根据观察到的下降趋势，可以推断百慕大掉期期权VaR应小于欧洲掉期期权的oracle VaR。在表3中，只有LLSM产生的VaR估计值小于表2中欧洲掉期期权的oracle VaR。即使没有甲骨文的百慕大掉期期权研究基准，这一观察结果，再加上可能存在的LSM估值不佳的迹象和delta-normal方法的不稳定估计，可以证明在百慕大案例中，LLSM仍优于其他竞争者。4结论在本文中，我们提出了LASSO最小二乘蒙特卡罗（LLSM）方法，作为投资组合风险价值（VaR）评估的最小二乘蒙特卡罗（LSM）方法的扩展。在LLSM中引入LASSO作为一种模型选择技术，使提案能够处理具有美国特色的高维非线性投资组合。虽然领域知识有助于从业者更自信地选择影响风险因素，但LLSM提供了一种客观的替代方案，尤其有助于评估新的复杂金融产品的VAR。在本文中，我们还建立了LLSM的oracle属性，并得出了定价和VAR评估的收敛结果。彩虹期权和交换期权的数值研究表明，LLSM优于其他现有做法，如delta normal、delta gamma方法和LSM。尽管《巴塞尔协议III》将实施预期缺口（ES），作为一种连贯的风险衡量标准（例如，见Gourieroux和Jasiak，2002），但我们想强调的是，准确、可靠的VaR估计是合理的ES估计的必要中间步骤。

尽管VaR在银行业风险管理中的作用相对较小，但应强调的是，SolvencyII是自2016年起对保险业实施的现行监管框架，它利用VaR计算偿付能力资本要求（SCR）。另一方面，正如Kouand Peng（2016）所讨论的那样，满足一组经济公理的风险度量类型，即预期效用和一般可诱导性的统计特性（即存在一个目标函数，使得预期目标函数最小化产生风险度量）是中值不足，这是尾部损失分布的中位数，相当于较高置信水平下的VaR。因此，VaR的使用确实有其优点。本文有几个可能的扩展。首先，包括历史模拟（HS）或过滤历史模拟（FHS）是合理的，这是银行业计算资本需求的常见做法；例如，请参见我们的框架中的Gurrola Perez和Murphy（2015）。其次，我们对VaR的讨论也可以扩展到ES。Dantzig选择器（见Candes和Tao，2007）也可以被证明是另一种可行的变量选择方法。我们将在单独的报告中讨论相应的处理方法。第三，由于偏差项决定了LLSM的不精确性，我们可以通过一个外部层的广泛模拟来减少估计偏差。同于100（1-α） %tVaR直接受α最小Ut的估计影响，更准确的分位数估计将有助于改善LLSM的性能。在获得N种情况下的Ut估计值后，我们可以进行密集模拟，以获得更精确的α最小Ut估计值。

这可以通过首先找到与Utas初始化的α最小估计相对应的基础资产价值，然后在Q度量下密集模拟Nsample路径来实现。通过对到期时的贴现支付进行平均，可以更好地估计α最小UT。对于这种所谓的密集套索最小二乘蒙特卡罗（ILLSM）方法，我们已经获得了有希望的初步结果。进一步的调查将在另一篇论文中讨论。致谢作者感谢编辑、副编辑和两位匿名推荐人的建设性评论，这些评论大大改进了手稿。第二作者的部分财务支持来自香港研究资助委员会研究资助ECS-24300514和GRF-14317716。附录A：收敛结果的证明本附录包含第2.2节和第2.3节中讨论的收敛结果的证明。A、 定理1的证明为了证明定理1，我们需要以下四个引理。引理1。考虑线性回归模型Y=X>a+ε。如果我们有n个观测值，则y=（y，…，yn）>，ym=（ym，…，ymn）>，xi=（x1i，…，xpi）>，x=（x，…，xn），x（j）=（xj1，xj2，…，xjn）>，a=（a，…，ap）>，ε=（ε，…，εn）>。xi，yi，Ym是随机变量X，Y，Ym的具体实现，其中i=1，n、 定义^amn：=arg minα∈IRP{nXi=1（y[M]i- x> iα）+λkαk}。假设ε，εnare i.i.d.，Eε=0，E |ε|<∞, 年[月]日。s→ 伊亚斯m→ ∞. 如果存在一个非奇异矩阵C，使得npni=1xix>i→ C作为n→ ∞,λn→ 0，则为^amna。s→ a为n→ ∞ 和m→ ∞.证据

