相关布朗运动的公共分解及其金融性质

2022-6-24 07:48:39

一般来说，在金融建模中有两种方法可以诱导资产之间的依赖关系，一种是通过copula，另一种是在SDE模型中，通过假设驱动模型的过程的相关结构。因此，通过两个布朗运动对随机因素进行建模是一种常用的方法，参见Heston（1993）、Dai等人（2004）和Hurdan Zhou（2010）。在大多数情况下，从实际角度来看，这两个随机因素（因此这两个布朗运动）应该相互关联。由于布朗运动是最常用的驱动过程，源于巴赫尔，布朗运动之间的相关性在后者中至关重要。为了表述相关的布朗运动，许多模型采用了恒定的局部相关假设，即对于布朗运动B和W以及恒定的ρ∈ R、然而，越来越多的实证研究证明，金融因素之间的依赖性随着时间的推移而变化，并取决于经济状况，例如，Bahmani Oskooee和Saha（2015）针对交叉货币衍生品，Engle和Sheppard（2001）针对多资产，Benhamou et al.（2010）针对随机波动率模型。其他经验证据如下，Chiang等人（2007）发现，危机后的美国市场、Syllignakis和Kouretas（2011）以及Junior和Franca（2012）之间的相关性显著增加，在欧洲和全球市场上得到了类似的结果，Xiong et al.（2018）发现了中国政策指数与股票回报之间的时变相关性，Balcilar et al.（2018）发现了油价与南部非洲通货膨胀之间的动态相关性。可能出于这个原因，近年来有越来越多的文献将动态局部相关性应用于金融问题。

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2022-6-24 07:48:42

由于局部相关性的值，即上面引入的ρ，必须在[-1，1]，这些文献选择了各种技术来确保这一点。Osajima（2007）和Fern'andez et al.（2013）将ρ建模为SABR模型时间t的有界确定性函数，而Teng et al.（2015）在几何布朗运动模型中采用了相同的思想，并将其应用于Quanto期权的定价。注意，在这些模型中，ρ是动态的，但不是随机的。对于随机ρ，Van Emmerich（2006）、Langnau（2010）、Teng et al.（2016c）和Carr（2017）将ρ表示为一些随机状态过程的有界函数，并将其应用于衍生品定价问题。一些文献直接用有界随机过程建模ρ。例如，有界Jacobi过程是一种由布朗运动驱动的有界扩散过程，被引入到ρ模型中，用于期权定价和资产管理，包括香草期权（Teng et al.，2016b）、相关性掉期（Meissner，2016）、Quanto（Ma，2009a）和多资产期权（Ma，2009b），以及投资组合选择和风险管理（Buraschi et al.，2010）。Hull等人（2010）将局部相关性建模为一个阶跃过程，其中每个阶跃都是贝塔分布随机变量。M'arkus和Kumar（2019）对几种随机局部相关模型进行了比较。此外，制度转换模型是一种广泛使用的金融模型，其中包括ρ在内的所有参数都可以由一个共同的连续时间有限状态平稳马尔可夫过程驱动，从而提供了另一种建模随机局部相关性的方法，例如Zhou和Yin（2003）。Wishart过程可以直接建立随机协方差，由协方差矩阵得到的局部相关性也是随机的。Da Fonseca等人。

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2022-6-24 07:48:45

（2007）讨论了多资产期权定价的Wishart过程，发现在最大型期权上存在相关杠杆影响。Double-Heston模型还允许资产和随机波动率之间存在一种特殊的局部相关性，详情请参见Costabile et al.（2012）和Christoffersen et al.（2009）。除了相关布朗运动外，还有其他方法来构造相关随机过程。Wang（2009）通过具有常数相关化合物的布朗运动获得了相关方差gamma过程。Mendoza Arriaga和Linetsky（2016）以及Barndorff Nielsen et al.（2001）通过具有相依L'evy从属项的独立背景随机过程描述了相关随机过程。Ballotta和Bon figlioli（2016）提出了利维过程的因子模型，每项资产都由一个系统组件和一个特定组件控制。本文的重点是提出一种新的方法，我们称之为公共分解，用于一般相关布朗运动依赖结构的表述和分析。通过引入时变过程，两个相关的布朗运动可以分解为两个独立的布朗运动，其中两个独立的布朗运动描述了原始两个相关布朗运动的共同运动和反运动。因此，两个原始布朗运动依赖结构的关键是时间变化过程。与局部相关性相比，公共分解的一个重要优点是可以观察到时间变化过程，而局部相关性通常是不可观察的。时间变化是一种构建随机过程的成熟技术（Barndorff-Nielsen和Shiryaev，2015），广泛应用于数学金融（Carr et al.，2003；Geman et al.，2001b）。

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2022-6-24 07:48:49

然而，据我们所知，很少有人将时变技术应用于相关布朗运动的建模。有趣的是，我们发现常见的分解是在适当条件下改变度量后的不变性。相反，我们也考虑如何通过公共分解构造相关的布朗运动。与局部相关模型的Euler-Maruyama方法（Kloeden和Platen，2013）相比，我们发现普通分解方法可以更快地模拟相关的布朗运动。在某些条件下，常用的分解方法不存在局部相关模型的Euler-Maruyama方法所不可能存在的模拟误差。在构造相关布朗运动后，我们将我们的方法应用于金融衍生品定价，如量子、协方差和相关掉期、2资产期权等。对于2资产期权，很难直接获得闭合形式，因此我们提供了基于傅立叶变换的解析解。期权定价中的傅立叶变换方法由Carr和Madan（1999b）提出，最近的论文研究了傅立叶变换方法对多资产期权进行定价，例如Hurd和Zhou（2010）对价差期权，Wang（2009）对rainbow期权，Leentvaar和Oosterlee（2008）对多资产期权给出了一种无显式表达式的数值方法。通过Fourier方法，我们找到了2资产期权价格的统一分析易处理表达式。通过数值实验研究了2资产期权的常相关模型和随机相关模型之间的定价误差。数值结果表明，对于大多数非货币期权，恒相关模型表现不佳，而恒相关模型在货币期权和非货币期权中表现良好。本文的组织结构如下。

