模型不确定性下的稳健估值与风险度量

2022-5-6 12:35:42

风险价差实际上是超边际损益和次边际损益之和的累积。关键词：平均波动率不确定性、无套利、期权定价、风险中性估值、损益、高估、不确定性波动模型、G-预期、G-布朗运动数学学科分类2010:91G20、91B24、91B26、91B28、91G80、60H05、60H10，60H30JEL分类代码：G13、D81、C61。1.引言自Black and Scholes的开创性工作（Black and Scholes（1973））以来，数学模型在衍生工具的定价和分类中发挥了重要作用。Black-Scholes期权定价公式已被广泛使用，甚至用于评估标的资产（例如股票）已知不满足恒定波动率Black-Scholes假设的期权。我们的工作就像我们是正确的一样，我们经常感谢上海市金融信息技术重点实验室（SUFE）和金融风险定量计算与控制合作创新中心以及项目111（编号B12023）的支持。作者还想对托普洛夫表示感谢。山东大学非线性预期的S.Peng和李新鹏博士以及其他研讨会参与者提供了有益的建议，并特别感谢帝国理工学院的Antoine Jacquier博士就损益概念进行的讨论。地址：中国苏州大学金融工程中心徐宇红，邮编：215006。电子邮件：于红。xu@hotmail.com2Y.将参数视为我们认为的参数。然而，严格意义上说，我们不知道自己知道多少。未知参数，通常情况下，均值和波动率的不确定性会导致模型风险或模型不确定性。模型风险是模型使用不可避免的后果。它经常被隐藏或掩盖，经常被忽视。

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2022-5-6 12:35:45

如Cont（2006）所指出的，不考虑模型风险可能会导致企业灾难，有时甚至会。模型风险的一个典型案例是概率模型的选择。通常，决策者或风险管理者无法将准确的概率归因于未来结果。这种情况被奈特（1921）称为不确定性。骑士不确定性有时用来表示概率未知的情况。或者，当我们面对几个可能的规格P，P。关于未来结果的概率（Epstein（1999））。模糊厌恶在宏观经济学（Hansen、Sargent和Tallarini（1999））和资本市场的价格行为（Chen和Epstein（2002）；爱泼斯坦和王（1995）；Routledge和Zin（2009年）。在这种情况下，公允期权价值和完美适用的套期保值无法确定。衍生品交易中波动风险的存在是市场不完全性的具体表现。模型不确定性问题长期以来在经济学和金融学中得到承认。Dow和Werlang（1992）利用Schmeidler（1989）开发的不确定性厌恶偏好模型研究了单期投资组合选择问题。Epstein and Wang（1994）和Chen and Epstein（2002）研究了代表性代理经济学中均衡资产价格的含义。El Karoui和Ravanelli（2009）研究了带有利率模糊性的现金次加性风险度量。Xu（2014）研究了多重先验条件下的多维风险度量。关于模型不确定性和多先验模型的更多论文，请参见Epstein和Wang（1995）、Gundel（2005）、Riedel（2009）以及其中的参考文献。我们并没有在这里全部列出。

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2022-5-6 12:35:49

注意，在关于模型不确定性的现有研究中（Chen和Epstein（2002）；El Karoui和Ravanelli（2009年）；爱泼斯坦和王（1995）；冈德尔（2005）；徐（2014）），全概率测度P∈ Pare假设相当于一个参考概率P。这个技术要求实际上相当严格：它意味着所有模型都同意一个宇宙场景，只影响它们的概率。波动率不确定的扩散模型的一个例子（Avellanda，Levy，1995）；Cont（2006）；Lyons（1995））没有验证这一假设。最近的勘探包括Vorbrink（2010年）、Nutz和Soner（2010年）、Epsteinand Ji（2011年、2013年）和Eberlein、Madan、Pistorius和Yor（2014年）；Eberlein、Madan、Pistorius、Schoutens和Yor（2014年）；马丹（2012）；Madan和Schoutens（2012年）。金融市场的波动性很难预测。尽管我们手头有大量历史数据，但波动性可能会随她所愿而变大，而且似乎对新信息相当敏感。人们可以估计短期波动，但永远不能预测长期波动。决定波动性的因素太多了。有时我们假设波动是由随机因素驱动的，例如，波动本身就是一个差异过程。这种模型被称为随机波动模型（Heston（1993））。模型风险通常是由于我们的风险模型的不足而导致我们估计的风险度量出现错误的风险（Dowd（2005））。模型的不确定性导致了一种模型风险。波动率的模糊性是模型不确定性的一个典型例子。平均波动率不确定性3可选择的几个参数，用于拟合历史数据或校准市场。对于未知波动率的建模问题，一个稳健的选择是将其视为不确定的事实。我们只是站在两个界限σ和σ上，分别推导出最坏情况和最佳情况下的价格。

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2022-5-6 12:35:52

区间[σ，σ]表征波动的不确定性水平。时间间隔越大，波动性波动越大。此外，这个时间间隔取决于投资者对风险的偏好或厌恶程度。保守投资者可能会建立一个较大的区间，并选择最小的超级策略。然而，过大的间隔会产生如此高的超战略，以至于毫无意义。现在，我们回顾在Avellaneda、Levy和Paras（1995）中引入的不确定波动率模型。为简单起见，我们只考虑基于单一流动交易股票的衍生证券，该股票在合同有效期内不支付股息。假设未来股票价格所遵循的路径为It^o过程（1.1）dSt=St（utdt+σtdWt）。式中，（ut）和（σt）是经过调整的过程，因此σ≤ σt≤ σ、其中（Wt）是给定概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）。常数σ和σ表示根据投资者对未来价格波动的预期和不确定性，应输入模型的波动率的上下限。这两个界限可以从历史股票或期权隐含波动率的波动峰值统计得出。如Avellaneda、Levy和第（1995）段所述，它们可以被视为确定未来波动值的置信区间。请注意，两个不同的波动过程通常会在一组可能路径上产生相互奇异的概率度量。因此，波动性模糊性导致了一组风险中性概率P的模型不确定性，每一个概率都对应于在[σ，σ]中的每一时刻的值的相对性过程。当然，我们会寻找最便宜的价格，在这样的环境下，我们可以出售和管理期权。一个方便的框架是随机控制框架，其中管理波动率被解释为一个控制变量。

