八分之一布朗运动的转移概率及其性质

2022-6-2 20:22:11

CTANT中布朗运动的转移概率及其在违约建模Vadim Kaushansky中的应用*+, 亚历山大·利普顿（Alexander Lipton），克里斯托夫·赖辛格（Christoph Reisinger）§Abstracts我们推导出了在边界吸收的正八分之一中三维布朗运动跃迁概率的半解析公式。在球坐标系中分离变量会导致在两个角分量中产生边值问题的特征值问题。主要的理论结果是原始问题的解决方案，表示为对特殊函数和特征值的展开，必须选择特征值来匹配边界条件。我们讨论并测试了几种计算方法来解决这个非线性特征值问题的有限维近似。最后，我们将我们的结果应用于具有共同负债的结构性信贷模型中违约概率和信用估值调整的计算。关键词：三维布朗运动；转移概率；非线性特征值问题；结构缺省模型；相互责任。1引言Rn+，n中多维布朗运动的转移概率≥ 1，在边界处吸收，发生在应用数学的不同领域。我们尤其受到数学金融的推动。例如，它出现在交易对手信用风险建模（Lipton and Savescu（2014）、Lipton and Sepp（2009）、Itkin and Lipton（2016）、Zhou（2001））、市场微观结构（Cont and De Larrard（2012）、Lipton et al.（2014））和奇异期权定价（Escobar et al.（2014）中，针对三种具有特殊相关性结构的资产的障碍期权；He等人。

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2022-6-2 20:22:14

（1998）对于回望期权，其收益取决于资产价格过程的最小值、最大值和终点；Lipto n（2001））。一维情况是经典的，通过反射原理，或者用偏微分方程（PDE）术语，通过图像方法，简单地解决。二维问题可用图像法或分离变量法解析求解；看见*第一作者感谢经济及社会研究委员会和美国银行美林+通讯作者、英国牛津大学数学研究所和牛津人研究所的支持，电子邮件：vadim。kaushansky@maths.ox.ac.uk美国马萨诸塞州剑桥市麻省理工学院连接科学与瑞士洛桑市Ecole Poly Technology F'ed'erale de Lausanne，电子邮件：alexlipt@mit.edu§牛津大学数学研究所和牛津人研究所，安德鲁·怀尔斯大厦，伍德斯托克路，OX2 6GG，英国，邮箱：christoph。reisinger@maths.ox.ac.ukLipton和Sepp（2009）获取详细信息。三维问题比一维和二维问题困难得多。对于correlationmatrix的几种特殊情况，Escobar et al.（2013）通过图像方法提供了三维问题的解决方案。不幸的是，它不能推广到一般的相关矩阵。Lipton和Savescu（201 4）提出了半解析解，其中使用了分离变量技术，并将问题分为径向和角度偏微分方程。径向偏微分方程采用解析法求解，而角度偏微分方程采用有限元法求解。在本文中，我们使用分离变量技术，解析地求解角偏微分方程，并提供格林函数的“完全半解析”表示。

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2022-6-2 20:22:17

我们的意思是，该解被表示为包含特殊函数（超几何和贝塞尔）的（双）有限系列项。我们还需要一个可数有限维非线性特征值问题的解。在实践中，正如我们的数值测试所证明的那样，可以将总和截断为相对较少的项（低十项），而不会显著降低精度，对于非线性特征值问题的维数也是如此。有许多已发布的方法可用于解决（有限维）非线性特征值问题。Mehrmann和Voss（2004）对此进行了详细审查。大多数方法使用线性化和相应线性特征值问题的解。作为此类方法的一个示例，我们考虑一种基于切比雪夫插值的方法（Trefethen（2013））。我们还研究了另一种最近开发的基于计算轮廓积分的方法（Beyn（2012））。这两种方法都易于实现，并且对于我们的特定问题具有良好的特性。通过这种半解析方法，我们可以比用数值解原始的三维抛物型偏微分方程更快地计算出高精度的透射密度及其导数。我们通过与Hundsdorfer-Verwer方案（Hundsdorfer和Verwer（2013））获得的有限差分近似值进行比较来证明这一点。据我们所知，这是第一个发表的关于一般相关布朗运动转移概率的表达式，该运动具有吸纳基。

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2022-6-2 20:22:20

此外，我们考虑了一个比她公布的特殊情况稍微更一般的公式，该特殊情况允许持续漂移。在信用风险应用的背景下，我们展示了如何使用Gegenbauer多项式展开半解析地计算Black-Cox环境下企业的联合生存概率，并给出了根据转移概率（分析可用）导数的积分进行信用和债务估值调整的表达式。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们提出了问题asPDE，说明了如何消除漂移和相关项，并将方程转换为球坐标。在第3节中，我们使用变量分离来计算径向和角度偏微分方程中的bta，求解这两个方程，并根据未知的非线性特征值和特征向量编写Green\'s函数的最终表达式。在第四节中，我们讨论了求解非线性特征值问题的各种方法。在第5节中，我们进行了数值试验。在第6节中，我们研究了三维转移概率在具有相互责任的违约模型中的应用。在第7节中，我们得出结论。2问题公式和预备工作我们考虑一个具有常数漂移（ui）的三维标准布朗运动1≤我≤3，dXis=uids+dWis，Xit=xi，1≤ 我≤ 3，微型发电机L=Xi，j=1ρijxixj+Xi=1uixi，其中（ρij）1≤i、 j≤3是ρii=1的对称正定义矩阵，1≤ 我≤ 3、三维标准布朗运动的相关矩阵。现在考虑停止的进程Xs∧τ、 τ=inf{u:Xu/∈ R+}正八分之一的退出时间。然后是Xs的分布∧τ在边界上有一个奇异分量a，其中一个坐标为0，对应于吸收质量，内部有一个连续密度，在边界处变为零。

