因此，尽管被忽略的协变量X对结果有积极影响（因为β>0），但如果进行预测的点X小于被忽略协变量的总体平均值，则在预测中忽略它会导致高估结果。另一方面，如果x>E[x]，则将存在欠估计。在获得这些（未补偿的）影响后，我们现在开始计算假设补贴计划的平均需求和平均补偿变化。我们考虑了一种初始情况，即每个人都面临250 KSh的蚊帐价格，以及一种最终情况，即向财富小于τ=8000 KSh（约为财富分布的第27百分位）的家庭提供50 KSh的蚊帐，并向财富高于τ=8000 KSh的家庭提供250 KSh的价格。需求结果见表4，福利结果见表5。我们逐村执行这些计算，然后跨村汇总。为了计算这些数字，我们首先预测当每个人都面临250 KSh的价格时，蚊帐的使用情况，然后当Eligibless面临50 KSh的价格时，其余的保持在250 KSh，我们在上面的符号中分别给出了π和π的平衡值。在使用我们的数据进行的所有此类计算中，我们始终检测到固定点π的单一解（即唯一平衡），如图2所示，其中我们绘制了方程n的RHS和LHS之间的平方差。（57），即。π-Z[1{y≤ τ} ×^q（p，y，z，π）+1{y>τ}×^q（p，y，z，π）]d^FY，z（y，z）在纵轴上，以及在横轴上，分别针对11个村庄中的每个村庄，其中^q（p，y，z，π）是（p，y，z，π）处的预测需求（选择概率）函数。从图1可以明显看出每个目标函数的全局凸性质。

最小值在0.15左右相对接近，但7号村和10号村的最小值较大。对于π，得到了一组类似的全局凸图，它使π最小化-R^q（p，y，z，π）d^FY，z（y，z）i。π和π的这些预测值用作根据方程n进行的需求预测的输入。（35）符合定理3和定理4的d福利。表4的第一行显示了按补贴资格划分的补贴前预测需求（使用logit CDF）。在第二行中，我们计算了补贴对需求的预先影响，并将其分解为自身价格影响（第2行）和溢出效应（第3行）。根据补贴改变p大米，但保持平均村民需求等于补贴前的价值，从而获得自身效益；溢出效应是总体效应和自身效应之间的差异。很明显，溢出效应对合格者和不合格者的影响都很大。特别是，溢出效应将无资格者的需求提高了近补贴前水平的33%。在表5中，我们报告了福利计算。首先，在标题为“Logit”的一行中，我们报告了与假设无溢出相对应的可用性补贴y规则的平均CV。在这种情况下，我们简单地使用Bhattacharya（2015）的结果来计算合格品的（点识别）平均CV，因为价格从250 KSh变化到50 KSh。由此得出的福利收益值为51.9 KSh。由于没有溢出，不合格者的福利变化在定义上为零，而在此之前，净CV表示的净福利收益只是合格者的分数（0.27）乘以平均CV预测值。表5第二列报告了这一情况。接下来我们将讨论溢出的情况。

使用预测的采用率π和π，我们使用（45）、（47）和d（48）预测值，并使用（52）、（54）和（55）预测值计算总体平均CV的上下限。表5第3-6列报告了这些情况。从这些数字中最引人注目的发现是，由于补贴，不符合条件的人平均可以承受巨大的福利损失。这是因为补贴只促进了合格者的使用，提高了村里的平衡使用率π，但不合格者仍面临着高昂的价格，并且由于π现在更高（在指数规格中，α），因此不购买的效用更低≤ 0).然而，尽管价格很高，但少数不符合购买条件的人从平均采用率的提高中获得了一些福利增加，这解释了与α=0的情况相对应的s mall上限。至于可分辨性，平均福利收益的上下界不包含忽略溢出的估计，这表明在后一种情况下对福利收益的估计过高。这也与图1一致，当我们看到27%的合格率和更低的合格率时，如果忽略溢出效应，需求就会被高估。列中标题为“净CV”的列中报告的合格和不合格人群的总体福利收益包括对不合格人群的负面福利影响，从而降低了相对于忽略溢出效应和错误地认为不合格人群没有福利变化的平均影响。无谓损失：为了计算平均无谓损失，我们从预测的补贴支出中减去净福利。后者等于补贴金额（200千先令）乘以平均需求，以50千先令的次级价格计算。

因此，DWL的表达式由d=Z“200×1{y≤ τ} ×q（50，y，z，π）-1{y≤ τ}uElig（y，z，π，π）- 1{y>τ}uInelig（y，z，π，π）#dF（y，z），其中y表示财富，z表示其他协变量，q（50，y，z，π）表示价格为50 KSh的预测需求，包括溢出效应，而uEliganduInelig是指弱势群体和不合格群体的平均福利收益，尤其是。忽略溢出会导致确定的点EADWERIGNTLOSSD=Zh200×1{y≤ τ}×qNo溢出（50，y，z）- 1{y≤ τ} u无溢出（y，z）idF（y，z）。群体效应：从表2可以明显看出，1村和11村在关键回归系数的平均值方面非常相似，只是1村（随机分配）的平均价格远高于11村，这解释了11村的平均采用率要低得多。有鉴于此，我们假设1号村和11号村在不可观测方面可能相似，因此，我们估计了它们的单个“ξvf”。具体而言，我们首先估计PR（Avh=1 | Pvh，Yvh，Zvh）=Fγv+cPvh+cYvh+c′Zvh,其中，Zvhis是一个包含儿童和女性受教育情况的向量，γv分别是村庄特定截距（使用村庄的假人进行估计）、实验中家庭面临的价格和财富。在第二步中，我们求解线性系统γv=απv+c+ξv=απv+ξv，对于α和ξv，对于v=1。。。，11，其中γvis在前一步中获得，πvs是实验中各个村庄的平均采用率。在求解这个系统时，我们设置了ξ=ξ，它包含了前面讨论的同质性假设。我们可以一步完成所有这一切，为村庄2-10添加九个du MMIE，为村庄1和11添加一个du MMIE，然后在回归器p、y和x上运行ind-ividual use回归，每个村庄的平均使用量，以及村庄假人。

