用两尺度幂估计含噪从属布朗运动

2022-5-31 03:30:05

用两尺度幂变估计噪声从属布朗运动jos\'e.Figueroa-L\'opez*圣路易斯华盛顿大学数学系，普渡大学统计系，2月7日，2017AbstractHigh frequency基于半参数纯跳跃从属布朗运动的估计方法暴露在小的加性微结构噪声中，该方法基于Zhang et al.（2005）最初开发的两个尺度实现变化方法，用于估计连续It^o过程的综合方差。所提出的估计器对噪声具有鲁棒性，令人惊讶的是，即使在没有微结构噪声的情况下，其收敛速度也优于其前体矩估计法。我们的主要结果给出了要使用的正则稀疏子样本数K的近似最优值，这是该方法的一个重要调整参数。最后，设计了一个数据驱动插件程序来实现具有最优k值的估计量。蒙特卡罗模拟和真实的高频数据应用表明，所开发的估计器具有优异的性能。关键词：几何L'evy模型；峰度和波动率估计；功率变化估计器；微观结构噪声；稳健估计方法。*第一作者的研究部分得到了美国国家科学基金会（NSF）资助的DMS-1149692和DMS-1613016.1的支持。本文介绍了半参数从属布朗运动（SBM）的估计方法，其采样观测值受到了Zhang等人（2005）框架下的小加和效应的污染。

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2022-5-31 03:30:08

除了“波动性”参数σ（控制过程在固定时间间隔内增量的方差）外，SBM还被赋予了一个额外的参数，以下用κ表示，该参数考虑了增量分布的尾部重量。因此，κ决定了产生极端增量观测的过程的周期性。这一指标在许多应用中都具有重要的相关性，例如在保险和风险管理中模拟极端事件以及在金融中优化资产配置。这里考虑的模型是纯跳跃L'evy模型，σ不是连续It^o过程的波动率。然而，鉴于σ与过程增量的方差成正比，很自然地将σ作为模型的波动性参数。与回归模型一样，加性噪声（通常称为微观结构噪声）可被视为一种建模伪影，以解释观测过程与SBM模型之间的任何偏差。然而，在某些情况下，噪音可能与某些特定的物理机制有关，例如在竞价/aks反弹效应通过tick交易的情况下（参见Roll（1984））。在低频时，微结构噪声通常可以忽略不计（与SBM的增量相比），但在高频时，噪声很小，并且严重倾斜任何未考虑到它的估计值。然后，目标是开发对潜在微观结构噪声具有鲁棒性的推理方法。在过去的十年中，微观结构噪声下统计估计方法的文献不断增长。有关该主题的最新深度调查，请参见Ait-Sahalia&Jacod（2014），以及Ait-Sahalia et al.（2005）、Zhang et al.（2005）、Hansen&Lunde（2006）、Bandi&Russell（2008）、Mykland&Zhang（2012）在该地区的一些开创性作品。

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2022-5-31 03:30:12

这些工作大多集中在半鞅模型积分方差的估计上。然而，将所提出的一些方法转换为受加性噪声污染的半参数模型的估计方法的问题，正如本工作中的情况一样，在文献中受到的关注较少，尤其是在涉及峰度类型参数的估计时。Seneta（2004）、Ramezani&Zeng（2007）、Behr&P¨otter（2009）和Figueroa-L'opez et al.（2011）等少数作品分析了一些经典参数方法在估计一些流行的参数L'evy模型中的性能，但它们都没有引入微观结构噪声。为了推动我们的估计过程，我们首先考虑在没有微观结构噪声的情况下，σ和κ的动量估计器（MME）方法。在导言的整个过程中，这些估计量分别用σn、Tandκn、T表示，其中n和T分别表示观测数和采样范围。MME及其相关估计器由于其简单、计算效率高以及已知的对观测值之间潜在相关性的鲁棒性，在高频数据分析中被广泛使用。为了为我们提出的估计量的收敛性建立渐近基准，我们描述了当δn=T/n，观测之间的时间跨度缩小到0（完全渐近）且T→ ∞ （长运行渐近）。我们确定订单O（T-1），作为估计量在无噪声情况下的收敛速度。因此，一个理想的目标是开发能够在存在微结构噪声的情况下至少达到这种收敛速度的估计器。

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2022-5-31 03:30:15

在存在噪声的情况下，对估计器进行无症状分析，可以表明^σn，T→ ∞和^κn，T→ 0，作为n→ ∞, 这两项都是高频财务观察的典型经验特性（见下文第5.4节）。此外，还表明δn^σn，Tandδ-1n^κn，t分别收敛到微结构噪声的二阶矩和多余峰度。为了开发对微观结构噪声分量具有鲁棒性的估计器，我们借鉴了Zhang等人（2005）的开创性方法，该方法基于在两个尺度或频率上组合二次变化。更具体地说，这种方法有三个主要步骤。首先，将高频采样观测分为K组，每组以较低频率（稀疏子采样）进行观测。其次，对每组应用相关估计量（例如，已实现的二次变化），并对由此产生的K点估计进行平均。最后，偏差校正步骤是必要的，通常在可能的最高频率下使用估计器。上段所述方法中的一个基本问题是如何调整子组的数量K，这会严重影响估计器的性能。我们提出了一种在白微结构噪声设置下寻找近似最佳K值的方法。对于σ的估计，发现最优K取形式K*σ： =n6（Eε+（Eε））Tσ, （1.1）式中，ε表示与一次BM观测相关的附加微观结构噪声。有趣的是，最优值（1.1）是一致的，但与Zhang et al.（2005）在连续It^o半鞅背景下提出的不同。

