给定ξv（通过C2），它也与给定ξv（通过C3-SD（ii））的随机过程{uv（l）}条件独立。因此，{（Wvh，Lvh）}Nvh=1是有条件的i.i.d.（{uv（l）}，ξv），这意味着（Wvh，Lvh）⊥ （Wvk，Lvk）|（{uv（l）}，ξv）。因为它也认为（Wvh，Lvh）⊥ {uv（l）}ξv，我们应用Q=（Wvh，Lvh），R=（Wvk，Lvk），S={uv（l）}的条件独立关系（63），得到（Wvk，Lvk，{uv（l）}）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv=> （Wvk，Lvk，{uv（l）}）⊥ Wvh |（Lvh，ξv）=> （Wvk、Lvk、uv（Lvk）、uv（Lvh））⊥ Wvh |（Lvh，ξv）=> （Wvk、Lvk、uv（Lvk））⊥ Wvh |（Lvh，uv（Lvh），ξv），其中第二行和第四行的导数使用了以下条件独立关系：对于随机对象T、U、v和C，如果T⊥ （U，V）| C，然后T⊥ U |（V，C）；对于第二行，我们设置T=（Wvk，Lvk，{uv（l）}），U=Wvh，V=Lvh，C=ξV；对于第四条线，T=Wvh，U=（Wvk，Lvk，uv（Lvk）），V=uv（Lvh），C=（Lvh，ξV）。稍微滥用符号，我们写∏vh=(R)ψv（Lvh，uvh，ξv）。（19） 线性索引x结构：我们现在指定效用函数的形式。由于很少有大型对等群体（例如，我们的应用数据集中有11个大型村庄），我们无法一致地估计信念∏vh对选择概率函数的影响，非参数地保持其他回归系数不变。因此，继Manski（1993）和Brock和Durlauf（2001a，2007）之后，我们假设一个η=（η，η）′的线性指数结构，即。实用程序由u（y）给定- p、 π，η）=δ+β（y- p） +απ+η，U（y，π，η）=δ+βy+απ+η，（20）其中，与假设1-2相对应，我们假设β>0，β>0，即数字不满足，β不需要等于β，即可以存在收入效应，并且α≥ 0≥ α、 即，合规性产生更高的效用。

如上文第2节所述，这些效用可以被视为与多个参与者的不完全信息博弈中的托拜斯-纳什均衡对应的预期效用。在下面的第4节中，我们将在讨论福利计算时提供（20）中个人系数解释的更多细节。这些细节在本节剩余部分中不起任何作用。利用（20）和ηvh=ξv+uvh（见（3））的结构，ξv：=（ξv，ξv）′，uvh：=（uvh，uvh）），可以得出u（Yvh- Pvh，∏vh，ηvh）- U（Yvh，∏vh，ηvh）=（δ- δ) + (β- β） Yvh公司- βPvh+（α-α） ∏vh+ξv- ξv+uvh- uvh≡ cPvh+cYvh+α∏vh+’ξv+εvh，（21）其中我们定义了‘ξv：=c+ξv- ξv.回想一下，C2和C3-SD中的概率条件是以村庄（实现值）固定的未观察到的异质性ξv为条件的，如关于面板数据模型的计量经济学文献中所述。从这个意义上说，我们可以(R)ξv非随机性。事实上，考虑到每个村庄的许多观测值(R)ξv可以估计，并包含在一组待估计的参数中。我们将在下面的第4.4节中进一步讨论这一点。计量经济学规范：我们现在提供替代估计值。要做到这一点，我们需要更多的符号。设θ=（c′，α）′表示（偏好）参数向量，其中c=（c，c）′是对应于Wvh=（Pvh，Yvh）′的系数向量。在第3节的其余部分中，这是否是因为在I.I.D.（有条件）情况下，村庄内的∏vhis恒定不变，而这种恒定性也适用于空间情况下的极限模型。特别是，由于维度问题，固定点约束没有帮助。

事实上，定点条件：π=Rq（p，y，π）dFP，y（p，y），其中FP，y（p，y），识别（p，y）的联合CDF，未知函数q（p，y，π）的维数高于可观测的FP，y（p，y）。假设村庄固定参数\'ξ，已知“ξ”变量，这是为了符号的简单性；这一假设并没有改变关于估计量收敛性的任何实质性论点。我们在下文中讨论了这些参数的识别/估计方案，并为“ξ，…”，使用附录A.4中的一种识别方案（例如同质性假设）估算出的ξ变量。给定（19）和（21），我们可以写出avh=1W′vhc+’ξv+α′ψv（Lvh，uvh）+εvh≥ 0. （22）为了结合ψvin估计的定点特征，在这里我们写下ψv（Lvh，uvh）=ψv（Lvh，uvh，ξv）以简化符号，我们可以假设s-Tocastic过程{εvh}的空间依赖性参数模型，这需要计算函数方程定义ψv。对应于定义uvh=uv（Lvh），uv（l）=（uv（￠l），uv（￠l）），我们假设εvh=εv（Lvh），其中{εv（l）}是一个定义为εv（l）=uv（l）的随机过程- 紫外线（l）。我们让H（| e | e，| | l）- l | |；θ*)为εv（l）=uv（l）的条件分布- 给定εv（l）=e的uv（l），由有限维参数θ参数化∈ Θ，且（伪）真值由θ表示*. 我们还用H（e）写出了εv（～l）的边缘CDF及其概率密度H（e）。在续集中，我们还编写了-εv（l）等于Fε（e），因此H（e）=1- Fε(-e） 。