在表5的第二行中，我们报告了上述相同假设政策变化的平均福利效应，即us ingexpression（60）。接下来，我们使用上述相关随机效应方法，将可观测回归系数（价格、财富、女性教育、儿童数量）的村庄平均值作为probit（而非logit）回归的额外控制。表5第三行报告了相应的福利结果。半参数估计：最后，在表5的第四行，我们报告了条件选择概率的半参数指数估计的福利结果，即保留指数结构，但放弃logit假设。这是通过使用Stata中的“sml”例程（de Luca，2008）实现的，该例程使用（i）默认带宽hn=n，对Klein和Spady（1993）的单指数模型估值器进行了改进-1/6.5为了估计指数，首先使用一个局部三次多项式，然后（ii）使用hn=cn的带宽，对估计指数的二元结果进行回归，以产生预测概率-1/5其中c是通过漏选交叉验证选择的。不同规格的福利数字确实有所不同。但所有这些结果都支持这样一个总体结论，即考虑溢出效应会导致对补贴计划净福利收益的估计大大降低，并导致更高的无谓损失。这种差异的一部分是由于假设没有溢出效应时被忽略的不合格者造成的潜在福利损失，另一部分是由于包含溢出条件对预测反事实购买率的影响（c.f.Fig.1）。在表6中，我们报告了简单logit案例的标准错误。

原则上，我们也可以推导出针对空间相关性进行调整的标准误差公式，但考虑到这篇论文已经很长了，而且这些标准误差没有实质性的贡献，我们在这里不尝试这样做。表6还报告了与α=-α= α/2. 如果不存在因扩散而产生的负外部性，即γH=0，则这是合理的，因为平均福利将被确定为点。请注意，这种情况与假设没有任何溢出的结果不同，即表5的第一行第三列。由于与合格者的收益相比，无资格者的总体福利损失更大，我们仍然获得了负的平均补贴效果。比较静态：在表7中，我们展示了随着补贴方案的不同，福利效应是如何变化的；符合条件的财富门槛有所不同，因此20%、40%或60%的人口都符合条件。从表7可以明显看出，随着越来越多的人成为合格者，无资格者的福利损失上限会增加（因为均衡占有率更高），而无谓损失更大，这是因为补贴诱导债务的程度更大，以及无资格者的福利损失更高。可预见福利收益的下限随着合格份额的增加而减小，在f法中，当40%的人合格时，下限变为负值。这是因为那些有资格购买蚊帐的人太穷了，即使价格是50千先令，他们也买不起蚊帐，现在他们的福利正在遭受损失，因为均衡吸纳率更高了。总体影响是体重减轻的明显增加。内生性：在我们的应用中，价格变化是外生的，因为价格是由实验者随机变化的。

尽管如此，财富Y仍有可能与η相关，η是购买蚊帐的不可观察的决定因素。然而，价格P的实验变化也意味着P与η无关，给定Y。C接着，我们可以引用Bhattacharya（2018年，第3.1节；为便于参考，复制于下面的附录A.6）中提出的论点，并将估计的选择概率和相应的福利数字以y为条件进行预处理，然后结合y的边际分布进行积分。这克服了潜在内生收入带来的问题。总结与结论在本文中，我们开发了具有社会互动的二元选择模型中的经济需求和福利分析工具。为了做到这一点，我们首先展示了Brock Durlauf ty pe socialinteraction模型与不完全信息与任意参与者的经验博弈之间的联系。我们在I.I.D.和空间相关不可观测项下分析了这些模型。后者使个人信念以私人观察变量为条件，使识别和推断复杂化。我们展示了何时以及如何通过使用极限模型克服这些复杂性，最终博弈模型在不断增加的域空间渐近下收敛，进而产生偏好参数的计算简单估计量。这些导致对政策干预产生的反事实需求潜在值的一致点估计，这在唯一等式下是唯一的。然而，与没有溢出的情况不同，在交互作用下，政策变化（如价格补贴）产生的福利分配通常不会针对反事实总需求的给定值进行点识别。即使对于全参数规格，以及当平衡是唯一的时，也是如此。

不确定是因为标准选择数据无法区分不同的潜在机制，例如一致性动机、消费者学习、负外部性等，这些潜在机制产生相同的总体社会互动系数，但取决于哪种机制占主导地位，具有不同的福利影响。这一特点是经济学家研究的许多实际环境所特有的，包括这里研究的健康产品采用案例。另一个突出的例子是学校教育，在学校教育中，通过增加高学历学生的离校率，免费地方学校的学术质量降低，从而产生负面的外部效应。不能仅基于布罗克-杜劳夫式的个人学校选择经验模型（包括社会互动术语）来计算最终的福利影响。这与没有社会外互动的模型形成了对比，在这些模型中，选择概率f函数已被证明包含福利分析所需的所有信息。然而，我们证明了在标准的半参数线性指数约束下，福利分布是有界的。在一些特殊和不稳定的情况下。g、 正是由于对称溢出效应或无负外部性，这些界限缩小到指定的值。我们使用Dupas（2014）在肯尼亚农村进行的一项实验数据，将我们的方法应用于采用抗疟蚊帐的实证环境。我们发现，考虑溢出效应可以对假设的、经收入调查的补贴规则产生的需求和福利做出不同的预测。

特别是，与忽略溢出的预测需求相比，考虑到积极的相互作用效应，在不太慷慨的资格标准下，包括溢出的预测需求更低。在更宽泛的资格门槛下，结论相反。至于福利，如果存在负的健康外部性，那么由于附近的补贴买家增加了美国的消费，那么补贴可以弥补福利损失；如果存在唯一的一致性效应，并且没有与健康相关的外部性，那么福利可以改善。具体而言，我们应用于蚊帐数据的福利界限表明，200千先令补贴的资格门槛等于财富的第75百分位，其平均现金等价物（合格和不合格的总和）介于-14至+10 KSh，包括sp illovers；等于-对称溢出时为1.48 KSh，忽略所有溢出时约为13 KSh。无资格者和非购买者的潜在福利损失转化为对价格干预潜在无谓损失的更大估计。我们执行鲁棒性检查，考虑到村一级的不可观测数据和半参数规格。这些结果对应用工作的意义在于，在社会互动下，潜在干预措施的福利分析需要更多关于个体溢出渠道的信息，而不仅仅是选择概率函数（包括社会互动项）的知识。引发信念的调查提供了一个潜在的解决方案。最后，我们指出，我们使用了最基本和最流行的交互规范，即。物理邻居构成个人的同龄人群体。在我们的应用中，这似乎也是合理的，因为我们的应用涉及在肯尼亚实际分离的村庄中采用保健产品。

