设G（x，x），（x，x）∈ Rbe如（27）所示，Lt表示Tt的拉普拉斯变换。那么Mτ的特征函数如下所示，ΦMτ（z，z）=e-τzLτ(-（z）-z） ）。（29）此外，G（x，x）的广义傅立叶变换表示为^G（λ，λ），表示为^G（λ，λ）=-γλλΦMτ（λγ+λγ）-γλλΦMτ（λγ+λγ-iγ），（30），其中Imλ，Imλ>0。特别是，如果ρt=ρ是常数，则Lt（z）=exp（1+ρtz）和^G（λ，λ）可从（29）和（30）中获得。给定命题4.1，可以通过反演公式和数值方法计算函数G（x，x；γ，γ，γ，γ），然后从（28）中得出彩虹期权的价格。备注4.1。对于无法像以前那样表示收益的一般情况，建议4.1不可用。但我们仍然可以将傅里叶变换方法直接应用于定价泛函。对于给定参数（S，τ，r，σ，σ），将期权收益改写为V（y+Bτ，y+Wτ），其中yi=（rσi-σi）τ，i=1，2。用f（b，w）表示Q下bτ和wτ的联合概率密度，那么V（y+bτ，y+wτ）的价格isC（y，y）=Z∞-∞Z∞-∞V（y+b，y+w）f（b，w）dbdw。根据Leentvaar和Oosterlee（2008），C（y，y）的傅里叶变换为^C（λ，λ）=Z∞-∞Z∞-∞Z∞-∞Z∞-∞eiλy+iλyV（y+b，y+w）f（b，w）dbdwdydy=^V（λ，λ）方程-iλBτ-iλWτi，其中^V表示V的傅里叶变换。通常，^V没有显式表达式，因此通常通过数值计算。当B和W的相关系数为常数时，公式e-iλBτ-iλWτ可以显式计算，公式-iλBτ-iλWτi=exp-(λ+ λ+ 2ρλλ)τ.在这种情况下，Leentvaar和Oosterlee（2008）提出了一种计算^V的数值方法。当B和W的相关系数不是常数时，我们仍然可以通过公共分解使用Leentvaar和Oosterlee（2008）中的类似方法。

继续使用之前的概念，我们有-iλBτ-iλWτi=ΦMτ(-λ-λ, -λ+λ）=e-(λ-λ） τLτ(-2λλ).因此，^C（λ，λ）=^V（λ，λ）e-(λ-λ） τLτ(-2λλ). （31）因此，当TTI的拉普拉斯变换LTO已知时，可通过傅立叶逆变换公式获得价格。在前面的讨论中，我们考虑了如何计算彩虹期权的价格。实际上，按照命题4.1中概述的类似方法，我们可以给出计算希腊语的傅立叶变换方法。下一个推论给出了这方面的一个例子。推论4.1。考虑表4所列最大买入期权的稳定部队增量，其表示为（S） 。经过计算，我们有（S） =秒Gx（k，k；a，b，θ，c，c）+Gx（k，k；a，b，θ，c，c）-Gx（k，-ka、 b，θ，c，-c）+ e（r-σ)τGγ（k，k；a，b，θ，c，c）：=g（k，k）+g（k，-k） ，其中g（k，k）=S(Gx个+Gx） +e（r-σ)τGγ!（k，k；a，b，θ，c，c），g（k，-k）=-SGx！（k，-ka、 b，θ，c，-c） 。ghas的Fourier变换是一个显式表达式asiaS（λ+λ）ΦMτ（λc+λc）+（ibSλ-e（r-σ） τλ）ΦMτ（λc+λc- iθ）和gis的傅里叶变换表达式-iaSλΦMτ（λc-λc）-ibSλΦMτ（λc-λc- iθ）。（S） 可以通过傅里叶逆变换公式得到。其他希腊人也可以按照同样的程序推导出来。从本节前面的内容中，我们知道，由于采用了常见的分解方法，为了计算彩虹期权的价格和价格，我们只需要找出Tt的拉普拉斯变换。我们在以下示例中考虑了TTI的一些特定模型，以给读者提供更直观的见解。示例4.3。考虑例3.1中给出的状态切换模型，由Buf fington和Elliott（2002）中的引理A.1得出，TtisLt（z）=Ezettt=1>e（A+zdiagα）tQ的拉普拉斯变换，其中diagα=α0 ··· 00 α··· 0............0 0···αn, A=（aij）n×nis Qt的发生器。然后，通过命题4.1，我们可以从Lt（z）得到期权价格。

例如，如果选项样式为调用最大值，则^G（λ，λ；a，b，θ，c，c）=Kλλe-(λσ-λσ）τ>e（A-2λλσσdiagα）τQ-Sλλe（r-σ-（λσ+iσ-λσ）τ>e（A-2（λ+i）λσσdiagα）τQ。在下一个例子中，{Tt}t≥0通过一些随机过程的有界函数和PDE给出的TTI的拉普拉斯变换进行特定建模。示例4.4。假设f是一个值为（0，1）的有界函数，而ν是一个满足以下条件的扩散过程：νt=u（t，νt）dt+σ（t，νt）dZt，其中{Zt}t≥0是布朗运动，u（t，x），σ（t，x）是确定函数，因此SDE具有唯一解。设Tt=Rtf（νs）ds。利用费曼-卡克公式，给出了Tt的拉普拉斯变换-对于条件νs下的固定t，用L（s，νs；t，z）表示，满足以下PDE：Ls+u（t，ν）Lν+σ（t，ν）Lν+z f（ν）L=0，（32），终端条件L（t，νt；t，z）=1。（32）的解与Sturm-Liouville问题有关，详情请参见Polyanin（2002）1.8.6.5和1.8.9。特别是，Teng等人（2016a）考虑的随机相关模型等效于特例f（x）=1+tanh（x）。Ma（2009a）中讨论的模型等价于f（x）=1+x，ν是有界的Jacobi过程dνt=κ（θ-νt）dt+σνq（h- νt）（νt-l） dZt。当k（θ）为有界Jacobi过程时，其边界为[l，h]- l） >σν（h- l） ，κ（h- θ） >σν（h- l） 。有时，金融衍生品不存在封闭形式的解，所以需要蒙特卡罗方法。通过公共分解的模拟方法已在第3.5节数值结果中进行了说明。在研究两个资产衍生品定价问题的文献中，模型由两个布朗运动B和W驱动，通常使用的假设是B和W的局部相关性为常数，即对于某些ρ∈ [-1, 1]. 然而，正如我们之前提到的，这一假设与实证研究不一致。

例如，根据来自世界各地不同市场的数据，Chiang等人（2007）、Syllignakis和Kouretas（2011）以及Junior和Franca（2012）都发现相关系数随时间而变化，经济形势也随之变化。然后很自然地会问，当实际的相关系数是动态和随机的时，如果我们仍然应用常数相关模型，它会对定价误差产生多大的影响？在这一部分中，我们以双色彩虹选项的价格为例。我们通过数值实验研究了在恒定相关性和动态相关性下期权价格的差异，并试图总结出这种差异是可忽略的还是不可忽略的。由于我们关注的是基础资产的相关性，为了简单起见，我们假设除局部相关性外，基础资产的所有系数都是常数。因此，假设基础价格满足（在风险中性概率下）dStSt=rdt+σdBt，dStSt=rdt+σdWt。对于（B，W）的依赖结构，我们在本节中应用了实施例3.1和实施例4.3中介绍的区域切换模型。假设市场具有由有限状态空间马尔可夫过程{Qt}t描述的三种不同状态≥0具有初始值Qa和转移率矩阵a。因此，B和W的局部相关过程如下，ρt=2α>Qt-注意，d[对数S，对数S]t/dtσσ=ρt，因此α∈ （0，1）表示对数价格局部相关系数的切换状态。例如，如果α=[0.3，0.6，0.9]>，则在任何时间t，ρt在-0.4、0.2和0.8（根据市场条件）。在本节的其余部分，除非另有规定，否则参数如下，r=0.05，S=100，S=120，σ=0.2，σ=0.3A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1..

