（2.2）o风险价值（VaR）：这是金融理论和实践中领先的法律不变的货币风险度量，定义符合：V aRPα（X）=- inf{x:FX，P（x）≥ α}, α ∈ [0, 1], 十、∈ L∞. （2.3）o熵风险度量（Entr）：这是一个具有厌恶参数τ>0特征的定律不变凸风险度量，定义为：EntrPτ（X）=τlog EP[e-τX]=supQ均衡器[-X]-τH（Q/P）, 十、∈ L∞. （2.4）其中，H表示Q相对于P的相对熵，见【F¨ollmer and Schied，2002年】。o预期短缺（ES）：这是一个显著的规律不变的协单调和相干风险度量，定义为：ESP（X）=1- αZαV aRPγ（X）dγ，α∈ [0, 1), 十、∈ L∞. （2.5）o谱风险度量（ρφ）：这是由【Acerbi，2002】提出的一类规律不变的协单调和相干风险度量，表示为：ρPφ（X）=ZV aRPγ（X）φ（γ）dγ，十、∈ L∞. （2.6）式中，φ是一个非递增、非负、右连续且可积的加权函数，使得rφ（γ）dγ=1。定义2.4。偏差度量是功能性的D:L∞→ R+，[Rockafellar等人，2006年]，这可能充分体现了以下特性：o非负性：对于所有X∈ L∞, D（X）=0表示常数X，D（X）>0表示非常数X。o平移不敏感度：D（X+C）=D（X）表示所有C∈ R和X∈ L∞.o 凸度：D（λX+（1- λ） Y）≤ λD（X）+（1- λ） D（Y）表示所有X，Y∈ L∞.o 正同质性：D（λX）=所有λ的λD（X）≥ 0和X∈ L∞.o 共单调可加性：D（X+Y）=D（X）+D（Y），对于每个共单调对，Y∈ L∞.如果偏差D满足非负性和平移敏感性，则偏差D的度量是正确的；如果偏差D满足凸性，则偏差D的度量是凸的；如果偏差D满足正同质性，则偏差D的度量是一致的；如果偏差D满足共单调可加性，则偏差D的度量是一致的。例如，参见【Righi，2018a】、【Furman et al.，2017】和【Berkhouch et al.，2018】。示例2.5。

我们在下面提供了一些示例来说明偏差概念：o全范围（FR）：这一极其保守的偏差度量，表示不同ω的两个X（ω）值之间可能存在的较大差异∈ Ohm, 定义为：F R（X）=sup X- inf X，十、∈ L∞. （2.7）o下限和上限（LR/UR）：它们分别是对全量程测量的调整，以说明低于或高于预期的范围。它们的公式为：URP（X）=EP[X]- inf X，十、∈ L∞; （2.8）LRP（X）=sup X- EP【X】，十、∈ L∞. （2.9）o方差（Var）：这是最为人所知的偏差度量，定义为：V arP（X）=EP[（X- EP【X】】，十、∈ L∞. （2.10）它代表着围绕预期的第二个时刻，自[马科维茨，1952年]、[马科维茨，1970年]的开创性工作以来，它一直被视为现代金融中的风险防范措施标准偏差（SD）：此可变性度量表示为方差的根：SDP（X）=EP[（X- EP【X】], 十、∈ L∞. （2.11）o半偏差（SD-/SD+：下半偏差和上半偏差是标准偏差的调整，仅考虑低于或高于预期值的分散度，以避免对称性。它们被定义为符合：SDP（十）=EP[（（X- EP【X】）], 十、∈ L∞. （2.12）o平均基尼系数（Gini）：这是一个统计系数，用于测量值X（ω）集合中ω随Ohm, 参见【Shalit和Yitzhaki，1984】、【Giorgi，1993】、【Giorgi，2005】、【Yitzhaki，1998】、【Ceriani和Verme，2012】、【Furman等人，2017】和【Berkhouch等人，2018】。定义为：GiniP（X）=EP[| X*- 十、**|], 十、∈ L∞; （2.13）式中，X*和X**是X的两个独立副本。

