随机死亡模型：无限维方法

2022-6-24 08:38:35

随机死亡率模型：有限维方法Stefan Tappe Stefan WeberLeibniz Universit"at Hannovera摘要未来死亡率的人口统计学预测涉及高度不确定性和随机死亡率模型。本文研究了由（可能是有限维）维纳过程和补偿泊松随机测度驱动的正向死亡率模型。本文的一个主要创新是引入了一系列称为正向死亡率改进的过程，这为简单构建随机正向死亡率模型提供了一个灵活的工具。在实践中，死亡率改善通知是一种方便的方法，可以量化死亡率随时间的变化，例如检测队列效应。我们证明，远期死亡率满足Heath-Jarrow-Morton型一致性条件，这转化为远期死亡率的提高。虽然远期死亡率的一致性条件类似于债券市场中的经典条件，但远期死亡率改善的条件具有不同的结构：远期死亡率模型除了时间范围外，还包括一个短期参数；这两个维度在远期死亡率改善的一致性模型的动力学中是耦合的。

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2022-6-24 08:38:39

为了获得一个统一的框架，我们将描述远期死亡率和改善的It^o-过程系统进行转换：与RM结构模型相比，相应的随机偏微分方程（SPD）描述了二维曲面而非曲线的随机动力学。关键词：死亡率、寿命、远期死亡率、Heath Jarrow Morton、死亡率改善、动态点过程、随机偏微分方程（SPDE）AMS主题分类（2010）：91D20，60H151简介精算数学通常是一种实用且简单的现实方法。例如，经典的人寿保险数学涉及保险产品的估值，准备金的计算基于联营的思想（由等价原则形式化）。它要求对被保险人的死亡率进行合理的预测。在实践中，保险公司通常使用确定性死亡率表，该表是根据过去的死亡率数据构建的，并包括安全裕度。对于定期人寿保险或年金等标准人寿保险产品，需要进行几十年的预测。虽然确定性死亡率表构成了现实的一个相当大的简化，但保险公司和实际机构始终意识到，未来死亡率的人口预测涉及高度的不确定性。精算师没有试图正确预测未来的死亡率，而是实施了一个审慎的风险管理计划，该计划涉及大量的安全裕度。虽然人寿保险公司的客户通常会被多收费用，但这种机制是公平的，因为盈余会重新分配给被保险人。

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2022-6-24 08:38:42

精算寿命表不得解释为实际死亡率的模型，而应解释为精算实践中的特定技术工具。事实上，对未来死亡率的人口预测具有高度的不确定性。例如，Booth（2006）观察到了这一点。因此，理解死亡率与分析或构建保险生命表不同，需要死亡率和死亡率预测机制的随机模型。目前的文章侧重于随机正向死亡率模型（见Milevsky&Promislow（2001），Dahl（2004），Miltersen&Persson（2005），Cairns，Blake&Dowd（2006），Bauer（2008），aLeibniz Universit"at Hannover，Institut für Mathematische Stochastik，Welfengarten 1，30167 Hannover，Germany）。电子邮件：Stefan Tappe<tappe@stochastik.uni-汉诺威。德>，斯特凡·韦伯<sweber@stochastik.uni-汉诺威。de>。Barbarin（2008）、Norberg（2010）、Bauer、Benth&Kiesel（2012）、Zhu&Bauer（2011）、Zhu&Bauer（2012））。这些与Bi ffis（2005）、Bi ffs、Denuit&Devolder（2010）、Hainaut&Devolder（2008）、Luciano&Vigna（2008）和Schrager（2006）等讨论的死亡率强度模型密切相关。我们的主要贡献是为这种方法提供了一个数学上严格且透明的框架，概括并实质上澄清了文献中以前的贡献。随机死亡率和死亡率预测模型可以作为分析当前精算实践的可靠性、稳健性和成本的框架。它们还可能改善人口预测，并为死亡率和长寿风险的管理提供更好的基础。最后，需要随机死亡率模型来计算保险负债的市场一致性价值，这一数量对于管理和报告目的尤为重要。

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kedemingshi

2022-6-24 08:38:45

随机死亡率和死亡率预测模型也是构建各种再保险或资本市场解决方案的重要组成部分，有助于降低死亡率和寿命风险。最近的产品创新包括死亡率掉期、长寿债券和q-远期。贡献与概述：本文研究随机正向死亡率模型。第2节通过引入个体死亡的动态点过程模型为我们的方法提供了动力（参见Brémaud（1981），Bielecki&Rutkowski（2002））。我们定义了远期死亡率过程和比率。本文的一个主要创新是引入了一系列称为前向死亡率改进的过程，这是一个灵活的工具，可以简单地构建随机前向死亡率模型。此外，在实践中，死亡率改善的概念提供了一种方便的工具，可以量化死亡率随时间的变化，例如，可以检测共同效应（Prév^ot，Rinke&Stollmann（2011））。第3节提供了条件大数定律，作为向前致命模型重要性的理性依据。尽管许多关于这个问题的论文中都隐含着这些定理，但据我们所知，这些定理从未在文献中得到严格证明。正向死亡率模型的一个特例是基于强度的模型，该模型允许通过补偿器对其概率动力学进行替代描述。第4节解释了这一观点（一些作者倾向于采用本文所采用的方法）。建议的远期死亡率模型可以被解释为描述真实世界（参见Zhu&Bauer（2012））或风险中性动态（参见Bi ffs（2005）、Bi ffs&M（2006）、Bi ffs et al.（2010））。

