APT的风险中性定价

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收藏 2022-06-14

英文标题：
《Risk-neutral pricing for APT》
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作者：
Laurence Carassus and Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
We consider infinite dimensional optimization problems motivated by the financial model called Arbitrage Pricing Theory. Using probabilistic and functional analytic tools, we provide a dual characterization of the super-replication cost. Then, we show the existence of optimal strategies for investors maximizing their expected utility and the convergence of their reservation prices to the super-replication cost as their risk-aversion tends to infinity.
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中文摘要：
我们考虑由金融模型套利定价理论驱动的无限维优化问题。使用概率和功能分析工具，我们提供了超级复制成本的双重特征。然后，我们证明了当投资者的风险厌恶趋于无穷大时，投资者期望效用最大化的最优策略的存在性以及他们的保留价格对超级复制成本的收敛性。
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分类信息：

一级分类：Economics 经济学
二级分类：General Economics 一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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何人来此

2022-6-14 13:50:12

Noname手稿编号（将由编辑插入）套利定价理论的风险中性定价Urence Carassus·Mikl’os R’asonyReceived：date/Accepted：date摘要我们考虑由称为套利定价理论的金融模型激发的有限维优化问题。使用概率和函数分析工具，我们提供了超级复制成本的双重特征。然后，我们证明了投资者最大化其预期效用的最优策略的存在性，以及当他们的风险厌恶趋于一致时，他们的保留价格与超级复制成本的收敛性。关键词有限维优化·套利定价理论·支持复制·预期效用·保留价格·lar ge marketsLaurence CarassusL’eonard de Vinci P^ole Universitaire，研究中心，92 916 Paris La D’efense，FranceandLMR，UMR 9008，Universit’e de Reims Champang Ardenne，Francelaurence。carassus@devinci.frMiklos R'asonyi，相应作者，布达佩斯R'enyi数学研究所，Hungaryrasonyi@renyi.hu2Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyimatomics Subject Classification（2010）91G10·93E20·91B161介绍了基于著名金融理论套利定价理论（APT）的有限维优化问题研究。我们首先揭示了与APT相关的经济和金融背景，并展示了它对金融数学和数学经济学界的重要性。然后，我们解释了我们对这一广泛研究领域的贡献及其数学方面。套利定价理论最初由Ross（见[1,2]）提出，后来由[3,4]和其他许多作者加以扩展。

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何人来此

2022-6-14 13:50:16

APT假设一个近似因子模型，并声明“大型”金融市场中的风险资产回报与一组称为因子的随机变量呈线性依赖关系，残差与因子不相关，也不相互关联。APT的一个可取的方面是，它可以进行经验测试，例如，在[5]中所述。这些结论对经验主义工作有很大的影响：例如参见[6]。APT理论方面的论文主要集中于表明，当存在“足够多”的资产时，该模型在一系列经济中是一个很好的近似（例如，见[1,3,4]）。Ross在假设不存在渐近无成本和无风险的有限投资组合序列不能在极限内产生正回报的情况下，推导了APT定价公式。MatheRisk Neutral Pricing for Arbigate Pricing Theory 3随后，在所谓的大型金融市场理论中，MatheRisk Neutral Pricing for Arbigate Pricing Theory 3 Material Finance提出了一个市场涉及一系列资产数量不断增加的市场的想法（见其他文献[7-10]）。作者主要研究了无套利渐近概念的特征，使用涉及大量资产的投资组合序列，其中经典的无套利不成立，即零成本的非负投资组合应具有零回报。出于一般性考虑，绝大多数相关文献都假设连续交易。但这些概括在某种程度上掩盖了[1]中提出的高度独创性的想法，他认为这是一个单步模型。

