亚扩散Black-Scholes模型的加权有限差分法

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收藏 2022-06-24

英文标题：
《A weighted finite difference method for subdiffusive Black Scholes Model》
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作者：
Grzegorz Krzy\\.zanowski, Marcin Magdziarz, {\\L}ukasz P{\\l}ociniczak
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
In this paper we focus on the subdiffusive Black Scholes model. The main part of our work consists of the finite difference method as a numerical approach to the option pricing in the considered model. We derive the governing fractional differential equation and the related weighted numerical scheme being a generalization of the classical Crank-Nicolson scheme. The proposed method has $2-\\alpha$ order of accuracy with respect to time where $\\alpha\\in(0,1)$ is the subdiffusion parameter, and $2$ with respect to space. Further, we provide the stability and convergence analysis. Finally, we present some numerical results.
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中文摘要：
在本文中，我们重点研究了次扩散Black-Scholes模型。我们工作的主要部分是将有限差分法作为所考虑模型中期权定价的数值方法。我们推导了控制分数阶微分方程和相关的加权数值格式，它是经典Crank-Nicolson格式的推广。所提出的方法相对于时间的精度为$2-\\alpha$，其中$\\alpha\\in（0,1）$是次扩散参数，相对于空间的精度为$2$。此外，我们还提供了稳定性和收敛性分析。最后，我们给出了一些数值结果。
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分类信息：

一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science 计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Computer Science 计算机科学
二级分类：Numerical Analysis 数值分析
分类描述：cs.NA is an alias for math.NA. Roughly includes material in ACM Subject Class G.1.
cs.na是Math.na的别名。大致包括ACM学科类G.1的材料。
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Numerical Analysis 数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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kedemingshi

2022-6-24 06:32:06

亚分化布莱克-斯科尔斯模型的加权有限差分法波兰弗罗茨瓦夫科技大学（50-370）弗罗茨瓦夫分校（50-370）纯数学与应用数学学院乌卡斯·奥西尼查卡阿胡戈·施泰因豪斯中心马金·马吉亚尔扎（Marcin Magdziarza）Grzegorz˙zanowskia）这篇论文主要研究亚分化布莱克-斯科尔斯（B-S）模型。我们工作的主要部分包括将有限差分法作为所考虑模型中期权定价的具体应用方法。我们发现支配分数微分方程和相关的加权数值格式是经典Crank-Nicolson（C-n）格式的泛化。建议的方法有2个-α精度相对于时间的阶数，其中α∈ （0，1）是次扩散参数，是相对于空间的d 2。此外，我们还提供了稳定性和收敛性分析。最后，我们给出了一些数值结果。关键词：加权有限差分法、细分、时间分数Black-Scholes模型、欧式期权、Caputo分数阶导数。1、介绍期权是最受欢迎和最重要的金融衍生品之一，因此其估值问题对金融机构和全球经济具有重要意义。著名的欧洲期权B-S公式【3，25】非常重要，因此作者于1997年获得了非贝尔经济学奖。经过最近的研究[30]，B-S-Merton公式虽然简单明了，但在许多情况下似乎无法使用。其中一个最生动的例子是，基本工具的动力学倾向于具有恒定周期或突然跳跃的情况【6】。可以观察到市场停滞的特征，例如在新兴市场[4]和利率行为[16]。

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可人4

2022-6-24 06:32:09

经典的B-S模型是在一些严格的假设下提出的，但是已经建立了一些改进的模型来削弱这些假设，例如随机波动率模型[1 2]，随机利率模型[23]，具有交易成本的模型[1，8]，跳跃扩散模型[24]。近年来，框架微分方程理论在计量经济学和金融领域有着重要的应用【22】。许多研究者也研究了B-S方程在分数情形下的推广。这种泛化的原因是金融市场的分形结构和分数微积分的兴趣。通常，程序是用分馏布朗运动取代经典模型中使用的标准布朗运动[2，17，33]。更准确地说，时间变化dt的or顺序由赫斯特指数H（0<H<1）代替。在H=1/2的情况下改变自相似性参数会导致描述金融资产动态的过程缺乏鞅性质。这与这种广义模型允许套利是等价的。我们采取了完全不同的方法。在定义描述标的资产的过程时，我们将几何布朗运动Z（t）替换为次几何布朗运动Z（Sα（t）），并使用逆辅助因子Sα（t）[29]。通过这种方式，我们找到了相应的分数微分方程，这与文献中所考虑的大多数不同，但与[32]和[35]中给出的相同。

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mingdashike22

2022-6-24 06:32:12

有关次级B-S模型的其他结果，请参见【10、11、13、34】。已经提出了许多有效的数值方法来求解分数阶微分方程，其中包括有限差分方法、有限元方法、有限体积方法、光谱方法和无网格方法（见[35]和其中的参考文献）。电子邮件地址：grzegorz。krzyzanowski@pwr.edu.pl（Grzegorz Krzy˙zanowski），marcin。magdziarz@pwr.wroc.pl（MarcinMagdziarz），卢卡斯。plociniczak@pwr.edu.pl（ukasz Plociniczak）预印本于2020年4月30日提交给Elsevier，开发分数阶积分和导数的数值离散化方法因其广泛的应用而成为分数阶微积分的重要主题之一。在这项工作中，我们提出了逼近Caputo导数的求积方法，这意味着精度阶数等于2- α . 在[9，19]中，作者研究了3阶近似- α、第[5]页，共4页- α. 在[19]中，使用r+1次拉格朗日插值近似Caputo导数，并获得了一系列精度为r+1的高阶数值格式- 第n步处的α（n≥ r）。随着精度的提高，复杂度会增加，数值格式的稳定性可能会丧失。2、子功能B-S模型2.1。次级效应B-S模型的假设让我们考虑一个市场，其演变将持续到时间范围T，并包含在概率空间中(Ohm, F、 P）。在这里Ohm 是样本空间，F是过滤，解释为投资者完全可用的资产价格历史信息，P是客观概率度量。