（33）考虑第4.3节中的双色彩虹期权，注意，在上述模型下，如果ρ被视为一个常数，期权价格可以如Stulz（1982）所述以闭合形式给出。而对于制度转换ρ的实际情况，我们可以应用命题4.1来推导真实价格。按照命题4.1中的符号，通过反演傅立叶公式，我们得到g（x，x）=Z∞+iλi-∞+iλiZ∞+iλ1i-∞+iλ1ie-iλx-iλx^G（λ，λ）dλdλ，（34），其中λi，λ1表示λ和λ的虚部。由于^G（λ，λ）仅适用于严格正虚的λ，λ，我们在接下来的数值实验中选择λ1i=λi=1。注意，（34）对于任何λ1i，λi>0仍然有效。我们近似（34）byG（x，x）≈N∑j=-NN型∑k级=-Neλ1ix+λix-i（jηx+kηx）^G（jη+iλ1i，kη+iλi）ηη，其中我们设置N=N=1000，η=η=0.1。假设期权的合同期限为τ=0.25，行权为K=90。设α=[0.6，0.6，0.6]>，则体制转换模型退化为常数相关模型。我们验证了这组参数足够准确，从Stulz（1982）和命题4.1获得的期权价格差异小于-在下一小节中，我们将Stulz（1982）中常数ρ模型得出的期权价格与（28）中制度转换ρ模型给出的价格进行比较。由于我们假设政权更迭的情况是实际的，后者可以被视为“真实”价格。因此，比较结果将表明，当我们用一个常数代替原来的非常数ρ时，定价误差会有多大。为清楚起见，我们在理想情况下进行比较，即投资者完全了解除ρ以外的其他系数。5.1彩虹期权定价的数值实验在第5.1.1节中，我们从理论上比较了常数相关模型和动态相关模型。

我们假设投资者根据观察到的股票价格历史估计ρ。本节的数值结果表明，两种模型的价格可能存在较大差异。在第5.1.2节中，我们采用了一种实证方法，可以观察到无风险利率r，并且可以从普通期权中精确校准σ、σ。更接近实际程序的方法。我们假设投资者根据观察到的期权价格（根据制度转换模型计算）校准常数相关模型。然后使用校准模型进行定价。结果表明，使用常相关模型会产生较大的定价误差，尤其是对于资金不足的期权。这与Costin等人（2016）关于CDS期权的结果一致。5.1.1彩虹期权定价中常数和非常数相关性的数值分析在本节中，我们根据制度转换模型给出的历史数据估计常数相关系数ρ，然后计算由此ρ得出的期权价格。通过将这些期权价格与直接从制度转换模型得出的期权价格进行比较，我们可以大致了解在实际相关系数是动态和随机的情况下，应用常数相关模型时会产生的误差。为了结果的稳健性，我们考虑了不同情况下不同向量αs的比较。由于我们假设可以精确获得所有其他参数，投资者实际上可以通过观察标的资产的价格来获得（B，W）的数据。假设投资者已获得这些长期且频率相对较高的历史数据，如（Bti，Wti），i=0，1，n、 其中0=t<t<···<tn=t。

根据定义，基于截至时间t的数据估计的常数相关性为^ρ，∑n-1i=0Bti公司Wtit。注意，设置t=最大{ti+1-ti | i=0，n} ，我们有∑n-1i=0Bti公司WtitP---→t型→0[B，W]tt=tt-Stt=tZt（2α- 1） >Qsds，并根据马尔可夫过程的遍历定理，limt→∞tZtQsds=π，其中π表示马尔可夫过程Qt的平稳分布。因此，只要我们假设这些数据是长期的，且频率相对较高，我们总是会得出^ρ≈tZt（2α- 1） >QSD≈ 2α>π -1.（35）在这种情况下，无论相关系数随时间的变化有多剧烈，投资者可能会从长期历史数据中得到类似的估计。因此，根据这些估计计算出的期权价格可能与“真实”价格有很大偏差。我们将通过定义为相对误差=具有常数ρ的价格的相对误差来显示这些价格的偏差-制度转换价格ρ制度转换价格ρ。（36）我们在备注2.2中说明，直接将历史数据中的估计^ρ应用于期权定价是可行的。注意，平稳分布π满足以下方程A>π=0，π1>=1，其中A表示Q的发生器。在我们的数值实验中，A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1., 然后π=[0.2636，0.4273，0.3091]>。在数值实验中，对于每种情况，我们模拟（B，W）的路径以呈现历史数据，其中我们选择t=20和ti=0.05，i、 为了进行一致性比较，我们随机选择5个不同的α，它们都满足条件2α>π-1 = 0.2. 也就是说，根据（35），根据估计系数计算的期权价格是相似的，因为在所有情况下^ρ≈ 0.2.

相反，我们将看到，从原始模型计算出的价格彼此相差很大。我们在表5中列出了数值结果，其中第二列显示了根据原始制度转换模型计算的“真实”价格，第三列显示了根据“历史数据”估计的^ρ，第四列显示了通过具有^ρ的常数相关模型获得的价格，而最后一列显示了如（36）所定义的相对误差。表5：具有所有历史数据的期权定价α真实价格ρ相对误差ρ价格[0.7665，0.7551，0.2436]>37.2642 0.2377 35.2623-5.37%[0.8068，0.8772，0.0404]>38.2361 0.2103 35.3671-7.50%[0.6824，0.6178，0.5051]>35.9230 0.2436 35.2398-1.90%[0.5559，0.4063，0.9054]>33.8134 0.1911 35.4403 4.81%[0.6，0.6，0.6]>35.4064 0.2177 35.3388 0.19%.从表5可以明显看出使用从历史数据中验证的常数相关系数时，可能会出现较大的定价错误。在这个数字示例中，虽然假设所有其他系数都是零误差，但定价的相对误差可能会上升到不可接受的水平。几乎可以肯定，这些高误差是由^ρs代替真实动态随机ρs引起的。作为验证，我们考虑α=[0.6，0.6，0.6]>的情况，其中状态转换模型退化为常数相关模型。结果显示在表的最后一行。我们可以看到，只有一个很小的相对误差，即0.19%，这是技术误差，而不是将常数相关性替换为动态相关性。更具体地说，我们可以看到，在所有情况下，估计的^ρs约为0.2，因此产生的期权价格约为35.3，而实际价格从高达38.2到低至33.8。

如果投资者应用常数相关模型对这些期权进行估值，并将这些价格作为其投资的指导，将出现巨大的意外损失。5.1.2根据动态相关性模型给出的数据校准常数相关性模型在本节中，我们通过更实际的方式研究了常数相关性模型和动态随机相关性模型下期权价格之间的差异。首先，在实践中，在考虑衍生品定价时，投资者通常不使用根据历史数据估计的系数。更常见的是，他们观察一类衍生品的市场价格，并根据观察到的价格校准理论模型。在我们的案例中，“市场价格”应该由制度转换模型给出，而投资者持有的“理论模型”应该是常数相关模型。“理论模型的校准”减少为“确定最佳ρ以适应市场价格”，因为这被认为是理论模型的唯一未知参数。另一方面，就像“隐含波动率”的概念一样，每个观察到的期权价格都可以推导出一个“隐含相关性”，即ρimp。ρimp随罢工的变化也可以表明常数相关模型给出的期权价格与基于动态相关性的实际价格之间的偏差。数值模拟按照以下步骤进行。首先，我们给出了到期日τ=0.25，罢工K=80，90，…，的期权价格，140在区域切换模型下采用傅立叶变换方法。

