回火稳定过程的p-变异指数在本节中，我们计算回火稳定过程的p-变异指数，它是样本路径平滑度的度量。已在各种不同的背景下对p变化进行了研究，例如，[4、15、16、30、1、9、18、19、17]。对于t≥ 设Z[0，t]是区间[0，t]的所有分解∏={0=t<t<…<tn=t}的集合。对于函数f:R+→ R我们定义了p-变量Vp（f）：R+→ R+asVp（f）t：=sup∏∈Z[0，t]Xti∈∏ti6=t | fti+1- fti | p，t≥ 0.回火稳定分布和过程29注意，对于任何t≥ 0关系Vp（f）t<∞ 意味着Vq（f）t<∞ 对于所有Q>p.9.1。评论存在函数f:R+→ 带Vp（f）t=∞ 对于所有t>0和所有p>0。事实上，设f：=Q+和fix任意t>0。对于n∈ N我们设置ti：=int，i=0，n、 对于每个i=1，n我们选择无理数si∈ R\\Q带TI-我们定义了分区∏n：={0=t<s<t<…<sn<tn=t}。然后，对于每个p>0，我们有xui∈∏nui6=t | fui+1- fui | p=2n→ ∞ 对于n→ ∞,表明Vp（f）t=∞.对于函数f:R+→ R我们定义了p-变异指数γ（f）：=inf{p>0:Vp（f）t<∞ 对于所有t≥ 0}，此处我们同意设置inf := ∞. p-变异指数是函数f的平滑度的度量，因为较小的p-变异指数意味着f的平滑行为。这里有一些例子：o对于每个绝对连续函数f，我们有γ（f）≤ 1;o 对于布朗运动W，几乎所有ω的γ（W（ω））=2∈ Ohm;o 对于函数f：=Q+我们有γ（f）=∞, 见备注9.1。事实上，对于Lévy过程X，p变化指数γ（X（ω））不依赖于ω∈ Ohm. 为了确定γ（X），我们将Blumenthal-Getoor指数β（X）（可追溯到[4]）引入为β（X）：=infp>0:Z-1 | x | pF（dx）<∞,其中F表示X的Lévy度量。请注意β（X）≤ 2、根据[4，Thm.4.1，4.2]和[30，Thm。

2] 我们几乎可以肯定γ（X）=β（X）。此外，根据[4，Thm.3.1，3.3]，我们几乎可以确定→0吨-1/pXt=0，p>β（X）lim supt→0吨-1/p | Xt |=∞, p<β（X）。现在，让X是一个回火稳定过程X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).9.2. 提议我们有γ（X）=β（X）=max{β+，β-}.证据对于任何p>0，我们有-1 | x | pF（dx）=α+Ze-λ+xx1+β+-pdx+α-Z-1e级-λ-|x | | x | 1+β--pdx=α+Z-λ+xx1+β+-pdx+α-Ze公司-λ-xx1+β--pdx，当且仅当p>max{β+，β时是有限的-}. 这表明β（X）=max{β+，β-}.由于γ（X）=β（X），证明是完整的。我们得到了回火稳定过程类中双边γ过程的以下特征：9.3。推论当且仅当X是双边γ过程时，γ（X）=0。30 UWE K"UCHLER和STEFAN Tappen接着，我们可以认为双边伽马过程是所有回火稳定过程中最平滑的一类过程。10、回火稳定过程驱动的指数股票模型在本节中，我们将讨论回火稳定过程驱动的指数股票价格模型。对于这些模型，我们将关注等价鞅测度和期权定价公式的选择。为了清楚起见，我们将只概述主要结果。证据和进一步的细节将在随后的论文中提供。在续集中，我们定义了β+，β-∈ （0，1）和回火稳定过程X~ TS（α+，β+，λ+；α-, β-, λ-).回火稳定股票模型是一种指数Lévy模型St=SeXtBt=ert。过程S是一个股息支付股票，其确定的初始值S>0，股息率q≥ 此外，B是利率为r的银行账户≥ 0.在下文中，我们假设r≥ q≥ 0、等效概率测度Q~ Pis是一个局部鞅测度（简而言之，鞅测度），如果贴现股票价格过程St：=e-（r）-q） tSt=SeXt-（r）-q） t，t≥ 0是局部Q-鞅。