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2022-6-24 07:48:52

在第2节中，我们给出了公共分解的定义，并讨论了公共分解得到的随机过程的独立性。此外，我们还考虑了常用分解方法与局部相关模型之间的关系。在第3节中，我们提供了构造相关布朗运动的充分条件，并比较了公共分解和传统方法之间的模拟效率。第4节给出了衍生产品定价的金融应用。数值结果见第5节。本文的证明在第6.2节两个相关布朗运动的公共分解中给出。在这一节中，我们考虑了称为两个相关布朗运动的公共分解的新方法。首先，我们提出了两个相关布朗运动的公共分解的定义，并给出了一些符号。其次，我们研究了由公共分解得到的随机过程的分布和独立性。最后，我们研究了两个相关布朗运动的公共分解和局部相关之间的联系。在金融市场中，如果观察资产价格的时间间隔趋于0，则观察资产价格的已实现方差趋于资产价格的二次方差。

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2022-6-24 07:48:55

注意，连续局部鞅的二次变分[·，·]与可预测的二次变分h·，·i相同（Revuz和Yor，2013，ChapterIV，定理1.8），本文涉及的随机过程都是连续局部鞅，因此如果没有混淆，我们将h·，·i替换为[·，·]。2.1完整概率空间公共分解的定义(Ohm, F、 P），我们考虑了两个相关的布朗运动，{Bt}t≥0和{Wt}t≥0，关于相同过滤F={Ft}t≥假设0满足通常条件。定义，t+[B，W]t，St，t-[B，W]t，（1）其中[B，W]t表示B和W的交叉变化。注意，B和W是布朗运动，因此[B，B]t=[W，W]t=t。因此[B+W，B+W]t=（[B，B]t+[W，W]t+2[B，W]t）=Tt，这意味着t是B+W的二次变化。同样，S是B的二次变化-W、通过直接计算，当s<t时-t+s=-[B，B]t-[W，W]t+[B，B]s+[W，W]s≤[B，W]t-[黑白]s≤[B，B]t+[W，W]t-[B，B]s-[宽，宽]s=t- s、（2）hence0≤ Tt- Ts≤ t型- s、 0个≤ St公司-不锈钢≤ t型- s、（3）因此，Tt和Stare递增过程的Tt+St=t，因此它们对于t都是绝对连续的。然后根据Radon-Nikodym定理，Tt和Stare对于t是可导的。示例2.1。如果B和W的相关系数ρ为常数，即，[B，W]t=ρt，则Tt=1+ρt，St=1-ρt.特别是，当B和W完全正相关时，则[B，W]t=t，Tt=t和St=0当B和W完全负相关时，[B，W]t=-t、 Tt=0，St=t；o当B和W彼此独立时，则Tt=St=t。我们将在第2.3节中解释，t和S可被视为特殊的“计时器”，用特殊的相关信息记录时间。接下来，设τt=inf{u:Tu>t}，t=inf{u:Su>t}，t型≥ 0

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2022-6-24 07:48:58

（4）根据定义，{τt}t≥0和{t}t≥0是过滤F的时间变化，相反，T是{FτT}T的时间变化≥0和S是{Ft}t的时间变化≥0、当τt<∞ 和t<∞ 对于任何t>0的情况，本文中所谓的公共分解可以通过时间变化的过程进行。LetXt，Bτt+Wτt，Yt，Bt-Wt.（5）如果τTt=t，则根据（5）可以明显看出XTt=Bt+wt。如果t<τTt<∞, 对于任何u∈ [t，τTt]，我们通过t的连续性和τ的定义得到了Tu=Tt。注意，T是B+W的二次变化，henceBu+Wu=任何u的Bt+Wt∈ 【t，τTt】根据Revuz和Yor（2013）。因此，XTt=BτTt+WτTt=Bt+Wt。如果St<∞, 通过类似的方法，我们得到了YSt=Bt-总而言之，如果τTt<∞ 和St<∞, 我们有BT=XTt+YSt，Wt=XTt-YSt公司。（6）因此，我们通过三个新定义的过程X、Y和T获得了（B、W）的表示（它总是要求St=T- Tt）。我们称（6）为（B，W）的公共分解，公共分解的三元组用（X，Y，T）表示。请注意，常见分解的概念是由Chen等人（2018）首先提出的。时间变化C是一个家族Cs，s≥ 0的停止时间，使地图→ Csare a.s.增加和右连续（Revuz和Yor（2013），第五章，定义1.2）。对于相关随机游动。在这篇文章中，我们关注相关布朗运动中的常见分解。给定ω∈ Ohm,T∞（ω），李木→∞Tu（ω），S∞（ω），李木→∞Su（ω）。每当T∞（ω）是有限的，对于t，Xt（ω）没有很好的定义≥ T∞(ω). 例如，如果B和W是完全负相关的，那么[B，W]t=-t、对于任何t，Tt=0≥ 0，且τt=∞. S和Y也是如此。为了克服这一限制，我们采用了与Revuz和Yor（2013年，第五章）相似的方法来修改X和Y的定义。