（εv（≈l），εv（l））isRs的联合分布函数≤eH（| e | s，| l）- l |；θ*)h（s）ds，给定位置指数l和l。对于包含定点限制的d-evelop估计器，基于h定义以下函数：Fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）：=Z Z1{▄w′c+▄ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+▄e≥ 0}dH（▄e▄e，▄l- l |；θ） dFvW L（￠w，￠L），（23）对于v=1，\'\'v，其中Fv、 NV是从一个[0，1]值函数g=g（l，e；θ，θ）到另一个函数F的函数运算符v、 Nv【g】，FvW L（w，L）是（Wvh，Lvh）的联合CDF。我们为该F提供了有效条件v、 NV为附录a.3中的收缩。鉴于上述设置，将模型定义为：Avh=1W′vhc+’ξv+αψv（Lvh，εvh；θ，θ）+εvh≥ 0θ=θ*; θ=θ*, （24）式中θ*（=（c）*′, α*)′) 和θ*表示真参数和ψv（Lvh，εvh；θ，θ）是通过运算符（23）定义的函数方程的解（对于给定的每个（θ，θ））：ψ=Fv、 Nv[ψ]；（25）该规范暗示了{εv（l）}的成对平稳性，即εv（| l）和εv（l）的联合分布仅取决于距离| l- l |。对于我们的目的来说，平稳性并不是绝对必要的，但为了简单起见，需要保持平稳性。我们还可以指定整个εv（l）的全关节分布（对于任何l∈ Lv，或任何l，l，lq公司∈ Lvwithq为任意整数；例如，高斯过程），这不会影响我们的估计方法。满足C1、C2、C3-SD和一些正则性条件（如下所示）。此后，将假设模型（24）为观测变量{（Avh，Wvh，Lvh）}Nvh=1（v=1，…，v）的DGP。3.1计量经济学估计值定义估计值：目前假设th为真参数θ*给出了空间相关性。

然后，基于（22），我们确定了真正的偏好参数θ*（即我们的估计）作为条件矩限制的解：e[{Avh- Cv（Wvh，Lvh；θ，θ*)}|Wvh，Lvh]=0（v=1，…，v），（26），其中Cv是条件选择概率函数：Cv（Wvh，Lvh；θ，θ）：=ZW′vhc+’ξv+αψv（Lvh，e；θ，θ）+e≥ 0dH（e）。（27）基于极限模型的实际估计器：考虑到我们的参数设置，我们可以通过求解固定点方程（25）的经验版本来计算（27）的经验模拟。下面用^θSD表示的估计量在实践中很难计算。因此，我们考虑了一种基于模拟条件矩条件的替代估计器：E[平均值-FεW′vhc+’ξv+α′πv|Wvh]=0（v=1，…，v）。（28）这是从极限信念为πv的极限模型得出的，它不依赖于未观察到的异质性和其他（v，h）特殊变量。事实上，极限模型并非真正的DGP，而第（28）项在C3-SD下的规定错误（在C3-IID下的规定正确）。尽管如此，我们认为基于（28）的估计量（我们最终在经验应用中使用）可以在渐近意义上得到验证。这个更简单的估计量由以下公式给出：^θBR=argmaxθ∈ΘLBR（θ），其中^LBR（θ）：=N'vXv=1NvXh=1Avhlog FεW′vhc+’ξv+α^πv+(1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α^πv, （29）其中θ=（c′，α）′，Θ是紧致于RDD的参数空间-1是Wvh的维数，N=P'vv=1Nv，常数信念'πv（出现在极限模型中）通过'πv=NvPNvh=1Avh估计。

我们使用标签“BR”作为该估计量，因为它基于Brock，并注意到第3节中的所有（条件）期望，E[·]和E[······]是根据Avh、Wvh、Lvh和εvh（=εv（Lvh），或uvh=uv（Lvh）的定律，条件是u非均匀性ξv（或ξv）。Durlauf（2001a）型公式。该估计器^θ易于计算，因为其目标函数^LBR（·）既不需要解决定点问题，也不需要任何数值积分，其中信念公式基于具有常数信念‘∏v的极限模型。下面，我们证明了复杂估计器^θSD（基于（24））和简单估计器^θ具有相同的极限。有限人博弈的势估计：我们现在正式介绍了基于（26）的计算困难势估计量^θSDbased。通过以下目标函数定义：^LSD（θ，θ）：=N'vXv=1NvXh=1nAvhlog^C（Wvh，Lvh；θ，θ）+（1- Avh）logh1-^C（Wvh，Lvh；θ，θ）Io其中，^C是对条件选择概率的估计，该概率明确包含条件选择概率和定点特征：^C（Wvh，Lvh；θ，θ）：=ZnW′vhc+(R)v+α^ψv（Lvh，e；θ，θ）+e≥ 0odH（e），（30）和^ψv（Lvh，e；θ，θ）是信念的估计量，定义为每个（θ，θ）的以下函数方程的解：ψ=^Fv、 Nv[ψ]f或v=1，五、（31）华氏度v、 Nvis是F的经验版本v、 Nv（在（23）中定义），其中真实FvW，Lis替换为^FvW，L：^Fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）：=Z Z1{▄w′c+▄ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+▄e≥ 0}dH（▄e▄e，▄l- l |；θ） d^FvW，L（▄w，▄L）。（32）本^ψvis（23）解的经验版本。这一点的一个显著特征是，它是u非服务异质性的函数（由变量e表示）。

由于对e的依赖性，计算（30）和（F）中的^Cv、 Nvin（32）比较困难，需要对指示器功能进行数值积分；此外，确定固定点^ψ函数方程（31）也需要一些数值程序。这里，我们不讨论如何识别和估计空间相关性θ的p参数*（由于我们的经验应用并非基于^LSD（θ，θ）），而是假设一些合理的初步估计值^θ与^θp的可用性→ θ*, 并将我们的估计值定义为^θSD=argmaxθ∈Θ^LSD（θ，^θ）。注意，给定这种形式的^θSD，我们可以再次将此估计器解释为解^MSD（θ，^θ）：=N'vXv=1NvXh=1ω（Wvh，θ）nAvh的矩估计器-^CWvh，Lvh；θ,^θo=0，适当选择权重ωWvh，θ，^θ. 这可以被视为基于（26）中人口的抽样矩条件。相应的估计程序应类似于Rust（1987）中的嵌套定点算法。3.2估值器的收敛性现在表明| |^θSD-^θ| p→ 0，即基于正确条件力矩限制（26）的^θSd和基于错误规定力矩限制（28）的^θSd是渐近等效的。也就是说，如果^θ是一致的，那么^θsda也是一致的，反之亦然；在证明中，我们证明了θ的两个估计量是一致的*这令人满意（93）。这在下面的定理中正式说明：定理2假设C1、C2、C3-SD、假设4、5、6、7和8成立。然后| |^θSD-^θ| |=op（1）。正式证明见附录A.4；概述如下。

