Barndorff Nielsen和Shephard的VIX期权定价和对冲

2022-6-14 14:31:08

Barndorff-Nielsen和Shephard modelsTakuji Arai的VIX期权定价和对冲*2019年4月30日摘要将讨论Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权。以波动率指数（VIX）作为最流行的波动率衡量指标的衍生工具受到了广泛的关注。本文给出了Barndorff-Nielsen和Shephard模型的VIX看涨期权价格表示：非高斯Ornstein-Uhlenbeck型随机波动率模型。此外，我们还提供了由基础无风险资产和风险资产组合构建的局部风险最小化策略的表示。请注意，本文中获得的这些演示文稿足以开发一种使用快速傅立叶变换的数值方法。因此，本文的最后一部分将进行数值实验。关键词：波动率指数，波动率指数期权，随机波动率模型，巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型，局部风险最小化，快速傅立叶变换。1简介我们的主要目标是为Barndorff-Nielsen和Shephard（BNS）模型的VIX看涨期权提供价格和本地风险最小化（LRM）策略的有效数字表示，并使用快速傅立叶变换（FFT）进行数值实验。BNS模型是Barndorff–Nielsen和Shephard[7]、[8]提出的非高斯Ornstein–Uhlenbeck（OU）型随机波动率模型。更准确地说，我们考虑整个金融市场模型，该模型由一项利率为r的无风险资产组成≥ 0和1项风险资产，其在时间t的价格≥ 0表示为St，表示为asSt=Sexp（r+u）t-Ztσsds+ZtσsdWs+ρHλt, （1.1）其中S>0，u∈ R、 ρ≤ 0和λ>0。这里，W是一维布朗运动，H是无漂移的平衡子。

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2022-6-14 14:31:11

平方波动率过程σ由h驱动的OU过程给出，即以下方程的解：dσt=-λσtdt+dHλt*庆应义塾大学经济系，电子邮件：arai@econ.keio.ac.jpwith σ> 0. 在本文中，我们采用u∈ R使贴现资产价格过程e-rtSt，用BST表示，成为鞅。因此，对于任何在T>0时到期的期权X，其价格为T∈ [0，T]由e给出-r（T-t） E[X | Ft]，其中{Ft}t≥0是一种过滤。另一方面，由于我们的基础市场是不完整的，所以通常没有完美的对冲。相反，我们考虑的是一种替代性套期保值策略，它不是完美的，但在某种意义上是最优的。事实上，针对不完全市场模型提出了许多这样的边缘策略。其中，我们重点研究了lRM策略，这是一种非常著名的二次套期保值方法。特别是，它的理论观点已经很成熟，但对它的显式表示知之甚少。同时，Arai等人[2]利用L'evy过程的Malliavin演算给出了BNS模型看涨期权的LRM策略表示，并说明了基于FFT的数值方法。现在，波动率指数是芝加哥期权交易所（CBOE）推出的最受欢迎的波动率衡量指标。更准确地说，它被定义为标准普尔500指数未来30个营业日综合方差预期值的平方根。在本文中，时间t的波动率指数（用Vt表示）被定义为时间间隔内的综合方差【t，t+τ】，其中τ>0是固定观测期。如第2节所示，VTI平方的数学定义自然为VT：=-τEhlogbSt+τ- logbSt | Fti。（1.2）此外，（1.2）的右侧被重写为vt=τEZt+τtσsds英尺- 2Z∞（1+ρx- eρx）ν（dx）。（1.3）注意第二项是由于（1.1）的跳跃分量引起的。

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2022-6-14 14:31:14

众所周知，波动率指数的变化与资产价格的变化呈负相关，但不可直接投资。因此，为了减少波动性变化带来的风险，在波动率指数上进行衍生品交易是不可避免的。事实上，这类衍生品交易非常活跃，关于这一主题的文献也很多。在本文中，我们关注VIX上的欧式看涨期权，其中Payoff描述为（VT- K） +，其中T>0表示到期日，K>0表示敲定价格；并通过扩展[2]中的结果，为BNS模型提供其价格和LRM策略的表示，其中本文中讨论的LRM策略是由基础无风险资产和风险资产的组合给出的。特别是，我们在本文中得到的表示能够有效地开发基于FFT的数值方法。许多研究人员已经研究了衍生工具在波动率指数或跳跃型模型波动率上的定价和套期保值问题（[6]、[13]、[14]、[17]、[19]、[26]、[27]、[30]和soforth）。其中，Lian和Zhu【20】推导出了所谓SVJJ模型的VIX看涨期权定价公式，其中资产价格过程SSI作为以下随机微分方程（SDE）的解给出：dSSt=SSt-uSdt+σStdWSt+dZSt, （1.4）其中uS∈ R、 WSis是一维布朗运动，zs是复合泊松过程。注意，他们的公式是对[21]的修正。此外，[10]还指出了[21]的错误。