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mingdashike22

2022-5-6 12:35:55

结果表明，最优控制下的价值函数将产生最便宜的超战略价格。然而，超战略问题和随机控制之间的联系并不明显。回想一下，随机控制问题是在一组过程中最大化期望，而超策略是在一组概率上，即支持∈佩普。这一问题在Avellaneda、Levy和Paras（1995）中得以避免，在Lyons（1995）中得到部分处理，在Martini（1997）和Frey（2000）中得到更正式的处理。丹尼斯和马提尼（Denis and Martini，2006）在总体框架方面取得了重大进展，可以将其视为准随机分析。另请参见Soner、Touzi和Zhang（2010a）对动态定价建模中的一个关键因素——条件更新的论述。Peng（2006，2007b，2008a）建立了一种路径分析，称为G-随机分析，它将经典的维纳分析扩展到了一个关于4Y.场的次线性预期框架Ohm = C（[0+∞), Rd），所有Rd值连续路径的空间（ωt）t∈ω=0的R+在紧致子空间上具有一致范数。引入了Gnormal分布、G-布朗运动、G-期望等概念（见附录A或彭（2009）的评论论文，以及总结性书籍，彭（2010a））。G-期望的代表（胡和彭（2009）），E[·]=supP∈PEP[·]告诉我们，G-期望自然地诱导了一组概率P。证明了（Bt）是每个P下的鞅∈ P（Nutz和Soner（2010）；Soner、Touzi和Zhang（2011a）），并且存在一个独特的适应过程（σpt），使得σ≤ |σpt|≤ σ、 a.a.t，P-a.s.和bt=ZtσpsdWPs，T≥ 0，P-a.s.，其中（WPt）是标准EP-布朗运动。

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2022-5-6 12:35:58

因此，一个有趣的现象出现了：在任何P下（Bt）的二次方差∈ P、 hBiPt=Zt |σps | ds，T≥ 0，P-a、 s不再是时间t的确定函数。G-随机分析的所有结果都以无模型的方式工作：它们在所有概率P下都成立∈ P或准肯定（q.s.），即，对于所有P，P（a）=0的极集合aw外的属性成立∈ P.正如彭的ICM讲座（彭（2010b））所指出的，G-预期可能是衡量波动风险的自然候选指标。在这个方向上，Vorbrink（2010）做了初步工作，主要关注无套利的论点。基于Karatzas和Kou（1996）的工作，Vorbrink将不存在对投资组合选择有限制的市场套利的概念改编为不确定波动率模型的框架。在对财富过程进行建模时，不考虑投资组合的风险溢价。因此，避免了将主观风险偏好转变为风险中性世界的技术困难。最近，Epstein和Ji（2011、2013）研究了递归效用，考虑了均值和波动性的双重性。他们将该模型应用于一个具有代表性的代理人捐赠经济体，以研究Arrow-Debreu式和顺序Radner式经济体的均衡资产收益。Madan（2012）提出了两种价格经济的均衡模型，其中定义了市场清算条件。另见Eberlein、Madan、Pistorius和Yor（2014年）；Eberlein、Madan、Pistorius、Schoutens和Yor（2014年）；Madan和Schoutens（2012）使用G-期望理论获得了相关结果。本文同时考虑了平均波动率的不确定性。正如下一节后面所指出的，平均不确定性通常与波动性不确定性一起出现。TheP是一个每周的紧凑套装。

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2022-5-6 12:36:01

最近，Bion Nadal和Kervarec（2012）证明了存在一个可数弱相对紧集{Pn，n∈ N} P使上述陈述仍然成立。a、答：几乎全部；a、美国：几乎可以肯定；a、 e:几乎到处都是。国际数学家大会（International Congress of Mathematics）将波动不确定性5股票价格建模为广义几何G-布朗运动，其中均值不确定性可以在不考虑波动不确定性的情况下移动。第3节推导了状态相关和离散路径相关选项的超边缘PDE。有趣的是，在超边缘偏微分方程中既没有出现投资者的偏好，也没有出现平均不确定性，这表明在这种模糊的环境中确实存在风险中性措施。第四节将经典的Black-ScholesMerton模型推广到不确定波动率情况。超边缘策略只是由G-布朗运动驱动的倒向随机微分方程（简称G-BSD）的解。结果表明，该解是无套利的最小超策略。特别是，给出了子策略套利的条件，这与Vorbink的工作有本质区别。有限方差术语K被解释为投资者的利润和损失（短期损益）。彭的G-随机分析和一些技术结果的回顾安排在附录中。2.股票的平均波动率不确定性2。1.波动不确定性带来平均不确定性我们假设股票的价格过程满足以下线性随机微分方程（简称SDE）：dSt=St（udt+dBt），其中（Bt）是G-布朗运动。将0到T之间实现的连续复合年收益率定义为ζ。因此，st=Seζ，ζ=TlnSTS=TBT+uT-hBiT.因此，预期持续复合收益率的平均值将在[u]内波动-σ, u -σ].

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nandehutu2022

2022-5-6 12:36:04

我们不认为股票升值有任何模糊性。然而，平均或预期回报率是不确定的。每t不是一个对称的随机变量，因为我们不一定有E[St]=-E[-圣]。波动率的模糊性导致模型的不确定性，即多先验模型。当然，在一组概率模型下，股票价格的预期值可能是模糊的。本文将通过彭氏随机分析同时考虑平均波动率的不确定性。参见Martini和Jacquier（2010）、Jacquier和Slaoui（2010）了解损益的概念。为了便于写作，在本文的下文中，我们将始终考虑由一维G-布朗运动驱动的模型。6 Y.XU2。2.股票价格的过程在经典的Black-Scholes-Merton期权定价模型中，股票的价格过程假定为It^o过程（2.1）dSt=St（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；σ是股票价格的波动性；这是预期的回报率。It^o公式yieldst=Sexp的一个应用ZtσsdWs+Zt（us-σs）ds.这叫做几何布朗运动。我们现在考虑一个同时具有平均不确定性和波动不确定性的股票市场。我们不确定预期收益率u和波动率σ未来会朝哪个方向移动，甚至不确定它们的分布，但它们肯定会在[u，u]和[σ，σ]范围内变化。这种不确定模型可以用不确定性G[u，u]-布朗运动和零均值G[σ，σ]-布朗运动共同描述。设（βt）为给定次线性期望E下的有限方差G[u，u]-布朗运动和（Bt）为零均值G[σ，σ]-布朗运动。然后，模型（2.1）可以改写为（2.2）dSt=St（dβt+dBt）。然而，我们倾向于对预期收益率进行以下修改：让R为无风险利率。

