勘误表：大型投资组合的随机演化方程

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收藏 2022-06-23

英文标题：
《ERRATUM: Stochastic evolution equations for large portfolios of
stochastic volatility models》
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作者：
Ben Hambly, Nikolaos Kolliopoulos
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
In the article \"Stochastic evolution equations for large portfolios of Stochastic Volatility models\" (Arxiv:1701.05640) there is a mistake in the proof of Theorem 3.1. In this erratum we establish a weaker version of this Theorem and then we redevelop the regularity theory for our problem accordingly. This means that most of our regularity results are replaced by slightly weaker ones. We also clarify a point in the proof of a correct result.
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中文摘要：
在“随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程”（Arxiv:1701.05640）一文中，定理3.1的证明存在错误。在这个勘误表中，我们建立了这个定理的较弱版本，然后我们相应地重新发展了我们问题的正则性理论。这意味着我们的大多数规律性结果被稍微较弱的结果所取代。我们还澄清了正确结果证明中的一点。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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ERRATUM:_Stochastic_evolution_equations_for_large_portfolios_of_stochastic_volat.pdf
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nandehutu2022

2022-6-23 21:42:55

勘误表：随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程Ben Hambly*和Nikolaos Kolliopoulos+牛津大学数学研究所，2019年5月14日摘要文章“随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程”（[3]，ArXiv ID:1701.05640）对第3.1条的证明存在错误。在这个勘误表中，我们建立了这个定理的一个较弱版本，然后我们相应地为我们的问题重新发展了正则性理论。这意味着我们的大多数规律性结果被较弱的结果所取代。我们还在证明正确结果的过程中澄清了一点。我们将首先以结构化的方式呈现正确的结果，替换不正确的结果，然后给出证明。为此，我们需要对（3.1）给出的CIR波动过程的参数进行更有力的假设。在之前的版本中，我们假设dkθξ>。然而，我们现在需要施加更强的条件，即kθξ>x*≈ 3.315，其中x*是方程16x的最大根- 60倍+24倍- 3=0，（E0.1），我们的结果保持不变。我们还将澄清附录中原始文章中定理4.1的（正确）证明中的一个论点。本勘误表中的章节和新结果/方程将以字母“E”开头的数字编制索引。另一方面，我们将引用所有其他内容，就好像我们在原始文章中一样。E1修正的主要结果定理3.1的证明包含致命错误。我们将错误的定理3.1替换为：定理E1.1。假设σ是一个正随机变量，从零开始有界且不完整。那么P-几乎肯定是条件概率测度P（σt∈·|B·，G）具有连续密度pt（··，B·，G），其在[0，∞), 对于所有t>0。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:42:59

此外，对于任何T>0，任何α≥ 0和所有非常小的q>1，我们有以下可积条件mαB·，G（·）：=supy≥0yαp·（y | B·，G）∈ Lq公司(Ohm ×【0，T】）*hambly@maths.ox.ac.uk+kolliopoulos@maths.ox.ac.uk（通讯作者）与定理3.1相比，上述定理具有更强的假设，给出的波动率密度结果较弱。因此，需要建立vt的整体规律性理论。我们以略微不同的方式陈述结果。上述测度值过程的二维密度将属于以下空间SLα=L(Ohm, F、 P）×[0，T]；L | y |αR+×RandHα=L(Ohm, F、 P）×[0，T]；H0，w（x）R+×L | y |α（R）对于α≥ 0和w（x）=最小值{1，√x} 对于x≥ 0，其中我们为权重函数为{g（y）：y的加权最小二乘空间写Lg（y）∈ R} ，和H0，g（x）（R+）对于权重函数为{g（x）：x的加权H（R+）空间≥ 0}，以导数的形式表示。除了可积性条件外，属于第二空间的函数u′还必须满足边界条件limx→0+u′（·，x，·）L | y |α(Ohm×【0，T】×R）=0。注意，这种定义没有问题，因为ku′（·，x，·）kL | y |α(Ohm当x>0时，×[0，T]×R）必须在x中连续（随后应用莫雷不等式[2]远离x=0），因此改变上述极限的值会在(Ohm ×R+×R+×R）感测。下一个定理给出了vt密度的存在性及其正则性，该定理取代了定理4.3。定理E1.2。假设h是一个连续函数，取值于R+的某个紧子集。也假设给定的G，Xhas是R+中的L-可积密度u（·| G），使得EhkukL（R+）| Gi∈ Lq′(Ohm) 对于任何q′>1。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:02

