VaR，可以进行嵌套模拟。对于计算上更经济的备选方案，也可以为每一层优化计算效率分配（Broadie等人，2011年）或简单地减少模拟试验的数量。

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2022-6-14 13:09:27

然而，如Bauer et al.（2012）所指出的，任何一层试验的缩减都可能导致潜在的重大估计偏差和不稳定性。鉴于上述困难，目前的市场做法是通过希腊近似法计算VAR，如delta normal和delta gamma近似法；见Jorion（2006）。这些方法的性能有时会令人失望。特别是，对于具有高度非线性回报的投资组合，一阶近似远远不能产生可接受的小误差。此外，由于所有这些希腊货币都是时变的，因此delta-normal和delta-gamma近似值仅适用于投资期限较短的投资组合——这对保险公司来说可能会有相当大的限制，因为要求的偿付能力资本比率（SCR）涉及一年期VaR估值。计算负担也引起了很大的关注，因为它随着随机变量的数量呈指数增长。对希腊人进行数字评估时产生的巨大偏差的总和也可能是巨大的。为了应对上述挑战，Bauer et al.（2012）novelly基于Longstaff和Schwartz（2001）的开创性发展，提出了使用最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法计算VaR，以定价美式期权。然而，当所考虑的基础资产数量增加时，这种方法可以避免高维诅咒。大量的回归系数会产生高度的波动性，甚至是不一致的系数估计，这反过来会导致较差的VaR估计。本文将收缩思想引入到高维非线性组合变量的最小二乘模拟中。我们将通过最小绝对收缩和选择算子（LASSO；Tibshirani，1996）或等效的约束极小化来证明我们的建议。

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2022-6-14 13:09:30

值得注意的是，我们的提案与Pun and Wong（2016）、Chiu et al.（2017）和Pun and Wong（2019）等持类似观点，因为引入套索罚款能够一致估计利益数量。例如，Pun和Wong（2016）证明了高维投资组合的估计误差会导致最优投资组合目标函数发散，而我们的结果表明，由于LASSO的适当收缩，Longstaff和Schwartz（2001）的方法可以在高维情况下正确实施。1.1贡献总结鉴于基于回归/Longstaff-Schwartz算法的流行，我们的主要目标是研究高维环境下相应的收敛特性。更具体地说，这项工作有助于以下三个方面的文献：1。正确处理高维问题：在分析Longstaff-Schwartz算法的症状的几项工作中，Clement et al.（2002）为p N、其中p和N分别表示回归器和样本的维数。收敛结果的一个关键假设是，模型应包括所有重要的基函数。基函数的选择通常是比较主观的，并且这种假设通常不适用于具有大量基础资产的资产。为了提供更客观和系统的替代方案，我们的方法利用了最近为变量选择开发的优雅结果，这样我们就可以在回归模型中考虑大量的协变量，而不会因高维性而产生问题。

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2022-6-14 13:09:33

尽管最近开发了各种高维线性回归方法，如LASSO（见Tibshirani，1996），但据我们所知，这是第一次尝试从理论和数值上证明这些变量选择工具如何能够纳入Longsta ff-Schwartz框架。各种相关估计的相应收敛结果也缺失。为此，随着模拟路径的数量与回归模型中的维度趋于一致，我们建立了估值和VaR估计的相关渐近结果。因此，对于在各种应用中经常遇到的重要基函数未知的情况，新提出的收缩程序，即LASSO最小二乘MonteCarlo（LLSM），比LSM在回归中选择有效基函数的可能性更高。2、理论构建：我们还通过允许leastsquares回归中的估计误差来丰富证明，而不是按照Clement等人（2002）的要求假设理想估计。此扩展对相关问题进行了更一般性的讨论。该框架为其他可能的扩展奠定了基础，包括使用其他变量选择方法besides LASSO以及其他风险度量，包括预期短缺。3、计算效率：在计算方面，通过新的变量选择元素，新提案可以处理大量基于资产价格和/或其他风险因素的基函数，LASSO组件有助于客观和系统地选择重要的基函数。在我们的数值研究中，LLSM显著优于嵌套模拟和希腊近似。

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2022-6-14 13:09:35

随着底层随机变量数量的增加，LLSM的计算效率更加突出。数值结果表明，将LASSO纳入原始LSM只需增加总计算时间的5%（或20%，包括交叉验证）。所需的额外计算时间随着维数p的增加而减少。然而，估算结果的质量得到了显著改善；见第3.1.2节文件的组织本文件其余部分的组织如下。第2节阐述了LLSM程序，发展了LLSM收敛结果的理论合理性，并讨论了新方法的进一步改进。第3节介绍了几个具有美式特征和非线性Payo ff函数的导数的数值研究。通过与现有方法和oracle方法的全面比较，证明了LLSM的性能。结束语见第4节，后面是附录，附录给出了第2节讨论结果的证明。还包括我们数值研究的详细信息，包括模型规格。2方法套索最小二乘蒙特卡罗（LLSM）程序，用于早期练习特征目标为100（1）的一般投资组合- α） %t-投资期限内的日风险值，从t到t，在此期间，以t表示的冲顶时间，TL=T包括在内。值得注意的是，VaR不一定在停止时间进行评估，LLSM程序可以处理更通用的t日VaR∈ （T，T）。与著名的Bauer et al.（2012）和Longstaff and Schwartz（2001）方法类似，LLSM被表述为向后递归过程。在第一步中，LLSM通过模拟路径估计条件期望值。根据这些路径，对产生的期权价值进行回归。