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2022-5-6 12:36:08

如果u在[u，u]中变化，则u-r在[u]中变化-r、 u-r] 。设（βt）为有限方差G[u-r、 u-r] -布朗运动，那么（2.2）的形式是（2.3）dSt=St（rdt+dβt+dBt）。重要的是要记住，在advancein模型（2.3）中，我们不假设风险中性。当然，我们稍后会看到，确实存在一个风险中性的世界，即使预期回报的不确定性也不会影响我们的超级和次级对冲策略。尤其是βt=hbit意味着预期收益率和波动率一起移动。参见徐、尚和张（2011）、Osuka（2011）和Beissner（2012），他们认为这种类型的不确定性是指不确定性。Epstein and Ji（2011）示例2.4和Epstein and Schneider（2003）第3.1.2节通过指定u=u+z，σ=σ+2zγ引用了一个示例，其中0≤ Z≤ z和u、σ、z和γ是固定的已知参数，这意味着u=u+γσ- σ并产生（2.4）dSt=Sthu -γσdt+γd hBit+dBtiMEAN波动率不确定度7或等效YDST=St（rdt+dβt+dBt），其中βt=u - R-γσt+γ-hBit。Illeditsch（2010）表明，当代理收到模糊精度的坏消息时，这种模型存在，因为坏消息降低了回报的条件均值和条件方差。2.3. 股票的近似估值股票收益率的经典价格过程~ Nlns+（r）-σ） T，σ√T（参见Hull（2009）），其中N是正态分布的分布函数。正态分布变量的平均值标准偏差为1.96的概率为95%。因此，在单一P下，95%的置信度为S+（r-σ） T-1.96σ√T<ln ST<ln S+（r-σ） T+1.96σ√T股票波动率的典型值在每年20%到40%之间，通常我们取T≤ 1.如果我们定义（σ）=-σT-1.96σ√T，f（σ）=-σT+1.96σ√T，当σ取[σ，σ]中的值时，很容易检查 [0.2,0.4]，函数为递减和递增。

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2022-5-6 12:36:11

如果我们取波动率σ的最大值，对于任何P∈ P、我们至少有95%的信心拥有S+（r-σ） T-1.96σ√T<ln ST<ln S+（r-σ） T+1.96σ√T.3。风险中性和均值-确定估值本节推导了状态相关和离散路径相关期权的超边缘偏微分方程，这表明存在一个风险中性和均值确定的世界，在这个世界中，所有投资者都在对冲，而不受风险偏好和均值不确定性的影响。8 Y.XU3。1.国家相关支付Black-Scholes方程是针对国家相关的欧式期权推导的。现在我们在这个框架下推导出了超边缘偏微分方程，它很容易理解，并且可以与Black-Scholes-Merton的模型进行比较。我们假设股票的价格过程满足以下SDE：（3.1）dSt=St（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；u是以[u，u]为单位的预期回报率；σ是股票价格在[σ，σ]内变化的波动率。（ut），（σt）和无风险利率（rt）被假定为t的确定函数。请注意，我们不假设u和σ之间存在任何关系。平均不确定性可能与波动性不确定性一起移动，也可能与波动性不确定性一起移动，而在Xu、Shang和Zhang（2011）、Osuka（2011）和Beissner（2012）中，他们实际上考虑了ut=σt的情况。还请注意，我们并不预先假设风险中性世界，这与Jiang、Xu、Ren和Li（2008）和Meyer（2004）不同。设V（t，St）是带支付Φ（St）的期权的价格，其中V和Φ都是确定性函数。

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2022-5-6 12:36:15

还假设V∈ C1,2（[0，T]×R）。根据It^o公式，（3.2）dV（t，St）=五、tdt+St五、S（utdt+σtdWt）+σtSt五、Sdt。方程（3.1）和（3.2）的离散版本为（3.3）St=St（ut）t+σtWt）和（3.4）Vt=五、Tt+St五、S（ut）t+σtWt）+σtSt五、st、对于delta套期保值组合∏，该组合的持有人做空一个衍生工具，做多一个金额五、Sof股票和五、-五、党卫军留在银行账户里的现金。那么投资组合的损益方差为（3.5）πt=五、s圣- Vt+及物动词-五、SStrtt、第一部分对应于我们持有的股票价格变动五、Sunits，第二部分是期权的价格变化，第三部分是使投资组合具有零价值的现金量的无风险回报。现在，将方程（3.3）和（3.4）代入（3.5）得到πt=-五、TT-σtSt五、st+及物动词-五、SStrtt、 Cj，k（（0，t）×R）表示定义在（0，t）×R上的函数集，它们是t中可微分的j倍∈ （0，T）和k次在x中可微∈ 使得所有这些导数都是连续的。均值波动不确定性9观察到，随机噪声和股票升值都不会出现在明确地。当然，根据无套利原则，如果期权的管理波动性与股票的实际波动性一致，πt=0。然而，目前尚不清楚哪一个是真正的波动性。期权的卖方希望找到一种最便宜的管理政策，产生非负损益，至少没有损失。更准确地说，我们希望有一个≤σt≤σπt=0。因此，我们推断五、t（t，x）+supσ≤σ≤σσx五、x（t，x）+ rtx五、x（t，x）- rtV（t，x）=0，（3.6）V（t，x）=Φ（x）。然后，根据偏微分方程的比较定理，V（t，x）是在[u，u]中优于所有utvarying和[σ，σ]中优于σtvarying的最小上限价格。