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2022-5-31 03:30:18

还发现所得估计量的均方误差（MSE）（如上所述使用K）达到了收敛速度Cσ（Eε+（Eε））n-T-（达到常数Cσ），自T/n→ 0，显示了一个令人惊讶的事实，即估计量以o（T）的速率收敛-1），这比MME在无噪声情况下获得的速率更快。对于κ的估计，发现最佳K取formK*κ=n5 Var（（ε- ε））Tσ, （1.2）当所得估计量的均方误差以cκVar的速率收敛时（ε- ε）n-T-,达到常数Cκ。这里，ε和ε表示对应于SBM两个不同观测值的微观结构噪声。特别是，我们再次推断，在没有噪声的情况下，所得估计器比普通MME获得更好的MSE性能。为了实现具有相应最优选择K的估计量*, 我们提出了一种迭代程序，其中使用σ的初始合理猜测来确定K*,这反过来又用于改进σ的初始猜测，等等。由此产生的估计器在模拟和真实高频股票数据上都抑制了优异的有限样本性能。特别是，我们发现，与MME相对应的估计量相比，随着采样频率的增加，估计量相当稳定，如上所述，MME相对应的估计量收敛于0或∞ 分别用于σ或κ。Zhang等人（2005）提出的K的最佳值（见其中的公式（58）和（63））在分子中缺少ε。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们给出了模型和估计框架。第三节介绍了矩估计的方法。第3.2节分析了它们的内部和长期渐近行为。第4节介绍了σ和κ的估计器，这些估计器对微观结构噪声分量具有鲁棒性，以及这些估计器的偏差校正版本，并对K进行了最佳选择。

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2022-5-31 03:30:21

第5节通过模拟展示了拟议估计器的具体性能，以及它们使用真实高频交易数据的经验可靠性。最后，论文的证明推迟到附录中。2模型和抽样方案在这一节中，我们介绍了整篇论文中使用的模型。我们考虑formXt=σW（τt）+θτt+bt（2.1）的从属布朗运动，其中σ，κ>0，θ，b∈ R、 W：={W（t）}t≥0是标准布朗运动，且{τt}t≥0：={τ（t；κ）}t≥0是一个独立的从属函数（即非递减的L'evy过程），满足以下条件：（i）eτt=t，（ii）Var（τt）=κt，（iii）eτj<∞, j=1，8.（2.2）为了便于识别，第一个条件是必需的，而第二个条件允许解释κ作为多余峰度的度量。施加条件（2.2-iii），以便X允许足够大的阶数的有限时刻。在金融应用中，X通常被解释为价格过程为{St}t的风险资产的对数回报过程Xt=对数（St/S）≥在这种情况下，τ起着随机时钟的作用，旨在将随时间变化的业务“活动”纳入其中。众所周知，过程X是一个L'evy过程（例如，见Sato（1999））。此后，ν将表示X的L'evy度量，它控制过程的跳跃行为，因为ν（（X，X+dx））度量单位时间内大小接近X的预期跳跃次数。（2.1）的两个典型示例是方差Gamma（VG）和正态逆高斯（NIG）L'evy过程，分别由Carr et al.（1998）和Barndorff-Nielsen（1998）提出。

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2022-5-31 03:30:25

在VG模型中，τ（t；κ）呈γ分布，尺度参数β：=κ，形状参数α：=t/κ，而在NIG模型中，τ（t；κ）呈逆高斯分布，平均u=1，形状参数λ=1/（tκ）。从力矩公式（见下文（3.1））可以看出，模型参数有以下解释：1。σ表示流程增量的总体可变性，或者在财务方面，表示资产的对数回报；在“对称”情况下（θ=0），σ是对数收益的方差除以收益的时间跨度；2、κ控制对数回归分布的峰度或尾重；在对称情况下（θ=0），κ是对数收益的剩余峰度乘以收益的时间跨度；3、b是日历时间中的漂移分量；4、θ是业务时间中的漂移分量，控制着日志返回的偏度；在本文中，我们还假设日志返回过程{Xt}t≥0是在时间间隔[0，T]内以均匀间隔的时间进行采样：ti，n=ti：=iδn，i=1，n、式中，δn：=Tn.（2.3），这种抽样方案有时被称为日历时间抽样（c.f.Oomen（2006））。在增量的独立性和平稳性假设下，我们有一个随机样本niX：=Xiδn- X（i）-1） δn，i=1，n、（2.4）Xδn分布的大小为n。在实际市场中，高频对数收益表现出某些程式化特征，这无法用（2.4）等有效模型准确解释。有不同的方法来模拟这些特征，被广泛称为微观结构噪声。微观结构噪声可能来自不同的来源，如聚类噪声、非聚类噪声（如出价/反盎司效应）和圆效应误差（参见Campbell et al.（1997），Zeng（2003））。在下文中，我们采用了张等人提出的流行方法。