回想一下，^amn=arg minα∈IRP公司nXi=1（ymi- 彝语+彝语- x> ia+x>ia- x> iα）+λkαk= arg最小值α∈IRP公司nXi=1（ymi- yi+εi+x>i（a- α） ）+λkαk.因此，可以编写^amn- a=参数分钟∈IRP（nXi=1（（ymi- yi）+εi+（x>iu）+2εi（ymi- 彝语）-2（ymi- yi）x>iu- 2εix>iu）+λku+ak.定义Cn=nPni=1xix>i，Wn=nPni=1xiεi，Vn=nPni=1xi（ymi-yi）并放弃不涉及u的条款，我们得到- a=参数分钟∈IRP公司u> Cnu公司- 2W>nu- 2V>nu+λn（ku+ak- kak）= arg分钟∈IRPfn（u）。设γ0，to为Cn的最小本征值，γ为C的最小本征值。然后γ0，n→ γasn→ ∞, 其中γ>0。写kuk=qPpj=1uj=kuk，这相当于“norm”。如果我们确定=最大值1≤j≤pn | x（j）Tε|≤ λ=最大值1≤j≤pn | nXi=1xjiεi |≤ λ,T型=最大值1≤j≤pn | x（j）T（ym- y） |≤ ε*=最大值1≤j≤pn | nXi=1xji（ymi- yi）|≤ ε*,然后在集合T上∩ T、 我们有w>nu=n（nXi=1xiεi）>u≤ λ√pkuk，V>nu≤ ε*√pkuk，u>Cnu≥ γ0，nkuk，λn（ku+ak- kak）≤λnkuk≤λn√pkuk。下面是fn（u）≥ γ0，nkuk- 2λ√北京大学- 2ε*√北京大学-λn√pkuk=kuk（γ0，nkuk- 2λ√p- 2ε*√p-λn√p） 。固定λ∈ (0, 1), ε*∈ (0, 1). 由于λn=o（1）和Chatterjee和Lahiri（2011）的引理3.1，nPni=1xiεip→0，存在一个n≥ n、 λn≤ λ、 γ0，n>γ>0。在集合T上∩ T、 对于任何u∈ IRPwithkuk>（6λ+4ε*)√pγ0，n，以下为fn（u）≥ kuk（γ0，nkuk- 2λ√p- 2ε*√p- λ√p）≥ γ0，nkuk>0。因为fn（0）=0，所以对于n≥ n、 在集合{u:kuk>（6λ+4ε）中不能获得fn（0）的最小值*)√pγ0，n}，每当T∩ 托尔德。因此n≥ n、 T型∩ Timplies that^amn- a=arg minufn（u）∈ {u：kuk≤(6λ+ 4ε*)√pγ0，n}。特别地，∞Xm=1Prk^amn公司- ak>（6λ+4ε*)√pγ0，ni。o。≤∞Xm=1Pr{（T∩ Tm）ci。o、 }≤∞Xm=1Pr{Tci.o.}+∞Xm=1Pr{（Tm）ci.o.}=∞Xm=1Pr{（Tm）ci.o.}<∞.自λ和ε*∈ (0, ∞) 都是武断的，证明是完整的。引理2。如果k=j，L-1，a【M，N】ka。s→ a[M]kas N→ ∞ Pr{a[M]k·L[M]（Xk）=Zk}=0，那么对于i=1，2，N，Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j.证明。对于j=L，Z[i]τ[i，M，N]T=Z[i]τ[i，M]T=Z[i]T。

在j上进行归纳。假设k=j+1，···，T- 1，Z[i]τ[i，M，N]ka。s→ Z[i]τ[i，M]k，我们想证明Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j。∞XN=1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |<ε}≤∞XN=1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j+1- Z[i]τ[i，M]j+1 |<ε}+∞XN=1{a[M]j·L[M]X[i]j）≤Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+∞XN=1{a[M，N]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}<∞因为第一项是通过归纳法确定的。第二项的范围为∞XN=1{| Z[i]j-a【M】j·L【M】（X【i】j）|≤|（a【M，N】j-a[M]j）·L[M]（X[i]j）|}，也可定义为Pr{Z[i]j- a【M】j·L【M】（X【i】j）=0}=0。同样，可以证明第三项是有限的。这就完成了归纳。因此，作为N→ ∞, Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]jLemma 3。假设j=1，2，L- 1，Pr{a[M]j·L[M]（Xj）=Zj}=0。此外，条件（A1）（A4）是满足的。然后，对于惩罚参数λ为λ/N=o（1）的LASSO估计量a【M，N】jj，我们有一个【M，N】ja。s→ a[M]jas N→ ∞.证据引理1，对于j=L- 1，a【M，N】ja。s→ 我们再次对j进行归纳。假设fork=j，···，T- 1，a【M，N】ka。s→ 我们的目标是证明对于k=j- 1，我们还有一个【M，N】j-1a。s→ a【M】j-1.