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何人来此

2022-6-24 06:32:15

这些假设与经典案例【15】中的假设相同，但我们不必假设市场流动性，基础工具而非几何布朗运动（GBM）必须遵循唯一的GBM【20】：（Zα（t）=Z（Sα（t）），Z（）=Z，其中Zα（t）-基础资产的价格，Z（t）=Z（）exp（ut+σBt），σ-波动率（常数），u-漂移（常数），Bt-布朗运动，Sα（t）-定义为Sα（t）=inf（τ>0：Uα（τ）>t）的逆α稳定从属函数[20]，其中Uα（t）是α稳定从属函数[29]，0<α<1。对于每个t，我们假设Sα（t）独立于bt∈ [0，T]。0 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80.20.40.60.81.21.41.61.82.20 210.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.80.20.40.60.81.21.41.61.82.4图1：亚扩散性GBM（左）及其经典类似物（右）的样本轨迹。在次级效应情况下，可以观察到新兴市场的恒定周期特征。参数为Z=σ=u=1，α=0.7。次级效应B-S是标准模型在市场可能不流动的情况下的推广。然后是次扩散参数α∈ （0，1）可被视为非流动性的度量。常数周期随α的减小而增大。带α→ 1次级效应B-S模型简化为经典（液体）情况。经典的B-S模型由于其简单性和实用性，是期权定价中应用最广泛的模型之一。尽管与次级案例相反，它没有考虑到恒定价格周期的经验性质。在图1中，我们比较了经典市场模型和次级市场模型中基础资产的样本模拟。经典的B-S模型无法模拟市场的短暂停滞。作为B-S模型的推广，其次级效应等效物可用于广泛的情况，包括可以应用B-S c的所有市场。

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大多数88

2022-6-24 06:32:18

[27]中描述了根据经验数据进行B-S模型c a次效应振动的方法。根据经典的看跌期权奇偶性[26]，我们有以下事实：命题2.1。[20] 对于次级B-S模式l中欧洲看涨期权和看跌期权的公平价格，我们有以下关系：CsubB（Z，K，T，σ，r，α）- PsubBS（Z，K，T，σ，r，α）=Z- Ke公司-本文和整篇论文：CsubBS——欧洲看涨期权的公平价格，PsubBS——欧洲看跌期权的公平价格，K——履约，T——成熟度，σ——波动率，r——利率。市场上最令人期待的资产之一是，如果不承担风险，就不可能获得Money。这一特性被称为缺乏套利，从形式上来说，这意味着无法构建在没有任何中间损失概率的情况下遵循正利润的自我融资策略φ。根据资产定价的基本理论[7]，市场模型d描述为(Ohm, F、 P）和基础仪器t Zα（t）与过滤∈[0，T]是套利free，当且仅当存在与P等价的概率测度Q（称为风险中性测度），使得资产Zα（T）是关于Q的鞅。在该测度下，金融工具具有相同的预期收益率，而不管价格的可变性。这与物理概率测量（价格的实际概率分布）相反，在这种情况下，风险较大的工具的预期回报率高于风险较小的工具。让我们介绍概率度量q（A）=ZAexp-γB（Sα（T））-γSα（T）！dP，（1）式中γ=u+σ，A∈ F、如[20]所示，过程Zα（t）是关于Q的鞅，因此我们有以下定理2.1。[20] 次级效用B-S模型是无套利的。市场模型的另一个特性是所谓的完备性。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:32:21

直观地说，如果可以用现有资产构建对未来世界状态的一系列可能赌博，那么市场模型就是完整的。更详细地说，如果每英尺∈[0，T]-可测量的随机变量X允许重复自我融资策略φ[7]。资产定价的第二个基本定理[7]指出(Ohm, F、 P）和基础工具Zα（t）和过滤Ft∈[0，T]是完备的当且仅当存在唯一鞅m e a与P等价。定理2.2。[20] 标的工具价格遵循次级GBM Zα（t）的市场模型是不可数te。市场不完全性意味着金融衍生品不存在唯一的公平价格，因为对于不同的干预措施，可以获得不同的价格。尽管（1）中定义的Q不是唯一的，但在最小相对熵的标准意义上，它是“最佳”鞅测度。这意味着度量Q使到度量P的距离最小化[21]。另一个基本事实是α的that→ 1，Q降到了经典B-Smodel的测度，它是套利fr-ee和完备的。如果我们将次级B-S模型视为标准B-S模型的推广，这与我们的直觉是一致的。因此，在整篇文章中，我们将使用（1）中定义的鞅测度Q作为参考测度。2.2. 次级B-S模型中所有看涨期权的公平价格让我们定义次级B-S模型和经典B-S模型中看涨期权的公平价格：v（t）=CsubB（Z，K，t，r，σ，α），h（t）=CBS（Z，K，t，r，σ）。根据B-S公式[3，25]，我们得到h（t）=ZΦ（d+）- Ke公司-rtΦ（d-),d±=logZK+r±σtσ√t、这里Φ表示标准范数a l分布的累积分布函数。根据[20]，函数v和h之间的关系如下：v（t）=Eh（Sα（t））=Z∞h（z）α（z，t）dz，其中，α（x，t）是Sα（t）的PDF。

