均值方差下的最优再保险与投资策略

2022-6-24 05:09:32

均值-方差准则下的最优再保险和投资策略：部分和全部信息*朱世豪，+石景涛2020年6月4日摘要本文研究了均值方差准则下保险公司的最优再保险和投资问题。风险资产价格动态方程的驱动布朗运动和收益率不能直接观测到。禁止卖空股票。该问题被描述为一个控制变量受约束的随机线性二次型控制问题。基于分离原理和随机滤波理论，解决了部分信息问题。通过求解两个扩展的随机riccati方程，有效策略和有效前沿以闭合形式呈现。作为比较，在完全信息情况下，通过HJB方程的粘度解给出了有效策略和有效前沿。还提供了一些数字图示。关键词：均值方差、最优再保险和投资、部分信息、随机滤波、粘性解数学学科分类：60H10、93E20、93C41、93E11、49L251简介近年来，将随机控制理论应用于各种模型的最优再保险和最优投资问题的研究兴趣不断增加。众所周知，再保险是降低保险风险的有效方法，而投资也是保险业务中非常重要的因素。效用最大化和破产概率最小化是两个主要的优化准则*这项工作得到了中国国家重点研发项目（2018YFB1305400）和国家自然科学基金（119712661157120511831010）的资助。+山东大学数学学院，济南250100。

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kedemingshi

2022-6-24 05:09:35

中国，电子邮件：zhush10@hotmail.com通讯作者，山东大学数学学院，济南250100，中国，电子邮件：shijingtao@sdu.edu.cnin文学作品。该领域近期工作的部分列表包括：Browne【7】、Yang和Zhang【29】、Promislow和Young【23】、Bai和Guo【1】、Liang等人【16】、Xu等人【28】等。值得一提的是，Bai和Guo【1】通过求解相应的Hamilton-Jacobi-Bellman（简称HJB）方程明确推导出了最优值函数和最优策略。他们还表明，在某些特殊情况下，期望指数效用最大化和破产概率最小化的最优策略是等价的。Liang等人[16]研究了最优投资和再保险策略，其中瞬时投资回报率遵循Ornstein-Uhlenbeck过程。Xu等人[28]认为金融市场由漂移布朗运动驱动，其系数由外部马尔可夫过程调节。他们推导出了具有预期终端效用的明确最优投资和再保险政策。然而，所有这些工作主要是在预期的公用设施框架内完成的。值得注意的是，均值-方差分析和预期效用公式是金融市场中的两个重要模型。读者可参考Bieleckiet等人【4】、Steinbach等人【25】和MacLean等人【19】讨论预期效用模型和均值方差模型之间的关键差异。Markowitz[20]在投资组合选择中首次提出了均值-方差准则，该准则考虑了预期收益以及单期投资的方差。Li和Ng【13】利用将问题嵌入可处理辅助问题的思想，将Markowitz的均值-方差模型扩展到多周期环境。

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2022-6-24 05:09:38

在Zhou和Li[32]的论文中，利用随机线性二次型（简称LQ）控制理论研究了连续时间均值-方差问题。考虑到禁止卖空股票的约束，相应的HJB方程本质上没有光滑解。为了解决这一难题，Li等人【14】通过两个RiccatieEquations构建了一个连续函数，并证明该函数是HJB方程的粘度解。Huand Zhou[11]研究了一个随机LQ控制问题，其中控制变量被约束在一个锥中，问题的所有系数都是随机过程。根据田中公式，他们通过求解两个扩展的随机Riccati方程显式地获得了最优控制和最优成本。近年来，在保险建模中采用均值-方差准则越来越受到人们的关注。例如，Bai和Zhang[2]在经典模型及其在均值-方差准则下的差分近似中推导出了最优比例保险和投资策略。Bi等人[3]在破产禁止的均值方差准则下考虑了保险人的最优投资和最优再保险问题。Zhang等人[31]考虑了保险人比例再保险和投资问题的均值-方差准则，该保险人的风险过程由受控复合泊松过程的微分近似驱动。然而，在所有这些工作中，假设驱动布朗运动完全可以被投资者观察到，这在现实中是一个例外，而不是一个规则。实际上，投资者只能观察其决策所依据的股价。

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kedemingshi

2022-6-24 05:09:41

事实上，金融经济学文献中已经广泛研究了金融市场中各种设置下的部分信息最优投资组合问题。Di Nunno和Oksendal[9]认为，对于能够获得通常小于marketevents生成的信息的交易商来说，是一个最优投资组合问题。彭和胡[22]研究了只有部分信息可供使用的保险公司的最优比例再保险和投资策略。L'evy过程的Malliavin演算应用于分析。Wang和Wu【26】获得了部分可观测风险敏感随机控制问题的一些一般极大值原理。Huang等人[12]研究了保险公司在两种情况下的最优保费政策：完全信息和部分信息。在这两种情况下，他们都用相关的最优成本函数来描述最优保费政策。与之前的部分信息预期效用标准不同，Pham[24]考虑了一般半鞅模型的均值-方差套期保值问题，并用鞅方法证明了一个离散模型的分离原则。熊和周[27]证明了连续时间均值-方差组合选择问题的分离原理。Pang等人[21]研究了随机环境下的连续时间平均方差投资组合选择问题。提出了一个具有随机系数的部分信息随机控制问题。他们表明，最优投资组合策略是通过求解一个确定性Riccati型常微分方程（简称ODE）和两个确定性向后ODE构建的。Liang和Song[15]研究了具有均值-方差效用的保险人在部分信息下的最优投资和再保险问题，该问题具有不可观测的马尔可夫调制区域切换漂移过程。