我们首先介绍了中间估计量Ganother，它基于常数信念，但解决了Limi t模型的不动点问题，即^θFPL=argmaxθ∈Θ^LFPL（θ），wher e^LFPL（θ）：=N？vXv=1NvXh=1Avhlog FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）+ (1 - Avh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）,式中π=^πv（θ）∈ [0，1]是每个θ（fixed）的定点方程的解：π=ZFε（w′c+’ξv+απ）d^FvW（w），（33）注意v（θ）∈ [0，1]是π的一个示例版本v（θ），求出π=ZFε（w′c+’ξv+απ）dFvW（w），（34），这是（33）的总体版本，其中^fvw由真正的CDF FvWof Wvh代替。该^θfplis基于极限模型（具有常数信念）构建，但它明确解决了固定点限制（33）（不同于从Brock-Durlauf ty-pe力矩限制（28）导出的^θ）。^θfplm可以解释为从条件矩限制中导出的矩估计量：E平均值- Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ））| Wvh= 0（v=1，…，v）。请注意，^θfplca也可定义为求解^MFPL（θ）=0，其中，给定适当的权重ω（Wvh，θ），^MFPL（θ）：=N？vXv=1NvXh=1ω（Wvh，θ）平均值- FεW′vhc+’ξv+α^πv（θ）.请注意，此限制也是一个错误的限制。我们证明了| |^θSD的收敛性-^θ| |分两步。在第一步中，我们表明^θFPLand^θ具有相同的极限，这是不同条件力矩限制的解（见附录a.4中的（93））。在第二步中，我们证明了^LSD（θ，^θ）是由θ上的^LFPL（θ）一致逼近的∈ Θ对于^θ的任何序列（作为N→ ∞).4福利分析我们现在进入论文的第二部分，涉及溢出下政策干预的福利分析。由于我们假设溢出仅限于住户所在的村庄，因此政策干预的任何福利影响都可以按村庄进行分析。

因此，对于符号经济学，我们去掉了（v，h）下标，除非我们在估算过程中明确说明了村庄固定效应。此外，我们使用相同的符号π来表示进入个体效用的个体信念，以及进入平均需求函数的关于村庄接受率的唯一均衡信念。通过结果命题10、命题11和定理1证明了常数（村庄内）π的假设。在下面得出的福利结果中，第4.1-4.3节中的所有概率和期望值（例如平均福利损失）都是根据总u不可服务的边际分布来计算的，表示为η=ηvh以上和以下。从这个意义上讲，它们类似于Blundell和Powell（2004）提出的“平均结构函数”（average structuralfunctions，ASF）。稍后，在讨论ASF的估计以及第4.4节中隐含的干预前后总选择概率和平均福利时，我们将明确提及村庄固定效应，并说明它们是如何估计和纳入需求和福利预测的。为了进行福利分析，我们对公用事业提出了两个限制。假设1 U（·，π，η）和U（·，π，η）（在第2节（1）中介绍）对于π和η的每个固定值都是连续且严格递增的，即所有其他值都相等，计算中的效用不满足要求。假设2对于每个y和η，U（y，·，η）是连续且严格递增的，而U（y，·，η）是连续且弱递减的，即每个个体的一致性比不一致性产生更高的效用。将q（p，y，π）定义为结构概率（即。

当一个家庭面临p的价格，并且有收入y和信念π：q（p，y，π）=Z1{U（y）时，它选择1的平均结构函数（ASF）- p、 π，s）>U（y，π，s）}dFη（s），（35），设q（p，y，π）=1- q（p，y，π），其中Fη是ηvhPolicy干预的CDF：在备选方案1的价格为，π的值为π的情况下，星形t。然后引入价格补贴，使收入低于收入阈值τ的个人有资格以p大米p<p的价格购买产品。这一政策将改变均衡采用率；假设新的均衡采用率变为π。下面将描述如何计算反事实π和π。对于给定的π和π值，我们现在推导出干预所产生的福利的表达式。所谓“福利”，我们指的是补偿变化（CV），即。什么样的假设收入补偿可以将个人的变动后间接效用恢复到变动前的水平。对于符合补贴条件的个人，对于n个新平衡点对应的π的任何潜在值，个人补偿变化是等式max{U（y+S）的解S- p、 π，η），U（y+S，π，η）}=最大{U（y- p、 π，η），U（y，π，η）}，（36）而对于补贴不合格的个体，它是s{U（y+s）的解- p、 π，η），U（y+S，π，η）}=最大{U（y- p、 π，η），U（y，π，η）}。（37）请注意，在确定简历时，我们没有再次考虑同伴效应，因为简历定义的基本收入补偿是假设的。因此，实际收入补偿对邻近家庭的影响无关紧要。

由于CV取决于不可观察的η，相同的价格变化将产生福利效应在个人之间的分布；我们感兴趣的是计算这种分布及其函数，如平均福利。S的存在性：在以下条件下，存在一个S，它解（36）和（37）：任何固定η和（p，p，y）的条件，它认为（i）limS-∞U（y+S- p、 1，η）<U（y- p、 0，η）和（ii）limS∞U（y+S，1，η）>U（y，0，η）。直觉上，该条件通过要求通过改变数字的数量来有效地增加和减少效用，从而强化了假设1。存在是通过中间值定理得出的。在ind-ex-structure下，存在在下面显式存在。最后，（36）和（37）的解的唯一性遵循严格的数值单调性。由于两个严格递增函数的最大值是严格递增的，因此（36）和（37）的LHS在S中急剧递增，这意味着一个唯一的解。具有指数结构的福利：根据关于社会互动的文献（见上文第3节），从现在起，我们维持（20）中介绍的单一指数结构：U（y- p、 π，η）=δ+β（y- p） +απ+η。U（y，π，η）=δ+βy+απ+η，β>0，β>0，α≥ 0≥ α.在我们采用抗疟蚊帐的经验背景中，存在多种潜在的相互作用来源（即α，α6=0）。第一种是纯粹的一致性偏好；第二，当更多的村民使用蚊帐时，他们对蚊帐的益处的认识会提高；第三是感知到的负面健康外部性。医学文献表明，技术健康外部性是正的，即。