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能者818

2022-6-24 06:32:25

此外，v（t）fo llowsv（t）=Z∞h（x）t-αgα（x/tα）dx，其中gα（z）根据Fox函数H1,01,1（z（1））给出-α、 α）（0,1））（见[20]及其参考文献）。请注意v（）=h（）。让我们考虑函数v的拉普拉斯变换：L{v}（k）=Z∞e-ktv（t）dt=Z∞e-ktZ公司∞h（z）α（z，t）dzdt=z∞Z∞h（z）α（z，t）e-ktdtdz=Z∞h（z）L{α} （z，k）dz。与[20]中的方法相同，我们发现{α} =kα-1e级-zkα。因此，我们有：Z∞h（z）L{α} （z，k）dz=z∞h（z）kα-1e级-zkαdz=kα-1Z∞h（z）e-zkαdz=kα-1L{h}（kα）。作为结论，我们得到以下结果：L{h}（k）=k（1-α） /αL{v}k1/α. （2）让我们写出描述h（z，t）的B-S方程【15】：h（z，t）t+σzh（z，t）z+rzh（z，t）z- rh（z，t）=0，h（z，t）=最大值（z- K、 0）。现在让我们做关于t:kL{h}（k）的L空间变换- h（）+σzL{h}（k）z+rzL{h}（k）z- rL{h}（k）=0，然后我们使用公式（2）和v（0）=h（0）的事实，得到：L{v}kαkα- v（）+σzk1-ααL{v}kαz+rzk1-ααL{v}kαz- k1级-ααrL{v}kα= 现在让我们改变变量-我们用kα替换k：kL{v}（k）- v（）=k1-α-σzL{v}（k）z- rz公司L{v}（k）z+rL{v}（k）！。反转拉普拉斯变换，我们得到：v（z，t）t=RLD1-αt-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t）！，（3）其中α∈（0，1），RLDαtis Riemann-Louville分数阶导数定义为RLDαtg（t）=Γ（1- α） ddtZt（t- s）-αg（s）ds。上面我们使用了α∈（0，1），Riem-ann-Louville分数导数的拉普拉斯变换如下[28]：L{RLDαtf（t）}=kαL{f}（k）-RLDα-1tf（t）t=0，其中f∈ C

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kedemingshi

2022-6-24 06:32:28

注意，Caputo分馏l导数的La-place变换如下【28】：l{cDαtf（t）}=kαl{f}（k）-f（0）k1-α、其中f∈ C、 α∈（0，1）和cDα定义为[28]cDαtg（t）=Γ（1- α） Ztdg（s）ds（t- s）-αds。利用分数阶导数的基本性质，将（3）变换为cdαtv（z，t）=-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t）。通过这种方式，我们找到了以下系统：cDαtv（z，t）=-σzv（z，t）z- rz公司v（z，t）z+rv（z，t），v（z，t）=最大值（z- K、 0），v（0，t）=0，limz→∞v（z，t）~ z、对于（z，t）∈(0, ∞)×（0，T）。让我们引入以下变量：x=ln z（4）和函数：u（x，t）=v（ex，t- t）。（5）因此，我们有：定理2.3。次级B-S模型中看涨期权的公平价格等于v（z，t），其中v（z，t）满足（4）和（5），u（x，t）是系统的解：cDαtu（x，t）=σu（x，t）x+r-σ!u（x，t）x个- ru（x，t），u（x，0）=最大值（ex- K、 0），极限→-∞u（x，t）=0，limx→∞u（x，t）~ ex，（6）（x，t）∈(-∞, ∞)×（0，T）。（6）的解存在且唯一（见【14】和其中的参考文献）。3、有限差分法为数值求解上述模型，我们将用有限数近似极限，用有限差分近似导数。在得到（6）的离散类似物后，我们将使用初始边界条件反复求解该问题。我们将进行类似的处理，正如在[35]中对隐式方法所做的那样。3.1. 子功能B-S模型的加权方案系统（6）具有以下形式：cDαtu（x，t）=au（x，t）x+bu（x，t）x个- cu（x，t），u（x，0）=f（x），u（xmin，t）=p（t），u（xmax，t）=q（t），其中a=σ，b=r-σ!, c=r，f（x）=最大值exp（x）- K、 0个, p（t）→ 如果xmin，则为0→ -∞, q（t）→ exp（xmax）ifxmax→ ∞. put调用奇偶校验imp位于t p（t）=0，q（t）=exp（xmax）- K经验值(-r（T- t））。让我们表示bj=（j+1）1-α- j1-α、 d=Γ（2- α)tα，英国=英国，英国，英国-1.T、 Gk=adx个-bd2x！英国，0。

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大多数88

2022-6-24 06:32:30

，0，adx+bd2x！ukn！T、 f级=0，f，f。fn公司-3，fn-2，qT、式中，uki=u（xi，tk），fi=f（xi），i=2，n-2，qk=q（tk），k=0，1，N、此外t=t/N，x=（xmax-xmin）/nare-time和spac-e步骤。我们将对spac e导数使用以下近似值：u（xi，tk+1）x=u（xi+1，tk+1）- u（xi-1，tk+1）2x+Ox个,u（xi，tk+1）x=u（xi+1，tk+1）- 2u（xi，tk+1）+u（xi-1，tk+1）x+Ox个.我们将分数时间导数近似为：cDαtu（xi，tk）=Γ（2- α） kXj=0uxi，tk+1-j- uxi，tk-jtα（j+1）1-α- j1-α+ Ot2级-α.省略截断错误后，imp licit d iscrete方案可表示为以下形式：A^u=^u+G，A^uk+1=k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+Gk+1，（7），其中k≥ 1，A=ai j公司（n）-1） ×（n-1），以便：ai j=1+2 ADx+cd，对于j=i，i=1，2，n- 1.-广告x个-bd2x！，对于j=i- 1，i=2，n- 1.-广告x+bd2x！，对于j=i+1，i=1，n- 2.0，在其他情况下，相应的初始边界条件为^u=f，^uk=0，^ukn=qk，（8）其中k≥ 以类似的方式，让我们编写显式离散格式。我们对空间导数使用近似值，如下所示：u（xi，tk）x=u（xi+1，tk）- u（xi-1，tk）2x+Ox个,u（xi，tk）x=u（xi+1，tk）- 2u（xi，tk）+u（xi-1，tk）x+Ox个.（9）在矩阵形式中，显式离散格式可表示为以下形式：^u=B^u+^u+G，^uk+1=B^uk+k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+Gk，（10），其中k≥ 1，B=bi j公司（n）-1） ×（n-1），因此：bi j=-广告x+cd！，对于j=i，i=1，n- 1，adx+bd2x、对于j=i+1，i=1，n- 2，adx个-bd2x、对于j=i- 1，i=2。