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何人来此

2022-6-14 13:50:19

他们也没有回答以下自然问题：在APT中，有没有一种方法可以考虑可能涉及所有固定资产的策略，并排除对这些资产的精确套利，而不是只考虑套利的渐近概念？在测量理论设置中，第一个答案在【11】中给出。然后，[12,13]提出了使用大量资产的por tfolios的直截了当的概念，我们也将在本文中使用这一概念：见下文第2节。这个概念导致了等价风险中性（或鞅）概率测度的存在。虽然经济学和金融数学界已经对APT的套利问题进行了广泛的研究，但其他关键话题——如效用最大化或定价——几乎没有受到关注，尽管这些是当今市场上的重要问题，因为市场上有大量的可用集。这一点在信贷市场尤其明显，在信贷市场中，各种到期日和发行人的债券确实构成了一个可能是最大的实体4 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiv被视为一个大型金融市场（见[14]）。定价问题不可避免，APT的现有文献并没有提供令人满意的答案。标准问题是计算索赔G的超级复制成本。它是代理销售G以通过市场交易实现超级复制所需的最低金额。这是无风险的套期保值价格，据我们所知，这是在[15]交易成本的背景下首次引入的。在拥有众多资产的完整市场中，超级复制成本（superreplicationcost）只是根据独特的定价方法计算的现金流预期值。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:21

当此类市场不完全时，就根据每个风险中性概率测度计算的预期的上限而言，存在所谓的双重表示，见【16】和【17】中的参考文献。我们的首要贡献就是在温和条件下APT的表示定理（见定理4.1）。该方法基于函数分析技术，如马辛凯维奇-齐格蒙德不等式或巴拿赫-萨克斯性质。引理3.3中证明的一致可积性以及对偶方法（使用风险中性概率）允许在APT的上下文中首次证明在可能扔掉金钱后可达到的最终支付函数集的概率闭包（见命题3.1和推论3.1）。我们还证明了aso中无套利条件的一个特征，称为“定量”形式（见命题3.2），这在本文的其余部分将是至关重要的。我们提到了[18]，在持续的时间性大型金融市场的大背景下，已经考虑到了偶然性目标的过度增长。然而，这篇论文依赖于套利定价理论5组合的广义风险中性定价的概念，与我们在这里使用的直接投资组合概念不同，它没有一个自然的解释。接下来，我们考虑偏好冯·诺伊曼·摩根·斯特恩（von NeumannMorgenstern ty pe）（见[19]）的经济代理人，即。，它们由凹增量函数表示。在我们的APT框架中，我们能够证明正实轴上此类效用函数的优化器的存在性（见定理5.1）。这些结果是许多资产的标准（见参考文献[17]），但在目前的情况下，我们面临的是有限维投资组合。在APT的设置中，我们提到了[20]，它依赖于广义Portfolios的概念。

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何人来此

2022-6-14 13:50:30

[12,13]中考虑了实线上定义的效用函数（即承认损失）（我们在下面的备注3.2中揭示了这两份文件与我们的文件之间的差异）。我们的定量无套利特征允许证明可容许策略集上的一个关键有界条件（见引理3.4）和最优解的存在性。最后，我们确定，当风险规避趋于一致时，效用差异（或保留）价格（见[21]）趋于超级复制价格。这就很好地将投资者的价格计算与超边际的无偏好成本联系起来（见定理6.1）。它还允许使用更便宜、基于参考的价格，而不是可能过于繁重的辅助复制价格。第2节介绍了该模型。第3节讨论了无套利的概念。第4节给出了超级复制价格的双重特征，第5节讨论了效用最大化问题。第6节和第7节对高风险补偿制度中的保留价格的asymp6 Laurence Carassus，Mikl’os R’asonytics进行了调查。2大型市场模型(Ohm, F、 P）是概率空间。我们主张一步到位的经济，其中包含可交易资产的数量。资产一的价格∈ N由（Sit）{t给出∈{0,1}}. 返回值Ri，i∈ N表示今天投资一美元价值的资产i所产生的收益（或损失），即Ri=Si/Si- 1、我们在下面简要描述了套利定价模型的版本，与[8,12,13,22]的版本相同，这是[1,3]中所述模型的特例。资产净值0表示无风险投资，为简单起见，我们假设回报率为零，即。，R=0。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:33