随着更多的人受到保护，疟疾病毒感染率越低，但如果家庭正确地相信其他家庭使用的蚊帐会将蚊子传染给未受保护的家庭，而忽视这些受影响的蚊子携带寄生虫的可能性较小的事实，则受影响的健康外部性可能是负面的。事实上，收养的含义是不同的：在积极的健康外部性下，人们会期望搭便车，而其他人的收养会对自己的收养产生负面影响；在负健康外部性条件下，相关关系为正。特别是，让γp>0表示一致plu s学习效果，γh表示健康外部性。那么可以合理地假设α≡ γp≥ 0和α=γH- γp≤ 换句话说，顺从动机和学习效果在数量上是相等的，但在购买和不购买之间是相反的。此外，如果一个家庭使用ITN，那么邻居的使用率不存在健康外部性（因为该家庭无论如何都受到保护），但如果它不采用，那么邻居使用的净健康外部性影响γH，这使得整体影响α=γH- γpandα6=-α一般。在ITN的背景下，技术影响可能足够大和/或村民可能足够成熟，以了解ITN的潜在威慑作用。因此，我们假设从现在起，感知的健康外部性是非正的，因此α≥ 0≥ α.给定线性指数规范，备选方案1 at（p，y，π）的结构选择概率由q（p，y，π）给出≡ Fc |{z}δ-δ+c |{z}-βp+c |{z}β-βy+α|{z}α-απ, （38）式中，F（·）den otes的边际分布函数-(η- η). Brock和Durlauf（2007）指出，结构选择概率F（c+cp+cy+απ）识别c、c、c和α，即。

(δ- δ） ，β，β和（α- α） =2γp- γH，即使不知道我们也可以通过指定，例如，U（y，π，η）=δ+βlny+απ+η，U（y），来考虑凹收入效应- p、 π，η）=δ+βln（y- p） +απ+η，但我们希望效用公式尽可能简单，以突出福利计算的复杂性，即使是在最简单的线性效用规范中。如果教育券导致的“人才外流”导致不同数量的效用收益和损失，例如，如果高成就学校的更好的教学资源以资源匮乏的地方学校不可能的方式替代或补充同伴效应，那么导言中提到的学校教育券示例中也可能存在类似的不对称。ε=-(η- η). 在应用中，我们将考虑各种方法来估计结构选择概率，包括标准Logit和Klein以及Spady\'s Distribution-free MLE。还可以使用其他半参数方法，例如Bhattacharya（2008）或Han（1987），这些方法既不需要规定错误分布，也不需要主观带宽选择。条件α≥ 0≥ α使模型不同于二进制的标准需求模型。在标准情况下，对于所谓的“外部期权”，即不购买，效用标准化为零。在社会溢出环境中，这无法实现，因为效用取决于总购买率π。如下所示，在补贴的福利评估中，α和α分别出现在福利分配的表达式中，但无法从需求数据中单独识别，ich只能识别α≡ α-α. 因此，通常不可能对福利进行点识别。下面，我们将考虑三种不稳定的特殊情况，即在获得点识别的情况下。（i） α=α/2=-α（即。

γH=0：无健康外部性和对称溢出），（ii）α=α，α=0（即γH=γp：技术健康外部性主导了反映渠道和净健康外部性，正是影响集一致性的影响）和（iii）α=0，α=-α（γp=0，γH=-α： 无一致性影响，且主要是反射通道）。在一般情况下，案例（ii）和（iii）将分别产生福利收益的上限和下限。为了获得福利结果，考虑一种假设性的价格干预，即每个人都面临一个pto价格，即收入低于合格阈值τ的人可以选择以补贴价格p<p购买。这一政策将改变平衡接受率。假设平衡吸收率从π变为π。我们将在后面描述π和π的计算。对于给定的π和π值，政策变化的福利效应可以如下所述计算。我们首先详细列出了π>π的情况下的结果，这与我们的应用相对应。在附录中，我们给出了π<π的假设情况的结果（如果干预前后存在多重平衡，则可能发生）。对于本节的其余部分，我们假设π>π。4.1合格家庭的福利补贴合格家庭的补偿变动由解决方案S tomax给出δ+β（y+S- p） +απ+η，δ+β（y+S）+απ+η= 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η（39）由于LHS在S中严格递增，条件S≤ a相当于tomaxδ+β（y+a- p） +απ+η，δ+β（y+a）+απ+η≥ 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η. （40）如果a<p- p-αβ(π- π） <0，则（40）LHS上的每个项都小于RHS上的相应项。如果a≥αβ(π- π） >0，则LHS上的每个项都大于RHS上的相应项。

这给了我们S:Pr（S）的支持≤ a） =（0，如果a<p- p-αβ(π- π） ，1，如果a≥αβ(π- π) .备注1注意，上述推理也有助于确定（39）的解的存在性。我们从上面知道S<p- p-αβ(π- π） ，则（39）的LHS严格小于theRHS，对于S≥αβ(π- π） ，则（39）的LHS严格大于RHS。通过连续性和中间值定理，可以得出至少有一个S，其中（39）等于。回到计算CDF，现在考虑中间情况∈ [p- p-αβ(π- π） |{z}<0，αβ（π- π） |{z}>0）。在这种情况下，对于所有η，LHS上的第一项（40）大于RHS上的第一项，对于所有η，LHS上的第二项（40）小于RHS上的第二项，因此（57）等于δ+β（y+a- p） +απ+η≥ δ+βy+απ+η<=> δ+β（y+a- p） +απ+α（π- π) + η≥ δ+βy+απ+η。（41）对于任何给定的α，我们得到（41）的概率减少toF（c+α（π- π） +c（p- a） +cy+απ）=q（p- a、 y，π+αα（π- π)). （42）截距c、斜率c、candα均由条件选择概率确定；但α未确定，因此（42）未根据结构选择概率确定点。然而，由于α∈ [0，α]，对于α的每个可行值∈ [0，α]，我们可以计算一个可行值（42），给出福利分布的界。还要注意的是，由于同样的原因，CDF表达变化的阈值也没有点识别。

