基于Riccati的跨期动态效用优化

2022-6-15 22:01:06

利用HAMILTON-JACOBIBELLMAN方程的RICCATI变换进行动态跨期效用优化。本文研究了一个同时考虑期望终端效用和跨期效用最大化的动态随机投资组合优化问题。我们通过求解一个完全非线性的演化Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程来解决这个问题。我们提出了所谓的Riccati方法，将完全非线性的HJB方程转化为包含跨期效用函数的非局部项的拟线性抛物方程。作为一种数值方法，我们提出了一种基于空间变量有限体积近似的半隐式时间格式。通过分析一个显式行波解，我们表明该数值方法具有第二个实验级的收敛性。作为一个实际应用，我们计算了由德国DAX 30指数的市场财务数据激励的组合投资问题的最优策略，并显示了考虑时间间隔效用对最优组合选择的影响。AMS-MOS分类：35K55、34E05、70H20、91B70、90C15、91B16关键词：动态随机投资组合优化、动态效用、Hamilton-JacobiBellman方程、Riccati变换、有限体积方案。本文研究了非平凡跨期效用函数的存在对随机最优投资组合问题的影响。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:09

该问题可以用预期终端和跨期效用最大化问题来表示，其中潜在的随机过程由进入金融投资组合的资产的时间相关权重向量控制。为了解决期望终端和跨期效用最大化问题，我们采用了一种基于求解相应最优控制问题的中间值函数的完全非线性抛物型Hamilton-Jacobi-Bellman方程的方法。Federico、Gassiat和Gozzi在[7]中研究了一个类似的问题，他们研究了投资消费组合中终端和跨期效用最大化的问题，当前效用也依赖于财富过程。他们研究了双重控制问题解的性质。本文的创新之处在于，将Abe和Ishimura【1】、Ishimura和ˇSevˇcoviˇc【10】以及Kilianov'a和ˇSevˇcoviˇc【12，13】提出并分析的变换方法推广到非平凡跨期效用函数的情况。该变换也被称为Riccati变换，因为它涉及值函数的二阶导数和一阶导数之间的比率。转换后的函数可以视为投资者的绝对风险规避系数。其次，我们将底层随机过程推广到具有任意漂移和波动函数的更一般的过程。这种一般设置可以特别包括Kilianov\'a和Trnovsk\'a最近在【14】中研究的所谓worstcase投资组合优化中产生的过程。相比之下，2 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCto只涉及终端效用最大化的问题（参见。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-15 22:01:12

[1] ，得到的变换方程是一个非局部拟线性抛物方程，包含涉及跨期效用函数的非局部项。非局部抛物方程可以进一步转化为两个拟线性局部抛物方程的耦合系统。我们分析这些控制方程，并说明它们的解与求解原始HJB方程的关系。作为解决相关终端和跨期效用最大化问题的工具，我们将Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc提出的数值方法推广到拟线性抛物方程中出现非局部项的情况。我们进一步推导了一个解的先验上下界，它是根据终端和时间间隔效用函数的风险规避系数给出的。Riccati变换方法的主要优点有两个。首先，转换函数作为投资者的跨期风险厌恶具有实际的表示和意义，即使在效用函数无界的情况下，它也是一个全局有界函数。此外，在截断的数值域上定义了解的自然边界条件。其次，可以使用锥凸规划的现代工具，快速有效地计算变换方程中作为扩散函数出现的非线性。作为一个实际应用，我们根据德国DAX 30指数的市场财务数据计算出组合投资问题的最优策略。我们将不存在跨期效用最大化的情况下的最优投资组合策略与考虑非平凡跨期效用的情况下的最优投资组合策略进行了比较。我们举例说明了跨期效用函数对最优投资组合选择的影响。本文的组织结构如下。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:15

在下一节中，我们将介绍并讨论对基础随机过程所做的基本模型假设。时间t的对数投资组合财富x的过程由一个向量θt控制，该向量属于Rn的一个紧凸子集。第三节提出了一个具有跨期效用的动态随机优化问题。根据Bellman最优性原理，我们给出了一个满足给定终端条件的中间值函数的完全非线性后向抛物方程。在第4节中，我们介绍了值函数的所谓Riccati变换，将我们从完全非线性的HJB方程引导到发散形式的包含非局部项的单拟线性抛物方程。我们进一步分析了由非参数凸规划问题产生的辅助值函数的定性性质。本节还推导了经典H¨older光滑解的存在性及其先验界。第5节致力于求解变换后的拟线性抛物函数的数值近似格式。该方案基于有限体积近似法，包括双有限体积。我们将数值格式与求解HJBEquation的固定策略迭代方法进行了比较，如Huang等人【8】、Reisinger和Witte【28】所研究的。最后，在第6节中，我们在一个显式行波示例上测试了所提出的数值方法的准确性，并计算了实验收敛阶。我们证明了实验的收敛阶近似为2，这表明数值方法的第二阶收敛。随后，我们将所提出的方法应用于最优投资组合选择问题，并给出了有无跨时间效用最大化的相应结果。2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:18