假设最终kθξ>x*和ρ2,1∈ (-1，1）保持C=（k，θ，ξ，r，ρ1,1，ρ2,1）的任何可能实现，并且随机变量σ为正且有界远离零且不完整。然后，对于C的任何可能实现，测度值随机过程vt，Chasa二维密度uC（t，·，W·，B·，G）属于任何α的空间Lα≥ 此外，当ρ：=RdWtdBt=0且EkukH0，w（x）（R+）| G∈ Lq′(Ohm) 对于anyq′>1，密度也属于Hα≥ 接下来，我们精确地获得了[3]中的SPDE，并将初始边值问题的定义与上述定理中给出的新正则性结果相适应。为此，我们定义了空间Lα，w：=任意α的Lyαw（x）（R+×R+）≥ 0，我们将定义5.1（问题的α解）修改为以下定义E1.3。对于给定的实数ρ和系数向量c的给定值，设h:R+-→ R+是一个具有多项式增长的函数，Ube是一个随机函数，它在R+外扩展为零，使得U∈ LOhm;Lα和（U）x∈LOhm;Lα，w对于某些α>0。给定C、ρ、α以及函数h和U，我们说当满足以下条件时，ui是问题的α解；1、u适用于过滤{σG、 Wt，Bt: t型≥ 0}，属于空间hα∩ Lα。2.

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kedemingshi

2022-6-23 21:43:07

在R+中支持u，并满足SPDEu（t，x，y）=u（x，y）- rZt（u（s，x，y））xds+Zth（y）（u（s，x，y））xds- kθZt（u（s，x，y））yds+kZt（yu（s，x，y））yds+Zth（y）（u（s，x，y））xxds+ρZt（h（y）√yu（s，x，y））xyds+ξZt（yu（s，x，y））y yds- ρ1,1Zth（y）（u（s，x，y））xdWs-ξρ2,1Zt(√yu（s，x，y））ydBs，（E1.1）适用于所有x，y∈ R+，其中uy、uy和uxx在测试函数空间上的分布意义上考虑test={g∈ Cb（R+×R）：g（0，y）=0，y∈ R} 。ρ=ξρ1,1ρ2,1的密度uc满足上述定义的SPDE，其中ρ是Wand B之间的相关性（即dWt·dBt=ρdt），而当ρ=0时，所有α>0的正则性也满足。最后，我们用以下定理代替定理5.2，该定理改进了初始边值问题二维密度的正则性，该定理只在所用的加权形式上有所不同。定理E1.4。固定系数向量C、函数h、实数nu mberρ和初始数据函数U的值。假设U是所有α问题的α-解≥ 那么，u的弱导数uy存在，我们有uy∈ L[0，T]×Ohm;Lα，w对于所有α≥ 2.E2主要引理需要证明定理E1.1，它取代了错误的定理3.1 fr om[3]，而不是引理3.5，我们需要以下更强的结果，其中包含了对[7]第78页中的命题2.1.1的推广。引理E2.1。设B是定义在[0，T]×上的布朗运动Ohm 对于某些T>0和某些概率空间(Ohm, F、 P），设F为适应布朗运动B的随机变量。还假设对于某些q，~q，r，~r，λ，~λ>1和α≥ 0，带q≤ 2和q+~q=r+~r=qrλ+qrλ=1，我们有F∈ Lαλ∨q(Ohm)∩D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm)∩D2，qr(Ohm) 还有| F | mkD·F kL（[0，T]）∈ Lqr(Ohm) 对于m∈ {0, α}.

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mingdashike22

2022-6-23 21:43:11

然后，导数算子D的伴随域：Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) -→ L2级∨q▄rq▄r-1.Ohm; L（[0，T]）（是标准Skorokhood积分δ的扩展）包含过程d·FkD·F kL（[0，T]）。此外，fposses有界连续密度ffs，我们对其有估计supx∈R | x |αfF（x）≤|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （C+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F |αkD·F kL（[0，T]）qr+CEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F |αkD·F kL（[0，T]）qr, （E2.1）对于某些C>0，根据我们的假设，上述相对湿度S是有限的。其次，为了证明定理E1.2取代了文献[3]中的定理4.3，定理4.1给出的估计是不够的。特别是，我们需要一个具有最大值原理的更强的导数估计。这些在下面的引理中给出。引理E2.2。设u为定理4.1中得到的密度。对于某些M>0，仅取决于r和某些紧区间I R+包含σ·的最小值和最大值，我们得到了估计值“sup0≤t型≤Tkw（·）ux（t，·）kL（R+）#≤ M eMTEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i+MeMTEhku（·）kL（R+）i（E2.2），其中w（x）=min{1，√x} 对于所有x≥ 0，前提是RHS是有限的。然后，对于依赖于M和初始数据的someM′>0，我们得到了最大原理“sup0≤t型≤Tsupx公司∈R+u（t，x）#≤ 最后，定理E1.4的证明与文献[3]中相应定理5.2的证明几乎相同。唯一的区别是δ恒等式包含两个额外的非导数项，而权重w（x）被引入所有其他项中涉及的规范和内积。