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2022-6-14 14:31:22

这里，σSin（1.4）是从以下SDE的解得出的波动过程：d（σSt）=κS（θS- （σSt））dt+vSσStdWσt+dZσt，其中，κS，θSand vS是满足Feller条件2κSθS>（vS）的常数，Wσ是与WS相关的一维布朗运动，Zσ是由与ZS相同的泊松过程生成的复合泊松过程，即ZS和Zσ的跳跃同时发生。请注意，此模型框架不包括BNS模型。作为另一篇文献，Barletta和Nicolato【5】也考虑了与【20】相同的模型框架，并通过正交展开近似推导出了一个封闭式定价公式。Kallsen等人[18]研究了基于给定资产价格过程的二次变化的期权定价，该过程适用于带有跳跃的随机波动率模型。特别是，他们举例说明了BNS模型的数值实验。Benth等人[9]获得了对无跳跃的BNS模型（即ρ=0的情况）的已实现波动率σR的幂的条件检验的估值公式：=sTZTσsds。请注意，[9]中所述的已实现波动率σ与（1.3）中所述的波动率V不同。此外，Habtemicael和SenGupta【15】以及Issaka和SenGupta【16】研究了方差交换σR-KRand波动率掉期σR-KR对于带跳跃的BNS车型，KRS的交货价格。特别是，[16]推导了描述方差掉期价格动态的偏积分微分方程，以及Veˇceˇr-typeformula。据我们所知，尚未提供BNS模型VIX看涨期权的价格和LRM策略的任何表示。特别是，没有人讨论跳跃型随机波动率模型VIX期权的LRM策略。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们给出了模型描述，并讨论了VIX。

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2022-6-14 14:31:25

第3节和第4节分别给出了我们的主要结果，即VIX看涨期权的价格表示和LRM策略。第5节专门讨论数值结果。2准备工作2.1模型描述在本文中，我们认为金融市场由一项利率为r的无风险资产组成≥ 0和一项风险资产，其价格动态如（1.1）所述。请注意，therisky资产价格过程S也是以下SDE的解决方案：dStSt-=r+u+Z∞（eρx- 1） ν（dx）dt+σtdWt+Z∞（eρx- 1） eN（dt，dx）。（2.1）这里，N表示从属项Hλt的泊松随机测度，即Hλt=Z∞xN（[0，t]，dx）对t保持不变≥ 0，ν是Hλt的L'evy测度；andeN是N的补偿版本，表示为aseN（dt，dx）=N（dt，dx）- ν（dx）dt。请注意，最后一项ρHλtin（1.1）说明了杠杆效应，这是一个程式化的事实，使得资产价格在波动性增加时下降。在本文中，我们只处理贴现资产价格过程bst（：=e）的情况-rtSt）成为鞅。换句话说，假定u为asR∞(1 -eρx）ν（dx）。因此，（2.1）意味着动态OFBS由DBSTBST给出-= σtdWt+Z∞（eρx- 1） eN（dt，dx）。备注2.1我们将使用基于标准L'evy空间的Malliavin微积分，由Sol'eet al.【28】承担。因此，潜在的概率空间(Ohm, F、 P）应作为productspace给出(OhmW×OhmJ、 FW×FJ，PW×PJ），其中(OhmW、 FW、PW）和(OhmJ、 FJ，PJ）分别是纯跳跃L'evy过程Hλt的一维维纳空间和正则L'evy空间。过滤F={Ft}t≥0表示为P完成的规范过滤。

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2022-6-14 14:31:28

虽然本文得到的结果基本上不依赖于底层概率空间的结构，但为了简化数学描述和讨论，我们选择了正则L'evy空间框架。例如，可以使用Araiand Suzuki【3】、Delong和Imkeller【12】和Suzuki【29】中引入的正则L'evy空间的结果。如引言所示，（2.1）中的波动过程σ是由隶属函数Hλt驱动的OU过程的平方根。现在，我们介绍BNS模型中出现的平方波动过程σ的两个重要示例。有关此主题的更多详细信息，请参见Schoutens【23】和Nicolato和Venardos【22】。第一种情况是σ遵循IG-OU过程。相应的L'evy测度ν由ν（dx）=λa给出√2πx-（1+bx）e-bx（0，∞)（x） DX，其中a>0，b>0。请注意，这是具有内部跳跃的BNS模型的代表性示例，即ν（（0，∞)) = ∞. 在这种情况下，σ的不变分布遵循参数a>0和b>0.2的反高斯分布。第二个例子是gamma OU案例。在这种情况下，ν被描述为ν（dx）=λabe-bx（0，∞)（x） dx，σ的不变分布由参数a>0和b>0.2.2的伽马分布给出。在本小节中，我们讨论了为什么VIX定义为（1.2），并表明（1.3）适用于BNS模型。为此，我们首先考虑一个连续型随机波动性模型，其中贴现资产价格过程bSCt为dbsct=bSCtσCtdWt。注意，我们不需要指定波动过程σCt。该模型的VIX平方，用（VC）表示，自然定义为（VCt）=τEZt+τt（σCs）ds英尺对于t∈ [0，T]，其中τ>0是观察期。通过简单的计算，我们得到Zt+τt（σCs）ds英尺= -2EhlogbSCt+τ- logbSCt | Fti。