我们假设其他资产的收益由i给出：=ui+’βiεi，1≤ 我≤ m；Ri：=ui+mXj=1βjiεj+(R)βiεi，i>m，其中εi是随机变量，ui，βji，βi是常数。随机变量εi，1≤ 我≤ m作为影响所有资产i回报的因素≥ 1，而εi，i>m是特定于单个资产Ri，i>m的随机源。假设1εi是平方可积的独立随机变量，表示E（εi）=0和Eεi= 1对于所有i≥ 1、假设βi6=0，i≥ 1、我们使用BI对模型进行重新建模：=-ui′βi，1≤ 我≤ m；bi：=-ui′βi+mXj=1ujβji′βj′βi，i>mRisk中立定价套利定价理论7，集b：=（bi）i≥1、资产收益率则取m的以下值：Ri=(R)βi（εi- bi），1≤ 我≤ m；Ri=mXj=1βji（εj- bj）+βi（εi- bi），对于某些n，i>m∈ N、资产0，…，中的por tfolioφ，n是任意序列（φi）0≤我≤nof实数满足Pni=0φiSi=x，其中x是给定的初始财富。当S=S时，一个投资组合明天的价值将由vx给出，φn：=nXi=0φiSi=x+nXi=1φiSiRi=x+nXi=1hi（εi- bi）=：Vx，hn，对于某些（h，…，hn）∈ Rn，使用我们的参数化。Jx给出了使用大量资产可以实现的未来价值：=∪n≥1.Vx，hn：（h，…，hn）∈ 注册护士. 由于JX在任何合理的意义上都无法关闭，因此我们考虑可以在很多资产中使用的策略。从经济角度来看，这是可取的（见[11]）。LetΦ：l:=（（hi）i≥1:∞Xi=1hi<∞)→ L（P）：={X：Ohm → R、 E | X |<∞}x 7→ Φ（h）：=∞Xi=1hiεi。回想一下，空间lL（P）是具有相应tivnorm | | h的Hilbert空间||l:=聚丙烯∞i=1hiand | | X | | L（P）：=pE（| X |）。Φ（h）的有限和必须理解为（Pni=1hiεi）n的L（P）极限≥1，这是柯西序列。的确，让h∈ l, 在假设1下，对于p>n，EpXi=1hiεi-nXi=1hiεi！=pXi=n+1hi≤∞Xi=n+1hi，当n足够大时，它可以任意小。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:36

实际上，在假设1下，Φ是等距的，即Φ（h）| L（P）=P∞i=1hi=khkl. 我们希望Laurence Carassus、Mikl’os R’asonyito对投资组合价值Vx，h：=x+P给出意义（作为有限金额序列的L（P）极限）∞i=1hi（εi- bi）。从那时起pXi=1hi（εi- bi）-nXi=1hi（εi- bi）！=pXi=n+1hi+pXi=n+1hibi，（1）我们需要以下假设。假设2我们有b∈ l.然后，（1）表明（Pni=1hi（εi-bi））n≥1是L（P）和Vx中的Cauchy序列，his定义明确。此外，请注意∞Xi=1hi（εi- bi）！=∞Xi=1hi+∞Xi=1hibi≤ （1+kbkl)khk公司l< ∞. （2）从现在起，我们将使用符号hh，ε- bi：=P∞i=1hi（εi- bi）。在假设1和假设2下，未来的投资组合价值可以通过使用具有以下战略的大量资产来实现l因此由kx给出：={Vx，h:h∈ l} = {x+hh，ε- bi:h∈ l}.3无套利在大Marke-tsIn套利定价理论中，套利的经典notio n是[1]和[3]意义上的渐近套利。定义3.1如果存在策略序列（h（n））n，则存在渐近套利≥1，h（n）=（h（n）i）1≤我≤n、这样E（Vx，h（n）n）-→n→+∞∞ 和Var（Vx，h（n）n）-→n→+∞如果不存在这样的序列，那么我们就说不存在渐近性RBITRAGE（AAA）。套利定价理论的风险中性定价9我们想理解AAA与无套利的经典定义之间的联系，如下一定义所述。定义3.2“小市场”上的无套利条件，对于某些N≥ 如果P为1，则1为真PNi=1hi（εi- bi）≥ 0= 1表示（h，…，hN）∈ RN表示h=…=hN=0。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:40