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能者818

2022-6-23 21:43:15

这不是问题，因为这两个额外的术语是I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds（E2.4）和ZTxI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds（E2.5），不会爆炸为→ 0+（根据引理5.3和我们的正则性假设），而对于所有其他术语，我们使用引理5.3和5.4来表示略有不同的加权度量u，该度量给出了相关规范和内积的权重w（x）。在此之前，我们只需要证明修正后的δ恒等式，如下所述。引理E2.3（δ恒等式）。以下等式适用于任何δ>1kI，1（t，·）kL(Ohm;Lδ，w）=ZDU（·，z）φ（z，·）dzL(Ohm;Lδ，w）+rZtI[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds+δkθ-ξZtDI，z-（s，·）、I、1（s，·）EL(Ohm;Lδ-1，w）ds+kθ-ξZt公司I，z-（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-δkZtDI，z（s，·），I，1（s，·）EL(Ohm;Lδ-1，w）ds-kZt公司I，z（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）L(Ohm;Lδ）ds-ΔρZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）L(Ohm;Lδ-1，w）ds+ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds+δ（δ- 1） ξZtkI，1（s，·）kL(Ohm;Lδ-2，w）ds-ξ1.- ρ2,1Zt公司yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds。-(ρ - ξρρ1,1ρ2,1）×ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）L(Ohm;Lδ，w）ds。（E2.6）上述标识中的所有术语都是有限的。E3引理E2.1的证明。设{Fn:n∈ N} 是一个足够规则的序列（就Malliavin可微性而言）ran dom变量，这些变量适应于[0，T]中的布朗运动b·in，Fn-→ Lαλ中的F∨q(Ohm)∩D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm)∩D2，qr(Ohm).

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mingdashike22

2022-6-23 21:43:18

那么，D·FnkD·FnkL（[0，T]）+属于任何>0和任何m的标准Skorokhod积分δ的域≤ α、根据δ的一个众所周知的性质（见[7]第40页的性质（4）），我们有以下关系，| F | mδD·FnkD·FnkL（[0，T]）+=|F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+F | mZTDsFnDskD·FnkL（[0，T]）+F！ds=| F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）++| F | mZTDsFn-RT2Ds′Fn·Ds′，SFND′kD·FnkL（[0，T]）+ds=| F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+- 2 | F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+.（E3.1）因此，通过三角形不等式、算子δ的有界性（见[7]第69页的命题1.5.4）和d H¨older不等式，我们得到|F | mδD·FnkD·FnkL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ Eq“|F | mδ（D·Fn）kD·FnkL（[0，T]）+q#+2Eq|F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+q≤ Eqr[|δ（D·Fn）| qr]×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mRTRTDsFn·Ds′Fn·Ds′，sFnds′DskD·FnkL（[0，T]）+q≤ CqrEqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mkD·FnkL（[0，T]）RTRTDs′，sFnds’dskD·FnkL（[0，T]）+q≤ CqrEqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+2Eq|F | mRTRTDs′，sFnds’dskD·FnkL（[0，T]）+q≤ （Cqr+2）Eqr“ZTZT公司Ds′，sFnds’dsqr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqr“ZT | Ds′Fn | Ds′qr#×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr= （Cqr+2）EqrD·，·FnqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·FnkqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·FnkL（[0，T]）+qr,（E3.2）对于r，~r>1，使得r+~r=1。

