几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和

2022-5-25 16:51:22

几何布朗运动、年金和亚式期权的离散和Dan PIRJOL和LINGJIONG ZHUAbstract。几何布朗运动的离散和在保险随机年金建模中起着重要作用。它在数学金融中的亚洲期权定价中也起着关键作用。本文研究了几何布朗运动的有限和、几何布朗运动与几何停止时间之和以及几何布朗运动的有限和的概率分布。这些结果推广到指数L'evy过程的离散和。我们推导了尾渐近，并数值计算了渐近分布函数。我们将这些结果与已知的几何布朗运动在指数分布时间内的连续时间积分的结果进行了比较。结果以离散支付的终身年金和亚洲期权的数字样本进行了说明。简介年金的估值和风险管理是精算学的重要课题。合同年金支付种类繁多，从固定支付到可变年金，可能具有保证福利的特点。在精算文献中，在不同的股权价格、死亡率和利率模型选择下，考虑了此类合同的定价和估价【18、25、35、10、33】。文献中关于可变年金的大部分理论工作是在连续时间内进行的，尽管在实践中这些工具是在离散时间内定义和模拟的。我们注意到，精算文献中也考虑了离散时间模型[21]。

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2022-5-25 16:51:25

在本文中，我们将在离散时间环境下工作，并将我们的结果与连续时间近似进行比较。在本文中，我们将考虑股票收益的几何布朗运动模型下的固定支付年金的情况。利率将被假定为恒定的和确定性的，死亡率将被描述为几何分布。从理论角度来看，这种设置很有意义，同时也是构建更复杂和现实模型的简单起点。股票价格的几何布朗运动模型（Black-Scholes模型）是文献中最简单的模型。对数正态模型（独立对数正态ILN）也是美国精算师学会报告中推荐的模型之一，用于生成预先包装的经济情景（见【2】，附录2】。该模型可以通过添加随机波动率进行扩展，建模为差异或使用制度转换方法。在对数正态回报权益模型下，固定息票年金的现值可能与离散时间点上采样的几何布朗运动（GBM）之和有关。该数量在离散和连续时间环境中的分布特性已在数学金融和精算文献中得到广泛研究，日期：2016年5月20日。2000年数学学科分类。60G70,60K99。关键词和短语。几何布朗运动之和，随机递归方程，几何停止，年金，亚式期权，指数L'evy过程。2 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUsee【13，15】概述。例如，考虑一种随机年金，它在固定时间以时间步长τ支付常数C。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:51:28

此外，假设付款来自包含价值过程为Ut的资产的投资组合，该资产是随机的，遵循几何布朗运动：（1）Ut=eσWt+（m-σ） t，其中wt是从0开始的标准布朗运动，时间为0，σ，m是实参数。Utrepresents表示在时间零点投资于资产（例如股票）的一个货币单位在时间t的价值，该资产具有正态分布的对数回报。假设在ti时支付n张息票，年金的现值为（2）Sn=nXi=1DtiCUti，其中d是贴现系数。该数量是一个随机变量，代表在时间零点所需的负债或货币金额，以便能够支付年金现金流。我们感兴趣的是Sn概率密度的形状，尤其是这个分布的尾部，它给出了年金支付所代表的负债极值的概率。

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2022-5-25 16:51:32

如果贴现率r为常数且具有确定性，则贴现因子为指数Dti=e-Rti和年金值Sni与在离散时间ti（3）~Sn=nXi=1e上采样的年龄计量布朗运动之和成比例-σWti+（σ-m） ti，其中我们重新定义了m+r→ m、在假设St遵循几何布朗运动（5）St=SeσWt+（m-σ）这里wt是标准布朗运动，σ，m是资产的波动性和漂移。如果平均时间均匀分布且时间步长非常小，则时间平均值（4）可近似为连续时间平均值（6）An=tnZtnStdt。这就把问题归结为几何布朗运动时间积分分布性质的研究，这在文献[12，13，40，41]中得到了广泛的研究。几何布朗运动的时间积分的分布性质在很大的时间限制内大大简化。定义（7）YT=ZTdteσWt+（m-σ） t.以下结果在【12】中得到证实，有关相关结果的调查，请参见【16】中的第3节。GBM、年金和亚洲期权的离散总和3理论1（[12，16]）。极限限制→∞YT=Y∞当且仅当ifm存在于分发中-σ<0，（8）σY∞= 伽马射线1.-2mσ，1.Y的极限概率密度∞由反伽马分布给出。

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2022-5-25 16:51:36

概率密度函数P（Y∞∈ （z，z+dz））=φ∞（z） dz，由（9）φ给出∞（z；σ，m）=σ1.-2mσz1.-mσΓ1.-2mσ经验值-σz.累计分布为（10）Φ∞（x；σ，m）=P（Y∞< x） =Γ1.-2mσΓ1.-2mσ；σx,式中，Γ（a，x）=R∞xta公司-1e级-tdt是不完全Gamma函数。本文研究了等距时间ti=iτ（11）Xn=nXi=1eσWti+（m-σ） ti。GBM（3）的逆和可通过替换σ从中获得→ -σ、 m级→-m+σ。我们将研究Xn和GBMX的有限和的分布特性∞= 画→∞Xn，和Xn，几何分布N的GBM之和。我们研究了N的存在性→ ∞ 极限，所有三种情况的尾部渐近性，相应随机变量的动量，以及离散和到连续时间积分的收敛性。研究结果将应用于年金和亚洲期权的研究。我们还用数值方法说明了我们的结果。GBM离散和分布的确定问题与对数正态和分布的研究密切相关，对数正态和分布的研究历史悠久，有关文献综述，请参见[3]。最简单的方法是用对数正态随机变量近似分布[27，16]。文献[4，19，24]研究了相关对数正态和的尾部渐近性。