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2022-6-14 13:09:38

与现有策略相比，LLSM增加了一个变量选择步骤，该步骤允许在所考虑的回归模型中使用客观程序来选择有效的基函数。相应的回归结果提供了连续值的近似值，可与早期执行值进行比较。然后可以评估所有路径不同停止时间的期权值，也可以评估投资组合值及其VaR。LLSM算法的详细信息总结在算法1.1中：确定投资组合的可能风险因素，并将其表示为向量Xt，其中下标TDE表示记录协变量的时间点。2：模拟基本随机变量XTT的N个样本路径∈ 【T，T】在物理测量下，P.对于剩余的投资期限to TL，继续模拟风险中性测量下的路径Q.Xtat T，T，t表示为X，分别为xl。3：初始化τ=L作为最佳停车时间指示器。4：对于j← L- 1到1 do5：计算每个路径在时间Tjby C（Tj）=D（Tj，Tτ）A（Tτ）的贴现连续值，其中Tτ是最大化投资组合价值的Tj后的最佳停止时间，D（Tj，Tτ）是时间段（Tj，Tτ）的贴现因子，A（Tτ）是Tτ的即时行使值。6：在L（Xj）上回归C（Tj），其中L（Xj）是Xj上带套索的基函数向量。用回归拟合值^C（Tj）近似C（Tj）。7：如果A（Tj）≥^C（Tj）然后8：更新相应路径的τ=j。9：结束if10：结束for11：计算T处的投资组合值，用U表示，U=D（T，Tτ）A（Tτ）。12：用套索回归D（t，t）Uon L（Xt）。近似t处的投资组合价值，用Ut表示，用回归的拟合值^Ut表示。13：计算损失`=U-^Ut。

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2022-6-14 13:09:41

N级已实现损失，并将dα净最大值定义为100（1- α） %t-day VaR.算法1：一般投资组合的LLSM在本节的其余部分，我们首先介绍后续讨论所需的所有符号。由于我们的VaR估计程序是根据模拟评估的价格制定的，因此我们首先在第2.2节中介绍了评估结果，然后可以在此基础上建立VaR收敛性；见第2.3.2.1节准备工作和注释，因为t日VaR的评估取决于对t时投资组合价值的估计，这是从j=1，…，停止时间Tjj时的投资组合价值得出的，五十、为了保证VaR在t时的收敛性，我们首先得出产品价格在停止时间Tj的收敛结果。假设一个基本的完全概率空间(Ohm,F，P）和有限时间范围（0，T），其中Ohm 表示从时间0到T，F，σ的随机经济的所有可能实现的集合(Ohm) = FTI是累计至T=TL的总信息过滤，T是投资组合中所有金融产品的最大到期日。我们将时间范围离散为区间（Tj-1，Tj）对于j=1，L等长t=Tj- Tj公司-1足够小，以便投资组合中的潜在行使日期可以用一些离散时间点Tj表示。在不丧失一般性的情况下，我们假设j=1，L是相关的停止时间。因此，我们让Fjdenote及时过滤信息。将Zjas表示为投资组合的AdaptedPayoff过程，并假设所有j的Zjare平方可积随机变量。在Tj，我们让{Xj∈ Rpj | Xj=Xj1，Xjpj公司>} 是投资组合中最重要的随机变量。

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2022-6-14 13:09:45

根据我们的符号，不同TJI的基本随机变量数量不一定固定。一个例子是由利率产品组成的投资组合，其收益是远期利率的函数。为简单起见，我们假设pj≡ p表示j=1，五十、给定Xj，存在一个确定性payoff函数f，使得Zj=f（Tj，Xj）。函数f可以是非线性和/或不连续的。最后，我们让Tj，kbe为所有可能的停止时间{Tj，…，Tk}的集合。定义为Tj的投资组合价值，Uj可以用条件期望的形式表示为：Uj：=supτ∈Tj，TEQ{f（Tτ，Xτ）| Fj}，（2）其中Q是风险中性度量。在续集中，为了简单起见，符号Q将被抑制。为了更有效地说明这一想法，我们假设只有一个最佳停止时间可供识别。如果投资组合中有多个具有不同最佳停止时间的衍生工具，我们可以通过将投资组合分离为几个元素的线性组合来进行类似分析，每个元素只有一个需要研究的最佳停止时间。（2）中定义的投资组合价值的公式考虑了一个相当普遍的设置，并涵盖了市场上广泛的资产。我们的目标是准确估计100（1-α） %t日VaR，其中α∈ （0，1）通常设置为0.01或0.05。在不丧失一般性的情况下，假设t∈ （T，T），这是Uis观察到常数的当前时间点。如果t=t，则我们在可能的停止时间将VaR称为VaR，或者通常在非停止时间将其称为VaR。实际上，所考虑的大多数风险值都属于后一种类型。100（1- α） %t日VaR基于对未来时间点t的投资组合价值的估计。