根据Emma 1，需要证明固定i=1，2，···，N，作为N→ ∞, Z[i]τ[i，M，N]ja。s→ Z[i]τ[i，M]j。通过定义，可以写出Z[i]τ[i，M，N]j=Fj（a[M，N]j，Z[i]，X[i]）=Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}；Z[i]τ[i，M]j=Fj（a[M]j，Z[i]，X[i]）=Z[i]j{Z[i]j≥a[M]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]j+1{Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}和Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j=Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}- 1{Z[i]j≥a[M]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]τ[i，M，N]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}- Z[i]τ[i，M]j+1{Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}。考虑以下四种情况：（i）如果Z[i]j≥ a[M，N]j·L[M]（X[i]j）和Z[i]j≥ a[我]j≥ a【M】j·L【M】（x【i】j），| Z【i】τ【i，M，N】j- Z[i]τ[i，M]j |=0；（ii）如果Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）和Z[i]j≥ a[i]j<a[M]j·L[M]（x[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j-Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]τ[i，M，N]j+1-Z[i]τ[i，M]j+1 |；（iii）如果a【M】j·L【M】（X【i】j）≤ Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]j- Z[i]τ[i，M，N]j+1 |；（iv）如果a【M，N】j·L【M】（X【i】j）≤ Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j），| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |=| Z[i]j- Z[i]τ[i，M]j+1 |，我们可以写∞XN公司-1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j- Z[i]τ[i，M]j |>ε}≤∞XN公司-1Pr{| Z[i]τ[i，M，N]j+1- Z[i]τ[i，M]j+1 |>ε}+∞XN=1{a[M]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+∞XN=1{a[M，N]j·L[M]（X[i]j）≤Z[i]j<a[M]j·L[M]（X[i]j）}=i+i+i。引理2和a[M，N]j+1a。s→ a[M]j+1，I<∞.I+I≤∞XN=1{| Z[i]j-a[米]j·L[米]（X[米]j+1）|≤|a【M，N】j-a[M]j | L[M]（X[i]j）|}<∞.从一开始。s→ a[M]j，Pr{Zj=a[M]j·L[M]（Xj）}=0，我们得出Z[i]τ[i，M，N]ja的结论。s→ Z[i]τ[i，M]j。这完成了归纳。引理4。考虑线性回归模型：Y=X>a+. 如果我们有n个观测值，则y=（y，…，yn）>，xi=（x1i，…，xpi）>，x=（x，…，xn），x（j）=（xj1，xj2，…，xjn）>，a=（a，…，ap）>，ε=（ε，…，εn）>。我们还定义了^amn：=arg minα∈IRPnXi=1（ymi- x> iα）+λkαk！并用a表示回归模型中的真实参数。假设ε，εnare i.i.d。

Eε=0时，E |ε|<∞, 伊米亚。s→ 伊亚斯m→ ∞. 如果沙的相容条件成立，λ是一个合适的惩罚参数，满足λ/n→ 0和λ=O（对数p/n），然后是^amna。s→ a为n→ ∞ 和m→ ∞.证据证明类似于引理1。我们采用引理1中使用的相同符号，并省略了部分证明。再次观察W>nu≤ λ√pkuk，V>nu≤ ε*√pkuk和u>Cnu≥ kuSkφs>0，我们可以写fn（u）≥ kuSkφs- 2λ√北京大学- 2ε*√北京大学-λn√北京大学≥ kuSk（φskuSk- 2λ√p- 2ε*√p-λn√p） 。固定λ∈ (0, 1), ε*∈ (0, 1). 由于λ/n=o（1），因此存在n≥ n、 λ/n≤ λ.在集合T上∩ Tu∈ IRP，kuSk>（6λ+4ε*)√pφ/秒，fn（u）≥ kuSk（φskuSk- 2λ√p- 2ε*√p- λ√p）≥φskuSk>0。因为fn（0）=0，所以对于n≥ n、 在集合{u:kuSk>（6λ+4ε）中无法获得fn（0）的最小值*)√pφ/s}，当T∩ 托尔德。因此，对于n≥ n、 T型∩ Timplies^a【M】n- a=arg minufn（u）∈ {u:kuSk≤(6λ+ 4ε*)√pφ/s}。由于兼容性条件，我们可以编写UK≤ 库斯克+库斯克≤ 10kuSkbecause库斯克≤ 3kuSkimplies库斯克≤ 9kuSk。因此∞XM=1Pr{k^a[M]n- ak>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{kuk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{kuSk+kuSk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{10kuSk>10（6λ+4ε*)√pφ/平方英寸。o、 }≤∞XM=1Pr{（T∩ T【M】）ci。o、 }<∞.自λ和ε*∈ (0, ∞) 都是武断的，这就完成了证明。定理1的证明。定理1（i）的证明可以建立在前面引理1-4的基础上。它与provelimN等效→∞NNXi=1U[i，M，N]j=E（UMj | Fj）。根据大数定律（LLN），必须证明n=NNXi=1U[i，M，N]j- U[i，M]j根据Clement et al.（2002）的引理3.1，我们可以写出| GN |≤NNXi=1U[i，M，N]j- U[i，M]j≤NNXi=1TXk=j | z[i]k | T-1Xk=j{| Z[i]k-a【M】k·L【M】（X【i】k）|≤|（a【M，N】k-a[M]k）·L[M]（X[i]k）|}。因为对于j=1，L- 1，a【M，N】ja。s→ a【M】j。