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2022-5-31 03:30:28

（2005），其中市场微观结构的净影响被纳入观察到的对数回归过程的加性噪声中：eXt：=eX（t）：=Xt+εt，（2.5），其中{εt}t≥假设0是一个中心过程，与X无关。特别是在这种设置下，频率δn下的对数回归观测值由nieX：=eXiδn-eX（i-1） δn=niX+|εi，δn，（2.6），其中|εi，δ：=εiδ-ε（i-1） δ可以解释为微观结构噪声对观测增量的贡献尼克斯。在最简单的情况下，噪声{εt}t≥0是白噪声；i、 e.，变量{εt}t≥0与平均值0独立同分布。众所周知（也不足为奇），如果不考虑微观结构噪声，标准统计方法在应用于高频观测时表现不佳。然后，一个长期存在的问题是推导出对各种微观结构噪声具有鲁棒性的推理方法。在第4节中，我们提出了一种解决后一个问题的方法，借鉴了Zhang et al.（2005）应用于矩估计方法（MME）的开创性双尺度校正技术。在此之前，我们首先介绍了所考虑的MME，并在无微结构噪声和存在微结构噪声的情况下对估计量进行了简单的全面渐近分析。3矩估计方法矩估计方法（MME）由于其简单、计算效率高，以及已知对观测值之间潜在相关性的鲁棒性，被广泛用于处理高频数据。对于一般的从属布朗模型（2.2）-（2.1），中心矩可以很容易地以闭合形式计算为u（Xδ）：=E（Xδ）=（θ+b）δ，u（Xδ）：=Var（Xδ）=（σ+θκ）δ，u（Xδ）：=E（Xδ- EXδ）=3σθκ+θc（τ）δ、（3.1）u（Xδ）：=E（Xδ- EXδ）=3σκ+6σθc（τ）+θc（τ）δ+3u（Xδ），其中，下文中，ck（Y）：=ikdkdukln EeiuY公司u=0，表示r.v.Y的第k个累积量。

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大多数88

2022-5-31 03:30:33

对于VG模型，（c（τ），c（τ））=（2κ，6κ），而对于NIG模型，（c（τ），c（τ））=（3κ，15κ）。自始至终，我们假设θ=0，或者更一般地说，θ与σ相比可以忽略不计（有关此假设的进一步讨论，请参见下面的备注3.1）。θ=0的假设允许我们为参数σ和κ的MME提出如下易于处理的表达式：|σn（X）：=δn^u2，n（X），|κn（X）：=δn^u4，n（X）u2，n（X）- δn，（3.2），其中，下文中，n（X）表示由n（X）定义的k的样本中心力矩：=nnXi=1尼克斯- nX公司k、 k级≥ 2.nX：=nnXi=1niX=nlogSTS。（3.3）我们可以通过省略O（δn）=O（1/n）阶项（特别是，我们省略δnin（3.2）和（3.3）的样本矩中的nX）：^σn（X）：=T[X，X]，^κn（X）：=δnnPni=1(尼克斯）nPni=1(尼克斯）=T-1 \\[X，X]T-1 \\[X，X], （3.4）在上述情况下，我们已根据订单2和订单4的已实现变化来表示估算值，以下由\\[X，X]：=nXi=1定义(niX），\\[X，X]=nXi=1(尼克斯）。备注3.1在|θ|<<σ（即|θ|相对于σ可忽略不计）的情况下，我们可以将估计量（3.2）-（3.4）视为矩估计量的近似方法。θ的假设≈ 一些实证文献（如Seneta（2004），inturns引用Hurst等人（1997））提出了0。Figueroa-L'opez et al.（2011）使用MME和MLE以及日内高频数据对NIG和VG模型进行了验证。在后一个框架中，我们可以执行一个简单的实验来评估这个假设。根据（3.1）中u和u的公式以及c（τ）的公式，我们得到|u（Xδ）| 2u（Xδ）≥ |θ|κ≥ θκ，假设通常情况下，|θ|≤ 因此，σθκ≥2u（Xδ）δ|u（Xδ）|- 下表报告了2^u（X）δ|u（X）的值|- 少数股票为1。

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2022-5-31 03:30:36

因此，例如，1分钟INTEL数据的值为44表明σ至少是θκ的44倍，因此，我们可以假设u（Xδ）≈ σδ。可以进行类似的分析来证明u（Xδ）≈ 3σκδ。δ5秒10秒30秒1分钟5分钟10分钟30分钟NTEL 144 82.4 57 44 26.7 24.7 13CVX 3146.8 3023.8 8706.9 212.9 251.0 1231.5 175.3CSCO 587.5 255.8 94.1 77.5 67.1 52.3 37.6PFE 47.8 24.2 10.7 7.89 7.67 7.63 8.15表1：2u（X）δ|u（X）的计算|- 1根据2005年的高频数据（T=252天），针对不同的股票。3.1在没有噪音的情况下，简单的注入特性我们现在继续显示一些“注入”（n→ ∞ （3.2）-（3.4）中估计量的固定T）渐近性质。如上所述，在续集中，我们假设θ=0，忽略O（δn）=O（1/n）项。在这种情况下，很容易看出E^σn=E|σn=σ+On, 风险值^σn= 风险值σn=3σκT+On. （3.5）从上述公式中，我们得出一个（不足为奇的）事实，即在有限的时间范围内，当采样频率增加时，σ不是σ的均方一致估计量，但MSE的阶数为O（1/T），因为→ ∞.由于样本峰度的非线性，^κ与^κnis的偏差和方差分析更加复杂。然而，我们可以推断出它的完全渐近行为的一些有趣特征。首先，我们有Limp→∞^κn=limn→∞κn=TPt≤T型(Xt）TPt≤T型(Xt）=: ^κ（T），（3.6），其中Xt=Xt-Xt公司-是X在时间t的跳跃大小，其总和超过了t的随机可数时间集Xt6=0。限值（3.6）源自众所周知的公式APNI=1Xiδn- X（i）-1） δnkP公司-→Pt公司≤T型(Xt）k，作为n→ ∞, 对anyk有效≥ 2和纯跳跃L'evy过程X。此外，自0以来，相应矩的收敛性也成立≤ δn^u4，n/^u2，n≤ δnn=T<∞, 因此，limn→∞E^κn=limn→∞εκn=εκ（T）和limn→∞Var（^κn）=limn→∞Var（|κn）=Var^κ（T）.

