尽管如此，我们还是将其作为进一步分析的良好起点，希望以此作为进一步探索的基础，并将动态战略的一般研究置于更坚实的理论基础之上。我们的一些发现应该引起从业者的注意。特别是，根据手头的问题，OLS和其他预测误差最小化方法的使用不一定是最优的；总最小二乘法或其他相关最大化方法（如CCA）可能更有效。高夏普比率和正偏度通常被引用为制定战略的理由，随着这些措施的增加，战略也会发生变化。这些变化的相对重要性取决于置信区间或标准误差，我们得出了这些特别适合动态交易策略的变化。峰度并没有经常被研究，但正如我们所显示的，所有的动态策略都应该是轻量级的，这是这些策略的一个重要属性。其他结果，如过度匹配惩罚和最优非线性策略，我们留到后面的论文中。在动态战略的开发、优化、选择和变更方面，有了更坚实的理论基础作为经验法则，我们只希望有改进战略设计的空间。确认N。菲鲁齐想向福齐亚表达他由衷的爱和感激，感谢他在汉金顿写下了这篇文章。我希望等待终于结束。AdrianoSoares Koshiyama感谢巴西研究委员会（CNPq）通过科学无国界计划为其博士研究提供的资金。作者还要感谢布莱恩·希利和马可·阿维拉内达的许多建议和鼓励。

最后，如果没有野村QIS团队所采用的产品设计方法，作者将永远不会受到启发去追求这个主题的数学方法我们注意到，应用于归一化收益序列的归一化信号可以表示为两个学生t分布的乘积，这也得到了比较好的研究【Nadrajah Kotz，2003，Joarder，2007】，其结果在质量上与我们在本研究中得出的结果非常相似。然而，更常用的将归一化信号应用于收益的策略，其结果为nVOL缩放，不能作为众所周知的结果的简单应用而导出。通常，对于X和R，其联合密度ψX，R（X，R），且已知St=XtRtis的积为pdf，ψS（S）=Z，单周期的完全分布∞-∞ψX，Rx、 sx公司|x | dx（14），在特殊情况下，x~ N（0，σX）和R~ N（0，σR）与相关ρ（即ψ为二元高斯）共同正态，这导致闭合形式表达式：ps=πσRσXexpρsσRσX（1- ρ)K|s |σRσX（1- ρ)（15） 式中，K（·）是第2ndkind的修正贝塞尔函数（【Simons，2006年】，第51页，公式6.15）。非零均值的更一般密度在【Cui等人，2016年】中作为一个单位给出。在独立和相关但为零均值的特殊情况下，表达式变得更加简单，我们选择在这里关注零均值的情况。密度在零处是无界的，具有厚尾和正偏态，相关性越高，越显著。我们可以在图（10）中看到各种相关性的分布，随着ρ越高，偏度越明显。

在ρ极限内→ 1该分布收敛于具有一个自由度的中心χ分布。图10：ρ的完整产品分布∈{0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0}，归一化为单位方差，因此可以在一个图上描绘它们。注意0处的奇点，对称性增加，左尾几乎被截断，右尾略胖，ρ增加。实际上，K（z）=O（e-z/√z） 对于z→ ∞ 我们可以看到，从ρ=0且K（z）是唯一需要考虑的术语，到ρ>0，方程（15）中的thepdf的尾部行为发生了很大的变化，引入了不对称性。贝塞尔函数为无界z=0。渐近地，我们有以下行为：ps=O（e-|ρ=0时，s |/p | s |），s |→ ∞ps=O（e-ρ>0时的s/p | s |），s→ ∞对于ρ>0，s，ps=O（es/p | s |）→ -∞ps=O(-日志| s |），用于| s |→ 0B卷积滤波器作为联合高斯如果我们有一个纯随机平均零协方差平稳离散时间高斯过程，我们通过Wold分解注意到，所有平稳高斯过程都可以表示为MA(∞) 根据高斯新息过程和l中的系数，具有节点决定分量，即Rt=∞Xk=0φ（k）t型-驻科部队 ~ N（0，σ），P∞φk<∞ φ（0）=1。更具体地说，我们有e[Rt]=0V ar（Rt）=σRcorr（Rt，Rs）=γ（t- s） （即，使用ACFγ），如果我们愿意，这将足以确定φ。我们对构造信号感兴趣：Xt。我们将考虑的标准信号是卷积信号，即Xt=Xk≥1φ（k）Rt-kAll引言中提到的信号（例如移动平均值或移动平均值差异或基于ARMA的预测）可以表示为与历史回报的卷积。卷积滤波器是时不变线性滤波器的一个示例。It系数φ∈ l然后，众所周知，得到的滤波级数X是高斯级数。