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2022-6-14 14:31:31

（2.2）另一方面，由于跳跃分量，BNSmodels在[t，t+τ]上的综合方差不同于EhRt+τtσsdsFti。因此，考虑到（2.2），我们将BNS模型的波动率平方定义为（1.2）。为了在时间间隔[0，T]上处理波动率V，应在延长的时间间隔[0，T+τ]上定义过程S和σ，其中T>0是要定价和对冲的期权的到期日。为了确保（1.3），我们计算Vt如下：Vt：=-τEhlogbSt+τ- logbSt | Fti=-τE“Zt+τtZ∞(1 - eρx）ν（dx）-σsds+Zt+τtσsdWs+Zt+τtZ∞ρxN（ds，dx）Ft#=τEZt+τtσsds英尺- 2Z∞（1+ρx- t的eρx）ν（dx）（2.3）∈ [0，T]。此外，（2.3）右侧的第一项表示为τEZt+τtσsds | Ft=τEB（τ）σt+Zt+τtZ∞B（t+τ- s） xN（ds，dx）英尺=B（τ）τσt+τZt+τtB（t+τ- s） dsZ公司∞xν（dx）=B（τ）τσt+λ1.-B（τ）τZ∞xν（dx）乘以[22]中的（2.5），其中b（t）：=1- e-λtλ表示t≥ 因此，我们有并表示vt=B（τ）τσt+λ1.-B（τ）τZ∞xν（dx）- 2Z∞（1+ρx- eρx）ν（dx）=：BVσt+CV，其中BV和CV为正常数。因此，我们可以描述VtasVt=qBVσt+CV。（2.4）3价格本节的目的是为BNS模型提供VIX看涨期权价格的两种表示。请注意，我们的表示能够有效地开发基于FFT的数值模式。首先，我们给出了σT的特征函数在可积条件下的积分表达式。注意，该条件在IG-OU情况下满足，但在gamma-OU情况下不满足。因此，我们建议另一种近似方法来处理gamma OU情况。考虑在履约价格K>0的时间T>0到期的VIX看涨期权。

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2022-6-14 14:31:35

然后，其支付被描述为（VT- K） +；其在时间t的价格，用Pt表示，如下所示：Pt：=e-r（T-t） E[（VT- K） +|英尺]。此外，我们定义了VIX看涨期权支付函数的傅立叶变换asbg（v，α；K）：=Z∞（pBVx+CV- K） +e（iv）-α） XDX或v∈ R和α>0。注意，由于σ为正，bg定义为[0，∞) 代替R；只处理K≥√个人简历bg的具体表达式如下：引理3.1表示任何K≥√CV，v∈ R和α>0，我们有bg（v，α；K）=exp-（四）- α） CVBV公司√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！，其中，fc（x）：=√πZ∞xe公司-tdt。证据到[20]的（9），我们有了∞（pBVx+CV- K） +e（iv）-α） xdx=exp-（四）- α） CVBV公司Z∞简历(√y- K） +e（iv）-α） yBVdyBV=exp-（四）- α） CVBV公司Z∞(√y- K） +e（iv）-α） yBVdyBV=exp-（四）- α） CVBV公司√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！，引理3.1紧随其后。为了给出Pt的表达式，我们需要定义σT的条件特征函数σT给定σtasφT | T（ζ）：=E[exp{iζσT}|σT]∈ C、 [22]的引理2.1暗示，表示κ（u）：=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx），我们有φT | T（ζ）=E“exp（iζE-λ（T-t） σt+iζZTte-λ（T-s） dHλs）σt#=expniζe-λ（T-t） σtoexp（ZTtκiζe-λ（T-s）ds）（3.1）对于任何ζ∈ 带Im（ζ）>-bu，其中bu：=sup{u∈ R |κ（u）<∞} ≥ 现在，Pt有以下积分表达式：命题3.2（Tankov的命题2[31]），假设bu>0，Zr |φT | T（v- iα）| 1+| v | dv<∞ （3.2）对于任何t∈ [0，T]和α∈ （0，bu）。我们得到了PT=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T(-v- iα）dv（3.3），对于任何t∈ [0，T]，α∈ （0，bu）和K≥√个人简历注意，（3.3）的右侧与α的选择无关。备注3.3上述表达式（3.3）已在SVJJ模型的[20]提案2中介绍，但不包括BNS模型。备注3.4作为波动率指数的另一个重要衍生工具，波动率指数期货一直在交易中。