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2022-5-31 03:30:39

（3.7）以下结果（其证明见附录）扩展了上述^κ（T）的期望和方差，并表明^κ（T）的均方误差为O（T-1），作为T→ ∞.命题3.2设X是一个具有L'evy测度ν的一般L'evy过程。设ci：=ci（X）是X的i累积量，κ：=c/3c，并假设r | X | iν（dx）<∞ 对于任何i≥ 2、那么，作为T→ ∞,E^κ（T）=κ+3c- 2cc3cT-1+O（T-2），（3.8）E^κ（T）- κ=抄送- 4cc+4cc9cT-1+O（T-2）。（3.9）3.2微结构噪声下MME的特性在这一部分中，我们描述了微结构噪声分量对上述MME渐近特性的影响。对于volatilityestimators的情况，结果是经典的，它们的证明只是为了完整性。峰度参数κ的估计结果也不难得到，但不太清楚。我们采用第2节末尾介绍的设置，在此设置下，observedlog返回由nieX：=eXiδn-eX（i-1） δn=Xiδn- X（i）-1） δn+εiδn- ε（i-1） δn=: niX+￠εi，n.（3.10）此外，我们假设，对于每个n，（￠εi，n）i≥1对于任何正整数k，满足以下Milda假设≥ 1： nnXi=1（|εi，n）kP-→ mk（|ε），（n→ ∞), 对于某些mk（￠ε）∈ R、（3.11）显然，之前的假设涵盖了微观结构白噪声情况，其中（εt）t≥0为i.i.d.，在这种情况下，mk（|ε）：=E（|ε1，n）k. 注意，并不要求|ε独立于过程X，而且，我们只需要X是纯跳跃半鞅。让我们首先描述（3.2）-（3.4）中引入的σ估计量的完全渐近行为，但基于噪声观测：△σn（eX）：=δnnnXi=1(nieX公司- neX），^σn（eX）：=T\\eX，eX=δnnnXi=1(nieX）。

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2022-5-31 03:30:42

（3.12）为了将来的参考，让我们陈述一下应用Cauchy不等式得出的以下简单结果，条件（3.11）和Pni=1的事实|尼克斯| 2mP→聚苯乙烯≤T型|Xs | 2m。任意整数m的引理3.3≥ 1和k≥ 0，nnXi=1(niX）m（|εi，n）kP-→ 0，作为n→ ∞. （3.13）我们现在准备分析（3.12）中估计量的渐近行为。下面的结果给出了^σn（eX）和^σn（eX）的完全渐近行为。命题3.4估计量^σn（eX）和^σn（eX）都允许分解^σn（eX）=An+Bn，^σn（eX）=eAn+EBN，其中上述r.v.是这样的→∞An=跛行→∞eAn=TXs≤T型(Xs）、limPn→∞δnBn=m（|ε），limn→∞δneBn=m（|ε）- （m（|ε））。证据我们只给出了￠σn的证明：=￠σn（eX）。^σn（eX）的证明是相同的。首先请注意￠σn=nδnnXi=1(尼克斯- nX）+nδnnXi=1（|εi，n- εn）+nδnnXi=1(尼克斯- nX）（|εi，n- εn）=：eAn+eBn，1+eBn，2。术语收敛到T-1Ps≤T型(Xs），如n→ ∞, sincePni=1(尼克斯）→聚苯乙烯≤T型(Xs）和nX=OP（1/n）。显然，（3.11）意味着δneBn，1=n-1Pni=1（|εi，n）-εn收敛到m（|ε）- （m（|ε）），在概率中，当n→ ∞. 同样，使用引理3.3，δneBn，2=nPni=1(niX）（|εi，n）- 2.nX￠εngoes的概率为0。2下一步，让我们考虑（3.2）-（3.4）中引入的κ的估计量，但适用于噪声过程eX：△κn（eX）=δn^u4，n（eX）u2，n（eX）- 3.^κn（eX）：=T\\eX，eX\\eX，eX.下面的结果表明，对于大n，上述估计量的行为渐近为δnC，对于某些常数C，这取决于微观结构的遍历特性。命题3.5存在非零常数C和C，如n→ ∞,δn^κn（eX）P-→ C、 δnκn（eX）P-→欧共体。（3.14）证明。我们只给出了￠κn的证明：=￠κn（eX）。^κn（eX）的证明类似。

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2022-5-31 03:30:45

首先，观察^u2，n（eX）=nnXi=1(尼克斯- nX）+nnXi=1（|εi，n-(R)εn）+nnXi=1(尼克斯- nX）（|εi，n-(R)εn）。根据引理3.3，上述最后一个表达式上的第一项和第三项在概率上趋向于0，而第二项收敛于toeC：=m（|ε）- （m（|ε））乘以（3.11）。类似地，μu4，n（eX）=nX`=0`nXi=1(尼克斯- nX）4-`（|εi，n-(R)εn）`+nnXi=1（|εi，n-根据引理3.3，上述第一个和中的所有项在概率上趋向于0，而其中的第二项收敛于toeC：=m（|ε）-4m（￠ε）m（￠ε）+6m（￠ε）m（￠ε）-3m（|ε），根据我们的假设（3.11）。因此，（3.14）中的第二个限值为eC：=eC/3eC- 1.2标记3.6作为证明的结果，如果m（|ε）=0，则C=eC=m（|ε）3（m（|ε））。特别是，如果微观结构噪声（εt）t≥0in（2.5）为白噪声，则常数包括随机变量|ε：=ε的多余峰度E|ε/3（E|ε）- ε。4稳健矩估计方法在本节中，我们采用了Zhang et al.（2005）的所谓双尺度偏差校正技术，以开发σ和κ的估计量，这些估计量对微观结构噪声具有稳健性能。大致上，他们的方法包括三个主要成分：稀疏子采样、平均和偏差校正。让我们首先介绍一些必要的符号。设“Gn：={t，t，…，tn}为（2.3）中所述的可用采样时间的完整集合。对于子样本={ti，…，tim}和i≤ ··· ≤ I和a自然`∈ N、我们将processeX在G上的第次实现变化定义为[eX，eX]G`=m-1Xj=0eX（tij+1）-eX（tij）`.接下来，我们将网格划分为K个互斥的正则子网格，如下所示：G（i）n：=G（i）n，K：={ti-1，ti-1+K，ti-1+2K，ti公司-1+niK}，i=1，K、 ni：=ni，K：=[（n- i+1）/K]。如Zhang等人。