或者，根据协方差（Cov）：GiniP（X）=4 CovP【X，FX，P（X）】，十、∈ L∞.o 扩展基尼系数（EGini）：这是一个众所周知的金融和经济系数，其特征是厌恶度r参数≥ 1，见【Yitzhaki，1983】、【Yitzhaki and Schechtman，2005】、【Yitzhaki and Schechtman，2012】、【Maoand Wang，2018】和【Berkhouch et al.，2018】。其配方符合：EGiniP（X）=-2r CovP[X，（1- FX，P（X））r-1], 十、∈ L∞. （2.14）对于r=2，我们得到平均基尼系数。3光谱风险度量的稳健框架对于可测量的场景空间（S，S）和加权函数φ（先验规定），我们考虑集合ρφ=（ρSφ）S∈Sof光谱风险度量：ρsφ：L∞(Ohm, F）→R、 对于每个s∈ S、 我们假设ρ。φ、 X：=ρ。φ（X）：（S，S）→ R S-可测量，对于每个财务状况X∈ L∞.在本文中，我们根据上下文采用以下符号：ρφ（X）：=（ρsφ（X））s∈S=（ρSφ，X）S∈S： =ρφ，X.定义3.1。我们称之为基于情景的光谱风险度量（abri.scenario basedSRM），每个光谱风险度量族都有一个加权函数φ，使得：ρφ={ρsφ：L∞(Ohm, F）→ R、 s∈ S} 。定义3.2。对于持有的财务头寸X，我们将无不确定性集定义为：{ρφ，X∈ L∞（S，S）S.t.：ρSφ，X=ρSφ，X，s、 s∈ S} 。我们现在定义了【Wang和Ziegel，2018】：定义3.3中介绍的基于S的风险度量。对于场景集S，如果：ρ（X）=ρ（Y）表示X，Y，则风险ρ的度量称为基于S的∈ L∞每当Xd=sY时。考虑基于场景的SRMρφ，并将u作为（S，S）上的概率度量。Weintend通过将ρφ与一个风险度量组合在一起，来捕捉ρφ的不确定性特征∞（S，S）；我们的想法是，我们考虑候选人的整体，而不是选择特定的风险度量。设R是L上的风险度量∞（S，S）：定义3.4。R和ρφ的组合是一种货币风险度量，定义为：R oρφ（X）=R(-ρφ（X）），十、∈ L∞.

（3.1）根据定义，R oρφ的成分是基于S的。这种方法允许我们定义新的风险度量，以解释基于情景的SRMρφ的不确定性。我们在下面列出了一些相关示例：示例3.5最坏情况（ρW Cφ）：对于R=W C，我们将最坏情况定义为：ρW Cφ（X）=sups∈SρSφ（X），十、∈ L∞. （3.2）o基于情景的期望（Eφ）：对于R=ELu，我们引入基于情景的期望：Euφ（X）=ZSρsφ（X）du，十、∈ L∞. （3.3）o基于情景的风险价值（V aRα，φ）：对于R=VuaRα，α∈ [0，1]，我们将基于场景的风险值定义为：V aRuα，φ（X）=inf{X∈ R：u（ρφ（X）<X）≤ 1.- α}, 十、∈ L∞. （3.4）o基于情景的熵风险度量（Entrτ，φ）：对于R=Entruτ，τ>0，我们定义基于情景的熵风险度量符合：Entruτ，φ（X）=supQ公式φ（X）-τH（Q/u）, 十、∈ L∞. （3.5）o基于情景的预期缺口（ESα，φ）：对于R=ESuα，α∈ [0，1），我们将基于塞纳里奥的预期短缺引入为：ESuα，φ（X）=1- αZαV aRuγ，φ（X）dγ，十、∈ L∞. （3.6）备注3.6。上述引入的风险度量是我们基于场景的SRMρφ有趣的鲁棒组合示例；然而，ρφ可以与L上任何可想象的风险度量R叠加∞（S，S）。在（3.3）中，Eφ的离散版本可以作为一组n个场景{s，…，sn}的基于场景的加权平均（W Aφ）引入：W Auφ（X）=nXi=1u（si）ρsiφ（X），十、∈ L∞. （3.7）这一提法可能更切合实际问题。此外，ρW Cφ和ESα、φ是基于S的和相干的；Entrτ，φ是基于S且凸的；W Aφ、Eφ和是基于S的dco-单调和相干的。备注3.7。根据ρφ和R的性质，以及推论1【Righi，2018b】（对于f（·）=R(-·)), 我们提供了关于叠加稳健风险测度R oρφ的对偶表示的结果。设ρφ为基于场景的SRM，R为货币风险度量。