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2022-6-14 14:31:38

其在时间t的值由fvt表示：=E【VT | Ft】，这与利率也为0时执行价格为0的波动率指数看涨期权的价格相对应。因此，（3.3）意味着fvt=2πZ∞-∞bg（v，α；0）φT | T(-v- iα）DV在命题3.2的所有条件下均成立。我们表明，第2.1小节中介绍的IG-OU案例满足提案3.2的所有条件，即IG-OU案例的VIX期权价格描述为（3.3）。[22]的示例3.5首先（2.8）表示κ（u）=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx）=λau（b- 2u）-对于u<b，这意味着bu=b>0。接下来，我们证明了条件（3.2）对于任何a，b>0都是满足的。为此，我们计算Tκiζe-λ（T-s）ζ的ds∈ 带Im（ζ）>-bas如下：ZTtκiζe-λ（T-s）ds=ZTtλaiζe-λ（T-s） pb级- 2iζe-λ（T-s） ds=Ze-λ（T-t） aiζpb- 2iζxdx=aζ√Ze公司-λ（T-t）-sgn（Re（ζ））s-A+√A+BA+B+sA+√A+BA+Bidx（3.4），其中A：=b+2 Im（ζ）x和b：=2 Re（ζ）x。取v∈ R和α∈ （0，bu），我们替换v-iα表示ζ，以估计（3.4）的被积函数的实部。然后我们可以找到一个常数C>0，这样-|v | s-A+√A+BA+B+αsA+√A+BA+B<C-p | v |+p | v |！。对于任何x∈ （e）-λ（T-t），1）和任何v∈ R，具有足够大的v。因此，从（3.1）的角度来看，IG-OU案例始终满足（3.2）。对于伽马OU案例，这是BNS模型的另一个典型框架，如下面的示例3.8所示，条件（3.2）不满足，即（3.3）的右侧没有很好定义。为了克服这一困难，我们开发了一种近似方法，用σT+ε（WT）替换σT- Wt），表示为σT | T（ε），系数小ε>0。为此，我们需要考虑σT | T（ε）的波动率，而不是σT。由于σT | T（ε）可能取负值，我们将波动率看涨期权的收益改写为q | BVσT | T（ε）+CV |- K{σT | T（ε）>（K-CV）/BV}，定义（ε）t：=e-r（T-t）呃q | BVσT | T（ε）+CV |- K{σT | T（ε）>（K-对于ε>0，CV）/BV}| fti。

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2022-6-14 14:31:41

我们有thenlimε→0P（ε）t=Pt，这意味着计算ε>0的系数的P（ε）t可得出近似的Pta值。现在，我们证明P（ε）是与（3.3）相同的类型积分表示。命题3.6假设bu>0，并且，对于任何t∈ [0，T]和α∈ （0，bu），存在常数>0，使得|φT | T（v- iα）|<C（3.5）对于任何v∈ R、我们有n p（ε）t=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T(-v- iα）exp-ε(-v- iα）（T- t）t的dv（3.6）∈ [0，T），α∈ （0，bu）和K≥√个人简历注意，（3.6）的右侧与α的选择无关。证据表示φ（ε）T | T（ζ）：=E[exp{iζσT | T（ε）}| Ft]=E[exp{iζ（σT+ε（WT- 对于ε>0，t，Wt））}| Ft]（3.7）∈ [0，T]和ζ∈ C、我们有φ（ε）T | T（ζ）=φT | T（ζ）E[exp{iζεWT-t} ]=φt | t（ζ）exp-ζε（T- t）,这意味着Zr |φ（ε）T | T（v- iα）| 1+| v | dv<∞对于任何ε>0，t保持不变∈ [0，T）和α∈ （0，bu）根据条件（3.5）。因此，我们使用命题3.2得到（3.6）。备注3.7考虑到PHNIT：=e-r（T-t） 2πZN-Nbg（v，α；K）φT | T(-v- iα）N的DV∈ N而不是P（ε）t，我们期望通过计算大N系数的phnit，它能很好地近似Pt∈ N、自上的集成(-∞, ∞) 通过截断积分区间进行数值计算。然而，PhNitnever收敛到Ptas N倾向于∞ 对于gamma OUcases。我们发现gamma OU案例满足命题3.6的所有条件。因此，我们可以使用积分表达式（3.6）计算P（ε）t的值，当ε>0足够小时，它近似于Pt的值。示例3.8回顾一下，伽马OU情况下的L'evy度量ν被描述为ν（dx）=λabe-bx（0，∞)（x） DX对于a，b>0。乘以[22]的（2.10），κ（u）=Z∞（欧盟）- 1） ν（dx）=λaub- u<b和bu=b时为正值。