这些将在我们的数值实验中扮演“初始市场数据”的角色。然后基于这些数据，我们将常数相关模型校准到合适的ρ。这是通过梯度下降法最小化以下累积平方误差函数来实现的，L（ρ）=∑n价格常数（ρ）- 价格动态.然后，将校准的相关系数应用于K=82、84、…、的期权定价的常数相关模型，88, 92, 94, . . . , 98, . . . , 132, 134, . . . , 138、所得价格将与体制转换模型下的价格进行比较。为了查看隐含相关性的变化，我们将Da Fonseca et al.（2007）给出的ρimp定义（满足价格=价格常数（ρimp）），应用于更具冲击K=80、82、84等的制度转换模型给出的价格，140.在下文中，我们对最小看涨期权、最大看涨期权、最大看涨期权和最小看涨期权的定价程序进行了校准，考虑了它们的相对误差，如（36）所述，并分别计算了隐含相关性。结果如图3-6所示。在每个图中，虚线将曲线分为两部分，即货币外情况（在图中，左边部分表示看跌期权，右边部分表示看涨期权）和货币内情况。接口在钱箱处。（a） 相对误差（校准ρ=-0.3190）（b）隐含相关性图3：Q=[1，0，0]>，α=[0.3，0.6，0.9]>的最小看涨期权在第一次尝试时，我们选择参数Q=[1，0，0]>和α=[0.3，0.6，0.9]>来生成制度转换模型。立即观察到的是，最大看跌期权和最小看涨期权的价格存在巨大误差。相对误差达到70%以上，如图3（a）和图5（a）所示。而对于Call-onMax选项，相对误差不超过0.1%，如图4（a）所示。

此外，由于相对误差始终低于0.5%的水平，因此其图在此省略，因此，对于穿戴式Minoption来说也很小。和以前一样，所有其他系数都应该被准确地知道。初始值取ρ=0。步长设置为| 0.01/L（0）|，其中lde表示L的一阶导数。当| L（ρ）|小于10时，梯度下降法终止-4.（a）相对误差（校准ρ=-0.3190）（b）隐含相关性图4：Q=[1，0，0]>，ω=[0.3，0.6，0.9]>（a）相对误差（校准ρ=-0.3177）（b）隐含相关性图5：使用Q=[1，0，0]>，α=[0.3，0.6，0.9]>（a）相对误差（校准ρ=0.4940）（b）隐含相关性图6：使用Q=[0.2，0，0.8]>，α=[0.3，0.6，0.95]>的最小选项，以查看这是否是一个共同属性，我们将初始制度转换模型更改为一个新模型，参数Q=[0.2，0，0.8]>和α=[0.3，0.6，0.95]>，并重复校准定价过程。对于Callon Max、Call on Min和Put on Max，结果与前面的一组参数非常相似，我们省略了这些参数。但对于Put-on-Min，结果与前一个不同，如图6所示，对于现金外期权，相对误差可能超过10%，这也是不容忽视的。另一方面，对于隐含相关性，我们可以在图3（b）-6（b）中看到，对于非货币情况，隐含相关性总是变化剧烈，而对于货币情况，隐含相关性变化轻微，这与校准ρ相似。对于最大期权的看涨期权，虽然只有很小的定价错误，但隐含的相关性会随着不同的击数发生很大的变化。图7再次研究了最大认沽期权，到期日视为τ=0.5。

与图5相比，我们可以在图7中发现，校准误差较小，隐含相关性变化较小。但它们的主要特征相似，这意味着成熟度对我们的发现几乎没有影响。我们将在下一节第5.2节中对4种彩虹选项的不同性能进行合理解释。此外，我们还将解释为什么校准后的期权价格在货币期权和货币期权中表现良好，但在货币期权之外表现糟糕，以及为什么Callon Max似乎与其他期权不同。5.2误差分析本部分进一步分析了由于将基础原木价格的动态随机相关性设定为常数而产生的定价误差。该分析是从理论角度进行的，但借助于数值模拟。通过这一分析，我们试图解释第5.1节中发现的现象。现在我们考虑收益为V（Sτ，Sτ，τ，K）的期权，然后期权的价格为-rτV（Sτ，Sτ，τ，K）i=等式-rτVSe（r-σ） τ+σBτ，Se（r-σ） τ+σWτ，τ，Ki、 注意，以前的数值模拟中考虑的所有收益都是这样的（a）相对误差（校准ρ=-0.2431）（b）隐含相关性图7：推出τ=0.5的最大期权，其中Q表示风险中性概率度量。当局部相关过程为常数ρ时，因为（Bτ，Wτ）~ N(0, 0), τ1 ρρ 1, 期权价格是ρ的函数，ρ在下文中表示为价格C（ρ）。对于ρ为随机过程的更一般情况，我们首先回顾平均相关系数ρt=tRtρudu这一术语，通过公共分解，可以将其重写为ρt=Tt-Stt。

（37）因为在FTτ的条件下，（Bτ，Wτ）=（XTτ+YSτ，XTτ- YSτ）~ N(0, 0), τρτρτ, 在常数ρ情况下的讨论之后，期权价格（以定价表示）等于定价=EQhEQ[e-rτV（Sτ，Sτ，τ，K）| FTτ]i=等式[价格（(R)ρτ）]。如果价格是ρ的一个函数，即。， a、 b类∈ R、 价格C（ρ）=aρ+b，我们已经定价=等式[价格C（(R)ρτ）]=等式[价格a¨ρτ+b]=价格C（等式[(R)ρτ]）。（38）换言之，当常数ρ模型下的期权价格在ρ中呈线性时，一般动态相关模型下的价格与常数相关系数EQ[(R)ρτ]下的价格完全相同。否则，对于一般的Pricec，通过泰勒展开，我们可以得到以下近似公式，Priced=EQ[Pricec（(R)ρτ）]≈ 价格C（等式[°ρτ]）+VarQ（°ρτ）价格Cρ（等式[(R)ρτ]）。（39）（38）和（39）表明，常数相关模型和动态相关模型之间定价误差的主要原因是Pricec（ρ）的非线性特性。接下来，基于上述分析，我们试图探索第5.1.1节中定价错误较大的原因以及第5.1.2节中发现的两种现象：（i）在应用常数相关模型时，货币期权的定价错误似乎更为显著；（ii）最大看涨期权的定价错误似乎比其他类型的期权都要小。我们首先考虑价格C（ρ）和ρ之间的关系，即最大认沽期权的货币内、货币内和货币外情况。示例5.1。

选择参数r=0.05、τ=0.25、S=100、S=120、σ=0.2、σ=0.3，我们绘制了Strike=150（货币内）、Strike=120（货币内）和Strike=90（货币外）时的价格C（ρ）图，并在图8中列出。（a） Strike=150（b）Strike=120（c）Strike=90图8：在常数相关模型中设定最大期权价格示例5.1表明，对于货币和货币情况，价格c（ρ）与ρ呈强线性关系，除非ρ接近1。但对于缺钱的情况来说，这是非常非线性的。对于最大看涨期权、最小看涨期权、最小看涨期权和最大看涨期权，我们用不同的参数进行了相似的图解，得到了相似的结果。回想一下近似值（38）和（39），上述结果解释了为什么恒量相关模型在货币期权和货币期权方面总体表现良好，但在货币期权方面表现不佳。我们可以在图3（b）、4（b）、5（b）、6（b）、7（b）和表6中发现，当罢工发生在货币中且发生在货币中时，每个期权的隐含相关性非常接近于E′ρτ；相反，当strike缺钱时，隐含的相关性会急剧变化，并且远离E′ρτ。