然而，由于π- π> 0和β>0，β>0，内部valp- p-αβ(π-π) ≤ a<αβ（π- π） 当α从0到α变化时，将向左平移。把所有这些放在一起，我们得到以下结果：定理3如果假设1、2和线性指数结构成立且π>π，则给出α∈ [0，α]，可用性的补偿变化分布由PR给出塞利格≤ 一=0，如果a<p- p-αβ(π- π） ，qp- a、 y，π+αα（π- π), 如果p- p-αβ(π- π) ≤ a<α-αβ(π- π） ，1，如果a≥α-αβ(π- π) .（43）备注2注意，如果补贴是普遍的，则上述定理继续适用于eve n；我们还没有利用补贴的手段测试性质得出结果。平均福利：从（43）开始，平均福利损失为-Zp公司-p-αβ(π-π） qp- a、 y，π+αα（π- π)da{z}福利收益（α=0时最小，α=-α） +Zα-αβ(π-π） h1- qp- a、 y，π+αα（π- π)ida |{z}福利损失（=0，当α=0时，α=α）（44）讨论：通过在[0，α]上改变α得到的（43）和（44）的边界宽度取决于q（·，·，π）受π影响的程度，即社会溢出的程度，以及实现值π和π的差异。对于我们的单指数模型，定点限制意味着这些反事实π和π仅通过α=α依赖于α和α-α（下面的c.f.（56）和（57））是点识别的，因此反事实需求的每个潜在值都是点识别的。但给定π和π的任何可行值，福利（44）通常不是点识别的，因为α是未知的。给定α，表达式（44）中的福利增益在α中增加；i、 当α=α和α=0时，福利收益在绝对值中最大，当α=0和α=- α. 反之，福利损失。直觉上，如果非购买者的π增加不存在负外部性，那么他们不会抵消任何福利损失，但购买者可以从更低的价格和更高的π中获得福利收益。

相反，如果所有溢出都是负的，那么购买者仍然可以通过降价获得福利收益，但非购买者会因π的增加而承受福利损失。此外，请注意，在不存在收入效应的拟线性效用下，y会降低上述表达式的值，但同样的识别问题仍然存在，因为α不会消失。更改变量sp=p- a、 可以将（44）改写为-Zp+αβ（π-π） pqp、 y，π+αα（π- π)dp{z}福利收益+Zpp+αβ（π-π） h1- qp、 y，π+αα（π- π)idp{z}福利损失。（45）注意，如果α=0，则第一项是通常的消费者剩余，反映了价格下降对消费者福利的影响；对于正α，术语αβ（π-π） 通过一致性渠道产生额外影响。此外，如果α=0，则第二项，即不购买造成的福利损失，是最大的（给定α）：这对应于所有α都是由负外部性引起的情况。（45）中的第二项表示仅通过溢出和无价格变化引起的福利变化，仍然表示为与价格相关的积分。这是指数结构的结果，指数结构使我们能够用等价价格变化所放弃的效用来表示这种福利损失。要看到这一点，请回想公式。

（39）最大值δ+β（y+S- p） +απ+η，δ+β（y+S）+απ+η= 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η,相当于tomaxδ+ βy+απβ|{z}y′+S+αβ（π-π） |{z}S′-p-αβπ+αβπ|{z}p′的+ η,δ+ βy+απβ|{z}y′+S+αβ（π- π） |{z}S′+ η= 最大值δ+ βy+απβ|{z}y′-p-απβ+απβ|{z}p′的+ η,δ+ βy+απβ|{z}y′+η,它属于formmaxδ+ βy′+S′- p′+ η, δ+ βy′+S′+ η= 最大值δ+ βy′- p′+ η、 δ+βy′+η,i、 e.max公司Uy′+S′- p′，η, Uy′+S′，η= 最大值Uy′- p′，η, Uy′，η.根据Bhattacharya，2015，当收入为y′，价格从p′变为p′时，这正是无溢出的二元选择模型中补偿变化S′的形式。对称相互作用特殊情况下的推论1，即其中α=-（20）中的α（例如，如果γH=0，即健康良好示例中没有健康外部性），我们得到αα=-α-2α=和（45）平均福利等于：-Zp+α2β（π-π） pqp、 y，（π+π）dp{z}福利收益+Zpp-α2β(π-π)1.- qp、 y，（π+π）dp|{z}福利损失（46）如果α=0，且α=α，即所有溢出通过整合，平均福利由下式给出-Zp+αβ（π-π） pq（p，y，π）dp |{z}福利增益；（47）另一方面，如果所有溢出都是由于感知到的健康风险造成的，即α=-α和α=0，则平均福利为-Zppq（p，y，π）dp{z}福利收益+Zpp-αβ(π-π)[1 - q（p，y，π）]dp{z}福利损失。（48）等式（47）和（48）分别对应于可减免人群总体福利收益的上限和下限。4.2无资格者的福利无资格者的膨胀被定义为等式max{U（y+S）的解S- p、 π，η），U（y+S，π，η）}=最大{U（y- p、 π，η），U（y，π，η）}。类似地，选择概率的形式为q（p，y，π）=F（c+cp+cy+απ）=Fc+cp+αcπ+ cy公司≡ \'\'qp+αcπ，y,即