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2022-6-2 20:22:25

设p（t′，x′t，x）表示在x′处计算的分布的连续分量∈ 时间t′时的R+≥ t、对于固定对（t，x），它满足正向Kolmogorov方程pt′（t′，x′| t，x）=L*p（t′，x′t，x），（1）初始条件p（t，x′t，x）=δ（x′- x），边界条件p（t′，x′t，x）=0，对于x′·x′·x′=0，t′≥ t、我在哪里*是L的伴随算子，L*=Xi，j=1ρijx′ix′j-Xi=1ui在偏微分方程理论中，转移概率可以解释为格林函数，这是一个合适的初边值问题的基本解，我们将在后面详细说明。因此，对于时间均匀性，我们使用符号G（t′）-t、 x′，x）=p（t′，x′| t，x）。为方便起见，我们将偶尔用（x，y，z）表示状态变量∈ R+。为了消除交叉导数项，我们使用变量（x，y，z）的变化→（α、β、γ）如Lipton等人（2014）和Lipton和Savescu（2014）所述；另见附录A。为了消除漂移项，我们进一步使用变换▄G（t′）- t、 α′，β′，γ′，α，β，γ）=exp- ξα(α - α′) - ξβ(β - β′) - ξγ(γ - γ′) -ξα+ξβ+ξγ（t- t′）×G（t′）- t、 α′，β′，γ′，α，β，γ）（2）（另见附录A）。

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2022-6-2 20:22:29

为了便于记法，我们在下面省略了tilde。最后，我们在球坐标（r，Д，θ）中重写方程，以利用do main的楔形，其中r∈ (0, ∞), φ ∈ （0，ω），ω=arccos(-ρxy）和θ∈ （0，Θ（Д）），其中Θ（Д）可隐式定义为Д（ω）=arccos1- ρxyωp1- 2ρxyω+ω！，（3） Θ（ω）=arccos-ρyz- ρxzρxy+ω（ρxz- ρyzρxy）q′ρxy（(R)ρxz- 2ω（ρxy- ρxzρyz）+ω′ρyz）, （4）其中ρ=p1- ρ表示ρ∈ {ρxy，ρyz}。格林函数的最终初边值问题的形式如下Gt′型-r′r′2（r′G）+r′2sinθ′GИ′Д′+sinθ′θ′（sinθ′Gθ′）= 0，G（0，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=rsinθδ（r′）- r） δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ），G（t′）- t、 r′，0，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，\'ω，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，0，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，Θ（Д′），r，Д，θ）=0，G（t′- t、 0，Д′，θ′，r，Д，θ）=0，G（t′- t、 r′，Д′，θ′，r，Д，θ）-→r′→+∞0。（5）3展开式半解析解在本节中，我们展示了如何通过特征值展开式给出（5）的解。首先，我们应用变量分离sg（t，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=g（t，r′，r）ψ（Д′，θ′，Д，θ），然后（5）分解为两个独立的（初）边值问题gt′型=r′r′2（r′g）-∧r′2g,g（0，r′，r）=rδ（r′）- r），g（t′）- t、 0，r）=0，g（t′- t、 r′，r）-→r′→+∞0、（6）和sinθ′ψИ′Д′+sinθ′θ′（sinθ′ψθ′）=-∧ψ，ψ（0，θ′，Д，θ）=0，ψ（(R)ω，θ′，Д，θ）=0，ψ（Д′，0，Д，θ）=0，ψ（Д′，Θ（Д′），Д，θ）=0，（7），其中∧∈ R+是特征值。

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2022-6-2 20:22:32

特征值是实的和正的，因为（7）左侧的微分算子相对于某个加权内积是对称的和正的，如Lipton和Savescu（2014）中给出的不等式（40）的变分公式所示。我们注意到（6）和（7）之间的不对称性，前者包含时间变量，因此施加了初始条件，后者是平稳的，因此不匹配任何初始条件。（5）中溶液的初始条件最终将由第3.2节中的支持条件确定。由于（7）在这里不依赖于（Д，θ）（由于忽略了初始条件），为了简单起见，我们进一步写出ψ（Д′，θ′，Д，θ）=ψ（Д′，θ′）。PDE（6）可以解析求解，其解（t，r′，r）=e-r+r′22tt√rr′I√Λ+rr′t,式中，Ia（b）是第二类修正贝塞尔函数。Lipton和Savescu（2014）采用有限元法数值求解了角偏微分方程（7）的特征值问题。在下文中，我们考虑另一种半分析方法。3.1角度PDEWe的半分析方法首先通过额外的变换（如Lipton et al.（2014）中针对静止情况的变换）ζ′=ln tanθ′/2，（8）进一步简化问题，将域更改为半有限条带-∞ < ζ ≤ Z（Д）=ln tan（Д）/2和特征值问题t oΨφ′φ′+ Ψζ′ζ′= -4∧e2ζ′（1+e2ζ′）ψ，ψ（0，ζ′）=ψ（(R)ω，ζ′）=limζ′→-∞ψ（Д′，ζ′）=ψ（Д′，Z（Д′）=0。（9）表示λ=+q+λ。然后，（9）变成ψИ′Д′+ψζ′ζ′=-λ(λ - 1） cosh（ζ′）ψ。我们将以ψ（Д′，ζ′）=Φ（Д′）·Υ（ζ′）的形式找到溶液。因此，我们可以将（9）分解为Φ′′系统=-kΦ，（10）Υ′\'=k-λ(λ - 1） cosh（ζ′）Υ，（11）其中k∈ R+是特征值，边界条件Φ（0）=0，Φ（(R)ω）=0，Υ（ζ′）-→ζ →-∞0，ψ（Д′，Z（Д′）=0。