在本文中，我们将假设基本随机过程{xt}满足随机微分方程（SDE）（1）dxt=u（xt，t，θt）dt+σ（xt，t，θt）dWt，其中控制过程{θt}适应于过程{xt}，{Wt}是标准的一维维纳过程和函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）在x，t和θ变量中是C1,1光滑的，即它们的一阶导数是Lipschitz连续函数。备注1。将SDE（1）作为θ控制的潜在随机过程进行研究的动机来自随机动态最优投资组合管理。Letxit=ln yitdenote资产价值的对数，表示由权重向量θ的nassets组成的投资组合。那么dxit=dyit/yit是资产i的回报。假设每个这样的回报的过程由dxit=uidt+nXk=1σkidwkt驱动，其中wjt是一维维纳过程，使得增量dwjt和dWitareindependent为j 6=i。组合xθ=Pni=1θixi的增量的平均回报，权重向量θ为uTθdt，其方差等于ni，j，k=1θiσkiσkjθjdt。根据Merton[23，24]，我们可以用以下形式（1）的一维SDE来描述随机过程xθtb：dxθt=utθdt+σ（θ）dwt，其中wt是一维Wienner过程，σ（θ）=θt∑θ，∑是协方差矩阵，σij=Pnk=1σkiσkj。示例1。作为随机过程（1）的一个例子，我们可以考虑一个定期现金流入的投资组合优化问题（例如养老金计划）。在本例中，波动率函数由（2）σ（x，t，θ）=θt∑θ给出，其中∑是资产回报的正定义协方差矩阵。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

mingdashike22

2022-6-15 22:01:22

漂移函数由（3）u（x，t，θ）=utθ给出-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中u是资产平均收益的向量，ε是流入（ε>0）/流出（ε<0）组合，r≥ 0是无风险债券的利率。由{θt}控制的随机过程{xθt}是随机过程{y▄θt}t的对数变换≥0由随机微分方程（4）驱动，其中∧θ（y，t）=θ（x，t），x=ln y（参见Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc[12]）。另一个例子来自Kilianov\'a和Trnovsk\'a研究的所谓最坏情况投资组合优化问题【14】。波动率函数由σ（x，t，θ）=max∑给出∈KθT∑θ，4 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇcw其中K是正定义协方差矩阵的不确定性凸集。通常，只有协方差矩阵的一部分是精确规定的，而其他条目不是精确确定的。例如，如果只有对角线d是已知的，我们有K={∑0，diag（∑）=d}。漂移函数由u（x，t，θ）=minu给出∈EuTθ-σ（x，t，θ）+εe-x+r，其中E是一个给定的不确定性平均收益凸集。3、具有跨期效用函数的动态随机优化问题我们的目标是通过包含跨期效用函数来扩展之前在Gillianov\'a和71sevˇcoviˇc【12】中研究的终端效用最大化模型。在过去的大量文献中，动态效用最大化已经通过多种方法进行了研究。在本文中，我们假设投资者从跨期财富中获得一定的效用c，但从终端财富中获得不同的效用u。我们假设总体效用是时间加性的。然后我们可以将动态效用最大化问题表述如下：（5）maxθ|[0，T）Eu（xθT）+ZTc（xθs，s）dsxθ=x,（c.f.[7]，其中也包括消费）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:25

这里{xθt}是有限时间范围内形式（1）的o随机过程[0，t]，u:R→ R是给定的终端效用函数，xa是给定的初始状态条件{xθt}，t=0。函数θ：R×[0，T）→Rnmaps（x，t）7→ θ（x，t），它表示一个控制潜在随机过程{xθt}的未知控制函数。函数c：R×[0，T）→ R是跨时函数。在下面的内容中，我们将假设c是一个Csmooth函数，它在x变量中是非递减的。显然，可以在（5）中的bothutibility函数中添加一个时间折扣因子。我们假设控制参数θ属于闭凸子集紧单纯形的Sn={θ∈ Rn |θ≥ 0，1Tθ=1} Rn，其中1=（1，···，1）T∈ 注册护士。如果我们引入值函数（6）V（x，t）：=supθ|[t，t）Eu（xθT）+ZTtc（xθs，s）ds | xθT=x那么V（x，T）：=u（x）。根据Bertsekas【5】，值函数V=V（x，t）满足完全非线性的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）抛物方程：tV+最大θ∈u（x，t，θ）xV+σ（x，t，θ）十五+ c（x，t）=0，V（x，t）=u（x），（7）表示（x，t）∈ R×[0，T）；另见[12]和Kossaczk\'y，Ehrhardt，G¨unther[17，18]。作为终端效用函数的一个示例，可以考虑例如常数绝对风险规避（CARA）函数：u（x）=-e-ax，具有恒定的绝对风险规避a≡ a（x）>0，其中（x）=-u（x）u（x）代表x∈ R、我们注意到，变量x中的CARA效用函数对应于CRRA（恒定相对风险厌恶）效用函数u（y）=-y-ain变量y=ex。在实际应用中，y代表投资组合值，x=ln y代表其对数变换，其中（1）适用。效用函数u的另一个选择是递减/递增绝对风险厌恶（DARA/IARA）函数，其中（x）在x变量中递减/递增。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:28

通常，跨期效用函数c是一个非递减凹折扣函数，即（8）c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t），其中k，d≥ 0和%是折扣系数。我们注意到，包括折扣系数-Rtino终端效用函数u在解中不起任何作用，因为可以通过将（5）乘以erT简单地将该常数转换为跨时效用函数c的系数κ。4、具有跨时函数的HJB方程的Riccati变换根据Abe和Ishimura【1】、Ishimura和ˇSevˇcoviˇc【10】和Kilianov\'aan和ˇSevˇcoviˇc【12】的论文，值函数V的Riccati变换可介绍如下：（9）Д（x，τ）=-xV（x，t）xV（x，t），其中τ=t- t、假设值函数V（x，t）在x变量中增加。当终端效用函数u（x）自身增加时，这是一个自然的假设。然后HJB方程（7）可以重写如下：（10）电视- α(·, φ)xV+c=0，V（·，T）=u（·），其中α（x，τ，Д）是以下参数优化问题的值函数：（11）α（x，τ，Д）=minθ∈-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）, τ=T- t。以下结果的证明是[12，定理4.1]对于依赖于x和t的更一般漂移和波动率函数的直接推广，因此它被提交。定理1。假设函数（x，t，θ）7→ u（x，t，θ）和（x，t，θ）7→ σ（x，t，θ）是x，t和θ变量中的C1,1光滑，因此目标函数f（x，t，Д，θ）：=-u（x，t，θ）+Дσ（x，t，θ）在变量θ中是严格凸的∈ 对于任何∈ （最小值），∞)哪里 RN是一个紧凸集。那么x的值函数α是C1,1光滑的∈R、 τ∈ [0，T]，Д∈ （最小值），∞). 此外，Д7→ α（·，Д）是严格递增函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:31