这称为AOA（N）。我们证明，在以下假设下，在任何包含N个资产的小型市场（se e引理3.1）和大型市场（见引理3.2）中都不存在套利。假设3适用于所有i≥ 1，P（εi>bi）>0，P（εi<bi）>0。引理3.1在假设1下，假设3表示anyN的AOA（N）≥ 此外，AOA（N）暗示了所谓的“定量”无套利条件：存在一些αN∈]0，1[，对于每（h，…，hN）∈ RNsatisfyingPNi=1hi=1，PPNi=1hi（εi- bi）<-αN> αN.证明修复某些N≥ 1和let（h，…，hN）∈ Rn使Pni=1hi（εi-bi）≥ 0a。s、我们自相矛盾地前进。假设IN：={i∈ {1，…，N}，hi6=0}6= . 设Bi：={hi（εi- bi）<0}。然后，Ti∈INBi公司nPNi=1hi（εi- bi）<0度。作为（εi）i≥1独立于i∈ IN，P（Bi）≥ 最小{P（{εi- bi<0}），P（{εi- bi>0}>0，我们得到PTi公司∈INBi公司=气∈INP（Bi）>0，矛盾。最后一个结果的概率是标准的（参见示例[23]），因此省略了。众所周知，在具有完全多个集合的市场中，套利的abs e nc e等价于等价鞅测度的存在，参见10 Laurence Carassus、Mikl’os R’asonyi【24】和【17】中的参考文献。在当前具有无穷多个集合的情况下，我们需要考虑具有单位秒矩的等价鞅测度。LetM：=Q~ P：dQ/dP∈ L（P），等式（εi）=bi，i≥ 1..备注3.1如果Q∈ 如果假设1和2成立，则∈ l, 均衡器V0，小时= 这是Cauchy-Schwar z不等式，另见引理3.4 of【13】。不幸的是，目前还不知道第1、2和3项是否足以确保M6= （见[22]第4条）。所以我们还假设如下。假设4我们有supi≥1E级|εi|< ∞.备注3.2我们评论了与[12,13,22]的主要差异。首先，我们使用[22]来表示M6=. 这正好符合假设4。

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mingdashike22

2022-6-14 13:50:43

在[13]中，两个条件都为NFI≥1P（εi>x）>0和infi≥1P（εi<-x） >0表示所有x≥ 0，（3）supi∈氖εi{|εi|≥N}→ 0，N→ ∞, （4）都是假设的。证明了集合Kxis在概率上是闭合的，对于凹的、非递减的效用函数U:R→ R存在优化器。在[12]中，相当严格的假设（3）排除了所有εi均为有界随机变量的情况，其代价是要求εi（4）具有更高的可积性。假设3与supi一起假设≥1E级eγ|εi|< ∞, 对于某些γ>0。套利定价理论11的强矩风险中性定价条件在APT问题中并不适用，在本文中，我们设法使用较弱的假设4。此外，我们将能够证明Cx：=Kx- L+（P）在概率上是闭合的。[22]的推论1表明，在假设1、3和4下，AAA<==> 假设2<==> M6=. （5）根据（5），我们可以证明，AAA意味着经典的无套利条件，其中包含大量资产。引理3.2假设假设假设1、3、4和AAA都成立。然后，hh，ε- bi公司≥ 部分h为0 a.s∈ l意味着hh，ε- bi=0 a.s.Proof Let h∈ l假设hh，ε- bi公司≥ 0、修复一些Q∈ Mgiven by（5），然后EQ（hh，ε- bi）=0（见备注3.1）。因此hh，ε- bi=0 Q-a.s.和P-a.s.，因为P和Q是等效的。下面的引理对于证明Cx的闭包性质至关重要（见推论3.1）。引理3.3假设假设1和2成立，并假设对于某些γ≥ 2，那个supi≥1E |εi |γ<∞. 那么，有一个常数Cγ，对于所有h∈ lE | hh，ε- bi |γ≤ Cγkhkγl1+kbkγl.此外，如果γ=3，对于任何c>0，{| Vx，h |：h∈ l, khk公司l≤ c} 还有{| Vx，h |：h∈ l, khk公司l≤ c} 一致可积。12 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiProof Let h（n）：=（h，…，hn，0，0，…）和b（n）：=（b，…，bn，0，0。