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2022-5-31 03:30:48

（2005），改进（3.4）中引入的估计器的关键思想包括平均不同稀疏子网格G（i）n上的相关实现变化，而不是仅使用完整集Gn上的一个实现变化。因此，例如，对于估计σ，我们应考虑估计量σn：=σn，K：=KKXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n，（4.1），其中Ti，K：=Ti-1+niK- ti公司-1=Kδnni。估值器（4.1）由稀疏子网格上（3.12）中形式为^σ（eX）的平均估值器构造。上述估计量对应于Zhang等人（2005）提出的所谓“第二最佳估计量”。这种估计可以通过两种方式进行改进。首先，通过修正估计器的偏差，其次，通过以“最优”的方式选择子网格的数量K。我们将在接下来的两小节中分析这两种方法。此时，我们可以方便地回忆起，我们假设θ=0的从属布朗运动模型（2.1）。为简单起见，我们还假设b=0，这不会对后面的内容产生太大影响，因为我们正在考虑高频类型的估计器，因此，在这种情况下，漂移的贡献可以忽略不计。关于微观结构噪声，我们假设噪声过程{εt}t≥0出现在公式（2.5）中的是一个中心平稳过程，具有任意阶的有限矩，与X无关。此外，我们假设，对于任何`∈ N、 limδ，δ→0Eε`δ- Eε`δδ- δ=0；（4.2）式中，下文|εδ表示与|εt具有相同分布的随机变量，δ：=εt+δ-εt，它不依赖于t。注意（4.2）意味着存在一个常数m`（|ε）∈ Rsuch thatlimδ→0Eε`δ= m`（￠ε）。（4.3）最简单的情况是白噪声，当变量{εt}t≥0是独立的相同分布。

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2022-5-31 03:30:51

在这种情况下，{εiδ，δ}i≥1遵循平稳移动平均（MA）过程，E（|εiδ，δ）=0，E|εiδ，δ= 2E（ε）。4.1偏差校正估计器为了推导偏差校正，我们首先采用白噪声情况，其中{εt}t≥0是i.i.d.在这种情况下，εδ的分布不取决于δ。具有此分布的随机变量表示为|ε。我们首先为估计器（4.1）设计偏差校正技术。很明显，根据（3.1）和噪声ε和过程x的独立性，我们得到：Eσn，K= σ+EεKKXi=1niTi，K=σ+EεKδn.（4.4）关系式（4.4）表明，当观测δn：=T/n之间的时间跨度趋于0时，估计量的偏差会偏离到一致性。为了纠正这个问题，首先请注意（4.4）也意味着δn^σn，1= σδn+Eεn→∞-→ Eε. （4.5）因此，一个自然的“偏差修正”估计器将是^Иσn：=^Иσn，K：=^σn，K-Kδn^u2，n（|ε），（4.6）式中，n（|ε）：=δn^σn，1。然而，从K=1的（4.4）中，我们得到：E^Иσn= σ+EεnKT公司-Kσ+EεnT公司=K- 1Kσ，这意味着^Иσ不是真正无偏的。然而，上述关系产生了σ：^′σn，K：=KK的以下无偏估计量- 1^Иσn，K=K- 1KXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n-（K）- 1） T[eX，eX](R)Gn。（4.7）估计量（4.7）对应于Zhang等人（2005）的小样本调整“第一最佳估计量”。命题4.1在中心平稳噪声过程{εt}t下≥0独立于X，E^′σn，K= σ+EИεKδn- Eεδnδn（K- 1）。特别是，^′σn，Kis是条件（4.2）（分别为白色微观结构噪声设置）下σ的渐近无偏（分别为无偏）估计量。我们现在为κ设计（近似）偏差校正估计量。为了分离估计κ和σ的问题，在这一部分中，我们假设σ是已知的。在实践中，我们必须用一个“准确”的估计来代替σ，如估计量（4.7）。