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2022-5-25 16:51:39

Dufresne【16】研究了在小波动率极限σ下，通过引入权重函数而推广的和（11）的分布→ 0，并导出了该量的极限定理。米列夫斯基（Milevsky）和波斯纳（Posner）[31]研究了具有离散监控的亚式期权的定价。他们将GBM的有限时间积分的分布特性应用于离散和Xn，并建议使用逆Gamma分布作为有限和的近似值，作为亚洲期权定价的参数近似值。逆伽玛分布仅在连续时间内得到；在离散时间内，分布是不同的，我们在这里研究离散时间和连续时间积分近似的修正。本文作者[29]研究了n中和（11）的分布性质→ ∞在固定的β=στn下进行限制，并找到几乎确定的平均值An=nx的限制、波动和大偏差，然后获得货币外、货币内和货币内亚洲期权价格的渐近性。请注意，固定的β和n→ ∞ Limit对应于小型到期或小型波动性制度。对于亚洲期权，典型成熟度可以是1年或2年，波动率通常小于100%。因此，小型成熟度或小型波动率制度在业务应用程序中具有实际意义。固定σ、τ和n的4 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUcase→ ∞ 给出几何布朗运动X的有限和∞.这种情况对应于大到期或大时间范围制度，这对随机年金具有实际意义，但与亚洲期权的定价关系不大。本文的组织结构如下。在第二节中，我们研究了几何布朗运动有限和分布的性质。

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2022-5-25 16:51:42

我们得到了一个随机递归方程，并用它导出了几何布朗运动X的有限和内概率密度函数的积分方程∞在具有时间步长τ的等距时间网格上采样。我们推导了X的右尾和左尾渐近性∞. 随着时间步长变为0τ→ 0，我们证明几何布朗运动的有限和以有限积分的形式收敛，已知该积分遵循逆伽马分布[12]，见定理1。在第3节中，我们重复分析在几何停止时间停止的几何布朗运动之和。在随机年金的背景下，这对应于几何分布的死亡时间。当时间步长为零时，我们证明该和在分布上收敛于终端时间呈指数分布的几何布朗运动的连续时间积分，其性质在文献中已得到充分理解。在第4节中，我们将几何布朗运动之和的结果推广到指数L'evy过程之和，在第5节中，我们导出了GBM有限和正力矩的表达式。在第6节中，我们将我们的结果应用于研究具有固定死亡率、随机死亡率的年金以及年金的风险度量，包括风险价值，以及离散时间亚洲期权的定价。我们以第7.2节中的结果的数值说明来结束本文。本节中GBMWe研究的无限和GBM X的无限和∞= 画→∞Xn，其中Xnis定义为（11）。该随机变量的密度满足以下结果给出的函数关系。提案2。GBM X的最终总和∞, 如果存在，满足关系（12）X∞= A（1+X∞),其中等式在分布中，我们表示（13）A：=eσ√τZ+（m-σ） τ，带Z~ N（0，1）独立于X∞.证据

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kedemingshi

2022-5-25 16:51:45

GBM的有限和（如果存在）可以写成（13）（14）X形式的i.i.d.因子的乘积之和∞= A+AA+AAA+····=A（1+A+AA+·······）=A（1+X∞),最后一个等式在分配中。由于Aiare i.i.d.，Ais独立于（1+A+AA+·········），因此A独立于X∞在（12）中。备注3。更容易理解（12）的方法是将（12）写成X∞= A（1+^X∞) 不分配，其中X∞=^X∞在分布中，A独立于^X∞.我们现在研究函数关系（12）解的存在唯一性。这可能与GBM、年金和亚洲期权5的线性递归（15）xi+1=aixi+双离散和的极限分布的存在有关，其中（ai，bi）是一对i.i.d.随机变量，其值为[0，∞) ×R。通过采用ai=bi=A，这可简化为函数关系（12）。概率文献[26、38、17、28、30]广泛研究了形式（15）的线性随机递归。[1、12、17、23、22]中给出了特定情况下极限分布的显式解。递归（15）极限分布的存在和唯一性的条件是众所周知的【26，38】。以下是极限分布（16）E【log ai】<0，E【log（bi）+】<∞.这给了我们以下结果。提案4。函数关系（12）有一个解，该解是唯一的，前提是以下不等式保持（17）m<σ。证据第一个条件（16）给出（18）E[对数A]=m级-στ<0，满足m<σ。第二个条件（16）总是满足的。我们得出结论，如果不等式（17）成立，函数关系（12）有一个解是唯一的。我们还注意到，对于连续时间的情况，这个结果成立的条件与定理1中的条件相同。

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2022-5-25 16:51:50

关系式（12）给出了X的概率密度函数的积分方程∞,定义为P（X∞∈ （x，x+dx））=f（x；β，ρ）dx。我们将证明X的概率密度函数∞仅取决于参数（19）β：=στ，ρ：=mτ。提案5。函数f（x；β，ρ）满足积分方程（20）f（x；β，ρ）=xZ∞dy公司√2πβexp-2β日志x1+y+β- ρ!f（y；β，ρ）。证据对于任何x>0，（21）P（x∞≤ x） =P（A（1+x∞) ≤ x） =Z∞-∞P十、∞≤xeσ√τz+（m-σ） τ- 1.√2πe-zdz。微分w.r.t.x，我们得到（22）f（x；β，ρ）=Z∞-∞fxeσ√τz+（m-σ） τ- 1.β、 ρ√2πe-zdzeσ√τz+（m-σ） τ。更改变量，让w=eσ√τz+（m-σ） τ，we getf（x；β，ρ）=Zxdw√2πστwe-2στ（对数w-（m）-σ） τ）f（x/w- 1.β、 ρ）。最后，更改变量y=x/w- 1在最后一个积分中，使用定义β=στ和ρ=mτ，我们得到（20）。6 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUIn在下一节中，我们研究密度函数f（x；β，ρ）的渐近形式，在非常小和非常大的参数x的限制下。在第7节中，我们数值求解积分方程（20），并研究解f（x；β，ρ）对参数β，ρ的依赖性。2.1。X分布的渐近性∞. 我们在此研究GBM有限和内的尾部渐近性。2.1.1。P（x）的小x渐近性∞≤ x）。极限密度函数f（x）的下降速度快于x的任何幂→ 我们首先证明所有的反矩E[X-n∞] withn公司∈ N存在且是有限的。提案6。X的反整数矩∞所有订单中，有一个是有限的，从上到下为（23）E[X-n∞] = eστn（n+1）-nmτE（1+X∞)-n≤ eστn（n+1）-nmτ，n∈ N证据然后取函数关系（12）的倒数，并取双方的期望值。最后一步是X的正性∞. 根据命题6，我们可以证明X∞≤ 比任何功率都小nup为常量。