过滤后的序列X也是高斯分布，且Rt.E【Xt】=0V ar（Xt）=Xk，j≥1φ（k）φ（j）E[Rt-kRt公司-j] =Xk，j≥1φ（k）φ（j）γ（k- j） σRsee，例如，Gallagher，R，《随机过程：应用理论》，2014，（剑桥大学出版社：剑桥），或Gallagher R，《数字通信原理》。麻省理工学院开放课程。第7.4.2节，定理7.4.1。（删除所有一阶术语，因为E[Rt]=0）和，corr（Rt，Xt）=E[Pk≥1φ（k）Rt-k、 Rt]std（X）σR=Pk≥1φ（k）γ（k）（Pk，j≥1φ（k）φ（j）γ（k- j） ）1/2取消所有σRTERM。因此，sgn（corr（Rt，Xt））=sgn（γ·φ））（即，这个有限内积的符号对于确定agiven卷积设计的有用性最为重要）。在导言中提到的信号中，EWMA和SMA的收益、EWMA和SMA的收益差异以及ARMA模型的预测都是具有LCO效率的解决过滤器的例子。通常情况下，水平构造的大多数信号（例如价格与其简单移动平均值之间的差异）不是高斯信号，尽管价格与一个或多个EWMA之间的差异可能是高斯信号，这取决于价格序列的数据生成过程（即MA过程）。当然，具有Lcofficient的线性时不变滤波器只是信号Xt的一个示例，该信号Xt与返回Rt共同为高斯。类似地，如果Zt是一组高斯（外生）特征，则Xt=Ztβ也将为高斯，我们将假设Ztare与Rt共同为高斯，也就是说Xt和Rt将共同为高斯。C平稳返回卷积的极限行为我们对动态策略给出了一些渐近逼近的结果，只是概述了它们的证明。我们的主张是，这证明了平稳（或局部平稳）分布中高斯分布乘积的使用和分析是正确的。

证明本身是G"otze和Tikhonov以及Wold分解定理在二次型极限方面所做的更一般工作的直接结果。设η为平均值为零且单位方差的iid随机变量，且 对于具有零均值和单位方差的正态随机变量，我们形成二次型：Qn=nXj，k=1anjkηjηkand Gn=nXj，k=1anjkjk、 我们写出度量δn（Qn，Gn）=supx | P{Qn≤ x}- P{Gn≤ x} |。我们简化了[G"otze and Tikhomorov，1999]中定理1的陈述：定理C.1（Goetze Tikhomirov）。设η为IID，其中Eη=0，Eη=1，E |η|=β<∞.然后有一个常数C，使得δn（Qn，Gn）≤ CβΓnwhereΓn=最大值1≤j≤nPnk=1 | anjk |。我们的主张是对[G"otze和Tikhomorov，1999]中的结果的简单应用，（参见[G"otze和Tikhomorov，2002]和[G"otze等人，2007]中的进一步结果），这些结果应用了随机变量二次型的限制定理。定理C.2（高斯积）。设Rt是一个三阶矩有界且均值为零的协方差平稳过程，其Wold分解由Rt=P给出∞s=1b（s）η（t-s） η为白噪声过程。设信号Xt为滞后返回Rt与Lconvolution核φ和Xt=P的卷积∞φ（s）Rt-s

设RNt=PNb（s）η（t- s） XNt=PNφ（s）RNt-sbe截断和（仅涉及前N项），SNt=√NXNt公司·√NRNtbe缩放截断策略返回。然后有一对高斯函数rnt和XNt（▄SNt=▄XNt·▄rnt，高斯策略返回），使得δn（SNt，▄SNt）→ 0，或者换句话说，高斯近似的乘积可以任意接近原始策略。我们注意到乘积St=xtrti由二次型给出：St=XtRt=<Aη，η>，其中A是由A（u，v）=Xs给出的运算符≤t型-1φ（t- s） b（s）- u） b（t- v） 对于u、v≤ t、 SNt公司=√NXNt公司·√NRNt=<一ηN，ηN>，其中Anis是一个N×N矩阵nu，v=NXs∈[t-n、 t型-1] φ（t- s） b（s）- u） b（t- v） ，对于u，v，范围为[t- n、 t]和ηn={ηs}s∈[t，t-N] 。我们注意到，Anis下三角形没有对角线项（对角线上的元素对应于即时可用的知识，与观测到的返回本身同时出现，矩阵上三角形中的元素对应于directforesight）。