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2022-6-14 14:31:44

对于ζ∈ 带Im（ζ）>-b、我们有ZTTκiζe-λ（T-s）ds=ZTtλaiζe-λ（T-s） b类- iζe-λ（T-s） ds=Ze-λ（T-t） aiζb- iζxdx=aζZe-λ（T-t） bi公司- ζx | b- iζx | dx=aZe-λ（T-t） bζi- ζζxζζx+2b Im（ζ）x+bdx=aZe-λ（T-t） b Re（ζ）i-（2Ax+B）Ax+Bx+Cdx=ab Re（ζ）I（x）I-日志| Ax+Bx+C|e-λ（T-t），（3.8）式中，A：=ζ，B：=2b Im（ζ），C=bandI（x）=√4AC- 巴克坦2Ax+B√4AC- B=b | Re（ζ）| arctanζζx+b Im（ζ）b | Re（ζ）|.因此，我们有（3.8）=ai sgn（Re（ζ））阿尔茨坦ζζ+b Im（ζ）b | Re（ζ）|- 阿尔茨坦ζζe-λ（T-t） +b Im（ζ）b | Re（ζ）|-alog公司ζζ+2b Im（ζ）+bζζe-2λ（T）-t） +2b Im（ζ）e-λ（T-t） +b级. （3.9）因此，对于v∈ R和α∈ （0，bu），替换为v- iα对于（3.9）中的ζ，我们得到exp（ZTtκiζe-λ（T-s）ds）=v+（α- b） ve公司-2λ（T-t） +（αe-λ（T-t）- （b）-a、以v为界∈ R、因此，（3.1）意味着gamma OU情况不满足（3.2），但满足（3.5）对于任何a、b>0.4 LRM策略，本节将讨论VIX看涨期权的LRM策略表示。LRM战略的定义见附录A.2。请注意，本文讨论的对冲策略是由无风险和风险资产构成的。对于任何t∈ [0，T]，我们用ξVT表示时间T时LRM策略的值（VT-K） +VIX看涨期权在时间t到期，执行价格K>0。换句话说，投资者对冲VIX看涨期权（VT- K） +在LRM方法中，应在时间t时持有风险资产的ξvt单位。另一方面，一旦给出ξvt，我们可以计算ηvt时间t到（A.2）时无风险资产的单位数量。因此，我们仅给出ξvt的表示。在条件（3.2）下，ξv的表示如下：定理4.1假设（3.2）和z∞exp{2B（T）x}ν（dx）<∞, （4.1）式中，B（T）=1-e-λTλ。

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nandehutu2022

2022-6-14 14:31:48

然后，LRM策略ξVexists，并且，对于任何t∈ [0，T），ξVt代表如下：ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-(-v- iα）×Z∞expn公司(-v- iα）e-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） ν（dx）dv，（4.2），其中α∈ （0，bu）和Cρ：=R∞（eρx-1） ν（dx）。注意，（4.2）的右侧与α的选择无关。证据该定理由[2]的定理A.1（也可参见[3]的定理3.7）所示。因此，我们确认在我们的设置中是否满足了[2]中定理A.1的所有条件。首先，AS1和AS2自动满足，因为CEBS是鞅，并且（VT-K）+∈ D1,2和Dt，0（VT-K） +=0 BYLEMA 4.4，其中D1,2和Dt，0分别是索博列夫空间和马利雅文导数运算，见附录A.1。对于AS3，下面的（4.5）表示Z∞（E[xDt，x（VT- K） +|英尺-])ν（dx）≤ BVZ公司∞任意t的xν（dx）∈ [0，T]。SinceR公司∞xν（dx）<∞ 等一下，我们有“ZTZ”∞（E[xDs，x（VT- K） +| Fs-])ν（dx）ds#<∞,这意味着条件为3。此外，我们需要注意的是，[2]中的定理A.1适用于他们的假设2.2，这在条件（4.1）下的设置中得到了满足。值得注意的是，我们可以省略[2]中假设2.2的第2项，因为Cebs是鞅。此外，我们不需要∞exp{2 |ρ| x}ν（dx），因为它在[2]中被用来表示AS2。因此，可以使用[2]中的定理A.1。[2]的定理A.1暗示ξVexists，ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞E[xDt，x（VT- K） +|英尺-]（eρx- 1） ν（dx）（4.3）保持不变，因为Dt，0（VT- K） +=0，引理4.4。表示σT | T（x）：=σT+xe-λ（T-t）对于t∈ [0，T]和x∈ (0, ∞), 使用引理4.4和（2.4），我们可以将（4.3）重写为ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞EqBVeσT | T（x）+CV- K+英尺-- E“qBVσT+CV- K+英尺-#!（eρx- 1） ν（dx）。

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kedemingshi

2022-6-14 14:31:52

（4.4）备注e[exp{iζeσT | T（x）}| Ft]=φT | T（ζ）expniζxe-λ（T-t） o.因此，从命题3.2的观点来看，表示θ=-v- iα，我们可以将（4.4）重写为ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-(θ)×expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.dv（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×Z∞expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） α的ν（dx）dv∈ （0，bu）。这就完成了定理4.1的证明。备注4.2 1。在条件（4.1）下，它认为bu>0，因为bu≥ 2B（T）。如[2]和[3]所示，（4.1）确保了所谓的（SC）条件，这对于讨论LRM策略是必不可少的。备注4.3 IG-OU案例满足定理4.1 ifb>2B（T）的所有条件。因此，只要b>2B（T），我们就可以通过（4.2）计算IG-OU情况下的LRM策略ξvt。此外，对于ζ∈ 当Re（ζ）<0时，我们有z∞（eζx- 1）（eρx- 1） ν（dx）=κ（ζ+ρ）- κ(ζ) - κ（ρ）=λa（ζ+ρpb- 2(ζ + ρ)-ζpb- 2ζ-ρpb- 2ρ).引理4.4对于任何t∈ [0，T]和x∈ [0, ∞), 我们有（VT- K）+∈ D1、2和DT、x（VT- K） +=xqBVeσT | T（x）+CV- K+- （VT- K）+{x>0}，（4.5），其中eσT | T（x）=σT+xe-λ（T-t）。请注意，附录A.1中给出了空间D1,2和运算符Dt，xa的定义。证据首先，我们展示VT∈ D1,2；计算t的Dt，xvt∈ [0，T]和x∈ [0, ∞). 现在，我们定义f（y）=√BVy+CVY代表y≥ 0，即VT=f（σT）。注意，我们可以用有界导数f将f推广到R上的aC函数∈ D1,2和Dt，xσT=e-λ（T-t） {x>0}根据[2]的引理A.2，[29]的命题2.6，意味着VT∈ D1,2，Dt，0VT=f（σT）Dt，0σT=0，and Dt，xVT=f（σT+xDt，xσT）- f（σT）x=pBV（σT+xe-λ（T-t））+CV- x的VTX∈ (0, ∞). 因此，文献[3]中的定理4.1意味着dt，x（VT- K） +=（VT+xDt，xVT- K）+- （VT- K） +x{x>0}，从中我们得到（4.5）。