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2022-6-14 13:09:48

Ift=T，Ut可通过（2）计算；如果t∈ （T，T），UTI定义asUt：=E（U | Ft）=E“supτ∈T1，TE{f（Tτ，Xτ）| f}英尺#。（3）遵循经典最优停止理论Neveu（1975），我们引入了Snell包络并重写（2）asUj：=ess supτ∈Tj，LE（Zτ| Fj）j=0，1，五十、或等效地asUj：=（ZT，j=Lmax{Zj，E（Uj+1 | Fj）}，0≤ j≤ L- 1、如果我们确定τjis为Tj后的最佳停车时间，则τj：=min{k≥ j | Uk=Zk}在这种情况下，我们可以重写Uj=E（Zτj | Fj），j=0，1，五十、采用反向方法确定每条路径的最佳停车时间。可以通过定义τjas的动力学（τT=Tτj=j1{Zj≥E（Zτj+1 | Fj）}+τj+1{Zj<E（Zτj+1 | Fj）}，0≤ j≤ L- 1，其中1{·}表示指示符函数。假设有一个Fj马尔可夫链{Xj}，j=1，五十、对于某些Borel函数f（j，·），Zj=f（j，Xj）；对于某些函数g（j，·），我们有Uj=g（Tj，Xj），对于j=0，1，…，我们有E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτj+1 | Xj），五十、注意，在实践中，X和UAR都是确定性的。表示{Lm（Xj）}m≥1是一系列可测量的实值函数，用于回归模型中的基函数。数值计算{E（Zτj）}，j=1，2，L通过蒙特卡罗程序，我们可以模拟马尔可夫链{Xj}潜在风险因素的N条独立路径。我们定义j=（X[i]j1，…，X[i]jp）>为第i条模拟路径在时间j的基础随机变量的独立实现，Z[i]jas为j=1，2，…，的相关支付，Li=1，2，N，Z[i]j=f（Tj，X[i]j）。为了通过Xj的有限个基本函数来近似条件期望E（Zτj+1 | Xj），我们施加了Clement et al.（2002）中出现的以下两个条件：（A1）对于j=t，1。

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2022-6-14 13:09:52

L- 1，序列{Lm（Xj）}m≥1在L{σ（Xj）}中求和，其中L{σ（Xj）}表示σ（Xj）所跨越的L空间。（A2）对于j=t，1，L-1，如果PMM=1amLm（Xj）=0 a.s.，那么am=0表示m=1，M，其中M表示模型中包含的基函数数。在这两种条件下，我们可以得到系数向量a[M]jsuch thatE E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτj+1 | Xj）=limM→∞a【M】j·L【M】（Xj），其中L【M】（Xj）=（L（Xj）。，LM（Xj））>。为了估计系数a【M】j，我们假设τj+1=a【M】j·L【M】（Xj）+j、 j=1，L- 1，（4）其中εjis为误差项。a【M】jis被称为回归中的真实系数。根据经典回归分析，gram矩阵定义为[M，N]j=N-1NXi=1{L[M]（X[i]j）}{L[M]（X[i]j）}>。（5）我们还将M基函数估计的停止时间τ[M]定义为（τ[M]T=Tτ[M]j=j1{Zj≥a[M]j·L[M]（Xj）}+τ[M]j+1{Zj<a[M]j·L[M]（Xj）}，0≤ j≤ L- 1、同样，τ[i，M]j（j=1，…，L）用于表示估计的停车时间，以及第i条路径的真实回归系数。第i条路径的LASSO估计系数a【M，N】j的估计停车时间用τ【i，M，N】j表示，其中a【M，N】jis定义为asa【M，N】j：=arg minα∈IRMnkZτ[M，N]j+1- α·L[M]（Xj）k+λkαko，j=1，2，L- 1，惩罚λ依赖于M和N。在后半部分中，我们抑制了表示清晰表示的符号λ[M，N]。确定正则化参数的最佳值对于确保模型性能良好至关重要；通常，通过交叉验证进行选择。我们的数值计算程序也采用了这种方法来选择合理的惩罚。为了区分LASSO估计量和普通最小二乘（OLS）估计量，我们将与LSM相关的所有参数的关联符号用星号标出。因此，我们有*[M，N]j：=arg minα∈IRMnkZτ[M，N]j+1- α·L[M]（Xj）ko，j=1，2，L- 1对于LSM方法。

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2022-6-14 13:09:54

根据估计停止时间的定义，我们可以定义（2）中的投资组合价值，由M个基函数解释，真实系数为asU【M】j：=ZT，j=L，Zj{Zj≥a【M】j·L【M】（Xj）}+U【M】j+1{Zj<a【M】j·L【M】（Xj）}，j=1，2，L- 1、如果我们将a[M，N]jin替换为a[M]jin对U[M]j的定义，我们可以得到U[M，N]j，这是LLSM用M个基函数和N个样本路径估计的组合值。以下两个小节介绍了本文的主要贡献。我们的第一步是建立第2.2节中估值的收敛结果。根据这些一致的衍生产品价格估计，第2.3节讨论了VaR估计的相应收敛速度。尽管在过去二十年中，人们一直在积极研究处理高维数据的技术，但据我们所知，在定价/风险度量文献中尚未出现任何类似的发展。随后给出的所有新定理都比较了传统LSM和我们建议的LLSM的收敛速度。将LASSO纳入框架的好处在于M的大小，即模型可以处理的基数函数。当协变量的维数增加时，LSM等传统方法的性能会受到严重阻碍，这反过来又会导致相关gram矩阵的不可逆性。基函数的选择也是以相当主观的方式进行的。我们的主要结果定理4指出，当样本路径的数量不明显大于所考虑的基函数的数量时，LSM方法可以被新的建议所超越。2.2估值的收敛结果为了证明VaR估计的收敛性，我们首先建立估值的收敛结果。