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可人4

2022-6-14 13:50:48

.), forn公司≥ 1、E | hh（n），ε-bi |γ=EnXi=1hi（εi- bi）γ≤ 2γ-1E级nXi=1hiεiγ+2γ-1E级nXi=1hibiγ.Marcinkiewicz-Zygmund和三角形不等式意味着某些'C>0EnXi=1hiεiγ≤(R)CEnXi=1hiεi！γ/2=\'\'CnXi=1hiεiγ/2Lγ/2（P）≤\'CnXi=1 | hi | kεikLγ（P）！γ/2≤(R)Csupi≥1kεikLγ（P）nXi=1 | hi |！γ/2≤\'\'C supi≥1E |εi |γkh（n）kγl.因此，E | hh（n），ε- bi |γ≤ Cγkh（n）kγl1+kb（n）kγlFatou引理完成了证明。对于所有x≥ 0，时间1时可获得的财富集，允许扔掉金钱，为Cx：=Kx- L+（P）。命题3.1假设1、2、3和4成立。修正一些z∈ 兰德let B∈ L（P）使得B/∈ 捷克。然后，存在一些η>0，使得∈lP（z+hh，ε- bi<B- η) > η. （6）证明假设（6）不是真的。那么，对于所有n≥ 1，存在一些h（n）∈ l使P（Vn<B-n）≤n、其中，我们引入了以下符号：Vn：=z+hh（n），ε- bi。设Gn：={Vn≥ B-n} a和setκn：=越南- （B）-n）Gn。那么，P|越南- κn- B |>n= P(Ohm \\ Gn）≤因此，nand（Vn- κn）n≥1可能性接近B。首先，我们声称supn | | h（n）||l< ∞. Else，supn | | h（n）||l= ∞. 因此，提取子序列（我们继续用n表示），我们可以和套利定价理论的风险中性定价13将假定| | h（n）||l→ ∞, n→ ∞. 设hi（n）：=hi（n）/| | h（n）||l对于所有n，i.显然，~h（n）∈ l带| | h（n）||l= 1、那么，Wn：=V0，~h（n）-κn | | h（n）||l→ 0 a.s.，n→ ∞.让Q∈ M（不为空：见（5））。我们声称EQ（Wn）→ 0.Bythe Cauchy-Schwarz不等式，| EQ（Wn）|≤qE（dQ/dP）pE（Wn）和itremains证明了Wn，n的一致可积性∈ N在P下|Wn |=| B- z- n-1 | | | h（n）||lGn+| V0，~h（n）|Ohm\\Gn公司≤|B |+| z |+n-2 | | h（n）||l+ |V0，~h（n）|≤ c | B |+| V0，| h（n）|，对于足够大的n，一些常数c。使用假设4和L e mma 3.3，| V0，| h（n）|，n∈ N表示kh（N）kl≤ 1在P下是一致可积的。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:51