对于α的导数，我们有αν（x，τ，Д）=（1/2）σ（x，T- τ、 ^θ（x，τ，Д）），其中^θ（x，τ，Д）∈ 是α（x，τ，Д）相对于θ的最小值的自变量。6 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCExample 2。如果我们考虑一个决策集的例子 = {θ ∈ R、 θ，θ≥ 0，θ+θ=1}，n=2，u=uTθ，σ=θT∑θ，那么值函数α的形式为：α（Д）=A^1-BД+C，如果Д>Д*,E^1+D，如果Д≤ φ*,其中常数A>0，B>0，C，D，E>0，Д*> 0取决于平均返回向量u和协方差矩阵∑，且α为C1,1连续函数，二阶导数α的一个不连续点位于ν*. 最小值^θ=^θ（Д）增加了当Д通过Д时的正权重数*. 当n>2时，αν的不连续数增加（参见[12]）。在下文中，我们将表示为xα函数α（x，τ，Д）的总微分，其中Д=Д（x，τ），即xα（x，τ，ν）=αx（x，τ，ν）+αν（x，τ，ν）xД，其中αxa和αД分别是α对变量x和Д的偏导数。变换函数Д和值函数V之间的关系由以下定理给出。定理2。假设效用函数u（x）和跨期效用函数c（x，t）是c光滑函数，并且在x变量中u是递增的，c是非递减的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:35

那么，x变量中的增函数V（x，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman方程（7）的解，当且仅当变换后的函数φ（x，τ）=-xV（x，t）/xV（x，t），t=t-τ、是拟线性抛物线非局部偏微分方程的解：-τφ + x个(xα（·，Д）- α（·，Д）Д）=b（T- τ)x个eRxx公司*Д（ξ，τ）dξxc公司,（12） ^1（x，0）=-u（x）/u（x），（x，τ）∈ R×（0，T），（13）和（14）V（x，T）=a（T）+b（T）Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdξ，t=t- τ、其中，函数a（t）和b（t）是常微分方程组的解：ddta（t）=γ（t）b（t）- c（x*, t），a（t）=u（x*),（15） ddtb（t）=ω（t）b（t）- xc（x*, t），b（t）=u（x*).（16）此处x*∈ R是固定实数，γ（t）：=α（x*, τ、 ^1（x*, τ））和ω（t）：=xα（x*, τ、 ^1（x*, τ))-α（x*, τ、 ^1（x*, τ））^1（x）*, τ）式中，τ=T- t、设V为HJB方程（7）的解，满足终端条件V（x，t）=u（x），并且xV（x，t）>0（x，t）∈ R×[0，T）。因此V解（10），即。tV=α（x，τ，Д）十五- c，其中Д=-十五/十五。因此，V由（14）给出，a（t）=V（x*, t）和b（t）=十五（x）*, t）。自从-τφ = -x个电视十五+十五x个电视(xV）=-x个电视十五- φx个电视十五、，xV=-φ十五、和xV=-x（^1）xV）=（Д）- x^1）xV，根据方程式电视- α(·, φ)xV+c=0，满足：-τφ = -十五xα十五+二xαxV+α十五+五xαxV+Дα十五- xc公司- φxc公司= -十五xα十五- φxαxV+α（Д- x^1）十五- φα 十五- xc公司- φxc公司= -x个(xα- αφ) +xV（x，t）φxc+xc公司= -x个(xα- αИ）+eRxx*Д（η，t）dηb（t）φxc+xc公司= -x个(xα- αИ）+b（t）x个eRxx公司*Д（η，τ）dηxc公司, t=t- τ.这意味着函数Д是柯西问题（12）–（13）的解决方案。通过将（10）与x微分，我们得到t型xV=x（α十五）- xc=xαxV+α十五- xc=(xα- α φ)十五- xc。取x=x*我们得出结论t型十五（x）*, t） =ω（t）十五（x）*, t）-xc（x*, t）。像十五（x）*, T）=U（x*) 我们得到b（t）=十五（x）*, t）是ODE（16）的解决方案。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-15 22:01:38

此外，作为电视（x*, t） =α（x*, τ、 ^1（x*, τ))十五（x）*, t）-c（x*, t） =γ（t）b（t）- c（x*, t），τ=t- t、和V（x*, T）=u（x*) 我们得出结论a（t）=V（x*, t）解决（15），如所述。另一方面，假设函数Д解（12）–（13）和函数a、b解（15）–（16）。然后V（x，t）由（14）个满意度给出-xV（x，t）/xV（x，t）=Д（x，τ），τ=t- t、 andV（x，t）=a（t）+b（t）Zxx*e-Rξx*Д（η，0）dηdξ=u（x*) + u（x*)Zxx公司*eRξx*u（η）/u（η）dηdξ=u（x）。满足（16）的函数b（t）是一个正函数。事实上，因为c在x处是不递减的*我们有滴滴涕b（t）e-RTtω（η）dη= -xc（x*, t） e类-RTtω（η）dη≤ 积分（t，t）上的上述不等式，我们得到b（t）- b（t）e-RTtω（η）dη≤ 0和sob（t）≥ b（T）eRTtω（η）dη=u（x*)eRTtω（η）dη>0，对于任何t∈ [0，T]。此外，作为xV（x，t）=b（t）e-Rxx*ν（ξ，τ）dξ>0，函数V（x，t）在x变量中增加。注意，对于任何ξ，我们有zxx*ξV(ξα - αД）dξ=α十五- γ（t）b（t）+Zxx*-ξVα- ξVαДdξ=α十五- γ（t）b（t）。此外，正如ν解（12），我们有-Zξx*τИ（η，τ）dη=-ξα+αД+ω（t）+b（t）eRξx*Д（η，τ）dηξc（ξ，t）- xc（x*, t）, t=t-τ.8 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCDi关于我们获得的t的差异（14）tV（x，t）=dadt+Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdbdt+bZξx*τИ（η，τ）dηdξ=dadt+Zxx*e-Rξx*Д（η，τ）dηdbdt+b(ξα - αφ) - bω-eRξx*Д（η，τ）dηξc（ξ，t）+xc（x*, t）dξ=dadt+Zxx*ξV(ξα - αД）dξ- c（x，t）+c（x*, t） =α（x，τ，Д（x，τ））xV（x，t）- c（x，t），τ=t- t、这意味着V（x，t）解方程（10）。自从xV>0时，函数V求解hjb方程（7），如所述。请注意，抛物型常微分方程组（12）–（16）也可以重写为两个拟线性抛物型方程组。实际上，让我们表示（17）ψ（x，τ）=b（t）eRxx*Д（ξ，τ）dξ，t=t- τ.那么，通过（14），我们得到ψ（x，τ）=1/xV（x，t）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:41