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kedemingshi

2022-6-24 05:09:44

在博弈论框架下，得到了时间一致的均衡策略。Cao等人[8]考虑了均值-方差准则下的最优时间一致性投资和比例再保险策略问题，其中保险人拥有一些关于其索赔过程未来实现的内部信息。给出了扩展HJB方程的验证定理，并得出了最优策略。在本文中，我们将考虑一个新的保险公司的部分信息问题，以实现最优再保险和投资。我们假设保险公司可以接受再保险，并将其财富投资于斯科尔斯黑市。然而，在风险资产价格动态方程中，我们无法直接观察到布朗运动和收益率。事实上，决策者只能获得有关过去风险资产价格和保险索赔随机性的部分信息。我们克服了随机过滤技术所遇到的困难。与Xu等人[28]和Liang等人[16]所考虑的标准不同，我们在本文中应用了均值-方差标准。应用随机LQ控制方法、随机Riccati方程和粘性解理论，得到了有效策略和有效前沿。本文的其余部分组织如下。第二节研究了部分信息下的最优再保险与投资问题。第3节重点讨论了过滤问题和均值-方差标准。通过求解两个扩展的随机Riccative方程，以闭合形式给出了有效策略和有效前沿。第4节介绍了在全信息情况下，通过HJB方程的粘性解，给出了有效策略和有效前沿。这里提供了一些数值说明。

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2022-6-24 05:09:47

第5节总结了本文。2问题公式我们确定了一个有限的时间范围[0，T]和一个完整的概率空间(Ohm, F、 P），定义了三个一维标准布朗运动W（·）、W（·）和W（·）。我们假设它们是相互独立的。为便于说明，我们将{FWt}0表示为≤t型≤T、 {FWt}0≤t型≤Tand{FWt}0≤t型≤t分别是由W（·）、W（·）和W（·）生成的过滤，并表示{Ft}0≤t型≤T： ={FWtFWt公司FWt}0≤t型≤T、 LetF=f，E[·]是P的期望值。现在考虑一家保险公司，其索赔过程由C（·）表示。遵循Promislow和Young[23]的框架，我们根据漂移布朗运动对索赔过程C（·）建模如下：dC（t）=adt- bdW（t），t∈ [0，T]，（2.1），其中a和b为正常数。W（·）表示保险索赔的随机性。假设保险费是按照期望值原则计算的恒定费率c连续支付的，即c=（1+θ）a，其中θ>0是保险人的相对安全负荷。假设允许保险人将其盈余投资于由无风险资产和风险资产组成的金融市场，其价格动态如下所示：（dB（t）=r（t）B（t）dt，t∈ [0，T]，dS（T）=u（T）S（T）dt+σ（T）S（T）dW（T），T∈ 分别为[0，T]，（2.2）。这里，利率r（·）>0是一个确定性的、一致有界的标量值函数，收益率u（·）是一个适应Ft的过程，它满足u（t）=h（t）u（t）dt+l（t）dW（t）+z（t）dW（t），t∈ [0，T]，（2.3），其中h（·）、l（·）和z（·）是确定性函数。波动率σ（·）是一个确定性、一致有界、标量值函数和σ（·）-1也是有界的。评论上述关于收益率u（·）的假设（2.3）可参考Gennotte【10】。事实上，金融市场存在两种不同的不确定性来源。

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2022-6-24 05:09:50

firstone，W（·），影响股票价格和回报率。我们可以将其视为经济周期因素。第二个，W（·），影响回报率。我们可以根据经济模型将其作为发行股票或账面市值的公司的规模。在本文中，我们假设FWtand FSt：=σ（Su，0≤ u≤ t）独立，表示Gt：=FWt FST是t时保险公司唯一可用的信息。也就是说，我们只知道保险索赔的随机性和风险资产的价格过程。除投资外，我们假设保险人可以购买比例保险，以降低潜在的保险风险。再保险水平与价值1相关- 时间t时的q（t）与q（t）≥ 0表示所有t。A策略u（t）：=（π（t），q（t）），其中π（t）表示在t时投资于therisky资产的金额。这里，π（·）∈ [0, ∞) 在不允许卖空的情况下。另一方面，q（·）∈ [0，1]对应比例再保险，q（·）>1对应收购新再保险业务。在上述假设下，保险公司的盈余/财富过程X（·）：dX（t）=cdt- q（t）dC（t）- （1+η）a（1- q（t））dt+（X（t）- π（t））r（t）dt+π（t）dS（t）S（t）=aθ- aη+aηq（t）+r（t）X（t）+（u（t）- r（t））π（t）dt+bq（t）dW（t）+π（t）σ（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（2.4），其中X>0表示初始财富，η表示再保险的安全负荷。通常认为η≥ θ、其中η=θ表示转移给再保险人的保费比例与保险人承保的每项索赔的比例相同，则该合同称为廉价再保险。此外，如果η>θ，则称为无堆再保险。定义2.1。