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kedemingshi

2022-6-24 08:38:48

在这两种情况下，我们都可以确定一个鞅条件，见下面的备注2.1，这意味着Carmona（2007）意义上的任何“代码本”的动力学的一致性条件。第5节描述了未来死亡率和改进的一致性条件。我们还提出了一个基于SPDE的统一建模框架。结果的证明推迟到附录中。虽然远期死亡率的一致性条件类似于债券市场中的经典条件，但远期死亡率改善的条件具有不同的结构：远期死亡率模型除了时间范围外，还包括一个队列参数；这两个维度在远期死亡率改善的一致模型的动力学中是耦合的。为了获得一个统一的框架，我们对描述远期死亡率和远期死亡率改善的It流程系统进行了改造。与期限结构模型相比，相应的随机偏微分方程（SPDE）描述了二维表面而非曲线的随机动力学。这些曲面通过队列和时间范围进行参数化（另请参见Bi ffes&M.（2006），了解随机领域的相关研究）。最令人感兴趣的是向前死亡率改善的一致性模型，这导致了随机向前死亡率模型。此外，前向死亡率曲面的形状需要Hilbert函数空间，而利率模型的文献中并未涵盖这些空间，请参见定义5.7和示例5.8。我们的结果在莱维驱动的Gompertz-Makeham正向死亡率模型的背景下进行了说明。在第6.2节定义和基本属性中，我们首先介绍了随机死亡率模型的基本概念。

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2022-6-24 08:38:51

我们表示为(Ohm, G、 P）定义所有随机变量和过程的充分丰富的概率空间。概率测度P可以被解释为现实世界的测度，也可以被解释为定价测度，具体取决于理论应用的背景。个人的寿命以其出生日期c和随机死亡时间为特征。作为人寿保险数学中的一个常见问题，我们按年龄对个人队列进行编码，因此定义=-c∈ R，可解释为时间0时的（假设）年龄。个体死亡发生在G-可测量的随机时间τx：Ohm → (-x，∞). 等效地，死亡时间由存活指标描述，这是一个由nt（x）（ω）定义的随机过程=1，t<τx（ω），0，t≥ τx（ω）（ω∈ Ohm, t型∈ R+。建立事件发生概率演化模型的既定方法是基于强度的模型。一个特别方便的例子是考克斯过程模型，见Brémaud（1981），该模型假设强度由随机协变量驱动。在目前的论文中，我们主要关注这些模型，但如Brémaud（1981年）和Bielecki&Rutkowski（2002年）所述，我们在更抽象的层面上介绍了这些模型。有关过滤放大的详细分析和更多参考资料，请参见Jeanblanc，Yor&Chesney（2009）。我们将注意力限制在时间段R+=[0，∞). 系统信息由过滤F=（Ft）t建模∈R+–有时也称为背景信息。在经典的Cox过程模型中，这种过滤对应于由随机协变量过程的历史生成的sigma代数族。直觉上，F包含所有确定死亡事件可能性的信息。然而，正如我们将在下文中看到的，应假设F不包括特定个体的确切死亡时间信息。

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能者818

2022-6-24 08:38:54

出于技术原因，我们假设(Ohm, G、 F、P）满足通常条件。o个体在某一时间出生的条件概率-x生存到时间t≥ 0给定的背景信息由τx：Gt（t，x）：=P（τx>t | Ft），t≥ -x个∨ 这个过程被认为是点过程理论的重要组成部分。在适当的技术假设下，Gt（t，x）等于出生日期的个人分数-在t之前存活的x。精确结果将在定理3.4中说明另一个对面临死亡和长寿风险的公司特别感兴趣的目标——尤其是养老基金和再保险公司，参见Prév^ot等人（2011年）——是对出生日期t的个人比例的最佳预测-直到将来的某个日期T。同样，在OREM 3.4中，我们将在适当的技术条件下表明，该预测等于我们定义为GT（T，x）：=P（τx>T | Ft）=E[GT（T，x）| Ft]，T≥ -x个∨ t、（1）备注2.1。从其定义可以明显看出，对于固定x和T，前向生存过程（Gt（T，x））是关于概率测度P的鞅。这个鞅性质非常自然：o如果P是真实世界的测度，那么随机变量Gt（T，x）描述了个体在某个日期出生的条件概率-根据T日的信息，x有效期至T日；如果可用信息随着时间t的增加而增加，那么相应的条件概率过程当然是F鞅。朱和鲍尔（2012）对此观点进行了详细讨论。此外，定理3.4对该过程的解释略有不同。

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2022-6-24 08:38:58

如前所述，在技术条件下，Gt（T，x）是对当天出生的个体比例的最佳时间T预测-存活到未来日期T（存活率）的x。如果t增加，可用信息增加，这显然意味着鞅性质如果货币市场账户被选为具有确定性利率r（t）的数字，t≥ 0，P是定价度量，然后exp-RTtr（s）ds· Gt（T，x）可以解释为在T时支付等于生存率的金额的生存债券在T时的价格。点过程理论的标准技术工具是危险过程和强度。我们在死亡率模型的背景下采用了这些概念。我们从一个技术假设开始。假设2.2。对于所有t∈ R+，T≥ -x个∨ t、我们得到Gt（t，x）>0。备注2.3。假设2.2保证在许多强度模型的背景下，关于Fand的随机时间τxare不是停止时间，参见Bielecki&Rutkowski（2002）。filtrationf包含死亡事件可能性的背景信息，但不包括其实际发生情况；在Cox过程中，这通常意味着F是由协变量产生的，而不是由单个死亡事件产生的。在我们的死亡率模型中，我们将在第3节中实际证明，基于所有可用信息的生存率预测也会导致F-远期生存过程，见定理3.4。请注意，假设2.2意味着不存在所有个体都必须达到的最大年龄。虽然不现实，但如果老年人的条件生存属性非常低，因此不会造成任何严重限制，则这一限制会得到缓解。定义2.4。允许-x个∈ R可以任意。