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2022-6-14 13:09:57

估值收敛的最终目标是证明（Zτ[M，N]j | Fj）→ E（Zτj | Fj）为M，N→ ∞. （6）与Clement et al.（2002）中采用的处理方法类似，可以根据limM的两个结果建立收敛性（6）→∞U[M]j=Ujand limN→∞U【M，N】j=U【M】j，对于任何固定的M。特别是，假设条件（A1）满足，对于j=1，2，五十、 Clement等人（2002）表明LIMM→∞E（Zτ[M]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。（7）这一结果确保了由基于M的回归函数估计的payoffu[M]将收敛到基函数数量M趋于一致的真实payoffu[Ujas]。这是L{σ（Xj）}的总体性质的结果。下一个定理规定，在确保LSM估值收敛的相同条件下，LLSM可以在Tjj为j=1，…，时达到相同的估值收敛速度，L- 1、换言之，如果可以通过增加N来解决奇异性问题，则LASSO的引入不会减慢收敛速度。同时，它表明，在对语法矩阵奇异性的较弱约束下，U[M，N]j几乎确定的收敛仍然成立。为了检验U[M，N]jt到U[M]j的收敛性，需要三个附加条件：（A3）对于j=1，2，L- 1，i=1，2，N、实现jin（4）是具有零平均值和单位方差的i.i.d。（A4）对于j=1，2，L-1，存在一个非奇异的M×M矩阵cj，使得（5）中定义的gram矩阵a[M，N]jd收敛于Cjas N→ ∞.（A5）（相容条件）定义活动集S={m；a[m]jm6=0，m=1，2，…，m}。如果对于某些φ>0且对于所有满足ka[M]Sck的a[M]，则满足集合S的相容条件≤ 3ka【M】Sk，它认为ka【M】Sk≤ {a[M]}>a[M，N]j{a[M]}sφ，其中s=卡片（s）=| s |。定理1。假设j=1，2，L- 1，Pr{aj·L[M]（Xj）=Zj}=0，满足条件（A1）、（A2）和（A3）。

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2022-6-14 13:10:01

在λ=O（对数M/N）和λ/N=O（1）的惩罚下得到了LASSO估计量a[M，N]jare。（i）如果条件（A4）成立，那么U[M，N]j最肯定地向U[M]j靠拢。（ii）如果条件（A5）对活动集成立，那么U[M，N]jc也必然会收敛到U[M]jalmat。证据证明详情见附录A.1。备注1。Clement等人（2002）也要求假设Pr{aj·L[M]j（Xj）=Zj}=0。为了了解LSM和LLSM之间的差异，我们观察到定理1（i）也适用于U*[M，N]jin LSM，butTheorem 1（ii）没有，因为如果没有适当的正则化，LSM中回归模型的关联gram矩阵将变得奇异。备注2。Clement等人（2002年）也实施了类似版本的条件（A3）。a的定义*Clement et al.（2002）的jin（2.11）认为gram矩阵在默认情况下是可逆的。如果我们对*考虑到估计误差和奇异性问题，条件（A4）对于LSM是必要的。然而，由于该条件要求gram矩阵的可逆性，因此该条件具有相当大的限制性。即使我们将条件（A4）替换为对文法矩阵特征值的不太严格的约束，LLSMestimates的几乎确定的收敛性仍然可以保持。相容条件（A5）（另见B¨uhlmann和van de Geer（2011）的（6.4））类似于对gram矩阵最小特征值的约束。这种标准套索条件是一种较弱的条件，可由条件（A4）暗示。Bickel等人也对相容性条件进行了更多讨论。

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2022-6-14 13:10:04

(2009); Koltchinskii（2009b）和Koltchinskii（2009a）等。在定理1中，附加的LASSO分量允许在模型中包含大量的基函数，而不会破坏活动集中估计系数的收敛性；参见B¨uhlmann和van de Geer（2011）；赵和余（2006）。我们还将在定理4中看到确保在这个LASSO框架下收敛的M的大小。此外，我们模型中的变量选择步骤减少了由于多重共线性导致的系数不稳定性。通过（7）和定理1，我们可以看到最终估值收敛目标（6）可以在以下意义上几乎肯定地实现：limM→∞N→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=limM→∞画→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=limM→∞E（Zτ[M]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。人们可能会注意到，上述归纳可能不像它看起来那么简单，因为M的值受到N的选择的限制。事实上，（6）对于一些非常大但有限的M仍然有效，因为L{σ（Xj）}空间由有限个基函数跨越。当空间L{σ（Xj）}被有限个基函数L[M]（Xj）跨越时，需要一种能够正确选择跨越L{σ（Xj）}的所有未知基函数的方法。如果排除了一些必要的基函数，即使N趋于完整，也永远不会收敛；另一方面，如果包含不必要的基函数，模型中系数参数数量的增加可能会因数值不稳定而减少，最终导致错误的VaR估计。以下定理保证，在资产价值收敛率相同的情况下，LLSM可以在回归模型中包含比LSM更多的基函数。定理2。