然后ε>0，lim supN | GN |≤ lim supNNNXi=1TXk=j | Z[i]k | T-1Xk=j{| Z[i]k-a【M】k·L【M】（X【i】k）|≤|ε·L[M]（X[i]k）|}=ETXk=j | Zk | T-1Xk=j{| Zk-a【M】k·L【M】（Xk）|≤|ε·L[M]（Xk）|}.最后一个等式来自LLN。Letε→ 0，我们得到收敛到零，因为对于j=1，L-1，Pr{a[M]j·L[M]（Xj）=Zj}=0。如果我们在前面的证明中用引理4代替引理1，则定理1（ii）的证明如下。A、 2定理2的证明为了定义不可表示条件和相关的活动集，我们首先重写gram矩阵A[M，N]jasAj，ck，lis矩阵Aj中第k行和第l列的元素。定义语法矩阵的子矩阵，给定索引集S asA（j）1,1（S）=（ck，l）k，l∈SA（j）2,2（S）=（ck，l）k，l/∈SA（j）1,2（S）=（ck，l）k∈S、 l/∈SA（j）2,1（S）=A（j）>1,2（S）。不可再现条件和相关的活动集定义如下：我们说，对于基数为S的集S，如果对于所有向量uS，则满足不可再现条件∈ Irssatizing kuSk公司∞≤ 1，我们有KA2,1（S）A-11.1（S）uSk∞< 此外，相关活动集定义为固定j∈ {0，…，T- 1} ，s相关=（m：| a【m】j，m |>λ（j）supkuSk∞≤1kA（j）-11.1（S）uSk∞/2） ，其中，Sis是活动集，a[M]j，mis是真系数向量a[M]j的第M个元素。下面的引理是根据B¨uhlmann和van de Geer（2011）的定理7.1得出的。引理5。假设S的不可再现条件成立，则S是相关的 S（λ） J=0。。。，L- 1，k（a[M，N]j）S- （a[M]j）Sk∞≤ λsupkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2，其中a[M，N]jis是带惩罚λ的LASSO估计系数，S（λ）={k，a[M，N]j，k6=0}。定理2的证明。我们的证明跳过了一些步骤，这些步骤类似于Clement等人（2002）中定理3.1的证明。这等价于证明j=0，五十、 limN公司→∞E（Zτ[M，N]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。请注意，以下归纳法适用于Mand和M，直至规范。