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mingdashike22

2022-6-24 07:49:01

我们假设概率空间(Ohm, F、 P）足够丰富以支持独立于已知布朗运动和F的布朗运动∞.Revuz和Yor（2013年，第五章，提案1.8），X∞, 限制→∞Bt+WT存在于{T∞< ∞}; 类似地，Y∞,限制→∞英国电信-WT存在于{S∞< ∞}. 假设{Xt，~Yt}t≥0是独立于f的二维布朗运动∞. 我们修改了{Xt}t的定义≥0和{Yt}t≥0如下：X（t，τt），（Bτt+Wτt，如果t<t∞十、∞+Xt-T∞, 如果t≥ T∞, Y（t，t），（Bt-Wt，如果t<S∞Y∞+年初至今-S∞, 如果t≥ S∞. （7）在下文中，当没有混淆时，X（t，τt）和Y（t，t）将缩写为Xtand yt。如果Tt<T∞,注意{Tt<T∞} = {τTt<∞}, 因此，我们从前面的讨论中得到了XTt=BτTt+WτTt=Bt+wt；ifTt=T∞, 因为T是b+W的二次变化量，所以我们得到了XTt=X∞=Bt+WT根据（7）和Revuz和Yor（2013年，第四章，提案1.13）。因为Tt≤ T∞对于任何t≥ 0，对于任何t，我们有XTt=Bt+WT≥ 通过类似的证明，我们得到了YSt=Bt-WT适用于任何t≥ 因此，在修改了X和Y的定义后，通用分解（6）适用于任何t≥ 0、备注2.1。（~X，~Y）的选择只能影响（X，Y）的定义，但对B和W的分解没有影响。更具体地说t型≥ 0，如果Tt<T∞, 根据定义，xtdo不依赖于X；如果Tt=T∞, thenXTt=XT∞= 十、∞, 也不依赖于▄X。对于Y也是如此。在下面的例子中，假设（X，Y，T）和（X，Y，T）都满足（6），那么tt=[XT，XT]T=[B+W，B+W]T=[XT，XT]T=Tta。s、，这意味着T在几乎确定的意义上是唯一的。因此，根据τ的定义，如果τt<∞,Xt=Bτt+Wτt=Xt，a.s。。注意{τt<∞} = {T∞> t} ，表示X在区间[0，t]中是唯一的∞). 类似地，Y在[0，S]中是唯一的∞).

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2022-6-24 07:49:04

在公共分解（6）中，X和Y仅与时间间隔[0，T]中的值相关∞)和[0，S∞) 因此，公共分解是唯一的。为了方便起见，我们在这里引入了一些符号：oFXt：随机过程的自然过滤{Xt}t≥0.oA⊥ B | C:A和B在给定C时是条件独立的。值得注意的是，FTt=σ（Tu:u≤ t） =σ（Su:u≤ t） =FSt。2.2公共分解的主要理论在上一节中，我们介绍了所谓的布朗运动B和W的公共分解（X，Y，T）。在这一部分中，我们给出了分解的一些基本性质。证据见第6节。我们的第一个结果说明了X、Y的分布和T的路径性质。定理2.1。给定布朗运动{Bt}t≥0和{Wt}t≥0关于F，其常见分解表示为das（X，Y，T），以下语句适用。（i） {Xt}t≥0是过滤{Fτt}t的布朗运动≥0，{Yt}t≥0是过滤{Ft}t的布朗运动≥0，X安迪是独立的；（ii）{[B，W]t}t≥0相对于t可导，且tt=t+Rtρudu，St=t-Rtρudu，其中ρt，d[B，W]tdt。（8）在（8）中，ρ被称为B和W的局部相关过程。关于局部相关和公共分解的进一步讨论见第2.3节。根据定理2.1，公共分解将B（resp.W）表示为两次变化布朗运动的和（resp.difference）。B和W的依赖结构体现在T以及T和两个新定义的布朗运动X和Y之间的依赖关系中。因此，为了清晰和方便，X、Y和T的独立性值得研究。在下面的定理中，给出了它们相互独立的充分必要条件。定理2.2。

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可人4

2022-6-24 07:49:07

在定理2.1中的条件和符号下，公共分解三元组X、Y和T是相互独立的当且仅当：（C1）FB∞⊥ 英尺∞|FB、WT和FW∞⊥ 英尺∞|FB，Wt。作为理解条件的示例，当B和W具有常数相关性时，例如，ρ，（C1）是满足的，因为Tt=1+ρt和FT∞是一个平凡的σ-代数。更一般的情况将在后面讨论。上述两个定理对公共分解给出了更直观的解释。在两个布朗运动的运动过程中，有时它们的运动似乎正相关，有时则相反。这些“共同的”或“相反的”移动时间被挑选出来，形成新的“时钟”t或St，它们的转数根据新的时钟进行分解。根据定理2.1，在新时钟下，它们保持其布朗运动特征，并且这些特征在两个时钟下是独立的。从而分离出原始相关布朗运动的依赖结构和布朗特征。根据定理2.2，如果它们满足条件（C1），则它们的依赖信息只包含在T中，分解是非常完整和清晰的。在这种情况下，如果我们想研究两个相关布朗运动的依赖结构，我们可以关注公共分解中的过程T。下面的命题从另一个方面给出了（C1）的等价条件。提案2.1。假设定理2.1中的假设成立。那么条件（C1）与下面的语句等价。（C2）给定两个过程{φt}t≥0和{φt}t≥0，可通过{FTt}t逐步测量≥0和满意度经验值Zt（φu）dTu+Zt（φu）dSu< ∞, t。