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2022-6-14 13:10:07

假设定理1中的条件满足，并且赵和余（2006）的观点中的不可再现条件适用于活动集，| S |=S<∞ 对于j=1，L-1.不可再现条件的定义另见附录。如果一组有限的Mbasis函数最初包含在Msu足够大的回归中 S[M]，则存在M≤ M<∞ 这样，U*贾斯→ 乌贾德·乌贾斯→ Ujas N公司→ ∞.证据证明详情见附录A.2。定理2确保，在给定合适的惩罚λ的情况下，可以使用基函数的个数执行估值过程，并在N增加时获得相同的收敛结果。此外，对于基于相同基函数初始集的相同收敛结果，LLSM中考虑的基函数数量从未超过LSM中考虑的基函数数量。不可再现条件是暗示兼容性条件的更强条件。它取决于gram矩阵和真系数的符号；更多讨论请参见B–uhlmann和van de Geer（2011）。上述结果还得出结论，在LLSMis中获得收敛所需的基函数数上界为LSM所需的基函数数。回归模型中的基函数越少，意味着在相同的计算预算下，估计误差越小。诚然，不能保证在回归模型中包含跨越L{σ（Xj）}的所有有效基函数。尽管如此，给定相同的计算预算N，LLSM允许用户最初包括和筛选更多的基本函数；另请参见定理4.2.3 VaR的收敛结果鉴于第2.2节中给出的估值收敛结果，我们现在确定了所提出VaR估计的相应收敛性质。

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nandehutu2022

2022-6-14 13:10:10

如前所述，具有t asa停止时间的t日VaR的性质不同于t不是停止时间的情况。在本节中，我们提出了定理3，该定理确保VaR在可能的停止时间收敛。定理6和定理4分别推导了通过LSM和LLSM评估的VaRsat非停止时间的具体收敛速度。定理3。对于j=1，L- 1，如果满足定理1（i）中的条件，则Var[M，N]j→ VaR[M]jas N→ ∞,其中，VaR【M，N】jand VaR【M】jare定义为，VaR【M，N】j，infx∈IRnPr（U- U[M，N]j<-x） <αo，VaR[M]j，infx∈IRnPr（U- U【M】j<-x） <αo.证明。证明详情见附录A.3。备注3。这个定理也适用于VaR*[M，N]J源自LSM。VaR[M，N]jif的一个类似的收敛结果仍然成立。如果我们将相容条件（较弱的条件）替换为条件A4。然而，对于VaR来说，情况并非如此*定理3证明了LLSM在停止时刻VaR估计的收敛性。均为VaR【M，N】jandVaR*[M，N]j以O（N）的速率收敛-1); c、 f.Bauer et al.（2012）的第3.2号提案。然而，在大多数情况下，我们需要不间断时间为t的t天VaR的收敛结果。例如，在典型情况下，风险经理必须计算10天的VaR，以符合巴塞尔协议II的规定。在这种情况下，t=10天，t/∈ T0，T；VaR[M，N]与VaR[M]的收敛性显然很重要。为了实现这一点，我们提供了定理6和定理4，它们保证在一些温和的条件下，LSM在非停止时间的VaR估计比LSM得到的VaR估计收敛速度更快。

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2022-6-14 13:10:13

这一理论解释了为什么在我们的数值研究中，当我们计算95%的10天VaR时，LLSM总是优于LSM。为了处理与非停止时间相关的计算，我们将Zτ的估计写为基函数的组合，即。Zτ[M]=a[M]t·L[M]（Xt）+t、其中，a【M】是指在tand处回归的真实系数t用零均值和有限方差表示误差项。注意，Zτ[M]作为回归中的响应，表明在每次回归中使用真系数来估计τ[M]。LASSO估计值对应于a【M，N】t=arg minα∈IRMnkZτ【M，N】- α·L[M]（Xt）k+λkαko，其中Zτ[M，N]是回归中的响应。同一回归中的真实系数定义为a【M，N】t。相应的OLS估计值，即*[M，N]tanda*[M，N]t，可通过替换Zτ获得*[M，N]，Zτ[M，N]作为回归中的响应。tis的定价错误由两部分组成。一个是来自t处回归的估计误差，表示为（a【M，N】t- a【M，N】t）·L【M】（Xt）; 另一个是Zτ[M]的估计误差，表示为N-1PNi=1（Z[i]τ[i，M，N]-Z[i]τ[i，M]）此符号中的上标i表示相应随机变量的第i个实现。虽然a【M】和a【M，N】皮重都被称为真系数，但在相应的回归中，不同的响应被用作因变量。由于U【M】的定义不同于U【M】j的定义，j=0，五十、我们不能简单地将定理3应用于t处变收敛的证明。为了解决这个问题，我们定义了W，N-1NXi=1na【M】t·L【M】（X【i】t）- a【M，N】t·L【M】（X【i】t）o’W*,N-1NXi=1na【M】t·L【M】（X【i】t）- 一*[M，N]t·L[M]（X[i]t）oas分别是LASSO和OLS的平均定价误差。