关于（10），我们获得-τψ = -(十五）x个电视=-(十五）xαxV+α十五- xc公司= -xαψ+αψ+ψxc。像xψ=ψ，我们得到xψ=xψ- φ xψ。自从xα=αДxν+αx，我们得出结论，函数ψ满足以下抛物方程：-τψ + αφxψ- (αφφ + α)xψ+αxψ- ψxc。终端条件ψ（x，T）可以从终端条件V（x，T）=u（x）中推导出来。也就是说，ψ满足初始条件ψ（x，0）=1/u（x）。总之，我们展示了以下定理：定理3。假设终端效用函数u（x）和跨时函数c（x，t）是Cs光滑函数，并且在x变量中u是递增的，而c是非递减的。那么，x变量中的增函数V（x，t）是Hamilton-Jacobi-Bellman方程（7）的解，当且仅当变换函数对（ν，ψ）（x，τ）=-xV（x，t）/xV（x，t）和ψ（x，τ）=1/xV（x，t），t=t- τ、是拟线性抛物型偏微分方程组的解决方案：-τφ + x个(xα（·，Д）- α(·, φ)φ) = x（ψ）xc，（18）-τψ + αφxψ- (αφφ + α)xψ+αxψ- ψxc=0，（19）Д（x，0）=-u（x）/u（x），ψ（x，0）=1/u（x），（x，τ）∈ R×（0，T），（20），值函数V（x，T）由（14）给出。在这一点上，我们要强调所建议的方法的优势。通过定义（11）中的α并随后设置（12）或（18）–（19）中的PDE，可以预先计算函数α，然后将其作为已知函数插入相应的PDE中。这样，我们就不必分别处理每个x和t中（7）的最大化算子，这大大简化了计算过程。接下来，我们推导（12）的解ν（x，τ）的先验界。我们将使用抛物线比较原理（参见[27]）。为此，我们需要通过以下假设来限制值函数α和效用函数u，c的形式：A1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:44

值函数α（x，τ，Д）在以下意义上是可分离的：α（x，τ，Д）=α（Д）+α（x，τ），其中|α是一个C1,1光滑的严格递增函数，具有一个有界的Lipschitz连续导数∈ （最小值），∞) α是x中的Csmooth函数∈ Randτ∈ [0，T]变量。A2、存在常数Д、Д∈ R，使Дmin≤ φ ≤ 0≤ 以及函数α和c满足估计值：xα（x，τ）- φxα（x，τ）≤ 0≤ xα（x，τ）- φxα（x，τ），Дxc（x，t）≥ -xc（x，t）≥ φxc（x，t），xc（x，t）≥ 0，t=t- τ、对于任何x∈ R和τ∈ [0，T]。示例3。如果α（x，τ，Д）=Дα（Д）- ε（τ）e-x个- 带ε的r（τ）≥ 0是第2节中介绍的值函数，然后定义|α[-1.∞) α（x，τ）=-ε（τ）e-x个- r（τ）满足假设（A2），其中φ=-1和任何≥ 形式c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t）带κ，d≥ 满足度（A2）（如果）≥ d、定理4。假设效用函数u（x）是x的Csmooth严格递增函数∈ R、假设值函数α和跨期效用函数C用常数ν满足假设（A）≤ 0≤ φ.如果效用函数满足不等式≤ ^1（x，0）=-u（x）/u（x）≤ 对于anyx∈ R、然后，对于（12）的有界解，我们有一个先验估计：ν≤ Д（x，τ）≤ 对于任何τ∈ [0，T）和x∈ R、设ψ（x，τ）为C光滑非负函数，ψ（x，τ）≥ 让我们定义抛物线运算符：L（ν）≡ -τφ + x个(xα（·，Д）- α(·, φ)φ) - φ ψ xc。由于α（x，τ，Д）=α（Д）+α（x，τ），我们得到了L（Д）=xα- ~φxα- ~φ ψ xc表示任何恒定功能∈ R、因此，对于常数函数Д、Д和非减量函数c，以及满足假设（A2）的α，我们有（Д）≥ -φψxc公司≥ ψxc公司≥ -φψxc公司≥ L（Д）。现在，让^1成为（12）的解决方案。那么L（ψ）=ψxc，其中ψ（x，τ）=eRxx*Д（ξ，τ）dξb（T-τ )> 0. 请注意以下事实：xψ=Дψ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-6-15 22:01:48