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2022-5-25 16:51:53

利用切比雪夫不等式，我们发现（24）P（X∞≤ ) ≤ nE【X】-n∞] ≤ neστn（n+1）-nmτ，n∈ N备注7。这些性质类似于GBM的有限时间积分。反伽马分布（9）具有所有阶数的有限负矩。这源于e-1/x的速度比x的任何幂都快→ 结果（24）仅给出X左尾的上界∞. 我们确实可以精确地确定X的左尾的前导阶渐近∞, 由以下结果得出：命题8。（25）lim→0log P（X∞≤ )（日志)= -2στ。证据回想一下X∞= A（1+X∞) 在分布和X中∞与A无关：=eσ√τZ+（m-σ） τ，其中Z~ N（0，1）。对于任何 > 0，自X起∞≥ 0 a.s.，（26）P（X∞≤ ) = P（A）（1+X∞) ≤ ) ≤ P（A≤ ).另一方面，对于任何δ>0，P（X∞≤ ) = P（A）（1+X∞) ≤ )（27）≥ P（A）（1+X∞) ≤ |0≤ 十、∞≤ δ） P（X∞≤ δ）≥ PA.≤1+δ0≤ 十、∞≤ δP（X∞≤ δ） =PA.≤1+δP（X∞≤ δ），其中上面的最后一步使用了X的独立性∞和A.GBM、年金和亚洲期权的离散总和7因此，对于任何, δ>0，（28）log PA.≤1+δ+ 对数P（X∞≤ δ）≤ 对数P（X∞≤ ) ≤ 日志P（A≤ ).由于A是对数正态分布，我们有（29）P（A≤ ) = Pσ√τZ≤ 日志 -m级-στ= Φσ√τ日志 -m级-στ,式中Φ（x）=Rx-∞dt公司√2πe-这是众所周知的正态累积分布函数。Φ（x）与x的渐近展开→ -∞ 我们得到（30）个lim→0日志P（A≤ )（日志)= -2στ。拿 → 0在（28）中的固定δ处，使用（30），我们得出结论（31）lim→0log P（X∞≤ )（日志)= -2στ。备注9。在连续时间的情况下，Y∞逆伽马分布和（32）lim→0 对数P（Y∞≤ ) = -σ。我们看到X的左尾渐近∞不同于（逆伽马分布）Y∞. 离散时间和X的密度∞在x附近受抑制较少→ 比连续时间积分Y的密度低0点∞.2.1.2。P（x）的大x渐近性∞≥ x）。

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2022-5-25 16:51:56

文献中已经很好地研究了递归（15）极限分布的尾部行为。我们在这里总结了主要结果，有关应用程序的最新审查，请参见[28]。定义函数（33）Д（κ）=E[（a）κ]，κ∈ R如果存在一个正α，使得Д（α）=1，E[（a）αlog a]，E[| b |α]都是有限的，则对数定律是非算术的，并且对于每个x，P（ax+b=x）<1，则存在一个常数>0和（34）P（x∞> x）~ cx公司-α。对于我们的情况，我们有（35）Д（κ）=E[（A）κ]=Eheκσ√τz+κ（m-σ） τi=eβκ（κ-1） +κρ。方程Д（α）=1具有解α=0和（36）α=1-2mσ=1-2ρβ。在满足其余技术条件的情况下，我们发现X的极限分布∞具有以下尾部行为：算术分布定义为仅支持某个实数的整数倍的分布。8 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu10号提案。X的右尾渐近性质∞由以下关系式（37）P（X）给出∞> x）~ cx公司-1+2ρβ。备注11。不等式（17）给出α>0，因此x的累积分布∞保证在x时降至零→ ∞. 这确保了X的分布∞isnormalizable为1。备注12。对于T，尾部渐近（37）与GBM连续时间积分的尾部渐近相同→ ∞ 从定理1中得到，从X的密度的显式结果可以看出∞在（9）中给出。也可以估计（37）中的常数c。对于具有i.i.d.（ai，bi）的一般线性递归xi+1=aixi+bi，我们得到以下结果。如果a、b≥ 0，常数c由[23]（38）c=E[（ax+b）α]给出- E[（ax）α]αE[aαlog a]，其中xis根据xn的平稳定律分布，且与（a，b）无关。对于我们的情况，我们有a=b=a=eσ√τZ+（m-σ） τ。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:51:59

系数变为（39）c=E[Aα[（1+X∞)α- Xα∞]]αE[αlog A]。使用α=1-2mσwe haveE[αlog A]=Eσ√τZ+m级-στeασ√τZ+α（m-σ） τ（40）=στ- mτ>0。在m<σ的约束条件下，这始终是正的。（39）中的分子通过A，X的独立性将两个期望值分解为两个因子∞. X上的期望∞在一般情况下不容易计算。它可以表示为X密度上的积分∞（41）E[（1+X∞)α- Xα∞] =Z∞dxf（x；β，ρ）[（1+x）α- 通常必须使用通过求解积分方程获得的f（x；β，ρ）的解进行数值计算。正整数α的情形∈ N更简单，因为期望值（41）是第一个α的线性组合-1 X的正整数矩∞. 第5节表明，这些动量可以以闭合形式进行评估（无论何时存在）。m=0的情况特别简单，因为我们有α=1。对于这种情况，期望值（41）为1，我们得到（42）c=στ。X密度的右尾渐近性∞对于m=0，为（43）f（x；σ，0）~ -ddx（c/x）=cx=στx。τx的相应尾部渐近∞is（44）g（x；σ，0）=τp（x/τ；σ，0）=σx。GBM、年金和亚洲期权的离散和9这与GBM的精确连续时间积分的尾部行为相同，后者由伽马密度函数φ的逆给出∞（x；σ，0）定义于（9）。然而，这一简单结果并不成立，例如，通过取α=2并使用第5.2.2节的结果可以看出。τ的极限分布→ 很自然会问，黎曼和τX∞收敛到Y∞分布为τ→ 0。我们得到以下结果。定理13。（i）对于任何m，σ实数，我们有（45）τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→中兴通讯σWt+（m-σ） tdt，单位为τ→ Nτ=T固定时为0。（ii）此外，如果m<0，我们还有（46）τ∞Xi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→Z∞eσWt+（m-σ） tdt，单位为τ→ 0.证明。