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2022-6-2 20:22:35

（12）具有（12）中第一和第二基本条件的方程（10）可解为Φn（Д′）=cnsin（knД′），其中kn=πn/(R)ω，而（11）是具有P¨oschl–Teller势的Schr¨odinger方程。用（12）中的第三个边界条件求解，我们得到（见附录B）Υn（ζ′）=cneknζ′Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′,其中f（a，b，c，z）是高斯超几何函数。因此，我们发现ψ（Д′，ζ′）的形式为ψ（Д′，ζ′）=∞Xn=1康星（knИ′）eknζ′Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′. （13）作为a方，我们注意到Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2ζ′1+e2ζ′= λ=0时为1，表示ψ（Д′，ζ′）=∞Xn=1康星（knИ′）eknζ′，与Lipton et al.（2014）中关于平稳问题的表达式一致。为了确定系数Cn和特征值λ，我们使用（12）中的第四个条件，∞Xn=1康星（knИ）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）= 0（14）表示所有Д′∈ [0, ω].我们引入积分lsTmn（λ）=hfm，fni=’ωZfm（Д′）fn（Д′）dД′，（15）fn（Д′）=sin（knД′）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）,注意，Tmnis仅为λ的函数。然后，应用（14），我们得到∞Xn=1Tmn（λ）cn=0，m级≥ 1.（16）我们推迟了λ和（cn）n的（16）解≥1至第4节。3.2格林函数的最终表达式现在，我们可以使用特征值展开（τ，r′，ν′，ζ′，r，Д，ζ）编写格林函数的表达式=∞Xl=1algl（τ，r′）ψl（Д′，ζ′）=∞Xl=1algl（τ，r′）∞Xn=1clnΦn（Д′）Υln（ζ′）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1alIλlr′rτ×∞Xn=1clnsin（knИ′）eknζ′Fλl，1- λl，1+kn，e2ζ′1+e2ζ′, （17）其中（可数个）特征值λland系数clnca可确定为非线性特征值问题（16）的解，且kn=πn′ω。通过施加初始条件g（0，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=rsinθδ（r′，可以确定系数alc- r） δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ).我们已经确定了径向部分的初始条件，因此我们需要∞Xl=1alψl（Д′，θ′）=sinθδ（Д′）- φ)δ(θ′- θ).

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kedemingshi

2022-6-2 20:22:38

（18）从多边形偏微分方程的弱公式中，很容易看出特征向量在sinθ′加权的标量积中是正交的（Lipton和Savescu（2014））。将（18）乘以ψm（Д′，θ′）sinθ′，并在整个域上积分，al=ZZOhmsinθψl（Д′，θ′）sinθ′δ（Д′）- φ)δ(θ′- θ） dД′dθ′=ψl（Д，θ）。将alf的表达式从最后一个方程代入（17），扩展ψl（Д′，ζ′）和ψl（Д，ζ）的表达式，我们得到g（τ，r′，Д′，ζ′，r，Д，ζ）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1Iλlr′rτ××∞Xn=1clnsin（knИ′）eknζ′Fλl，1- λl，1+kn，e2ζ′1+e2ζ′!××∞Xn=1clnsin（knх）eknζFλl，1- λl，1+kn，e2ζ1+e2ζ!.回到变量θ，我们得到g（τ，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=e-r′2+r2ττ√r′r∞Xl=1Iλlr′rτ××∞Xn=1clnsin（knИ′）储罐nθ′Fλl，1- λl，1+kn，sinθ′!××∞Xn=1clnsin（knх）储罐nθFλl，1- λl，1+kn，sinθ!. （19） 4非线性特征值问题的解在本节中，我们首先给出特征值问题的性质（16）。然后，我们描述了求解非线性特征值问题的几种方法，并概述了这些方法在测试中的应用。4.1截断和T（λ）的最小（线性）特征值如果我们截断N项后的和（16），则所得方程可以重写为矩阵形式T（λ）·c=0，（20），其中T（λ）∈ RN×N，c∈ 注册护士。方程（20）是一个非线性特征值问题f或对称正半有限矩阵（因为矩阵T是一个Gram矩阵）。该截断问题的特征值λ必须满足方程umin（T（λ））=0，（21），其中uminis正半有限矩阵T（λ）的最小特征值。然而，由于截断，问题（20）通常没有λ的实值解。事实上，数值试验表明，对于所有λ，T通常是严格的正定义，而对于c，则不存在非零解。