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2022-6-24 08:39:02

F-forward危险过程系列由[0，T]3 T 7定义→ Γt（t，x）=-ln Gt（T，x），T≥ -x个∨ F-条件危险过程家族由t 7定义→ Γt（t，x），t≥ -x个∨ 定义2.5。允许-x个∈ R可以任意。（i）如果t 7→ Γt（t，x），t≥ -x个∨ 0，对于勒贝格测度是绝对连续的，即Γt（t，x）=Γ（0，x）+Zt-x个∨F-可选过程γ（x）=（γt（x））t的0γs（x）ds（2）≥-x个∨0，则γ（x）称为F点死亡率（或有时强度）。在（2）中，我们设置Γ（0，x）：=0表示x≤ 0.（ii）如果T 7→ Γt（t，x），t≥ -x个∨t代表t∈ R+，对于Lebesgue测度是绝对连续的，即Γt（t，x）=Γt(-x个∨ t、 x）+ZT-x个∨tut（s，x）ds（3），用于F-可选过程u（t，x）=（ut（t，x））t∈[0，T]，T≥ -x个∨ 0，则过程u（T，x）称为F-正向死亡率。在（3）中，我们设置了Γt(-x、 x）：=0表示t≤ -x、（iii）如果为t∈ R+存在T的F-远期死亡率u（T，x）≥ -x个∨t、如果h 7→ ut（t+h，x-h）关于Lebesgue测度，isabsolutely连续，即ut（t+h，x- h）- ut（t，x）=-Zhjt（T+u，x- u） duf-可选过程j（T，x）=（jt（T，x））T∈[0，T]，T≥ -x个∨ 0，则过程j（T，x）称为正向死亡率改进。我们将在第5节中调查远期死亡率的动态和改善情况。备注2.1中的马丁格尔条件对其进化施加了限制，将对其进行详细研究。备注2.6。（i）约定Γ（0，x）=0表示x≤ 0和Γt(-x、 x）=0表示t≤ -（2）和（3）中的x分别编码所有个体在出生日期之前都应该活着-概率为1的x。根据定义2.4，在这些情况下，正向危险过程需要为0。（ii）虽然我们仅假设存在F-可选F-点死亡率，但可以要求现场死亡率是可预测的。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:39:05

这是由过程（Γt（t，x））t的连续性所暗示的。Agiven F-可选可测量现场死亡率γ不一定是可预测的，但在可选σ-代数O上定义了一个度量γs（x）（ω）dsP（dω），其中包含可预测的σ-代数P。其对P的限制相对于P（dω）dt的RadonNikodym导数是一个满足方程（2）的F-可预测即期死亡率。（iii）即期和远期死亡率可解释为个体在给定当前信息时的最小死亡率。为了更精确，如果T≥ -x个∨ 满足定义2.5的条件，然后p（t<τx≤ T+ |Ft）=ut（t，x） + o() 像 → 0.（iv）F-forward死亡率改善j（T，x）量化了队列中F-forward死亡率的微小改善。直观地，增量ut（t+du，x- du）- ut（t，x）=-jt（T，x）Dude描述了两个年龄相同的队列在两个时间范围内的前向死亡率变化；队列x-du在T+du时年龄为T+x，而队列x在T时年龄相同。如果正向死亡率降低，正向死亡率改善jt（T，x）为正，如果正向死亡率增加，则为负。F-forward死亡率改善的随机动力学j可以捕捉未来的随机队列效应。下文第5节讨论了建模其随机演化的框架。3有条件的大数定律联营原则是保险数学的关键。它指出，在一个非常大的人口中，每个被保险人的特质几乎消失了。这通常被用作计算保险产品风险溢价的基础。

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2022-6-24 08:39:09

在本节中，我们在我们的模型中应用了池的思想，并证明了条件大数定律，表明F-生存和F-前向生存过程捕获了与随机死亡率相关的系统风险。我们确定出生日期-x个∈ R并考虑一个在这个日期出生的大型同质家庭。我们的目标是计算在未来日期t存活的个体比例，以及在时间t>t时存活的个体比例的最佳时间t预测；最好的预测将基于t可用的全部信息，这些信息不仅包括背景信息，还包括所有死亡事件的信息。我们首先陈述了一个假设，即我们正在考虑一个同质群体。假设3.1。设τxand^τxbe为当时出生的两个任意个体的死亡时间-x个∈ R、那么P（τx>t | Ft）=P（τx>t | Ft）几乎可以肯定对于所有t∈ R+。种群的极限定理需要大量的个体。因此，我们考虑在日期出生的个人数量-x、备注3.2。从数学上讲，在非常丰富的概率空间上，存在一个有限但可数的随机时间集合(Ohm, G、 P）对于满足假设3.1的给定危险过程，可以使用随机时间的规范构造很容易地表示出来，这是一个在简化形式信贷风险模型的文献中广为人知的概念。假设Γt（t，x）是一个递增的F-适应过程。设εnbe为独立于F的独立单位指数分布随机变量序列∞:=Wt公司∈R+Ft，随机时间τx，n：=inf{t：Γt（t，x）>εn}在给定F的条件下是独立的∞, 每个都有危险过程Γt（t，x）。定义3.3。

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2022-6-24 08:39:13

出租x∈ R、一类相关死亡时间（τx，n）n∈如果（i）序列（τx，n）n∈Nis双随机，即P（τx，n>t | Ft）=P（τx，n>t | F∞) 对于所有t∈ R+，n∈ N（ii）序列（τx，n）n∈Nis F公司∞-条件独立，即对于任何有限J N、 tj公司∈ R+，j∈ J： P（τx，J>所有J的tj∈ J | F∞) =Yj公司∈JP（τx，j>tj | F∞).这一定义通常可以扩展到死亡时间可数的多个不同队列的家庭。定义3.3的属性（i）指出，截至时间t的个人死亡概率取决于截至时间t的背景信息，但不取决于随后到达的背景信息。例如，在考克斯过程强度的特殊背景下，这意味着时间t的强度是直到时间t的因子过程路径的函数。属性（ii）形式化了死亡时间在给定背景信息的情况下是独立的。请注意，这排除了本地或全球（平均场）相互作用意义上的传染效应。在死亡率建模的背景下，只要不考虑大规模疫情爆发，这种假设相对来说是无辜的。定理3.4。出租x∈ R、我们用（Nn（x））n表示∈与出生日期的个人家庭相关的生存指标-具有F-DSCI死亡时间的x。那么对于所有t≥ -x个∨ 0：limN→∞NNXn=1Nn（x）t=Gt（t，x）P–几乎可以肯定。设置Gt：=σ{Nn（x）s:s≤ t、 n个∈ N}∨ 英尺，吨∈ R+，G=（Gt）t∈R+是完整的信息过滤。然后，对于所有t∈ R+，T≥ -x个∨ t： limN公司→∞NNXn=1E[Nn（x）T | Gt]=Gt（T，x）P–几乎可以肯定。（4）证明。见附录A。定理3.4是一个大数定律。F条件生存过程描述了大群体聚集水平上的死亡率。数量Gt（t，x）等于当时出生的个体的分数-存活到t的x。