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2022-6-14 14:31:55

接下来，我们提供了条件（3.5）下ξvt的近似表示，而不是条件（3.2）。这种表示使我们能够计算伽马OU情况下的ξvt近似值。定理4.5在条件（3.5）和（4.1）下，ξVexists，我们得到ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→02πZ∞-∞bg（v，α；K）φ（ε）T | T-(-v- iα）×Z∞expn公司(-v- iα）e-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） ν（dx）dv（4.6）对于任何t∈ [0，T）和α∈ （0，bu）。请注意，（3.7）中定义了函数φ（ε）T |，而（4.6）的右侧与α的选择无关。证据表示σT | T（x，ε）：=eσT | T（x）+ε（WT- Wt）=σT+xe-λ（T-t） +ε（WT- Wt），andA（u）：=（p | BVu+CV |- K） 1{u>（K-CV）/BV}适用于任何u∈ R、我们有qBVeσT | T（x）+CV- K+英尺-= E[A（EσT | T（x））| Ft-] = limε→0E[A（eσT | T（x，ε））| Ft-].因此，（4.4）和支配收敛定理得出ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）Z∞limε→0nE[A（eσT | T（x，ε））| Ft-] - E[A（σT | T（ε））| Ft-]o×（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→0Z∞nE[A（eσT | T（x，ε））| Ft-] - E[A（σT | T（ε））| Ft-]o×（eρx- 1） ν（dx），其中σT | T（ε）：=σT+ε（WT- Wt）。现在，表示θ=-v- iα，我们有e[A（eσT | T（x，ε））| Ft-]=e-r（T-t） 2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）扩展iθxe-λ（T-t）-εθ（T- t）对于ε>0和α∈ （0，bu）通过与命题3.6相同的论证。因此，Fubini\'stheorem暗示ξVt=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→0Z∞2πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×exp-εθ（T- t）expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.dv（eρx- 1） ν（dx）=e-r（T-t） St公司-（σt+Cρ）limε→02πZ∞-∞bg（v，α；K）φT | T-（θ）×exp-εθ（T- t）Z∞expniθe公司-λ（T-t） xo公司- 1.（eρx- 1） α的ν（dx）dv∈ （0，bu）。这就完成了定理4.5的证明。注释4.6对于伽马OU案例，（4.1）满足ifb>2B（T）。

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2022-6-14 14:31:58

（4.7）注意，当我们计算gamma OU情况下的（4.6）时，以下内容非常有用：Z∞（eζx- 1）（eρx- 1） ν（dx）=abλb- ζ - ρ-b- ζ-b- ρ+b对于ζ∈ 当Re（ζ）<0.5数值试验时，本节的目的是使用FFT计算价格pT和LRM策略ξvT。首先，我们以（3.3）中给出的ptgive为例介绍了它的基本思想。定义asf函数（v）：=√BVπ2(-iv+α）erfcKr-iv+αBV！对于v∈ R、我们有bg（v，α；K）=exp-（四）- α） CVBV公司f（v）。此外，定义f asbf（x）的傅里叶变换：=Z∞-∞e-ivxf（v）dv，我们可以重写（3.3）asPt=e-r（T-t） 2πeαCVBVbfCVBV.因此，我们可以用FFT计算Pt。备注5.1考虑到普通选项（ST-K） +写在标的资产S上，其价格为asPVt=e-r（T-t） 2πZ∞-∞e（iv+1-α）对数KφT | T(-v- iα）bS-iv+αt-（五）- iα）（v- 1.- iα）dvby【31】中的示例2，其中φT |是BST的条件特征函数。这可以通过对数K上的傅立叶变换进行计算。因此，对于VIX选项的计算，FFT的使用方式与其他选项的不同。接下来，我们通过分别计算（3.6）和（4.6）的右侧，在小ε>0的情况下，对gamma OU的价格pta和LRM策略ξvt进行了数值实验。我们使用【23】中估计的参数集，即我们设置ρ=-1.2606，λ=0.5783，a=1.4338，b=11.6641。此外，我们假设T=1，r=0.007。此参数集满足条件（4.7）。此外，α设置为1.75，VIX VTI定义中出现的观察期τ固定为0.0833，约为一个月。在我们的数值实验中，即使时间t可能发生变化，资产价格和时间t的平方波动率也分别固定为St=1124.47和σt=0.0145。请注意，时间t时的VIX值为0.18588。