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2022-5-31 03:30:54

让我们首先考虑Statistickkkxi=1Ti，KheX，eXiG（i）n的平均值，这是（4.1）的模拟值。为此，我们使用E（Xδ+ε）=3σκδ+6σE（～ε）δ+E（～ε）+3σδ这一事实，这是（3.1）的一个简单结果，以及噪声∧ε和X的独立性。在这种情况下，我们有ekkxi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n！=3σκ+6σEε+KδnEε+ 3σKδn，（4.8）这确定了估计量^κn，K：=3σKKXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n- Kδn，（4.9）作为无微结构噪声情况下κ的无偏估计量。然而，与σ的估计一样，当δn→ 0，因为（4.8）中的第三项。为了纠正这个问题，我们需要对E（|ε）进行估计，这可以从以下极限值中推断出来→∞EδnT【eX，eX】’Gn= Eε, （4.10），这是（4.8）的简单结果，K=1。与（4.5）一起，这两项建议了以下估计：^Иκn：=^κn，K-σ^u2，n（|ε）-3σKδn^u4，n（|ε），（4.11），其中^u2，n（|ε）：=δnT【eX，eX】’Gn，^u4，n（|ε）：=δnT【eX，eX】’Gn。（4.12）然而，与估值器^Иσnabove一样，上述估值器仅对大n和K渐近无偏。以下结果提供了基于两个尺度上过程的已实现变化的κ无偏估值器。该证明遵循（4.4）和（4.8）的规定，省略。命题4.2设^′κn：=3σ（K- 1） KXi=1Ti，K[eX，eX]G（i）n-3σ（K- 1） T【eX，eX】’Gn（4.13）-nσ【eX，eX】’Gn- （K）- 1） δn。然后，在与X无关的白色微结构噪声下，^′κ是κ的无偏估计量。此外，对于一般的中心平稳噪声过程，我们有^′κn= κ+σKK- 1.EИεKδn- Eεδn+3σEИεKδn- Eεδnδn（K- 1），这表明在条件（4.2）下^′κnis渐近无偏。4.2 KIn的最佳选择这部分，给定一个特定的函数b（K，n，T），Ou（b（K，n，T））意味着存在一个常数c，与K，n和T无关，因此| Ou（b（K，n，T））|≤ cb（K，n，T），表示所有K，n和T。

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2022-5-31 03:30:59

我们还假设了白噪声情况，其中微观结构噪声{εt}t≥0以i.i.d.r.v.为中心。使用前一节中描述的双尺度程序时的一个重要问题是选择子类的数量K。处理此问题的自然方法包括最小化所有K上相关估计量的方差。此程序将产生最佳K*子类的数量。让我们首先说明（4.1）中估计量σn，Kgiven的这种方法。下一个结果（其证明见附录A.2）给出了^σn的方差，K定理4.3估计量（4.1）是这样的：σn，K=4σK3n+4nEεKT+4σ3n+3σκT+2σ3Kn+8σE（ε）KT（4.14）+Ou千牛+ Ou公司千吨n+ Ou公司千吨级.备注4.4根据（4.14），对于固定的任意K和高频/长周期采样设置（Tn→ ∞ δn=Tn/n→ 0），T和δ之间的有效渐近关系为^σn，kt的均方一致性是δnTn→ ∞. 如果根据n和T选择K，正如我们接下来要做的那样，可行值K：=Kn，T必须为Kn，T/n→ 0和n/（Kn，TT）→ 0作为T→ ∞ δn=T/n→ 现在，我们准备提出一个近似“最优”K*. 为此，让我们首先从（4.4）中得出估计值的偏差为偏差σn，K= 2EεnT K.（4.15）加在一起（4.14）-（4.15）意味着MSEσn，K=4σK3n+4σ3n+3σκT+2σ3Kn+8σE（ε）KT+4nEεKT+4n（Eε）TK（4.16）+Ou千牛+ Ou公司千吨n+ Ou公司千吨级.我们的目标是当n较大时，最小化相对于K的均方误差。注意，K中增加的唯一项为4σK/3n，而在K中减少的项中，第4N（Eε）/TKI项占主导地位（当n较大时）。因此，只考虑导致“近似”的这两个术语是合理的：MSE^σK≈4σK3n+4nTK（Eε）=：MSE^σK. （4.17）上述表达式中的右侧在值K处达到其最小值*= n6（Eε）Tσ.

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2022-5-31 03:31:01

（4.18）有趣的是，上述值与最佳K值一致*Zhanget al.（2005）中提出（见其中等式（8））。将（4.18）插入（4.16）中，因为δ=T/n→ 0，它紧随其后^σK*= 2.EεσT-+ 3κσT-1+o（T-1）。（4.19）尤其是，上述表达式表明，在存在微观结构噪声分量的情况下，收敛速度从O（T-1）至仅O（T-此外，当σ、Eε和κ较大时，收敛性最差。以下结果给出了无偏估计量方差的估计值（4.7）。其证明见附录A.2。命题4.5估值器（4.7）是这样的：^′σn，K=4σK3n+4n（Eε+（Eε））TK+Oun+ Ou公司nKT公司+ Ou公司T K公司. （4.20）与之前一样，之前的结果建议确定K，以最小化（4.20）中的前两个领先项。这样的最小值由K给出*= n6（Eε+（Eε））Tσ, （4.21）与模拟最优K相似（但不完全相同）*Zhang et al.（2005）中提出（见其中等式（58）&（63））。堵K后*在（4.20）中，得到的估计值达到了均方误差：均方误差^′σK*= 2.Eε+（Eε）σn-T-+ o（T-1）。（4.22）有趣的是，因为T/n→ 0，估计量^′σK*达到o（T）级-1），即使在没有微观结构噪声的情况下，估计器^σK也无法实现，第3节中介绍的标准估计器也无法实现（见（3.5））。现在，我们继续研究K的估计量（4.9）的K的最优选择问题。与σn，K一样，我们首先需要分析估计量的方差。Zhang等人（2005）提出的K的最佳值在分子中缺少Eε一词。定理4.6估计量（4.9）是这样的：var（^κn，K）=TKn+OuTKn. （4.23）我们现在准备提出一种方法来选择K的值，该值使估计量^κn，K的均方误差近似最小。

