位置和投资组合选择问题：一个统一的框架

2022-6-24 09:40:52

位置和投资组合选择问题：一个统一的框架Justo Puerto1,2，Moisés Rodríguez-Madrena1,2，Andrea ScozzariInstitute of Mathematics University of Seville（IMUS），Seville，SpainDepartment of Statistics and OR，Universidad de Sevilla，41012 Seville，Spain{puerto，madrena}@us。意大利罗马国立库萨诺大学经济学院，andrea。scozzari@unicusano.itJuly1 7，2019摘要给定一组资产和一个投资资本，经典的投资组合选择问题考虑的是确定每项资产的投资金额，以建立最有利可图的投资组合。投资组合优化问题被自然地建模为一个平均风险双准则优化问题，其中投资组合的平均收益率必须最大化，而agiven风险测度必须最小化。为了有效地解决投资组合问题，文献中提出了几种数学规划模型和技术。最近一个相对有希望的研究方向是利用资产网络的聚类信息来开发新的投资组合优化范例。在本文中，我们赋予资产网络一个基于资产回报之间相关系数的度量，并说明如何利用网络上的经典位置问题对资产进行聚类。特别是，通过在基于经典位置问题的目标函数的投资组合选择问题中添加一个新的准则，我们能够衡量聚类对选定资产相对于未选定资产的影响。大多数关于聚类和投资组合选择模型的论文都在两个不同的步骤中解决了这些问题：首先聚类，然后选择。

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2022-6-24 09:40:55

本文的创新贡献在于，我们提出了一种混合整数线性规划公式，用于在单一阶段处理该问题。通过在一些真实金融数据集上的一些初步计算实验，验证了我们方法的有效性。关键词：投资组合选择；聚类分析；网络上的p-中值问题；条件风险价值；多视网膜优化。1介绍和动机投资组合选择问题是自1952年马科维茨发表论文以来金融文献中研究最广泛的问题之一[35]。他正式确立了投资多元化的概念，并将资产价格的差异作为风险的代表。尽管马科维茨提出的模型取得了成功，但它受到了许多批评，首先是因为预期收益向量和协方差矩阵的估计误差很大[14、26、36]。因此，文献中提出了不同的方向，利用了几种策略，这些策略考虑了相关系数的改进估计【19】、替代风险度量【1、2】、有效的多元化方法（参见，例如【11、18、31】和其中的参考文献）。因此，文献中提出了新的数学规划模型和技术，以便有效地结合上述不同策略解决投资组合选择问题（感兴趣的读者可以参考[33]）。21世纪初，一些作者开始通过图论来解决资产配置问题，在图论中，资产由图G的顶点以及与资产i和JIN的距离来确定，即收益的依赖结构。Mantegna[34]是最早基于股价相关性构建资产图的公司之一，目的是检测股票市场中的层级组织。

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2022-6-24 09:40:58

他指出，G的最小生成树提供了一种股票的排列，可以选择股票之间最相关的联系。此外，最小生成树直接提供了市场中资产的次优超度量层次结构。基于这一想法，Onnela等人[39]扩展了这种方法，以找到G的子图，并为此目的，提出了一种基于边距离的简单贪婪过程。最后，他们研究了结果子图的性质，如聚类的数量和大小以及聚类系数。然后将这些基于真实世界数据集的属性与随机图的属性进行比较。最近一个很有希望的研究方向是利用资产网络的聚类信息，以提供新的投资组合优化技术。这些方法通过用基于相关性的聚类超度量矩阵替换原始相关矩阵来求解经典马科维茨模型来构建投资组合。目标有两个：（i）基于相关性的聚类可被视为一种过滤过程；（ii）由于样本量的不确定性，聚类算法选择的投资组合对测量噪声非常稳健[6、15、44]。特别地，在[44]中，作者替换了由n（n）形成的原始相关矩阵-1）由n形成的具有较小元素的不同元素- 1表示股票集群之间距离（或相似性）度量的元素。他们从资产i和j之间的初始距离dijb开始应用单个链接或平均链接聚类过程。

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2022-6-24 09:41:03

在【15】中，作者使用Pearson Correlationmeasure、Kendall秩相关系数和每对资产之间的较低尾部相关性构建了起始dijby。为了衡量资产与整个系统的互连水平，在【15】中，作者还使用了Watts和Strogatz在【45】中引入的聚类系数，这是指围绕顶点的现有三角形数量与潜在三角形数量的关系。最后，他们获得了一对资产之间互连的正定义矩阵C，该矩阵用于马科维茨模型中，代替了原始的相关矩阵。其他作者利用图论的概念，通过分析基础图的结构来探索股票市场的全局性质。在[7]中，作者解决了不同的经典NP-Hard优化问题，以分析股票之间的依赖关系。根据成对相关的自然准则，解决了一个最大团问题，用于检测相似和不相似股票的大簇。独立集表示没有连接的顶点组，应该在股票图中找到多样化的投资组合。上述策略的共同特点是，它们基于两个不同且独立的阶段：首先聚类，然后分析以这种方式聚类的资产的数量和属性。事实上，所有这些论文都没有研究如何将聚类阶段作为投资组合选择过程中评估投资组合最佳权重的有效工具。本文的主要贡献是在一个统一的框架下提出一种聚类和投资组合选择策略，原则上，该策略可用于并适用于发现投资组合，以最小化投资组合优化中通常考虑的不同一致风险度量。