当Bis也可积分时，我们得到等式（Wn）为0。当方程qv0时，h（n）=0（见备注3.1），我们推断κn/| h（n）||l在L（Q）和Q-a.s.（沿子序列）中变为零，并且，由于Q是等效的toP，P-a.s。这意味着V0，~h（n）变为0 P-a.s.，在L（P）中也变为0 P-a.s.（重新调用族| V0，~h（n）|，n≥ kh（n）k为1l≤ 1是一致可积的）。但这是荒谬的，因为使用等距性质（见（2）），我们得到了thatkV0，~h（n）kL=k ~h（n）kl+P∞i=1h（n）ibi≥ 1代表所有n≥ 1、这一矛盾表明，必须支持h（n）||l< ∞.我们得出结论，supn | | h（n）||l< ∞. 自从l具有Banach-Saksproperty，存在子序列（nk）k≥1和一些h*∈ l, 使BH（N）：=NNXk=1h（nk），bh（N）- h类*l→ 0，N→ ∞.14 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiHence，使用（2），EVz，bh（N）- Vz，h*≤ （1+kbkl)kbh（N）- h类*kl, 以N结尾为零→ ∞. So Vz，bh（N）→ Vz，h*a、美国也是如此。然后，Vz，bh（N）-NNXk=1κnk=NNXk=1Vz，h（nk）- κnk→ B、 N个→ ∞,在概率方面，以及a.s。，对于一个子序列，我们保持相同的位置。因此，NPNk=1κNK将a.s.和B∈ Cz，矛盾。推论3.1假设1、2、3和4成立，并确定一些z∈ R、然后，CZ在概率上是闭合的。证明假设CZ在概率上不是封闭的。然后，我们可以找到一些h（n）∈ l和κn∈ L+（P）使得θn：=z+hh（n），ε-bi公司-κn∈ Czconvergesin概率到某θ*/∈ 捷克。然后，对于任何η>0，infh∈lP（z+hh，ε- bi<θ*- η) ≤ P（z+hh（n），ε- bi公司- κn<θ*- η) → 0，当η变为零时。这与（6）相矛盾，表明Cz的密切关系。我们现在提供了无套利条件的定量版本（见假设3）。命题3.2让假设1、2、3和4成立。然后，存在α>0，因此对于所有h∈ l带k hkl= 1，P（hh，ε- b i<-α） >α保持不变。用矛盾来证明我们的论点。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:54

假设所有n≥ 1，有kh（n）k存在l= 1和P（hh（n），ε- bi<-1/n）≤ 1/n。很明显，hh（n），ε- bi公司-→ 0的概率为n→ ∞. 让Q∈ M（见（5））。我们声称等式（hh（n），ε- bi公司-) → 使用Cauchy-Schwarz不等式eq（hh（n），ε- bi公司-) ≤ kdQ/dP kL（P）Ehh（n），ε- bi公司-1/2，套利定价理论的风险中性定价15，它仍然显示hh（n），ε的一致可积性- bi公司-, n∈ N在P下。这遵循hh（n），ε的s- bi公司-≤ |V0，h（n）|，假设4和引理3.3。So等式（hh（n），ε- bi公司-) → 0，但由于等式（hh（n），ε- bi）=0，根据备注3.1，我们还可以得到E（hh（n），ε- 铋+）→ 0。可以得出等式（| hh（n），ε- bi |）→ 0，因此hh（n），ε- bi变为零Q-a.s.（沿子序列），当Q与P相等时，P-a.s。再次使用| hh（n），ε- bi |，n∈ N是uniformlyP可积的，我们得到E（| hh（N），ε- bi |）→ 但这与系数（| hh（n），ε）相矛盾- bi |）=kh（n）kl+P∞i=1hi（n）bi≥ 1（见（2））。下面的引理证明，在无套利条件下（见假设3），任何具有非负最终财富的策略都是有界的。引理3.4让假设1、2、3和4成立。让y∈ R和h∈ l使得y+hh，ε- bi公司≥ 0那么khkl≤ |y |/α，α见命题3.2。关于{hh，ε）的证明- bi<-α| | h||l}, 这是命题3.2 | y |的积极度量- α| | h||l> y+hh，ε- bi公司≥ 0和khkl≤ |y |/α如下。4 Superreplication价格表G∈ Lbe是一个随机变量，它将被解释为某些衍生证券在时间T的收益。超级复制价格π（G）是无风险对冲G所需的最小初始财富。对于所有x∈ R、 letA（G，x）：=h类∈ l: Vx，h≥ G a.s。和π（G）：=inf{z∈ R:A（G，z）6=},式中π（G）=+∞ 如果A（G，z）= 对于每个z。