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2022-5-25 16:52:02

附录B中给出了证明。这个结果意味着τX∞可近似为∞eσWt+（m-σ） tdt表示τ的所有值，我们从文献中了解到∞eσWt+（m-σ） tdt遵循逆伽玛分布。实际上，我们的离散近似方法提供了另一种证明，即极限连续积分确实遵循逆伽马分布。提案14。假设m-σ<0我们有以下分布极限：（47）limτ→0τX∞（στ，mτ）=γ1.-2mσ，σ.证据设Yτ：=τX∞. 注意，由于Yτ=τX∞, 分布中有Yτ=A（τ+Yτ），其中Yτ独立于A。对数Yτ的拉普拉斯变换由（48）E[Y]给出-θτ]=E[A-θ] E[（τ+Yτ）-θ] ，θ>0，其中我们使用了Yτ和A的独立性。注意，由于A=eσ√τZ+（m-σ） τislog正态分布，我们有（49）E[A-θ] =eθ+θστ-θmτ=1+θ+θστ- θmτ+O（τ），此外，（50）E[（τ+Yτ）-θ]- E【Y】-θτ]=-θτE[（Yτ）-θ-1] +O（τ）。将（49）和（50）代入（48），我们得到（51）E[Y-θτ]=1+θ+θστ- θmτ+O（τ）E【Y】-θτ]- θτE[（Yτ）-θ-1] +O（τ）.Letτ→ 0，定义Y=limτ→0Yτ。在这个极限下，O（τ）项的系数必须消失，因此我们得到了恒等式（52）E[Y-θ-1]=θ+1σ- m级E【Y】-θ] 。10 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu注意到上述τ→ 0极限不仅对θ>0有效，而且对θ<0和θ非常小的情况也有效。因此，我们证明了-对数Yτ，即E[Y]的收敛-θτ]表示θ在0的邻域内，这意味着YτtoYin分布的收敛性。让我们验证反伽马分布确实满足这一身份。使用（9）中的密度函数，我们可以以闭合形式计算（52）中出现的期望值-θ] =Z∞y-θσ1.-2mσy1.-mσΓ（1-2mσ）e-σydy（53）=Γ（θ+β）Γ（β）σθ=θ+1σ- 我【Y】-θ-1] 。β=1时-2mσ。这确实再现了这种关系（52）。接下来，我们证明（52）确实意味着Yis逆伽马分布。

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2022-5-25 16:52:07

表示wτ=Yτ。我们将证明W=limτ→0Wτ分布为伽马分布（54）W=伽马1.-2mσ，σ.确定力矩母函数Was（55）M（t）=E【etW】。在（52）中表示θ=j，将方程的两边乘以tjj！，和j上的和∈ N、 Sums可以用Was的m.g.f.表示∞Xj=0tjj！E【Wj】=M（t），（56）∞Xj=0jtjj！E【Wj】=tddtM（t）。（57）关系式（52）成为函数M（t）（58）M（t）的微分方程=σ- m级M（t）+σtM（t），M（0）=1。这是一个一阶线性常微分方程，可得出解（59）M（t）=1.-σt-1+2mσ，t<σ。这与伽马分布随机变量的m.g.f.形式完全相同，参数如（54）所示。这证明W=1/Yi作为Gammarandom变量分布，因此Y遵循逆Gamma分布。这一结果表明，X的累积分布函数∞, 定义为（60）F（x；β，ρ）=P（x∞< x） =Zxf（y；β，ρ）Dy具有以下极限行为。GBM、年金和亚洲期权的离散总和11提案15。我们有（61）limτ→0F（x/τ；στ，mτ）=Φ∞（x；σ，m），带Φ∞（x；σ，m）在（10）中给出。这也可以表示为累积分布函数F（x；β，ρ）作为参数β，ρ的极限结果→ 固定比率ρ/β时为0。我们有（62）limβ，ρ→0，ρ/β=fixedf（x；β，ρ）=Zxdyyβy1.-2ρβΓ（1-2ρβ）e-βy=Γ（1-2ρβ）Γ1.-2ρβ；βx.3、几何致命性在上一节中，我们研究了几何布朗运动的有限和∞=P∞i=1eσWti+（m-σ） ti，其中ti=iτ。更现实的随机年金模型考虑到年金支付的总时间是随机的。

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2022-5-25 16:52:10

在离散时间设置中，最简单的假设之一是，一个人将生存的周期数遵循几何分布，也就是说，假设该人目前仍然活着，那么他/她在下一时间步仍然活着的概率是1- p、 0＜p＜1。换句话说，我们对（63）XN=NXi=1eσWti+（m）的分布感兴趣-σ） ti，其中N遵循几何分布，与布朗运动Wt无关，即，（64）P（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。因此，不难看出（65）XN=AQ+A（1- Q）（1+XN），在分布中，其中XN、A和Q是独立的，A：=eσ√τZ+（m-σ） τ，其中z~ N（0，1）和Q={0，1}是一个伯努利随机变量，取值为0，1，概率（66）P（Q=1）=P=1- P（Q=0）。3.1。XN的概率密度函数和尾部渐近性。我们首先导出XN的概率密度函数f（x；β，ρ，p）的积分方程。对于任何x>0，P（XN≤ x） =P（AQ+A（1- Q）（1+XN）≤ x）（67）=pP（A≤ x） +（1）- p） p（A（1+XN）≤ x） =pPZ≤日志x- mτ+στσ√τ！+（1）- p） Z∞-∞PXN公司≤xeσ√τz+（m-σ） τ- 1.√2πe-zdz。12 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUDi微分w.r.t.x，我们得到f（x；β，ρ，p）=p√2πxe-2στ（对数x-mτ+στ）（68）+（1- p） Z∞-∞fxeσ√τz+（m-σ） τ- 1.β、 ρ，p√2πe-zdzeσ√τz+（m-σ） τ，我们记得β=στ，ρ=mτ。更改变量，让w=eσ√τz+（m-σ） τ，we getf（x；β，ρ，p）=p√2πxe-2στ（对数x-mτ+στ）（69）+（1- p） Zxdw公司√2πστwe-2στ（对数w-（m）-σ） τ）f（x/w- 1.β、 ρ，p）。最后，更改变量y=x/w- 1在最后一个积分中，使用定义β=στ和ρ=mτ，我们得到：命题16。