我们有兴趣将分析扩展到其他网络结构，例如基于种族、种姓、社会经济距离等的网络结构。我们将此留给未来的工作。参考文献[1]Andrews，D.W.（2005）常见冲击的横截面回归。《计量经济学》7315511585。[2] Bhattacharya，D.（2008）单调指数模型的基于置换的估计量。计量经济学理论24795-807。[3] Bhattacharya，D.（2015）《离散选择的非参数福利分析》。计量经济学83617-649。[4] Bhattacharya，D.（2018）《离散选择的实证福利分析：一些一般结果》。数量经济学9571-615。[5] Blundell，R.和J.Powell（2004年）。非参数和半参数回归模型中的内生性，《经济学和计量经济学进展》，剑桥大学出版社，英国剑桥[6]Brock，W.A.&Durlauf，S.N.（2001a）。具有社会溢出的离散选择。《经济学研究回顾》68235-60。[7] Brock，W.A.&Durlauf，S.N.（2001b）基于交互的模型。计量经济学手册（第5卷，3297-3380页）。爱思唯尔。[8] Brock，W.A.&Durlauf，S.N.（2007）具有社会互动的二元选择模型的识别。《计量经济学杂志》140，52-75。[9] Daly，A.&Zach ary，S.（1978）批准了多项选择模型。《旅行选择的决定因素》，335，第357页。[10] Dupas，P.（2014）《新健康产品的短期补贴和长期采用：现场实验的证据》。《计量经济学》82197-228。[11] De Luca，G.（2008）单变量和双变量二元选择模型的SNP和SML估计。《Stata杂志》8190-220。[12] Gautam，S.（2018）《在存在外部性的情况下量化福利效应：卫生干预的事前评估》，Mimeo。[13] Hall，P.&Heyde，C.C.（1980）《鞅极限理论及其应用》，学术出版社。[14] Haus man，J.A和Newey W。

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《计量经济学杂志》，198（1），第65-83页。附录本附录有七节，分别标记为A.1-A.7。他们分别处理了I.I.D.不可观测信度的一致性和对称性证明、空间相关不可观测信度的收敛性、收缩的有效条件、估计量的收敛性（定理2的证明）、π<π下的福利分析、收入内生性和非参与家庭。A、 （有条件地）I.I.D.的证明。命题1的案例证明。根据（2）中的定义（h替换为k），∏vk=Nv-1P1≤j≤内华达州；j6=kE[平均Ivk]。由于这是给定Ivk=（Wvk，Lvk，uvk，ξv）的条件期望的平均值，我们可以使用一些函数gvk（·）将（v，k）的信念写成∏vk=gvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），该函数可能取决于每个指数（v，k），但具有确定性（非随机）。因此，将∏vkinto Avk=1{U（Yvk- Pvk，∏vk，ηvk）≥ U（Yvk，πvk，ηvk）}，我们也可以写avk=fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv），（61）对于某些确定性函数fvk（·），这里Wvk=（Yvk，Pvk）。根据C3-IID，我们有两个条件独立性限制：（uvh，uvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξvand uvh⊥ uvk |ξv。这意味着uvk⊥ （Wvh，Lvh）| uvh，ξvand uvk⊥ uvh |ξv<=> uvk⊥ （Wvh，Lvh，uvh）|ξv，（62），其中我们使用了以下条件独立关系：对于随机对象Q，R，and，“Q⊥ R |（S，ξv）和Q⊥ S |ξv“相当于”Q⊥ （R，S）|ξv“，（63）施加Q=uvk，R=（Wvh，Lvh），S=uvh。同样，C3-IID表示（Wvk、Lvk、Wvh、Lvh）⊥ （uvk，uvh）|ξvand（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv=> （Wvk，Lvk）⊥ （uvk，uvh）|（Wvh，Lvh，ξv）和（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh）|ξv，相当于（Wvk，Lvk）⊥ （Wvh，Lvh，uvk，uvh）|ξv.（64）下面我们用Eξv[·]表示给定ξv的条件期望算子（即，E[·|ξv]；我们还写出了ξv[·| B]=E[·|ξv，B]对于任何随机变量）。

综上所述，我们有E[Avk | Ivh]=Eξv[fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv）| Wvh，Lvh，uvh]=ZEξv[fvk（Wvk，Lvk，u，ξv）| Wvh，Lvh，uvh，uvk=u]dFvu（| uξv）=ZEξv[fvk（Wvk，Lvk，u，ξv）]dFvu（|ξv）=Eξv[fvk（Wvk，Lvk，uvk，ξv）]=E[Avk |ξv]，其中第一个等式使用（61），第二个和第三个等式分别在（62）和（64）之后，第四个等式自（Wvk，Lvk）起保持不变⊥ uvk |ξv，完成证明。命题2的证明。设‘πvk=’πvk（ξv）：=E【Avk |ξv】，对于h=1，Nv，（65），其中，从今以后，我们支持∏vkonξvf对符号简单性的依赖性。通过位置1和（6），我们得到了∏vh=(R)∏vh=Nv-1X1≤k≤内华达州；k6=h'πvk。（66）给定这些，我们可以写出‘πvh=Eξv’（U（Yvh- 内华达州Pvh-1P1≤k≤内华达州；k6=h'πvk，ηvh）≥ U（y，Nv-1P1≤k≤内华达州；k6=h'πvk，ηvh））#，h=1，内华达州。（67）我们可以很容易地看到，如果（67）中方程的对称解唯一存在，那么（7）（用{∏vh}Nvh=1表示）的对称解也同样存在（反之亦然；请注意∏vh=PNvk=1∏vk-（内华达州- 1） (R)∏vhby（66））。因此，我们调查（67）。对应于（67），定义一个Nv维向量值函数r=（r，r，…，rNv）∈[0，1]NvasMv（r）：=mv（Nv-1Pk6=1rk），mv（Nv-1Pk6=Nvrk）,我们写的地方1≤k≤内华达州；k6=h=Pk6=h表示简单，Mvis域和范围内的度量定义为| | s- s||∞:= 最大值1≤h类≤内华达州| sh- sh |，对于任何s=（s，…，sNv），▄s=（▄s，…，sNv）∈ [0，1]Nv（请注意，两个空格均为[0，1]Nv）。考虑到Mv（r）的这些定义和度量，我们可以很容易地证明Mv（·）的收缩特性会延续到Mv（·），即kMv（r）- Mv（￠r）k∞≤ ρkr- rk∞,这意味着存在唯一的解r*（Nv维）向量值方程：r=Mv（r）。（68）现在，考虑以下标量值方程r=mv（r）。通过收缩性质（9），它有一个唯一的解。