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mingdashike22

2022-6-24 06:32:35

n- 1,0，在其他情况下，通过（7）和（10）的线性组合，我们得到一个加权方案：C^u=^u+（1- θ） G+θG+θB^u，C^uk+1=k-1Xj=0北京- 北京+1英国-j+bk^u+（1- θ） Gk+1+θGk+θB^uk，（11）其中k≥ 1，C=θI+（1- θ） A，θ∈ （8）中定义了相应的初始边界条件。Le tus表示，在经典B-S模型的情况下，θ=1/2定义了C-N方案【15】。基于这一事实，在整篇论文中，我们假设如下：定义3.1。θ=1/2的方案（11）称为C-N离散方案。3.2. weig-hted离散模式的一致性在本节中，我们将展示以下定理3.1。对于θ∈ [0、1]和1≤ 我≤ n、 1个≤ j≤ N、截断错误RjifollowsRji公司≤ Cmaxtαt2级-α+ x个.证明：。正如【18】中所述，卡普托导数可以表示为如下cdαt=Γ（1- α） kXj=0u（x，tk+1-j）- u（x，tk-j）tα（j+1）1-α- j1-α+ rk+1t、其中RK+1t型≤ 铜t2级-α.另一方面，我们可以应用（9）。具有截断误差的离散加权方案的完整公式如下所示：-广告x+bd2x！（θui+1+（1- θ） ui+1）+2adx+cd！（θui+（1- θ）用户界面）-广告x个-bd2x！（θui-1+ (1 - θ）用户界面-1） =用户界面- ui+（1- θ） Ri+θRi，-广告x+bd2x！（θuki+1+（1- θ）英国+1 I+1）+2 ADx+cd！（θuki+（1- θ）英国+1i）-广告x个-bd2x！（θuki-1+ (1 - θ）英国+1i-1） =bkui- 英国+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1英国-ji+（1- θ） Rk+1i+θRki。（12）这里是k≥ 1，i=1，2，n- 1和（8）中定义的相应初始边界条件。通过卡普托导数的近似和（9），我们得到Rji公司≤ Cji公司tα(t2级-α+ x），其中Cjiare常量（1≤ 我≤ n、 1个≤ j≤ N）。让我们表示Cmax=max1≤我≤n、 1个≤j≤NCji。然后，对于截断错误，它需要Rji公司≤ Cmaxtαt2级-α+ x个.注意，参数θ对上述分析没有影响。3.3.

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mingdashike22

2022-6-24 06:32:38

用冯·诺依曼方法处理加权离散模式的稳定性。对于l=0，1。n，k=0，1。。，N让我们表示ukl=u（xl，tk）-数值格式的精确解，^ukl-ukl的某种近似。省略截断错误和引入后，GEKL=ukl- ^ukl，（12）h的形式为：-广告x+bd2x！θei+1+（1- θ） ei+1+2adx+cd！θei+（1- θ） ei公司-广告x个-bd2x！θei-1+(1 - θ） ei公司-1.= 工程安装- 工程安装，-广告x+bd2x！θeki+1+（1- θ） ek+1i+1+2adx+cd！θeki+（1- θ） ek+1i-广告x个-bd2x！θeki-1+(1 - θ） ek+1i-1.= bkei公司- ek+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1埃克-ji，ek=ekn=0，（13），其中k≥ 1，i=1，2，n- 1、我们引入以下网格函数：ek（x）=ekl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。因为ek=ekn，我们对Ekl进行周期为Y=xmax的周期展开- xmin。那么ek（x）具有以下傅立叶级数展开：ek（x）=∞Xj公司=-∞vkjexp（2 jπxi/Y），其中vkj=YZYek（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、我们定义了标准k·kxas公司埃克x=vutn-1Xj=1x个ekj公司,式中，ek=（ek，ek，…，ekn-1).因为ek=ekn=0，所以它如下埃克x=ZY埃克（x）dx公司=埃克（x）,其中k·k是L[0，Y]。使用Parseval标识，我们可以：埃克x=n-1Xj=1x个ekj公司= Y∞Xj公司=-∞vkj,k=0，1，N、基于上述分析和xl=xmin+lh的事实，我们推断（13）的解的形式为：ekl=vkeiλ（xmin+lh），（14），其中λ=2πlY。代入（13），我们得到：-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θv+（1- θ）五= v- v-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θvk+（1- θ） vk+1=k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv- vk+1，k≥ 1.（15）为了继续，我们必须找到系数bj之间的关系。提案3.1。系数bj=（j+1）1-α- j1-α满足：1。bj>0，j=0，1。2.1=b>b>···>bk3。利姆→∞bk=04。k-1Xj=0（bj- bj+1）+bk=1屋顶：。1.