对于j=L，τ[M，N]T=τT=T和E（Zτ[M，N]j | Fj）=E（Zτj | Fj）。假设limN→∞E（Zτ[M，N]k | Fk）=E（Zτk | Fk）适用于k=j+1，我们想证明它也适用于k=j.E（Zτ[M，N]j | Fj）=NNXi=1Z[i]τ[i，M，N]j=NNXi=1Z[i]j{Z[i]j≥a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}+Z[i]τ[i，M，N]j+1{Z[i]j<a[M，N]j·L[M]（X[i]j）}andE（Z[M，N]τj- Zτj | Fj）={Zj- E（Zτj+1 | Fj）}（1{Zj≥a[M，N]j·L[M]（Xj）}- 1{Zj>E（Zτj+1 | Fj）}）+E（Zτ[M，N]j+1- Zτj+1 | Fj）1{Zj<a[M，N]j·L[M]（Xj）}。RHS中的第二项通过归纳收敛到零。接下来，观察| B[M]j |=|（Zj- E（Zτj+1 | Fj））（1{Zj≥a[M，N]j·L[M]（Xj）}- 1{Zj>E（Zτj+1 | Fj）}）|≤ |Zj公司- E（Zτj+1 | Fj）| 1{| Zj-E（Zτj+1 | Fj）|≤|a[M，N]j·L[M]（Xj）-E（Zτj+1 | Fj）|}≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- E（Zτj+1 | Fj）|≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。根据投影Pj（·）的定义，P【M】j（E（Zτ【M】j+1 | Fj））=a【M】j·L【M】（Xj）。因此，可以写| B[M]j |≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- a[M]j·L[M]（Xj）+P[M]j（E（Zτ[M]j+1 | Fj））- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。作为N→ ∞, 根据定理7，R.H.S.中的第一项收敛为零。第二项是定理7中的零，因为这些Mbasis函数跨越L{σ（Xj）}|B【M】j |≤ |a[M，N]j·L[M]（Xj）- a[M]j·L[M]（Xj）+P[M]j（E（Zτ[M]j+1 | Fj））- P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））|+| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|。作为N→ ∞, R.H.S.中的第一项收敛为零，因为定理7适用于任何一项。根据定理7，第二项为零，因为这些Mbasis函数跨越L（σ（Xj））。为了证明第二项的收敛性，必须证明E（Zτ[M]j+1 | Fj）- E（Zτj+1 | Fj）=E（Zτ[M]j+1 | Fj）- E（Zτ[M]j+1 | Fj）=（aj）S\\S（λ）·（L（Xj））S\\S（λ）→ 0.（i）证明U*是的。s→ Uj，仍需证明为N→ ∞,P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）→ 0.（ii）证明U[M，N]ja。s→ Uj，仍需证明为N→ ∞,|P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|→ 0，|（aj）S\\S（λ）·（L（Xj））S\\S（λ）|→ 根据条件（A1），E（Zτj+1 | Fj）=aj，1·L（Xj）+。

. + aj，k·Lk（Xj）=（aj）S·L（Xj）S、 对于（i），P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））=（aj）S[M]·L（Xj）S[米]。回想一下S S[米]。对于k∈ S S【M】，a【M】j，k=aj，k6=0。对于k∈ Sc \\（S[M]）c，a[M]j，k=aj，k6=0。因此（aj）S·L（Xj）S=（aj）S[米]·L（Xj）S【M】和P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）对于（ii），P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））=（aj）S（λ）·L（Xj）S（λ）。有M个基函数是从带有惩罚λ的LASSO的Mbasis函数的初始回归中选择的，其中M≤ M、 定义相关={k：| a[M]j，k |>λ（j）supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2} 然后通过引理5，s相关 S（λ） S S[米]。对于k∈ S（λ） S、 a【M】j，k=aj，k6=0。对于k∈ S \\（S（λ）），a[M]j，k=0，aj，k6=0，其中S \\（S（λ）） S\\S相关={k:0<a[M]j，k<λ（j）supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2}.由此得出| P[M]j（E（Zτj+1 | Fj））- E（Zτj+1 | Fj）|=（aj）S\\S（λ）·L（Xj）S\\S（λ）≤ λ（j）（supkuSk∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2)Xk公司∈S\\S（λ）Lk（Xj）→ 0作为N→ ∞自λ（j）supkuSk起∞≤1k∑（j）-11.1（S）uSk∞/2.→ 0作为N→ ∞. 剩余期限| Pk∈S\\S（λ）Lk（Xj）|<Pk∈S\\S（λ）| Lk（Xj）|<∞ 因为| S |=S<∞, |Xj |<∞, |Lk（Xj）|<∞ 对于所有k∈ S、 A.3定理3的证明定理3的证明。我们首先重写VaR[M，N]j，VaR[M]jasPr{U[M，N]j>VaR[M，N]j}=Pr{U[M]j>VaR[M]j}=α。其中α是确定性已知常数。根据定理1，U[M，N]ta。s→ U[M]塔斯N→ ∞. 分别表示U[M，N]和U[M]tas gN（U）和g（U）的pdf，然后是zvar[M，N]j-∞gN（u）du=ZVaR【M】j-∞g（u）du=α。0=ZVaR【M】j-∞gN（u）du-ZVaR[M]j-∞g（u）du+ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du=Gn（VaR[M]j）- G（VaR[M]j）+ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du，其中GN（u），G（u）是u[M，N]t，u[M]t的cdf，即u[M，N]ta。s→ 我们有时间→ U[M]t，GN（VaR[M]j）→G（VaR[M]j），| RVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du |→ 我们通过矛盾来完成证明。假设VaR[M，N]j9 VaR[M]j，然后N∈ N+，> 0，st | VaR[M，N]j- VaR[M]j |>.