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2022-6-24 05:09:53

如果π（·），则称策略u（·）：=（π（·），q（·））是可容许的∈ [0, ∞)和q（·）∈ [0, ∞) Gt是否可逐步测量，满足ERTπ（t）dt<∞ andERTq（t）dt<∞. 用UPad[0，T]表示所有可容许策略的集合。均值-方差问题是指找到可接受的策略，使得预期的最终财富满足EX（T）=d>0，而通过最终财富Var[X（T）]=E[X（T）的方差衡量的风险- EX（T）]=E[X（T）- d] （2.5）最小。施加d是合理的≥ d、其中d：=eRTr（s）dsnx+a（θ- η)中兴通讯-Rtr（s）dsdt- 1.ois指时间T时的终端财富，前提是保险公司将其所有手头财富投资于无风险资产，并将所有即将发生的风险转移给再保险人。定义2.2。均值-方差问题被表述为以下具有部分信息的优化问题：最小化JMV（x，u（·））：=Var[x（T）]≡ E[X（T）- EX（T）]，根据EX（T）=d，u（·）∈ UPad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（2.4）。（2.6）此外，最优控制u*（·）满足（2.6）被称为有效策略，和（Var[X*（T）]，d）称为有效点。当参数d超过[d]时，所有有效点的集合+∞), 被称为有效前沿。3有效的策略和部分信息的有效边界在使用部分信息处理一般随机优化问题时，一个臭名昭著的困难是，人们通常无法将过滤和优化分离开来，但某些非常罕见的情况除外。然而，熊和周[27]中的分离原则表明，对于一些特定的均值-方差问题，分离原则碰巧成立：人们可以简单地用财富方程中的过滤器代替回报率，然后解决产生的优化问题，就像在全信息情况下一样。为了简单起见，我们在部分信息部分考虑廉价再保险，即η=θ。

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2022-6-24 05:09:56

此时，简化为d=xeRTr（s）ds。3.1分离原则和随机过滤器在本小节中，我们首先考虑与我们的模型（2.6）相关的过滤问题，并建立分离原则。具体而言，我们定义了过滤问题的创新过程。我们在这里仅仅是为了得出一个结论，细节可以在熊和周中找到【27】。引理3.1。对于任何容许控制u（·）∈ UPad【0，T】，相应的财富过程X（·）满足以下SDE：dX（t）=aηq（t）+r（t）X（t）+（m（t）- r（t））π（t）dt+bq（t）dW（t）+π（t）σ（t）d'W（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（3.1），其中m（T）≡ E[u（t）| Gt]是u（t）中的最佳过滤器，创新过程W（·）由比亚迪给出W（t）：=σ（t）hdS（t）S（t）- m（t）dti（3.2）是关于P和{Gt}0的布朗运动≤t型≤T、接下来，我们研究收益率过程u（·）的过滤问题。根据Liptser和Shiryaev【17】中的定理11.1，我们得到以下引理。引理3.2。我们表示n（t）≡ E[（u（t）- m（t））| Gt]。设条件分布fg（x）=P（u（0）≤ x | G）为高斯，N（m（0），N（0）），0≤ n（0）<∞. 然后条件分布FGt（x）=P（u（t）≤ 对于所有t，x | Gt）为高斯，N（m（t），N（t））。因此，m（·）是获得信息{Gt}0后的最佳估计≤t型≤T、根据Liptser和Shiryaev【17】中的定理12.1，可以在下面的引理中获得最优估计m（·）和n（·）。引理3.3。

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mingdashike22

2022-6-24 05:09:59

假设随机过程u（·）和S（·）满足（du（t）=h（t）u（t）dt+l（t）dW（t）+z（t）dW（t），t∈ [0，T]，dS（T）=u（T）S（T）dt+σ（T）S（T）dW（T），T∈ [0，T]。（3.3）那么最优估计m（·）和n（·）满足dm（t）=h（t）m（t）dt+hl（t）+n（t）σ（t）iσ（t）hdS（t）S（t）- m（t）dti，t∈ [0，T]，˙n（T）=2h（T）n（T）+l（T）+z（T）-hl（t）+n（t）σ（t）i，t∈ [0，T]。（3.4）从上述引理中，我们还可以得到dS（t）=m（t）S（t）dt+σ（t）S（t）d'W（t），t∈ [0，T]，dm（T）=h（T）m（T）dt+hl（T）+n（T）σ（T）id'W（T），T∈ [0，T]。（3.5）3.2随机LQ控制问题的解在本小节中，我们通过两个扩展的随机Riccati方程的解来推导有效策略和有效边界。根据引理3.1，我们可以在完全信息情况下解决由此产生的问题。首先，方程（3.1）可以改写为以下线性SDE：（dX（t）=[r（t）X（t）+B（t）u（t）]dt+u（t）D（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（3.6），其中u（·）≡ （q（·），π（·））∈ UPad[0，T]，W（·）≡ （W（·），\'W（·））和B（t）≡ （aη，m（t）- r（t）），D（t）≡ （D（t），D（t）），D（t）≡ （b，0），D（t）≡ （0，σ（t））。该问题正是一个具有随机系数的随机LQ模型，控制变量是有约束的。