在价格p、收入y和总使用π溢出下的选择概率可以表示为在调整价格和相同收入下无溢出的二元选择模型中的ch OIC概率。在独立研究中，Gautam（2018）利用Dagsvik和Karlstrom（2005）的无溢出设置表达式，在具有社会互动的参数离散选择模型中获得了明显的点识别福利估计。即使有严格的限制，即福利是点识别的，我们的福利表达式（c.f.eqn（46）、（47）、（48））也不同于Gautam的≤ 因此，a相当于最大值δ+β（y+a- p） +απ+η，δ+β（y+a）+απ+η≥ 最大值δ+β（y- p） +απ+η，δ+βy+απ+η. （49）如果a<αβ（π- π） <0，对于ηs的每次实现，LHS上的每个项都小于RHS上的相应项。因此，概率为0。类似地，对于≥αβ(π-π） >0时，LHS上的每个项都较大，因此概率为1。在中间r an ge中，a∈[αβ(π- π) ,αβ(π- π） ），我们发现LHS上的第一项超过了每个η上的第一项，LHS上的第二项小于每个η上的RHS上的第二项。因此，（49）等于δ+β（y+a- p） +απ+η≥ δ+βy+απ+η。如果α、α的值未知，则无法确定该事件的概率。但对于α的每个选择∈ [0，α]，我们可以计算该事件的概率asF（c+α（π- π） +c（p- a） +cy+απ）=qp- a、 y，π+αα（π- π).把所有这些放在一起，我们得到以下结果：定理4如果假设1、2和线性指数结构成立且π>π，那么对于每个α∈ [0，α]，Pr西尼利格≤ 一=0，如果a<αβ（π- π） ，qp- a、 y，π+αα（π- π), ifαβ（π-π) ≤ a<αβ（π- π） ，1，如果a≥αβ(π- π) .（50）对于不合格者，所有福利效应都来自溢出，因为他们没有经历价格变化。

特别是，对于购买的合格者来说，由于π较高，正溢出会带来福利收益。然而，对于不购买的无资格者，由于π的增加，可能会造成福利损失。这就是为什么CV分布h作为支持，包括正值和负值。从（50）中，平均补偿变化如下所示：-Zαβ（π-π） qp- a、 y，π+αα（π- π)da{z}福利收益+zα-αβ(π-π） n1型- qp- a、 y，π+αα（π- π)oda{z}福利损失。（51）使用变量变化，p=p- a、 上述表达式变为-Zp+αβ（π-π） pqp、 y，π+αα（π- π)dp{z}福利收益+Zpp+αβ（π-π） n1型- qp、 y，π+αα（π- π)odp{z}福利损失。（52）（52）中的第一项反映了正α和更高π带来的福利收益；如果α=0，则该项为零。（52）中的第二项表示福利损失，也会导致fr omhigherπ；如果没有负面影响，即α=0，则该损失为零。当然，如果α=0=α=α，两者都将为零，这反映了如果没有溢出，对不合格者的福利影响将为零的事实。推论2在我们有点识别的三种特殊情况下，即。（i） α=-α=α;（ii）α=α，α=0；和（iii）α=-α、 α=0，平均CV（52）分别降低至：（i）-Zp+α2β（π-π） pqp、 y，π+πdp{z}福利收益+Zpp-α2β(π-π)1.- qp、 y，π+πdp{z}福利损失；（53）（二）-Zp+αβ（π-π） pq（p，y，π）dp{z}福利收益；（54）（iii）Zpp-αβ(π-π){1 - q（p，y，π）}dp{z}福利损失。（55）等式（54）和（55）分别对应于不合格者总体福利收益的上限和下限，因此，总体边界通常包含正值和负值，因为α6=0.4.3自重损失。平均自重损失（DWL）可计算为预期补贴支出减去净福利收益。特别是，如果α=0和α=α，即。

没有负溢出，那么从（45）和（51），DWL等于DW L（y）=1{y≤ τ} ×（p- p） ×q（p，y，π）{z}补贴支出- 1{y≤ τ} ×Zp+αβ（π）-π） pq（p，y，π）dp |{z}可消除福利收益-1{y>τ}×Zp+αβ（π-π） pq（p，y，π）dp{z}无资格者的福利收益。所以如果αβ（π- π） 如果足够大，则无谓损失可能为负，即补贴在正溢出下提高经济效率，如在标准文本书架中。之所以会出现这种情况，是因为不存在针对不符合条件者的补贴支出，而那些购买的人由于正溢出效应而享受减少的福利收益补贴。同样，eligibles还通过正溢出获得额外的福利收益，超过因价格下降而获得的福利收益，并且只有后者由补贴支出提供资金。通常，当（i）正溢出（α）较大，（ii）变化不平衡作用（π）时，静重损失将较低（更负- π） 由于补贴较大，以及（iii）需求的价格弹性(-β） 更低–即使在没有溢出的情况下，最后一个效应也可以通过减少替代效应来降低自重损失。4.4预测需求和福利的计算为了计算我们的福利相关数量，我们需要估计结构选择概率q（p，y，π）以及干预前后总选择概率π和π的平衡值。为此，我们将考虑两种备选方案。首先，我们假设不可观测的η=ηvh独立于可用实验数据中p rice和Income的实现值（以其他协变量为条件）。第二，我们假设外生性成立，条件是未观察到的村庄固定效应。

请注意，我们的数据中的价格是随机分配的，因此内生性问题仅与收入有关。Und erincome endogeneity，Bhattacharya（2018）讨论了福利分配作为收入条件的解释。关于这一讨论的回顾，见本文件附录A.6。无论如何，平衡πs的计算要求我们要么假设可观测的外生性，要么估计村庄的固定效应，外生性的形成取决于我们的假设。无村庄固定效应：在指数限制（20）和无村庄固定效应的情况下，可以通过标准二元回归在E上估计q（p，y，π），使用村庄之间和村庄内部的价格和收入变化以及村庄之间的观测π来估计构成线性指数的系数。这隐含地假设，正如文献中的标准一样，即使游戏可能有多个均衡π，每个村庄中也只有一个均衡，因此可以使用每个村庄观察到的π作为回归因子来推断偏好参数。请注意，考虑到指数结构，我们不需要为ηs施加特定分布来计算指数系数。指数模型的任何现有半参数估计方法都可用于计算，例如Klein和Spady（1993），需要带宽选择，Bhattacharya（2008），不需要带宽选择。最后，通过解决固定点问题π=Zq（p，y，π）dFY（y），（56）π=Z[1{y]，可以计算每个村庄的π和π的平衡值≤ τ} ×q（p，y，π）+1{y>τ}×q（p，y，π）]dFY（y），（57），其中FY（·）表示村庄的收入分配。对于固定的p，p，上述方程的RHS分别被视为π和π的函数，每个RHS都是从[0，1]到[0，1]的映射。