由于VaR[M，N]jis分布的支撑集很紧，因此存在u∈ [最小值（VaR[M，N]j，VaR[M]j），最大值（VaR[M，N]j，VaR[M]j）]，使得gN（u）>0。如果U[M，N]是离散的，ZVaR[M，N]jVaR[M]jgn（u）du=GN（VaR【M】j）- G（VaR[M]j）> 0，矛盾。如果U[M，N]是连续的，*> 0, u∈ （u）- *, u+*) ∩ 最大值（VaR[M，N]j，VaR[M]j）]，gN（u）>u*> 0,ZVaR[M，N]jVaR[M]jgN（u）du> u*最小值（2*, ) > 0，矛盾。因此，假设VaR[M，N]j9 VaR[M]jis不正确，在这种情况下，VaR[M，N]j→ VaR[M]jas N→ ∞.A、 4定理的证明4为了证明这个定理，我们首先介绍以下引理及其证明。引理6。设αN=Pr{U-U[M，N]t<-VaR[M]t}，α*N=Pr{U-U*[M，N]t<-VaR[M]t}。假设定理1（ii）中的条件满足，且条件（A6）适用于W和W*分别为αN- α = - g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.,α*N- α=ddvg（v）O明尼苏达州+ g（v）oN-1.,其中φ表示相容条件中定义的相容常数。引理6的证明。利用泰勒展开，我们可以写出αN- α=ZIRZvv+w/√NgN（u，w）dudw=-ZIRw公司√NgN（v，w）dw+ZIRw2NvgN（v，w）dw+ON3/2.第一个术语可以写成ZIRw√NgN（v，w）dw=g（v）√NE（W | U[M]t=v）=g（v）E（E“N-1NXi=1（a【M，N】t- a[M，N]t）·L[M]（Xt）| U[M]t=v，Xt#）+g（v）E（E”N-1NXi=1（￠a【M，N】t- a[M]t）·L[M]（Xt）| U[M]t=v，Xt#）=g（v）或log MN！+oN-1..最后一个等式来自于B¨uhlmann和van de Geer（2011）中的定理7.7和定理1。关于第二学期，我们可以写，2NZIRwugN（v，w）dw=2Nddvg（v）EnE（w | Xt）| U[M]t=vo=ddvg（v）Oslog MNφ.因此αN- α=g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1..同样，我们有α*N- α=ddvg（v）O明尼苏达州- g（v）oN-1..定理4的证明。根据条件（A5），U[M]是连续的。

因此，infx∈IRnPr{U- U[M]t<-x} <αo=nx∈ IR；Pr{U- U[M]t<-x} =αo。与Gordy和Juneja（2010）中（28）的证明类似，我们将泰勒展开应用于以下等式中的Pr{U[M，N]t>v}，α=Pr{U[M，N]t>v}- （五）- v） gN（v）-（五）- v） gN（~v）+ON-1.,其中v是v和v之间的适当值。根据条件（A5），gN（u）对所有v一致有界。根据定理6，Pr{u[M，N]t>v}=Pr{u[M]t>v}- g（v）Osslog MNφ+ddvg（v）Oslog MNφ+ ON3/2= α - g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ ON3/2.因此，我们有- v=gN（v）“g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.#.为了推导gN（v）和g（v）之间的关系，我们观察到gN（v）- g（v）=ZIRgN（v-w√N、 w）- gN（v，w）dw=ZIR-√NwgN（▄v，w）dw=g（▄v）Osslog MNφ！，其中，v位于v之间- w/√N和v.v- v=“g（v）- g（▄v）g（v）g（v）Osslog MNφ#×\"-g（v）Osslog MNφ！-ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1.#= Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ+ oN-1..同样，我们可以证明v*- v=g（v）ddvg（v）O明尼苏达州+ oN-1..如果N=oMφslog M+2M+slog Mφ,Osslog MNφ+g（v）g（v）g（v）-g（v）ddvg（v）Oslog MNφ= og（v）ddvg（v）O明尼苏达州.因此，预期结果如下。附录B：数值研究详情本节包含第3节中讨论的数值研究详情，包括数据、基础模型及其校准参数。B1、第3.1节中彩虹期权的设置为了利用现有的封闭式定价解决方案得出基准，我们假设标的股票价格遵循Black-Scholes模型，其中无风险利率r、各标的股票的波动性以及不同标的股票之间的相关性从T到T保持不变。定义ρij为第i个和第j个标的股票之间的相关性，σij=σi+σj- 2ρijσiσjas为协方差。定义ρiij=σi- ρijσjσijρijk=σi- ρijσiσj- ρikσiσk+ρjkσjσkσijσikd（S，k，σ）=log（Ke-rT/S）- σT/2σ√Td（S，K，σ）=d+σ√T，其中i，j，k=1。。。，10