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2022-6-14 13:10:16

我们还定义了=√西北和西北*=√西北地区*.设gN（·，·），g（·）和gN（·）分别表示U[M]和W的联合pdf，U[M]和U[M，N]t的边缘pdf。为确保嵌套模拟和LSM的VaR收敛，以下条件对W和W的分布施加了一些限制*是必需的；见Gordy和Juneja（2010）和Bauer等人（2012）。如果满足以下两个条件，我们认为条件（A6）适用于随机变量W：i.U[M]和W及其偏导数的联合pdf gN（·，·）ugN（u，w），ugN（u，w）存在于每个Hn和（u，w）的所有集合中。二。对于N≥ 1，存在非负函数p0，N（·），p1，N（·），p2，N（·），因此对于所有（u，w），gN（u，w）≤ p0，N（w），ugN（u，w）≤ p1，N（w），ugN（u，w）≤ p2，N（w）。此外，supNZ∞-∞|w | rpi，N（w）dw<∞ 对于i=0、1、2和0≤ r≤ 4、这一条件通常适用于大型投资组合，其中至少有几个头寸具有足够平稳的支付；见Gordy和Juneja（2010）。为了比较LLSM和LSM的性能，我们引入了定理4，它显示了VaR[M，N]和VaR的收敛速度*定理4。如果满足定理1（i）中的条件，则条件（A6）适用于W和W*, 风险【M，N】tby LLSM风险*[M，N]t通过LSM将在以下意义上收敛到VaR[M]t，VaR[M，N]t- VaR[M]t=Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ+oN-1.,风险值*【M，N】t- VaR[M]t=g（v）ddvg（v）O明尼苏达州+ oN-1.,其中v=VaR【M】t- Uandv∈ 【五】- w/√N、 v）]。此外，如果N=oMφslog M+2M+slog Mφ, 我们将有Var[M，N]t-VaR[M]tVaR*【M，N】t-VaR[M]t=o（1）。证据证明详情见附录A.4。备注4。如果我们用相容条件代替条件（A4），定理4仍然成立。

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2022-6-14 13:10:25

注意，在这种情况下，VaR[M，N]twill仍然收敛，而VaR*斜纹分叉。正如我们在这个定理中所看到的，LLSM允许我们包含o（exp（N））基函数，而LSM只能处理最多o（N）的收敛性。如果gram矩阵是非奇异的，则在N=o的限制下，LLSM比LSM产生更快的变收敛速度Mφslog M+2M+slog Mφ. NCA的这种增长率可以从以下两个方面进行解释。首先，N的选择意味着，由于给定的计算预算，可用的采样路径数量不能非常大。在M大的高维设定下，N几乎不能大于O（M）。其次，如果我们有足够的资源使得n>O（M），那么考虑到gram矩阵的非奇异性和丰富的样本路径，可能不需要LASSO分量。LASSO以其在高维统计中的应用而闻名，但如果我们在N足够大且gram矩阵非奇异的不必要情况下对最小化过程施加惩罚，则会产生偏差。3数值研究我们的兴趣量是具有非线性支付的投资组合的95%10天VaR。当oracle基准可用时，进行回溯测试以评估不同方法的性能。在本节中，通过20倍交叉验证确定套索中使用的惩罚，以最小化给定损失函数的平均交叉验证误差。我们将Gordy和Juneja（2010）中的嵌套模拟称为estimatedoracle方法。如果在内部模拟中，有一个封闭形式的解决方案可用于评估10天的投资组合，我们将该方法定义为真正的oracle方法。

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2022-6-14 13:10:28

delta-normalapproach中涉及的希腊人通过中心差分法进行数值计算。虽然我们考虑单个产品的VaR估计，但通过将额外的风险因素作为回归中的基础随机变量，VaR评估的思想可以从单一衍生工具扩展到高维投资组合。常见风险因素模拟一次，在每个可能的停止时间只执行一次回归，以评估整个投资组合的价值。具体而言，为了使结果更直接地与Longstaff和Schwartz（2001）中的结果相比较，我们采用了三阶以上的多项式作为所有示例的基函数L（X）。在以下示例中，weshall假设收益序列遵循多元高斯分布。它们在表1中构建：彩虹期权的10天95%VaR平均中值标准偏差回测时间（秒）LSM 1.78698 1.78664 0.11482 0.0290 18.62LLSM 1.61693 1.61108 0.10932 0.0442 20.25Delta-normal+1.74591 1.74591-0.0329 7.62Delta-gamma+5.00858 5.00858-0 66.36Oracle 1.58089 1.58089-0.0483 163850Oracle+1.56778 1.56778-0.0500 3634这样我们就可以用现有的程序来测试我们的性能，尤其是那些在这种设置下使用封闭形式解决方案的程序。然而，值得注意的是，我们的公式不需要回报序列的联合正态性假设。由于我们估计的非参数性质，我们的建议可以很容易地扩展到非椭圆世界，因为算法1.3.1中步骤13中规定的排名步骤彩虹期权彩虹期权是最常见的交易奇异期权之一，其支付函数依赖于多个基础风险资产。