鞅测度Q的存在性~ P确保股票市场没有套利，且欧式期权的价格Φ（ST），其中T>0是到期时间，Φ：R→ R支付函数由π=e给出-rTEQ[Φ（ST）]。获得等效概率度量的一种方法是执行Esschertransform，这是在[14]中首创的。10.1. 定义。LetΘ∈ (-λ-, λ+）可以是任意的。Esscher变换PΘ定义为局部等效概率测度，似然过程∧t（PΘ，P）：=dPΘdPFt=eΘXt-ψ（Θ）t，t≥ 0，（10.1），其中ψ表示（2.9）给出的累积量生成函数。存在Θ∈ (-λ-, λ+，使得PΘ是鞅测度当且仅当λ++λ-> 1（10.2）和r- q∈ （f）(-λ-), f（λ+- 1)].（10.3）此处f：[-λ-, λ+- 1] → R表示函数f（Θ）：=f+（Θ）+f-（Θ），其中我们有setf+（Θ）：=α+Γ(-β+)(λ+- Θ - 1)β+- (λ+- Θ)β+,f-(Θ) := α-Γ(-β-)(λ-+ Θ + 1)β-- (λ-+ Θ)β-.如果满足条件（10.2）和（10.3），则Θ是方程f（Θ）=r的唯一解- q、 回火稳定分布与过程31and在概率测度PΘwe haveX下~ TS（α+，β+，λ+- Θ; α-, β-, λ-+ Θ).与当前情况相反，对于双边伽马股票模型（β+=β-= 0）仅条件（10.2）就足以证明Esscher鞅测度的存在，参见【25，备注4.4】。选择等价鞅测度Q的一种更复杂的方法~ 对于某些严格凸函数g：（0，∞) → R、 以下是函数g的一些常用选择：o对于g（x）=x lnx，我们称Q为最小熵鞅测度。o对于g（x）=xp且p>1，我们称Q为p-最优鞅测度对于p=2，我们称Q为方差最优鞅测度。我们将通过执行双边Esscher变换来最小化回火稳定过程类中的相对熵，cf。

定义8.2.10.2。定义。Letθ+∈ (-∞, λ+、θ-∈ (-∞, λ-) 要专横。双边Esscher变换P（θ+，θ-)定义为似然过程∧t（P（θ+，θ-), P） ：=dP（θ+，θ-)数据处理Ft=eθ+X+t-ψ+（θ+）t·eθ-十、-t型-Ψ-(θ-)t、 t型≥ 注意，Esscher变换PΘ是刚刚介绍的双边Esscher变换P（θ+，θ）的特例-). 实际上，我们有PΘ=P（Θ，-Θ), Θ ∈ (-λ-, λ+).结果表明，形式为P（θ+，θ）的鞅测度-)存在当且仅当-α+Γ(-β+>r- q、 （10.4）则存在-∞ ≤ θ< θ≤ λ+-1和连续、严格递增的双射函数Φ：（θ，θ）→ (-∞, λ-) 使得P（θ，Φ（θ））是每个θ的鞅测度∈ (θ, θ). 此外，在P（θ，Φ（θ））下，我们有x~ TS（α+，β+，λ+- θ; α-, β-, λ-- Φ(θ)).根据命题8.1，所有保持回火稳定过程类的等价测度变换都是双边Esscher变换。因此，我们引入参数集smp：={（θ+，θ-) ∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) |P（θ+，θ-)是鞅测度}，因此双边Esscher变换是鞅测度。如果满足条件（10.4），则我们有mp={（θ，Φ（θ））∈ R |θ∈ （θ，θ）}，（10.5），在这一类中存在最小化相对熵和p距离的参数。如果条件（10.4）不满足，则我们有MP=. 因此，与双边伽马库存模型不同，可能会发生这样的情况，即没有等效的马丁格尔测度，在该测度下，X保持回火稳定过程。此外，与双边伽马存量模型相比，函数Φ在封闭形式中不可用，参见【25，备注6.7】。关于最小鞅测度的存在性，32 UWE K"UCHLER和STEFAN TAPPEwe获得了与双边Gamma股票模型相似的结果，参见[13]。

[25，第7节]。即，假设λ+≥ 2和定义常数=c（α+，α-, β+, β-, λ+, λ-, r、 q）：=ψ（1）- （r）- q） ψ（2）- 2ψ（1），（10.6）最小鞅测度^P存在的充要条件是-1.≤ c≤ 在这种情况下，在最小鞅测度^P下，我们有x~ TS（（c+1）α+、β+、λ+；（c+1）α-, β-, λ-)* TS(-cα+、β+、λ+- 1.-cα-, β-, λ-+ 1).在本节介绍的每个鞅测度下，我们可以基于傅立叶变换技术推导出期权定价公式。我们假设价格K>0，到期日T>0。通过Дxtxt表示XT的特征函数，对于λ+>1，具有这些参数的看涨期权的价格由π=-e-rTK2πZiν+∞iν-∞堪萨斯州izИXT(-z） z（z- i） dz，其中ν∈ （1，λ+）是任意的。这源自【7，第3.1节】，另见【26，定理3.2】。总结本节的结果，与双边伽马过程驱动的股价模型相比，我们得到了关于适当鞅测度存在的更严格的条件。这并不奇怪，因为我们的研究表明，在许多方面，双边伽玛分布的性质不同于所有其他回火稳定分布的性质。致谢作者感谢Gerd Christoph对Berry-Esseen定理中最佳常数的讨论。作者还感谢副主编和两位匿名评论员的宝贵意见和建议。参考文献【1】Barndor Off-Nielsen，O.E.和Shephard，N.（2003）实现了功率变化和随机波动模型。伯努利9（2），243–265。[2] Bianchi，M.L.、Rachev，S.T.、Kim，Y.S.和Fabozzi，F.J.（2010）《回火稳定分布和金融过程：数值分析》。精算科学与金融数学与统计方法33–42，意大利斯普林格，米兰。[3] Bianchi，M.L.，Rachev，S.T.，Kim，Y。

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