用“r”表示此解决方案*∈ [0, 1]. 根据Mv（·）的定义，向量r*= （(R)r*, . . . , \'\'r*) ∈ [0，1]Nvmus不是（68）的解决方案。然后，通过（68）的解的唯一性，这个*must可能是唯一的解决方案，这是一组对称的信念。证明已完成。A、 2空间相关酪蛋白在本节中，我们给出了空间相关过程{uvh}的形式规范，并得出了信念收敛结果。我们证明了下面的定理5，这是第2节中定理1的一个更明确、更一般的版本，因为它还导出了在不假设对称信念的情况下的收敛速度。注意，考虑到C1（独立于村庄），每个村庄可以单独分析。因此，为了简单起见，我们删除了村庄索引v，即写入{（Wh，Lh，uh）}Nh=1，而不是{（Wvh，Lvh，uvh）}Nvh=1。这里的所有条件和陈述都应解释为每个村庄v的ξvf所给出的条件，其中我们注意到C2和C3-SD是在ξv上有条件地陈述的。为了避免任何符号混淆，我们以以下简化形式重新书写C2和C3-SD（无村庄特定影响ξvand村庄指数v）：C2’{（Wh，Lh）}Nh=1is I.I.D.with（Wh，Lh）~ FW L（w，L）。C3-SD{uh}Nh=1通过uh=u（Lh）定义，其中{u（l）}l∈Ris是rw上的一个随机过程，具有以下性质：i{u（l）}是满足假设3的α混合（如下提供）；ii）{u（l）}l∈Ris独立于{（Wh，Lh）}Nh=1。A、 2.1空间混合结构现在，我们提供了{uh}的其他规范，这些规范被建模为空间相关过程。为此，我们引入了更多的符号。对于集合L R、 设σ[L]是{u（L）：L生成的σ代数∈ 五十} 定义|α（L，L）：=sup|Pr[B∩ C]- Pr【B】∩ （69）当最高法院接管任何事件时∈ σ[L]和d C∈ σ[升]。

这个∧α度量两个代数之间的依赖程度；如果任何B和C是独立的，则为零。我们还编码（b）：={∪kj=1Dj：Pkj=1 | Dj |≤ b、 k是有限的}，是所有有限的不相交的正方形并集Dj的集合，在rw中，其总体积不超过b，其中| Dj |表示每个正方形Dj的体积。给定这些，我们用α（a；b）：=su p{α（l，l）：d（l，l）定义随机过程{u（l）}的α-（强）混合系数≥ a、 L，L∈ R（b）}，（70）其中d（L，L）是两个集合之间的距离：d（L，L）：=inf{124; L-l | |：l∈ 五十、 L∈ 五十} ，| | L-l | |表示R中两点之间的l距离：| l-l |+| l-对于l=（l，l）和▄l=（▄l，▄l），为▄l▄。我们假设α（a；b）在a中减少（在b中增加）。特别是，α在a中的递减意味着当| | l时，u（l）和u（~l）的相关性较小-| l | |较大，即当混合系数α（a；b）随着a趋于完整而衰减为零时，该过程弱依赖。对于位置变量{Lh}，我们考虑以下递增域渐近格式，大致遵循Lahiri（1996）。我们将Ras视为采样区域（即村庄）的“原型”，该区域被定义为r的有界和连通子集，对于每个N，我们表示村庄的byRNa采样区域，该区域通过比例因子λN对集合RB进行拟合而获得→ ∞ 保持相同的形状，使得N/λN→ c代表一些c∈ (0, ∞). （71）特别是，如果Rc包含原点0∈ R、 我们可以写RN=λNR，这可以假设为dwlog。还假设Ris包含在边长为1 WLOG的正方形中。因此，Rn的面积等于或小于λN。

设f（·）为R上的概率密度，然后为sh~ f（·），Lh=λNsh，（72），其中，为了符号简单，支持Lhon N的依赖性。考虑到这些，我们有~ （1/λN）f（·/λN），以及居住在a区的预期家庭数量 注册护士( R） isN Pr（左侧∈ A） =N Pr上海∈ λ-1NA= NZλ-1NAf（u）du。我们还可以用Lk和Lh计算两个人的期望距离：E[| | Lk- Lh | |]=ZRNZRN | | l- l | |（1/λN）f（▄l/λN）f（l/λN）d▄ldl=λN×ZRZR |▄s- s | | f（~s）f（s）dsds，（73）对于下面定理5的验证，使用R（b）对混合系数的定义比必要的定义稍微复杂一些。然而，我们坚持这一定义。这与Lahiri和Zhu（2006）中使用的方法相同，他们展示了在这种定义和一些温和的规则性条件下空间引导的有效性。注意，当Rdoes不包含原点时，我们需要考虑一些位置偏移：Lh=λN（sh- s*)而不是（72），其中s*R中的某个点- s*’ （按s移位*) 包含原点。使用变化变量，s=~l/λ，s=l/λN。由于最后一行上的第二项是有限积分（与N无关），它在sups下存在∈射频（·）<∞, 任意k和h之间的平均距离以λN的速率增长。这种增长平均距离特征是在上述弱相关（混合）条件下建立空间相关数据极限理论的关键。在介绍假设3之后，我们将在下面讨论这一点及其含义。现在，我们陈述了以下关于数据生成机制的附加条件：假设3（i）随机过程{u（l）}l∈RNisα混合，其混合系数满足α（a；b）≤ 加利福尼亚州-τbτ，对于某些常数，C，τ∈ (0, ∞) 和τ≥ 0，其中α（a；b）在（70）中定义。（ii）设{Lh}Nh=1为C2\'中引入的I.I.D.序列。

通过（72）定义的每个LH连续分布，其支撑RN（通过RN=λNR定义）和概率密度函数fL（·）=（1/λN）f（·/λN），满足sups∈射频<∞.条件（i）控制{u（l）}的空间依赖程度，这是建立极限（LLN/CLT）结果的关键。Lahiri和Zhu（2006）也采用了相同的条件，Jenish和Prucha（2012）等其他论文也采用了类似的条件。（ii）是增量域条件，对于建立估计量的一致性很重要（Lahiri，1996）。密度的一致有界性是为了简化证明而强加的，但可以以更复杂的证明为代价来放松。条件（i）和（ii）对我们的模型的识别和估计有着重要的意义：考虑到域条件（ii）的增加，两个个体之间的距离k和h平均随着λN的增加而增加→ ∞ 作为N→ ∞, 如（73）所示。这意味着，给定弱依赖条件（i），对于任何k和h，两个变量η和ηh之间的相关性随着N趋于∞. 换言之，对于每个h，几乎与h无关的其他个体的数量趋于∞ 此外，这些个体的比例（在gall N玩家中为am）趋向于1。也就是说，对于较大的N，u（Lk）和Akare的条件定律受u（Lh）的影响较小，因此E[Ak | Wh，Lh，u（Lh）]收敛于E[Ak]。我们在定理5中正式验证了这个收敛结果。请注意，苏奇收敛并不是我们对数据生成机制的特定要求，但它通常发生在具有空间数据的环境中。