因此，有界解Д满足以下不等式：L（Д）≥ L（^1）≥ L（Д）。如果初始条件满足不等式Д≤ ^1（x，0）=-u（x）/u（x）≤ 对于anyx∈ R然后，应用抛物线比较原理（参见[27]），我们得到（12）的有界解满足不等式≤ Д（x，τ）≤ 对于任何τ∈ [0，T]和x∈ R、如所述。10 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCBy Hk+λ(Ohm), 0<λ<1，表示由‘’上所有一致连续函数组成的Banach空间Ohm = [xL，xR]其k阶导数是一致λ-H¨older连续的，即H¨older半范数HИi（λ）k=supx，y∈Ohm,x6=y|kxИ（x）- kxИ（y）|/| x- y |λ是有限的。LetQT=Ohm ×（0，T）是有界圆柱。继Ladyzhenskaya等人[20]之后，我们引入了抛物线H¨older空间H2k+λ，k+λ/2（QT），该空间由所有连续函数构成→ R使功能kτИ，2kxД在x变量中是λ-H-older连续的，在τ变量中是λ/2-H-older连续的。定理5。允许Ohm = （xL，xR）是有界间隔。假设α（x，τ，Д）在t上为Csmoothin∈ [0，T]和x∈ Ohm 变量，C1,1在Д变量中光滑，且0<α-≤ αИ（x，τ，Д）≤ α+< ∞ 对于任何x∈ Ohm, τ ∈ [0，T]和Д≥ 最小假设值∈ H2+λ，1+λ/2(OhmT）对于某些0<λ<1/2，c（x，T）是x变量中的非递减函数。如果初始条件φ（·，0），ψ（·，0）∈ H2+λ(Ohm), 然后，拟线性抛物方程组（18）–（20）在xL，xR处存在一个经典解（ψ，ψ），该解满足规定的Richlet边界条件。此外，η，ψ∈ H2+λ，1+λ/2(OhmT）式中，η（x，τ）=α（x，τ，Д（x，τ））。函数τ7→ τИ（x，τ）是λ/2-H–对于所有x是连续的∈ R此处x 7→ xИ（x，τ）对于所有τ都是Lipschitz连续的∈ [0，T]。证据这个证明类似于[12，定理5.3]，其中我们证明了在c≡ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:51

证明方法基于Schauder型估计（c.f.[20]）。由于扩散函数α在Д变量中不需要是C2+λ平滑的，我们首先使用辅助函数η=α（·，Д）重写系统（18）–（20）。然后，φ=β（·η），其中β是严格递增函数α的反函数，即φ=β（·α（·η））。此外，βη=1/αД和τφ = βητη + βτ. 然后系统（18）–（20）可以改写为以下形式：（21）τΦ = δ(·, η)xΦ+F（·，Φ），Φ（x，0）=Φ，其中Φ=（η，ψ），δ（·，η）=αД（·，β（·，η））=1/β（·，η），和F（·，Φ）=-δ[x（ηβ）+x（ψ）xc）+βτ]，-(β/βη+ η)xψ+αxψ- ψxc公司.注意，存在常数α±0<α-≤ δ ≤ α+< ∞. 应用函数η7的C2+λ正则化→ δ（·，η）并根据[12，定理5.3]的证明和正则化方程经典解的存在性结果（c.f.[20，Ch.V，pp.495-496]），我们得出弱解Φ的存在性∈ （21）的W2,1（QT）满足规定的Dirichlet边界和初始条件。回想一下，抛物面Boblev空间W2,1（QT）由所有平方可积函数Φ组成∈ L（QT）使得xΦ，xΦ，τΦ ∈ L（QT）。空间W2,1（QT）连续嵌入到H¨olderspace Hλ，λ/2（QT）中，0<λ<1/2（c.f.[20]）。其余的证明基于simplebootstrap参数。弱解Φ∈ W2,1（QT）是线性方程的解：（22）τΦ=△δ（x，τ）xΦ+￠B（x，τ）xΦ+~B（x，τ）Φ，Φ（x，0）=Φ（x），其中扩散系数δ（·）=δ（，，η（·）），以及2×2矩阵▄B，▄Bbelong to hλ，λ/2（QT），因为η，ψ∈ Hλ、λ/2（QT）和δ是Lipschitz连续函数。根据[20，定理12.2，第三章]我们有（η，ψ）≡ Φ ∈ H2+λ，1+λ/2（QT），其中η=α（·，φ）。下面是定理的证明。5.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:54

数值近似格式我们提出的求解拟线性抛物型方程（12）的数值格式是基于半隐式时间近似方法。空间离散基于有限体积近似方案（参见LeVeque[21]），结合Mikula和K'utik在[19]中提出的非线性方程迭代求解方法。在[12]和[13]中，针对不存在跨期效用函数（即c=0）的情况，提出并分析了求解转换后的HJB方程的方法。在这种情况下，对实验收敛阶的分析表明，相对于空间离散化步骤，收敛阶为二阶（见[19]、[12]）。方程（12）属于一类广义的拟线性抛物方程：（23）τφ = xA（x，τ，Д）+xB（x，τ，Д）+C（x，τ，Д），满足初始条件Д（x，0）=-u（x）/u（x），其中x∈ R、 τ∈ （0，T）。其中a（x，τ，Д）=α（x，τ，Д），B（x，τ，Д）=-α（x，τ，Д）Д，andC（x，τ，Д）=-eRxx公司*Д（η，τ）dηb（T- τ)Д（x，τ）xc（x，T- τ) + xc（x，T- τ).5.1. 变换后的非局部抛物型方程的半隐式时空离散化。由于x变量的原始空间域是无界的，我们首先将其截断为有界计算域[xL，xR]，并使用均匀空间离散网格点xi=xL+ih表示i=0，···，n+1，其中h=（xR- xL）/（n+1）。因此x=xl和xn+1=xR。根据双有限体积的概念（参见[21]），内部网格点xi，i=1，···，n是双有限体积的中心（xi-, xi+。在下文中，双卷将用（xi）表示-, xi+，即xi±=xi±。显然，h=xi+- xi-. 时间离散级别设置为τj=jk，j=0，···，m，其中k=T/m，m是时间离散步骤数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:01:57