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何人来此

2022-5-6 12:36:19

方程（3.6）没有新颖之处，即所谓的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程（Avellanda，Levyand，1995）；巴伦布拉特（1979）。新的是，尽管我们将风险偏好和不确定性纳入了股票升值u，但BSB方程不涉及任何受投资者风险偏好影响的变量。u取决于风险偏好，区间[u，u]决定平均不确定性。投资者的风险和歧义厌恶程度越高，任何给定股票的不确定性区间就越大。幸运的是，u恰好在微分方程中退出。因此，投资者的风险偏好和平均不确定性不会对我们的超边缘策略产生影响。因此，考虑模型不确定性下的风险中性&均值确定估值是可能的。注3.1假设函数Φ是有界连续函数。假设σ>0。根据Krylov（1987）定理6.4.3或Wang（1992），方程（3.6）对于某些α有一个C1+α，2+α（[0，T）×R）-解u（T，x）∈ (0, 1). 唯一性可从Ishii（1989）获得。参见Vargiolu（2001），了解局部Lipschitz终端条件下的光滑溶液。备注3.2如果无风险利率存在不确定性，即r∈ [r，r]，则超边缘PDE应为（3.7）五、t（t，x）+sup（r，σ）∈[r，r]×[σ，σ]σx五、x（t，x）+r十、五、x（t，x）- V（t，x）= 0.3.2. 离散路径相关支付我们现在考虑离散路径相关支付Φ（Xt，…，Xtn）和Φ：RN7的情况→ R表示分区0=t<t<··<tN=t。一个典型的例子是管理波动率是指期权出售时的波动率。10 Y.算术平均亚洲呼叫Φ（X（N））=NPNi=0Xti- K+, K是固定的执行价格。参见Shreve（2004），了解其他类型的路径依赖选项，例如回望选项、障碍选项。对于任意x:=（x，…，xN）∈ RNand k=1。

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2022-5-6 12:36:23

N，我们使用以下符号：x（k）：=（x，…，xk），x（k）t:=（Xt）∧TXtk∧t），X（k）：=（Xt，…，Xtk）。设Xt表示以下股票价格（3.8）dXt=Xt（utdt+σtdWt），其中W是给定线性概率空间下的标准布朗运动(Ohm, F、 P）；ut，σt:[0+∞) 7.→ R分别以[u，u]和[σ，σ]表示。我们现在嘲笑每个[tk]上的超边缘PDE-1，tk]。设Vk（t，X（k）-1），Xt）t∈[tk]-1，tk]是带支付Φ（X（N））的期权的价格。假设Vk·, x（k）-1), ·∈ C1,2（[tk-1，tk]×R）。根据它的公式，我们有，T∈ [tk]-1，tk]，dVk（t，x（k-1），Xt）=Vkt（t，x（k）-1），Xt）dt+XtVkx（t，x（k）-1），Xt）（utdt+σtdWt）+σtXtVkx（t，x（k）-1），Xt）dt。根据积分dt和dWt的性质，我们可以替换x（k）-1） X（k）-1）和getdVk（t，X（k-1），Xt）=Vkt（t，X（k）-1），Xt）dt+XtVkx（t，x（k）-1），Xt）（utdt+σtdWt）+σtXtVkx（t，x（k）-1），Xt）dt。通过第3.1节中的类似程序，超边缘价格应满足以下要求：Vkt（t，x（k）-1），x）+supσ≤σ≤σσxVkx（t，x（k）-1），x）（3.9）+rtxVkx（t，x（k）-1），x）- rtVk（t，x（k）-1），x）=0偏微分方程的序列Vk，k=1，N，以向后的方式递归定义。终端条件分别由Vn（T，x（N）定义-1），x）=Φ（x（N-1），x），。。。Vk（tk，x（k）-1），x）=Vk+1（tk，x（k-1），x，x）。（3.10）如我们所见，由于delta对冲，股票升值u没有出现在（3.9）中。（3.9）可用于超级对冲离散路径相关期权。Krylov（1987）和Vargiolu（2001）证明了（3.9）和（3.10）的光滑解的存在唯一性。u和σt的随机性不影响PDE（3.9）。平均波动率不确定性11备注3.3（3.9）有另一种形式：五、t（t，x（k）-1），x）+σmax五、x（t，x（k）-1），x）十、五、x（t，x（k）-1），x）+rtxVkx（t，x（k）-1），x）- rtV（t，x（k-1），x）=0。σmax在哪里五、x（t，x（k）-1），x）= σ、如果五、x（t，x（k）-1），x）≥ 0; σmax五、x（t，x（k）-1），x）=σ、如果五、x（t，x（k）-1），x）<0。

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2022-5-6 12:36:26

如上所述，σt的形式不会对（3.9）产生影响。因此，对于不确定波动率模型，我们可以只站在区间[σ，σ]的边界上。一般支付从第3.2节开始，对于离散路径相关支付，我们可以考虑风险中性估值。考虑一个股价过程，其差值为（3.11）dXt=Xt（rtdt+dBt），0≤ T≤ T、式中，（Bt）a G[σ，σ]-布朗运动，rti是从[0，T]到R的利率。对于解Vk·, x（k）-1), ·∈ C1,2（[tk-1，tk]×R），将其^o公式应用于vkt、 x（k）-1），Xt, 而代以x（k）-1） X（k）-1）我们推导出[tk]的结果-1，tk]，Ykt=Vkt、 X（k）t,Zkt=XtVk十、t、 X（k）t,Kkt=Ztsupσ≤σ≤σσXtVk十、t、 X（k）tdt-ZtXtVk十、t、 X（k）td HBIT满足以下风险中性BSDE：Yt=Ytk-ZtktrsYsds-ZtktZsdBs+ZtktdKs，t∈ [tk]-1，tk]，与以下BSDE一致：Yt=Φ（X（N））-ZTtrsYsds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]在[tk]上-1，tk]。对于一般的支付∈ LG(OhmT），它可以近似为Φn（X（n）），n=1，2。，适当的扩散过程（Xt）。我们可以检查以下序列ynt=Φn（X（n））-ZTtrsYnsds-ZTtZnsdBs+ZTtdKns，t∈ [0，T]12y.xu收敛到（3.12）Yt=ξ-ZTtrsYsds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]在空间MG（0，T）中。因此，对于一般支付，其风险中性超边际价格存在，可以通过vt=D计算得出-1tE[DTξ| Ft]式中，DT=expn-Rtrsdso。备注3.4我们可以用随机利率r（X（k）t代替rtin（3.11），然后（3.12）中的近似（rt）可以是一个自适应的随机过程。4.波动性不确定性和风险模糊性下的超边际和次边际现在我们在风险中性和平均确定性的世界中，通过彭的G-随机分析来考虑套期保值问题。设P={P}为风险中性测度集和相应的风险中性次线性期望。设（Bt）表示E下的G[σ，σ]布朗运动。