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nandehutu2022

2022-6-14 14:32:01

我们用ε=0.0001计算（3.6）和（4.6）的右侧，以获得pT和ξvT的近似值。我们进行了以下两种类型的实验：首先，我们计算t=0，0.02，…，的Ptandξvt值，0.98当期权为货币时，即K固定为0.18588。参见图1和图2。第二，t固定为0.5，我们将K从0.12变为0.3，步长为0.02，并计算PtandξVt。见图3和图4。如图2和图4所示，LRM策略的值为负值，因为VIX和基础风险资产具有负相关性。图1：期权价格与时间t=0，0.02，0.98，当期权在货币上时。图2:at-the-money期权的LRM策略值与时间t的对比。图3：0.5时的期权价格与0.12至0.3时的执行价格K，步长为0.02。图4:0.5时LRM策略值与执行价格K.A附录A。1 Malliavin演算我们介绍了L'evy过程的Malliavin演算。如备注2.1所述，我们认为基于规范L'evy空间的Malliavin演算，由【28】承担。有关此主题的更多详细信息，请参阅[12]、[28]和[29]。首先，我们定义了[0，T]×[0，∞) asq（E）：=ZEδ（dx）dt+ZExν（dx）dt，and q（E）：=ZEδ（dx）dWt+ZExeN（dt，dx），其中E∈ B（[0，T]×[0，∞)) δ是0处的狄拉克测度。对于n∈ N、我们用乘积可测确定性函数h的LT，q，N集表示：（[0，T]×[0，∞))n→ R满足khklt，q，n：=Z（[0，T]×[0，∞))n | h（（t，x），··，（tn，xn））·q（dt，dx）···q（dtn，dxn）<∞.对于n∈ N和h∈ LT，q，n，we定义（h）：=Z（[0，T]×0，∞))nh（（t，x），····，（tn，xn））Q（dt，dx）····Q（dtn，dxn）。形式上，我们表示LT，q，0：=R，I（h）：=h表示h∈ R

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2022-6-14 14:32:04

在此设置下，任何平方可积FT可测随机变量X都具有唯一的表示形式X=∞Xn=0In（hn），功能为hn∈ LT、q、nth在n对（ti、xi）中对称，1≤ 我≤ n、我们有=∞Xn=0n！khnkLT，q，n。我们定义了Sobolev空间D1，2和Malliavin导数算子Dt，xas如下：定义A.1 1。设D1,2denote为FT可测随机变量X的集合∈ L（P），X=P∞n=0英寸（hn）满足要求∞Xn=1nn！khnkLT，q，n<∞.2、对于任意X∈ D1,2，Malliavin导数DX：[0，T]×[0，∞) × Ohm → R定义为asDt，xX=∞Xn=1nIn-1（hn（（t，x），·））表示q-a.e.（t，x）∈ [0，T]×[0，∞), P-a.s.a.2 LRM战略的定义在定义LRM战略之前，我们准备了一些术语。定义A.2 1。策略定义为一对φ=（ξ，η），其中ξ是一个可预测的过程，η是一个适应的过程。请注意，ξtandηt分别表示投资者在时间t持有的风险单位和无风险资产的金额。策略的贴现值Д=（ξ，η）在时间t∈ [0，T]定义为BVT（Д）：=ξtbSt+ηT。特别是，bV（Д）给出了初始成本。2、如果满足BVT（Д）=bV（Д）+bGt（ξ），则称策略Д为自我融资∈ [0，T]，其中bg（ξ）表示由ξ引起的贴现收益过程，即bGt（ξ）：=ZtξsdbSsfor T∈ [0，T]。如果策略Д是自融资的，则η由ξ和初始成本bv（Д）自动确定。3、对于策略Д，由BCT（Д）定义的过程BC（Д）：=bVt（Д）-bGt（ξ）表示t∈ [0，T]被称为^1的贴现成本过程。当Д为自融资时，其折扣成本过程bc（Д）为常数。设X是一个平方可积随机变量，表示到期日T或有权益的支付。