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2022-6-24 05:10:02

与胡和周[11]的结果类似，效率策略和效率前沿可以通过两个扩展的随机Riccati方程的解以闭合形式表示。现在，我们介绍以下两个非线性倒向随机微分方程（简称BSDE）：dP+（t）=-2r（t）P+（t）+H*+t、 P+（t），∧+（t）dt+∧+（t）dW（t），t∈ [0，T]，P+（T）=1，P+（T）>0，（3.7）数据处理-（t） =-2r（t）P-（t） +小时*-t、 P-（t），λ-（t）dt+λ-（t） dW（t），t∈ [0，T]，P-（T）=1，P-（t） >0，（3.8），其中H*+（t，P，∧）：=分钟（·）∈UPad[0，T]向上D（t）D（t）u+2u[B（t）P+D（t）∧],H*-（t，P，∧）：=分钟（·）∈UPad[0，T]上D（t）D（t）u- 2u[B（t）P+D（t）∧].（3.9）此外，定义ξ+（t，P，∧）：=argminu（·）∈UPad[0，T]向上D（t）D（t）u+2u[B（t）P+D（t）∧],ξ-（t，P，∧）：=argminu（·）∈UPad[0，T]上D（t）D（t）u- 2u[B（t）P+D（t）∧],（t，P，∧）∈ [0，T]×R×R.（3.10）类似于[11]中的定理5.2，我们看到（3.7）和（3.8）允许唯一有界一致正解P+（·）和P-（·），分别。由于（2.6）是一个凸优化问题，等式约束EX（T）=d可以通过引入拉格朗日乘子γ来处理∈ R、这样，问题（2.6）可以通过以下随机控制问题（对于每个固定γ）来解决。定义（x，u（·），γ）：=EX（T）- d- 2γ[X（T）- d]= E|X（T）- γ|- (γ - d），γ∈ R、（3.11）基于拉格朗日对偶定理（见Luenberger[18]），我们可以首先解决以下由拉格朗日乘子γ参数化的无约束问题∈ R：（最小化J（x，u（·），γ）：=E|X（T）- γ|- (γ - d），根据：（X（·），u（·））可用于（3.6）。（3.12）我们现在考虑问题的状态反馈控制（3.12）。对于任何实数x，我们定义x+：=最大{x，0}和x-:= 最大值{-x、 0}。定理3.4。设（P+（·），∧+（·））和（P-(·), Λ-（·））分别是BSDE（3.7）和（3.8）的唯一有界一致正解。

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2022-6-24 05:10:06

然后状态反馈控制U*（t） =ξ+（t，P+（t），∧+（t））X（t）- γe-RTtr（s）ds++ ξ-（t，P-（t），λ-（t）（）X（t）- γe-RTtr（s）ds-（3.13）对于问题（3.12）是最优的。此外，在这种情况下，最优成本为j*（x，γ）：=infu（·）∈UPad[0，T]J（x，u（·），γ）=hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- diγ+P+（0）x- d、如果x>γe-RTr ds，hP-（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2小时XP-（0）e-RTr（s）ds- diγ+P-（0）x- d、如果x≤ γe-RTr（s）ds。（3.14）证明。Sety（t）：=X（t）- γe-RTtr ds。结果表明，财富方程（3.6）关于y（·）除了初始条件外，具有完全相同的形式：（dy（t）=[r（t）y（t）+B（t）u（t）]dt+u（t）D（t）dW（t），t∈ [0，T]，y（0）=x- γe-RTr（s）ds，（3.15），而成本函数（3.11）可以重写为：y，u（·），γ）=Ey（T）- (γ - d）。（3.16）上述问题（3.15）-（3.16）正是一个具有随机系数的随机LQ控制问题，控制变量受到约束。因此，最优反馈控制（3.13）遵循【11】中的定理5.1。最后，最优成本为j*（x，λ）=P+（0）x个- γe-RTr（s）ds++ P-(0)x个- γe-RTr（s）ds-- (γ - d），经过一些简单的操作后，等于（3.14）的右侧。证明是完整的。定理3.5。对应于d的有效策略≥ d、其中d：=xeRTr（s）ds，作为财富过程的反馈，isu*（t） =ξ+（t，P+（t），∧+（t））十、*（t）- γ*e-RTtr（s）ds++ ξ-（t，P-（t），λ-（t）（）十、*（t）- γ*e-RTtr（s）ds-,（3.17）式中γ*:=d- xP系统-（0）e-RTr ds1- P-（0）e-2RTr ds。（3.18）此外，有效前沿是Var[x*（T）]=P-（0）e-2RTr ds1- P-（0）e-2RTr（s）dshEX*（T）- xeRTr（s）dsi，EX*（T）≥ d、（3.19）证明。首先，如果d=xeRTr（s）ds，那么相应的效率策略是u*（t）≡ (0, 0). 由此产生的财富过程是X*（t） =xeRTr（s）ds。另一方面，在这种情况下，相关γ*= xeRTr（s）ds。