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可人4

2022-6-24 07:49:10

（9） LetDφt，expZtφUdxut+ZtφudYSu-Zt（φu）dTu-Zt（φu）dSu, t型≥ 0，则Dφ是一个鞅，dqdp | Ft=DφT定义了一个概率度量，使得（XφT，YφS）Qd=（XT，YS）P，（10），其中XφTt=XTt-RtφudTu，YφSt=YSt-RtφudSu。这个命题将分解三元组的独立性与类似于Girsanov定理的条件联系起来。毫无疑问，考虑其在金融建模中的应用可能会引起我们的注意。示例2.2。在金融模型中，Girsanov变换通常用于改变建模价格的扩散漂移部分。考虑两个漂移布朗运动，Ztθudu+Bt，Ztθudu+Wt，其中θi，i=1，2有界，可通过{FTt}t逐步测量≥根据定理2.1，B和W可以分解为（X，Y，T）。因此，两个漂移布朗运动可以表示为Ztθudu+XTt+YSt，Ztθudu+XTt-YSt公司。设λ和u表示T和S的密度，λT，dTtdt，uT，dStdt，并假设inf{λT（ω），uT（ω）| T≥ 0, ω ∈ Ohm} > 那么φ=（φ，φ）满足（9），其中φt=θt+θt2λt，φt=θt-θt2ut。如果（B，W）满足条件（C1），则从命题2.1，两个漂移布朗运动可以转换为Ztθudu+Bt=XφTt+YφSt：=Bφt，Ztθudu+Wt=XφTt-YφSt：=Wφt.（11）在命题2.1中定义的概率Q下，值得注意的是，通过（10），（B，W）Pd=（Bφ，Wφ）Q，（12），因此漂移部分在概率测度改变后消失。考虑（Bφ，Wφ）的公共分解，表示为（Xφ，Yφ，Tφ）。从（11）中，我们得到了T=TφT，t型≥ 0。（13）此外，从（10）我们有（{Tt}t≥0）Pd=（{Tt}t≥0）问题（14）备注2.2。方程（13）和（14）揭示了T在测度变化下的不变性。

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2022-6-24 07:49:13

从应用的角度来看，这意味着在改变数值后的财务建模中，常用的分解方法仍然有效。从实证角度来看，我们可以从真实概率测度估计参数，并直接应用于风险中性测度。例如，Ballotta和Bon figlioli（2016）将根据观察到的资产价格（真实概率测度）估计的相关矩阵直接引入期权定价模型（风险中性概率测度），我们展示了成功的理论基础。这对于缺乏公共数据的衍生品定价非常方便。这也表明，通过改变测度，我们可以简化两个具有漂移的相关布朗运动，并保持原过程的依赖结构。2.3公共分解和局部相关模型在本节中，我们通过局部相关过程对公共分解进行了新的研究。我们考虑了常用分解方法和局部相关模型之间的区别和联系。与之前一样，可以在第6.2.3.1节常见分解和局部相关模型之间的关系中找到证明。首先，让我们回顾一种使用广泛的分解方法，该方法将相关布朗运动表示为基于ρ的独立布朗运动的线性组合。假设Z是独立于F的布朗运动∞然后我们定义Zt，Zt{ρu6=±1}p1- ρu（dWu-ρudBu）+Zt{ρu=±1}dZu。（15）特别是，如果t、 ρt6=±1，a.s.，然后zt=Ztp1- ρudWu-Ztρup1- ρudBu。验证[B，Z]t=0并不困难，t型≥ 0，因此{Zt}t≥0是独立于{Bt}t的布朗运动≥0，Z和W的局部相关性为q1- ρt。通过定义Zt，我们得到了基于局部相关性的分解（B，W），（Bt，Wt）=（Bt，ZtρsdBs+Ztq1- ρsdZs）。

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2022-6-24 07:49:16

（16）如果我们从方程的右侧开始，即从独立的布朗运动B，Z和局部相关过程ρ开始，我们就得到了构造相关布朗运动（B，W）的常用模型。作为比较，通过本文中的常见分解，（B，W）具有表示（Bt，Wt）=（XTt+YSt，XTt-YSt）。类似地，如果我们从右侧开始，即从独立的布朗运动X，Y和时间变化过程t开始，并进行构造，那么（B，W）在某些条件下是相关的布朗运动。很明显，Z的第二部分定义得很好。考虑第一部分{ρu6=±1}√1.-ρu（dWu- ρudBu），let Mt，Wt-RtρudBu，[M]t=t+Rtρudu- 2Rtρud[B，W]u=Rt（1- ρu）du。对于任何0<t<∞ ,Rt{ρu6=±1}1-ρud【M】u≤Rtdu=t<∞, 这意味着第一部分也很明确。通过该程序，我们可以得到一种新的施工方法（B，W）。我们将在第3节进一步讨论相关布朗运动的这种新构造方法。备注2.3。从上面的比较中可以看出，这两种方法背后的不同观点很清楚：局部相关方法从空间角度描述布朗运动的依赖性，而普通分解方法从时间角度描述布朗运动的依赖性。ρt表征了时间t时B和W之间的相关性，但tt表征了时间段[0，t]内的相关性。也就是说，ρt表示局部相关性，但tt表示整个时间段内的相关性[0，t]。下一个命题给出了基于局部相关性的分解和公共分解之间的联系。在考虑完全独立分解时，这两种方法具有相同的等价条件。提案2.2。

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2022-6-24 07:49:19

在定理2.1所述的条件下，X、Y和T相互独立当且仅当下列条件成立：（C3）局部相关模型（16）中的ρ、B和Z相互独立。备注2.4。假设{Mt}t≥0，{Nt}t≥0是关于Ftand[M，M]t=[N，N]t的两个连续局部鞅，t、那么定理2.1可以直接推广，其中tt=[M，M]t+[M，N]t，St=[M，M]t-【M，N】t和Xt，Y的定义与第2.1节类似。定理2.2和命题2.1仍然有效，如果我们在条件（C1）和（C2）中用FT代替FT。此外，如果[M，M]t=[N，N]相对于t是绝对连续的，那么根据马丁格尔表示定理，我们可以将（Mt，Nt）重写为（Mt，Nt）=（ZtθudBu，ZtξudBu+ZtηudZu），其中B和Z是两个独立的布朗运动，θu≥ 0，ηu≥ 0, u、很明显，FT，S=Fθ，ξ，η。因此，如果ρ替换为FT，S，命题2.2仍然正确∞在条件（C3）下。特别是{Xt}t的等价条件≥0，{Yt}t≥0和{Tt}t≥0在一维情况下是相互独立的，即Ocone鞅，如Kallsen（2006）和Vostrikova和Yor（2000）所示，是Mt=Nt的特例。Oconemartingale已广泛应用于金融数学，如Carr et al.（2005）和Geman et al.（2001a）。2.3.2关于T和ρ的进一步讨论从设置中，我们可以看到T在公共分解中起着重要作用。因为X和Y是独立的，所以T与公共分解三元组中（B，W）的依赖结构相关。特别是，在X、Y和T相互独立的完全分解的情况下，T包含所有依赖信息。另一方面，如果我们将T视为一个特殊的计时器，一个“时钟”，很明显，这个时钟的运动受到（B，W）的相关性的影响。