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2022-6-14 13:10:31

在本节中，我们考虑了“买入最小”彩虹期权的一种变体，其中有10支股票作为其基础风险资产。如果十只基础股票的最低回报率超过预先确定的执行价格，多头将获得正收益。换句话说，到期时的支付额表示为最大100MiniSi0- K、 0个,其中SI0表示第i个标的股票的当前价格。付息函数中的常数100是用于说明标准化到期付息的任意值。为了推导基于封闭式定价解决方案的基准，我们假设基础股票价格遵循Black和Scholes（1973）模型。Johnson（1987）讨论了闭式解。附录中提供了相应的详细信息；见B2节。表1总结了不同方法得出的VaR估计值。选择罢工是为了确保彩虹期权的价格合理，在这种情况下，由于单位货币价格的非差异性，delta正态近似可能会面临挑战。在本例中，我们选择的到期日为270天。每个方法中生成的样本路径数为N=10000，而估计的oracle方法的内层中的路径数为N=50000。由于我们可以在估计的oracle方法中获得VaR的一个估计值，因此没有观察到标准偏差。除了oracle方法外，每种方法都会重复500次，以研究VaR估计的分布。

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2022-6-14 13:10:34

标有+的程序对所有涉及的定价采用封闭式解决方案。计算时间表示从Intel Core i5-5200U、CPU 2.2 GHz和RAM 8GB的计算机获取一个VaR估计值的方法所需的时间。如表1所示，即使LLSM采用20倍交叉验证，执行变量选择只需少量额外计算。根据我们的VaR估计，通过将估计值与基于封闭式公式评估的模拟价格的未实现损益进行比较，执行回溯测试程序。报告了超过VaR估计值的损失百分比。根据表1，我们可以看到，由于回测结果从2.90%显著提高到4.42%，因此值得执行额外的LassOxOxinable选择程序。为了进行公平比较，Delta normal和Delta gamma方法均采用有限差分法进行计算。我们观察到，随着希腊人数量的增加，对高阶希腊人的估计有偏差，计算负担也显著加重。如果将闭合格式解应用于希腊计算，则Delta-normal方法和Delta-gamma方法的回测结果分别为3.29%和0%，可分别提高到5.23%和6.18%。Delta-gamma方法的性能较差，因为在重复的差异数值近似中积累了偏差。这些结果证明，即使在短期内，一阶或二阶近似都不足以估计具有非线性支付的衍生工具的VaR。

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2022-6-14 13:10:38

当衍生产品接近货币时，这种差异就更加明显。3.2欧洲掉期期权是金融市场中流动性最强的利率衍生品之一。考虑欧洲付款人20 NC（“非赎回/锁定”期）2掉期期权，其基础掉期的最终期限为20年。我们采用对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型（LFM）作为掉期期权远期利率的基础模型。Brigo和Mercurio（2007）采用了相同的定义和校准。将L（t，t）表示为到期日t时的即期利率，P（t，t）表示为到期日t时付款的零息票债券价格delta。远期利率由Li（t）表示≡ L（t，Ti-1，Ti），其中i=1，20、在Brigo和Mercurio（2007）的第6.3.1节中定义了LFM中的远期利率动态。假设名义金额为N=1000，掉期利率为K，在TiisA（Ti）=1000·EQi时对持有人的支付Xj=i+1D（Ti，Tj）δj（Lj（Ti）- K）+金融机构, （8）式中，i=2，20，δj=δ（Tj-1，Tj）是离散时间间隔，D（Ti，Tj）是（Ti，Tj）时间段的贴现因子，QI是对应于时间Ti的向前调整度量。有关模型和参数校准的更多详细信息，请参见附录。在Longsta off和Schwartz（2001）对掉期期权的数值研究中，主观上选择的基础函数为常数，即t时掉期期权贴现价格的前三次方，以及最终到期日在t之前（包括t）的所有未到期零息票债券价格的首次方。Werefer LSM主观上选择的基础函数为SLSM。这种方法可能不可靠，因为它执行主观的先验变量选择。

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nandehutu2022

2022-6-14 13:10:42

对于在不同资产类别中拥有大量基础资产的一般产品，选择可能不像互换期权那样直接。我们将GLSM表示为LSM，具体包括回归模型中风险因素的前三阶和这些风险因素的第二阶交叉项。请注意，GLSM不包括LSM中的三阶交叉项SUP。我们允许对基函数的顺序进行这种宽松的限制，以避免LSM由于过度参数化而无法获得OLS系数估计。基础掉期的掉期利率在以货币担保掉期期权时确定。每个方法中的样本路径数为N=5000。外层和内层的路径数分别为N=30000和N=30000。为确保估计的oracle方法适用于表2：欧洲加权平均中值标准偏差回归测试时间（秒）的10天95%VaR SLSM 8.94452 9.02583 1.45876 0.0200 13.07GLSM 19.8179 19.8070 1.23116 0.0000 17.25LLSM 7.02251 7.15271 1.62806 0.0505 25.16Delta-normal 8.88922 3.45005 0.0208 285.78Oracle 7.04185 7.04185-0.0500 242200A稳定估计，我们已经检查并选择了不同数量的密集模拟路径。我们选择了足够大的Nand Nso，在任何进一步增加的情况下，都不会出现显著变化。除oracle方法外，其他四种方法重复500次以获得样本统计数据。计算时间表示执行一轮迭代所需的平均时间。如表2所示，与其他方法相比，delta-normal方法所需的计算时间要长得多。这是因为评估投资组合价值的最佳方法是oracle估算法。