这与前面的结论是一致的。表6：预计ρττ=0.25τ=0.5α=[0.3，0.6，0.9]，Q=[1，0，0]-0.3177-0.2488α=[0.3，0.6，0.95]，Q=[0.2，0，0.8]0.5784 0.5298对比第5.1.1节中的数值实验和表6中的数据，我们发现历史局部相关系数和未来相关系数的预期之间存在很大差异，这解释了第5.1.1节中的定价错误。现在，我们转向最大看涨期权，其在第5.1.2节中的校准性能似乎与其他模型有很大不同，即校准后的常数相关模型始终表现良好，即使是在资金不足的情况下。图9：K=130，τ=0.25的常数相关模型中的最大看涨期权价格。请注意，如前所述，我们已经获得了此类选项的图表，这些图表与其他选项具有类似的线性或非线性形状，我们没有将其包含在正文中。一个有趣的问题是，既然缺钱情况下价格c（ρ）的形状看起来明显是非线性的，为什么它仍然很接近真实价格？除τ=0.25外，我们选择了与之前相同的参数，并在图9中绘制了最大看涨期权的价格（ρ）图，在罢工=130的情况下（不含现金）。该图看起来仍然很非线性，但值得注意的是，在图9中，价格c（ρ）只是从3.97变化到3.995。换言之，当ρ在其全范围内变化时，价格仅变化约0.6%，这意味着对于看涨期权，基础资产之间的相关性对期权价格的影响很小，几乎可以忽略不计。相反，考虑从期权价格校准ρ，价格的微小偏差可能会导致隐含ρ的巨大变化。

这一结果一方面解释了最大看涨期权的隐含相关性波动的原因，但校准后的常数相关性模型始终表现良好，另一方面表明，当数据来自最大看涨期权的现金外看涨期权时，相关系数校准可能不合适，因为隐含相关性对价格过于敏感。6证明6.1准备工作首先，我们给出一些引理作为准备。第6.2节中经常使用的下列引理给出了一种特殊的随机过程是鞅的充分条件。引理6.1。假设{Mt}t≥0是关于{Ft}t的连续局部鞅≥如果{φt}t≥0是一个F-ProgressiveLymeasured过程，因此E经验值Ztφud【M】u< ∞, t型≥ 0，（40）thenZt，expZtφudMu-Ztφud【M】u, t型≥ 0是关于F.Proof的鞅。第一个注意事项EZtφud【M】u< E经验值Ztφud【M】u< ∞, t型≥ 0，因此φudMu，t型≥ 0定义良好。根据It^o引理，{Zt}t≥0显然是一个局部鞅。因此，有一系列的停止时间{τn}n≥1满足τ<τ<···<τn<···，limn→∞τn=∞ 安兹特，Zt∧τn，t型≥ 0是鞅。因此，E[Znt | Fs]=Zns，t型≥ s、 观察Zn，n≥ 1始终为正，则为[Zt | Fs]≤ Zs，t型≥ s根据Fatou引理，即Z是一个超鞅。根据（40）和Karatzas and Shreve（2012）[第3章，命题5.12]，我们得到e[Zt]=1，t型≥ 0，这意味着Z是一个鞅。在继续之前，我们首先介绍条件（E）如下：（E）对于任何FT渐进可测过程{φt}t≥0和{φt}t≥0担保对象经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞, （41）我们有经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu英尺∞= 经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu.接下来，我们通过Emma 6.2建立了条件（E）与X、Y和T的独立性之间的等价关系。

然后在第6.2节中，我们通过条件（E）完成定理2.2和命题2.1的证明。此外，引理6.2还给出了X、Y和T独立的另外两个必要条件，分别用于推论3.1和定理2.2的证明。引理6.2。假设（Xt，Yt）t≥0是二维标准布朗运动和{Tt}t≥0，{St}t≥0是Tt+St=t的两个递增进程，t型≥ 如果X，Y和T相互独立，那么我们有以下结果：（i）条件（E）成立；（ii）FXT∞⊥ FYSt | FXTt和FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt；（iii）{XTt}t≥0和{YSt}t≥0是关于{FB，WtWFT的鞅∞}t型≥此外，如果（X，Y，T）是公共分解的三元组，即定理2.1中的条件成立，则陈述（i）也足以证明X，Y和T的独立性。我们首先证明陈述（i）、（ii）和（iii）。（i） 设τ和为（4）中定义的T和S的倒数，φ、φ为任何逐步可测量的过程（41）。定义Φua和Φuas如下，Φu，Φτu{u≤T∞}, Φu，φu{u≤S∞}.ThenZ公司∞（Φu）du=ZT∞（φτu）du=Z∞（φu）dTu，Z∞（Φu）du=ZS∞（φu）du=Z∞（φu）dSu，（42）和by（41），EZ∞（Φu）du+Z∞（Φu）du=EZ∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu≤E经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞.亨瑟∞ΦudXuandR∞ΦudYuare定义良好，Z∞ΦudXu=ZT∞φτudXu=Z∞φudXTu，Z∞ΦudYu=ZS∞φudYu=Z∞φudYSu。（43）观察X和Y是关于{FXtWFYtWFT]的鞅∞}t型≥0通过X、Y、T和E exp的独立性R∞（Φu）du+R∞（Φu）du< ∞ 根据（41）和（42），引理6.1，经验值ZtΦudXu+ZtΦudYu-Zt（Φu）du-Zt（Φu）dut型≥0是鞅。随后的碱液经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu-Z∞（Φu）du-Z∞（Φu）du英尺∞= 1.

（44）将（42）和（43）替换为（44），我们有经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu-Z∞（φu）dTu-Z∞（φu）dSu英尺∞= 1、注意expR∞（φu）dTu+R∞（φu）dSu可通过FT测量∞, 期望的结果立即成立。（ii）首先注意，当X、Y、T独立时，根据前一个结果，条件（E）为真。作为条件（E）的直接结果，fxtt和fysti是条件独立的给定FTt，t型∈ [0, +∞]. 因此，对于第一个可测随机变量η，E[η| FXTtWFTt]=E[η| FTt]。此外，根据真相FTt FXTt，t型∈ [0, +∞] , 我们有E[η| FTt]=E[η| FXTt]，t型∈ [0, +∞]. （45）证明本部分的结果，即FYStand FXT∞如果给定FXTt，条件独立，则足以证明对于满足（41）的任何FT渐进可测量过程φ，以下等式成立经验值ZtφudYSuFXT公司∞= E经验值ZtφudYSuFXTt公司.按（45），E经验值ZtφudYSuFXT公司∞= E经验值ZtφudYSu英尺∞= 经验值Zt（φu）dSu.其中第二个等式直接来自条件（E）。自exp起Rt（φu）dSu∈ FTt，再次应用（45），我们有经验值ZtφudYSuFXTt公司=E经验值ZtφudYSuFTt公司= 经验值Zt（φu）dSu=E经验值ZtφudYSuFXT公司∞,这是理想的结论。通过类似的证明，我们得到了FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt公司。（iii）给定英尺∞, 对于任何n，m∈ N和0≤ t型≤ ··· ≤ 田纳西州≤ t、 0个≤ s≤ ··· ≤ sm≤ t、 我们可以得到XTu+t的特征函数- 根据条件（E）分别用一些特殊φ和φ表示XTt，{XTt，…，XTtn}和{YSs，…，YSsm}。此外，条件（E）还给出了它们的联合特征函数，这意味着XTu+t的相互独立性- XTt，{XTt，…，XTtn}和{YSs，…，YSsm}。根据为ti选择的任意值，1≤ 我≤ n和sj，1≤ j≤ m、 我们有XTu+t- XTt、FXT和FYStare相互独立。因此，EhXTu+t- XTt | FXTt\\U FYSt\\U FT∞i=EHXt+t- XTt |英尺∞i=0。观察FXTtWFYSt=FB，W，因此xtt是一个带有FB，WtWFT的鞅∞.