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2022-6-14 14:32:07

如果满足bvt（Д）=bX，则称策略Д复制权利要求X，其中bX：=e-rTX是X的贴现值。最后，我们给出了LRM策略ДX的定义。粗略地说，策略ДX=（ξX，ηX）不一定是自我融资的，如果它是在所有复制策略中最大限度地降低BC（ДX）在L意义上造成的风险的复制策略，则称为索赔X的LRM策略。以下定义是基于Schweizer【25】定理1.6的简化版本，假设BS是鞅，因为Schweizer【24】和【25】引入的原始定义相当复杂。注意，[25]在假设r=0的情况下处理了这个问题。对于r>0的情况，请参见，例如Biagini和Cretarola【4】。定义A.3 1。如果ξ是满足“ZTξsdhbSis#<∞, （A.1）和η是一个适应的过程，使得bv（Д）是一个具有E[bVt（Д）]<∞每t∈ [0，T]。2、对于权利要求X，L-策略Д称为LRM策略∈ L（P），ifbVT（ДX）=bX，[bC（ДX），bS]是一致可积鞅。3.X∈ L（P）允许F¨ollmer-Schweizer分解，如果它可以用X=X+ZTξXsdbSs+LXT来描述，其中X∈ R、 ξXis是一个满足（a.1）的可预测过程，LX是一个平方可积的正交tobS，LX=0。然后，【25】中的命题5.2或【4】中的命题3.7，以及【2】中的备注2.3，提供了在条件（4.1）下，针对X的LRM策略ДX=（ξX，ηX）∈ L（P）存在的条件是且仅是yifbx（=e-rTX）允许F¨ollmer-Schweizer分解bX=bX+ZTξF SsdbSs+LF ST，其关系由ξXt=ξF ST，ηXt=bX+ZTξXsdbSs+LF ST给出- ξXtbSt。（A.2）因此，必须获得ξXin的表示，以获得ДX。

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2022-6-14 14:32:10

因此，我们在本文中将ξx与ДXin区分开来。致谢作者感谢MEXT拨款对科学研究（C）第15K04936号和第18K03422号的资助。参考文献【1】Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.（2016）。指数L'evy模型局部风险最小化的数值分析。《国际理论与应用金融杂志》，19（02），1650008。[2] Arai，T.、Imai，Y.、Suzuki，R.（2017）。巴恩多夫-尼尔森和谢泼德模型的局部风险最小化。《金融与随机》，21（2），551-592。[3] Arai，T.，&Suzuki，R.（2015）。利维市场的局部风险最小化。《国际金融工程杂志》，2（02），1550015。[4] Biagini，F.，&Cretarola，A.（2012）。具有recoveryprocess的可违约索赔的局部风险最小化。《应用数学与优化》，65（3），293-314。[5] Barletta，A.，&Nicolato，E.（2018年）。波动率指数期权的正交展开式。《定量金融》，18（6），951-967。[6] Barletta，A.、Nicolato，E.和Pagliarani，S.（2018）波动率指数的短期行为隐含着多因素随机波动性框架中的波动性。出现在数学金融领域。[7] Barndor Off-Nielsen，O.E.，&Shephard，N.（2001）。金融计量经济学的勒维过程建模。在列维过程中（第283-318页）。Birkh–auser，马萨诸塞州波士顿。[8] Barndor Off-Nielsen，O.E.，&Shephard，N.（2001）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck模型及其在金融经济学中的一些应用。皇家统计学会杂志：B辑（统计方法），63（2），167-241。[9] Benth，F.E.，Groth，M.，&Kufakunesu，R.（2007）。非高斯Ornstein-Uhlenbeck随机波动率模型的波动率估值和方差交换。《应用数学金融》，14（4），347-363。[10] Cheng，J.，Ibraimi，M.，Leippold，M.，和Zhang，J.E.（2012）。

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2022-6-14 14:32:13

关于Lin和Chang\'spaper对标准普尔500指数和波动率指数衍生品的一致性建模的评论。《经济动力与控制杂志》，36（5），708-715。[11] 芝加哥期权交易所（2009年）。CBOE波动率指数VIX。白皮书（www.cboe.com/micro/vixS）[12]Delong，L.，&Imkeller，P.（2010年）。关于由布朗运动和泊松随机测度驱动的具有时滞生成器的BSDE的Malliavin可微性。随机过程及其应用，120（9），1748-1775。[13] Detemple，J.，&Kitapbayev，Y.（2018）。广义3/2和1/2模型下的美式VIX期权。《数学金融》，28（2），550-581。[14] Goard，J.，&Mazur，M.（2013）。随机波动率模型与波动率指数期权定价。《数学金融》，23（3），439-458。[15] Habtemicael，S.，&SenGupta，I.（2016）。巴恩多夫·尼尔森和谢泼德过程驱动的金融市场的定价差异和波动性掉期。《国际金融工程杂志》，3（04），1650027。[16] Issaka，A.，&SenGupta，I.（2017）。OrnsteinUhlenbeck型模型的基于方差的工具分析：掉期和价格指数。《金融年鉴》，13（4），401-434。[17] Jacquier，A.、Martini，C.、Muguruza，A.（2018）。在粗糙的Bergomimodel中研究VIX期货。定量金融，18（1），45-61。[18] Kallsen，J.、Muhle Karbe，J.，&Voss，M.（2011）。随机波动率模型中基于方差的期权定价。《数学金融》，21（4），627-641。[19] 李强，李立军，张国强（2017）。VIX衍生品定价和对冲的纯跳跃模型。《经济动力与控制杂志》，74，28-55。[20] Lian，G.H.，&Zhu，S.P.（2013）。具有随机波动率和随机跳跃的VIX期权定价。《经济学和金融决策》，36（1），71-88。[21]Lin，Y.N.，&Chang，C.H.（2010）。

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