此外，在原始序列Rt（即Woldc系数b）和卷积系数φ上的充分条件下，ΓN=max1≤j≤nPnk=1 | Anjk |可以显示为衰减为零。当卷积系数在单位内表现良好时，可以直接应用二次型理论。这只是证明使用高斯乘积的渐近理论的可能方法之一。虽然渐近方法不是本文的重点，但应该清楚的是，高斯积有助于近似各种动态策略的行为。D非零意味着：夏普比和偏斜通过滥用符号，我们将SR[R]定义为uR/σ，通过滥用符号，我们将SR[X]=uX/σX（对于X信号），推论1：如果R~ N（uR，σR）和X~ N（uX，σX）然后SR[X·R]=SR[R]·SR[X]+ρ（SR[R]+SR[X]+2ρSR[R]·SR[S]+ρ+1）1/2冠状动脉2：如果R~ N（uR，σR）和X~ N（uX，σX）然后γ【X·R】=2ρ（ρ+3+3 SR【R】+3 SR【X】）（SR【R】+SR【X】+2ρSR【R】·SR【X】+ρ+1）3/2我们注意到策略的一个周期夏普比率可能取决于信号（权重）的夏普比率和回报之间的相互作用，尤其是它们是否具有相同的符号，以及相关性的符号。事实上，产生的策略SR的幅度可能更依赖于各自的夏普拉蒂奥，而不是ρ，因为毕竟，-1.≤ ρ ≤ 1，而SR[R]和SR[X]可以分别位于1之上。电子交易成本以上各节考虑了无交易成本的最佳线性策略。如果我们将交易成本包括在内，那么公式就不那么完美了，但结果可能仍然难以解决。夏普比率最大化通常是收益二次效用最大化的结果，例如，U[XR]=e[XR]-γvar[XR]（16），其中γ是风险规避的度量，有时称为凯利常数。

已知等式（16）中效用的极值与最大夏普比一致。我们只研究卷积滤波策略，即φ=（0，φ，φ，…，φK），其给出的相应信号为Xt=φ* Rt=PKφkRt-k、 如上所述，在没有交易成本的情况下，最适合采用φviaTLS代替OLS。如果我们在（16）中包括与常数ν成比例的交易成本，而不是最大化水龙效用，我们可以添加额外的术语，例如，U[XR]=e[XR]-γvar[XR]- νE[|X |]其他方法包括假设观察到并“存储”在卷积中使用的最小高斯增量，然后将其作为策略的权重，该策略本身保持更长时间。这有效地产生了一些收益平均值的乘积，显然，当适当缩放时，可以显示出高斯乘积的极限。或者，一个术语，如E[|X |·P]，其中P=P+prt可以相加。同样，通过工作，我们可以利用高斯分布的性质和Isserlis理论的一些应用，同样很好地描述这个期望X=φRt-1+KXk=1φkRt-k- φKRt-K≡ φ * R此处φ = (0, φ, φ, φ, . . . , φK，-φK）。r.v.正常，十、~ N（0，σ十） 并且，利用折叠高斯变量的性质，我们可以描述[|X |]=rπσX然后可以将整个实用程序写入asU[XR]=ρσXσR- γσXσR（1+ρ）- νrπσxOptimizing这个实用程序将非常像一个标准的最小二乘问题，除了σ这个术语Xis是正则化的一种形式。事实上，如果我们让C是（Rt，…Rt）的ACF（Toeplitz）矩阵-k） ，即C=1 c（1）c（2）。c（k- 1） c（1）1 c（1）。c（k- 2)...............c（k- 1） c（k- 2） c（k- 3) . . . 1.X=φ*R，φ=（φ，φ，…，φk），let=（1，0。

，0）则σX=σR√φ·C·φ，ρ=φ·C·和σX=σRp(φ） ·C·(φ） ，有效地惩罚了φk的变化。由此产生的优化问题变成了σRpφ·C·φφ·C·-γσR（φ·C·φ）（1+（φ·））-νrπσRp（Δφ）·C·(φ） 该最终正则化项应确保过滤器权重φkdo之间不会有太大变化（即，这是一种类似于套索或岭回归的平滑度约束，但函数形式略有不同）。与岭回归中的Lpenalty或套索中的Lpenalty不同，这个术语虽然既不是线性的，也不是二次的。本文不考虑具有交易费用的最优交易策略解的性质。F多周期回报率由于易于分析高斯回报率，因此可以直接计算策略回报到任何水平的时刻。虽然我们不探讨进一步的含义，但在本节中我们将给出相关公式，以供将来进一步阐述。对于长期交易，我们注意到以下（【Magnus，1978】）定理【Magnus】设A为对称矩阵，R为~ N（0，V）和V正定义。定义p=RAR。