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可人4

2022-6-24 05:10:09

这意味着当d=xeRTr（s）ds时，（3.19）为有效边界。因此，我们只需要证明任意固定d>xeRTr（s）ds的定理。再次应用拉格朗日对偶定理，我们得到*MV（x）：=infu（·）∈UPad[0，T]JMV（x，u（·））：=supγ∈林福（·）∈UPad[0，T]J（x，u（·），γ）>-∞, （3.20）和（2.6）的最优反馈控制为（3.13），γ替换为γ*在（3.18）中，最大化J*γ上的（x，γ）∈ R、根据定理3.4。如果γ<xeRTr（s）ds，则表达式（3.14）和≥ xeRTr（s）ds，给出γJ*（x，γ）=2hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- di公司≥ 2hP+（0）e-2RTr（s）ds- 1执行器ds- 2hxP+（0）e-RTr（s）ds- xeRTr（s）dsi=0。在上述计算中，我们使用了结果P+（0）e-2RTr（s）ds- 1.≤ [11]的引理6.1中的0。因此，supγ∈RJ公司*（x，γ）=supγ∈-∞,xeRTr（s）dsJ*（x，γ）。但对于γ≥ xeRTr（s）ds，根据（3.14）得出*（x，γ）是γ中的二次函数，其最大值由（3.18）给出，其中*MV（x）=supγ∈林福（·）∈UPad[0，T]J*（x，γ）=supγ∈RnhP-（0）e-2RTr（s）ds- 1iγ- 2小时XP-（0）e-RTr（s）ds- diγ+P-（0）x- do=P-（0）e-2RTtr ds1- P-（0）e-2RTr（s）dsd- xeRTr（s）ds, d≥ xeRTr（s）ds。这证明了（3.19），注意到*（T）=d。证明是完整的。有趣的是，在使用随机过滤后，财富过程（3.1）包含随机系数m（·）。因此，问题变得更加复杂。具体而言，传统的随机Riccati方程转化为两个BSDE（3.7）和（3.8）。通常，这种非线性盲源分离装置没有解析解。然而，如果所有市场系数都是确定性的，那么∧（·）≡ 0，方程（3.7）和（3.8）变成常微分方程。我们可以在下一节中详细了解这一点。4全信息均值-方差问题在本节中，我们推导了全信息均值-方差问题的有效边界。

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2022-6-24 05:10:12

具体而言，保险公司可以将其盈余投资于金融市场，并购买比例再保险。我们在本节中考虑非累积再保险，即η>θ。根据（2.4），财富过程X（·）满足：dX（t）=aθ- aη+aηq（t）+rX（t）+（u- r） π（t）dt+bq（t）dW（t）+σπ（t）dW（t），t∈ [0，T]，X（0）=X，（4.1），其中我们让u（T）≡ u，r（t）≡ r和σ（t）≡ σ适用于所有定义4.1。如果π（·），则称策略u（·）：=（π（·），q（·））是可容许的∈ [0, ∞)和q（·）∈ [0, ∞) Ft是否可逐步测量，满足ERTπ（t）dt<∞ andERTq（t）dt<∞. 用UFad[0，T]表示所有可容许策略的集合。施加d是合理的≥ d、其中d：=xeT r+aθ-aηr（eT r- 1）如果保险公司将其所有手头财富投资于无风险资产，并将所有即将发生的风险转移给再保险人，则为时间T时的最终财富。均值-方差问题被表述为以下具有完全信息的优化问题：最小化Var[X（T）]=EX（T）- 前任*（T）,从属于：EX（T）=d，u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1）。（4.2）4.1辅助问题的值函数类似地，问题（4.2）可以通过以下随机LQ控制问题（对于每个固定γ）来解决[X（T）- d] +2γ[EX（T）- d],从属于：u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1），（4.3），其中，为了方便起见，在目标函数中引入了乘数γ前面的因子2。

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mingdashike22

2022-6-24 05:10:15

显然，这个问题等价于以下辅助问题X（T）- （d）- γ),从属于：u（·）∈ UFad[0，T]，（X（·），u（·））满足方程（4.1）。（4.4）设置X（t）：=X（t）- （d）- γ），则（4.1）等效于以下受控线性SDE：（dx（t）=rx（t）+Bu（t）+fdt+Du（t）dW（t）+Du（t）dW（t），t∈ [0，T]，x（0）=x- （d）- γ），（4.6），其中u（·）≡ （q（·），π（·））∈ UFad[0，T]和b≡ （aη，u- r），f≡ aθ- aη+（d- γ）研发部≡ （b，0），D≡ (0, σ) .我们的目标是找到最佳控制u*（·）最小化二次成本函数lj（u（·））=Ex（T）。（4.7）该问题是一个不确定的随机LQ控制问题。该问题的一个重要特征是控制受到约束。在本小节中，我们使用HJB方程和粘度解理论来解决它。与问题（4.6）-（4.7）相关的值函数定义为v（s，y）=infu（·）∈UFad[s，T]J（s，y；u（·）），（4.8），其中x（s）=y∈ R、 s∈ [0，T）。从标准参数（例如Yong和Zhou[30]）中，我们可以看到如果V（·，·）∈C1,2[0，T]×R，则满足以下HJB方程：v（t，x）t+infq≥0,π≥0v（t，x）x个rx+aηq（t）+（u- r） π（t）+aθ- aη+（d- γ） r+bq（t）+σπ（t）v（t，x）x个= 0，t∈ [0，T]，v（T，x）=x.（4.9）由于控制的非负性约束，HJB方程（4.9）没有光滑解。因此，这里的想法是构造一个函数，证明它是它的粘性解，然后利用验证定理构造最优控制。我们将在下一小节中这样做。4.2最优控制和粘度解决方案本小节用于验证以下结果。定理4.2。