例如，Jenish和Prucha（2012）在不断增加的域假设和所谓的最小距离条件下得出了空间数据（或随机场）的各种极限结果，其中最小距离条件意味着任何两个独立变量之间的距离大于某个固定常数d>0（与N无关）。这两个假设意味着，距离每个h“很远”的个体数量往往∞.请注意，我们的递增域假设（以及Lh密度的具体情况）表明，这与假设3（i）中的混合条件一起，推动了条件期望的收敛。在结束本小节之前，我们提出了以下假设4，在该假设下，第2节中的定理1得到验证。这是假设3的多村庄版本，其中我们考虑了“v>1，ξv6=0（因此ηvh=ξv+uvh）：假设4（i）对于每个v∈ {1，…，v}，给定ξv，随机过程{uv（l）}l∈RNvisα混合，其混合系数满足αv（a；b）≤ 加利福尼亚州-某些常数C的τbτ∈ (0, ∞),τ> 0和τ≥ 0，其中α（a；b）=αv（a；b）的定义如下（70）。（ii）对于每个v，给定ξv，设{Lvh}Nvh=1b为C2中引入的条件I.I.D.序列。

每个Lvhis连续分布，其支架RNv=λNRvand PDF fvL（·）=（1/λN）fv（·/λN）满足支持∈Rvfv（s）<∞, 式中，rv是每个村庄v的“原型”采样区域，λNis是N/λN的缩放常数→ c代表一些c∈ (0, ∞).A、 2.2平衡信念的收敛为了正式说明我们的信念收敛结果，我们引入了以下函数al算子T∞将一个[0，1]值函数g映射到[0，1]:T中的某个常数∞[g] ：=E“（U（Yk- Pk，g（Wk，Lk，u（Lk）），u（Lk））≥ U（Yk，g（Wk，Lk，U（Lk）），（74），其中T∞[g] 通过{Wk，Lk}（Wk=（Yk，Pk）\'）的（有条件）I.I.D.-度和{Wk，Lk}和{u（l）}之间的独立性，在C2\'和C3-SD\'中施加。如果{（Wk，Lk，u（Lk））}Nk=1为I.I.D.，则平衡信念将被描述为该T的固定点∞（如提案1和提案2所述）。尽管在C3-SD中建模的未观察到的异质性的空间依赖性下，信念s作为条件期望给出，但它们仍然通过∞在下文所述的渐进意义上。为了说明这一点，我们引入以下映射来描述C3-SD’foreach N下的信念。设gN=（g，…，gN）是一个N维向量值函数，其中每个元素都是一个支持（Wh，Lh，u（Lh））的[0，1]值函数Gh。然后，将TN定义为从GN到N维随机向量的函数映射：TNgN公司:= （TN，1gN公司, . . .

，TN，NgN公司),对于任何d>0，k 6=h，Pr（| | Lk- 左侧||≤ d） =请购单||sk公司- 上海||≤ λ-第1个=Z Z Z||u- r||≤ λ-第1个f（u）f（r）dudr→ 0，其中收敛面积为（u，r）||u- r||≤ λ-第1个收缩到零，f（·）一致有界；因此，对于任何d>0的情况，我们都有概率接近1的最小距离条件。其中每个TN，hgN公司是从GN到定义为asTN，h的[0，1]值随机变量的m ap pinggN公司:=N- 1NXk=1；k6=hE“（U（Yk- Pk、gk（Wk、Lk、u（Lk））、u（Lk））≥ U（Yk，gk（Wk，Lk，U（Lk）），U（Lk）））Wh、Lh、u（Lh）#。注意，TN，hgN公司当h使用gk（Wk、Lk、u（Lk））命令其他k的行为时，对应于个人h的信念∏h（在第2节中，这被写为∏VH，其中考虑了多个村庄）。因此，在平衡状态下，信念的s y干，（π，…πN）=（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN）），满足固定点限制：（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN））=TNψN（75）几乎可以肯定，我们写ψN=（ψ，…，ψN），一个函数向量；注意解的每个元素，ψ，ψN依赖于N，但为了符号简单，我们抑制了它。注意，（75）可等效为以下坐标形式：ψh（Wh，Lh，u（Lh））=TN，hψNh=1，N、 下一个定理说明了每个ψh（Wh，Lh，u（Lh））收敛到一个唯一的固定点ofT∞, 这是一个常数'π=E[Ak]：定理5（空间相关性下的信念收敛）假设C2\'和C3SD\'与假设3保持一致，函数映射T∞（74）中定义的收缩是由标准| | g | | L=E[| g（Wh，Lh，u（Lh））|]引起的度量收缩∞ （g是一个支持（Wh，Lh，u（Lh）），即| T的[0，1]-值函数∞[克]- T∞[g]|≤ ρ| | g- 对于某些ρ，g | | l∈ (0, 1) .设‘∏∈ [0，1]是函数方程g=T的（唯一）解∞[g] 。然后，它认为对于任何解ψN=（ψ。

，ψN）到函数方程（75），它可能不是唯一的，sup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|] ≤\'Cρλ-τ/2n对于每个N，（76），其中\'Cρ∈ (0, ∞) 是一个常数（独立于N、ψN和π），其显式表达式在证明中提供，Thusup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|] → 0作为N→ ∞.定理5的一个重要前提是映射T∞是一种收缩。该条件很容易验证，例如，参考第A.3节，了解实用程序线性指数限制下收缩特性的有效条件。粗略地说，我们可以证明∞如果社交互动的程度不是“太大”，那么它就是一种牵引力。无条件期望算子T的压缩性质∞意味着其固定点的唯一性，条件期望运算符TNgN公司= （TN，1gN公司, . . . , TN，NgN公司) 不一定是收缩，可能会有多个固定点（即平衡的多重性）。Theorem指出，每个N人博弈中的每个非唯一均衡信念都收敛到T的唯一固定点∞. 例如，TN固定点解的存在性相对容易检查，但其唯一性或收缩性可能不是；事实上，后者的验证可能需要对{uh}Nh=1={u（Lh）}Nh=1的联合分布特性进行适当的规定，运算符TNis基于条件期望。定理5提供了（76）中平衡信念的收敛速度。利用这一结果，如果τ>4，th en的空间依赖度不是太强，我们可以将置信收敛结果增强为一致的：E[sup1≤h类≤N |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|]≤ N sup1≤h类≤NE[|ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π|]=N×’Cρλ-τ/2N→ 0，因为λN=O(√N） 如（71）所述。定理5的证明。定义功能映射T∞N、 H从N维向量值函数gN=（g。