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2022-5-25 16:52:13

XN的密度函数，其中N遵循参数p的几何分布，满足积分方程f（x；β，ρ，p）=p√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）（70）+（1- p） xZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!f（y；β，ρ，p），其中β=στ，ρ=mτ。接下来，让我们推导XN的右尾和左尾。定义函数（71）Д（κ）=E[（A（1- Q））κ]=E[Aκ]E[（1- Q） κ]。我们可以计算出（72）Д（κ）=eβκ（κ-1） +κρ（1- p）。方程Д（u）=1具有正解（73）u=-ρ+β+q（ρ-β）- 2β对数（1- p） β，因此，作为x→ +∞,（74）P（XN>x）~ c+x-u，对于某些常数c+>0。该常数由（38）[23]给出，可表示为（75）c+=E[Au]u（1- p） E[Aulog A]{p+（1- p） [E[（XN+1）u]- E[（XN）u]]}。GBM、年金和亚洲期权的离散总和13第一个因素可在[Au]u（1）下进一步评估- p） E[Aulog A]=u（1- p） E[Aulog A]（76）=u（1- p）（ρ-β+uβ）=u（1- p） q（ρ-β）- 2β对数（1- p）。备注17。满足技术条件（16），E[对数{A（1-Q） }]=-∞. 我们注意到，这放松了漂移m<σ的条件，该条件存在于p=0时。对于p 6=0，对于所有m，uin（73）的溶液始终为正∈ R、对于ρ<β，我们有更强的下限u>1-2ρβ。让我们也推导XN的左尾渐近。请注意，XNis为非负。因此，对于任何 > 0，（77）P（XN≤ ) = P（AQ+A（1- Q）（1+XN）≤ ) ≤ P（A≤ ).另一方面，对于任何δ>0，P（XN≤ ) ≥ P（AQ+A（1- Q）（1+XN）≤ |Q=0，0≤ XN公司≤ δ） P（Q=0，XN≤ δ）（78）≥ （1）- p） p（XN≤ δ） PA.≤1+δ.关于X的左尾渐近性的证明∞, 我们得出结论，（79）lim→0log P（XN≤ )（日志)= -2στ。备注18。作为p→ 0，人将永生，随机性的时间范围变得有限。因此，作为p→ 0，我们预计XN→ 十、∞在分发中。3.2。极限τ→ 0，并与连续时间进行比较。设Yτ：=τXNandp=λτ。

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2022-5-25 16:52:17

Asτ→ 0，我们期望Yτ收敛于λeσWt-σt+mtdt在分布中，其中tλ是指数分布，参数λ>0，与布朗运动Wt无关。事实上，我们将证明以下结果。定理19。设Tλ为参数λ>0的指数分布随机变量，N为参数p=λτ的几何分布随机变量，均假设与布朗运动Wt无关。然后，假设m<λ，我们得到（80）τNXi=1eσWti-1+（m-σ） ti公司-1.→ZTλeσWt+（m-σ） tdt，分布为τ→ 0.证明。见附录B。GBM的时间积分在指数分布时间内的分布以闭合形式已知【39】，结果汇总见附录A。我们将简要说明这些众所周知的结果如何与τ→ 0限制。注意，由于Yτ=τXN，关系式（65）给出（81）Yτ=A（τ+（1- Q） Yτ）14 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUin分布，其中Yτ独立于A，Q。对数Yτ的m.g.f由（对于0<θ<1）（82）E[Yθτ]=E[Aθ]E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]，0<θ<1，其中我们使用Yτ和A的独立性。

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2022-5-25 16:52:21

因为A=eσ√τZ+（m-σ） τ是对数正态分布，我们有（83）E[Aθ]=Eθ-θστ+θmτ=1+θ- θστ+θmτ+O（τ），此外，E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]=τθp+E[（τ+Yτ）θ]（1- p）（84）=τθλτ+E[（τ+Yτ）θ]（1- λτ）和（85）E[（τ+Yτ）θ]- E[（Yτ）θ]=θE[（Yτ）θ-1] τ+O（τ）。因此，（84）和（85）意味着（86）E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]=E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）。将（83）和（86）代入（82），得到（87）E[Yθτ]=1+θ- θστ+θmτ+O（τ）E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）.Letτ→ 0时，O（τ）项的系数必须为零，因此极限Y必须满足恒等式（88）θ- θσ+θm- λE[Yθ]+θE[Yθ-1] =0。设（89）A（u）t：=Zte2us+2Wsds，t≥ 0，u∈ R众所周知，GBM的时间积分定律为指数分布的随机时间Tλ~ Exp（λ）由分布中的[39]（90）2A（u）Tλ=B1，αGβ给出，其中B1，α~ β（1，α）和Gβ~ Γ（β，1）是独立的随机变量，参数（91）α=u+p2λ+u，β=-u+p2λ+u。取（88）中的σ=2和m=2u+2，此关系变为（92）2θ+2θu- λE[Yθ]+θE[Yθ-1] =0。接下来，我们将证明该力矩关系确实满足Y=B1，α2Gβ，如（90）所示。