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kedemingshi

2022-6-23 21:43:22

然后，对于固定的>0，我们可以利用+x的Lipschitz连续性、H¨older不等式和我们的假设，来证明最后的表达式收敛为n-→ +∞ 至有限数量（Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr,（E3.3）这意味着对于序列{kn:n∈ N} N我们也有| F | mδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！-→ Lq中δmF，（E3.4）弱(Ohm) 作为n-→ +∞, 对于某些δmF，。此外，当m=0时，对于任何▄F∈Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) 我们有ehFδF，i=limn→+∞E“~FδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！#=limn→+∞E“ZTDsFDsFknkD·FknkL（[0，T]）+ds#=E”ZTDsFDsFkD·F kL（[0，T]）+ds#。（E3.5）为了了解这一点，我们观察到E“ZTDsFDsFknkD·FKNK（[0，T]）+-DsFkD·F kL（[0，T]）+！ds公司#≤ E“kD·fknk（[0，T]）+！ZTDsF|DsF公司- DsFkn | ds#+E“kD·fknk（[0，T]）+-kD·F kL（[0，T]）+ZTDsF DsF ds#≤E1-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- DsFknkq▄rL（[0，T]）i+EkD·FKNK（[0，T]）- kD·F kL（[0，T]）D·FL（[0，T]）kD·F kL（[0，T]）kD·fknk（[0，T]）+kD·F kL（[0，T]）+≤E1-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- DsFknkq▄rL（[0，T]）i+CEkD·FKNK（[0，T]）- kD·F kL（[0，T]）D·FL（[0，T]）≤+CE1级-qrD·Fq▄rq▄r-1L（[0，T]）Eq▄rhkDsF- 对于某些C>0的情况，DsFknkqrL（[0，T]）i（E3.6），当n时收敛到零→ ∞. 此外，通过密度变元，我们可以很容易地证明存在唯一的弱极限δF，和，因为子序列{kn:n∈ N} 可以认为m=0和m=α都是相同的，我们也可以表示ΔαF，=| F |αδF，。因此，我们可以定义δD·FkD·F kL（[0，T]）+:= δF，，然后有δαF，=| F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）+也

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可人4

2022-6-23 21:43:25

因此，我们也可以使用Fatou引理来估计|F | mδD·FkD·F kL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ lim信息→+∞|F | mδD·FknkD·FknkL（[0，T]）+！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）直线电机（fn）→+∞EqrD·，·FknqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·fknk（[0，T]）+qr+Cqrlim信息→+∞EqrhkD·FknkqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·fknk（[0，T]）+qr= （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）+qr（E3.7）对于m=0和m=α。这意味着我们可以↓ 0和r使用前面的参数（这次，我们使用单调收敛定理来计算限制）来推导δD·FkD·F kL（[0，T]）可定义为E“~FδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E”ZTDtFDtFkD·F kL（[0，T]）dt#（E3.8）对于任何F∈ Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) 和|F | mδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F | mkD·F kL（[0，T]）qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F | mkD·F kL（[0，T]）qr.（E3.9）对于m=0和m=α。（E3.8）和（E3.9）中RHS的一致性使我们能够通过使用单调收敛定理来获得这些关系，这很容易遵循F和F的假定正则性。

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大多数88

2022-6-23 21:43:27

特别是对于RHSin（E3.8）的精确性，我们需要首先将L（[0，T]）中的Cauchy-Schwartz不等式应用于两个Malliavin导数，然后在明显取消后，应用H¨older不等式与适当的指数，以通过两个有限范数的乘积控制RHS。对于某些a，b，现在取ψ（y）=I[a，b]（y）∈ a<b且φ（y）=Ry的R-∞ψ（z）dz，我们可以很容易地证明，P-几乎依赖于我们有|φ（F）|≤ b-a、同时，D·φ（F）=ψ（F）D·fB，由[7]第31页命题1.2.3证明后的结果得出（因为根据我们的假设，D·F永远不可能为零，我们可以使用[7]第86页的定理2.1.2来获得绝对连续性）。因此，根据ψ（F）的有界性和我们的假设，我们得到φ（F）∈ L∞(Ohm) ∩ D1,2λ∨q▄rq▄r-1(Ohm), 它是Lq的子空间(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm).然后，我们可以像[7]中第78页命题2.1.1的证明那样，推导出E[ψ（F）]=E“φ（F）δD·FkD·F kL（[0，T]）！#，（E3.10），其中δ是导数算子的伴随：Lq(Ohm) ∩ D1,2∨q▄rq▄r-1(Ohm) -→ L2级∨q▄rq▄r-1.Ohm; L（[0，T]）（E3.11）（标准斯科罗霍德积分的扩展），其域包含过程·FkD·F kL（[0，T]），如上所示。因为霍尔德的不平等意味着如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤ kIF>xkLq(Ohm)δD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤δD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)（E3.12）是有限的，应用Fubini定理（E3.10），我们发现P（a≤ F≤ b） =ZbaE“如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#dx。