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nandehutu2022

2022-5-31 03:31:04

让我们首先从（4.8）中回忆一下，估计器的偏差^κn，KisBias（^κn，K）=E（^κn，K）- κ=EεnT Kσ+2E（|ε）σ。（4.24）加在一起，（4.23）-（4.24）意味着MSE（^κn，K）=TKn+n（E|ε）TKσ+h.o.t.，（4.25），其中h.o.t.表示“高阶项”。然后，选择K是合理的，以便使MSE的主导项最小化。达到上述最小值atK*= n5（E|ε）96Tσ. （4.26）在（4.25）中插入（4.26），如下所示^κK*= （4） 5-Eεσ-T-+ oT-,其收敛到0的速度比O的速度慢T-2/3由估计量^σK获得*.最后，我们考虑命题4.2中引入的κ的无偏估计。如上所述，h.o.t.指的是高阶术语。定理4.7估计量（4.13）是这样的^′κn，K=TKn+2n9σTKe（ε）+h.o.t.，（4.27），其中e（ε）=Var（（ε- ε））。（4.27）右侧的两项在K时达到其最小值*= n5e（ε）（27）（16）Tσ. （4.28）堵K后*在（4.27）中，我们得到了thatMSE^′κK*= 2.--e（ε）σ-n-T-+ oT-1.,同样，自T/n→ 0，表示MSE^′κK*= o（T-1）。应将上述结果与（3.9）进行比较，后者本质上表示估算值^′κK*比通过使n→ ∞ 在估计器中^κ与κn（见（3.6））。这里值得指出的是，可以利用（i）n【eX，eX】’GnP之间的关系设计出e（ε）的一致估计量-→ E（ε- ε），（ii）国民生产总值-→ E（ε- ε）。（4.29）备注4.8很自然，我们会想，对于这里考虑的估计量，某些类型的中心极限定理是否可行。尽管我们考虑的是一个L'evy模型，其增量是独立的，但估计量不能用一个行独立的三角形数组来表示。

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2022-5-31 03:31:09

例如，考虑（4.1）中引入的估计量^σn，Kforσ，为简单起见，假设Ti，K=T（渐近满足）和微结构噪声的存在。可以看出，kkxi=1[X，X]G（i）n=Kn-KXi=0（Xti+K- Xti），其项是相关的。5数值性能和经验证据在本节中，我们提出了一种迭代方法来实现前一节中描述的估计量，并相应地选择了K*. 主要问题在于，为了准确估计σ，我们需要选择（4.21）（或（4.18））中的K，这完全取决于我们想要估计的σ。因此，我们建议从σ的初始合理猜测开始，以找到K*, 然后用它来改进σ的初始猜测，等等。模拟和真实的高频数据应用说明了结果估计器的有限样本和经验性能。为简洁起见，在下文中，我们将使用以下符号k*（m，σ）：=n6mTσ, K*（m，m，σ）：=n6（m+m）Tσ.对于本节的模拟部分，我们考虑了具有高斯白微结构噪声的方差伽马（VG）模型。噪声ε的方差用%表示，因此i增量|εi，n的噪声为n（0，2%）。其他参数设置为：σ=0.02，κ=0.3，%=0.005。这里的时间单位是一天。特别是，上述σ值对应于0.02的年化波动率√252=0.31.5.1σ的估计量我们比较了以下估计量的有限样本性能：1。（4.1）中的估计量^σn，Kgin，K由最优值K的适当估计确定*（4.18）中给出，如下所述。如命题3.4和（4.5）所示，给出了Eε=E|ε/2的一致无偏估计量：^%：=dEε：=2n[eX，eX](R)Gn。

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2022-5-31 03:31:12

（5.1）估算（4.18）所缺少的唯一成分是σ的初步估算，然后我们将通过σn，K进行改进*. 具体而言，我们提出以下程序。首先，我们评估估计值^K*:= K*（^%，σ），其中σ是波动率的初始“合理”值。其次，我们通过σ：=σn，K来估计σ*.接下来，我们使用^σ来改进我们对K的估计*通过设置^^K*:= K*（^%，^σ）。最后，我们设置^σ：=^σn，^^K*2、我们考虑（4.7）中引入的偏差修正估计量^′σn，其值为K除以^K*如上文第1点所述。我们表示这个估计量^σ。我们还分析了一个类似于第1项的迭代过程，但使用了^σ。具体而言，weset^σ=^′σn，^′K*, 其中^′K*:= K*（^%，^σ）。最后，我们还考虑了（4.7）中引入的估计量^′σn，但使用了最佳值K的估计值*如公式（4.21）所示。具体来说，我们设置^σ=^′σn，^K*带^K*:= K*（^%、^$、σ），其中σ是σ的初始合理值，而^$是Eε的一致估计量。接下来，我们通过设置^σ：=^′σn，^^K来改进^σ的估计*, 带^^K*:= K*（百分比，$，σ）。（5.2）为了估计Eε，我们使用（4.12）。具体而言，如命题证明3.5和等式（4.10）所示，统计量^m4，n（|ε）：=[eX，eX](R)Gn/n收敛于E（|ε）=2Eε+6（Eε）。因此，Eε的一致估计值由^$：=dEε：=2n[eX，eX](R)Gn给出- 3.dEε.表2给出了基于1000次模拟的样本平均值、标准偏差和均方误差（MSE）。这里，我们取T=252天，σ≈ 0.063，相当于1的年化波动率。正如预期的那样，估计量^σ显示出明显的偏差，并且该偏差通过^σ进行了校正。然而，^σ远远优于其他考虑的估计量，这与等式中描述的均方误差的渐近结果一致。