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kedemingshi

2022-6-14 13:50:57

所谓的超级复制价格的双重表示（见下面的定理4.1）是指Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyover The different risk neutral al probability measures（不同的风险中性概率度量）的最高级16。有关这种偏好价格的更多详情，请参见【16】和教科书【17】。引理4.1假设1、2、3和4成立。那么，π（G）>-∞和A（G，π（G））6=.证明假设π（G）=-∞. 那么，对于所有n≥ 1、存在hn∈ l诸如此类-n+hhn，ε- bi公司≥ G a.s.因此，hhn，ε- bi公司≥ G+n≥ （G+n）∧ 1 a.s.由此得出（G+n）∧ 1.∈ C、这在概率上是封闭的（见推论3.1）。因此，1∈ C、即hh，ε- bi公司≥ 部分h为1 a.s∈ l, 这与SAAA（或假设2，见（5））相矛盾，见引理3.2。Soπ（G）>-∞.如果π（G）=+∞, 第二种说法微不足道。所以，求出π（G）<∞. 那么，对于所有n≥ 1、存在hn∈ l使得π（G）+1/n+hhn，ε- bi公司≥ G a.s.以下是G- π（G）- 1/n∈ C、因此，当Cis关闭时，G- π（G）∈ C我们现在可以证明我们的对偶结果了。定理4.1假设1、2、3和4为真，假设G∈ L（P）。那么，π（G）=supQ∈MEQ（克）。证明让s：=supQ∈MEQ（克）。设x存在h∈ l验证x+hh，ε- bi公司≥ G a.s.固定Q∈ M（见（5））。作为G∈ L（P），EQ（G）由C auchy-Schwarz不等式很好地定义。使用备注3.1，我们得到等式（x+hh，ε- bi）=x。因此，x≥ 等式（G）和π（G）≥ s紧随其后。对于其他不等式，证明G- s∈ C、实际上，这意味着存在h∈ l使得s+hh，ε- b、i≥ G a.s.，通过π（G）的定义，表明≥ π（G）。假设这不是真的。

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kedemingshi

2022-6-14 13:51:05

然后，{G- s}/∈ C∩ L（P）。套利定价理论的风险中性定价17由于Cis在概率上是封闭的（见推论3.1），我们可以应用经典的HahnBanach论证（见，例如，[17]）来发现一些Q∈ Msuch该等式（G）>s。备注4.1有人可能想知道，πn（G），Gin的超级复制价格是否是小市场的n Random s来源（εi）1≤我≤n、收敛到π（G），即G在大市场上的最高应用价格。答案通常是否定的：设εi，i∈ N为标准高斯随机变量，对于所有i，设bi=0∈ N和定义G：=P∞i=1i-1εi.不存在x，h，Hn，x+Pnj=1hjεj≥ G、因为这意味着Pnj=1（hj- j-1） εj-Pj公司≥n+1j-1εj≥ -x、其中，左侧是方差非零的高斯随机变量。由此得出πn（G）=∞ 当π（G）=0时，微不足道。5效用最大化我们遵循[19]的传统观点，通过一些凹形严格递增的可微分效用函数来模拟经济主体的偏好，用U表示：]0，∞[→ R、注意，我们将U扩展到[0，∞[按（右）-连续性（U（0）可能为-∞). 我们还设置U（x）=-∞ 对于x∈] - ∞, 0[.或有索赔∈ 土地x∈ R、我们定义Φ（U，G，x）：=h类∈ l, EU+（Vx，h- G） <+∞,一套策略，其中明确了预期。然后，我们设置a（U，G，x）：=Φ（U，G，x）∩ A（G，x）。注意，即使对于x≥ π（G），A（U，G，x）可能为空。事实上，从引理4.1，我们知道存在∈ A（G，x），但h可能不长到Φ（U，G，x）。但这在适当的假设下是正确的，正如下面的引理所证明的。18 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiLemma 5.1让假设1、2、3和4成立。假设G≥ 0a。s、对于某些x，U（x）=0，U′（x）=1≥ 0