如果q（p，·，y）和q（p，·，y）是连续的，那么根据Brouwer的不动点定理，π和π中至少分别存在一个解，这意味着“相干性”。然而，可能存在多个解，然后我们的福利表达式必须分别应用于每个可行的值对（π，π）。请注意，即使（56）和（57）的解是非唯一的，我们在上述定理3和4中的表达式意味着福利分布仍然没有点识别。一旦我们获得π和π的预测值，我们可以直接计算（43）和（50），使用之前获得的指数系数估计。村庄固定效应：我们的数据来自11个不同的村庄，每个村庄约有180户家庭。使用和不使用蚊帐的公用设施可能会受到村庄特定的不可观察特征的影响，例如不使用蚊帐时感染疟疾的可能性。Manski（1993）将这种影响称为“上下文效应”。Brock和Durlauf（2007）讨论了在存在群体特定不可观察因素的情况下估计社会溢出效应的一些困难。为了明确地捕捉这种情况，回顾第2节中的线性度结构，由u（y，π，η）=δ+βy+απ+ξ+u |{z}η，u（y）给出- p、 π，η）=δ+β（y- p） +απ+ξ+u |{z}η，其中ξ和ξ表示不可观察的村庄特定特征。

因此，U（y- p、 π，η）- U（y，π，η）=（δ- δ) + (β- β） y型-βp+（α- α) π + ξ- ξ+u- u≡ c+cp+cy+απ+ξ+ε。由于ξ是村庄特有的，我们每个村庄都有许多观测值，因此我们可以使用一个虚拟γv来预测每个村庄，并估计价格、收入和其他特征的回归，这些特征在村庄v内的家庭s h之间变化，以及村庄虚拟，即Pr（Avh=1 | Pvh，Yvh）=Fε（γv+cPvh+cYvh），式中，Fε（·）表示ε=εvh的分布（这可能取决于v illage v的实现值ξvf）。这些估计值的一致性源于以村庄固定效应为条件的外源性（见上述假设C3-IID（ii）和C3-SD（ii））。因此，村里假人的识别系数γvo满足γv=απv+c+ξv。我们需要确定总和ξv≡ 然而，在方程γv=απv+’ξv中，有尽可能多的ξvas存在γv，因此我们有‘v+1未知量（’ξvs和α）中的‘v方程’。在我们的实证应用中，我们以两种不同的方式解决这个问题。第一种是对观测相似村庄的同质性假设，第二种是张伯伦的相关随机效应方法。同质性假设：如果两个村庄在可观测值方面非常相似，那么可以假设它们具有相似的“ξv”值，这会导致维数减少，并且可以通过简单地求解线性系统γv=απv+”ξvas来实现点识别。有少量的“ξvs”作为γvless 1的数量（对于α）。事实上，在我们的应用中，我们的数据集中有11个村庄中的两个在可观测值方面非常相似，因此可以采用这种方法。相关随机效应假设：解决未观察到的群体效应问题的不同方法是使用张伯伦的相关随机效应方法（c.f.Woodrid ge第15.8.2节，2010）。

在这种方法中，我们对未观测到的“ξv=”Z′v“δ+ev”进行建模，其中“zv”表示可观测的村庄平均值，而误差项evis假设满足ev⊥ εvh |（Wvh，(R)Zv）（εvh=uvh- uvh）。系数δ是在个人和村庄特征采购的初始概率回归中估计的。在没有上述假设的情况下，如果有许多村庄，可以使用工具变量类型策略确定点α，例如，估计“回归”γv=απv+，假设有补贴的个人的总比例或补贴的平均值为πv的IV。但由于我们的数据中只有11个村庄，我们不考虑这一途径。具有村庄固定效应的福利计算：一旦我们有了一种合理的方法来估计结构选择概率，我们就可以在存在社会障碍和未观察到的群体效应的情况下继续进行福利计算，如下所示。考虑一个初始情况，其中每个人都计算未补贴价格p，因此在预测的占有率π=π0vin village v下，th解出π0v=ZFεcp+cy+απ0v+ξvdFvY（y），（58），其中FvY（y）是v村的收入分配，以及上述估算的c、c、α和ξvare。现在考虑一种政策诱导的价格机制，即不合格者（财富大于a）和合格者（财富小于a）的价格机制。然后，通过求解固定点π1vin方程π1v=Z“1{y，得到最终用法π=π1vin村v≤ τ} Fεcp+cy+απ1v+ξv+1{y>τ}Fεcp+cy+απ1v+ξv#dFvY（y）。

（59）最后，可以计算v村这一政策变化的平均福利影响u singWv=Zh1{y≤ τ} ×WEligv（y）+1{y>τ}×WIneligv（y）idFvY（y），（60），其中WEligv（y）和WIneligv（y）是v村收入y的平均福利，分别根据（43）个可预见者和（50）个不合格者计算，使用π0vandπ1vas预测v村的接受概率（类似于（43）和（50）中的π和π），α∈ [0，α]如上所述。5经验背景和数据我们的经验应用涉及提供抗疟疾蚊帐。疟疾是一种威胁生命的寄生虫病，由人类通过蚊子传播给人类。2016年，全世界估计发生2.16亿例疟疾病例，其中90%的病例发生在撒哈拉以南非洲（世界卫生组织，2017年）。撒哈拉以南非洲疟疾控制的主要工具是使用经杀虫剂处理的蚊帐。定期使用蚊帐可将儿童总死亡率降低18%左右，并降低整个人口的发病率（Lengeler，2004年）。然而，蚊帐的价格为每套6美元或以上，许多家庭无法购买，为了缓解2000年代中期的低覆盖水平，过去10年中，许多国家推出了公共补贴计划。我们的实证研究旨在根据公共财政和税收的经典经济理论，评估此类补贴计划不仅在促进蚊帐使用方面的有效性，而且对个人福利和无谓损失的影响。根据我们在第4节中的讨论，我们重点关注溢出的两个主要来源，即。（a） 倾向于从众，以及（b）担心当邻居保护自己时，蚊子会对自己产生影响。