YS也有相同的参数。下面，我们证明，如果定理2.1中的条件成立，那么条件（E）是X、Y和T独立的充分条件n、 m级∈ N、 0=t<t<···<tn，0=s<s<···<sm，我们认为{Xt，…，Xtn，Ys，…，Ytm}的联合分布以FT为条件∞通过计算“exp（n∑i=1θi（Xti- Xti公司-1） +百万∑j=1θj（Ysj-Ysj公司-1))英尺∞#, （46）式中θi，θj∈ R、 i=1，2，n、 j=1，2，m、 定义Φu=n∑i=1θi{ti-1.≤u<ti}，Φu=m∑j=1θj{sj-1.≤u<sj}。验证很容易∞ΦudXu=∑ni=1θi（Xti- Xti公司-1） ，R∞乌杜=∑mj=1θj（Ysj-Ysj公司-1） 安第斯山脉经验值Z∞（ΦTu）dTu+Z∞（ΦSu）dSu< ∞, E经验值Z∞（Φu）du+Z∞（Φu）du< ∞.通过X和Y的定义（为简单起见，我们设置∞T∞T时ΦudXu=0∞= ∞), 我们有∞ΦudXu=ZT∞ΦudXu+Z∞T∞ΦudXu=Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu，（47）Z∞ΦudYu=ZS∞ΦudYu+Z∞S∞ΦudYu=Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYu。（48）ThusE经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞=E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu+Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYu英尺∞=E进出口商品Z∞ΦTudXTu+Z∞Φu+T∞dXu+Z∞ΦSudYSu+Z∞Φu+S∞dYuFXT公司∞_财政年度∞我英尺∞=E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞ΦSudYSuEhexp（Z∞Φu+T∞dXu+Z∞Φu+S∞dYu）FXT公司∞_财政年度∞我英尺∞. （49）不难验证NRTΦu+T∞dXu+RtΦu+S∞d▄尤特≥0是一个具有reservtonft的连续局部鞅∞WFXT公司∞WFYS公司∞WF▄XtWF▄Ytot≥0和EhexpR∞（Φu+T∞)du+R∞（Φu+S∞)杜邦i<∞. 然后根据引理6.1，nexpRtΦu+T∞dXu+RtΦu+S∞dYu-Rt（Φu+T∞)杜邦-Rt（Φu+S∞)杜邦加班费≥0是鞅。因此，Ehexp（Z∞Φu+T∞dXu+Z∞Φu+S∞dYu）英尺∞_FXT公司∞_财政年度∞i=经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦. （50）将（50）替换为（49），我们有经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞= 经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦E经验值Z∞ΦTudXTu+Z∞ΦSudYSu英尺∞.在本节和第6.3节的证明中，经常使用（47）和（48）等随机积分的时间变化公式。

如果随机积分定义良好，且被积函数可逐步测量，则随机积分的时间变化公式可用，其中条件非常宽松。有关更多详细信息，请参阅Karatzas和Shreve（2012）[第3章，提案4.8]orRevuz和Yor（2013）[第五章，提案1.5]。然后根据条件（E），我们得到经验值Z∞ΦudXu+Z∞ΦudYu英尺∞= 经验值Z∞（Φu+T∞)du+Z∞（Φu+S∞)杜邦经验值Z∞（ΦTu）dTu+Z∞（ΦSu）dSu= 经验值{ZT∞（Φu）du+ZS∞（Φu）du+Z∞T∞（Φu）du+Z∞S∞（Φu）du}= 经验值Z∞（Φu）du+Z∞（Φu）du.根据Φ和Φ的定义，前面的方程式为“exp（n∑i=1θi（Xti- Xti公司-1） +百万∑j=1θj（Ysj-Ysj公司-1） ）|英尺∞#= exp（n∑i=1（θi）（tk-tk公司-1） +百万∑j=1（θj）（sj-sj公司-1） ），这意味着X和Y是独立的，FT∞不影响{Xt，Yt}t的分布≥因此，{Xt}t≥0，{Yt}t≥0和{Tt}t≥0相互独立。注意，在定理2.1的条件下，条件（E）实际上与X、Y和T的独立性等价。引理6.3是Girsanov定理的推广，它可能在命题2.1的证明中有用。引理6.3。假设{Xt}t≥0是布朗运动且{Tt}t≥0是与{Xt}t无关的非减量随机过程≥0、给定{φt}t≥0和{θt}t≥0，可通过{FTt}t逐步测量≥0andE经验值Zt（φu）dTu< ∞, E经验值Zt（θu）dTu< ∞, t型≥ 0，letXφt=Xt-Ztφτudu，τt=inf{u:Tt≥ u} 。那么我们有经验值Zt公司∧TtθτudXφu经验值Zt公司∧TtφτudXu-Zt公司∧Tt（φτu）du|英尺∞= 经验值Zt公司∧Tt（θτu）du.证据给定t，fromE expZs公司∧Tt（φτu）du≤ E经验值ZTt（φτu）du= E经验值Zt（φu）dTu< ∞,引理6.1我们有nexp卢比∧TtφτudXu-卢比∧Tt（φτu）du操作系统≥0是关于{FXsWFT]的鞅∞}s≥0.LetdQdPFXs\\u英尺∞= 经验值Zs公司∧TtφτudXu-Zs公司∧Tt（φτu）du.注意，X是关于{FXsWFT]的布朗运动∞}s≥0，然后根据Girsanov定理，~Xφs，Xs-Zs公司∧Ttφτudu，0≤ s≤ t、 是具有{FXsWFT的布朗运动∞}s≥0在概率测度▄Q下。

Hencenexp公司RsθτudXφu-Rs（θτu）duo0级≤s≤这是▄Q下的鞅，然后根据可选停止定理，我们得到▄Q经验值Zt公司∧TtθτudXφu-Zt公司∧Tt（θτu）du|英尺∞= 1，即EP经验值Zt公司∧TtθτudXφu经验值Zt公司∧TtφτudXu-Zt公司∧Tt（φτu）du|英尺∞= 经验值Zt公司∧Tt（θτu）du.注意▄Xφs=Xφs，s∈ [0，t∧ Tt]，因此我们立即得到了期望的结果。6.2结果的证明在第2节中，我们首先证明定理2.1。定理2.1的证明。我们首先证明（i）。注意B+WandB-Ware连续鞅与[XT，YS]t=B+W，B-Wt=（[2B，2B]t-[2W，2W]t）=0。根据τ和的定义，τt=infu：B+W，B+Wu> t型, t=infu：B-W、 B类-Wu> t型.然后根据Revuz和Yor（2013）[第五章，定理1.10]，{Xt}t≥0和{Yt}t≥0是两个独立的布朗运动。对于（ii），（2）意味着[B，W]相对于t是绝对连续的，因此是可导的。然后（1）立即得出结果。接下来，我们通过引理6.2证明定理2.2。定理2.2的证明。对于“if”部分：自FB起∞⊥ 英尺∞|FB，Wt和FB，Wt Ft，EhBt- Bs |英尺∞_FB，Wsi=EhBt- Bs | FB，Wsi=0，（51）因此过程B是关于{FB，WtWFT的鞅∞}t型≥0，通过类似分析得出的过程W也是。因此，XTt=Bt+WT和YSt=Bt-W是关于相同过滤的鞅。所以对于任何一个f t逐步可测过程φ，φ满足（41），Dφt，expZtφUdxut+ZtφudYSu-Zt（φu）dTu-Zt（φu）dSu, t型∈ [0, +∞)在Girsanov定理中，我们需要预先确定一个上界t，那么∧Xφ是一个{FXsWFT的布朗运动∞}0≤s≤锡[0，t]。感谢0≤ t型∧ Tt≤ t、 t的可选停止定理∧tt保持有效。是关于{FB，WtWFT的鞅∞}t型≥0通过引理6.1。此外，EZ∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< E经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞表示Dφ∞存在。