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nandehutu2022

2022-6-14 13:51:08

那么，对于所有x，A（G，x）=A（U，G，x）∈ R、证明由于U是凹的，随着U（x）=0，U′（x）=1增加和可微分，我们可以通过其一阶泰勒近似将其约束在上面，对于所有x∈]0, ∞[，如下所示：U（x）≤ U（最大值（x，x））≤ U（x）+最大值（x- x、 0）U′（x）≤ |x个- x |≤ |x |，自x起≥ 如果x<π（G），则A（G，x）= A（G，x）=A（U，G，x）=.让x≥ π（G）。然后，通过引理4.1，A（G，x）6=. 让h∈ A（G，x）。然后，Vx，h≥ G≥ 0 a.s.和h∈ A（0，x）。设A：={x+hh，ε- bi公司≥ x} 。U+（x+hh，ε- bi公司- G）≤ U+（x+hh，ε- bi）1A+U+（x）1Ohm\\A=U（x+hh，ε- bi）1A≤ |x+<h，ε- b>|。（7）利用（2）、Cauchy-Schwarz不等式和引理3.4，我们得到了Eu+（x+hh，ε- bi公司- G）≤ |x |+pE（hh，ε- bi）≤ |x |+khklq1+kbkl≤ |x |+| x |αq1+kbkl< +∞. (8)现在，在交付索赔G时，我们确定了最终日期的预期效用上限，从初始财富x开始∈ R:u（G，x）：=suph∈A（U，G，x）EU（Vx，h- G），（9）其中u（G，x）=-∞, 如果A（U，G，x）=. 以下结果表明，我们正在考虑的投资者存在最优投资。套利定价理论的风险中性原则19定理5.1假设1、2、3和4成立。让G≥ 0和x∈ R如x所示≥ π（G）。然后，存在h*∈ A（U，G，x）使得U（G，x）=EU（Vx，h*- G）。证明如果U是常数，就没有什么可证明的。否则，存在x＞0，使得U′（x）＞0。将U替换为（U- U（x））/U′（x），我们可以并且将假设U（x）=0，U′（x）=1。注意π（G）≥ 0，作为G≥ 0 a。s、（见定理4.1）。让hn∈ A（G，x）=A（U，G，x）（见引理4.1和5.1）是一个序列，如tEU（Vx，hn- G）↑ u（G，x），n→ ∞.引理3.4，supn∈Nkhnk公司l≤ x/α<∞. 因此，作为l有Banach-SaksProperty，则存在子序列（nk）k≥1和一些h*∈ l使得对于▄hn：=nPnk=1hnk，k▄hn- h类*kl→ 0，n→ ∞. 请注意▄hn∈ A（G，x）和SUPN∈Nkhnkl≤ x/α<∞.

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kedemingshi

2022-6-14 13:51:12

使用（2），我们得到了- h类*, ε - bi公司≤ khn- h类*kl（1+kbkl) → 0，n→ ∞,尤其是hhn- h类*, ε - bi公司→ 0，n→ ∞ 在概率上。因此，我们还认为U（Vx，~hn- G）→ U（Vx，h*- G）在概率中，通过U在[0]上的连续性（0中的右连续性），∞[.我们还有（最多一个子序列）vx，~hn- G→ Vx，h*- G a.s.因此，h*∈ A（G，x）。现在，使用（7），我们得到了U+（Vx，~hn- G）≤ |Vx，hn |。假设4和引理3.3暗示{U+（Vx，~hn- G）：hn∈ l, khnk公司l≤ x/α}是一致可积且limn→∞EU+（Vx，hn- G）= EU+（Vx，h*- G）.20 Laurence Carassus，Mikl\'os R\'asonyiThen，E-U-（Vx，h*- G）≥ lim支持→∞E-U-（Vx，hn- G）, 由Fatou\'slemma提供。通过U的凹度，U（Vx，~hn- G） =UnnXk=1（Vx，hnk- G）哦！≥nnXk=1UVx，hnk- G,我们得到了EU（Vx，h*- G）≥ lim支持→∞EU（Vx，hn- G）≥ u（G，x）。证明自h起完成*∈ A（G，x）=A（U，G，x）（见引理5.1）。6保留价格与超级复制价格的趋同我们继续在模型中加入一系列代理。假设5假设Un：]0，∞[→ R、 n个∈ N是连续两次严格增加的凹函数序列，使得x个∈]0, ∞[rn（x）：=-U′n（x）U′n（x）→ ∞, n→ ∞.我们再次将它们扩展到[0，∞[按（rig ht）-连续性，并设置Un（x）=-∞对于x∈] - ∞, 0[.我们为我们的效用函数序列（un）n定义了值函数un（G，x≥1通过Unin（9）更改U。假设5表明，我们所考虑的代理人序列对风险具有渐进的有限厌恶。

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