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nandehutu2022

2022-6-24 05:10:18

定义g（t）：=[aθ- aη+（d- γ） r][er（T-t）- 1] r，A：=-(u - r） 2σ-aη2b。（4.10）然后是值函数V（t，x）=er（T-t） x+g（t）, 如果x+g（t）e-r（T-t）≥ 0,e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）, 如果x+g（t）e-r（T-t） <0，（4.11）是HJB方程（4.9）的连续粘度解，andu*（t，x）=-u - rσx+g（t）e-r（T-t）, -aηbx+g（t）e-r（T-t）,如果x+g（t）e-r（T-t） <0，（0，0），如果x+g（t）e-r（T-t）≥ 0，（4.12）是相关的最佳反馈控制。证据首先，我们证明（4.11）中构造的V（·，·）是（4.9）的粘度解。假设它有一个解v（·，·）∈ C1,2[0，T]×R满足vx> 0。那么，如果vx个≥ 0时，在u处达到（4.9）左侧的最小值*（·）=（q*(·), π*(·))=(0, 0). 假设v（t，x）具有以下形式：v（t，x）=P（t）x+Q（t）x+R（t），（4.13），其中P（·）、Q（·）、R（·）是要确定的可微分函数。插入（4.13）andu*（·）=（q*(·), π*（·））=（0，0）到（4.9），我们有˙P（t）+2rP（t）=0，P（t）=1，˙Q（t）+rQ（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]P（t）=0，Q（t）=0，˙r（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]Q（t）=0，r（t）=0。（4.14）求解它们，我们得到p（t）=e2r（t-t），Q（t）=g（t）er（t-t），R（t）=g（t），（4.15），其中g（t）在（4.10）中定义。考虑到假设vx个≥ 0，我们有v（t，x）=er（T-t） x+g（t）在该地区=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t）≥ 0,最小值达到（π*（·），q*(·)) = (0, 0).对于（t，x）∈（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） <0, 我们有vx<0。假设控制区域内部达到最小值（4.9）。然后π*（t，x）=-u - rσv（t，x）x个v（t，x）x、 q*（t，x）=-aηbv（t，x）x个v（t，x）x。

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2022-6-24 05:10:21

（4.16）将其插入（4.9），HJB方程变为v（t，x）t型+rx+aθ- aη+（d- γ） rv（t，x）x个-(u - r） 2σ(v（t，x）x）v（t，x）x个-aη2b(v（t，x）x）v（t，x）x=0，t∈ [0，T]，v（T，x）=x.（4.17）将（4.13）和（4.16）插入（4.17），我们得到P（t）+[2r+2A]P（t）=0，P（t）=1，˙Q（t）+[r+2A]Q（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]P（t）=0，Q（t）=0，˙r（t）+AQ（t）P（t）+[aθ- aη+（d- γ） r]Q（t）=0，r（t）=0，（4.18），其中Ais在（4.10）中定义。求解它们，我们得到p（t）=e（2A+2r）（t-t），Q（t）=g（t）e（2A+r）（t-t），R（t）=e2（t-t）银（t）。（4.19）自vx<0，我们有v（t，x）=e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）.在该地区=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） <0,最小值达到（π*（t），q*（t）（）=-u - rσx+g（t）e-r（T-t）, -aηbx+g（t）e-r（T-t）.在内部区域Ai（i=1，2），v（·，·）∈ C1,2[0，T]×R，因此它是这些区域的经典解。然而，切换曲线由A定义=（t，x）∈ [0，T]×R:x+g（T）e-r（T-t） =0是V（·，·）的非光滑性发生的地方。首先，直接计算表明V（t，x）=er（T-t） x+g（t）=e（A+r）（T-t） x+e（t-t） Ag（t）= 因此，V（·，·）在A上的点上是连续的。此外，我们还很容易获得V（t，x）t=˙P（t）x+˙Q（t）x+˙R（t）=˙P（t）x+˙Q（t）x+˙R（t）=0，V（t，x）x=P（t）x+Q（t）=P（t）x+Q（t）=0。（4.20）也就是说，V（·，·）在A上的点上也是连续不同的。然而，五、XDO不存在于A上，因为P（t）6≡ P（t）。这意味着V不具备smoothnessproperty，无法作为HJB方程（4.9）的经典解。因此，我们需要在粘度解决方案的框架内工作。（请参考Yong andZhou[30]，Li et al。

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2022-6-24 05:10:24

[14] 粘度溶液的一些基本术语。）可以表明，对于任何（t，x）∈ A、（D1,2，+t，xV（t，x）={0}×{0}×[P（t）+∞),D1,2，-t、 xV（t，x）={0}×{0}×(-∞, P（t）]。（4.21）对于HJB方程（4.9），我们定义为负（t，x，u，p，p）：=prx+aηq（t）+（u- r） π（t）+aθ- aη+（d- γ） r+Pbq（t）+σπ（t）.（4.22）对于任何（q、p、p）∈ D1,2，+t，xV（t，x），当（t，x）∈ A、我们有Q+infu≥0G（t，x，u，p，p）=infu≥0Pbq（t）+σπ（t）≥ infu公司≥0P（t）bq（t）+σπ（t）= 因此，V（·，·0是（4.9）的粘度子溶液。另一方面，对于（q，p，p）∈D1,2，-t、 xV（t，x），当（t，x）∈ A、我们有Q+infu≥0G（t，x，u，p，p）=infu≥0Pbq（t）+σπ（t）≤ infu公司≥0P（t）bq（t）+σπ（t）= 因此，V（·，·）也是（4.9）的粘度超溶液。最后，很容易看出终端条件V（T，x）=xis已满足。因此，V（·，·）是HJB方程（4.9）的粘度解。此外，对于任何（t，x）∈ A、取（q*（t，x），p*（t，x），P*（t，x），u*（t，x））=（0，0，P（t），0）∈ D1,2，+t，xV（t，x）×UFad[s，t]，然后q*（t，x）+G（t，x，u*（t，x），p*（t，x），P*（t，x））=0。（4.25）然后根据验证定理（Zhou等人【33】）得出*（4.12）定义的（t，x）是最佳反馈控制。证明是完整的。4.3有效策略和有效边界在本小节中，我们给出了问题的有效边界（4.2），即我们推导出了每个有效策略的预期值和终端财富方差之间的关系。首先，注意（4.5）和（4.7），我们有x（T）= E[X（T）- （d）- γ)]= E[X（T）- d]+ γ[EX（T）- d] +γ。因此，对于每个固定γ，我们有minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]= 分钟（·）∈UFad[0，T]Ex（T）-γ=V（0，x）-γ=P（0）x+Q（0）x+R（0）-γ=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ、（4.26）其中P（·）、Q（·）和R（·）在（4.13）中有规定。