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2022-6-24 07:49:23

在本节中，我们通过ρ进一步讨论T，以更好地理解公共分解。首先，根据定理2.1，（T，S）和ρ的连接如下：Tt=Zt1+ρudu，St=Zt1- ρudu，在布朗运动情况下，FT=FT，Sin，其中，1+ρ实际上是局部相关ρtand之间的距离-1, 1 - ρ是ρtand+1之间的距离，分母2是-1和+1。因此，可将被积函数视为（B，W）相关性偏离完全相关性的归一化。例如，图1显示了ρ的路径，其中阴影部分表示S，光部分表示T。请考虑ρ始终接近1且远离-1，则“时钟T”的运行速度比S快，“时钟T”侧重于正相关。图1：局部相关路径ρ考虑T和S的值，在任何时间T，它们满足ytt+St=T，Tt-St=Ztρudu。也就是说，两个时钟的读数之和表示日历时间，而它们之间的差值表示（B，W）到时间t的累积相关性。平均相关系数过程定义为？ρt=tZtρudu，（17），也可以用t和S表示，？ρt=Tt-Stt=Tt-T和ρ之间的另一个主要区别是可观测性。T总是可以通过二次协变量观察到，而ρ通常是不可观察的。在统计学中，我们只能估计一段时间内的相关系数，也就是说，统计中ρ的估计实际上是ρ，而不是ρ本身。因此，如果局部相关性是动态的，统计学可以帮助我们更好地研究T。考虑双因素衍生产品的金融定价。当这两个因素的局部相关性随时间随机变化时，总是很难获得期权价格。

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2022-6-24 07:49:26

在这种情况下，平均相关系数过程（ρ）通常起着重要作用。例如，外国股权期权的价格是由马（2009a）中的ρ矩近似得出的，Van Emmerich（2006）和Teng等人（2016c）表明Quanto的价格是由ρ的拉普拉斯变换确定的。在我们的方法中，(R)ρt=2Ttt-1，这是表明在财务建模中使用常见分解方法的优势的原因之一。我们将在第4节中进一步讨论这一点。在下一部分中，我们将使用一个简单的示例来揭示上述概念。示例2.3。假设B和W是两个具有常数相关ρ的布朗运动∈ (-1, 1). 然后通过局部相关法，（Bt，Wt）=（Bt，ρBt+q1- ρZt），其中Z已在（15）中定义。在这种情况下，命题2.2中的条件是满足的，因此公共分解三元组X、Y和T的过程是相互独立的。它们可以精确计算，Tt=1+ρt，St=1- ρt，Xt=B1+ρt+W1+ρt，Yt=B1-ρt-W1级-ρt，且（B，W）的分解为（Bt，Wt）=（X1+ρt+Y1-ρt，X1+ρt-Y1级-ρt）。在本例中，我们总结了以下三条语句。（i） T和S符合任何时间段中“日历时间”的分解。它们由根据（B，W）的相关结构挑选出的特殊“时间点”组成。它们可以被视为只在特定时间移动的特殊时钟。（ii）如果ρ>0，则时钟T的运行速度快于时钟S，反之亦然。（iii）考虑C={αB+（1）- α） W |α∈ R} ，B和W的广义凸组合族。C中每两个过程与参数α和β的相关系数为ρα，β=（1- ρ)[(2α -1)β - α] + 1.如果α=，ρα，β=ρ+1>0，β ∈ R、否则，我们有ρα，β≤ 如果α>β，则为0≤ (α -1.-ρ)/(2α -1）或α<，β≥ (α -1.-ρ)/(2α - 1).

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2022-6-24 07:49:30

换句话说，B+WI是C中唯一与C中任何其他进程严格正相关的进程。请注意，该进程实际上是时钟T下的X，因此X代表B和W中的常见结构。类似地，Y表示B和中的公共结构-W、也就是说，X和Y是两个极端情况，它们是通过公共分解从B和W中提取的。事实上，集合C的背景来自一个财务示例。假设B和W代表两种资产的收益，那么αB+（1- α） W代表这两项资产的投资组合回报。α<0或α>1表示资产卖空。备注2.5。实际上，如果B和W的局部相关性不是常数，那么示例2.3中的三个语句仍然有效。对于（i）和（ii），结果保持不变。对于（iii），我们可以证明cov（αBt+（1- α）重量，βBt+（1- β） Wt）=（1- Corr（Bt，Wt））[（2α-1)β - α] +1，其中Cov和Corr分别表示协方差和相关性。通过类似的讨论，B+Wis是唯一一个与B和W的任何凸组合严格正相关的过程inC。2.4通过离散化的公共分解说明上一节中的示例演示了公共分解中的过程是什么样子，以及当ρT≡ ρ ∈ (0, 1). 在本节中，通过离散ρ，从分布角度对一般情况进行类似分析。在这一部分中，我们还从两个具有局部相关过程ρ的相关布朗运动B和W开始，并遵循前面章节中定义的所有其他符号。给定t≥ 0，设∏是[0，t]的一个分区：0=t<t<t<····<tn=t，写|∏| |=max{ti-ti公司-1： i=1，n} 。