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大多数88

2022-6-24 06:32:41

bj=（j+1）1-α- j1-α> 0，代表j≥ 0和α∈ (0 , 1).2、对于x≥ 0让我们考虑函数b（x）=（x+1）1-α-x1-α. 注意b′（x）=（1-α）（（x+1）-α-x个-α） <0，因此函数严格递减为x≥ 0.3. 这是（1）和（2）的结果，因为正系数的严格递减序列收敛到0.4。k-1Xj=0（bj- bj+1）+bk=（1）- b） +（b- b） +（b- b） +··+（黑色-1.- bk）+bk=1。现在我们将检查在哪些条件下| vn |≤v对于每个n=1，N、那么埃克≤e, 换句话说，加权方案是稳定的。定理3.2。Letθ∈ [0，1）。如果（i）1- 日志2.-θ1 - θ≤ α、或（ii）1- 日志2.-θ1 - θ> α或θ=1，以及不等式d（θ-(1 - θ）（b）- b）（）4a级x+c+bx！≤ 2c（b- b），（16）成立，则方案（11）稳定。证明：。我们必须证明（14）中定义的vn遵循| vn |≤v对于n=1，2，k、让我们表示ζ=-4 sinλx！+2.-广告x！+2adx+cd- 2ibd2xsin（λx） =正弦λx！4adx+cd- ibdxsin（λx）。让我们观察Reζ=sinλx！4adx+cd>0。这一事实的证明是直接的，因为a、d、c、，x>0。首先，我们将说明这两种状态都暗示b- b- ζθζ(1 - θ)+ 1≤ b- b、（17）让我们假设第一种说法。然后是1- 日志2.-θ1 - θ≤ α等于θ-(1 - θ）（b）- （b）≤ 0θ-(1 - θ）（b）- （b）sinλx！4adx+cd+sin（λx） bd公司x！- 2（b）- b） sinλx！4adx+cd！(θ +(1 - θ）（b）- b））！≤ 0So（b- b） cd光盘-(θ -(1 - θ）（b）- b））（cd）≥ 各0个保留t，x>0。让我们观察一下0≤ 2（b）- b） cd光盘-(θ -(1 - θ）（b）- b））（cd）≤（b）- b） sinλx！4adx+cd！-(θ -(1 - θ）（b）- b））sinλx！4adx+cd！。如下所示：0≤ 2（b）- b）（θ+（1- θ）（b）- b））sinλx！4adx+cd！-θ-(1 - θ）（b）- （b）sinλx！4adx+cd！≤（b）- b）（θ+（1- θ）（b）- b））sinλx！4adx+cd！-θ-(1 - θ）（b）- （b）sinλx！4adx+cd+sin（λx） bd公司x！.请注意，大于0的右侧表达式等效于（17）。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:32:44

假设第二个状态t，（16）等于0≤ 2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ）（b）- b）（）4adx+cd+bd公司x！.让我们观察一下，如果1- 日志2.-θ1 - θ> α或θ=1，然后θ-(1 - θ）（b）- b） >0。So0公司≤ 2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ）（b）- b）（）4adx+cd+bd公司x！≤2cd（b- （b）-(θ -(1 - θ）（b）- b）（）sinλx！4adx+cd+bd公司xsinλx！.与第一个语句类似，可以看出，右侧表达式高于0意味着（17）。我们将遵循数学归纳法，证明对于每个n=1，2，N有| vn |≤v.1、n=1，由identitysinz=-eiz公司- 2+e-iz公司,（15）的第一个等式的形式为-4 sinλx！+2.-广告x+广告x+cd！- 2ibd2xsin（λx）哦·(1 - θ） v+θv= v- v、相当于ζ(1 - θ） v+θv= v- v、（ζ（1- θ） +1）v=（1- ζθ）v.Sov=1.- ζθζ(1 - θ)+ 1v.很容易检查（17）是否暗示1.- ζθζ(1 - θ)+ 1≤ 1，所以v≤v.2、假设| vn |≤v,对于n=1，2，k、为了完成证明，我们必须证明vk+1≤v.根据（15）的第二个方程式，对于k≥ 1我们有：ζ(1 - θ） vk+1+θvk= -vk+1+k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv，相当于VK+1（（1- θ)ζ + 1)= -θζvk+k-1Xn=0（bn- bn+1）vk-n+bkv。所以vk+1|((1 - θ)ζ + 1)| ≤ |（b）- b- θζ)|vk公司+k-1Xn=1（bn- bn+1）vk公司-n+ 黑色v.除以|（1- θ） ζ+1 |我们得到vk+1≤（b）- b- θζ)(1 - θ)ζ + 1vk公司+k-1Pn=1（bn- bn+1）（1- θ)ζ + 1vk公司-n+黑色|（1- θ)ζ + 1|v≤（b）- b- θζ)(1 - θ)ζ + 1v+k-1Xn=1（bn- bn+1）v+ 黑色v≤（b）- （b）v+k-1Xn=1（bn- bn+1）+bkv=v,其中，第二个不等式成立，因为Reζ>0，最后一个不等式成立（17）。因此，我们有vk+1≤v.用数学归纳法完成了证明。