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2022-6-2 20:22:41

图1说明了T（λ）的最小特征值umin（T（λ））对λ的依赖关系。0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.020.040.060.080.10.120.14∧2min（eig（T））（a）20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 4000.511.522.533.5x 10-4∧2min（eig（T））（b）图1：对于ρxy=0.8、ρxz=0.2、ρyz=0.5和N=15，matr ix的最小特征值T：umin（T（λ））。注意（a）和（b）中的不同绘图范围。为了找到原始问题的近似值，我们需要“正则化”它，因为当项的数量增加时，存在一个近似于有限问题的解的截断问题的解。第一种简单方法基于umin的最小值（而不是其根）。这里，我们使用切比雪夫多项式（Driscoll et al.（2014））来近似（21）左侧的所有局部极小值，并将其用作非线性特征值的近似值。下文第4.2节和第4.3节分别给出了通过考虑复非线性特征值、直接基于T（λ）切比雪夫插值和基于轮廓积分的更复杂和有效的方法。4.2 T（λ）的切比雪夫多项式插值在这种方法中，我们使用切比雪夫多项式T（λ）近似复λ的T（λ）≈bT（λ）≡mXj=0Aj▄Tj（λ），（22），其中{▄Tj，0≤ j≤ m} 是m次和Aj次的（标量）切比雪夫多项式基∈RN×Nar是相应的系数。以下结果是对Trefethen（2013）中定理18.1的修正（例如，见Nakatsukasa et al.（2015），第7.2节）。定理1。

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mingdashike22

2022-6-2 20:22:46

bt i n（22）的多项式特征值问题的解是线性矩阵束（维数mN×mN）λ的奇异值阿明。。。。。。。。。在中--是-1英寸-是-2.-是-3···AIN0英寸。。。。。。。。。英寸0英寸, （23）由于正不确定性，我们避免在（15）中使用“ωRf（Д）”g（Д）dД而不是h·、·i。（即，所有λ使得上述矩阵为单数），其中未显示的条目为零。因此，通过找到线性矩阵束的特征值，我们得到了多项式特征值问题的解，这是非线性特征值问题的近似值（20）。4.3轮廓积分法Beyn（2012）提出的以下方法在agiven ContourΓ内找到非线性复特征值。我们给出了Alg算法1中的主要步骤，然后讨论了轮廓的选择。算法1非线性特征值问题的轮廓积分算法1:l=12:Choose^V∈ CN×lan ar二进制矩阵。3：计算A=2πiRΓT（z）-1^V dz和A=2πiRΓzT（z）-1^V dz。4：计算SVD A=V∑WH。5：对∑进行等级测试，即，结果0<k≤ l使得σ≥ σ≥ . . . tolrank>σk+1≈ . . . ≈ σl≈ 0.6：如果k=l，则l=l+1，然后转到第1行；7：否则，设V=V（1:N，1:k），W=W（1:l，1:k）和∑=diag（σ，…，σk）。8：结束if9：计算B=VHAW∑-1.10：求解B的特征值问题：BS=S∧，其中S=（v | v |…| vk）。11：对于具有| | T（λj）vj | |的所有j≤ 托尔桑德λj∈ int（Γ）接受λjas非线性本征值，vj=Vsjas本征向量。一些进一步的规范和意见：1。在第2行中，我们选择^V=（Il | O）乘以l×l单位矩阵和O和l×（N-l）零矩阵。第3行中的被积函数是通过解线性系统T（z）x=^V（x.3）得到的。对于线性系统、奇异值分解和线性特征值问题，我们使用Matlabdefault函数。我们选择中心为u，半径为R的等高线圆。

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2022-6-2 20:22:49

然后，对于Д（t）=u+R exp2πijL, A和A可通过L节点的求积来近似，A0，L=RLL-1Xj=0T（Д（tj））-1^V扩展2πijL,A1，L=uA0，L+RLL-1Xj=0T（Д（tj））-1^V扩展4πijL.5、由于u可能很大，为了计算稳定性，最好将坐标移动到▄z=z- u.5数值试验在本节中，我们讨论了第3节和第4节中的方法在求解（20）和数值试验中的应用。5.1矩阵组合为了计算T的元素，我们必须计算（15）中的积分。我们注意到fmn（ν′）=sin（kmД′）sin（knД′）e（km+kn）Z（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+km，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）××Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）在{z |<1}上分析，且f′mn（0）=f′mn（\'ω），其中\'ω=arccos(-ρxy）。然后，根据Javed和Trefethen（2014），具有K个节点的梯形求积规则收敛于O阶（K-4）具有小常数。与其他自适应求积规则相比，使用标准梯形规则的一个优点是，在固定网格上，我们可以预先计算函数Fn（Д′）=sin（knД′）eknZ（Д′）Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）.因此，我们只使用N来代替超几何函数的N计算，这是一个昂贵的操作。由于exp（（kn+km）Z（Д）），T（λ）gr的元素在n和m中快速移动，对于较大的n，可能变得非常不准确。我们将使用以下直接结果来改善T的条件。提案1。考虑非奇异平方矩阵s V和W。定义T（λ）=V T（λ）W。那么，λ是T（λ）的一个非线性特征值，当且仅当它是一个非线性特征值。将矩阵定义为V=W=D，D=diag（e-αk，e-αk，e-αkN）。那么，T（λ）=DT（λ）D的元素是T（λ）mn=\'ωZsin（kmν′）sin（knν′）e（km+kn）（Z（Д′）-α） F级λ, 1 - λ、 1+km，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）×Fλ, 1 - λ、 1+kn，e2Z（Д′）1+e2Z（Д′）dД′。