如果我们在双有限体积上积分方程（12），在左侧积分上应用中点规则，并通过欧拉前向有限差近似时间导数，我们得出以下方程组：（24）Дj+1i=kh（Ii+Ji）+ДJi，i=1，··，n，j=0，··，m- 1，其中（25）Ii=Zxi+xi-x个(xA+B）dx=Ax+A^1x^1+Bx=xi+x=xi-,和积分rxi+xi-区间Cdx（xi-, xi+通过中点规则积分来近似，即（26）Ji=Zxi+xi-Cdx公司≈ -heRxix公司*Д（η，τ）dηb（T- τ)^1ixc（xi，T- τ) + xc（xi，T- τ).让我们表示dji±=A（xi，τj，Дji），Eji±=Ax（xi，τj，Дji），Fji±=B（xi，τj，Дji），12 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇCand近似导数在双网格点（xi±x）处，通过中心差：x|ji+≈^1ji+1- ^1jih，x|ji-≈^1ji- ^1ji-1小时。让我们确定一个点x*= xi*对于某些空间索引i*. 对于integralRxx*出现在非局部项jit时间层j（表示为Jji）中的Д（η，τ）dη我们使用梯形积分规则：Zxix*Дj（η，τ）dη≈ Φji- Φji*式中Φji=h（Дj（xL）+2Дj（x）+···+2Дj（xi-1） +Дj（xi）），可以递归计算如下：Φj=h（Дj（xL）+Дj（x）），Φji+1=Φji+h（Дj（xi）+Дj（xi+1）），对于i=1，··，n- 因此（27）Jji=-何宝吉-Φji*北京^1jixc（xi，T- τj）+xc（xi，T- τj）.这里bj是解b（T）的离散显式/隐式Euler近似- τj）至theODE（16）：-db/dτ=ωb- xc（x*, T- τ），即（28）bj+1=（1- kωj）bj+kxc（x*, T- τj），b=u（x*), j=0，···，m- 1，当显式处理时，或（29）bj=1+kωj（bj-1+kxc（x*, T- τj）），b=u（x*), 当隐式处理时，j=1，···，m。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:00

这里ωj=ω（T- τj）=(xα- αИ）| x=x*可近似为ωj=αx（x*, τj，Дji*) + αИ（x*, τj，Дji*)^1ji*+1.- ^1ji*-12小时- α（x*, τj，Дji*)^1ji*= Eji公司*+ Dji公司*^1ji*+1.- ^1ji*-12小时+Fji*.为了计算新时间层τj+1处的解，我们从上一时间层τjan中取下术语Dji±、Eji±、Fji±和术语新层τj+1的x|j+1i±。将新层项重新排列到左侧，将旧层项重新排列到右侧，我们得到一个三对角线性代数方程组：-khDji+Дj+1i+1+（1+kh（Dji++Dji-))^1j+1i-khDji-^1j+1i-1=kh（Jji+Eji+- Eji公司-+ Fji公司+- Fji公司-) + Иji，（30），可通过Thomas算法高效快速地求解。我们在边界xL，xR处假设Neumann边界条件。更准确地说，对于所有τ，在x=xL，xR时，xИ（x，τ）=0∈ （0，T）.边界条件可以从方程（12）的渐近行为推导出x→ ±∞. 离散化后，这些边界条件的形式为：Дj=Дj，Дjn+1=Дjn。5.2. 与求解HJB方程的策略迭代法的比较。在这一节中，我们讨论了数值近似格式（30）和固定策略迭代方法的比较，以解决Huang等人【8】和Reisinger及Witte【28】研究的HJB方程。表示Vj=V（·，T- τj），cj=c（·，T- τj）。然后，HJB方程（7）的时间隐式时间离散化可以写成如下：（31）-Vj公司- Vj公司-1k+最大θ∈u(·, θ)xVj+σ（·，θ）xVj公司+ cj=0，V=u，对于j=1，···，m。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:04

即，（32）-Vj公司- Vj公司-1公里--u（·，θj）xVj+σ（·，θj）xVj公司+ cj=0，其中（33）θj=arg minθ∈-u(·, θ)xVj公司-σ(·, θ)xVj公司.固定策略迭代方法包括替换θjbyθj-1in（32）和求解Vj的线性方程，即。-Vj公司- Vj公司-1公里--u（·，θj-1)xVj公司-σ（·，θj）-1)xVj公司+ cj=0。自从-u（·，θj-1)xVj公司-σ（·，θj）-1)xVj=(-u（·，θj-1） +σ（·，θj-1） ^1j）xVj=(-u（·，θj-1） +σ（·，θj-1） ^1j-1+σ（·，θj）-1）（^1j- ^1j-1))xVj=（α（·，νj-1） +αД（·，Дj-1）（^1j- ^1j-1))xVj，用于求解HJB方程（10）的固定策略迭代法对应于通过半隐式格式（30）转换方程（12）的数值解，其中α通过其在νj处的线性化来近似-1来自上一时间步τj-1、备注2。我们的方法的主要优点是双重的。首先，我们使用一个表示投资者风险厌恶的转换函数Д。截断域的边界条件可以自然地建立，例如齐次Neumann边界条件。对于用跨期值函数V表示的原始问题，在处理V的小值和大值以及处理V的边界条件时，可以期望得到无界指数型解和数值问题。其次，优点在于可以快速有效地计算值函数α，而不是计算θjin（33）。当处理涉及凸二次规划的问题时，这可能很有用，例如最坏情况下的投资组合选择问题，可以使用有效的工具来解决凸二次规划优化问题（参见[14]）。计算结果和结论6.1。行波解的数值基准。假设valuefunctionα仅取决于Д变量（例如。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:08