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2022-6-24 05:10:28

如果x+g（t）e-rT<0，我们在γ中有一个凹二次函数：minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ=e2A（1）TxeT r+aθ- aηr- （d）- γ)-γ.如果x+g（t）e-rT公司≥ 0，我们在γ中有一个线性函数：minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +γ[EX（T）- d]=P（0）[x- （d）- γ） ]+Q（0）[x- （d）- γ） ]+R（0）-γ=xeT r+aθ- aηr- （d）- γ)-γ=xeT r- d+aθ- aηr+xeT r- d+aθ- aηrγ.因此，我们得出结论，在最优策略（4.16）下，问题（4.2）的最优成本为minu（·）∈UFad[0，T]E[X（T）- d] +2γ[EX（T）- d]=e2AT公司xeT r+aθ- aηr- （d）- γ)- γ、如果x- （d）- γ） +g（t）e-rT<0，xeT r- d+aθ- aηr+ 2.xeT r- d+aθ- aηrγ、如果x- （d）- γ） +g（t）e-rT公司≥ 0。（4.27）注意，上述仍然依赖于拉格朗日乘数γ。类似地，根据拉格朗日对偶定理，需要在γ上使（4.27）中的值最大化∈ R、简单计算表明（4.27）达到最大值d- xeT r-aθ-aηre-2AT- 1atγ*=xeT r+aθ-aηr- 判定元件-2AT- 1、上述推导得出以下结果。定理4.3。与预期终端财富EX（T）=d对应的问题（4.2）的有效策略，作为时间T和财富X的函数，isu*（t，X）≡ (π*（t，X），q*（t，X））=(-u - rσX+g（t）e-r（T-t）, -aηbX+g（t）e-r（T-t）),如果x- （d）- γ*) + g（t）e-r（T-t） <0，（0，0），如果x- （d）- γ*) + g（t）e-r（T-t）≥ 0，（4.28），其中γ*=xeT r+aθ-aηr-判定元件-2AT-此外，有效前沿是Var[X（T）]=xeT r+aθ-aηr- EX（T）e-2AT- （4.29）4.4数值例子在本小节中，我们给出了一些数值例子来说明本文得到的理论结果。首先，我们考虑（3.3）中u（t）的过滤。设置l（t）≡ 3，z（t）≡ 2，σ（t）≡ 具体而言，从（3.4）中可以看出，升值率过程m（t）的过滤随着h值的增加而增加。如图1所示。

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2022-6-24 05:10:31

图2显示了条件分布FGt（x）的方差n（t）=P（u（t）≤ 当h上升时，x（Gt）上升。另一方面，我们还可以看到滤波误差En（t）=E（u（t）- m（t））随着t的增加趋于稳定。图1：mt的比较图2：ntNext的比较，我们考虑以下示例作为完整信息情况。初始财富x=50，持续时间T=100，保险人的安全负荷θ=0.3，再保险人的安全负荷η=0.2，一阶和二阶索赔矩a=b=1，风险资产的预期回报率u=0.06，风险资产的波动率σ=1，利率r=0.04。图3：值函数区域图4：最优值函数图3是值函数区域的描述。我们可以发现，值函数V（t，x）在控制区域A的内部是C1,2[0，t]×R，图3和V（t，x）在切换曲线A中是非光滑的。图4是值函数（4.27）和γ的图像。从图中可以看出，当γ=-130.2，与式γ中的计算结果相同*=xeT r+aθ-aηr-判定元件-2AT-图5：有效前沿从图5中，我们注意到有效前沿是一条二次曲线。如果Var[X（T）]=0，我们可以看到预期回报EX（T）=d=2863.9。事实上，在这种情况下，保险公司将其所有手头财富投资于无风险资产，并将所有Forthcomingrisk转移给再保险人。因此，这里的保险公司没有风险。5结论：本文研究了均值方差准则下保险公司最优再保险和投资的一个新的部分信息问题。我们假设我们不能直接观察风险资产价格动态方程中的布朗运动和收益率。