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2022-5-25 16:52:26

利用（176）、（177）中这些随机变量的密度，我们可以计算出（93）E[Yθ-1] =αθ-1Zxθ-1（1- x） α-1dxZ∞z-β-1Γ（β）zθ-1e级-zdz。GBM、年金和亚式期权的离散和15这两个积分计算为（94）Zxθ-1（1- x） α-1dx=B（θ，α）和（95）Z∞z-β-1Γ（β）zθ-1e级-zdz=Γ（β- θ+1）Γ（β）。因此，（96）E[Yθ-1] =αθ-1B（θ，α）Γ（β- θ+1）Γ（β），因此（97）E[Yθ]=αθB（θ+1，α）Γ（β- θ） Γ（β）。要检查（92），我们需要显示（98）2θ+2θu- λB（θ+1，α）Γ（β- θ） +2θB（θ，α）Γ（β- θ+1）=0。由于B（γ，δ）=Γ（γ）Γ（δ）Γ（γ+δ），因此等价于表明（99）2θ+2θu- λΓ（θ+1）Γ（θ+1+α）Γ（β- θ） +2θΓ（θ）Γ（θ+α）Γ（β- θ+1）=0，等于（100）θ+θu-λθ+θ（β- θ）（θ+α）=0，由α和β的定义确定。我们得出结论，力矩关系（92）由随机变量Y=B1，αGβ表示。根据定理19，我们得到以下结果。提案20。xNapproach的累积分布函数的极限分布为τ→ 0（101）limτ→0Z∞xdzτfzτ；στ，mτ，λτ=Z∞xdzφλ（z；σ，m，λ），其中φλ（x；σ，m，λ）在（174）中给出。备注21。分布的收敛性仅意味着累积分布函数的收敛性，而不是概率密度函数的收敛性。然而，在实践中，如图3所示，离散时间情况下的概率密度函数可以通过以下方式用连续时间情况近似：（102）f（x；β，ρ，p）~βДβx；a、 b类, asβ，ρ，p→ 0，其中（175）中给出了Д（x；a，b），anda=2β2ρ- β+p（2ρ- β） +8pβ,（103）b=2β-2ρ+β+p（2ρ- β） +8pβ.（104）16 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHU4。指数L'evy模型我们可以用指数L'evy模型来代替几何布朗运动，而上一节的大多数结果和结论仍然成立。

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2022-5-25 16:52:29

让我们考虑sumXN=PNi=1eZti+mti，其中m<0，ti=iτ，Ztiis是一个L'evy过程，因此对于任何θ∈ R、 E[EθZt]=Eκ（θ）t，N遵循参数p的几何分布，与l'evy过程Zt无关，即，（105）p（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。因此，不难看出（106）XN=AQ+A（1- Q）（1+XN），在分布中，其中XN、A和Q是独立的，其中A：=eZτ+mτ，P（Q=1）=P=1- P（Q=0）。当p=0时，我们有N=∞, 和XN→ 十、∞.设α为方程（107）Д（α）：=E[（A（1））的唯一正解- Q））α]=E[Aα]E[（1- Q） α]=eκ（α）τ+mατ（1- p） =1。然后，作为x→ +∞,（108）P（XN>x）~ c+x-α、对于某些常数c+>0。设Yτ：=τx，p=λτ。通过修改定理19的证明，我们期望在一些温和的条件下，和Yτ收敛于积分。具体（109）Yτ→ZTλeZt+mtdt，分布为τ→ 0，其中Tλ随参数λ>0呈指数分布，且与L'evy过程Zt无关。文献中研究了指数L'evy过程的时间积分，见。g、 Bertoin和Yor【5】以及其中的参考文献。离散近似可以给出指数L'evyprocess连续时间积分性质的一种替代推导。注意，由于Yτ=τXN，我们有（110）Yτ=A（τ+（1- Q） Yτ）在分布中，其中Yτ独立于A，Q。对数Yτ的m.g.f由（对于0<θ<1）（111）E[Yθτ]=E[Aθ]E[（τ+（1- Q） Yτ）θ]，0<θ<1，其中我们使用Yτ和A的独立性。

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mingdashike22

2022-5-25 16:52:33

注意，由于A=eZτ+mτ，我们有（112）E[Aθ]=Eθ（τ）τ+θmτ=1+κ（θ）τ+θmτ+O（τ），遵循与几何布朗运动相同的参数，我们得到（113）E[Yθτ]=1+κ（θ）τ+θmτ+O（τ）E[Yθτ]+（θE[Yθ-1τ]- λE[Yθτ]）τ+O（τ1+θ）.Letτ→ 0时，O（τ）项的系数必须为零，因此极限Y必须满足恒等式（114）（κ（θ）+θm- λ） E[Yθ]+θE[Yθ-1] =0，请注意与前几节相比，A的定义发生了变化。多纳蒂·马丁（DonatiMartin）等人[11]提出的GBM、年金和亚式期权17的离散总和（2.4）。5、正矩在具有几何死亡率的指数L'evy模型的一般设置中，对于任意漂移m，XnM的平均矩和高阶矩可能不存在。对于确实存在的XnT的许多正矩，存在计算这些正矩的简单递归关系。同样值得注意的是，Xnalway性别歧视的消极时刻似乎不会产生封闭式的表达。回想一下，A=eZτ+mτ，其中Zt是一个L'evy过程。因此，我们有E[Ak]=Eκ（k）τ+mkτ<1if且仅当κ（k）+mk<0时。在几何布朗运动的特殊情况下，E[Ak]=Eστ（k-k） +mkτ<1当且仅当k<-2mσ+1。回想一下，（115）XN=AQ+A（1- Q）（1+XN）在分布中，XN、A、Q是独立的。因此，对于任何k∈ N使得κ（k）+mk<0，（116）E[XkN]=（1- p） E[Ak]E[（1+XN）k]+pE[Ak]，由此得出递推关系：（117）E[XkN]=E[Ak]1- （1）- p） E[Ak]（1）- p） k级-1Xj=0千焦E【XjN】+p, k∈ N、 κ（k）+mk<0。作为第一步，让我们考虑特殊情况p=0，然后N=∞ a、 s。