我们在（2）–（3））和14 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇC中设置ε=0，r=0-20-10 0 10 20-1.-0.500.51xД（x，τ）行波解-20-10 0 10 20-2.-1012x 10-3xхEXP- ^1溶液的数量差异图1。（左）时间τ=jT/10，j=0，····，10和参数T=1，v=5，h=0.01的行波解Д（x，τ）图和（右）显式解和数值解之间差异图。跨期效用函数如下：c（x，t）=W（x- v（T- t），其中W（ξ）=-v+α(-u（ξ）/u（ξ））u（ξ）。注意c（x，T- τ） =W（x- vτ）。此处v∈ R是给定的恒定行波速度。那么函数V（x，t）=u（x- v（T- t））满足以下等式：电视（x，t）- α-xV（x，t）/xV（x，t）xV（x，t）=--v+α(-u（x+v（T- t））/u（x- v（T- t）））u（x- v（T- t））=-W（x）- v（T- t））=-c（x，t），即V（x，t）是HJB方程（10）的解，V（x，t）=u（x）。因此，函数（34）Д（x，τ）=-u（x- vτ）/u（x- vτ）是（12）的行波解，满足初始条件Д（x，0）=-u（x）/u（x）。形式（34）的显式解可用于检验我们的数值近似模式。作为测试示例，可以考虑以下形式的效用和值函数：u（x）=arctan（x），α（Д）=Д- 1/(φ + 2).然后，u表示一个凸凹效用函数，其变量绝对风险规避a（x）由a（x）=-u（x）u（x）=2x1+x。如果我们设置c（x，t）=W（x- v（T- t））则Д（x，τ）=a（x- vτ）=-u（x- vτ）/u（x- vτ）是（12）的解，满足初始条件Д（x，0）=a（x）=2x/（1+x）。因此，V（x，t）=u（x- v（T- t））是HJB方程（10）的行波解。图1（左）描绘了时间τj=jT/10，j=0，···，10的行波解，其中T=1，v=5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:11

对于数值解，我们考虑了截断计算域[xL，xR]=[-20，20]和Dirichlet边界条件Д（xL，τ）=a（xL- vτ），Д（xR，τ）=a（xR- vτ），对于所有τ>0，这与显式解的精确值一致。表1：。L∞（（0，T）：L（xL，xR））和L∞（（0，T）：L∞（xL，xR））空间步长h和时间步长k的数值解的误差范数=精确行波解。相应的实验收敛阶。h L∞（（0，T）：L）-错误EOCk=hL∞（（0，T）：L∞))-err EOCk=h0.05 1.1886e-01–5.8577e-02–0.025 3.2102e-02 1.8885 1.5919e-02 1.87960.0125 8.1969e-03 1.9695 4.0718e-03 1.96700.01 5.2598e-03 1.9882 2.6133e-03 1.98740.0051.3196e-03 1.9949 0.6558e-03 1.9945让^1说明显式行波解，并对通过我们的近似方案见第5节。房东∞离散规范定义如下：kkL=shXii，kkL∞= 最大值|Дi |，解决方案之间的误差为错误∞,p（h）=kexpl- ^1numkL∞（（0，T）：Lp）=最大τjkИexpl（·，tj）- ^1num（·，tj）kLp，p=2，∞.我们考虑了空间和时间离散化步骤之间的以下关系：k=h。假设误差（h）=O（hδ），可以通过实验收敛阶（或收敛比）获得阶参数δ的估计。它可以根据空间L的范数定义∞（（0，T）：L（xL，xR））如下：EOCj=ln（误差（hj+1）/误差（hj））ln（hj+1/hj），j=1，··，j，其中h>h>··>hj。表1总结了EOC的计算结果。数值结果表明，所提出的数值方法具有二阶收敛性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:15

这与作者在[12]中的早期结果一致，在[12]中，我们展示了c=0的特殊情况下相同的实验收敛顺序。显式解和数值解的差异示例- 图1（右）所示为numis。我们可以观察到，在函数Д陡峭的地方，误差最大。6.2. 动态投资组合优化示例。现在，我们以一个动态投资组合优化的例子来说明所提出方案的解。继Kilianov\'aandˇSevˇcoviˇc【12，13】之后，我们考虑了一个随机动态投资组合优化问题，该投资组合由30只股票组成，构成了2010年8月至2012年4月的德国DAX30股指。为了进行比较，我们选择了与[12，13]中相同的数据集。对于漂移和波动性函数，我们将采用其形式：u（x，t，θ）=utθ-θT∑θ+εe-x、 σ（x，t，θ）=θt∑θ，其中∑是正定义协方差矩阵。函数α（x，τ，Д）可以重写如下：α（x，τ，Д）=α（Д）- εe-x、式中，α是参数16 SOˇNA KILIANOV\'A和DANIELˇSEVˇCOVIˇC的值函数-1 0 1 2 3 4 5-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.2φα(φ)-1 0 1 2 3 4 5-6.-5.-4.-3.-2.-101Дα00（Д）图2。由DAX30股票组成的投资组合的值函数▄α及其二阶导数▄α（Д）图。资料来源：Kilianov\'a和ˇSevˇcoviˇc【12，13】。二次优化问题（35）～α（Д）=minθ∈-uTθ+Д+1θT∑θ.图2描述了函数|α的图形示例，其中u和∑是从DAX30数据集获得的。我们可以在α的二阶导数图中观察到跳跃。事实上，根据定理1，函数α仅为C1,1连续。此外，α中的跳跃对应于具有正权重的指数集{i：θi>0}被一个新指数放大（cf。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:18