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mingdashike22

2022-6-2 20:22:52

（24）转变（24）有助于按生长速率成比例减少元素，其中α在试验中被选为Z（Д）的最大值或平均值。标准的Matlab超几何函数非常慢。因此，我们用C实现了自己的函数，并将其作为mex函数插入到Matlab中。5.2特征值雪的计算我们考虑第4节中的数值方法在截断问题（20）中的应用。T（λ）最小特征值的切比雪夫近似（第4.1节）。对于该方法，使用Cholesky f factorisation和chebf-un（Driscoll et al.（2014））直接应用于寻找局部极小值。切比雪夫多项式插值（第4.2节）。在这里，我们考虑复杂的IgenValue，T（λ）的切比雪夫插值是使用chebfun实现的（Driscoll et al.（2014））。所得到的广义线性特征值问题在Matlab中用defaultmethod求解。轮廓积分法（第4.3节）。为了找到所有（复）特征值，我们必须选择合适的中心和半径来应用算法1。根据经验观察，特征值的分布非常均匀（见下表1），我们可以选择一个固定半径，并将中心稍微增加两倍以下，以找到下一个特征值。由于轮廓重叠，我们丢弃了之前发现的任何特征值。算法2对此进行了总结。算法2非线性特征值问题的轮廓积分算法1：如上所述选择u=u和R。2：而u≤ umaxdo3：使用算法1，其中Γ=C（u，R），一个圆心为u且半径为R的圆。4：u=u+2R5：结束。在表1和表2中，我们比较了半解析法中不同方法（第4节）的近似非线性特征值和计算时间，以及Lipton和Savescu（2014）中有限元法的近似非线性特征值和计算时间。

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2022-6-2 20:22:56

考虑参数ρxy=0.8，ρxz=0.2，ρyz=0.5。对于半解析法，我们取N=20来近似（16）中的有限和，K=1000，L=500个正交节点。EV有限元切比雪夫近似轮廓积分/最小特征值T（λ）切比雪夫插值∧5.232 5.228 5.229（0.028）∧11.805 11.787 11.787（0.076）∧16.313 16.285 16.284（0.068）∧21.204 21.149 21.147（0.151）∧26.184 26.112 26.109（0.188）∧33.230 33.261（0.215）∧72.911 72.841 72.701 8（0.731）∧138.087 139.421 139.391（1.331）表1：参数特征值ρxy=0.8，ρxz=0.2，ρyz=0.5。在最后一列中，虚部在括号中。由于等高线积分法和切比雪夫多项式插值给出了多达5位数的相同结果，我们将它们合并在一列中。切比雪夫近似T（λ）轮廓积分的切比雪夫插值T（λ）最小特征值561.17 s 60.27 s 220.79稳定2：前30个特征值的计算时间。我们还将数值计算的非线性特征值与表3中ρxy=ρxz=ρyz=0（见附录B.4）情况下的解析表达式进行了比较。我们可以看到，半分析法远远优于有限元法。在这种情况下，半解析方法的优势在于，在经过大量计算后，非线性特征值问题存在有限的基础和截断，例如，NTERM不会改变解（见附录B.4）。这里，N选择得足够大，因此剩余误差主要来自切比雪夫方法中线性特征值问题的近似解和轮廓积分方法中的奇异值分解。EV值有限元切比雪夫近似切比雪夫轮廓积分。

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2022-6-2 20:22:59

T（λ）插值的eig∧12.0 0.018 4.1×10-153.6 × 10-121.3 × 10-12Λ30.0 0.097 9.5 × 10-141.1 × 10-113.4 × 10-12Λ30.0 0.105 9.5 × 10-141.1 × 10-113.4 × 10-12Λ56.0 0.309 7.7 × 10-126.0 × 10-116.1 × 10-11Λ56.0 0.353 7.7 × 10-126.0 × 10-116.1 × 10-11Λ90.0 0.767 1.0 × 10-105.4 × 10-107.8 × 10-10Λ132.0 2.311 2.3 × 10-51.8 × 10-94.5 × 10-8Λ306.0 8.896 1.3 × 10-24.1 × 10-81.0 × 10-表3：ρxy=0.0、ρxz=0.0、ρyz=0.0的特征值误差。我们给出了用不同方法计算的特征值与解析解之间的差异。从数值实验可以看出，基于最小线性特征值的方法速度较慢。基于轮廓积分和Chebyshevinterpolation的方法显示了最好的结果。从计算的角度来看，切比雪文插值比轮廓积分法更快，因为对于后者，我们必须在不同的圆上运行多次计算，以及沿轮廓计算数值积分。切比雪夫插值方法的复杂性包括两个步骤。第一步是使用（22）中的切比雪夫多项式在λ中插值T（λ），以获得多项式特征值问题。这可以用O（Nm）表示，其中n是特征值展开中的项数，m是切比雪夫基的维数。第二步是求解多项式特征值问题，其复杂性等于Nm×Nm矩阵的线性特征值分解的复杂性。因此，第二步的复杂度与矩阵乘法的复杂度成正比，即实际中的O（Nm）。理论上，可以使用O（Nωmω）为2<ω<2.37的算法（见Demmel et al.（200 7）），但发现该常数太大，无法与此处相关的矩阵大小竞争。我们在表4中对CPU时间进行了实证分析。