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能者818

2022-6-23 21:43:30

（E3.13）这意味着对于所有x，F的密度ffff（x）=E“如果>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#∈ R、利用指标函数的有界性和支配收敛定理，我们可以证明这种密度是连续的。最后，回顾一下斯科罗霍德积分对x的期望值始终为零（这也适用于密度参数对其的扩展）≤ 0 we h ave | x |αfF（x）=E“| x |αIF>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=-E“| x |αIF<xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E”| x |αIF<-|x个|-δD·FkD·F kL（[0，T]）#≤ E“| x |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#（E3.14）和x≥ 0显然| x |αfF（x）=E“| x |αIF>xδD·FkD·F kL（[0，T]）！#=E“| x |αIF>x |δD·FkD·F kL（[0，T]）#≤ E“| x |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#（E3.15）因此，通过（E3.14）、（E3.15）和（E3.9），我们得到了估计值| x |αfF（x）≤ E“| F |αI | F |>| x|δD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤ E“|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！#≤|F |αδD·FkD·F kL（[0，T]）！Lq公司(Ohm)≤ （Cqr+2）EqrD·，·FqrL（[0，T]）×等式▄r|F |αkD·F kL（[0，T]）qr+CqrEqrhkD·F kqrL（[0，T]）i×Eqr|F |αkD·F kL（[0，T]）qr对于所有x∈ R、这就完成了引理的证明。引理E2.2的证明。我们假设初始密度u=u（·| G）是可微分的，并且w（·）（u）xis L(Ohm ×R+-可积。然后，根据[5]中发展的理论，我们得出u与S PDE 4.2在具有更高正则性的w（·）加权Sobolev空间中的唯一解一致，并且（E2.2）也满足，M仅依赖于紧区间I 包含两个min0的R+≤t型≤Tσ和最大值0≤t型≤TσT。

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能者818

2022-6-23 21:43:34

请注意，尽管在[5]中获得的Sobolev估计中出现的常数也依赖于SPDE系数的空间连续性模量，但由于系数不依赖于空间变量x，因此该连续性模量始终为零。接下来，我们得到了e“sup0≤t型≤Tsupx公司∈R+u（t，x）#≤ E“sup0≤t型≤Tsupx公司∈（0，1）u（t，x）#+E“sup0≤t型≤Tsupx公司≥u（t，x）#，（E3.16），我们可以使用Morrey不等式（见[2]）来控制上述RHS中的第二项，参见“sup0≤t型≤TZ公司+∞ux（t，x）dx#+E“sup0≤t型≤TZ公司+∞u（t，x）dx#≤ E“sup0≤t型≤TZ公司+∞w（x）ux（t，x）dx#+E“sup0≤t型≤TZ公司+∞u（t，x）dx#≤ MeMTEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）i+MeMT+1Ehku（·）kL（R+）i，其中我们还使用了恒等式（4.3）和估计值（E2.2）。另一方面，我们可以使用[1]中的定理1控制（E3.16）RHS中的第一项，通过“sup0≤t型≤Tu（t，1）#≤ E“sup0≤t型≤Tsupx公司≥1u（t，x）#（E3.17），已被控制，且由初始密度的最大值控制。结合上述估计，我们得到（E2.3）。定理E1.1的证明。通过L emmas 3.2、3.3和3.4，我们得到了σtsatis是引理E2.1对任何q，r>1，qr<4kθ3ξ，任何α的求和≥ 0和任意λ≥ qr，在条件概率测度P（·| B·，G）下，因为我们可以证明q，r可以变成σαtkD·∑tkL（[0，T]）∈ LqrB·，G(Ohm), P-几乎可以肯定。为了看最后一个，我们使用了Cauchy-Schwartz不等式，并将定理3.1从[4]中回顾到obtainEσqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤ξp1- ρt2qrEσqr（α-1） tZteRtt′型kθ-ξσs+kds！q▄rdt′≤ξp1- ρtq▄rE“σq▄r（α-1） te2qrRtkθ-ξσs+kds#=ξp1- ρtq▄rE“E”σq▄r（α-1） te2qrRtkθ-ξσs+kds公司σ##≤Ctqrγv-qr（α-1） THEσvH-γtσe-千吨级i（E3.18）对于某些c，~c>0，前提是2qrkθ-ξ<ξ2kθξ- 1.和q▄r（α-1) > -2kθξ-v、其中v=-2kθξ- 1.+s2kθξ- 1.- 2qr4kθξ- 1., （E3.19）γt=2kξ1.- e-千吨级-1> 所有t的2kξ≥ 0，H是一个超几何函数，对于该函数，我们有[4]第17页的渐近估计。