ThusE[Dφ∞|FB，宽英尺∞] = Dφ=1，即经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu|英尺∞= 经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu.根据引理6.2，得到了期望的结果。对于“仅当”部分：if{Xt}t≥0，{Yt}t≥0和{Tt}t≥0是独立的，通过引理6.2，{XTt}t≥0和{YSt}t≥0是关于FB，WtWFT的鞅∞.因此，Bt=XTt+YSt，Wt=XTt- 是关于FB，WtWFT的鞅∞. 因为[B，B]t=[W，W]t=t，bt和wt是关于FB，WtWFT的布朗运动∞根据Levy特征。另一方面，bt和wt也是关于FB和wt的布朗运动。也就是说，对于任何t≥ 0，给定FB，WtWFT的进程B的条件分布∞与给定FB，Wt的条件分布一致。那么我们可以得出FB∞⊥ 英尺∞|FB，重量。类似地，FW∞⊥ 英尺∞|FB，Wt。在下面，我们完成命题2.1的证明。命题2.1的证明。我们证明了X、Y和T的独立性与条件（C2）等价，然后从定理2.2得到条件（C1）与条件（C2）等价。对于“=>” 第二部分：很明显，Dφ是引理6.1的鞅。假设θit，i=1，2是有界确定过程，则经验值ZtθudXφTu+ZtθudYφSu= EP公司经验值ZtθudXφTu+ZtθudYφSuDφt=EP公司经验值ZtθudXφTu经验值ZtφudXTu-Zt（φu）dTuEP公司经验值ZtθudYφSu经验值ZtφudYSu-Zt（φu）dSu|英尺∞_外汇∞. （52）根据X，Y，T的独立性，我们有经验值ZtθudYφSu经验值ZtφudYSu-Zt（φu）dSu|英尺∞_外汇∞=EP公司经验值ZtθudYφSu经验值ZtφudYSu-Zt（φu）dSu|英尺∞=EP公司经验值ZStθudYφu经验值ZStudYu-ZSt（φu）du|英尺∞, （53）式中Yφt=Yt-RtφudSu=Yt-Rtφudu。观察t∧St=St，然后从引理6.3我们得到了Ep经验值ZStθudYφu经验值ZStudYu-ZSt（φu）du|英尺∞= 经验值ZSt（θu）du= EP公司经验值ZStθudYu|英尺∞= EP公司经验值ZStθudYu|英尺∞_外汇∞=EP公司经验值ZtθudYSu|英尺∞_外汇∞.

（54）将（53）和（54）替换为（52），等式经验值ZtθudXφTu+ZtθudYφSu=EP公司经验值ZtθudXφTu经验值ZtφudXTu-Zt（φu）dTuEP[经验ZtθudYSu|英尺∞_外汇∞]=EP公司经验值ZtθudXφTu经验值ZtφudXTu-Zt（φu）dTu经验值ZtθudYSu=EP公司经验值ZtθudYSuEP[经验ZtθudXφTu经验值ZtφudXTu-Zt（φu）dTu|英尺∞_财政年度∞].将引理6.3再次应用于前一个方程，我们得到经验值ZtθudXφTu+ZtθudYφSu=EP公司经验值ZtθudYSuEP[经验ZtθudXTu|英尺∞_财政年度∞]=EP公司经验值ZtθudXTu+ZtθudYSu.如果θit，i=1，2是复杂的，则证明仍然有效，因此我们有（▄Xφ，▄Yφ）Qd=（XT，YS）p。对于“<=” 部分：假设{φt}t≥0和{φt}t≥0满足（41）。注意{φt}t的范围≥0和{φt}t≥0in（41）小于条件（C2），则Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu≤ E经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu< ∞,相应的Dφ∞存在。我们首先声明EP[Dφ∞|英尺∞] = 1 a.s。。要看到这一点，我们只需要证明∈ 英尺∞,EP[Dφ∞A] =P（A）。（55）出租，{A∈ F | EP[Dφ∞A] =P（A）}，P，{n\\i=1Ati | Ati∈ σ（Tti），n≥ 1.t<t<···<tn}，注意EP[Dφ∞] = 1，所以D是λ-系统，显然P是π-系统，而且σ（P）=FT∞. 假设ATI={Tti∈ Bi}，其中Bi是Borel集，则对于任何a=Tni=1Ati∈ P我们有ep[Dφ∞A] =EP[1AEP[Dφ∞|Ftn]]=EP【DφtnA】。（56）由于（Xφ，~Yφ）Qd=（XT，YS）P，[XT]t=XTt-ZtXTudXTu，所以我们有（[Xφ]，Yφ]）Qd=（[XT]，[YS]）P，即，（T，S）Qd=（T，S）P。因此，P（A）=P（Tti∈ Bi，i=1，2，n） =Q（Tti∈ Bi，i=1，2，n） =等式[1A]=EP[DφtnA]。（57）从（56）和（57）我们知道P D、 根据π- λ定理∞= σ（P） D、 因此，我们证明了我们的索赔（55）。

EP[Dφ∞|英尺∞] = 1暗示经验值Z∞φudXTu+Z∞φudYSu|英尺∞= 经验值Z∞（φu）dTu+Z∞（φu）dSu,我们用引理6.2完成了证明。我们通过条件（C3）和条件（C1）的等价性来证明命题2.2。命题2.2的证明。”（C1）=>（C3）”：根据FB∞⊥ 英尺∞|FB，Wtand（51），我们有{Bt}t≥0是关于FB，WtWFT的鞅∞.因为FZ∞⊥ FB，W∞WFT公司∞（实际上，英尺∞ FB，W∞), 那么对于任何ξ∈ FZt，EhξFB，W∞_英尺∞i=E[ξ]=EhξFB，Wt\\U英尺∞i、 与FZt等效⊥ FB，W∞|FB，WtWFT∞. 因此，EhBt- 学士学位FB，Ws\\U英尺∞_F▄Zsi=EhBt- 学士学位FB，Ws\\U英尺∞i=0，等效为{Bt}t≥0是关于{FB，WtWFT的鞅∞WFZt}t≥0.使用相同的参数，{Wt}t≥0是关于FB，WtWFT的鞅∞WFZT也是。显然，{Zt}t≥0是关于toFB，WtWFT的鞅∞WFZt，所以从Zt的定义来看，我们知道{Zt}t≥0是关于FB，WtWFT的鞅∞WFzt和[Z]t=t，[B，Z]t=0。根据L'evy特征（见Shreve（2004）[定理4.6.4]），{Bt}t≥0和{Zt}t≥0是关于FB，WtWFT的两个独立布朗运动∞WFZt。自{Bt}t起≥0和{Zt}t≥0区域与FB、WtWFZt相适应 FB，WtWFT∞WFZt，so{Bt}t≥0和{Zt}t≥0也是关于FB，WtWFZt的两个独立布朗运动。因此，{Bt}t的联合分布≥0和{Zt}t≥0在FB、WtWFT条件下相同∞WF▄Zt和FB，WtWF▄Zt，这意味着FZ∞_FB公司∞⊥ 英尺∞|FB，Wt\\U FZt。（58）在（58）中，让t=0，我们得到FZ∞WFB公司∞⊥ 英尺∞. 注意{Bt}t≥0也与{Zt}t独立≥0，因此我们可以得出{Bt}t≥0，{Zt}t≥0和{ρt}t≥0相互独立。“（C3）=>（C1）“：注意FB，Wt FBtWFZtWFTt，显然是FB∞, 英尺∞根据条件（C3）给定fbtb，和fzt相互独立。

