首先，我们认为对于一个正的可测函数≡ G（s，···sk+1，z，···，zk+1），我们有{Nt=k}G（T，···，Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）= EZk（t）×[t，∞)G（s，···，sk+1，Zs，···，Zsk，Zt）ds···dske-sk+1dsk+1.（10） 事实上，从那时起{Nt=k}G（T，···，Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）= EE{T≤t、 ···，Tk≤t、 Tk+1>t}G（t，···Tk+1，ZT，···，ZTk，ZT）| FZ= EZ[0，t]k×（t，∞)G（s，···，sk+1，Zs，···，Zsk，Zt）P（T∈ ds，···，Tk+1∈ dsk+1）,由于T的节理密度，Tkis由p（T）给出∈ ds，···，Tk+1∈ dsk+1）=1{sk+1>sk>sk-1> ···>s>0}e-sk+1ds···dsk+1，我们有（10）。特别地，如果G独立于sk+1，我们有以下约化：E{Nt=k}G（T，···Tk，ZT，···，ZTk，ZT）= e-tE公司Zk（t）G（s，···sk，Zs，···，Zsk，Zt）ds···dsk.（11） 我们注意到，我们可以应用（11）toG+（s，····sk，z，···，zk+1）=kYi=1θ（si- si公司-1，zi-1，zi）f（zk+1）！+，G-（s，····sk，z，···，zk+1）=kYi=1θ（si- si公司-1，zi-1，zi）f（zk+1）！-,所以我们有“kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=e-tE“Zk（t）kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）ds···dsk#。（12） 因为我们从定理2的（i）中知道qki=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）∈L∞（P） ，我们看到qki=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）根据f（Zt）的要求在L（P）中∈ L（P）。因此，（12）等趾的右侧-tZ公司k（t）E“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#ds···d sk。注意e“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#=Z（H）k+1kYi=1h（si- si公司-1，zi-1，zi）f（z′）q（t- sk，zk，z′（y′）dz···dzkdz′，我们得到k（t）E“kYi=1θ（si- si公司-1，Zsi-1，Zsi）f（Zt）#ds···dsk=ZHZ（H×[0，t]）kkYi=1h（si- si公司-1，zi-1，zi）q（t- sk，zk，z′（y′）dsidzi！f（z′）dz′=ZHZH×[0，t]hk（sk，z′，z′）q（t- sk，z，z′（y′）dskdz′f（z′）dz′（13），其边界为Kktk公司-1（k- 1） 哦！ZHq（t，z，z′）（y′）| f（z′）| dz′=Kktk公司-1（k- 1） 哦！E[| f（Zt）|]，如（8）所示。

因此，我们可以改变求和与期望值inE“NtYi=1θ（Ti）之间的顺序- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=E“f（Zt）1{Nt=0}+∞Xk=1kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#。另一方面，通过（13），Ef（Zt）1{Nt=0}+∞Xk=1E“kYi=1{Nt=k}θ（Ti- Ti公司-1，ZTi-1，ZTi）f（Zt）#=e-tZHq（t，z，z′）（y′）f（z′）dz′+e-t型∞Xk=1ZHf（z′）dz′ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）hk（s，z′，z′）dsdz′）=e-tZHq（t，z，z′）（y′）f（z′）dz′+e-tZHf（z′）dz′ZHZtq（t- s、 z，z′）（y′）Φ（s，z′，z′）dsdz′）=e-tE[f（Zut）]，其中la st等式根据定理2的（iii）有效。参考文献[1]Bally，K.和Kohatsu Higa，A.（2015），“阿美特里克斯方法的概率解释”，Ann。应用程序。概率。，第25卷，编号63095-3138。[2] Davies，E.B.（1989）《热核与光谱理论》，剑桥大学出版社。[3] Gruet，J.-C.（1996）“运动布朗双曲线的半群”，随机随机代表，56，53-61。[4] Henry Labord\'ere，P.（2005）“随机波动率模型的一般渐近隐含波动率”，arXiv：cond mat/0504317[5]Karatzas，I和Shreve，S.E.（1991）布朗运动和随机微积分，第二版，Springer Verlag[6]Matsumoto，H和Yor，M.（2005）“布朗运动的指数泛函，II：一些相关的扩散过程”，Probab。调查第2卷，348-384。