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2022-5-31 03:31:15

（4.19）和（4.22）。δn^∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑5最小均值0.02274333 0.02066226 0.01998258 0.01988843 0.019996995 0.01999614标准偏差0.0006854182 0.001143444 0.0007945224 0.0012479476 0.0008839566 0.0007044640MSE 7.995654e-06 1.746024e-06 6.315694e-07 1.569822e-06 7.813885e-07 4.962843e-071最小平均值0.02288498 0.02066931 0.01995456 0.01984824 0.01997237 0.020002STD偏差0.0006482329 0.0010605652 0.00074685490.0011609025 0.0007887707 0.0006469303MSE 8.743311e-06 1.572774e-06 5.598574e-07 1.370725e-06 6.229225e-07 4.185247e-0730秒平均值0.02293765 0.0207521 0.01998865 0.01993685 0.0200009 0.02001709标准偏差0.0006537998 0.0010611910 0.0007515176 0.0011497640 0.0007185258 0.0006364266MSE 9.057229e-06 1.692391e-06 5.649076e-07 1.325945e-06 5.162794e-07 4.053310e-071秒平均值0.02296041 0.020761580.01998938 0.01994110 0.02000240 0.02000628Std Dev 0.0006346972 0.0010546469 0.0007285086 0.0011415267 0.0006393828 0.0005973219MSE 9.166839e-06 1.692287e-06 5.308377e-07 1.306553e-06 4.088161e-07 3.568328e-07表2：基于1000次模拟，σ=0.02的不同估计量的样本均值、标准偏差和均方误差。5.2κ的估计器我们比较了以下三种估计器的有限样本性能，这三种估计器分别用^κ、^κ、^κ表示。（4.9）中的估计量^κn，Kgiven，σ替换为式（5.2）中的估计值^σ，K由最优值K的估计值确定*在（4.26）中给出，分别用^σ和等式（4.29-i）替换σ和E|ε。（4.13）中定义的无偏估计量^′κ与前一项的K值相同。如前所述，我们将σ替换为估计量^σ。同样，无偏估计量^′κnin（4.13）将σ替换为^σ，但现在K的值由（4.28）给出。

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可人4

2022-5-31 03:31:18

我们将其中的σ替换为^σ，而估计e（ε）=Var（（ε- ε），我们利用（4.29）中的限制。表3给出了基于1000次模拟的样本平均值、标准偏差和均方误差（MSE）。这里，我们取T=252天，σ=0.063。预计，估计量^κ比其中的任何其他估计量都有更好的性能。κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κ^κδn=5分钟平均值0.57771957 0.29982420.29967835 0.57428966 0.29189326 0.29686684标准偏差0.1783289311 0.1832631941 0.0979104650 0.1571326 0.15992758700.0758019358MSE 1 1 1.089294e-01 3.358543e-02 9.586563e-03 9.992531e-02 2.564255e E-02 5.755750e-03δn=30秒δn=1秒平均值0.58111784 0.29929056 0.29677713 0.57371817 0.29046728 0.29455234标准偏差0.1617998730.163678990 0.069347518 0.162874998 0.165066890 0.066836990 MSE 1.052064e-01 2.679132e-02 4.819465e-03 1.014499e-01 2.733795e-02 4.496860e-03表3：基于1000次模拟，κ=0.3的不同估计量的样本均值、标准偏差和均方误差。5.3收敛速度分析在本节中，我们研究了由等式定义的无偏估计量^′σn、Kand′κn、Kas的标准误差的收敛速度。（4.7）和（4.13），当分别根据最佳值（4.21）和（4.28）选择K时。特别是，我们要评估我们的说法，即估计量方差的收敛速度比T-为此，我们绘制日志（dVar^′σn，K*,T) 针对2个月至2年的T的对数（T）和8个日内采样频率δn（见图1中的左面板）。我们还显示了每个图的最佳线性拟合。这里，dVar^′σn，K*,T表示估计量^′σn，K的样本方差*,t蒙特卡罗使用200次模拟计算。

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2022-5-31 03:31:21

在表4中，我们还报告了最佳线性拟合斜率的95%置信区间（表中第二列）。很明显，线性拟合很好，这表明Var^′σn，K*,T∝ T-β、对于较大的T和某些β<0，并且，斜率估计表明Var的收敛率^′σn，K*,T略优于T-1（平均费率为T-1.03）。我们还对估值器σ进行了相同的分析，如第5.1节所述，该估值器被设计为oracle估值器σn，K的数据驱动代理*,T、结果显示在图1的右面板和表4的第三列中。Var（^σ）的平均收敛速度为T-1.045。请注意，CI表明坡度与-1在几乎所有情况下。我们对κ的估计量进行了相同的分析。对数图（dVar^′κn，K*,T和log（dVar（^κ）与log（T）的对比如图2所示。表4（最后两列）显示了最佳线性拟合斜率的CI\'s。^′κn，K方差的平均收敛速度*,Tis T公司-1.15，而^κ方差的平均收敛速度为T-1.18。δnlogdVar^′σn，K*日志dVar（σ）日志dVar^′κn，K*日志dVar（^κ）5秒-1.036±0.025-1.032±0.027-1.234±0.122-1.219±0.12710秒-1.053±0.026-1.040±0.026-1.272±0.151-1.219±0.17130秒-1.031±0.025-1.058±0.026-1.22±0.138-1.197±0.1321分钟-1.043±0.032-1.031±0.032-1.315±0.158-1.196±0.17810分钟-1.001±0.026-0.998±0.024-1.086±0.199-1.229±0.1520分钟-1.045±0.030-1.073±0.026-1.056±0.099-1.268±0.18730分钟-1.028±0.036-1.076±0.019-0.931±0.177-1.056±0.2321小时-1.041±0.020-1.053±0.023-1.124±0.105-1.072±0.133表4:t∈ {2m，3m。

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