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2022-5-6 12:36:30

设Ft为最小σ-代数∩r> tσ{Bs，s≤ r} 。这是固定的时间。我们考虑一个有两种资产的金融市场。其中之一是本地无风险资产（银行账户），单位价格（Ct）由等式（4.1）dCt=Crtdt决定，其中（rt）是非负短期利率。除了银行账户，考虑astock价格过程，其差值为（4.2）dSt=St（rtdt+dBt），0≤ T≤ T、其中（Bt）a G[σ，σ]-布朗运动。随机过程（rt）允许有界于MG（0，T）中的渐进可测过程。由于不确定的波动性，市场不可能完全。因此，投资者不能期望完全复制任何一般或有权益，必须选择一些标准来对冲该权益。4.1. 期权卖方集合ξ的超边际是一个FT可测量的随机变量，代表衍生证券在某一时间的收益。我们允许这种支付依赖于路径，也就是说，依赖于在时间0到T之间发生的任何事情。现在，我们给出了模型不确定性下的超级战略的定义。MG是由平方可积随机变量组成的空间，因此G-随机积分定义良好。详见附录A。平均波动率不确定性13定义4.1模型不确定性下针对未定权益ξ的K-融资超策略是一个向量过程（V，π，K），其中V是管理价格，π是投资组合过程，K是定价误差，因此DVT=rtVtdt+πtdBt- dKt，q.s.（4.3）VT=ξ，zt|πt|dt<∞, q、其中K是一个递增的、右连续的适应过程q.s。

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2022-5-6 12:36:33

K=0。备注4.1定义4.1满意度定义的任何超级战略≥ vPt，T∈ [0，T]，P∈ P、 P- a、由于BSDE的比较（El Karoui，Peng和Quenez（1997）），其中vPt解（4.4）dvPt=rtvPtdt+πPtσPtdWPt，vPT=ξ，P-a、 σPt为[σ，σ]中的FPt适应过程，以及WPt线性期望空间中的标准布朗运动(Ohm, （FPt）t≥0，EP）。定义4.2如果价值过程（Vt）满足V=0和（4.5）Vt，则存在对超战略（Vt，πt，Kt）的套利≥ 0，q.s.和P[VT>0]>0，至少一个P∈ 3.bst是三重策略的解。“极小”意味着对于任何其他超级战略（Vt，πt，Kt），我们有Vt≤ 及物动词，t、 q.s。。证明：设（Vt，πt，Kt）是满足BSDE（4.3）的唯一三元组，Vt=ξ(-Kt）是一个连续非递增的G-鞅。显然，根据定义4.1，（Vt，πt，Kt）是一种超战略。此外，根据定理B.1，我们得到（4.6）Vt=D-1tE[DTξ| Ft]式中，DT=expn-Rtrsdso。让（Vt，πt，Kt）成为定义4.1定义的另一个超级战略，其中（Kt）是一个递增的、正确的连续适应过程q.s.，K=0。应用^o公式，我们得到了d（DtVt）=DtrtVtdt+πtdBt- dKt- vtdrtdt=DtπtdBt- DtdKt。14.注意（DtVt+RtDsdKs）是G-鞅。因此vt=D-1tEDTξ+ZTDsdKs | Ft-ZtDsdKs= D-1tEDTξ+ZTtDsdKs | Ft.（4.7）新加坡科学技术研究院≥ 0, T∈ [0，T]，q.s.，然后通过条件期望的单调性，我们得到vt≥ 及物动词，T∈ [0，T]，q.s.因此（Vt，πT，Kt）是覆盖每个概率模型的最小超策略。如果终端位置≥ 0，q.s.和P∈ P、这样P[VT>0]>0，那么v=E[DTVT]=supP∈PEP[DTVT]>0。所以超策略（V，π，K）是无套利的。

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2022-5-6 12:36:36

根据定理4.1，我们知道套期保值策略是模型不确定性下的最小超策略当且仅当(-Kt）是一个具有有限方差的G-鞅，使得（4.3）成立且VT=ξ。我们将用P&L语言对K进行更明确的解释，见第5.1节。备注4.2（K-融资和自融资）BSDE（4.3）的解决方案三（Vt，πt，Kt）是一种K-融资超级战略，具有(-Kt）是一个连续不递增的Gmartingale。显然（Vt，πt，Kt）不一定是一种自我融资策略，因为累积消耗（Kt）是一个非负增长过程，K=0。自从(-Kt）是G-鞅，存在一个概率测度P，使得0=K=E[-KT]=EP[-KT]。因此KT≡ 0和Kt≡ 0，P-a.s.，对于每个t.因此，K-融资超级战略（Vt，πt，Kt）是在某些P.下的自我融资战略∈ 当然，如果有其他的P∈ P等于P，然后等于Kt≡ 0，P-q.s.，对于每个t和（Vt，πt）是每个P下的自我融资策略∈ P.因此，对于一组由相互奇异的概率测度组成的概率P，通常我们无法找到一个通用的自我融资套期保值策略，这会导致金融市场的不完全性。4.2. 期权买家的分包通常，期权买家会更多地关注子策略，尤其是最大子策略，它可以被视为期权买家在时间0时愿意支付的最大金额，以便他/她在时间T时一定要支付他/她在时间0时产生的债务。平均波动率不确定性15定义4.3模型下或有权益ξ的K-融资子策略不确定性是一个向量过程（eV，eπ，eK），其中eV是市场价值，eπ是投资组合过程，K是定价误差，因此（4.8）deVt=rtevdt+eπtdBt+deVt，q.s。