，gN）至r∈ [0，1]：T∞N、 h类gN公司:=N- 1NXk=1；k6=hT∞[gk]，（77），其中T∞在（74）中定义（作为标量值函数的映射），每个gNhis在（Wh，Lh，u（Lh））的支持下是一个[0，1]-valuedfunction。基于此T∞N、 h，我们还定义了一个N维alvector映射：T∞[gN]：=（T∞N、 1个gN公司, . . . , T∞N、 N个gN公司).我们还写了‘∏N=（’π，…，’π），其中每个元素的N维向量都是‘π’。那么，因为∏是T的固定点∞（即，’π=T∞[π]），它显然认为πN=T∞[°πN]=（T∞N、 1[(R)πN]，T∞N、 N[(R)πN]）。（78）现在，由于ψN=（ψ，…，ψN）解函数方程：（ψ（W，L，u（L）），ψN（WN，LN，u（LN））=TNψN. （79）其中tn将N维向量值函数映射为N维随机向量。给定（78）和（79），我们可以看到ψh（Wh，Lh，u（Lh））- (R)π=TN，hψN- T∞N、 每个h的h[(R)π]。因此，通过三角不等式和T的收缩性质∞, 我们有| |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π| | L≤ ||TN，hψN- T∞N、 h[ψN]| | L+| T∞N、 h[ψN]- T∞N、 h[(R)πN]|对于任何h.（80），通过定义T∞N、 hin（77）以及πN=（π，…，π）的第二项，主边上的第二项以T∞N、 h[ψN]- T∞N、 h[(R)πN]=N- 1NXk=1；k6=hT∞[ψk]- T∞[π]≤ 最大值1≤h类≤N | T∞[ψh]- T∞[π]|≤ ρmax1≤h类≤N | |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- π| | L，其中最后一个不等式来自T上的收缩条件∞. 因此，这个束缚和（80）导致tomax1≤h类≤N | |ψh（Wh，Lh，u（Lh））- \'\'π| | L1≤1.-ρmax1≤h类≤N | | TN，hψN- T∞N、 h[ψN]| | L1。因此，如果它保持max1≤h类≤Nsup | | TN，h【gN】- T∞N、 h【gN】| | L≤\'Cλ-τ/2N，（81）对于某些常数'C∈ (0, ∞) 与N无关，当e的上确界接管任何（borelmeasureable）函数时，gN：[0，1]N→ [0，1]N，则所需的r esult（76）保持为\'Cρ=1-ρ′C.证明（81）。

为了简化符号，我们编写emg（Wk，Lk，u（Lk））：=1（u（Yk- Pk，g（Wk，Lk，u（Lk）），u（Lk））≥ U（Yk，g（Wk，Lk，U（Lk）），U（Lk）），对于任意函数，g:[0，1]→ [0, 1]. 然后，不等式（81）遵循ifmax1≤h、 k级≤Nsup kE[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】kL≤\'Cλ-τ/2N，（82）其中上确界接管任何（Borel measure ab le）函数，g:[0，1]→ [0, 1].为了证明这个不等式，观察C3-SD′，{u（l）}的（ii）⊥ （Wh、Lh、Wk、Lk）=> {u（l）}⊥ （Wk，Lk）| Wh，Lh。（83）在这里，我们回顾关于独立性的以下结果：对于随机对象Q，R和S，Q⊥ R | S和R⊥ S=> （Q，S）⊥ R、 用Q={u（l）}，R=（Wk，Lk），S=（Wh，Lh），S ince C2\'表示（Wh，Lh）⊥（Wk，Lk），我们可以得到（{u（l）}，Wh，Lh）⊥ （Wk，Lk），（84），这又意味着（uv（Lh），Wh，Lh）⊥ （周，Lk）。（85）关系式（84）还导致（u（￠l）、u（Lh）、Wh、Lh）⊥ （周，Lk）=> u（￠l）⊥ （Wk，Lk）| u（Lh），Wh，Lh。（86）对于任何￠l。

然后，我们可以计算（82）asE[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]=ZE“mg（Wk，Lk，u（Lk））Wh，Lh，u（Lh），（Wk，Lk）=（￠w，l）#dFW l（￠w，l）=ZE“mg（￠w，l，u（￠l））Wh，Lh，u（Lh），（Wk，Lk）=（￠w，l）#dFW l（￠w，l）=ZEhmg（￠w，l，u（￠l））| Wh，Lh，u（Lh）idFW l（￠w，l）（87），其中第一个和第三个等式分别使用了（85）和（86）。现在，我们看一下（82）的LHS上的最大值：Eh | E[mg（Wk，Lk，u（Lk））| Wh，Lh，u（Lh）]- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】i=EuhZZEhmg（▄w，▄l，u（▄l））|（Wh，Lh）=（w，l），u（l）idFW l（▄w，▄l）- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】dFW L（w，L）i=欧盟ZZEhmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）idFW l（▄w，▄l）- E【mg（Wk，Lk，u（Lk））】dFW L（w，L）= 欧盟ZZnEhmg（￠w，￠l，u（￠l））| u（l）i- Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））iodFW l（▄w，▄l）dFL（l）≤Z ZEuh公司Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）i-Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））iidFW L（▄w，▄L）dFL（L），（88），其中Eu[·]是仅涉及{u（L）}L的期望值∈R第一个等式使用（87）和{u（l）}l的独立性∈兰德（白色，左侧）；第二个等式再次使用相同的独立条件（即，（u（≈l），u（l））⊥ （Wh，Lh）和u（▄l）⊥ （Wh，Lh）| u（l））；第三个等式通过{u（l）}和（Wk，Lk）的独立性，保持ssincee[mg（Wk，Lk，u（Lk））]=ZEhmg（~w，~l，u（~l））idFW l（~w，~l），最后一个不等式使用Fubini定理。若要绑定（88）的RHS，请注意-l | |>0，我们总是可以在R上构造两个集，l满足1）前者包含| l，后者包含l，2）两个集之间的距离大于| | | l- l | |/2，3）l和l中的每一个都是一个面积小于1的正方形。u（￠l）和u（l）分别相对于σ[￠l]和σ[l]是可测量的。然后，注意到（69）和（70）中{u（l）}混合系数的定义，这1）-3）允许我们应用McLeish的混合指数（p。