[12, 13]).至于效用函数，我们使用u（x）=-e-终端实用程序的ax和c（x，t）=-κe-dx公司-%（T-t）对于跨期效用。我们示例中使用的效用函数参数为：a=9，κ=1，d∈ {0, 8, 11},% = 0. 模型数据对应的参数为：ε=1。数值模式的参数为：h=0.01，k=0.5h，xL=-4，xR=8，x*= x=-2.01，i*= 注意解决方案不依赖于x*因此可以选择任意x*. 然而，一个合适的x选择*这对于稳定数值计算非常重要。自由参数x*在（12）中输入积分项以及b的ODE，即（16）。我们计算φ的函数α∈ (-1，15），细分步骤hД=0.05。投资期为T=1。图3给出了d=0的数值结果（一个平凡的跨时函数C的情况≡ 0），d=8和d=11。我们可以观察到的主要区别是，对于没有跨期效用函数的问题，我们得到了一个在区间[xL，xR]上递增的解ν（x，τ），对于非平凡跨期效用函数的问题，解ν（x，τ）在x中是非单调的。当τ接近成熟度T时，它最终在x变量中递增。此外，与没有跨期效用函数的情况相比，ν的值范围是一个较小的区间。这会产生一个实际的结果：对于d，由于Д在x变量中有一个很小的变化≈ a、所以-4.-2 0 2 4 80246810xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）-4.-2 85678910xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）-4.-2 0 2 4 87891011xД（x，τ）解Д（x，τ）-4.-2 0 2 4 6 800.20.40.60.81xθ（x，τ=T）τ=T时的最佳θ（x，τ）图3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:21

在时间实例jT/10，j=0，····，10，T=1，h=0.01，k=0.5，对于d=0（左上）的最优投资组合权重θ（x，τ=T）。恒定的蓝线是初始条件，然后解Д（x，τj）从左（绿色曲线）向右移动，以增加τj。右上图描述了τ=T时主动投资组合权重θi>0的依赖性。下一个箭头对应于d=8（中间）和d=11（底部）。计算最佳权重θ的向量（见图3，右栏）。注意，在ε=0的情况下，c≡ 0有一个常数解ν（x，τ）≡ ν（x，0）=a到（12），对应于最优投资组合选择问题的所谓默顿解（参见[24]）。注意，该解决方案满足定理4.18 SOˇNA KILIANOV\'a和DANIELˇSEVˇCOVIˇCIn总结中得出的先验估计，当考虑与终端效用函数u（x）具有类似行为的非平凡跨期效用函数c（x，t）时，对最优投资组合选择有非平凡的影响。我们进一步证明了变换后的HJB方程（12）的最优解ν（x，τ）不必单调递增。就最优投资组合选择向量θ而言，表示活跃集的一些股票的最优权重θ可以达到相对于x变量的局部最小值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:25

在没有跨期效用和最近论文中研究的ε>0的非平凡投资组合的模型中，无法观察到这种行为【12，13】。就Riccati变换方法的数值方面而言，我们发现，与基于固定策略迭代法或其他显式数值近似方法的传统数值方法相比，使用该变换可以通过基于有限体积近似的现代数值方法更有效地求解拟线性抛物方程。致谢VEGA 1/0062/18和DAAD ENAEFA-2018资助了作者。参考文献【1】R.Abe和N.Ishimura。\'最优投资问题中非线性偏微分方程解的存在性。”过程。日本Acad。，序列号。A 84（1）（2008），11–14。[2] V.Agarwal和N.Y.Naik。”涉及对冲基金的风险和投资组合决策。”金融研究回顾17（1）（2004），63–98。[3] K.J.箭头。风险承担理论方面。（风险规避理论。赫尔辛基：YrjoJahnssonin Saatio。再版于：Markham Publ.Co.，芝加哥，1971），（1965），90–109。[4] B.Bank、J.Guddat、D.Klatte、B.Kummer和K.Tammer。非线性参数优化。授权编辑（Birkhauser Verlag，马萨诸塞州巴塞尔波士顿，1983年）。[5] D.P.Bertsekas。动态规划和随机控制。（学术出版社，纽约，1976年）。[6] S.布朗。”风险受限的动态主动投资组合管理。”《管理科学》46（9）（2000），1188–1199。[7] S.Federico1、P.Gassiat和F.Gozzi。”财富上当前效用的效用最大化：HJB方程解的正则性。”《金融》Stoch 19（2015），415–448。[8] Y.Huang、P.A.Forsyth和G.Labahn。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-15 22:02:28

“金融中HamiltonJacobi-Bellman方程的固定点和政策迭代组合。”暹罗J.数字。肛门。50 (4) (2012), 1861–1882.[9] N.Ishimura、M.N.Koleva和L.G.Vulkov。”期权定价中非线性模型转换方法的数值解。AIP会议记录1301（1）（2010），387–394。[10] N.Ishimura和D.Sevˇcoviˇc.“关于具有不等式约束的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的行波解。”日本工业株式会社。数学30 (1) (2013), 51–67.[11] I.Karatzas、J.P.Lehoczky、S.P.Sethi和S.Shreve。”一般消费/投资问题的显式解决方案”。数学操作。第11（2）（1986）号决议，261-294。[12] S.Kilianov\'a和D.Sevˇcoviˇc.“求解约束动态随机最优分配问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的变换方法”。《安齐亚姆杂志》第55期（2013），第14-38页。[13] S.Kilianov\'a和D.Sevˇcoviˇc.“动态随机投资组合优化中基于风险偏差的夏普比率的预期效用最大化和条件价值”。2017年提交。[14] S.Kilianov'a和M.Trnovsk'a.“通过解决Hamilton-JacobiBellman方程实现稳健投资组合优化”。《计算机数学杂志》93（2016），725–734。[15] 科列娃先生。”养老金储蓄管理中非线性抛物问题的迭代解法。AIP会议记录1404（1）（2011），457–463。[16] M.N.Koleva和L.Vulkov。”全非线性抛物线问题的拟线性化数值格式及其在数学金融模型中的应用。数学和计算机建模57（2013），2564–2575。[17] I.Kossaczk\'y、M.Ehrhardt和M.G¨unther具有控制独立模板的树状网格方法。《2017年Equadiff会议记录》，K.Mikula，D.Sevˇcoviˇc，J.Urbˇan Eds.，斯洛伐克理工大学，2018年Spektrum，79-88。[18] I.Kossaczk\'y，M。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