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mingdashike22

2022-5-6 12:36:39

andeVT=ξ，ZT | eπt | dt<∞, q、其中Ek是一个递增的、右连续的、逐步可测量的过程q.s.，Ek=0。备注4.3定义4.3满意度定义的任何子战略≤ vPt，T∈ [0，T]，P∈ P、 P-a.s.在哪里vPt求解BSDE（4.4）。勒泰[·|英尺]：=-E[-· |[Ft]。然后可以很容易地检查eE是否满足以下超加性：eE[X+Y | Ft]≥eE[X | Ft]+eE[Y | Ft]并分享E的所有其他性质。定理4.2最大子策略（eV，Eπ，eK）满足（4.9）deVt=rtevdt+EπtdBt+deVt，eVT=ξ，其中（eKt）是一个连续的递增过程，eK=0，且（eKt）是鞅。更明确地说，对于任何t∈ [0，T]，eVt=D-1teE[DTξ| Ft]，q.s.“最大”意味着对于任何其他子策略（eVt，eπt，eKt），我们有eVt≥eVt，t、 q.s。。证明：设（eV，eπ，eK）是唯一的满足三重条件的BSDE（4.9），其中（eKt）是ee[·Ft]下的连续递增鞅。显然（eV，eπ，eK）是4.3定义中的一个子策略。将^o公式应用于DteVt，我们得到了evt=D-1teE[DTξ| Ft]，q.s.Let（eV，eπ，eK）是定义4.3定义的另一个子策略，eK是一个递增的、正确的连续适应过程q.s.andeK=0。通过与方程（4.7）类似的直接计算，我们得到EVT=D-1英尺DTξ-ZTtDsdeKs |英尺.自从-RTTDSDK≤ 0, T∈ [0，T]，q.s.，然后通过条件期望的单调性[·| Ft]，我们得到了EVT≤eVt，T∈ [0，T]，q.s.因此（eV，eπ，eK）是每个概率模型下的最大子策略。16 Y.4.4对于满足（4.9）的子策略（eV，eπ，eK），条件（4.5）不保证无套利。套利的偶数条件（4.5）被（4.10）eVT取代≥ 0，q.s.和所有P∈ P、 P[eVT>0]>0，那么仍然可能存在套利机会。事实上，如果（4.10）成立，我们有 P∈ P、 EP[DTξ]>0。

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mingdashike22

2022-5-6 12:36:42

但在服用FIM后，perhapseV=infP∈PEP[DTξ]=0。因此，我们必须重新定义次级对冲策略的套利概念。定义4.4如果价值过程（eVt）满足eV=0和（4.11）eVt，则存在满足（4.9）的子策略（eV，eπ，eK）的套利≥ 0、q.s.和infP∈PP[eVT>0]>0。在上述定义下，我们有定理4.3，子策略（eV，eπ，eK）是无套利的。证明：如果（4.11）成立，那么根据Li（2010）中的严格比较定理，wehaveeV=eE[DTξ]=infP∈PEP[DTξ]>0。因此，子策略不存在套利。4.3. 看跌期权平价在一个完整的金融市场中，一对欧式看涨期权和一对欧式看跌期权之间存在着平价关系，这对欧式看涨期权和欧式看跌期权的基础是相同的股票，并且具有相同的发展日期和执行价格。我们现在考虑不完全市场中超边际策略的类似平价关系。欧洲看涨期权和欧洲看跌期权的超高价格，标的是相同股票S，且具有相同的行使价格L，由Ct=（ST.）给出- L）+-ZTtrscsds-ZTtπcsdBs+ZTtdKcs，t∈ [0，T]和pt=（L- （圣）+-ZTtrspsds-ZTtπpsdBs+ZTtdKps，t∈ [0，T]，其中∈ R+是履约价格，（St）是股票价格，以下是DST=St（rtdt+dBt），t≥ 0，其中RTI是属于MG的可测有界过程。严格比较定理说：对于ξ，ξ∈ LG(Ohm), 如果ξ≥ ξ和infP∈PP[ξ>ξ]>0，则Eξ> Eξ安第斯ξ>eEξ.平均波动率不确定性17定理4.4设Ct和Pt为欧洲看涨期权和欧洲看跌期权的超高价格，标的是相同股票S，且具有相同的执行价格L。然后Ct+L·exp-ZTtrsds= pt+St，q.s.同样，平价关系也适用于分档价格。证明：让Lt=L·expn-RTtrsdso。

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2022-5-6 12:36:46

然后lt=L-ZTtrsLsds。通过求和，我们得到ct+Lt=（ST- 五十） ++L-ZTtrs（cs+Ls）ds-ZTtπcsdBs+ZTtdKcs和pt+St=（L- ST）+ST-ZTtrs（ps+Ss）ds-ZTt（πps+Ss）dBs+ZTtdKps。注意到（圣-五十） ++L=（L）- ST）++ST=max{L，ST}和下式BSDEyt=max{L，ST}解的唯一性（见定理B.1）-ZTtrsysds-zttzdbs+ZTtdKs，t∈ [0，T]，我们推断put调用parityct+Lt=pt+sthold。4.4. 具有严格非零上限价格和广义几何G-布朗运动定义的资产4.5如果贴现股票价格（DtSt）（不支付股息）是E下的对称G-鞅，则称次线性期望E为风险中性。命题4.1让E为市场模型中的风险中性次线性期望。那么，在E下，每个贴现投资组合的上限价格都是G-鞅（不必对称）。证明：设（Bt）是E下的G-布朗运动。假设股票价格followstSt=rtdt+dBt。然后，一个投资组合的最高价格是dvt=rt（Vt- πt）dt+πtdStSt- dKt=rtVtdt+πtdBt- dKt，18岁，在哪里(-Kt）是E下的连续非递增G-鞅。那么折扣的上限价格的差为isd（DtVt）=DtdVt+VtdDt=Dtrt（Vt）- πt）dt+πtdStSt- dKt+ VtdDt=Dt[rt（Vt- πt）dt+πt（rtdt+dBt）- [dKt]- rtDtVtdt=πtStd（DtSt）- DtdKt。在风险中性次线性期望E下，（DtSt）是对称G-鞅，-RtDsdKs是一个具有有限方差的G-鞅。因此，过程（DtVt）必须是G-鞅。定义4.6如果过程（Vt）遵循（4.12）dVt=Vt（rtdt+αtdKt+θtdBt），其中（Bt）是G-布朗运动，（Kt）是右连续递增过程，则称为几何G-布朗运动∈MG，αt∈ MGand（sup0≤T≤T |αT |）·KT<∞, θt∈ MG。