与Johnson（1987）给出的“最小买入”彩虹期权的闭式解类似，任何给定时间的期权价格t∈ [0，T]可写入asct=100S1tS1,0Nnd（S1tS1,0，K，σ），-d（S1tS1,0，S2tS2,0，σ）。。。，-d（S1tS1,0，SntSn，0，σ1n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ 100S2tS2,0Nnd（S2tS2,0，K，σ），-d（S2tS2,0，S1tS1,0，σ。。。，-d（S2tS2,0，SntSn，0，σ2n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ ···+ 100SntSn，0Nnd（SntSn，0，K，σn），-d（SntSn，0，S1tS1,0，σ1n）。。。，-d（SntSn，0，Sn-1，tSn-1,0，σn-1，n），-ρn1n，-ρn2n。。。，ρn12，…）- 100Ke-r（T-t） Nn型d（S1tS1,0，K，σ），d（S2tS2,0，K，σ）。。。，d（SntSn，0，K，σn），ρ，ρ。。。,其中，n=10，Nn（·）是n维标准正态分布的累积分布函数。因此，Tcan的期权价格将降低至toc=100Nnd（1，K，σ），-d（1，1，σ）。。。，-d（1，1，σ1n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ 100Nnd（1，K，σ），-d（1，1，σ。。。，-d（1，1，σ2n），-ρ, -ρ, ..., ρ, ...+ ···+ 100Nnd（1，K，σn），-d（1，1，σ1n）。。。，-d（1，1，σn-1，n），-ρn1n，-ρn2n。。。，ρn12，…）- 100Ke-rTNn公司d（1，K，σ），d（1，K，σ）。。。，d（1，K，σn），ρ，ρ。。。.标的股票的动力学参数包括无风险利率r、波动率σi、漂移ui、当前价格Si0以及不同股票之间的相关性ρij，其中i，j=1。。。，（十）根据对市场常见交易股票的观察，合理选择。假设Black-Scholes为基础模型，模拟500个每日历史基础股票价格。我们将波动率σ、σ以及S、S之间的相关性设置为相对较大的值，以便在回归中，沙子呈现出显著的变量。起始历史价格Si，-1，日漂移ui和波动率σi如表6所示，而相关矩阵如表7所示。

数值结果见第3.1节。表6：基础模型中的参数i，-1uiσi80.38723 1.1015E-06 0.008526342.70244 1.5939E-06 0.009309367.57745 3.4755E-06 0.002476385.70454 3.8621E-05 0.002164658.11831 8.6745E-05 0.004294232.29635 7.4338E-05 0.002560157.28909 9 9 9 9.0098E-05 0.004442468.65604 1.1443E-05 0.001032686.43502 7.7736E-05 0.001612881.60649 1.2489E-05 0.0013172表7：相关矩阵中的参数SSSSSSSSSSSSSS1.00000 0.55000 0.29311 0.28272 0.236810.33050 0.34773 0.39159 0.29665 0.23986S0.55000 1.00000 0.28613 0.27540 0.37854 0.38001 0.25678 0.32052 0.26683 0.28365S0.29311 0.25510 1.00000 0.31191 0.39619 0.32266 0.27440 0.26772 0.39976 0.28598S0.28613 0.33050 0.27440 1.25510 0.23745 0.22811 0.25273 0.22504 0.35783S0.28273 0.38001 0.22811 0.25273 1.00000 0.24183 0.25727 0.29702 0.30817 0.33151S0.27540 0.32266 0.25727 0.29702 0.399761.00000 0.25681 0.21482 0.32993 0.20017S0.31191 0.23745 0.25681 0.21482 0.22504 0.21862 1.00000 0.28263 0.29389 0.24210S0.23681 0.24183 0.39159 0.28263 0.30817 0.23986 0.35783 1.00000 0.21862 0.23128S0.37854 0.34773 0.32052 0.29665 0.32993 0.28365 0.33151 0.24210 1.00000.37021S0.39619 0.25678 0.26772 0.26683 0.29389 0.28598 0.20017 0.23128 0.37021 1.00000B2。第3.2节和第3.3节中彩虹期权的设置我们的公式遵循Brigo和Mercurio（2007）[第6.3.1节]假设正向利率的对数正态分布。Qiare下的远期利率动态Li（t），分别为i<j，t≤ Ti:dLj（t）=σj（t）Lj（t）jXk=i+1ρkjδkσk（t）Lk（t）1+δkLk（t）dt+σj（t）Lj（t）dZj（t）i=j，t≤ Ti公司-1： dLj（t）=σj（t）Lj（t）dZj（t）i>j，t≤ Tj公司-1： dLj（t）=-σj（t）Lj（t）jXk=i+1ρkjδkσk（t）Lk（t）1+δkLk（t）dt+σj（t）Lj（t）dZj（t），其中Z是一个布朗运动，在不同远期利率的测度Qi，Zi，Zjare布朗运动下，其与Lj（t）的瞬时相关性为ρ=（ρij）i，j=1,2，。。。。