那么对于任何ξ∈ FB公司∞,EhξFB，Wti=EhE[ξ| FBt\\u FZt\\u FTt]FB，Wti=EhE[ξ| FBt]FB，Wti=EhξFBti，用类似的方法，我们可以证明EhξFB，WtWFT∞i=EξFBt公司同样，立即是ξFB，Wti=EhξFB，Wt\\U英尺∞我，ξ ∈ FB公司∞,相当于FB∞⊥ 英尺∞|FB，重量与FW相同∞⊥ 英尺∞|FB，Wt，我们首先观察到{Bt}t≥0和{Zt}t≥0是关于FB，ZtWFT的鞅∞通过{ρt}t的独立性≥0，{Bt}t≥0和{Zt}t≥0.So根据toWt=ZtρsdBs+Ztq1- ρsdZs，{Wt}t≥0是关于FB，ZtWFT的鞅∞. 自FB起，Wt FB，ZtWFT∞和FB、WtWFT∞ FB，ZtWFT∞, 注意{Wt}t≥0适用于FB、WT和FB、WtWFT∞分别为so{Wt}t≥0是关于FB，wt和FB，WtWFT的鞅∞分别地因此，通过L'evy表征，{Wt}t≥0是关于FB，wt和FB，WtWFT的布朗运动∞分别地因此，{Wt}t的分布≥0在FB、WtWFT条件下相同∞和fb，Wt，这导致FW∞⊥ 英尺∞|通过比较离散局部相关模型和离散公共分解模型的分布，我们证明了命题2.3。命题2.3的证明。给定分区∏，设ρ∏u，ρti，ti≤ u<ti+1，W∏s，Zsρ∏udBu+Zsq1- （ρ∏u）dZu。Thennw∏s=i∑k=0（ρtkBtk+q1- ρtkZtk）+ρti（Bs- Bti）+q1- ρti（Zs- Zti），ti≤ s<ti+1，其中Btk=Btk+1- Btk，Ztk=Ztk+1- Ztk。观察给定的FT∞, 的条件分布(Bti，W∏ti）is(Bti，W∏ti）~ N,tiρtitiρtiti公司ti公司.这与(Bti，W∏ti）。如果条件（C3）成立，{Bt}t≥0和{Zt}t≥0是关于FB，ZtWFT的独立布朗运动∞. 因此，根据增量的独立属性，给定FT∞, 我们有(英国电信，英国电信，Btn公司-1.W∏t，W∏t，W∏tn-1） d=(英国电信，英国电信，Btn公司-1.W∏t，~W∏t，W∏tn-1).因此，（Bt，Bt，…，Btn-1，W∏t，W∏t，W∏tn-1） d=（Bt，Bt，…，Btn-1、~W∏t、~W∏t、，W∏tn-1).

（59）接下来，对于任何K，L∈ N给定uk，vl，k=1，2，K、 l=1，2，五十、 我们考虑了（Bu，Bu，…，BuK，W∏v，W∏v，…，W∏vL）和（Bu，Bu，…，BuK，～W∏v，～W∏v，～W∏vL）的分布之间的差异。Letik=sup{z∈ Z:tz<uk}，jl=sup{Z∈ Z:tz<vl}，k=1，2，K、 l=1，2，五十、 对于任何e>0，我们首先给出一个δ小值，使得对于任何ak，k=1，2，K和bl，l=1，2，五十、 K级∑k=1P（| Btik- ak |≤ δ） +升∑l=1P（| W∏tjl-bl |≤ δ） <e.（60）观察P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . , W∏tjL≤ 基本法-δ、 Buk公司- Btik公司≤ δ、 W∏vl-W∏tjl≤ δ、 k=1，K、 l=1，L）≤ P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）≤ P（Bti≤ a+δ，BtiK公司≤ aK+δ，W∏tj≤ b+δ，W∏tjL≤ bL+δ）+K∑k=1P（Buk- Btik公司≤ -δ） +升∑l=1P（W∏vl-W∏tjl≤ -δ） ，类似的不等式适用于P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）。LetH={Buk- Btik公司≤ δ、 W∏vl-W∏tjl≤ δ、 k=1，K、 l=1，五十} ，然后是P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）- P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）≤P（Bti≤ a+δ，BtiK公司≤ aK+δ，W∏tj≤ b+δ，W∏tjL≤ bL+δ）+K∑k=1P（Buk- Btik公司≤ -δ） +升∑l=1P（W∏vl-W∏tjl≤ -δ) - P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . ,W∏tjL≤ 基本法-δ、 H）。（61）注意，（59）表示P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . ,W∏tjL≤ 基本法-δ） =P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . , W∏tjL≤ 基本法-δ） ，因为我们关注的是| |∏| |时的性质→ 0，我们只能考虑|∏| |<min（u，v）/2的情况。然后tik>u/2，tjl>v/2，k、 l，因此始终存在满足条件的δ。对比（61）右侧的第一个术语和最后一个术语，我们得到了P（Bti≤ a+δ，BtiK≤ aK+δ，W∏tj≤ b+δ，W∏tjL≤ bL+δ）- P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . ,W∏tjL≤ 基本法-δ、 H）=P（Bti≤ a+δ，BtiK公司≤ aK+δ，W∏tj≤ b+δ，W∏tjL≤ bL+δ）- P（Bti≤ 一-δ, . . .

，BtiK≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . ,W∏tjL≤ 基本法-δ） +P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . ,W∏tjL≤ 基本法-δ、 Hc）≤P（Bti≤ a+δ，BtiK公司≤ aK+δ，W∏tj≤ b+δ，W∏tjL≤ bL+δ）- P（Bti≤ 一-δ, . . . , BtiK公司≤ aK公司-δ、 W∏tj≤ b-δ, . . . , W∏tjL≤ 基本法-δ） +P（Hc）≤K∑k=1P（| Btik- ak |≤ δ） +升∑l=1P（| W∏tjl-bl |≤ δ） +P（Hc）。（62）将（62）代入（61），我们得到（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）- P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）≤K∑k=1P（Buk- Btik公司≤ -δ） +升∑l=1P（W∏vl-W∏tjl≤ -δ） +千∑k=1P（| Btik- ak |≤ δ） +升∑l=1P（| W∏tjl-bl |≤ δ） +P（Hc）≤K∑k=1P（Buk- Btik公司≤ -δ） +升∑l=1P（W∏vl-W∏tjl≤ -δ） +千∑k=1P（| Btik- ak |≤ δ） +升∑l=1P（| W∏tjl-bl |≤ δ） +千∑k=1P（Buk- Btik公司≥ δ） +升∑l=1P（￠W∏vl）-W∏tjl≥ δ） =2K∑k=1Φ(-δpuk-tik）+2L∑l=1Φ(-δpvl-tjl）+K∑k=1P（| Btik- ak |≤ δ） +升∑l=1P（| W∏tjl-bl |≤ δ） ，（63），其中Φ表示标准正态分布。对于给定的K、L、δ、e，如果|∏| |<δΦ-1（e4（K+L））,我们有Φ(-δp |∏| |）<e4（K+L），thusK∑k=1Φ(-δpuk-tik）+2L∑l=1Φ(-δpvl-tjl）≤ 2（K+L）Φ(-δp |∏| |）<e.（64），由（60）、（63）和（64）得出，p（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）- P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）≤ e、 同样，P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）- P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）≤ e、 即| P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，W∏v≤ bW∏vL≤ bL）- P（Bu≤ 一BuK公司≤ aK，~W∏v≤ bW∏vL≤ bL）|≤ e、 （65）从It^o积分的定义来看，我们有（Bu，Bu，…，BuK，W∏v，W∏v，…，W∏vL）d-→ （Bu，Bu，…，BuK，Wv，Wv，…，WvL）。（66）组合（65）和（66），如| |∏| |→ 0，我们有（Bu，Bu，…，BuK，～W∏v，～W∏v，～W∏vL）d-→ （Bu，Bu，…，BuK，Wv，Wv，…，WvL）。6.3定理3.1第3节中结果的证明。