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2022-6-24 08:39:16

F-前向生存过程描述了这些分数的最佳预测。如定理所定义，G=（Gt）t∈R+对时间t可用的全部信息进行建模。它既包括背景信息，也包括截至时间t的所有死亡事件的发生信息。数量Gt（t，x）是时间t对当时出生的个体比例的最佳估计-能存活下来的x。我们强调Gt（T，x）是Ft可测量的，因此只依赖于背景信息。这一属性背后的理论基础是集合：特质风险在总体层面上不再相关。定理3.4也允许我们将（Gt（T，x））T的鞅性质从背景过滤F扩展到完全过滤G。有界收敛定理允许我们交换（4）中的期望和极限的顺序。这表明Gt（T，x）=E[Gt（T，x）| Gt]证明了G-鞅性质。最后观察随机过程（Gt（t，x））t≥-x个∨0is P–几乎可以肯定地根据定理3.4递减。这从定义3.3（i）中也很明显，因为Gt（t，x）=P（τx，1>t | Ft）=E（N（x）t | F∞)和（N（x）t）t∈R+正在减少。备注3.5。大数定律是指队列x固定的大型同质人群。然而，在应用中，负债和死亡率衍生产品通常与不均匀池相关，例如，包括各种队列。假设我们对市场一致性估值感兴趣，并且P被解释为参考度量。在这种情况下，需要以适当的方式对相关队列进行加权。这些权重可以很容易地通过实线上的Borel度量进行编码，如Bi ffs&M.（2006）第4节所述。4补偿器尽管非常方便，但第2节中描述的方法并不总是用于双随机点过程的文献中。

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2022-6-24 08:39:19

描述死亡时间概率特性的另一种方法考虑了G补偿器。为了便于两个概念之间的转换，webrie总结了一些基本关系。为简单起见，我们将注意力限制在时间0之后出生的个体，即我们假设-x个≥ 0.Let（τx，n）n∈Nagain是F-DSCI家族的死亡时间-x个∈ R+。相应的生存指标由（Nn（x））n表示∈N、如定理3.4所述，G表示全部信息过滤。我们从定义补偿器的概念开始。它的存在源于Doob-Meyer分解定理。补偿器是唯一的，直到无法区分。定义4.1。G-可预测的右连续递增过程An（x）是τx，n，ifAn（x）t=0，t的G-补偿器≤ -x、 AND 1- Nn（x）t- An（x）t，t≥ -x、是G-鞅。所有死亡时间的G-补偿器与F-生存过程之间的关系现在由以下命题描述。提案4.2。假设（τx，n）n∈Nis是F-DSCI家族的死亡时间-x个∈ R+。然后存在一个F-可预测的右连续递增过程∧（x），其性质如下：∧（x）τx，n=An（x），对于所有n∈ N、其中∧（x）τx表示过程∧（x）在τx，N处停止。过程∧（x）是唯一的，直至不可区分。换句话说，∧（x）是一个F-可预测的、右连续的、递增的过程，因此1- Nn（x）t- ∧（x）t∧τx，n，t≥ -x、是所有n的G-鞅∈ N、和∧（x）t=0，t≤ -x、这意味着∧（x）是τx的（F，G）-鞅危险过程，对于任何n∈ N根据Bielecki&Rutkowski（2002）中的定义6.1.1。让（▄Ft（x））t成为唯一的F-可预测的，递增过程，且▄Ft（x）=0，t≤ -x、这样（1- Gt（t，x）-~Ft（x））t≥-xis是F-鞅，则∧（x）由∧（x）t=Z给出(-x、 t]燃气轮机-（t-, x） dFt（x）。

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能者818

2022-6-24 08:39:22

（5）如果t 7→ Gt（t，x）几乎肯定是连续的，那么▄Ft（x）=1- Gt（t，x），因此∧（x）t=-Z(-x、 t]Gt（t，x）dGt（t，x）。证据见附录B。以下命题表明，在正则条件下，联合（F，G）-鞅危险过程与F-条件危险过程重合。提案4.3。允许-x个∈ R+。如果F条件危险过程（Γt（t，x））t≥-xis连续，则Γt（t，x）=∧（x）t≥ -x、证明。见附录B.5中的有限维公式在本节中，我们提供了一个模型，用于F-远期死亡率u和非远期死亡率改善j在时间间隔R+=[0，∞). 我们将每个固定（T，x）的这些数量定义为一个由（可能是有限维）维纳过程和补偿泊松随机测度驱动的It^o过程。在第二步中，我们将转换这些It^o过程系统，以获得在适当的函数空间中具有值的单有限维随机过程。在债券市场的框架中，这一想法源自Musiela（1993）。正如我们在备注2.1中指出的，F-survivalprocesses G（T，x）必须是鞅。该属性导致一致性条件，我们将对所有考虑的量进行描述。现在我们将介绍一般的随机框架。我们从驱动维纳过程开始，用协方差算子Q在一些可分离的希尔伯特空间U中求取值∈ L（U）。详情请参阅Da Prato&Zabczyk（1992）第4章。随机被积函数的标准空间是关于随机过程的，其值在Hilbert-Schmidt算子空间L（H）：=L（U，H）中，从U:=Q1/2（U）到某个可分Hilbert空间H。空间H是模型的状态空间；适当的选择将在稍后讨论。