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2022-6-24 07:49:33

给定ρ，用于ω ∈ Ohm, 呼吸∏（ω）=n-1[i=0（ti，ti+1+ρti（ω））ti]。注意，通过A∏的构造，随机过程{1{u∈A∏}}0≤u≤tand{1{u/∈A∏}}0≤u≤皮重可预测。设置▄X∏s，Zs{u∈A∏}dBu、~Y∏s、Zs{u/∈A∏}dBu，s∈ [0，t]，即▄X∏与A∏中的B保持一致，并在其他时间保持静止，而▄Y∏则相反。设▄W∏s，▄X∏s-Y∏s=Zs{u∈A∏}dBu-Zs{u/∈A∏}dBu。（18）那么∧W∏是一个布朗运动，在a∏中与B共同运动，在[0，t]\\a∏中与B相反。和▄X∏和▄Y∏表示B和▄W∏的共同运动和反向运动。在任何时候s≤ t、时间周期[0，s]分为两部分：共同运动周期A∏t[0，s]和相对运动周期[0，s]\\A∏，其总长度可分别计算为（假设ti<s≤ ti+1）~T∏s（ω），m[0，s]∩ A∏（ω）=ti公司+∑ik=0ρtk（ω）塔卡+米（ti，s）∩ A∏（ω）,~S∏S（ω），m[0，s]\\A∏（ω）=ti公司-∑ik=0ρtk（ω）塔卡+米（ti，s]\\A∏（ω）,其中m（·）表示R上的勒贝格测度。显然，lim |∏||→0T∏s=s+Rsρudu=Ts，lim |∏||→0S∏S=S-Rsρudu=Ss，s∈ [0，t]。（19）以下命题考虑了分布中▄W∏的极限性质。提案2.3。假设模型设置中的假设和命题2.2中的条件成立。对于任何给定的0≤u<u<···<英国<∞, 0≤ v<v<···<vL<∞, 同于| |∏| |→ 0，我们有（Bu，Bu，…，BuK，～W∏v，～W∏v，～W∏vL）d-→ （Bu，Bu，…，BuK，Wv，Wv，…，WvL）。A∏（ω）的选择不是唯一的。A∏（ω）可以是任何Borel集，只要mA∏（ω）∩（ti，ti+1）=1+ρti（ω）ti，i、其中m（·）表示R上的Lebesgue测度。命题2.3保证as | |∏| |→ 0，则（B，~W∏）的任何有限维分布在分布意义上收敛于（B，W）。为简单起见，我们用“f”表示过程的有限维分布收敛。d、 d。---→”. 因此，（B，~W∏）f。d、 d。---→ （B，W），因此，（▄X∏，▄Y∏）=（B+▄W∏，B-W∏）f。d、 d。----→||Π||→0（XT，YS）。

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mingdashike22

2022-6-24 07:49:35

（20）收敛性质（20）和（19）从某种意义上揭示了X和Y与（B，W）的共同运动和反向运动之间的联系，并直观地解释了T和S被视为记录（B，W）正相关和负相关的时钟。3相关布朗运动的构造与模拟基于公共分解在上一节中，已经演示了两个相关布朗运动的公共分解。对于任意两个布朗运动B和W，我们可以找到一个三元组（X、Y、T）来通过时间变化方法来表示它们。在实践中，逆向问题也值得关注和研究。也就是说，是否有可能用公共分解方法从两个独立的布朗运动构造出两个具有所需依赖结构的布朗运动？在本节中，我们将重点讨论这个问题。此外，还给出了基于公共分解的仿真方法。3.1构造相关布朗运动的新方法在本节中，我们在某些条件下用普通分解方法构造相关布朗运动，并举例说明这种新构造方法的应用。定理3.1。设（X，Y）为二维标准布朗运动且{Tt}t≥0，{St}t≥0be时间随F变化。如果FYSt⊥ FXT公司∞|FXTt和FXTt⊥ 财政年度∞|FYSt，然后{XTt}t≥0和{YSt}t≥0是关于FXT，YS的鞅。此外，如果T，S严格增加且Tt+St=T，t型≥ 0，然后是BT，XTt+YStand Wt，XTt-y关于FB，Wand[B，W]t=Tt的两个相关布朗运动-立即，我们有了一种方便的方法，从定理3.1构造相关布朗运动。推论3.1。假设T，S是满足Tt+St=T的严格递增过程，t型≥ 0和X，Y是独立的布朗运动。

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2022-6-24 07:49:38

如果X，Y，T相互独立，则bt，XTt+YStand Wt，XTt-y关于FB，Wand[B，W]t=Tt的两个相关布朗运动-接下来，我们考虑通过公共分解和体制转换模型来构造相关的布朗运动。制度转换是金融领域常用的模型，它很好地拟合了金融数据。例如，Schaller和Norden（1997）发现了非常有力的证据，证明股票市场回报中存在依赖于国家的转换行为。已经考虑了离散时间相关性的状态转换模型，例如Casarinetal.（2018）和Pelletier（2006）。因此，在下一个例子中，我们考虑区域切换模型，用公共分解方法构造相关的布朗运动。示例3.1。（区域切换模型）假设{Qt}t≥0是连续时间平稳马尔可夫过程，取有限状态空间{e，e，…，en}中的值，其中ei=（0，…，0 |{z}i-1, 1, 0, . . . , 0 |{z}n-i）表示单位向量。马尔可夫过程{Qt}t≥0具有平稳转移概率矩阵P（t）=（pij（t））n×n，其中pij（t）=P（Qt+s=ej | Qs=ei）。均质发生器A=（aij）n×n存在，定义为asA，limt↓0P（t）- 这里我表示单位矩阵。然后我们得到dp（t）dt=AP（t）=P（t）A。解这个常微分方程我们得到P（t）=eAt。（21）设α=[α，α，…，αn]T，αi∈ (0, 1), i和tt=ZtαTQsds，St=t- Tt=Zt（1-α） TQSD。显然，{Tt}t≥0，{St}t≥0正在增加进程。设{Xt}t≥0，{Yt}t≥0be二维标准布朗运动与Qt无关。然后从推论3.1，我们有{XTt+YSt}t≥0和{XTt-YSt}t≥0是两个相关的布朗运动。3.2模拟相关布朗运动的新方法模拟也是构造相关布朗运动的重要部分。在这一节中，我们给出了一种用普通分解方法模拟相关布朗运动的新方法。