McLeish的834，1975年；或Davidson，1994年的定理14.2），并导出其α（| | | l）的界- l | |/2；1). 也就是说，因为| mg |是一致有界的(≤ 1） ，我们得到了Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））| u（l）i- Ehmg（▄w，▄l，u（▄l））i我≤ 6α（| | l）- l | |/2；1） ，（89）均匀分布在任何▄w、▄l和l上。为了找到（88）主要侧的上界，回想一下（边缘）分布函数FL（其支持由RN给出）的密度FL（l）=（1/λN）f（l/λN），以及（69）和（70）中混合系数的定义，α（a；b）≤ 2无论是a、b、Th、Th、BLOCKING（89），我们的RHS为（88）≤Z Zα（| | l）- l | |/2；1） dFL（| l）dFL（l）=6ZRNZRNα（| | l- l | |/2；1） dFL（￠l）dFL（l）=6ZRZRα（λN | | s- s | |/2；1） fs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 6Z Z | | s-s||≤λ-τ/2N；s，s∈R2fs（s）fs（▄s）dsd▄s+6Z Z▄s-s | |>λ-τ/2N；s，s∈RC2τλ-τN | | s- s||-τfs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 6[2λ-τ/2N+C2τλ-τ/2N]`f，（90），其中`f：=s ups∈Rf（·），最后一个不等式成立-s||≤λ-τ/2N；s，s∈R2fs（s）fs（▄s）dsd▄≤ 2Z Z | | v||≤λ-τ/2N；s∈Rdsd？v？f≤ 2λ-τ/2N×(R)fb通过改变变量，对于| |  s- s | |>λ-τ/2N，| | | s- s||-τ≤ λ-τ/2N。因此，我们可以看到（88）的上界与h、k和g无关，因此不等式（82）成立，C：=6[2+C2τ]’f，完成了证明。A、 3收缩的充分条件这里，我们研究F的收缩性质v、 Nv（在（23）中定义）及其极限运算符：Fv∞[g] （l，e；θ，θ）：=Z Z1{w′c+v+αg（l，e；θ，θ）+e≥ 0}dH（▄e）dFvW，L（▄w，▄L）。（91）Fv∞是从[0，1]值函数g=g（l，e；θ，θ）到常数F的函数运算符v∞[克]∈[0, 1]. 该极限算子被用来研究估计量的收敛性。

我们施加以下条件：假设5（i）对于任何α∈ [‘l’v、‘u’v]，α≥ 0和条件CDF的密度h h（| e | ea，d；θ）满足α×supe，e∈R||l-l||≥0; θ∈Θh（| e | e，| l）- l | |；θ) ∈ [0，1），（92），其中▄l和l分别表示与▄e和e相关的位置指数，▄l- l | |表示距离，间隔[\'l\'v，\'u\'v]是α的一组可能值（在假设7中引入）。（ii）条件CDF H（·| e，d；θ）满足（| e，ea，d；θ）≤ H（| e | eb，d；θ），对于任何| e∈ R和任意d，θ，如果ea≥ eb。这些条件用于验证所谓的Blackwell有效条件（Stokey和Lucas的c.f.T heorem3.3，1989:I）。α的非负性用于单调性。虽然（92）是条件密度的一个条件，但它也暗示了边缘密度的相同条件：α×supe∈右侧（￠e）∈ [0，1），因为h（▄e）=Rh（▄e▄e，▄l- l | |；θ） h（e）de（回顾h（e）被定义为εvhandFε的CDF(-e） 是的-εvh，它认为h（e）=fε(-e） ）。条件（ii）意味着H（·| ea，d；θ）一阶随机支配H（·| eb，d；θ），这意味着任意两个（空间相关）变量εvkandεvh（弱）正相关，这也可以方便地用于显示F的单调性v、 内华达州。根据这些公式，我们可以显示F的收缩性质v∞和Fv、 Nv：命题3假设假设假设5的（i）成立。然后，Fv∞是RvNv×R×上[0，1]值函数空间中的收缩×Θ，g（l，e；θ，θ），每一个都是非减小线，配有sup度量，其中RVNV表示随机变量Lvh的支持。b） 假设假设5成立。然后，Fv、 NV是同一空间中的收缩。当考虑固定点时，g的非减损性限制是无害的v∞和Fv、 内华达州。

这是因为，考虑到α的非负性和h的随机优势，e中的固定点也不会减少（sinceFv∞[g] 和Fv、 Nv[g]在e中也是不减损的，因为这样的不减损）。在这个命题中，我们定义了极限算子Fv∞在一般函数集g（l，e；θ，θ）上，它可能依赖于（l，e）。这个一般的域空间需要考虑算子F的收敛性v、 NV及其固定点。然而，如果我们定义了限制运算符Fv∞只有在函数s，g（θ，θ）的受限空间上，每个函数都独立于（l，e），我们才能写v∞[g] （θ，θ）=ZFε（▄w′c+▄v+αg（θ，θ））dFvW，L（▄w，▄L），因为H（e）=1- Fε(-e） 。在这种情况下，通过Fε的Lipsch-itz连续性，我们可以检验F的压缩性质v∞关于|α| supe下的受限空间∈Rh（e）=α| supe∈Rfε（e）<1。注意，在假设εvh低于标准正常值的概率规范中，SUP∈Rfε（e）=1/√2π; 以及logit规范，supe∈Rfε（e）=1/4。命题3的证明。首先，我们研究Fv∞通过使用Blackwell有效条件。自α起≥ 0，我们有Fv∞[f]≥ Fv∞[g] 对于任意两个函数f，g和f（l，e；θ，θ）≥ g（l，e；θ，θ），表示单调性条件。二） 对于常数“a”≥ 0，Fv∞[g+\'a]（θ，θ）=Z Z1{w′c+\'ξv+αg（▄l，e；θ，θ）+α′a+▄e≥ 0}小时（▄e）d▄edFvW，L（▄w，▄L）。因为g（|l，|e；θ，θ）在|e和α中是不变的≥ 0，αg（l，~e；θ，θ）+e在▄e中严格增加。因此，我们可以找到唯一的满足▄w′c+▄v+αg（▄l，e；θ，θ）+e=0的e，对于每个（▄w，▄l，θ，θ）。对于每个“a”≥ 0，设“e”为唯一数，满足“w′c+”ξv+αg（~l，e；θ，θ）+α′a+”e=0。自α′a起≥ 0且函数αg（l，e；θ，θ）+e的斜率大于或等于1，我们必须有e>e和（e- \'\'e）×1≤ α′a.（e）的上界- e）任意（▄w，▄l，θ，θ）的h值。