两者都会对一个人自己的收养决定产生总收养率的积极影响，但它们对价格补贴政策的福利影响有不同的影响。实验设计：我们利用2007年在肯尼亚西部11个村庄进行的随机蚊帐补贴实验的数据，在那里疟疾全年传播。在每个村庄，根据学校登记册编制了一份150至200户家庭的名单，名单上的家庭被随机分配到一个补贴水平。随机分配完成后，经过培训的人口普查员访问了每个抽样家庭，进行基线调查。访谈结束时，该家庭获得了一张按兰特·奥姆利指定补贴水平购买蚊帐的代金券。两个村庄的补贴水平从40%到100%不等，9个村庄的补贴水平从40%到90%；househ olds面临着22个相应的最终价格，从0到300千先令（5.50美元）。可在三个月内在全球零售商处要求提供代金券。数据：我们使用从优惠券兑换和后续调查中获得的验证中观察到的蚊帐使用数据。我们还使用基线调查期间测量的基线家庭特征数据。我们考虑的三个主要基线特征是财富（家庭拥有的所有耐用和动物资产的组合价值）；10岁以下儿童人数；以及女性户主的教育水平。6经验规格和结果我们使用线性指数结构（20），其中y=y代表家庭财富，p=p代表家庭面临的实验设定价格，π=πV代表村庄的平均采用率。

使用蚊帐产生的健康外部性通过采用和不采用公共设施对平均使用率π的依赖性（c.f.公式（20））进行隐含解释。在实证分析中，我们还使用了Zvhbelow提供的其他控制，这些控制可能会影响偏好（U（·）和U（·）），从而影响蚊帐的使用，即q（·）。特别是，我们包括10岁以下儿童的存在和hou sehold最年长女性成员的教育年限。一个可能影响采用的村庄特定变量是该村庄疟疾暴露风险的范围。我们在回答以下问题的数据中对此进行了衡量：“过去一个月，你们家里有没有人患有疟疾？”。表1列出了所有相关变量的汇总统计数据，表2中列出了数据中11个村庄的村庄平均值。我们的第一个结果对应于将F（·）作为ηvh=-（ηvh-ηvh）（如（38）中所述，即无固定影响），并包括作为回归因子的平均吸力π=^πv（=NvhPNvh=1Avh）。如上面的定理2所示，即使不可观测项在空间上是相关的，我们的递增域渐近近似将导致p参考参数的一致估计。在我们的经验环境中，这种近似是合理的，因为村庄内家庭之间的平均距离通常超过1.5公里。平均边际效应如表3所示。很明显，需求具有很高的价格弹性，而且并非一个村庄的所有家庭都参与了这场博弈。然而，在实验时，未经选择的家庭没有机会购买ITN，这些家庭的结果变量始终是Szero。

因此，即使我们考虑到所有家庭（包括未经选择的家庭）之间的互动，也很容易对经验进行必要的调整。详见附录A.7。有一些家庭住在村里，但没有参加正式实验。由于ITN除了通过实验之外，没有其他来源，这只会通过计算分数∏vh影响游戏。我们在附录A.7中澄清了这一点。在估计logit参数时，我们没有施加固定点约束。虽然这会提高效率，但额外的计算负担将相当繁重。村里的收养与私人收养、有条件的价格和其他家庭特征有着显著的正相关，即上述符号中的α>0。在logit案例中，社会互动系数α为2.4，小于4，这是固定点图成为收缩图所需的（见命题2后的讨论）。儿童的影响是负面的，可能反映出有儿童的家庭已经在其他抗疟措施上进行了投资，例如在实验之前购买了效果较差的传统蚊帐。我们还计算了忽略溢出的类比估计值，即从累加器列表中删除村庄的平均吸收率。保留回归系数的相应边际效应与包括平均村庄占有率在内获得的边际效应相差不大，因此我们不在此报告。相反，我们使用这两组系数来计算和对比与不同资格阈值对应的预测床网采用率。

这些预测的影响是相当不同的，这取决于我们是否允许溢出，因此我们进一步研究了这些，如下所示。特别是，我们考虑了一个假设的补贴规则，其中财富小于τ的人有资格以50 KSh（90%的补贴）的价格获得蚊帐，而财富大于τ的人以250 KSh（50%的补贴）的价格获得蚊帐。根据我们的logit系数，我们绘制了与不同收入阈值τ相对应的蚊帐的预计总使用量。在图1中，对于每个阈值τ，我们在横轴上绘制了有资格获得补贴的家庭比例，并根据溢出效应包括（实心）和排除（小破折号）得到的系数，在纵轴上绘制了选择蚊帐的预测fr行动。图中还绘制了45度线（大破折号），显示了符合补贴条件的分数，以进行比较。从图1中可以明显看出，忽略sp illovers会导致在较低的阈值下高估采用率，而在较高的合格阈值下低估采用率。为了获得这一发现背后的一些直觉，考虑一个更简单的设置，其中结果Y通过经典线性回归模型Y=β+βX+与标量协变量X相关，其中为零均值，与X无关，且β>0。该模型的OLS估计产生具有概率极限（以及期望值）β=Cov【X，Y】/Var【X】和β=E【Y】的估计量β，β-βE[X]分别为。对应于X的值X，预测结果的概率极限为y*:= β+βx=E[Y]+β{x- E[X]}。现在考虑一下如果忽略协变量X会发生什么。那么预测就是Y的样本平均值，其概率极限为ymiss：=E[Y]。因此，y*< ymissifx<E[X]。