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2022-5-6 12:36:49

或等效为yvt=VexpZtθsdBs+Ztrsds+Ztαsdk-Ztθsd hBis.具有严格非零上限价格的资产是一种证券，在时间T时，每T的最高价格Vt6=0，q.s∈ [0，T]。定理4.5资产的上价格严格非零当且仅当上价格是V6=0的广义几何G-布朗运动。证明：设E为唯一的风险中性次线性期望。然后E[DTVT | Ft]=每t的DTVT，q.s∈ [0，T]。根据鞅表示定理，存在自适应过程（Zt）和非递增E鞅(-Kt）使DTVT=E[DTVT | Ft]=V+ZtZsdBs- Kt，其中（Bt）是E下的G-布朗运动。因此（Vt）的微分是Vt=rtVtdt+D-1tZtdBt- D-1tdKtSetθt=D-1tZtVt，αt=D-1tVt。然后dvt=Vt（rtdt+αtdKt+θtdBt）或Vt=VexpZtθsdBs+Ztrsds+Ztαsdk-Ztθsd-hBsi.效率是显而易见的。平均波动率不确定性19推论4.1每项收益严格为正的资产都是广义几何布朗运动。证据：由于根据风险中性定价公式，每项交易的报酬均大于0，q.s∈ [0，T]，Vt=D-1等式[DTVT | Ft]>0，q.s.那么这个推论是由定理4.5得到的。5.结果在马尔可夫环境中，在本节中，我们考虑一些使用状态相关BSB方程的结果。5.1. 对η和KWhy的解释当我们在波动性不确定性下进行超级对冲时，K和η会出现吗？它们有一定的财务意义吗？我们对BSDE（4.3）中的净辐射术语K给出了粗略的解释。在马尔可夫环境中，K有一个具体的分解：Kt=Rt[2G（ηs）ds- ηsd hBis]，其中ηt=StΓt，Γt=US（St）是期权的伽马，带支付Φ（St）。

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2022-5-6 12:36:52

显然oη对应于选项的伽马Γ，而我们知道Z对应于δ 这是一种选择。在经典的Black-Scholes-Merton模型中，当交易者使用Black-Scholes公式以管理波动率σt出售并动态对冲看涨期权时，如果实际波动率低于管理波动率，相应的损益将为负值。It^o公式的应用表明，做空delta套期保值期权的瞬时损益为（5.1）损益（t，t+dt）=StΓt“σtdt”-dStSt#其中σ是管理波动率，即期权出售时的波动率，以及dStSt表示在[t，t+dt]期间实现的方差。Γ对acall期权为正，且已实现波动率的上限足以授予利润（反之，期权买家的下限）。对于支付Φ（ST）且波动率在每个时间t的区间[σ，σ]内波动的期权，投资者寻求一种管理政策，该政策在实现路径上产生非负的损益。因此，投资者在某种意义上以最大波动率出售期权，例如，做空delta对冲期权的最大瞬时损益应为（5.2）损益（t，t+dt）=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}dt-StΓtd hBit=dKt。参见Martini和Jacquier（2010年）、Jacquier和Slaoui（2010年），了解P&L.20的定义和推导。对于依赖于状态的支付，做空三角洲对冲期权的最大瞬时P&L的形式为（5.2）。证据：我们认为风险是中性的&意味着确定的世界。股票价格遵循（5.3）dSt=St（rtdt+dBt），其中（rt）被假定为一个有界函数。设V为Barenblatt方程（3.9）的唯一光滑解。

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何人来此

2022-5-6 12:36:55

然后根据它的公式，（5.4）dV（St）=五、tdt+St五、S（rtdt+dBt）+St五、Sd hBit。方程（5.3）和（5.4）的离散版本为（5.5）St=St（rt）t+Bt）和（5.6）五=五、Tt+St五、S（rt）t+Bt）+St五、s hBit。对于delta套期保值投资组合∏，该投资组合的持有人是短一个衍生工具和长一个金额五、Sof股票和五、-五、党卫军留在银行账户里的现金。即投资组合的损益差异为（5.7）πt=五、s圣- 五+五、-五、SStrtt、现在，将等式（5.5）和（5.6）代入（5.7）得到πt=-五、TT-圣五、s hBit+五、-五、SStrtt、此外，由于期权的超边际价格遵循Barenblatt方程（3.9），我们得到πt=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}T-圣Γt hBit。因此（t，t+dt）上的最终损益读数sp&L（t，t+dt）=supσ≤σt≤σ{σtStΓt}dt-StΓtd hBit。因此，Ktover（t，t+dt）与做空Deltah边期权的最大损益相符。也就是说，通过选择波动率σ，我们获得了稳健策略的非负P&L（或K）。然后我们回到等式（4.3）第4节，它现在有一个明确的含义：平均波动率不确定性21o最小超战略满意度：投资组合价值的变化减去固定损益，等于期权管理价格的变化。也就是说，我们可以沿途提取P&L（t，t+dt）资金，最终得到最终的支付。对于期权买家来说，为了保证收益，他/她必须选择最小的波动率，比如他/她的损益（t，t+dt）（5.8）损益（t，t+dt）=SteΓtd hBit-infσ≤σt≤σ{σtSteΓt}dt总是非负的。5.2. 考虑以下最小超策略Dvt=rtVtdt+πtdBt来估计分布- （2G（ηt）dt- ηtd hBit），VT=Φ（ST）和最大子速率ydevt=rteVtdt+eπtdBt+（2G（eηt）dt- eηtd hBit），eVT=Φ（ST），其中S由（5.3）定义，ηt=STΓt，eηt=-斯蒂Γt。

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2022-5-6 12:36:59

在不完全市场中，超边际价格和分边际价格（也称为买卖价格）通常不相等，并且存在一组套期保值价格。Cont（2006）提议测量模型不确定性对未定权益价值的影响ξbyeP（ξ）：=V[ξ]-eV[ξ]。定义Dt=expn-Rtrsdso。因为eP（ξ）=E[DTξ]+E[-DTξ]，然后eP（·）满足（i）eP（D-1Tc）=0，C∈ R、（ii）eP（ξ+η）≤ eP（ξ）+eP（η），ξ, η ∈ 液化石油气(Ohm), p>1，（iii）eP（ξ）≥ 0.以下结果表明eP（·）与波动不确定性和伽马风险密切相关。定理5.2对于所有的ξ=Φ（ST），Φ是ST的Lipschitz函数，我们有（5.9）eP（ξ）≤σ- σ· 五十、式中，L=EhRTDtStmax（|t |，|eΓt |）dti。22 Y.xurof：我们表示Vt=Vt-eVt，πt=πt- eπt，Kt=Rt2G（ηs）ds-Rtηsd hBis+Rt2G（eηs）ds-Rteηsd hBis。然后vt=0-ZTtrsVsds-ZTtπsdBs-ZTtdKs。请注意，总的来说Ks不是G-鞅，因为G是次可加函数。将其^o公式应用于（DtVt），我们得到（5.10）Vt=D-1tEZTTDSDK |英尺, q、 s.ThereforeeP（ξ）=V=EZTDsdKs≤σ- σ· EZTDt（|ηt |+|eηt |）dt≤σ- σ· EZTDtSt（|Γt|+|eΓt|）dt≤σ- σ· Eztdtsmax（|t |，|eΓt |）dt.定理5.2和第5.1节中的结果也适用于离散路径相关支付。备注5.1从（5.10）中观察到，买卖价差实际上是超边际损益和分边际损益之和的累积。结论本文采用彭的G-随机分析方法考虑了平均波动率的不确定性。所有结果都可以应用于路径相关选项。股票价格假设为广义几何G-布朗运动，其中平均不确定性不一定与波动性不确定性有关。由G-布朗运动驱动的BSDE给出了超边缘问题的简洁公式。