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2022-6-2 20:23:02

由于第一步的常数因子较高，因此它对小m起主导作用，而对大m起主导作用的是第二步。一旦我们计算了特征值和相应的特征向量，我们就可以使用表达式（13）计算ψ（Д，ζ）。图2给出了特征向量的一个示例，如（Д，θ）-平面所示。5.3扩展的收敛性和计算速度我们现在关注最有效的方法，即第4.2节中的切比雪夫插值方法。为了从数值上探讨收敛性，我们将格林函数的结果与特殊相关情形ρxy=-余弦π, ρxz=-余弦π, ρyz=0，使用图像方法（Escobar et al.（2013））。值得指出的是，我们不应该期望（t′，x′，y′，z′）中的一致收敛，特别是当t′时↓ t、因为初始条件是狄拉克三角洲。在应用中，当t′>0时，感兴趣的量通常是格林函数空间变量中的一个积分。众所周知，当t′>0时，格林函数是平滑的。

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2022-6-2 20:23:05

在我们的实验中，我们考虑空间Lnorm（固定t′）进行比较。我们的截断G r een函数近似的形式为（τ，r′，Д′，θ′，r，Д，θ）=e-r′2+r2ττ√r′rMXl=1Iλlr′rτ××NXn=1clnsin（knИ′）储罐nθ′Fλl，1- λl，1+kn，sinθ′!××NXn=1clnsin（knх）储罐nθFλl，1- λl，1+kn，sinθ!.我们有几个数值参数：（i）M，t（5）的叠加解中的项数，即（16）中我们近似的非线性特征值和特征向量的数目；（ii）N，近似于有限维问题（16）的非线性特征值问题（20）的维数；（iii）m，在（22）中切比雪夫基的维数，用多项式逼近非线性广义值问题；（iv）K，近似（15）中积分的正交点的数量；另请参见第5.1节。随着这四个参数趋于一致，我们预计近似值会收敛。这尤其涉及到cnl与它们相乘的项相结合，以n，l的速度快速归零→ 此外，对于固定的n，l，cnlandλl，通过截断有限维Igenvalue问题隐式依赖于n，通过对有限维Igenvalue问题的近似依赖于m和K，需要收敛为n，m，K→ ∞.（a）特征向量1∧=5.2（b）特征向量2∧=11.8（c）特征向量3∧=16.3（d）特征向量4∧=21.1（e）特征向量8∧=39.3（f）特征向量30∧=139.4图2：为ρxy=0.8、ρxz=0.2、ρyz=0.5获得的域的特征向量和相应特征值示例。在缺乏理论误差估计的情况下，我们对这一点进行了实证检验。

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kedemingshi

2022-6-2 20:23:08

在我们的实验中，我们选择K=1000个节点作为（15）的tra-pezoid规则；用更少的节点就可以获得很好的容差，然而，即使K=10 00，这些积分的计算时间也不太重要（约占总特征值计算程序的10-15%）。我们现在提供三个实验：在每一个实验中，我们将剩余的两个参数（M，N，M）固定到足够大，并改变第三个参数，以将格林函数与解析解进行比较。对于N=30、M=50、M=100，在我们的实验中，任何一个参数的进一步增加都不会对格林函数的值产生超出此处要求精度的影响。结果和计算时间见下表4。回想一下，有限维非线性特征值问题（16）最终由（23）的（mN）维广义线性特征值问题近似。为了研究展开式中项数M的收敛性，我们从得到的mN特征值和相应的特征向量中选择最小的M。由于主要计算成本来自特征值问题的解决方案，这里的特征值问题与所有M相同，因此我们不报告不同M的计算时间。相比之下，使用Lipton和Savescu（2014）的有限元方法，使用1500点网格，我们得到的精度为3.1×10-5 CPU时间621s。该精度与m（约15）和Naround（约7）的半解析解相当，可在几分之一秒内计算。请注意，Lipton和Savescu（2014）的方法要求解决1500维（由有限元素的数量决定）广义线性特征值问题。