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2022-6-24 08:39:25

根据Q的谱分解，可以将（可能是有限维）被积函数分解为一维分量。准确地说，我们用（λk）k表示∈N (0, ∞) Q和by（ek）k的非零特征值序列∈n特征向量的对应正交基。然后，L（H）值被积函数Φ的一维分量由Φk给出：=Φ（pλkek），k∈ N、（6）作为演化的第二个随机驱动因素，我们引入了一个时间齐次泊松随机测度，允许包含跳跃。有关详细信息，请参阅Jacod&Shiryaev（2003，定义II.1.20）。泊松随机测度p的标记空间（E，E）是一个可测空间。出于技术原因，我们假设（E，E）是Blackwell空间（见Dellacherie&Meyer（1982）或Getoor（1975））。Blackwell spaces包括波兰spaces作为特例。p的补偿器的形式为dt ν（dξ）表示σ-有限测度νon（E，E）。为了进一步参考，我们将Lν（H）：=L（E，E，ν；H）。我们在以下第5.1–5.4节中介绍了我们的主要结果。为方便读者，技术假设和证明推迟至附录C。第6.5.1节提供了一个说明性示例。在本节中，我们将指定F-远期死亡率ut（t，x）的动力学。我们首先为（t，t，x）的值选择一个合适的参数域Θ。变量t表示运行时间，参数-x表示个人的出生日期，T表示未来日期。因此，自然参数限制由0提供≤ t型≤ T，T≥ -x、相关领域Θ 因此，R+×R由Θ给出：={（t，t，x）∈ R+×R：（T，x）∈ Ξ和t∈ [0，T]}，（7）带Ξ：={（T，x）∈ R+×R：-x个≤ T}。（8）接下来，我们指定了远期死亡率的随机动力学。

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2022-6-24 08:39:28

假设u：Ξ→ R是F-远期死亡率的初始值。我们假设F-远期死亡率u（T，x），（T，x）∈ Ξ，遵循It^o过程：ut（t，x）：=u（t，x）+Ztαs（t，x）ds+Ztσs（t，x）dWs+ZtZEδs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]。（9）这里，α：Ohm × Θ → R、 σ：Ohm × Θ → L（R）和δ：Ohm ×Θ×E→ R是满足技术假设C.1（见下文）的随机过程，保证方程（9）中的所有随机积分都存在。对于固定x∈ R我们将F点死亡率γ（x）引入γt（x）：=ut（t，x）{t≥-x} ，t≥ 0.（10）即期死亡率遵循如下命题所述的It^o过程。提案5.1。我们假设：o对于所有（t，x）∈ Ξ和ξ∈ E映射T 7→ u（T，x），T 7→ αt（t，x），t 7→ σt（t，x）和t 7→δt（t，x，ξ）在其域上是不同的假设C.1与所述一样适用于衍生工具Tu，Tα，Tσ和Tγ代替u、α、σ和γ。然后，对于每个x∈ F点死亡率的过程γ（x）是γt（x）=γ（x）+Ztζu（x）du+Ztσu（u，x）dWu+ZtZEδu（u，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0，其中过程ζ：Ohm × Ξ → R由ζu（x）=αu（u，x）+uu（u，x）+Zuuαs（u，x）ds+Zuuσs（u，x）dWs+ZuZEuδs（u，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），u≥ 0.证明。该证明类似于Filipovi'c（2009年，第6.1号提案），因此省略了该证明。如备注2.1所述，前向生存过程满足鞅条件，这是以下分析的关键。该条件意味着动力学的一个关键一致性条件：定义5.2。F-forward死亡率u被称为一致的，如果全部（T，x）∈ ΞF-survivalprocess G（T，x）是F-鞅。以下定理为死亡率的一致性提供了一个精确的标准。技术费用再次推迟至附录C。

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2022-6-24 08:39:32

特别是，我们需要一个关于Lévy测度ν的指数可积性条件，如假设C.5所述。定理5.3。假设假设满足假设C.1和C.5。那么F-远期死亡率u是一致的，当且仅当αt（t，x）=Xk∈Nσkt（T，x）ZT-x个∨tσkt（u，x）du-ZEδt（t，x，ξ）经验值-ZT公司-x个∨tδt（u，x，ξ）du- 1.ν（dξ）表示所有（T，x）∈ Ξ带T≥ t、 dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+。（11）证明。见附录C.1。备注5.4。定理5.3提供了F-远期死亡率u一致性的标准，表明漂移α完全由波动率σ和γ决定。这类似于债券市场的HJM漂移条件，参见Heath、Jarrow和Morton（1992）对维纳驱动的情况，以及Bj"ork、Di Masi、Kabanov和Runggaldier（1997）对一般情况的附加泊松随机测度。请注意，我们的死亡率模型是针对参考测度P而制定的，而利率模型的HJM漂移条件仅适用于等效鞅测度。在本文中，Pmay也起到了统计计量的作用。5.2前瞻性死亡率改善的一致性HJM型动力学在本节中，我们详细说明了前瞻性死亡率改善的动力学，并推导出一致性条件。假设j：Ξ→ R是F-正向死亡率改善的初始表面。我们假设F-forward死亡率改善j（T，x），（T，x）∈ Ξ，遵循It^o流程：jt（T，x）：=j（T，x）+Ztas（T，x）ds+Ztbs（T，x）dWs+ZtZEcs（T，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t∈ [0，T]。（12）此处，a：Ohm × Θ → R、 b：Ohm × Θ → L（R）和c：Ohm ×Θ×E→ R是满足技术假设C.8（见下文）的随机过程。

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2022-6-24 08:39:35

假设C.8确保定义（12）中的随机积分存在。放射线γ：R+→ R是F点死亡率的初始曲线，我们将该曲线扩展到初始曲面u：Ξ→ 通过设置u（T，x）：=γ（T+x），F-远期死亡率的R-ZTj（u，T+x- u）杜。（13）现在，以远期死亡率改善的动力学为出发点，我们重新定义了死亡过程α：Ohm × Θ → R、 σ：Ohm × Θ → L（R）和δ：Ohm ×Θ×E→ R为αt（t，x）：=-Ztat（u，T+x- u） du，σt（t，x）：=-ZTtbt（u，T+x- u） du和δt（t，x，ξ）：=-ZTtct（u，T+x- u、 ξ）du。（14）对于每个（T，x）∈ Ξ我们将F-远期死亡率u（T，x）重新定义为（9）。再次，我们对由假设C.9形式化的Lévy测度ν施加指数可积性条件。定理5.5。假设满足假设C.8。那么以下陈述是正确的：（i）对于所有x∈ R+F点死亡率γ（x）遵循动力学γt（x）=u（t，x）+Ztαs（t，x）ds+Ztσs（t，x）dWs+ZtZEδs（t，x，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ -x个∨ 0.（15）（ii）对于所有（T，x）∈ 我们有ut（t，x）=γt（t+x- t）-ZTtjt（u，T+x- u） du，t∈ [0，T]。（16）（iii）此外，如果满足假设C.9，漂移a由（T，x）=-Xk公司∈NZTtbkt（u，T+x- u）杜邦ZT公司-x个∨tbkt（u，x）du-Xk公司∈Nbkt（T，x）ZT-x个∨tZutbkt（v，u+x- v） dvdu-ZE公司ZTtct（u，T+x- u、 ξ）duZT公司-x个∨tct（u，x，ξ）du×经验值ZT公司-x个∨tZutct（v，u+x- v、 ξ）dvduν（dξ）-ZEct（T，x，ξ）经验值ZT公司-x个∨tZutct（v，u+x- v、 ξ）dvdu- 1.ν（dξ），（17）则F-远期死亡率u是一致的。证据见附录C.2。备注5.6。