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可人4

2022-6-24 06:32:47

特别地，隐式格式对于每个α都是无条件稳定的∈(0, 1). 类似地，显式和C-Nschemes对于每个α都是条件稳定的∈(0, 1).3.4. 加权离散模式的收敛性us表示ukl=u（xl，tk）-在网格点计算的（6）的精确解，^ukl-数值模式（11）的解。让我们通过Ekl=ukl来确定点（xl，tk）处的误差- ^ukl，l=0，1。n、 k=0，1。。，N、类似地，如（13）所示，我们得到了下面的词干：-广告x+bd2x！θEi+1+（1- θ） Ei+1+2adx+cd！θEi+（1- θ） Ei公司-广告x个-bd2x！θEi-1+(1 - θ） Ei公司-1.= 工程安装- Ei+tαθRi+（1- θ）国际扶轮社,-广告x+bd2x！θEki+1+（1- θ） Ek+1i+1+2adx+cd！θEki+（1- θ） Ek+1i-广告x个-bd2x！θEki-1+(1 - θ） Ek+1i-1.= bkEi公司- Ek+1i+k-1Xj=0北京- 北京+1埃克-冀+tαθRki+（1- θ） Rk+1i,Ei=0，Ek=Ekn=0，（18），其中k=1，N、 i=1，2，n-1和θ∈ [0, 1]. 类似于稳定性的情况，我们将继续使用vonNeumann方法。我们介绍以下网格函数：Ek（x）=Ekl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。Rk（x）=Rkl，x∈xl码-1/2，xl+1/2, l=1，2，n- 1,0，x∈（xmin，xmin+x/2]∪ [X最大值- x/2，x最大]。因为Ek=Ekn，我们用周期Y=xmax对ekl进行周期展开-xmin。那么Ek（x）具有以下傅立叶级数展开：Ek（x）=∞Xj公司=-∞wkjexp（2 jπxi/Y），其中wkj=YZYEk（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、通过分析，因为Rk=Rkn，我们用周期Y对Rkl进行周期ic展开。然后Rk（x）具有以下傅立叶级数展开：Rk（x）=∞Xj公司=-∞rkjexp（2 jπxi/Y），其中rkj=YZYRk（x）exp（2 jπxi/Y）dx，i=√-1，k=0，1。N、我们定义了标准k·kxas公司埃克x=vutn-1Xj=1x个Ekj公司,Rk公司x=vutn-1Xj=1x个Rkj公司,whereEk公司=Ek，Ek，Ekn公司-1.,Rk公司=Rk，Rk。

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kedemingshi

2022-6-24 06:32:50

，Rkn-1..因为Ek=Ekn=0，Rk=Rkn=0，所以存在埃克x=ZY埃克（x）dx公司=埃克（x）LRk公司x=ZYRk（x）dx公司=Rk（x）五十、使用Parseval标识，我们可以：埃克x=n-1Xj=1x个Ekj公司= Y∞Xj公司=-∞wkj公司,Rk公司x=n-1Xj=1x个Rkj公司= Y∞Xj公司=-∞rkj公司,（19）其中k=0，1，N、基于上述分析和xl=xmin+lh的事实，我们假设（）的解的形式为：Ekl=wkeiλ（xmin+lh），Rkl=rkeiλ（xmin+lh），其中λ=2πlY。替换为（）我们得到：-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θw+（1- θ） w=w- w+tαθr+（1- θ） r,-广告x+bd2x！eiλx+adx+cd！-广告x个-bd2x！e-iλx！θwk+（1- θ）周+1=k-1Xn=0（bn- bn+1）周-n+bkw- 周+1+tαθrk+（1- θ） rk+1,（20）其中k=1，N- 让我们登上奥特辛兹=-eiz公司- 2+e-iz公司.然后，考虑到r=0和w=0，（20）具有以下形式ζ(1 - θ） w=-w+tα（1- θ） r，ζ(1 - θ） wk+1+θwk= -周+1+k-1Xn=0（bn- bn+1）周-n+tαθrk+（1- θ） rk+1,（21）其中k=1，N- 1, θ ∈ [0，1]和ζ之前已定义。引理3.1。如果定理3中的条件（i）或（ii）。2满意，工作如下周+1≤最大值（1- θ、 C）黑色tαr.其中k=0，1，N- 1和θ的常数Cis指数，t和x、证明：。因为Rkl=Ot2级-α+ x个, 存在一个正常数C，这样Rkl公司≤ Ct2级-α+ x个.然后Rk公司x个≤ C√Yt2级-α+ x个. （22）第二行（）中rig ht系列的收敛性意味着rk公司=Rkl公司≤ CRl型= Cr.然后根据（21）和命题3.1，我们得到w=(1 - θ)|ζ(1 - θ)+ 1|tαr≤(1 - θ） b类tαr≤最大值（1- θ、 C）btαr.第一个不等式为真，因为Reζ>0。现在让我们假设| wn |≤最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαr,其中n=2，3。

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可人4

2022-6-24 06:32:53

，k和Cis是一个与θ无关的常数，t和x、到（21）时，我们有|（1- θ)ζ + 1|周+1=-ζθwk+k-1Xj=0北京- 北京+1工作时间：-j+tα(1 - θ） rk+1+θrk≤|1.- b- ζθ|工作时间：+k-1Xj=1北京- 北京+1工作时间：-j+ Ctαr≤|1.- b- ζθ|最大值（1- θ、 C）黑色-1+k-1Xj=1北京- 北京+1最大值（1- θ、 C）黑色-1+最大值（1- θ、 C）tαr≤|1.- b- ζθ|+k-1Xj=1北京- 北京+1+ 黑色最大值（1- θ、 C）黑色tαr,除以系数|（1- θ） ζ+1 |，我们得到周+1≤b- b- θζζ(1 - θ)+ 1+k-1Xj=1北京- 北京+1+ bk |ζ（1- θ)+ 1|最大值（1- θ、 C）黑色tαr≤b- b+k-1Xj=1北京- 北京+1+ 黑色最大值（1- θ、 C）黑色tαr=最大值（1- θ、 C）黑色tαr.最后一个不等式在（17）中为真，因为Reζ>0。通过数学归纳法完成了证明。定理3.3。如果满足定理3.2中的条件（i）或（ii），则离散格式（）是收敛的，如下所示ukl公司- ^ukl≤ 最大值（1- θ、 C）Ct2级-α+ x个,对于k=1，2，N、式中，C表示与θ无关的正常数，t和x、证明：。让我们在b观察th-1公里-1公里-α≤ 1/(1 - α），k=1，2，N、引理3.1工作时间：≤最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαr=最大值（1- θ、 C）黑色-1.tαkαk-αr≤最大值（1- θ、 C）1- α(tk）αr≤最大值（1- θ、 C）1- αTαr.类似地，通过（）和（）我们有以下内容：埃克x个≤最大值（1- θ、 C）1- αTαRx个≤最大值（1- θ、 C）1- αTα√Yt2级-α+ x个.取C=Tα后√Y1级- α证明完成。0 0.2 0.4 0.60.1 0.3 0.5-2.-3.-1.-3.5-2.5-1.5-0.50.51.5图2：欧洲买入价格对θ的依赖性。跳转到负区域是区间[0，ˇθα]之外缺乏无条件稳定性的结果。