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2022-6-24 07:49:41

局部相关模型（local correlationmodel）从微观角度描述相关性，只关注当前的相关性；然而，从宏观角度来看，公共分解描述了整个时间段内的相关性。这两种方法的差异可能会带来新的模拟方法相对于局部相关模型模拟方法的优势。局部相关模型最常用的模拟方法之一是Euler-Maruyama方案，见Kloeden和Platen（2013）。首先，给定[0，t]的划分∏，letW∏t=Ztρ∏udBu+Ztq1- （ρ∏u）dZu=n-1.∑k=0（ρtkBtk+q1- ρtkZtk），（22）其中Btk=Btk+1- Btk，Ztk=Ztk+1- Ztkand{ρ∏u}0≤u≤定义为ρ∏u=ρti，ti≤ u<ti+1。其次，应用（22）模拟（B，W）。因此，模拟结果最终为（B，W∏），并且总是存在明显的模拟误差。在X、Y和T相互独立的条件下，表1和表2显示了在没有T分布的显式表达式时，使用通用分解方法进行模拟的具体步骤。作为比较，局部相关模型的Euler-Maruyama方案也显示在表1和表2的第二列中。（B，W∏）的公共分解表示为（X∏，Y∏，T∏）。从表1中可以看出，与Euler-Maruyama方案相比，常用分解方法的区别和优点如下：o如果不需要轨迹，并且我们只需要时间t的bt和wt，则常用分解方法可以减少模拟时间。如果ρ是一个随机过程，我们必须在正则Maruyama格式中模拟3n个随机数，即。Bti，Zti，ρti，i=0，1，n-然而，在常用的分解方法中，我们只需要模拟n+2个随机数，即T∏T，T∏T。

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大多数88

2022-6-24 07:49:44

，T∏tn，X∏T∏tand Y∏S∏T.o如果我们有T分布的显式表达式，我们可以直接模拟tt，那么我们只需要模拟XTtand YSt，因此模拟可以减少到3倍。o只要可以控制T∏T的模拟误差，就可以控制模拟误差，因为| XTt- XT∏t |=E | Tt- T∏T |≤ （E | Tt- T∏T |）。因此，如果得到T分布的显式表达式，可以直接模拟T，然后用表1和表2中的类似步骤模拟XT和YS。那么T就没有模拟误差，因此我们可以准确地模拟（B，W），而这对于局部相关模型是不可能的。如果T分布的显式表示不明确，则两种方法的模拟误差相同，因为两种方法都模拟（B，W∏）。从表2中可以看出，如果需要轨迹，并且我们没有T分布的显式表达式，那么两种模拟方法之间的差别很小。表1：模拟给定t（未获得t分布的显式表达式）的（Bt，Wt）通用分解方法局部相关模型（Euler-Maruyamascheme）步骤1模拟t∏t，t∏t，T∏tnin顺序模拟ρT，ρT，ρtn-按顺序步骤2模拟X∏T∏和Y∏S∏T模拟英国电信，英国电信，Btn公司-1和Zt，Zt，Ztn公司-步骤3计算（Bt，W∏t）根据t∏t=t计算（Bt，W∏t）+∑n-1i=0ρtiti，模拟T∏T的复杂性，T∏T，T∏tn等于模拟ρT，ρT，ρtn-1、在T∏T条件下，X∏T∏和Y∏S∏分别为均值为零和方差为∏和∏S∏的独立正态分布。表2：模拟[0，t]中（B，W）的轨迹（未获得t分布的显式表达式）常用分解方法局部相关模型（Euler-Maruyamascheme）步骤1模拟t∏t，t∏t，T∏tnin顺序与表1步骤2模拟中的步骤1相同X∏T∏T，X∏T∏T。

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2022-6-24 07:49:48

, X∏T∏tn-1和Y∏S∏t，Y∏S∏t，Y∏S∏tn-1与表1步骤3中的步骤2相同，计算Bt，Bt，B和W∏t，W∏t，W∏tn计算Bt，Bt，B和W∏t，W∏t，W∏tn在T∏T，T∏T，T∏tn-1、随机变量X∏T∏T，X∏T∏T，X∏T∏tn-1.Y∏S∏t，Y∏S∏t，Y∏S∏tn-1是均值为零且方差为零的独立正态分布T∏T，T∏T，T∏tn-1.S∏t，S∏t，S∏tn-1分别。示例3.2。取以下参数，Q=[1，0，0]T，α=[0.3，0.6，0.9]T，A=-1 0.8 0.20.4 -1 0.60.3 0.7 -1., t=1，ti=0.01，i、（23）图2（a），图2（b），图2（c）显示了我们如何通过公共分解方法（未获得t分布的显式表达式）逐步模拟[0，t]中（B，W）的轨迹（a）步骤1：模拟Tt（B）步骤2：模拟XT和YSt（c）步骤3：计算Bt和Wt图2：通过公共分解方法（未获得t分布的显式表达式）模拟（Bt，Wt）我们考虑的区域示例3.1中的切换模型。由于（21），政权切换模型的模拟是可行的。采用与（23）中相同的参数，我们通过模拟（Bt，Wt）计算Bt+Wt的期望值，N=5000次重复。我们使用MATLAB2017b实现Monte Carlo方法，核心为i7 2.8GHZ CPU。表3显示，两种方法的标准偏差非常接近，因此其模拟误差非常小。