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2022-6-24 08:39:39

先前的结果表明，初始曲面与正向死亡率和改善的一致动态演化的波动性之间存在以下关系：o对于给定的初始曲面jof F-forward Detairation improvements和F-Spot Detairation rates的初始曲线γ，我们可以通过（13）计算F-forward Detairation rates的初始曲面u相反，对于给定的F-forward死亡率的初始曲面u，我们可以计算F-forward死亡率改善的初始曲面J asj（T，x）：=-(T- x） u（T，x）。o对于（12）中给定的挥发分a、b、c，我们可以通过（14）计算（9）中的挥发分α、σ、δ对于给定的挥发度α，σ，δin（9），αt（t，x）=σt（t，x）=δt（t，x，ξ）=0，我们可以通过（t，x）：=-(T- x） αt（t，x），bt（t，x）：=-(T- x） σt（t，x）和ct（t，x，ξ）：=-(T- x） δt（t，x，ξ）。o注意，为了一致性，漂移项a由（17）给出，漂移项α由（11）给出。5.3远期死亡率的一致性Musiela型动力学在本节中，我们将转换参数域Θ，以获得统一的框架。F-Forward死亡率将由一个有限维随机过程描述，该过程的值在由函数h：Ξ组成的Hilbert空间中→ R、对于这个过程，我们介绍了映射φ：Θ→ R+×Ξ，φ（t，t，x）=（t，t- t、 x+t），这是带逆φ的双射-1： R+×Ξ→ Θ, φ-1（t，s，y）=（t，s+t，y- t）。定义5.7。

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2022-6-24 08:39:43

如果满足以下条件，我们将可分希尔伯特空间（H，k·k）称为前向死亡空间：（i）H由连续函数H组成：Ξ→ R、 syFigure 1：移位半群（St）t的域Ξ和作用≥0.（ii）对于每个（s，y）∈ Ξ点评估`（s，y）：H→ R、 `（s，y）（h）：=h（s，y）是一个连续的线性函数。（iii）对于每个有界Borel集B Ξ存在一个常数C>0，使得k`（s，y）k≤ 全部为C（s，y）∈ B、（18）（iv）移位半群（St）t≥0由th（s，y）给出：=h（s+t，y- t），（s，y）∈ Ξ（19）是H上的一个C半群。前向死亡空间中的函数域Ξ如图1所示。变量s表示计算生存概率的时间范围长度；y表示给定队列中个体的当前年龄。s+y之和是时间范围s结束时队列y中个体的年龄。请注意，当前年龄y允许为负值，标记预测的未来世代的个体。对于每个（s，y）∈ Ξ我们必须有s+y≥ 0，由域Ξ选择；i、 e.在预测时间范围结束时，做出预测的个体将已经出生。图1还说明了移位半群的作用，其中向量（s，y）∈ Ξ映射到（s+t，y- t）∈ Ξ. 对于正t，该映射将数量转移到年龄相同的年轻一代。前向死亡空间的示例可以如下构造：示例5.8。设w，w:R+→ (0, ∞) 和w:R+→ (0, ∞) 是严格正的、连续的权重函数。

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2022-6-24 08:39:46

以下参数选择提供了一个可能的具体示例：w（s）=e-βs，w（z）=e-βzandw（s，z）=e-对于某些常数β>0，β（s+z）。（20）设H是由所有函数H：Ξ组成的线性空间→ R满足以下条件：o对于所有s∈ R+映射z 7→ h（s，z- s），z 7→ sh（s，z- s）都是绝对连续的∈ R映射s 7→ h（s，z- s），s 7→ zh（s，z- s）是绝对连续的（因此，几乎在任何地方都可以区分）。o我们有szh（s，z- s） =zsh（s，z- s）几乎所有（s、z）∈ R+.o我们有KHK：=|h（0，0）|+Z∞|sh（s，-s） | w（s）ds+Z∞|zh（0，z）| w（z）dz+z∞Z∞|szh（s，z- s） | w（s，z）dzds1/2< ∞.（21）则（H，k·k）是前向死亡空间。这些论点与Filipovi'c（2001）第5节中的论点相似：简单的计算表明，对于所有h∈ H和s，z∈ R+我们有H（s，z- s） =h（0，0）+Zssh（s，-s） ds+Zzzh（0，z）dz+ZsZzszh（s，z- s） dzds。（22）图示（22）显示每小时∈ H是一个连续函数。此外，通过（22）和CauchySchwarz不等式，我们得到（18）。使用估计值（18），每小时∈ 当khk=0时，我们得到了H=0，表明k·k是H上的一个范数（不仅仅是一个半范数）。通过定义（21）范数k·k，我们得到了~=R×L（R+）×L（R+）×L（R+），表明（H，k·k）是一个可分的希尔伯特空间。最后，Filipovi'c（2001年，第5节）中的类似论点表明，（St）t≥0是H上的C-半群。从现在起，设H是前向死亡空间。由移位半群（St）t的微型生成器表示≥0，每小时∈ D（A）我们得到的Ah（s，y）=limt→0Sth（s，y）- h（s，y）t=极限→0h（s，y）+t（1，-1)) - h（s，y）t=Dh（s，y）（1，-1) = (s- y） h（s，y），（s，y）∈ Ξ.因此，我们有一个=s- 扬德(s- y） {h∈ H:(s- y） h存在于(s- y） h类∈ H} 。Letu∈ H是远期死亡率的初始值。