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何人来此

2022-6-24 06:32:56

参数为n=5000，σ=1，n=140，xma x=10，xmin=-20，T=4，K=1，Z=2，r=0.04，α=0.5。让我们观察一下，这是定理3.3的一个直接结论，即给定α的θ的最佳选择为log2-ˇθα1 -ˇθα!= 1.-α、等效ˇθα=2- 21-α3 - 21-α. 然后，在不失去非条件稳定性/收敛性的情况下，获得了误差的最低界限。在图2中，跳转到负值是误差增大的结果，这是缺乏稳定性的结果。注意，对于隐式格式的经典B-S模型（α=1），该方法具有(x+t），但对于ˉθ=1/2，该方法具有(x+t）收敛阶[15]。类似地，C-N格式仅在α=1时无条件收敛。示例2证实，对于接近1的α，C-N具有最低的数值误差，而不会加快计算时间。如【31】所示，在类似的问题类别中，解在初始时间t=0附近具有弱奇异性。由于这一事实，相对于时间的收敛顺序可以从值2下降- α至α。在我们的例子中，解u在所考虑的域中没有奇点。从u作为期权价格的直接解释可以看出，f或初始时间t=0等于Payoff函数。θ=0的情况是[35]中研究的隐式数值格式。我们的工作证实了以前的结果，并将其推广到其他类型的数值格式中。我们还发现了以下一类分形类型p问题的参数θ的最佳值cDαtu（x，t）=au（x，t）x+bu（x，t）x+cu（x，t），u（x，0）=f（x），u（xmin，t）=p（t），u（xmax，t）=q（t），对于（x，t）∈ X×（0，T）。这里，X=[xmin，xmax]是固定区间，T是时间范围，a，b，c∈ R、 α∈ (0, 1). 我们假设u、q、p、f足够光滑（见[14]和其中的参考文献）。3.5.

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能者818

2022-6-24 06:32:59

数字示例示例1。让我们取参数T=1，Z=1，σ=1，r=0.04，K=2。使用P的事实≈ 对数u（h）- uu（h/2）- u、其中，p是收敛阶，~u（h）是数值格式（11）的解（在固定点计算，类似于a s u），对于等于h的网格长度，我们可以数值检查数值格式的收敛阶（相对于每个变量）。为这两个变量准备的比较代表表1和表2。经验顺序与t和x应接近2- α和2。αh温度阶理论值相对误差0.99 0，01 1，02 1，01 1，39%0.7 2，22×10-31, 32 1, 3 1, 27%0.5 1, 67 × 10-31, 51 1, 5 0, 67%0.3 1, 39 × 10-31, 7 1, 7 0, 21%0.1 1, 25 × 10-31、85、1、9、2、7%表1：关于t表示θ=0，x=0，2，xma x=1，xmin=-1和不同的α。我们将u近似为t=3，85×10-4、函数在点x=-0.01.α经验阶理论值相对误差0.99 1、97 2 1、64%0.7 1、96 2 2、05%0.5 1、95 2 2、3%0.3 1、95 2 2、52%0.1 1、95 2 2 2、71%表2：关于x表示θ=0，t=0，05，xma x=10，xmin=-1和不同的α。为了证明顺序不应依赖于α，在每种情况下，我们取hx=5，5×10-2、我们用▄u近似u，计算如下：t=3，33×10-3和x=1，83×10-函数在x=xma x点进行评估。示例2。让我们考虑σ=1，r=0.04，xmax=10，xmin=-20，T=4，K=2，Z=1。表3和表4显示了欧洲调用的误差和计算时间的比较，这取决于参数θ、n、n。对α=0.999进行模拟s，并将其与等于0.593的B-s公式的结果进行比较。

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nandehutu2022

2022-6-24 06:33:02

θ的最佳选择接近ˋθ=1/2。（n，n）（5000140）（30001000）（500,50）（100,20）（200200）（501300）θ=0.63%0.87%1.74%6.31%0.58%3.17%θ=0.25 0.43%0.59%1.12%4.87%0.44%3.15%θ=0.5 0.23%0.31%0.61%2.04%0.3%3.13%θ=0.6 6 6 6.45×10%5.23×10%68.34%2.58%3.12%θ=0.9 1.06×10%6.13×10%2.09×10%85%1.03×10%3.09%，n和n.（n，n）（5000140）（3000100）（500,50）（100,20）（200200）（501300）θ=0 9.7s 3.9s 0.7s 0.3s 3.6s 112.4sθ=0.25 10.3s 4.3s 0.7s 0.3s 3.6s 110.6sθ=0.5 9.7s 3.9s 0.6s 0.3s 3.6s 110.4sθ=0.6 10.5s 4.8s 0.3s 3.6s 110sθ=0.9 10.2s 4.1s 0.7s 0.4s 3.5s 111稳定4：与表3的运行有限差分法相关的时间。示例3。设u s取参数Z=σ=1，r=0.04，n=1000，n=140，xmax=10，xmin=-20, θ =ˇθα.因为ESα（T）=TαΓ（1-α），对于T>1，欧式看涨期权的价格是α的递增函数（见图4和图5），对于T<1，欧式看涨期权的价格也是α的递减函数。对于T>1，它遵循ourintuition，因为随着α值的减小，底层仪器的动力学常数周期出现得更频繁。这类资产可以被认为更具可预测性，因此其欧洲看涨期权的价值应低于由α值较高驱动的工具的相同期权。欧洲看涨期权对T和α的依赖性如图3所示。在图5中，我们将有限差分法（FD）与文献[20]中介绍的蒙特卡罗法（MC）进行了比较。MC围绕FD输出振荡。这两种方法都很有效，可以用来计算欧式期权的价格。0.20.40.60.80.20.40.60.10.30.50.7图3：欧洲买入价格对T和α的依赖性。