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nandehutu2022

2022-5-6 12:37:02

对于分包，我们必须施加强有力的条件来保证无套利，这与Vorbink的工作基本不同。另一个值得一提的现象是，平均不确定性并不影响证券的定价。当我们推导出超边缘偏微分方程时，在delta套期保值之后，股票增值消失了，这表明存在一个风险中性的世界，所有投资者都以风险中性的方式进行定价和套期保值。在马尔可夫背景下，我们用损益语言对最小超策略中的有限方差项给出了精确而实用的解释。还讨论了波动区间对价格波动的控制。所有这些都表明，G-随机分析是测量模型不确定性的方便工具。尽管用德曼（1997）雄辩的话来说：即使是最新的模型也只是现象的模型，而不是真实的事物，但我们相信我们正在以更有效的方式建模，以解决真实事物的问题。平均波动率不确定性23附录A：PENG的G-随机演算在本节中，我们回顾了本文中需要的PENG的G-随机演算的一些必要概念和引理。读者可以参考Peng（2010a）了解更系统的信息。对于两个随机过程（Xt）和（Yt），设hX，Y表示它们的相互方差。我们用S（n）表示n×n对称矩阵的集合，S+（d）表示S（d）的正半限定元素。我们观察到S（n）是一个欧几里德空间，其标量积为hA，Bi=tr[AB]。允许Ohm 是一个完全可量化且可分离的空间。通常我们可以Ohm = C（[0+∞), 在紧致子空间上具有一致收敛的拓扑结构。B(Ohm) 表示的Borelσ-代数Ohm. 设H是定义在H上的实函数的线性空间Ohm 如果X，Xn∈ H然后φ（X。

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2022-5-6 12:37:05

Xn）∈ 每种类型的H∈ Cl.Lip（Rn），其中Cl.Lip（Rn）表示满足|~n（x）的（局部Lipschitz）函数的线性空间- |（y）|≤ C（1+| x | m+| y | m）|x- y |，x、 y∈ Rn，对于某些C>0，m∈ N取决于~n。H被认为是一个“随机变量”空间。在这种情况下，X=（X，…，Xn）被称为n维随机向量，用X表示∈ 嗯。我们还用byCkb（Rn）表示所有阶的有界导数小于或等于k的有界和k-时间连续可微函数的空间；CLip（Rn）Lipschitz连续函数的空间。定义A.1 H上的次线性期望E是函数E:H7→R满足以下性质：对于所有X，Y∈ H、我们有（a）单调性：如果X≥ Y，然后E[X]≥ E[Y]。（b）常数保持：E[c]=c，C∈ R.（c）次可加性：E[X+Y]≤ E[X]+E[Y]。（d）正同质性：E[λX]=λE[X]，λ ≥ 定义A.2让X和Xbe在非线性期望空间上定义两个n维随机向量(Ohm, H、 E）和(Ohm, H、 E）分别。它们被称为同分布，用Xd=X，ifE[~n（X）]=E[~n（X）]表示，φ ∈ Cl.Lip（Rn）。次线性期望空间中的定义A.3(Ohm, H、 E）随机向量Y∈ Hnis被认为与另一个随机向量X无关∈ 对于每个测试功能，HME if下∈ Cl.Lip（Rm+n）wehaveE[~n（X，Y）]=E[E[~n（X，Y）]X=X]。注A.1有趣的是，Y独立于Xdoes，但并不一定意味着X独立于Y。参见Peng（2010a）中的第一章示例3.13。定义A.4（G-正态分布）。可测线性期望空间中的d维随机向量X=（X，…，Xd）(Ohm, H、 E）称为G-正态分布，如果对于每个a，b>0，我们有ax+bXd=pa+bx，其中X是X的独立副本。备注a.2很容易检查E[X]=E[-十] =0。

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2022-5-6 12:37:08

所谓的‘G’与G:S（d）7有关→ Rdefined byG（A）=E[hAX，Xi]，Hu和Peng（2009）证明了对于次线性期望E(Ohm, H）存在一类线性期望{EP；P∈ P} 在(Ohm, H）使E[·]=supP∈PEP[·].24 Y.定义A.5对于给定的一组概率测度P，我们引入了自然Choquet电容C（A）：=supP∈PP（A），A∈ B(Ohm).如果一个属性在极集合A之外保持不变，即C（A）=0，则该属性保持准肯定（q.s.）。X上的映射Ohm拓扑空间中的值称为准连续（q.c.），如果ε>0时，存在一个C（O）<ε的开集，使得X | Ocis连续。定义A.6（G——布朗运动）。d维过程（Bt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、 E）如果满足以下性质，则称为G-布朗运动：（i）B（ω）=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，增量Bt+s-对于每个n，Bt独立于（Bt，Bt，…，Btn）∈ Nand 0≤ T≤ ··· ≤ tn≤ T（三）Bt+s- Btd=√其中X是G-正态分布。定义A.7（最大分布）。可测线性期望空间中的d维随机向量X=（X，…，Xd）(Ohm, H、 E）称为最大分布，如果对于每个a，b>0，我们有ax+bXd=（a+b）X，其中X是X的独立副本。注a.3对于最大分布的随机变量X，存在一个有界的、封闭的和凸的子集Γ∈ Rd使e[~n（X）]=maxa∈ΓΓ（a），φ ∈ 里普（路）。定义A.8（有限方差G–布朗运动）。d维过程（βt）t≥关于次线性期望空间(Ohm, H、 E）如果满足以下性质，则称为有限方差G–布朗运动：（i）β（ω）=0；（ii）对于每个t，s≥ 0，增量βt+s-βt独立于（βt，βt。

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