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2022-5-25 16:52:36

复发率降低到（118）E[Xk∞] =E[Ak]1- E[Ak]k-1Xj=0千焦E[Xj∞], k∈ N、 κ（k）+mk<0。根据这个递推关系，我们可以计算出e[X∞] =E[A]1- E[答],E[X∞] =E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答],E[X∞] =E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]+E[答]1- E[答]E[答]1- E[答]E[答]1- E[答],更一般地说，（119）E[Xk∞] =Xk=im>im-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=1ijij公司-1.E【Aij】1- E【Aij】。18 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUNow，让我们回到原始的递归关系（117）。注意，我们可以将（117）重写为（120）E[XkN]=（1- p） E[Ak]1- （1）- p） E[Ak]k-1Xj=0千焦E【XjN】+p1- p, k∈ N、 κ（k）+mk<0。？从（119）中，不难看出-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=2ijij公司-1.（1）- p） E【Aij】1- （1）- p） E【Aij】（121）·（1）- p） E【Ai】1- （1）- p） E[人工智能]二+p1级- p=1.- pXk=im>im-1> ···>i>i=0,1≤m级≤kmYj=1（1- p） E【Aij】1- （1）- p） E【Aij】mYj=2ijij公司-1..年金和亚洲期权的应用在本节中，我们考虑我们的结果对年金和亚洲期权的应用。作为说明，我们只讨论几何布朗运动和的情况，因此亚式期权的模型是标准的Black-Scholes模型。值得注意的是，第6节中的所有讨论也适用于指数L'evy过程之和。6.1。死亡率有限的年金。我们已经分析了具有几何分布死亡率的年金。现在，让我们来看看死亡率为n的年金，我们有兴趣计算Xn=Pni=1eσWti+（m-σ） ti，即，对于任何x>0的情况：P（Xn）的值≤ x）。对于任何0<z<1，我们可以计算thatG（z）=∞Xn=1P（Xn≤ x） zn=z1- zP（XNp≤ x），其中NP具有p=1的几何分布- z

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2022-5-25 16:52:40

然后，P（Xn≤ x） =n！dndznG（z）z=0（122）=n！nXk=0nk公司z1级- z（n）-k）z=0dkdzkP（XNp≤ x）z=0=n-1Xk=0k！dkdzkP（XNp≤ x）z=0=n-1Xk=0k！(-1） kZx公司kpkf（y；β，ρ，p）dyp=1，我们记得f（x；β，ρ，p）是xnw的概率密度函数，其中β=στ，ρ=mτ。接下来，我们给出了分布函数f（x；β，ρ，p）及其在p=1时对p的导数在该展开式中表示的系数的递归表示。GBM、年金和亚式期权的离散和19定理22。有限和Xn=Pni=1eσWti+（m-σ） tihas概率密度函数（123）fn（x；β，ρ）=n-1Xk=0k！(-1） k级kpkf（x；β，ρ，1），其中f（x；β，ρ，1）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β），（124）pf（x；β，ρ，1）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）-xZ公司∞e-2βhlogx1+y+β-ρie-2β（对数y-ρ+β）2πβydy，（125）和任何k≥ 2.kpkf（x；β，ρ，1）=-kxZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!k-1.主键-1f（y；β，ρ，1）。（126）证据。回想命题16，XNsatis的密度函数是积分方程（70）。在这个方程中，让p=1，我们得到方程（124）。将方程（70）与p进行微分，设置p=1，我们得到pf（x；β，ρ，p）p=1（127）=√2πβxe-2β（对数x-ρ+β）-xZ公司∞dy公司√2πβexp-2βlogx1+y+β- ρ!f（y；β，ρ，1）。复制（125）。此外，对于任何k∈ N和k≥ 2，将方程（70）k乘以p，设置p=1，我们得到方程（126）。这给了kpkf（x；β，ρ，1），对于每k=0，1，2。。代入（122）并对x取一个导数，得到Xn密度的表示（123）。这就是这种关系的证明。有限和Xn表示递归（128）Xn=A（1+Xn-1），其中A在（13）中定义。

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2022-5-25 16:52:43

这给出了xn密度的递归关系，其可以用符号形式表示为（129）fn（x；β，ρ）=^Tβ，ρfn-1（x；β，ρ），其中^Tβ，ρ表示（20）中的积分变换，初始条件f（x；β，ρ）=f（x；β，ρ，1）。这可以用（130）fn（x；β，ρ）=^Tn形式求解-1β，ρf（x；β，ρ）。20 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHURemark 23。定理22给出了递归的显式加法解（129）。为了了解这一点，我们注意到（123）中出现的术语可以替换为（131）kpkf（x；β，ρ，1）=(-1） k级-1k！^Tk-1β，ρ（1-^Tβ，ρ）f（x；β，ρ）。通过代入（123）很容易看出，总结果与（130）一致。我们还可以研究几何布朗运动有限和的左尾和右尾：命题24。对于任意n∈ N、我们有（132）个lim→0log P（Xn≤ )（日志)= -2στ。证据注意，对于任何n∈ N、 X个≤ Xn公司≤ 十、∞. 由于Xis对数正态分布，很明显lim→0log P（X≤)（日志)= -2στ。然后，结果来自命题8。我们对右尾渐近有如下估计：命题25。对于任意n∈ N我们有（133）limx→∞对数P（Xn≥ x）（对数x）=-2στn.证明。我们证明了匹配的上界和下界。我们首先推导一个上界，然后写xn≤nXk=1eσmax1≤我≤nWti+| m-σ| tn=neσmax1≤我≤nWti+| m-σ| tn.（134）根据反射原理，max1≤k≤nWtk=| Wtn |分布。此给定SP（Xn>x）≤ Peσ| Wtn |>xne-|m级-σ| tn（135）=2PZ>σ√田纳西州日志（x/n）- |m级-σ| tn= 2Φ-σ√田纳西州日志（x/n）- |m级-σ| tn≤ 2σ√田纳西州√2πLe-2σtnL，其中表示L=对数（x/n）-|m级-σ| tn和Φ（x）：=√2πRx-∞e-ydy是N（0，1）的累积分布函数。