根据可选停止定理，XT，YSare鞅在FXT，FYSrespectively和fyst下⊥ FXT公司∞|FXTt，FXTt⊥ 财政年度∞|FYST保证EhXTu | FXT，YSti=EhXTu | FXTti=XTt，EhYSu | FXT，YSti=EhYSu | FYSti=YSt，u≥ t、 给出了Xt和YS的鞅性质。如果T和S严格递增，且Tt+St=T，t、 然后（3）保持不变。根据第2.1节开头的相同讨论，T和S可根据T推导，让λT、dTtdt、uT、dStdt和τ，定义为（4）。然后，λt+ut=1，t和τ，是连续且严格递增的过程。接下来，我们声称[XT，YS]t=0。我们首先考虑Eτt，Et<∞ 对于任何t>0。观察Zt{λτs6=0}λτsds+Zt{λτs=0}dτs=Zτt{λs6=0}λsds+Zτt{λs=0}ds=Zτt{λs6=0}ds+Zτt{λs=0}ds=τt，（67）Zt{us6=0}usds+Zts=0}ds=Zt{us6=0}usdTs+Zt{us=0}ds=Zt{us6=0}ds+Zt{us=0}ds=t，（68）然后Zt{λτs6=0}λτsds+Zt{λτs=0}dτs< ∞, E“Zt{s6=0}sds+Zt{s=0}ds<∞, t>0。（69）自{Tt}t≥0是Ft的时间变化，因此tti适应FTt，而λtis适应FTt，因此λτtis适应Ft。同样，utis也适应fta。根据（69），随机过程mt，Zt{λτs6=0}pλτsdXs+Zt{λτs=0}dXτs，Nt，Zt{us6=0}√sdYs+Zt{s=0}dY定义良好，其中（~X，~Y）是与F无关的二维布朗运动∞. 从（67）和（68）中，我们有[M]t=τt，[N]t=t.（70），通过独立性，验证{XtYt}t≥0，{Xt▄Yt}t≥0，{XτtYt}t≥0和{XτtYt}t≥0分别是连续鞅，因此，[X，Y]t=<X，Y>t=[X，~Y]t=<X，~Y>t=[~Xτ，Y]t=<~Xτ，Y>t=[~Xτ，~Y]t=<~Xτ，~Y>t=0。（71）因此，[M，N]t=Zt{λτs6=0，us6=0}pλτsusd[X，Y]s+Zt{λτs6=0，us=0}pλτsd[X，Y]s+Zt{λτs6=0，us6=0}√usd[~Xτ，Y]s+Zt{λτs=0，us=0}d[~Xτ，~Y]s=0。（72）通过τ和的连续性，M和N也是连续的。

因此，根据Revuz和Yor（2013）[第五章，定理1.10]和（70），Mta和NSare是两个独立的布朗运动。因此，[MT，NS]t=0，t、 （73）另一方面，根据M和N的定义，MTt=ZTt{λτs6=0}pλτsdXs+ZTt{λτs=0}dXτs=Zt{λs6=0}√λsdXTs+Zt{λs=0}dXs，NSt=ZSt{us6=0}√sdYs+ZSt{s=0}dYs=Zt{us6=0}√usdYSs+Zt{us=0}dYs，因此[MT，NS]t=Zt{λs6=0，us6=0}pλsusd[XT，Ys]s+Zt{λs6=0，us=0}√λsd[XT，~Y]s+Zt{λs=0，us6=0}√usd[X，YS]s+Zt{λs=0，us=0}d[X，Y]s.（74）与（71）的讨论类似，我们有[XT，Y]t=[X，YS]t=0。比较（73）和（74），我们得到zt{λs6=0，us6=0}pλsusd[XT，YS]s=0，t型≥ 例如，具体地说，我们可以首先证明{XStYt}t≥0是独立鞅。请注意{Xt  Yt}t≥0可以看作{XStYt}t的时变过程≥0，因此{Xt▄Yt}t≥0是鞅。{XτtYt}t的自变量≥0和{XτtYt}t≥0类似。这些过程的连续性来自于X、Y、~X、~Y、τ和的连续性。并且立即，Zt{λs6=0，us6=0}d[XT，YS]s=0，t型≥ 注意，Rt{λs=0}dTs=Rt{us=0}dSs=0，这意味着（Revuz和Yor（2013）[第四章，命题1.12]）Zt{λs=0}dXTs=Zt{us=0}DYS=0。因此，XTt=Zt{λs6=0}dXTs，YSt=Zt{us6=0}DYS，和[XT，YS]t=Zt{λs6=0，us6=0}d[XT，YS]s=0。如果t>0，则Eτt=∞ 或Et=∞, 然后我们定义λnt，（λt，t≤ n、 t>n，unt，（ut，t≤ n、 t>n，Tnt，Ztλnudu，Snt，Ztunudu，τnt，inf{u:Tnu>t}，nt，inf{u:Snu>t}，因此Eτtn<∞, Etn<∞ 根据前面的证明，我们得到了[XTn，YSn]t=0。当t<n时，（Tnt，Snt）=（Tt，St），所以我们有[XT，YS]t=0。让n→ ∞, 我们完成了索赔证明。由于[XT，YS]t=0，我们有[B]t=[XT+YS]t=[XT]t+YS]t+2[XT，YS]t=Tt+St=t，类似地，[W]t=[XT-因此B和W是关于FB，W（等于FXT，YS）的布朗运动。

和[B，W]t=[XT+YS，XT-YS]t=Tt-St，t≥ 通过定理3.1，推论3.1的证明很简单。推论3.1的证明。Let▄Ft，σ{Xu，Yu，{Tv≤ u} ，{Sv≤ u} ：u≤ t，v} 。然后从{Xt}t的独立性≥0，{Yt}t≥0，{Tt}t≥0，我们知道{Xt}t≥0，{Yt}t≥0是关于▄Ft的两个标准布朗运动，定义为▄F，{Tu≤ t} ，{Su≤ t}∈~ftu对于任何u>0，因此Tu、suaresting times和{Tt}t≥0，{St}t≥0是F的时间变化。然后通过引理6.2，满足定理3.1中的条件，我们得到了期望的结果。6.4提案4.1第4节“结果证明”。通过定义^G，^G（λ，λ）=Z∞-∞Z∞-∞eiλx+iλxG（x，x）dxdx。（75）根据Fubini定理，Z∞-∞eiλxG（x，x）dx=EZ∞-∞eiλx（γ+γeγ>Mτ）1{γ>Mτ≤x} {γ>Mτ≤x} dx公司=E（γ+γeγ>Mτ）1{γ>Mτ≤x} Z∞-∞eiλx{γ>Mτ≤x} dx公司=iλEheiλγ>Mτ（γ+γeγ>Mτ）1{γ>Mτ≤x} i，（76），其中最后一个等式来自λ的虚部为正的事实。将（76）代入（75），然后对x进行类似的计算，我们得到了^G（λ，λ）=Z∞-∞iλeiλxEheiλγ>Mτ（γ+γeγ>Mτ）1{γ>Mτ≤x} idx=-λλEheiλγ>Mτ+iλγ>Mτ（γ+γeγ>Mτ）i=-γλλΦMτ（λγ+λγ）-γλλΦMτ（λγ+λγ-iγ），其中ΦMτ表示Mτ的特征函数。这样就完成了（30）的证明。对于（29），注意X、Y和T是相互独立的，它可以通过条件期望ΦMτ（z，z）=EeizXTτ+izYSτ=EhE[eizXTτ+izYSτ| Tτ，Sτ]i=Ee来计算-Tτz-Sτz=e-τzEe-（z）-z） Tτ=e-τzLτ(-（z）-z） ，其中ltt表示Ttat时间t的广义傅立叶变换。结论通过应用时变技术，我们提出了一种称为公共分解的新方法来研究两个相关布朗运动（B，W）的依赖结构。