因此，Fv∞[g+(R)a]（θ，θ）≤ Fv∞[g] （θ，θ）+（e- e）辅助∈右侧（￠e）≤ Fv∞[g] （θ，θ）+aα×supe∈右侧（￠e）。因此，如果（92）成立，则满足所谓的贴现条件。在此之前，给定I）和II），我们验证了v∞是一种收缩。接下来，我们研究Fv、 内华达州。注意，由于g（l，e；θ，θ）在e中是非减量的，因此1{w′c+(R)v+αg（~l，e；θ，θ）+e也是如此≥ 0}，并给出假设5的（ii），映射的f函数fv、 Nv[g]（l，e；θ，θ）也是不变的。因此，F的域空间和值域空间v、 NV可以被视为相同。我们还可以检查F的Blackwell有效条件v、 与F的方式相同v∞,表示所需的收缩特性。A、 定理2的证明（估计的收敛性）在这里，我们通过几个引理来证明定理2。在第3节中，为了便于阐述，我们假设村庄固定效应‘ξ，“ξ”变量是计量经济学家所熟知的。这里，我们明确地将它们包含在要估计的参数θ中。还需注意的是，识别存在“ξ”的偏好参数需要识别“ξ”本身；因此，我们需要使用第4.4节中所述的方法之一。这里我们使用同质性假设‘ξ=’ξ’v；对于相关随机效应的情况，可以给出一个替代性证明。综上所述，对于本节，我们将最终参数定义为θ=（c′，\'ξ，…，\'ξ\'v-1，α）（例如，见假设7），同素异形体相关量的解释类似。对于具有ξ，…，的情况，估计量的一致性，ξvknown是定理2的一个类似推论。为了分析^θFPLand^θBR，我们定义了以下条件力矩限制：EA.∞vh公司- Fε（W′vhc+’ξv+απv（θ））| Wvh= 0（v=1，…，v），（93），其中∞VH是基于极限模型的假设结果变量：a∞vh：=1W′vhc*+ξ*v+α*πv（θ*) + εvh≥ 0.

（94）对于每个v，设rv=limNvN，其中该极限比值应在（0，1）中（注意，n=P'vv=1Nv）。我们还考虑了^LFPL（θ）和^LBR（θ），LFPL（θ）：=(R)vXv=1rvE的极限版本A.∞vhlog FεW′vhc+’ξv+απv（θ）+(1 - A.∞vh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+απv（θ）,LBR（θ）：=？vXv=1rvEA.∞vhlog FεW′vhc+’ξv+α′πv+(1 - A.∞vh）日志1.- FεW′vhc+’ξv+α′πv,回想一下θ*已通过观察变量（Avh、Wvh、Lvh）的条件矩限制（26）定义，这些变量是由有限玩家游戏（Avhis由（22）或等效（24）生成）生成的）。θ*也可定义为一个满足限制条件（93），该限制条件正确规定了由限制模型（A∞vh，Wvh）。分别，其中πLFPL（θ）中的v（θ）被定义为每个θ的（34）解，而‘πvinLBR（θ）被定义为^πv=NvPNvh=1Avh的（概率）极限（注：在^πvandvnvh=1A的极限处∞vhealize，它来自于类似于引理3）证明中的论点。LFPL（θ）的一阶条件可以视为基于条件约束（93）的无条件力矩约束。注意，给定Fε（·）的连续性，LFPL（θ）和LBR（θ）在Θ中是连续的。引理3显示了^LFPL（θ）到LFPL（θ）在Θ上概率的一致收敛性；我们还可以证明，概率上的^LBR（θ）到LBR（θ）超过了Θ（这个结果的证明类似于表3的结果，省略了）。给定极限目标函数，我们让θ*= argmaxθ∈ΘLFPL（θ），（95）θ#=argmaxθ∈ΘLBR（θ）。（96）引理2显示θ的识别*（即，它是LFPL（θ）在Θ上的唯一最大化子）和θ#的相同结果。

因此，根据Newey和McFadden（1994）的定理2.1，给定参数空间Θ的紧性，我们得到了^θFPLp→ θ*和^θp→ θ#.引理2也表示θ*= θ#在正确的规格下，我们有| |^θFPL-^θ||.通过引理4，我们得到了supθ∈Θ^LSD（θ，^θ）-^LFPL（θ）= op（1），它与引理3一起，意味着supθ∈Θ^LSD（θ，^θ）- LFPL（θ）= op（1）。这反过来意味着^θSDp→ θ*（再次使用Newey和McFadden定理2.1）。这就得出了定理的结论。A、 4.1识别结果：引理1-2在这一部分中，我们研究θ的识别*和θ#（分别在（95）和（96）中定义）。为此，我们施加以下条件：假设6（i）设uv（l）=（uv（l）），uv（l））和εv（l）：=uv（l）- uv（l）和-εv（l）是每l的Fε（·）∈ Lv，其函数形式假定为beknown，且Fε（·）在R上严格递增，其连续P DF Fε（·）满足supz∈Rfε（z）<∞.（ii）随机向量wvh不包括常数分量。（W′vh，1）′的支撑不包括在RdW+1的任何适当线性子空间中，其中dw是Wvh的维数。假设6非常标准。（i）中的条件支持-εv（l）可以放宽，允许一些有界支撑（而不是R），但它简化了我们随后的条件和证明，因此保持不变。假设7（i）设πv(∈ （0，1））是^πv=NvPNvh=1Avh的概率极限。它认为，’π6=’π’v.（97）（ii）用θ=（c′，’ξ，…，’ξ’v表示-1，α）′参数空间Θ中的泛型元素。Θ是RdW+vsuch的一个紧子集，其Θ=Θc×Q'vv=1['lv，'uv]，其中Θ是RdWin的一个紧子集，其中c位于其中，Q'vv=1['lv，'uv]是R'v的闭合矩形区域（带有一些'lv，'uv∈ R） 其中（ξ，…，ξ）v-1，α）′位。（iii）对于任何α∈ [‘l’v，‘u’v]，|α| supzfε（z）<1。（98）（iv）让c是Θc的元素。给定此c（固定），对于任何（(R)ξ。