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nandehutu2022

2022-6-24 08:39:49

我们将F-远期死亡率定义为H值过程ut：=Stu+ZtSt-s′αsds+ZtSt-s’σsdWs+ZtZESt-s′δs（ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（23）此处，’α：Ohm ×R+→ H、 (R)σ：Ohm ×R+→ L（H）和δ：Ohm ×R+×E→ H是满足假设C.11（见下文）的随机过程，该假设确保常数变化公式（23）中的所有随机积分都存在。备注5.9。正如我们在第2节中所看到的，远期死亡率应该是积极的过程。然而，在本论文的上下文中，我们没有对（23）中定义的F-Forward死亡率进行一般的积极假设。关于（9）中定义的F-远期死亡率。积极性取决于具体模型的选择。即使违背了积极性，在实践中，我们也可以通过适当的参数来确保死亡率只有在很低的概率下才会变为负值。这样的模型可以被视为是对现实的一种很好的近似；这种建模理念在概念上与Vasicek模型及其在利率背景下的Hull-White扩展方法相似。为了在一般框架内严格调查积极性，如Filipovi'c、Tappe&Teichman（2010b）对经典HJM模型所做的那样，可以定义闭合的凸圆锥面：=\\（s，y）∈Ξ{h∈ H:H（s，y）≥ 0}的非负死亡曲面，并导出了（23）P的随机不变性的适当条件。定义5.10。如果转换后的F-forward死亡率u：=u，则F-forward死亡率u称为一致o φ在定义5.2的意义上是一致的。在下面的定理中，我们再次对Lévy测度ν施加指数可积条件。定理5.11。假设假设C.11和C.12已完成。

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2022-6-24 08:39:52

当且仅当αt（s，y）=Xk时，F-正向死亡率|u是一致的∈N′σkt（s，y）Zs-y∨0'σkt（u，y）du-ZE'δt（s，y，ξ）经验值-Zs公司-y∨0'δt（u，y，ξ）du- 1.ν（dξ）表示所有（s，y）∈ Ξ，dP dt–几乎可以肯定打开Ohm ×R+。（24）证明。见附录C.3。备注5.12。根据Da Prato&Zabczyk（1992）的精神，（23）中的F-forward死亡率过程是随机偏微分方程（SPDE）（dut）的温和解=(s- y） \'ut+\'αtdt+’σtdWt+’δt（ξ）（p（dt，dξ）- ν（dξ）dt）(R)u=u。条件（24）对于F-远期死亡率的一致性是必要且有效的。它类似于带有Musiela参数化的债券市场的HJM漂移条件。5.4前瞻性死亡率改善的一致性Musiela型动力学在本节中，我们推导了F-前瞻性死亡率改善的统一框架。随机过程将在适当的函数空间中取值。在适当的条件下，隐含的F-远期死亡率将是一致的。设H为正向死亡空间（见定义5.7），j∈ H前向致命改进的初始表面。我们将F-forward死亡率改善定义为H值过程jt：=Stj+ZtSt-s’asds+ZtSt-s'bsdWs+ZtZESt-s’cs（ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0。（25）此处，’a：Ohm ×R+→ H、 (R)b：Ohm ×R+→ L（H）和c：Ohm ×R+×E→ H是满足技术假设C.13（见下文）的随机过程。假设C.13确保常数变化公式（25）中的随机积分存在。放射线γ：R+→ R是F点死亡率的初始曲线，我们将该曲线扩展到初始曲面u：Ξ→ 通过设置u（s，y）：=γ（s+y），F-远期死亡率的R-Zsj（u，s+y- u）杜。

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2022-6-24 08:39:55

（26）此外，我们重新定义了随机过程α：Ohm ×Ξ → R、 (R)σ：Ohm ×Ξ → L（R）和δ：Ohm ×Ξ×E→ Ras？αt（s，y）：=-Zs位于（u，s+y- u） du，’σt（s，y）：=-Zs'bt（u，s+y- u） du和δt（s，y，ξ）：=-Zs'ct（u，s+y- u、 ξ）du。（27）假设u∈ H、而“α”、“σ”和“δ”是H值过程，因此假设C.11已满。H值过程|u由常数变化公式（23）重新定义，对于y≥ 0我们将场外死亡率γ（y）定义为γt（y）：=ut（0，y），t≥ 再次，我们对Lévy测度ν施加指数可积条件。定理5.13。假设满足假设C.13。那么以下陈述是正确的：（i）对于所有y∈ R+F点死亡率γ（y）具有动力学γt（y）=Stu（0，y）+ZtSt-s′αs（0，y）ds+ZtSt-s′σs（0，y）dWs+ZtZESt-s′δs（0，y，ξ）（p（ds，dξ）- ν（dξ）ds），t≥ 0.（29）（ii）对于所有（s，y）∈ 我们有“ut（s，y）=”γt（s+y）-Zs'jt（u，s+y- u） du，t≥ 0.（30）（iii）此外，如果满足假设C.14，且漂移“a”由（s，y）=-Xk公司∈NZs'bkt（u，s+y- u）杜邦Zs公司-y∨0？bkt（u，y）du-Xk公司∈N'bkt（s，y）Zs-y∨0Zu？bkt（v，u+y- v） dvdu-ZE公司Zs'ct（u，s+y- u、 ξ）duZs公司-y∨0’ct（u，y，ξ）du×经验值Zs公司-y∨0Zu？ct（v，u+y- v、 ξ）dvduν（dξ）-ZE’ct（s、y、ξ）经验值Zs公司-y∨0Zu？ct（v，u+y- v、 ξ）dvdu- 1.ν（dξ），（31）则F-远期死亡率|u是一致的。证据见附录C.4。备注5.14。