与在时间Ti到期的零息票债券相关的度量由Qi表示。注意，如果σj（·）有界，则方程（9）中的所有方程都允许唯一强解。为了充分说明LFM中的远期利率动态，必须确定瞬时波动率和相关函数。广泛采用时间齐次函数来参数化瞬时挥发率和相关性。这里的术语“时间同质”表示功能是时间依赖的，时间依赖性与达到基础掉期到期的剩余时间有关。在我们的例子中，我们使用了一种最常用的参数形式，即σi（t）=ψiν（Ti-1.- t、 γ）=ψi[{（Ti）-1.- t） γ+γ}e-（Ti-1.-t） γ+γ]，其中γ=（γ，γ，γ，γ）是一个参数集，ψII是一个修正参数，它使波动率更接近市场数据。该函数具有“驼峰”形状，可以用经济学知识进行描述性解释。对于瞬时相关性ρ，Joshi（2003）和Rebonato（2002）中建议的参数化形式为ρij=e-β| i-j |。（9） 为了校准瞬时波动率和相关性中的参数，我们将市场数据作为初始年远期利率的输入L=[L（T，T，T），L（T，T），…，L（T，T，T）]，以及年度ATM caplet波动率σcaplet=[σcaplet，…，σcaplet]，其中σcaplet代表年度caplet在第i年重置并在（i+1）年支付的波动率。i=1，2，···，20。递归校准算法首先通过适当的猜测初始化γ、β。

用γ，β，我们可以估计ψifor i=1。。。，20，以便通过σcapleti=Ti匹配共同终端小股的市场波动性-1eψiZ∞ν（Ti-1.- s、 γ）ds=Ti-1eψi我-1Xs=0（（Ti-1.- Ts）γ1,0+γ2,0）e-（Ti-1.-Ts）γ3,0+γ4,0.给定thoseeψi，重新估计γ，βbyarg minγ，β|σi- ^σi（β，γ；eψ）|，（10），其中σi是i NCα交换期权的黑色波动率，σi（β，γ；eψ）是Rebonto（2002）采用的模型波动率。相应的公式近似于对数正态远期伦敦银行同业拆借利率模型掉期期权波动率，即σi（0）=iXj，k=3wj（0）wk（0）Lj（0）Lk（0）ρjkS2，i（0）Xs=0σj（Ts）σk（Ts），i≥ 3，其中wj（0）=δjL（0，T，Tj）Pik=3δkL（0，T，Tk），S2，i（0）是i NC 2交换选项的ATM交换率。用公式（9）和（9）中的函数形式代替瞬时波动率和相关性，σi（0）可以表示为参数γ、β、ψ的函数。通过解决公式（10）中的极小化问题，可以重新估计γ，β，然后迭代地重新估计ψ。当达到收敛或最大迭代次数时，迭代过程停止。我们对ψ的校准进行了限制，使得1- 0.1≤ ψi≤ 1+0.1表示所有i。该约束要求所有ψito都接近1，以便及时捕获术语结构的定性行为。由于分段恒常消费的典型不稳定行为可以通过线性/指数函数加以改善，因此构建瞬时波动率和相关性的函数形式，以生成所有瞬时波动率的期限结构的平滑形状。数值结果见第3.2节。参考Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.和Heath，D.（1999），“一致的风险度量”，数学金融，9203-28。Bauer，D.，Reuss，A.，和Singer，D。

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