那么：i）如果R是一个定律不变的凸风险度量，那么表示形式是一致的：R oρφ（X）=supu∈五、Z[0,1）ESγ（X）dmu- δR（u）, 十、∈ L∞. （3.8）式中，mu∈ cl（MEuφ）。对于V，（S，S）中的概率测度集和δRapenalty项；参见【Righi，2018b】。ii）如果R是一个定律不变的相干风险度量，则表示为：R oρφ（X）=supu∈VRZ[0,1）ESγ（X）dmu，十、∈ L∞. （3.9）式中，mu∈ cl（MEuφ）和VR={u∈ V:R oρφ（X）≥ Euφ（X），十、∈ L∞};参见【Righi，2018b】。iii）如果R是一个律不变的协单调相干风险测度，则表示为：R oρφ（X）=Z[0,1）ESγ（X）dmu，十、∈ L∞. （3.10）对于一些mu∈ cl（MEuφ）。从另一个角度来看，风险价值（VAR）和预期缺口（ES）在银行业和保险业中被广泛使用；因此，我们将其视为第二种方法的构建块。首先，通过定义，光谱风险度量表示为风险加权值：ρsφ（X）=ZV aRsγ（X）φ（γ）dγ，十、∈ L∞. （3.11）其次，作为法律不变的共单调相干风险度量的双重表示的经典结果（见【Kusuoka，2001】、【Acerbi，2002】和【Frittelli和Gianin，2005】），光谱风险度量也可以表示为预期短缺（ES）的混合：ρsφ（X）=Z【0,1】ESsγ（X）dm，十、∈ L∞. （3.12）对于[0，1]上的某些概率度量m。因此，解决基于场景的SRMρφ=（ρsφ）s的不确定性问题∈扫描转向处理集合的不确定性V aRα=（V aRsα）s∈SandESα=（ESsα）s∈S、 然后，我们为R:L制定了相应的v aRα和ESα的鲁棒合成版本∞（S，S）→ R： R o V aRα（X）=R(-V aRα（X）），十、∈ L∞. （3.13）R o ESα（X）=R(-ESα（X）），十、∈ L∞. （3.14）同样，可以定义ESα的替代版本：ESα，R（X）=1- αZαR o V aRγ（X）dγ，十、∈ L∞. （3.15）基于此，我们在下文中介绍了一些稳健风险度量的新变体，这些新变体捕获了基于情景的SRMρφ的不确定性。

请注意，尽管使用了samenotation，但以下引入的风险度量并不一定相等。定义3.8。对于基于场景的SRMρφ和L上的风险度量R∞（S，S），weintroduce:i）ρφ，R（X）=ZR o V aRγ（X）φ（γ）dγ，十、∈ L∞. （3.16）ii）ρφ，R（X）=Z[0,1）R o ESγ（X）dm，十、∈ L∞. （3.17）iii）ρφ，R（X）=Z[0,1）ESγ，R（X）dm，十、∈ L∞. （3.18）提案3.9。设R是L上的风险度量∞（S，S），并考虑（3.17）中定义的ρφ，rd。i） 如果R是凸的，则ρφ，Ris S是基于S的且凸的。ii）如果R是相干的，则ρφ、Ris S是基于S的且相干的。iii）如果R是共单调的，则ρφ、Ris S基于和共单调。证据i） R是凸的，ESγ是凸的。我们有R o ESγ是凸的。让C∈ R： ρφ，R（X+C）=Z[0,1）R o ESγ（X+C）dm=Z[0,1）R o ESγ（X）dm- C=ρφ，R（X）- C、 设X，Y∈ L∞s、 t.：X≤ Y，我们有：R o ESγ（X）≥ R o ESγ（Y）=>Z[0,1）R o ESγ（X）dm≥Z[0,1）R o ESγ（Y）dm=> ρφ，R（X）≥ ρφ，R（Y）。因此，ρφ，Ris是一种货币风险度量。Letλ∈ [0，1]和X，Y∈ L∞, 由于R o ESγ是凸的，我们有：R o ESγ（λX+（1- λ） Y）≤ λR o ESγ（X）+（1- λ） R o ESγ（Y）=>Z[0,1）R o ESγ（λX+（1- λ） Y）dm≤ λZ[0,1）R o ESγ（X）dm+（1- λ） Z[0,1）R o ESγ（Y）dm=> ρφ，R（λX+（1- λ） Y）≤ λρφ，R（X）+（1- λ） ρφ，R（Y）。因此，ρφ，Ris凸。ii）R是相干的。R o ESγ是相干的。Letλ≥ 0，我们得到：ρφ，R（λX）=Z[0,1）R o ESγ（λX）dm=Z[0,1）λR o ESγ（X）dm=λρφ，R（X）。因此，ρφ，Ris正齐次。然后，ρφ，Ris相干。iii）R是协单调的。R o ESγ是协单调的。设X，Y是协单调对∈ L∞, 我们有：ρφ，R（X+Y）=Z[0,1）R o ESγ（X+Y）dm=Z[0,1）R o ESγ（X）dm+Z[0,1）R o ESγ（Y）dm=ρφ，R（X）+ρφ，R（Y）。因此，ρφ，Ris协单调。备注3.10。谱风险度量是更大类别的畸变风险度量的特例。