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2022-6-24 08:39:59

本着Da Prato&Zabczyk（1992）的精神，F-forward死亡率改善过程（25）是随机偏微分方程（SPDE）（d’jt）的温和解决方案=(s- y） “jt+”atdt+’btdWt+’ct（ξ）（p（dt，dξ）- ν（dξ）dt）(R)j=j。与备注5.6类似，我们可以得出初始曲面与正向死亡率和改善的一致动态演化的波动性之间的以下关系：o对于给定的初始曲面，F-正向死亡率改善和F-点死亡率的初始曲线γ，我们可以通过（26）计算F-forward死亡率的初始表面u相反，对于给定的F-forward死亡率的初始曲面u，我们可以计算F-forward死亡率改善的初始曲面J asj（s，y）：=-(s- y） u（s，y）。o对于（25）中给定的挥发度\'a，\'b，\'c，我们可以通过（27）计算（23）中的挥发度\'α，\'σ，\'δ。o对于给定的挥发度‘α，’σ，’δin（23）’αt（0，y）=‘σt（0，y）=‘δt（0，y，ξ）=0，我们可以通过’at（s，y）：=-(s- y） \'\'αt（s，y），\'bt（s，y）：=-(s- y） σt（s，y）和ct（s，y，ξ）：=-(s- y） δt（s，y，ξ）。o请注意，为了保持一致性，漂移项“a”由（31）给出，漂移项“α”由（24）给出。6示例：一个Lévy过程驱动的Gompertz-Makeham模型为了说明我们之前的结果，我们提供了Gompertz-Makehammodel的一个Lévy过程驱动版本，并计算该模型的一致性动力学。在第6.1节中，我们考虑了一般情况，其中F-forward死亡率和F-forward死亡率改善是由Lévy过程驱动的；第6.2节，我们关注Gompertz-Makeham模型的特殊情况。6.1 Lévy过程驱动的死亡率模型Let X是具有高斯部分C的实值Lévy过程≥ 0和Lévy度量ν。

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2022-6-24 08:40:02

我们假设存在常数M， > 0使得z{|ξ|>1}ezξν（dξ）<∞ 对于所有z∈ [-(1 + )M、（1+)M] 。（32）则累积量生成函数ψ（z）：=ln E[ezX]存在于[-(1 + )M、（1+)M] 属于C类∞在内饰上(-(1 + )M、（1+)M）表示ψ（z）=Bz+Cz+ZR（ezξ- 1.- zξ）ν（dξ），ψ（z）=B+Cz+ZRξ（ezξ- 1） ν（dξ），ψ（z）=C+ZRξezξν（dξ），其中B∈ R表示X的漂移。我们将直接切换到Musiela型动力学。设H为正向死亡率空间，见定义5.7。假设F-forward死亡率u和F-forward死亡率改善uj由常数公式ut=Stu+ZtSt的变化给出-s^αsds+ZtSt-s^σsdXs，t≥ 0，（33）(R)jt=Stj+ZtSt-s^asds+ZtSt-s^bsdXs，t≥ 0，（34），初始表面u，j∈ H和适当的H值过程^α，σ和^a，b。注意，这些是常数公式（23），（25）变化的特殊情况：维纳过程的状态空间U和泊松随机测度p的标记空间E是U=E=R；（23）中的映射“σ”由√C^σ，且（23）中的δ（ξ）由ξ^σ给出；（25）中的映射“b”由√C^b，和C（ξ）in（25）乘以ξb。在这种情况下，定理5.11中的漂移条件（24）为F-正向死亡率，确保一致性Ecomes^αt（s，y）=-^σt（s，y）ψ-Zs公司-y∨0^σt（u，y）du, （35）且定理5.13中F向前死亡率改善的漂移条件（31）转化为^at（s，y）=-Zs^bt（u，s+y- u）杜邦Zs公司-y∨0^bt（u，y）du· ΨZs公司-y∨0Zu^bt（v，u+y- v） dvdu-^bt（s，y）ψZs公司-y∨0Zu^bt（v，u+y- v） dvdu.（36）6.2 Gompertz-Makeham模型作为随机死亡率模型的一个示例，我们在本节中描述了一个Lévy过程驱动的Gompertz-Makeham模型。

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2022-6-24 08:40:06

设θ>1，θ，θ，θ>0为实常数，初始曲面j：Ξ→ F-正向死亡率改善的R，初始表面u：Ξ→ F-远期死亡率的R和初始曲线γ：R+→ F点死亡率的R由j（s，y）=θe提供-θs（θeθ（s+y）+θ），u（s，y）=（θ+e-θs）（θeθ（s+y）+θ），γ（y）=（θ+1）（θeθy+θ）。这些初始表面满足备注5.14中所述的关系。对于每个z∈ R+我们观察到→∞u（s，z- s） =θ（θeθz+θ），即如果预测时间范围的长度s趋于∞ 对于预测时间范围结束时z年龄个体的死亡率，则初始远期死亡率再次由经典Gompertz-Makeham模型描述。备注6.1。初始表面jandu属于示例5.8中定义的正向死亡空间H，并具有适当的权重函数选择（20）。最后，我们描述了根据备注5.14和漂移条件（35），（36）计算的波动率结构^a、^b和^α、^σ的三个示例。例6.2。如果F-远期死亡率改善的波动率^b为常数且等于1，则我们计算^a（s，y）=-s（s+y{y<0}）ψs-y{y<0}- Ψs-y{y<0},^b（s，y）=1，^α（s，y）=sψs-y{y<0},^σ（s，y）=-s、特别是，远期死亡率的波动性与预测时间范围的长度成正比。示例6.3。在本例中，F-远期死亡率改善的波动率^b等于时间段结束时个体的年龄s+年。在这种情况下，我们得到^a（s，y）=-s（s+y）s+sy+y{y<0}Ψ3sy+2s-y{y<0}- （s+y）ψ3sy+2s-y{y<0},^b（s，y）=s+y，^α（s，y）=s（s+y）ψ3sy+2s-y{y<0},^σ（s，y）=-s（s+y）。特别是，远期死亡率的波动性与预测时间范围的长度乘以时间范围结束时个体的年龄成正比。示例6.4。

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