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大多数88

2022-6-23 21:43:39

有2qrkθ-ξ<ξ2kθξ-1.,qr（α- 1) > -2kθξ- v和qr<4kθ3ξ对于非常小的q>1，必须得到q=1的所有这些严格不等式f。因为r<4kθ3ξ等于▄r>4x4x-3对于x=kθξ，4x4x-3> 1，我们可以得到这个不等式和2rkθ-ξ<ξ2kθξ- 1.<=>r<（2x-1） 2（4倍-1）对于某些￠r>1，当且仅当4x4x-3<（2x-1） 2（4倍-1). 最后一个不等式是满足的，因为它相当于16倍- 60倍+24倍- 3>0，x=kθξ>x*. 然后，qr（α-1) > -2kθξ-对于p=1，对于任何α，都可以得到v≥ 0和▄r非常接近其上限（2x-1） 2（4倍-1），前提是它适用于q=1、α=0和▄r=（2x-1） 2（4倍-1），即何时-（2倍- 1） 2（4倍- 1)> -2x+（2x- 1）（E3.20），当x=kθξ>x时也满足*（自x起*> 1). 接下来，由于σ从零开始有界，所以（E3.18）中H的自变量从下到下有m>0，然后[4]中第17页的估计给出H(-z）≤ K | z|-v+qr（α-1）对于所有z≥ m、对于大于0的someK。因此，从（E3.18）中，我们得到σqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤CtqrecTEhσqr（α-1） i（E3.21）对于某些c>0，上述RHS是有限的，这意味着σq▄rαtkD▄σtk2q▄rL（[0，T]）B·，G< ∞ （E3.22）P-几乎可以肯定。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:42

最后一个意思是引理E2.1的假设确实满足。从上面我们推断，在P（·| B·，G）下，σthas是密度pt（y | B·，G），这在[0+∞) （由于该CIR过程未达到零）且∈R+yαpt（y | B·，G）≤ （C+2）EqrD·，·σtqrL（[0，T]）| B·，G×等式▄rσαtkD·∑tkL（[0，T]）qr | B·，G+CEqrhkD·∑tkqrL（[0，T]）| B·，Gi×Eq▄rσαtkD·∑tkL（[0，T]）qr | B·，G= （C+2）EqrD·，·σtqrL（[0，t]）| B·，G×等式▄rσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr | B·，G+CEqrhkD·∑tkqrL（[0，t]）| B·，Gi×Eq▄rσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr | B·，G,因此，提高到q的幂，取期望值，利用霍尔德不等式，我们得到了“supy”∈R+yαpt（y | B·，G）！q#≤CErD·，·σtqrL（[0，t]）×ErσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr+CErhkD·∑tkqrL（[0，t]）i×ErσαtkD·∑tkL（[0，t]）qr（E3.23）对于一些C>0。接下来，通过引理3.2和3.3，我们得到eqrhkd·∑tkqrL（[0，t]）i=EqrZtξ1.- ρe-2Rtt′型kθ-ξσs+kdsσtdt′！qr码≤ ξq1- ρEqrZtsups公司≤Tσsdt′！qr码= ξq1- ρ√tEqr公司sups公司≤Tσs！qr码= C′√t（E3.24）对于某些C′>0，而通过引理3.4对于q′=qr的估计，我们得到了eqrhD·，·σtqrL（[0，t]）i≤ Eqr“tqrsup0≤t′，t′\'≤t型≤T | Dt′，T′σT | qr#=某些C′大于0的C′T（E3.25），因为qr<4kθ3ξ。此外，对于q和r的选择，通过（E3.21）我们得到了eqrσqrαtkD·∑tk2qrL（[0，T]）≤ C（3）t（E3.26），对于某些C（3）>0。现在（E3.24），（E3.25）和（E3.26）在（E3.23）中替换，我们得到“supy”∈R+yαpt（y | B·，G）！q#≤ C（4）+C（5）√tq（E3.27）对于某些C（4），C（5）>0。因为最后一个的RHS在t中是可积的∈ [0，T]（因为我们可以取q<2），所以期望的结果如下。定理E1.2的证明。设f是一个光滑函数，在R中紧支撑，使得f在y轴上消失。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:45