因此，本文中提出的方法可以以同样的方式，通过给定容量下的Choquet积分框架，扩展到风险失真度量的类别（参见[Choquet，1954]，[Schmeidler，1986]，[Schmeidler，1989]，[Yaari，1987]和[Wang et al.，2018]）。4测量不确定度如引言中所述，由于测量不确定度意味着量化ρφ（X）=（ρsφ（X））s上的可变性∈只要s在场景集s中有所不同，我们认为这种量化应该在ρφ（X）的元素范围内进行，而不依赖于参考度量，如【Jokhadze和Schmidt，2018年】所述。因此，我们认为采用基于偏差的方法测量不确定度更具相关性，更符合目标。定义4.1。考虑一个基于场景的SRMρφ，不确定性度量U是L上的非负映射∞（S，S）评估（ρSφ（X））S的不确定性∈对于财务状况X:U:L，Sas s各不相同∞（S，S）→ R+ρφ（X）7→ U（ρφ（X））备注4.2。在本节中，我们选择以下符号：ρφ（X）：=ρφ，X。本文的重点是光谱风险度量；然而，我们的方法可以扩展到任何其他类别的风险度量。在这种逻辑中，我们建议仅使用偏差度量来测量不确定度∞（S，S）：U=D。此外，偏差测量的理论特性（见定义2.4）是一致的，并且在不确定度测量的背景下易于解释。例如，非负性确保无不确定性集合中没有可变性（见定义3.2）；翻译不敏感度表明，如果添加某个常量值，则不确定性不会改变。考虑基于情景的SRM、ρφ和财务状况X。

设u为（S，S）上的概率测度，Fu为随机变量ρφ，Xon L的相应分布函数∞（S，S）。我们提供了一些不确定性度量的示例来说明基于偏差的方法：U（ρφ，X）=D（ρφ，X）：=Dφ（X）；o对于D=F R，我们引入了全量程型不确定度测量（FRφ）：F Rφ（X）=sups∈SρSφ，X- infs公司∈SρSφ，X，十、∈ L∞. （4.1）该不确定度测量评估了候选对象之间的最大距离{ρsφ，X，s∈ S} 。因此，它往往高估了不确定性对于D=LR/D=UR，我们得到一个上下范围类型的不确定度测量值（LRφ/URφ）：URuφ（X）=Eu[ρφ，X]- infs公司∈SρSφ，X，十、∈ L∞; （4.2）LRuφ（X）=sups∈SρSφ，X- Eu[ρφ，X]，十、∈ L∞. （4.3）o对于D=V ar，我们定义了方差型不确定度度量（V arφ）：V aruφ（X）=Eu[（ρφ，X- Eu[ρφ，X]）]，十、∈ L∞. （4.4）o对于D=SD，我们定义了标准偏差型不确定度测量（SDφ）：SDuφ（X）=Eu[（ρφ，X- Eu[ρφ，X]）], 十、∈ L∞. （4.5）o对于D=基尼，我们引入了基尼类型的不确定度度量（基尼φ）：基尼uφ（X）=Eu[|ρ*φ、 X个- ρ**φ、 X |]，十、∈ L∞; （4.6）式中，ρ*φ、 X和ρ**φ、 X是ρφ，X的两个独立副本。或者，就协方差而言：基尼uφ（X）=4 Covu[ρφ，X，Fu（ρφ，X）]，十、∈ L∞. （4.7）o对于D=EGini，我们得到一个扩展的基尼型不确定度度量（EGiniφ）：EGiniuφ（X）=-2r Covu[ρφ，X，（1- Fu（ρφ，X））r-1], 十、∈ L∞. （4.8）式中，参数r≥ 1可能被视为某种程度的不确定性厌恶。可以使用该度量来展示对不同文件不确定性的态度。5案例研究在本节中，我们将使用案例研究进行说明。我们考虑基于ascenario的SRM，ρφ，其中谱风险度量ρsφ是【Berkhouch et al.，2018】中引入的扩展基尼短路：EGSsr，p，λ（X）=ZV aRsγ（X）φλr，p（γ）dγ，十、∈ L∞.