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2022-6-24 07:49:51

常用的分解方法比采用Euler-Maruyama格式的局部相关模型运行速度快得多。请注意，这里不需要模拟轨迹。表3：比较两种模拟方法SE（Bt+Wt）Std Dev运行时间公共分解方法（未获得T分布的显式表达式）-0.0034 1.8593×10-23.1868二次局部相关模型（Euler-Maruyama方案）0.0265 1.8561×10-211.4762秒4金融衍生品估值通过应用公共分解方法在前两节中，考虑了两个布朗运动的公共分解，其中依赖结构可能非常普遍。我们展示了如何将布朗运动（B，W）分解为三元组（X，Y，T），并回答了如何从给定的三元组（X，Y，T）构造两个相关的布朗运动。在本节中，我们将应用公共分解方法研究由两个相关布朗运动建模的一些典型双因素导数的定价问题。我们首先给出了两个例子，展示了公共分解三元组（X，Y，T）在协变量掉期、协变量期权和Quanto期权定价中的直接使用。然后我们将重点讨论双色彩虹期权的定价问题。双色彩虹期权有几个典型的例子，一个是期权债券，详见Stulz（1982）；此外，一种特殊的双色彩虹期权，即价差期权，在金融市场中无处不在，包括股票、固定收益、外汇、大宗商品和能源市场，Carmona和Durrleman（2003）概述了价差期权的示例和共同特征。为简单起见，我们假设X、Y和T在本节中相互独立，即ρ独立于命题2.2中的局部相关模型中的（B，Z）。这一假设并没有那么严格，以致于不符合事实。

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2022-6-24 07:49:54

例如，在Ma（2009a）中，当考虑具有随机相关性的外国股票期权的定价问题时，作者从实证角度说明了ρ、B和Z的独立性。4.1定价协方差掉期和协方差期权取决于汇率变动，例如以不同于基础货币的货币支付的期权，具有资产与汇率之间相关性的风险敞口。这种风险可以通过两种方式消除，一种简单的方法是Quanto选项，将在第4.2节中讨论；本节重点讨论的另一种方法是协方差选项或相关选项，详情请参见Swishchuk（2016）。通过组合方差和协方差期权，可以确定投资组合的已实现收益方差。Carr和Madan（1999a）指出，协方差掉期可以通过期权和期货构建，换句话说，期权可以通过协方差掉期和期货进行完美对冲。在接下来的部分中，我们将考虑所谓的协方差期权，该期权旨在应对两项基础资产的协方差风险。假设两项资产（S，S）的价格可以表示为dStSt=udt+σdBt，dStSt=udt+σdWt，（24），其中基础资产的漂移ui，i=1，2和波动率σi，i=1，2假设为常数。示例4.1（已实现收益协方差的掉期和期权）。考虑两种风险资产，其价格演变为（24）。然后，根据示例2.2，（S，S）可以在适当的条件下转换为dStSt=rdt+σdBt，dStSt=rdt+σdWt，其中B和W是风险中性度量Q下的布朗运动，r表示恒定的无风险利率。两项资产的连续复合收益率分别为ln（St/S）和ln（St/S）。

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2022-6-24 07:49:57

因此，两项标的资产的已实现收益协方差定义为ln（St/S）和ln（St/S）CovR（St，St），[lnSS，lnSS]t的交叉变量，然后是标的股权的协方差互换和协方差期权的收益和到期isCovR（St，St）-K、 andmax{CovR（St，St）-K、 0}，其中K表示执行价格。注意covr（St，St）=[lnSS，lnSS]t=Ztσd[B，W]t=σ（Tt-St）=σσ（2Tt-t）协方差交换和协方差期权的价格仅取决于Tt的期望和分布。请注意，T在实际概率测度中是可观测的，根据示例2.2，在实际概率测度和风险中性概率测度下T的分布是一致的，因此我们可以很容易地从历史数据中获得T的分布和期望，然后获得协方差互换和协方差期权的价格。相关性交换和correlationoption的结果相似。4.2定价Quanto期权Quanto期权是一种著名的跨货币金融产品，在有组织的交易所以及场外交易中进行交易。其收益以一种货币计算，但以固定汇率以另一种货币结算。其目的是对冲将外国投资以本币进行的风险。因此，基础价格和汇率之间的相关性在定价中起着最终作用。通常，这种相关结构是由两个相关的布朗运动模拟的。在第2节中，我们已经证明了两个布朗运动的部分依赖性可以用公共分解中的T来描述。在下面的示例中，我们将展示T在欧式Quanto定价中的重要作用。示例4.2。考虑一下欧洲风格的Quanto。

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2022-6-24 07:50:00

假设在本币风险中性概率下，对外币基础权益S的价格和汇率R进行建模，如下所示：dSt=uStdt+σStdBt，dRt=uRtdt+σRtdWt，Quanto认沽期权的收益isRmax（K-St，0）。r，r分别表示本币和外币下的无风险利息。在本币世界的无套利假设下，任何贴现资产都应该是风险中性概率的鞅。因此，考虑外币的银行账户和股票账户，可以得到r=exp(-rt）E[膨胀（rt）rt]，（25）SR=膨胀(-rt）E【StRt】。（26）请注意，E【Rt】=Rexp（ut），E【StRt】=SRexp(u+ u-σ-σ） t型E[exp（σBt+σWt）]，在条件（C3）下，我们有E[exp（σBt+σWt）]=exp（σ+σ）tE经验值σσZtρudu.简单计算后，u=r-r、 u=r-u-tln E公司exp（σσZtρudu）.根据Van Emmerich（2006）和Teng等人（2016c），Quantos的价格isPQuanto=RKe公司-rtN公司(-d）-硒-（rt-rt+ln Ehexp（σσrtρudu）i）N(-d）,其中d=对数（S/K）+（r+σ/2）t-ln Ehexp（σσRtρudu）iσ√t、 d=d-σ√t、请注意，ln Eexp（σσZtρudu）= ln E[exp（σσ（2Tt-t））]，那么Quantos的价格实际上是由Tt的拉普拉斯变换确定的，与例4.1类似，我们可以通过历史数据中t的分布来获得Tt的拉普拉斯变换。4.3定价2色彩虹期权在本节中，我们重点讨论一类多资产期权，即2色彩虹期权，该期权写在两种风险资产的最大值或最小值上。Margrabe（1978）和inStulz（1982）首次对这种期权进行了研究，作者展示了其在评估许多金融工具（如外币债券、期权债券、公司融资风险分担合同、担保债务等）时的广泛应用。在这一部分中，我们使用了与第4.1节相同的资产价格模型。

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