定理E1.1适用于W·，W·- 驱动循环过程σt:t≥ 0意味着最后一个具有密度pt·|B·，G对于每个t≥ 0，我们有vt，C（f）=EfXt，σtI{T≥t} | W·、B·、C、G= EEfXt，σtI{T≥t} | W·，σt，B·，C，G|W·，B·，C，G=ZRE公司fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，C，Gpt公司y | B·，Gdy.（E3.28）适用于任何t≥ 0下一步，我们计算fXt，yI{T≥t} | W·，σt=y，B·，C，G= EEfXt，yI{T≥t} | W·，σ。，C、 G级|W·，σt=y，B·，C，G= EZR+f（x，y）ut、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·，σt=y，B·，C，G=ZR+f（x，y）Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdx，（E3.29），其中ut、 x，W·，C，G，hσ.是LOhm ×[0，T]；H（R+）当系数向量Cis给定且波动路径为h时，由定理4.1给出的密度σ.. 通过（E3.28）和d（E3.29），我们得到了所需密度的存在，并由UC给出t、 x、y、W、B、G= pt公司y | B·，GEut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，G（E3.30），支持R+×R+。利用Cauchy-Schwartz不等式、总体期望定律、Fubini定理和恒等式（4.3），我们得到了任意α≥ 0ZR+ZR+ya坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydx=ZR+ZR+yαpty | B·，GEut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，σt=y，C，Gdydx≤ MαB·，G（t）ZR+ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，σt=y，C，Gdydx=MαB·，G（t）ZR+Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，C，Gdx=MαB·，G（t）E锆+铀t、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·、B·、C、G≤ MαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gi，其中MαB·，G（·）=supy≥0yαp·（y | B·，G）∈ Lq公司(Ohm ×[0，T]），对于所有足够小的q>1（由定理E1.1给出C）。用ECT表示给定的期望值，并取q′>1，这样q+q′=1，通过上述和Holder不等式，我们得到ZTZR+ZR+ya坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydxdt≤ 欧共体ZTMαB·，G（t）Ehku（·）kL（R+）| Gidt≤ EqC“ZTMαB·，G（t）dtq#Eq′ChEq′hku（·）kL（R+）| Gii≤ Tq′EqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论Eq′hEq′hku（·）kL（R+）| Gii<∞,这表明密度属于任意α的空间Lα≥ 0

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:48

此外，重复上述计算，但对于导数乘以w（x），我们发现ZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydx≤ MαB·，G（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，C，hσ.dx | W·、B·、C、G,因此，当ρ：=RdWtdBt=0时，将EB·C，gf写成给定的C，G和B·的期望，并使用引理E2.2，我们得到了EB·C，G“ZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydx#≤ MαB·，G（t）EZR+w（x）uxt、 x，W·，G，C，hσ.dx | B·，C，G≤ MαB·，G（t）E“sup0≤s≤TZR+w（x）uxs、 x，W·，G，C，hσ.dx | B·，C，G#≤ MeMTMαB·，G（t）Ehkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gi+Ehku（·）kL（R+）| Gi.最后一个意味着EC“ZTZR+ZR+w（x）ya坎特伯雷大学x个t、 x、y、W、B、Gdydxdt#≤ MeMTEC公司ZTMαB·，G（t）dtEhkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gi+MeMTEC公司ZTMαB·，G（t）dtEhku（·）kL（R+）| Gi≤ MTq’eMTEqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论×Eq′ChEq′hkw（·）（u）x（·）kL（R+）| Gii+MTq′eMTEqCZT公司MαB·，G（t）量子亏损理论Eq′ChEq′hku（·）kL（R+）| Gii<∞它给出了导数的加权可积性。为了获得ρ=0时的边界条件，我们的工作如下ZR+ZR+yα坎特伯雷大学t、 x、y、W、B、Gdydt公司≤ EC“ZR+ZR+MαB·，G（t）pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdydt公司#≤ EC“ZR+MαB·，G（t）ZR+pty | B·，G×Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，σt=y，B·，C，Gdydt#=ECZR+MαB·，G（t）Eut、 x，W·，G，C，hσ.|W·，B·，C，Gdt公司= 欧共体ZR+MαB·，G（t）ECut、 x，W·，G，C，hσ.|B·、C、Gdt公司,其中，我们可以使用引理E2.2中给出的最大值原理，MαB·，G（·）的可积性和支配收敛定理，来说明最后一个的RHS随着x趋于零-→ 0+. 这就完成了定理的证明。引理E2.3的证明。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:51