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mingdashike22

2022-6-2 20:23:13

然而，在我们的测试中，成本主要取决于局部有限元网格的构建。m 10 20 50 80 100误差2.52×10-47.73 × 1 0-66.21 × 10-71.76 × 10-78.60 × 1 0-8CPU时间79.9 94.8 256.5 604.1 1070.1N 5 10 20 25 30错误7.92×10-53.46 × 1 0-62.68 × 10-78.60 × 10-88.60 × 1 0-8CPU时间9.9 56.6 333.1 667.4 1070.1M 5 10 20 40 50错误4.87×10-41.19 × 1 0-59.71 × 10-71.02 × 10-78.60 × 1 0-8表4：不同m（N=3 0，m=5 0）、N（m=100，m=50）和m（m=100，N=30）的格林函数误差形式。作为进一步的基准，我们在下表5中给出了二阶微分法（Hundsdorfer-Verwer方案；见Hundsdorfer和Verwer（2013））的结果。我们在每个空间方向上使用NX=100个点，在时间上使用NT=200个点。为了逼近误差，我们计算了网格{（x′i，y′j，z′k）=（i）上的格林函数x、 jy、 k级z） }覆盖一些[0，xmax]×[0，ymax]×[0，zmax]，然后通过数值求积err逼近误差≈Pi、j、kG（x′i，y′j，z′k，x，y，z）- G*（x′i，y′j，z′k，x，y，z）x个yz、其中G（·）是半解析或数值解，G*（·）Escobar等人（2013）的分析溶液。数值初始条件选择asG（0，xi，xj，xk，x，x，x）=x个x个x、 xi=x，xj=x，xk=x，0，否则。为了近似Dirac delta，网格的构造方式应确保（x，x，x）与网格点重合。这是Pooley等人数值分析的非光滑初始条件近似的特例。

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2022-6-2 20:23:16

（2003）和Reisinger和Whitley（2014）中的Fourier方法。表5中的数据显示了Nx和NT的二阶收敛性。NX25 50 100误差4.44×10-41.04 × 10-42.65 × 10-5CPU时间30.8 274.3 2239.1NT50 100 200错误3.41×10-49.23 × 10-52.65 × 10-5CPU时间723.2 1156.6 2239.1表5：不同NX（NX=200）和NX（NX=100）的ADI方法的格林函数误差形式。该测试表明，在计算上最可行的水平上，与ADI格式相比，相对较少项的半解析解具有更高的精度。值得指出的是，半解析表达式给出了单点的密度，而有限差分解是在整个网格上同时得到的。例如，这对于计算生存概率很有用，其中需要对密度进行积分（见下一节）。6相互负债违约模型的应用与吸收的差异在结构性信贷模型中起着核心作用。特别是，我们在本节中研究了Lipton（2016）中提出的具有相互负债的互联银行网络模型。有几篇论文考虑了该模型的具体案例。例如，Itkin和Lipton（2016）考虑了两个没有跳跃的银行的特殊情况，Kaushansky et al.（2017）考虑了两个指数跳跃为负的银行的情况，Itkin和Lipton（2015）考虑了跳跃成分中具有相当普遍的相关L’evy过程的两个和三个银行的情况。在这里，我们研究三家银行没有跳跃的情况。三个交易对手的情况具有实际重要性，因为它允许我们计算双边信贷和债务价值调整。

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2022-6-2 20:23:19

在下文中，我们简要介绍了该框架，并展示了如何计算CDS的联合生存概率以及CVA和DVA。6.1三家银行相互负债的扩展违约模型我们假设资产由几何布朗运动驱动，漂移dai，tAi，t=uidt+σidWit，1≤ 我≤ 3，其中uiis为生长速率，σiis为相应的波动率，wi为相关的标准布朗运动（ρij）。假设负债具有相同的增长率，dLiLi=uidt，dLijLij=uidt，1≤ i、 j≤ 3，其中，i-th银行的对外负债，以及i银行和j银行之间的银行间负债。我们引入了Black和Cox（1976）Ξi=（Ri（Li+^Li）中的默认边界-^Ai≡ Ξ<i，t<t，Li+^Li-^Ai≡ Ξ=i，t=t，其中0≤ 国际扶轮社≤ 1是回收率，^Ai=Xj6=iLji，^Li=Xj6=iLij。如果第k家银行在中间时间t′违约，幸存的银行将因第k家银行的任何未付净债务而蒙受损失，我们必须考虑修改边界条件的二维问题。然后，我们通过应用函数i改变幸存银行的指数化→ i′=φk（i）=（i，i<k，i- 1，i>k。我们还引入了逆函数i→ i′=ψk（i）=（i，i<k，i+1，i≥ k、相应的默认边界修改为Ξ（k）i=（Rψ（k）（i）（L（k）i+^L（k）i）-^A（k）i，t<t，L（k）i+^L（k）i-^A（k）i，t=t。很明显Ξ（k）i=Ξ（k）i- Ξi=（（1- RiRk）^A（k）i，t<t，（1- Rk）^A（k）i，t=t。因此，Ξ（k）>0，相应的默认边界向右移动。我们需要指定时间t=t时的结算过程。我们将本着Eisenberg和Noe（2001）的精神这样做。由于预计在T时全部清偿，我们假设银行i将向债权人支付其总负债的ωiof部分。这意味着，如果ωi=1，银行支付所有负债（包括外部负债和银行间负债）并存续。