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mingdashike22

2022-6-24 06:33:06

参数T=1是函数的反射点。0 102 4 6 81 3 5 7 90.20.40.60.80.10.30.50.70.9图4：T=4.0 10.2 0.4 0.6 0.80.1 0.3 0.5 0.7 0.90.20.40.60.30.50.150.250.450.55蒙特卡洛菲涅特差异的欧洲看涨期权价格图5：T=4的欧洲看涨期权价格依赖于α。对于M=800次重复，将引入的F D方法与[20]中解释的MC方法进行比较。随着MC结果的增加，M将接近FD输出。走向K=2.4。本文总结：–我们已经证明分数B-S方程的解等于次级B-S模型中关于Q的欧式期权的公平价格我们为该方程引入了加权数值格式。它使我们能够近似计算出次级B-S模型中欧洲看涨期权的公平价格我们给出了discr e te格式稳定收敛的条件我们发现离散化参数θ的最佳选择依赖于次扩散参数α。这种数值格式是无条件稳定的，非条件收敛的，数值误差最小我们给出了一些数值例子来说明所介绍的理论。我们相信，本文提出的数值方法可以成功地重复用于其他分馏扩散类型的问题。确认M.M.的研究部分得到了NCN-DFG贝多芬第2016/23/G/ST 1/04083号拨款的支持。参考文献[1]Barles G，Soner HM（1998）具有交易成本的期权定价和非线性Black-Scholes方程。金融与随机2（4）：369–[2]Bj¨ork T，Hult H（2005）关于wick乘积和分数Black-Scholes模型的说明。金融与随机9（2）：197–209【3】Black F，Scholes M（1973）《期权定价与公司负债》。

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能者818

2022-6-24 06:33:09

《政治经济学杂志》81（3）：637–654【4】Borak S，Misiorek A，Weron R（2011）重尾资产收益模型。In：金融和保险统计工具，Springer，第21–55页[5]Cao J，Li C，Chen Y（2015）Caputo导数和Caputo型平流扩散方程的高阶近似（ii）。分馏计算与应用分析18（3）：735–761【6】Carr P，Wu L（2003）《有限时刻对数稳定过程与期权定价》。《金融杂志》58（2）：753–777【7】Cont R，Tankov P（2004）《带跳跃过程的金融建模》，查普曼和霍尔/crc金融。Math Ser【8】Davis MH，Panas VG，Zariphopoulou T（1993），《带交易成本的欧式期权定价》。《暹罗控制与优化杂志》31（2）：470–493【9】Gao GH，Sun ZZ，Zhang HW（2014）一个新的分数阶数值微分公式，用于近似caputo分数阶导数及其应用。《计算物理杂志》259:33–50【10】Gu H，Liang JR，Zhang YX（2012）关于时变几何布朗运动及其在金融市场中的应用。《物理学学报》B辑《基本粒子物理学》43（8）：1667[11]郭Z，袁H（2014）时变混合布朗分数布朗模型下的欧式期权定价。Physica A：统计力学及其应用406:73–79【12】Hull J，White A（1987年），《具有随机波动性资产的期权定价》。《金融杂志》42（2）：281–300【13】Janczura J，Wyloma'nska A（2009）《分数福克-普朗克方程金融数据的子动力学》。《物理学报》B40（5）：1341–1351【14】Kemppainen J（2011）时间分数阶微分方程解的存在性和唯一性。分数阶微积分与应用分析14（3）：411–417【15】Krzyzanowski G（2018）选择微分方程在普通期权估价中的应用。

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mingdashike22

2022-6-24 06:33:12

Mathematica Applicanda 46（2）[16]Krzyzanowski G，Mordecki E，Sosa A（2019）零利率黑皮肤玩具模型。arXiv预印本arXiv:190804401【17】Liang JR，Wang J，Zhang WJ，Qiu WY，Ren FY（2010）具有Hurstexponent H的双分数Black–Merton–Scholes模型的期权定价【12，1】。《应用数学快报》23（8）：859–863【18】Lin Y，Xu C（2007）时间分数微分方程的有限差分/谱近似。《计算物理杂志》225（2）：1533–1552【19】Luo WH，Li C，Huang TZ，Gu XM，Wu GC（2018）caputo导数的高阶精确数值格式及其在分数差分问题中的应用。数值函数分析与优化39（5）：600–622【20】Magdziarz M（2009）次扩散区的Black-Scholes公式。《统计物理杂志》136（3）：553–564【21】Magdziarz M，Gajda J（2012）《逆从属函数改变的Black-Scholes模型时间的异常动力学》。《PolonicaB物理学报》43（5）[22]Meerschaert MM，Sikorskii A（2011）《分数阶微积分随机模型》，第43卷。Walter de Gruyter【23】Merton RC（1974）《公司债务定价：利率风险结构》。《金融杂志》29（2）：449–470【24】Merton RC（1976年）《基础股票收益不连续时的期权定价》。《金融经济学杂志》第3期（1-2）：125–144【25】Merton RC，et al.（1973）《理性期权定价理论》。《估价理论》第229–288页【26】Musiela M，Rutkowski M（1995）《金融建模中的鞅方法》，1997年。随机建模和应用概率36【27】OrzelS，Weron A（2010）对次级Black-Scholes模型的校准。《物理学报》Pol B 41（5）：1051–1059【28】Podlubny I（1998）《分数阶微分方程：分数阶导数、分数阶微分方程、解的方法及其应用简介》。

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mingdashike22

2022-6-24 06:33:15

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