我们证明的恒等式中所有术语的一致性是引理5.3和假设的u和ux加权可积性的结果。将方程式（5.6）乘以w（x）yδ+, 将伊藤公式应用于L（R+）范数（定理3.1，来自[6]，适用于三重H L H-1，当∧（u）=w（·）u时，然后在R+上积分y，我们得到等式ki，1（t，·）kLδ，w=ZDU（·，z）φ（z，·）dzLδ，w-2rZtxI，1（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds-kθZtyI，z-（s，·）、I、1（s，·）Lδ，wds+kZtyI，z（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ξZt一，1（s，·），一，1（s，·）Lδ，wds+ρZtx个yI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds+ξρρ1,1ρ2,1ZtxI，h（z）（s，·），yI，1（s，·）Lδ，wds+ξZtyI，z-（s，·）、I、1（s，·）Lδ，wds+ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·）Lδ，wds+ξρ2,1ZtyI，1（s，·）Lδ，wds- 2ρ1,1ZtxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wdWs-ξρ2,1Zt一，1（s，·），一，1（s，·）Lδ，wdBs。（E3.31）现在观察到，根据我们的SPDE的定义，我们有ZR+ZRuxx（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）dzdx=ZR+ZRu（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）xxdzdx=-ZR+ZRux（s，x，z）φ（z，y）w（x）f（x）xdzdx=-ZR+ZRw（x）ux（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx-Z[0，1]ZRux（s，x，Z）φ（Z，y）f（x）dzdx（E3.32），等于-ZR+ZRw（x）ux（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx+z[0，1]ZRu（s，x，z）φ（z，y）fx（x）dzdx-ZRu（s，1，z）φ（z，y）f（1）dz对于[0+∞). 自u起∈ 由于f（1）可以由f的Hα范数控制（通过使用1附近的Morrey不等式），（E3.32）定义了光滑函数空间f上的线性泛函（定义于[0+∞)) 在Hα拓扑下有界。然后，由于这些函数形成了hα的稠密子空间，我们得到（E3.32）也适用于任何f∈ Hα。

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nandehutu2022

2022-6-23 21:43:54

特别地，对于f=I，1（s，·，y），将（E3.32）乘以yδ，然后将（y，t）积分到R+×R+，我们得到了ztxI，h（z）（s，·），I，1（s，·）Lδ，wds=-Zt公司xI，h（z）（s，·），xI，1（s，·）Lδ，wds。-Zt公司xI，h（z）（s，·），I[0，1]×R（·）I，1（s，·）Lδds。（E3.33）接下来，当▄Lδ′替换为▄Lδ′，wforδ′时，【3】中的恒等式（5.10）-（5.12）也成立∈{δ, δ - 1, δ - 2} ，且其公正性相同。将这些和（E3.33）代入（E3.31），我们得到了期望的结果。备注E3.1。方程（E3.33）在δ恒等式中增加了两个额外项。致谢第二位作者的工作得到了英国工程和物理科学研究理事会（EP/L015811/1）以及希腊教育和欧洲文化基金会（由Nicos&Lydia Tricha创立）的资助。附录：关于第4.1条证明的澄清，在p屋顶的最后一次计算中，假设A几乎肯定是XT的连续集。要看到这一点，考虑过程Y满足与X相同的SDE和初始条件，但在0处没有停止条件，并观察到它是一个高斯过程，给定路径W·和给定G，这意味着pXt公司∈ V | W·，G≤ P年初至今∈ V | W·，G= 0（A.1）对于任何Borel集合V 零勒贝格测度的R+。参考文献【1】Denis，L和Matoussi，A。无正则性假设的有界域上拟线性spd es的最大值原理。随机过程及其应用123（3）（2013），1104–1137。[2] Evans，L.偏微分方程。数学研究生课程；19，普罗维登斯，R.I.：美国数学学会（2010）。[3] Hambly，B.和Kolliopoulos，N.随机波动率模型大型投资组合的随机演化方程。《暹罗金融数学杂志》8（1）（2017），962–1014。[4] Hurd，T.R.和Kuzn etsov，A.随机积分的拉普拉斯变换的显式公式。马尔可夫过程。

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mingdashike22

2022-6-23 21:43:56

相关领域14（2008），277–290。[5] Krylov，N.《一般光滑域中SPDE的Dirichlet问题的Wn理论》。概率。理论相关领域，98（1994），389–421。[6] Krylov，N.和Rozovskii，B.随机发展方程s.J.苏联数学。16(1981), 1233–1277.[7] Nualart，D.《Malliavin微积分和相关主题》。概率及其应用：Sp ringer Verlag（1995）。

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