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2022-5-25 16:52:47

这里Z=N（0，1），我们在最后一行中使用了不等式（136）√2πxe-x个1.-x个≤ Φ(-x）≤√2πxe-x、 x>0。取两边的圆木，除以logx，取x→ ∞ 限制给出（137）lim supx→∞对数P（Xn>x）logx≤ -2στn。这证明了（133）的上界。GBM、年金和亚式期权的离散和21接下来，我们证明了一个匹配的下界。这是从不等式（138）Xn>eσWtn+（m-σ） tn，表示P（Xn>x）>PeσWtn>xe-（m）-σ）田纳西州（139）=PZ>σ√tnlog公司xe公司-（m）-σ）田纳西州≥σ√田纳西州√2πLe-2σtnL1.-σtnL,其中，我们表示L=对数x- （m）-σ） tnand再次使用了不等式（136）。取两边的对数，除以logx，取x→ ∞ 限制给出（140）lim infx→∞对数P（Xn>x）logx≥ -2στn。这证明了下限。这就完成了（133）的证明。备注26。GBM（133）离散和的右尾渐近类似于[42]中研究的GBM时间积分的右尾渐近，与Black Scholes模型中缺钱亚洲看涨期权的大罢工渐近有关。摘自【42】中的命题1（i）一结束语（141）limx→∞P（RTdteσWt+（r-σ） t>x）logx=-2σT.GBM时间积分的左尾渐近性也得到了类似的结果（文献42中的命题1（ii））。然而，从命题24可以看出，GCM和的左尾的相应渐近性是不同的。相关对数正态随机变量之和的尾部渐近性已在文献[4、19、24]中得到广泛研究，有关文献和应用的回顾，请参见文献[3]。相关对数正态随机变量之和的右尾渐近性在[4]中得到了完整的刻画。我们的结果（133）与[4]的结果一致，专门化为GBM之和。对于任意数量的对数正态变量，以及对于[19]中的n=2，最近在[24]中也研究了左尾的渐近性。

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nandehutu2022

2022-5-25 16:52:50

然而，【24】的结果是在某个假设（在【24】中表示为假设a）下获得的，该假设对GBM之和没有影响，因此其结果不能应用于我们的问题。6.2。随机死亡率年金。现在假设死亡时间N具有一般分布：（142）P（N=N）=pn，N=1，2，3，N与几何布朗运动无关。我们讨论了XN的分布，其中N服从几何分布。利用这一结果，我们还导出了给定n的某一特定元素的x分布。当n服从一般分布时，我们将相应的GBM之和表示为XR。对于任何x>0，由（143）P（XR）给出的XRis的累积分布函数≤ x）=∞Xn=1pnP（Xn≤ x），22 DAN PIRJOL和LINGJIONG ZHUand fR（x），XR的概率密度函数由（144）fR（x）给出=∞Xn=1pnfn（x），其中fn（x）是Xn的概率密度函数。总之，对于一般随机死亡率年金，我们可以使用几何死亡率来推导最终死亡率的分布，然后使用几何死亡率来最终获得一般随机死亡率的分布。[21]中提出了一种替代方法，其中表明，任何正的细骨料分布都可以通过几何分布的适当线性组合进行任意匹配。这是连续时间结果的离散时间对应物【14】，该结果表明，任何正有限连续分布都可以通过指数分布的适当线性组合近似为任意环。6.3。年金的风险度量。在实际应用中，人们感兴趣的是年金超过某个值K的可能性，给出了支付现金流的可用金额。

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2022-5-25 16:52:53

这定义了短缺概率P（Sn>K）。在本节中，我们将计算具有几何分布停止时间XN的几何布朗运动和的短缺概率。利用方程（74）中导出的右尾渐近式，给出了K→ ∞ 通过互补累积分布函数（145）P（XN>K）=Z∞Kdxf（x；β，ρ，p）~ c+K-u，其中u由（73）给出，c+>0是由（75）确定的正常数。另一种风险度量是风险值，定义为X下一步概率K取已知值的金额K，例如5%或1%。因此，我们定义（146）p-VaR=inf{K≥ 0:P（XN>K）≥ p} 。再次使用XNwe的右尾渐近式有（147）p-VaR=-ulog（p/c+），对于非常小的p，u由（73）给出，c+>0由（75）给出。在实际应用中，离散时间年金的分布特性可能会使用蒙特卡罗模拟等数值方法进行研究。已知此类方法对于尾部概率的采样不可靠，因为它们需要很长的模拟时间[3]。利用本文获得的精确尾部行为，可以为离散时间年金的短缺概率获得可靠的风险度量，并构建有效的模拟方法。另一种可能的方法是使用连续时间近似法研究指数死亡率年金的分布，详细的理论结果可用，请参见【15】。在第7节中，我们将研究连续时间近似对离散时间年金分布特性的影响。6.4。亚洲期权的应用。

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2022-5-25 16:52:57

我们研究了（148）XN=NXi=1eσWti+（m）的分布-σ） ti，GBM、年金和亚式期权的离散和23，其中N服从几何分布，与布朗运动Wt无关，即，（149）P（N=k）=（1- p） k级-1p，k=1，2，3。设m=r- q、其中r是无风险利率，q是股息收益率。然后，对于Black-Scholes模型，执行价格K>0且初始股价S>0的亚洲看涨期权价格由（150）C=e给出-rτnE“nnXi=1SeσWti+（m-σ） ti公司- K！+#。因此，要计算看涨期权价格，必须计算：（151）Pn：=E“nXi=1eσWti+（m-σ） ti公司- κ！+#，对于任何正数κ>0。假设对于任何0<z<1，我们可以计算Pn的母函数，即，（152）F（z）：=Xn=1Pnzn。那么，很明显，Pn可以计算为F（z）w.r.t.z在z=0时的n阶导数，即，（153）Pn=n！dndznF（z）z=0。另一方面，很容易看出f（z）=∞Xn=1E“nXi=1EσWti+（m-σ） ti公司- κ+#zn（154）=z1- z∞Xn=1E“nXi=1EσWti+（m-σ） ti公司- κ+#（1）- （1）- z））n-1（1- z） =z1- zE公司（XN- κ）+,p=1时-z在XN的定义中，其中N是用参数p几何分布的，我们已经在前面的章节中讨论了XN分布的性质。因此，Pn=n！nXk=0nk公司z1级- z（n）-k）z=0dkdzkE（XN- κ）+z=0（155）=n！nXk=0nk公司（n）- k）哦！dkdzkE公司（XN- κ）+z=0=n-1Xk=0k！dkdzkE公司（XN- κ）+z=0=n-1Xk=0k！(-1） kZ公司∞κkpk（x- κ） f（x；β，ρ，p）p=1.24 DAN PIRJOL和LINGJIONG Zhu类似地，我们可以计算亚洲看跌期权和任何亚洲类型期权的价格，Payoff是Xn的函数。最后，我们注意到，在连续时间设置中，可以使用指数分布的到期亚洲期权，然后使用拉普拉斯逆变换获得具有有限到期日的亚洲期权价格，如Geman，Yor【20】和Carr，Schr¨oder【7】所示。查看[13]。

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