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2022-6-2 20:23:22

另一方面，如果0<ωi<1，银行i违约，只支付其负债的一小部分。因此，我们可以将终端条件描述为一个方程系统min（Ai，T+Xj6=iωjLji，Li+Xj6=iLij）=ωiLi+Xj6=iLij！。（25）有一个唯一的向量ω=（ω，ω，ω）Tsuch，表示条件（25）满足。详情请参见Lipton（2016）。为方便起见，我们引入了归一化无量纲变量't=∑t，Xi=∑ilnAiΞ<i,式中，∑=（σσ）。也表示ξi=-1的σi/（2∑）≤ 我≤ 3、将It^o公式应用于Xi，我们发现其动态Xi't=ξid't+dWi't。在下文中，为了简洁起见，我们省略了条形，并用（x，y，z）表示状态变量∈ R+。默认边界更改为ui=（u<i=0，t<t，u=i=σilnΞ=i（t）Ξ<i（t）, 我们将要考虑的问题都可以写在表格中五、t+LV=χ（t，x，y，z），（26）V（t，0，y，z）=φ0，x（t，y，z），V（t，x，y，z）-→x个→+∞φ∞,x（t，y，z），（27）V（t，x，0，z）=φ0，y（t，x，z），V（t，x，y，z）-→y→+∞φ∞,y（t，x，z），（28）V（t，x，y，0）=φ0，z（t，x，y），V（t，x，y，z）-→z→+∞φ∞,z（t，x，y），（29）V（t，x，y，z）=ψ（x，y，z），（30）具有适当定义的终端条件ψ、边界条件φ和右侧χ，其中Kolmogorov向后运算符或isLf=fxx+fyy+fzz+ρfxy+ρfxz+ρfyz+ξfx+ξfy+ξfz。一旦为一组模型参数数值构建了格林函数，通过将格林函数与适当的非均匀右侧和边界数据进行简单卷积，可以找到不同衍生品和对冲参数的价格，作为（26）–（30）的解。正是格林函数概念的优势，使得不需要进一步的偏微分方程数值解。

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2022-6-2 20:23:25

我们将在以下部分对此进行说明。6.2联合生存概率相应的Kolmogorov后向方程f或联合生存概率为Qt+LQ=0，Q（t，0，y，z）=0，Q（t，x，0，z）=0，Q（t，x，y，z）=0，Q（t，x，y，z）=（x，y，z）∈Dxyz，其中Dxyz={x≥ ux，y≥ uy，z≥ uz}是所有银行生存的R+子集。由于各种监管要求，大型银行的资产不能低于其能力，这意味着其回收率应接近1。这意味着域dxyz变为正八分之一R+。Itkin和Lipton（2016）最近发现了正象限（即二维）中无零漂移生存概率的分析解。在这里，我们使用第3节中的格林函数表达式和Gegenbauer多项式的展开式将此结果扩展到三维。仅在本节中，我们使用（x，y，z）代替（x′，y′，z′），使用（x，y，z）代替（x，y，z），以缩短积分中的符号，对于（r，ν，θ）也是如此。

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2022-6-2 20:23:28

然后可以将解q写成q（τ，x，y，z）=ZZZR+G（τ，x′，y′，z′，x，y，z）dx′dy′dz′。使用（19）和（2），Q（τ，r，Д，θ）=+∞Z′ωZΘ（Д）Zexp（ξα（r sinθsinД）- rsinθsinД）+ξβ（r sinθcosД- rsinθcosД）+ξγ（r cosθ- rcosθ）G（τ，r，θ，Д）rsinθdθdДdr=eκτ√r∞Xl=1ψl（Д，θ）(R)ωZΘ（Д）Zψl（Д，θ）sinθZ+∞e-αrreγ（Д，θ）rIλl（βr）drdθdД，（31）其中λl=q∧l+，α=2τ，β=rτ，γ（Д，θ）=αsinθsinν+ξβsinθcosД+ξγcosθ和κ=-ξαrsinθsinИ- ξβrsinθcosД- ξγrcosθ- αr。接下来，我们使用了来自Itkin a和Lipton（2016），e的超球面多项式的指数表示思想-Sx=Γ（ν）S-ν∞Xk=0(-1） k（ν+k）Iν+k（S）Cνk（x），其中Cνk（x）是Gegenbauer多项式，参数ν可以任意选择。用S=βR，x=-γ（Д，θ）/β到（31），我们得到q（τ，r，Д，θ）=eκτ√rΓ（ν）β-ν∞Xl=1∞Xu=0(-1） u（u+ν）ψl（Д，θ）××ZZOhmψl（ν，θ）sinθCνu(-γ（Д，θ）/β）dθdДZ+∞e-αrr-νIλl（βr）Iu+ν（βr）dr.（32）为简单起见，我们选择ν=1，然后使用恒等式（Gradˇstejn et al.（2007））计算第二个积分，u=Z∞e-αrrIλl（βr）Iν+u（βr）dr=2-λl-u-2α-（λl+u+5/2）/2βλl+u+1·Γ[（3/2+u+λl）/2]Γ（u+1）Γ（λl+1）Fλl+u+2λl+u+3λl+u+5/2u+2λl+1u+λl+2；βα,（33）其中f（a，b，c；a，b，c；z）是广义超几何函数。此外，当ν=1时，Gegenbauer多项式成为第二类切比雪夫多项式，它接受表示（Abramowitz和Stegun（1964））Ul（x）=[l/2]Xk=0(-1）氯化钾-kk（2x）l-2k，其中，[x]是FLOOR函数。

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