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2022-6-14 13:10:49

对于delta-normal方法，TF的18个潜在风险因素中的每一个都需要嵌套模拟。由于其计算负担，估计的oracle方法的应用受到很大限制：即使对于欧洲掉期期权，计算一次VaR估计也需要大约三天的时间。前三种方法的标准差很接近，但明显大于从delta normal方法获得的标准差。尽管deltanormal方法给出的估计值的标准偏差很小，但它产生了相当大的偏差，这使人们对其性能的准确性产生了怀疑。图1所示的箱线图总结了前四种方法得出的VaR估计值的分布。每种方法中的点代表了500个实验中的VaR估计值。虚线绘制了通过估计的oracle方法获得的VaR。在这五种方法中，GLSM表现最差。对于delta-normal方法，它产生的估计偏差较小，但方差异常小。在500个实验中，DeltanNormal方法或GLSM的任何结果都不会产生接近oracle VaR的VaR估计值。对于SLSM，虚线位于分布的25%分位数之外，表明如果在一个实验中获得准确的VaR，这种方法的概率仍然很小。关于LLSM，分布的中值更接近虚线，表明偏差较小。这种方法的方差也是合理的，因为虚线穿过25%和75%分位数范围内的分布。可以通过表2中总结的回测结果来评估性能。

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2022-6-14 13:10:53

与图1所示的分析一致，GLSM严重高估了VaR，导致回测结果为0。SLSM和delta-normal方法有相似的偏差，相似的回测结果约为2%。他们的回测结果也不令人满意，因为估计的VAR过于保守，因此需要额外的不必要资本储备。LLSM虽然低估了VaR，但表现更好，回测结果为5.05%。总体而言，LLSM在四种方法中表现最好。3.3百慕大掉期期权由于LLSM适用于具有美国特征的投资组合，我们将前面的示例扩展到百慕大掉期期权。考虑百慕大付款人20 NC 2掉期期权。向Ti持有人支付的款项，i=2，20定义为（8）。每次进近重复100次。由于无法进行嵌套模拟图1：欧洲Swaption的VaR箱线图表3：百慕大Swaption平均SD时间中位数的10天95%VaR（以秒为单位）SLSM 8.38623 8.48900 1.59813 195.00GLSM 21.0271 21.1145 1.51290 226.62LLSM 5.01065 4.98452 1.86820 270.01Delta-normal 189.649 7.87119 371.980 8807.50推导oracle初始值，我们使用具有大量路径的SLSM来确定swoption的初始值。其他设置与之前的研究相同。如表3所示，由于基础风险因素的每次变化都需要重新评估，因此三角洲正态法的计算时间明显大于其他方法。SLSM用于评估三角洲正常法下的投资组合价值，因为它是在某些迭代中具有百慕大特征的最佳选择，一些三角洲特别大，因此会导致弯曲轨迹。

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2022-6-14 13:10:59

如图2所示，从delta-normal方法计算的VaR严重向右倾斜，有大量的异常值，而其他四种方法的VaR似乎呈不对称分布，几乎没有异常值。较大的标准差也表明deltanormal方法缺乏统计效率。为了进一步调查评估VaR方法的不同表现，我们检查了第一个期限的评估表现，并将结果显示在表4中。delta Normal法被排除在外，因为它不涉及在tand T对掉期期权进行定价。表4显示，在不同的方法中，在T的估值相差不大。这可以用定理1以及Clement等人（2002）的分析结果来解释。与以下信念一致：（a）四种方法的VaR箱线图（b）百慕大Swaption的VaR箱线图图图图2：百慕大Swaption的VaR箱线图表4：百慕大SwapptionTime的值T=第2年T=第10天平均SD中值SDSLSM 72.975 72.946 0.85212 69.517 69.489 0.81175GLSM 75.391 72.946 0.86740 71.819 71.707 0.82638LLSM 73.452 73.426 0.87146 69.97169.946 0.83018表5：停止时间增加的VaR趋势SLSM GLSM LLSM1 8.79705 19.7843 6.874934 8.54725 21.9728 6.066026 8.31433 22.8349 5.695908 8.17318 22.9505 5.3640310 8.04154 22.9719 5.0846912 7.92492 22.7725 4.9769714 7.81349 22.6823 4.9152916 7.76497 22.6077 4.8434318 7.75723 22.5957 4.81491使用TDeteriors的OLS估计值，GLSM在tis的估值与其他三种方法显著不同，这可能表明t的估值估计较差。同样值得一提的是，如表4所示，SLSM的掉期期权价格平均值与LLSM的估值接近。

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