（5.1）式中，φλr，p（γ）=1- p+2λ[（1- p） r-1.- r（1- γ） r-1](1 - p） [p，1]（γ），（5.2）带γ∈ [0，1]，p∈ （0，1），r>1和λ∈ [0，1/（2）（r- 1)(1 - p） r-2)].我们的数据集包括纳斯达克指数的日收益率X，涵盖2007年6月1日至2019年3月31日期间，共有N=3080个观察值。图1显示了纳斯达克指数在观察期内的回报演变。我们从数据集中考虑三个月的序列。因此，每个三个月被视为代表不同数据分布的不同经济形势（或情景）。因此，我们总共得到n=49个场景。对于每个场景s，我们评估EGSs（X）的置信水平p=95%，风险规避度r=2。为了满足EGS的相干条件，我们任意取λ为[0，1/（2）（r）的中点- 1)(1 - p） r-2） ，因此λ=4（r- 1)(1 - p） r-表1根据每个情景报告了EGS的估计值。从表1中，我们注意到不同情景下EGS估计值之间的差异；例如，2008年至2009年初期间，我们得到了风险的极端值，其特点是由于危机，经济形势极其糟糕。这强调了本文中关于不确定性的观点，即合理分配的选择。此外，它还强调了这样一个事实，即这种不确定性可能导致相关的财务损失。此时，可以使用建议的基于偏差的方法测量不确定性，见表2。这可用于基于不同场景的SRM之间的比较。现在，为了克服不确定性问题，我们考虑了整个场景集，并将基于场景的SRM与预期、风险价值和预期短缺等风险度量叠加在一起。

结果如表3所示。从表3中，我们注意到，虽然W C实际上高估了风险，但A和W Ado低估了风险。此外，正如文献中充分论证的那样，在V aR和ES之间，ES似乎更方便。这项实证研究基于NASDAQ指数在Jan之间的每日回报。2007年1月1日和2019年3月31日，是一种历史方法，强调分配选择不确定性问题固有的潜在风险；此外，还说明了本文提出的稳健的风险度量框架。https://finance.yahoo.coma:1月、2月、3月/日：4月、5月、6月/日：7月、8月、9月/日：10月、11月、12月A：平均值为W A的等概率版本。图1：每日观察到的纳斯达克回报图。情景EGSs（X）1 2007-a 2.73%2 2007-b 1.61%3 2007-c 2.31%4 2007-d 2.61%5 2008-a 3.25%6 2008-b 2.93%7 2008-c 6.12%8 2008-d 7.87%9 2009-a 4.86%10 2009-b 3.40%11 2009-c 2.53%12 2009-d 2.65%13 2010-a 2.62%14 2010-b 3.85%15 2010-c 2.58%16 2010-d 1.65%17 2011-a 2.45%18 2011-b 1.92%19 2011-c 5.65%20 2011-d 3.31%21 2012-a 1.01%22 2012-b 2.49%23 2012-c 1.33%24 2012-d 2.06%25 2013-a 1.50%26 2013-b2.09%27 2013-c 1.56%28 2013-d 1.72%29 2014-a 2.18%30 2014-b 2.44%31 2014-c 1.80%32 2014-d 2.01%33 2015-a 2.04%34 2015-b 1.88%35 2015-c 3.45%36 2015-d 1.83%37 2016-a 3.27%38 2016-b 2.68%39 2016-c 1.56%40 2016-d 1.30%41 2017-a 1.15%42 2017-b 1.99%43 2017-c 1.68%44 2017-d 1.00%45 2018-a 3.63%46 2018-b 2.33%47 2018-c 1.41%48 2018-d 4.01%49 2019-a 2.59%表1：EGSs（X）的估计值。U F R LR UR V ar SD GiniUφR，p，λ（X）6.87%5.28%1.59%0.02%1.32%1.31%表2：不确定度测量。R W C A W A V aR ESR oρφR，p，λ（X）7.87%2.59%3.26%5.33%6.55%表3：稳健风险度量示例的估计值。参考Acerbi，C.（2002）。风险谱测度：主观风险厌恶的一致表示。

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