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nandehutu2022

2022-6-24 05:10:34

事实上，决策者只能获得部分信息。这更现实。基于分离原理和随机过滤理论，我们可以简单地将收益率替换为财富方程中的过滤器，然后解决完全信息情况下的部分信息问题。通过求解两个扩展的随机Riccati方程，以闭合形式给出了有效策略和有效前沿。作为比较，我们还通过全信息情况下HJB方程的粘度解获得了有效策略和有效前沿。值得注意的是，由于成本函数中的[EX（T）]一词，均值-方差问题是一个时间不一致的问题。在本文中，我们确定一个初始点，然后尝试找到容许控制u*（·）使成本功能最大化。然后我们简单地忽略了一个事实，即在稍后的时间点，控制u*（·）不会是功能的最佳选择。在经济学文献中，这被称为预承诺。均值-方差问题的可能扩展是另一种不同的方式。受Bj¨ork和Murgoci[6]，Bj¨ork等人[5]的启发，我们可以不一致地花费时间，并用博弈论的术语来描述问题。我们将在即将发表的论文中研究这个主题。参考文献[1]Bai，L.H.和Guo，J.Y.（2008）。具有多个风险资产且无卖空约束的最优比例再保险和投资。保险：数学与经济学，42（3），968-975。[2] Bai，L.H.和Zhang，H.Y.（2008）。保险公司风险控制受限的动态均值-方差问题。运筹学数学方法，68（1），181-205。[3] Bi，J.N.，Meng，Q.B.，和Zhang，Y.J.（2014）。保险人无破产约束下的动态均值-方差和最优再保险问题。

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可人4

2022-6-24 05:10:36

《运筹学年鉴》，212（1），43-59。[4] Bielecki，T.R.、Jin，H.Q.、Pliska，S.R.和Zhou，X.Y.（2005）。破产禁止的连续时间均值方差投资组合选择。《数学金融》，第15（2）页，213-244页。[5] 比约克，T.、哈普科，M.和穆尔戈奇，A.（2017）。连续时间的时间不一致随机控制。《金融与随机》，21331-360。[6] 比约克，T.和穆尔戈奇，A.（2010）。马尔可夫时间不一致随机控制问题的一般理论。预印本。电子版可从以下网址获得：http://ssrn.com/abstract=1694759[7] Browne，S.（1995年）。具有随机风险过程的企业的最优投资政策：指数效用和最小化破产概率。运筹学数学，20（4），937-958。[8] Cao，J.，Peng X.C.，和Hu，Y.J.（2016）。内部信息下均值方差保险公司的最优时间一致性投资和保险策略。《应用数学学报》，英文丛书，32（4），1087-1100。[9] Di Nunno，G.和Oksendal，B.（2009年）。最优投资组合，部分信息和Malliavin演算。《随机：概率与随机过程国际杂志》，81（3-4），303-322。[10] Gennotte，G.（1986年）。不完全信息下的最优投资组合选择。《金融杂志》，41（3），733-746。[11] Hu，Y.，and Zhou，X.Y.（2005）。具有随机系数的约束随机LQ控制及其在投资组合选择中的应用。《暹罗控制与优化杂志》，44（2），444-466。[12] Huang，J.H.，Wang，G.C.，和Wu，Z.（2010）。保险公司的最优保费政策：全部和部分信息。保险：数学与经济学，47（2），208-215。[13] Li，D.和Ng，W.L.（2000年）。最优动态投资组合选择：多周期平均方差公式。《数学金融》，10（3），387-406。[14] Li，X.，Zhou，X.Y.，和Lim，A.E.（2002）。

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可人4

2022-6-24 05:10:39

无卖空约束的动态均值-方差投资组合选择。《暹罗控制与优化杂志》，40（5），1540-1555。[15] Liang，Z.X.和Song，M.（2015）。部分信息下均值方差保险人的时间一致性再保险和投资策略。保险：数学与经济学，65，66-76。[16] Liang，Z.B.，Yuen，K.C.，和Guo，J.Y.（2011）。具有Ornstein-Ohlenbeck过程的股票市场最优比例再保险和投资。保险：数学与经济学，49（2），207-215。[17] Liptser，R.S.和Shiryaev，A.N.（2001）。随机过程统计：二。应用程序，第2版。Springer Verlag，纽约。[18] Luenberger，D.G.（1969年）。《向量空间法优化》，约翰·威利·安德森，纽约。[19] MacLean，L.C.、Zhao，Y.G.和Ziemba，W.T.（2011）。动态投资分析中的平均方差与预期效用。计算管理科学，8（1-2），3-22。[20] Markowitz，H.（1952年）。投资组合选择。《金融杂志》，7（1），77-91。【21】彭伟坤、倪玉华、李玉华和Yiu，K.F.C.（2014）。具有部分信息的连续时间均值方差投资组合选择。《数学金融杂志》，4353-365。[22]Peng，X.C.和Hu，Y.J.（2013）。部分信息下的最优比例再保险与投资。保险：数学与经济学，53（2），416-428。[23]Promislow，S.D.和Young，V.R.（2005）。当目标服从带漂移的布朗运动时，最小化破产概率。《北美精算杂志》，9（3），110-128。[24]Pham，H.（2001）。部分观测漂移过程的均值-方差套期保值。《国际理论与应用金融杂志》，4（2），263-284。[25]Steinbach，M.C.（2001）。马科维茨重温：金融投资组合分析中的均值-方差模型。《暹罗评论》，43（1），31-85。[26]Wang，G.C.和Wu，Z.（2009）。

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