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能者818

2022-6-24 09:41:06

本文将聚类问题建模为网络p-中值问题。这是运筹学文献中一个经典的网络设施选址问题。它是在[27]中引入的，给定一个n顶点图G，问题在于找到一组精确的p个顶点（设施），以最小化所选设施与图中其他顶点之间的距离之和（可达性标准）。[27]表明，即使网络结构简单，找到网络的p-中值问题也是NP难的。p-中值问题也可以用聚类分析来解释，数据聚类应用程序很简单，因为它只需要将m-中值重新解释为聚类的中值，而不是工具。事实上，在[24]中，作者观察到，当使用平方欧几里德距离时，该问题成为聚类分析中著名的k-均值问题的离散化版本，而p-中值问题的最佳解决方案导致顶点集划分为同质聚类。Ng和Han【38】表明，p-中值模型对于检测模式和挖掘数据以及聚类非常有用。因此，p-中值模型可以成为数据挖掘应用的强大工具。我们还提到了Benati【3】、Benati和García【4】以及Benati等人【5】关于基于p-中值模型的聚类的研究。在本文中，我们提供了一种新的数学规划公式，用于同时在股票网络中定位一组p设施，同时选择一个给定风险度量的资产子集。特别是，这里我们考虑条件风险价值来衡量投资的风险。我们注意到，被选为设施的资产可以被视为以其为中心的一组股票的代表。

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2022-6-24 09:41:09

我们还表明，我们的公式在某种意义上是可移植的，即无论考虑何种风险度量，都有一部分约束保持不变。我们在不同的真实金融数据集上测试我们的公式，并从可行性角度比较不同公式的结果。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了一些必要的定义和符号，并分析了我们在一些特殊类别的图中的唯一问题的NP-完备性。在第3节中，除了说明如何计算模型的一些参数外，我们还提供了问题的数学规划公式。第4节致力于计算实验，表明我们的方法在一些真实金融数据集上的有效性。最后，在结语部分，对一些评论和未来的研究进行了描述。2符号、定义和性质考虑一个无自环的有限、连通和无向图G=（V，E）。我们分别用V（G）和E（G）表示顶点集和边集，其中| V（G）|=n和| E（G）|=m。边E∈ E（G）由一对顶点（i，j）识别，其中i，j∈ V（G）。假设一个非负实长度d（e）=分配给每个边e的dijis∈ E（G）。假设每条边都是可直的，因此A（G）是G边上点的连续集。我们指的是边上的内部点，其距离（沿边）与边的两个端点的距离。对于任意一对点x、y∈ A（G），我们让dxyde注意连接x和y的A（G）中最短路径的长度。我们将A（G）称为由G和边长度导出的度量空间。考虑a（G）的xpp点的闭子集；顶点i和Xp之间的距离di（Xp）定义为i到Xp中各点的最小距离，即：di（Xp）=min{dix | x∈ Xp}。

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2022-6-24 09:41:13

因此，我们定义：F（Xp）=Xi∈V（G）di（Xp），G中所有顶点到集Xp的距离之和。G上的p-中值问题包括找到一个集合X*psuch thatF（X*p） =最小XPA（G）{F（Xp）}。集合X*pis称为G的p-中值。众所周知，存在一个点为顶点的p-中值，即V*p=X*p、带V*p V（G）[27]，因此G的p-中值是一组V*psuch thatF（V*p） =最小VPV（G）{F（Vp）}。本文提出的投资组合优化方法是一种基于p-medianoptimization问题的聚类方法，通过将股票市场建模为一个网络来选择投资组合。换言之，我们通过对（可能完全）资产网络G=（V，E）进行划分，从p类中选择每个资产来构建投资组合，其中V（G）是股票集和距离dij，i，j∈ V（G）基于每对资产之间的相关系数ρij。继马科维茨（Markowitz）[35]的开创性论文之后，经典的投资组合选择问题包括不确定要投资于给定股票市场的每项资产的资本量。该问题被建模为双标准平均风险优化问题，如下所示：最大{[u（x），-（x） ]| x∈ },哪里 = {x∈ Rn | x≥ 0，nPi=1xi=1}，xi是投资于资产i的资本比例，i=1，n、 u（x）是投资组合x的预期回报率，以及 : 注册护士→ R是（一致的）风险度量。在本文中，我们展示了如何使用网络上经典p-中值问题的目标函数来过滤多元数据集中的相关信息。特别是，通过一个经典选址问题的目标函数，我们能够衡量选定资产与未选定资产的聚类效果。

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2022-6-24 09:41:16

为此，给定一个资产网络G=（V，E），我们提出了一个三准则优化问题，其形式为：max{[u（x），-（x），则，-Fp（x）]| x∈ , 副总裁 V（G）}，即Fp（x）=F（Vp）。我们注意到，我们规定G的p-中值必须是G的顶点（资产）和顶点j的子集vp∈ VP可以被视为给定集群的代表性资产。Avertex i型/∈ 指定给顶点j的VP∈ 我们提供了一个多目标混合整数线性规划（MILP）公式来处理上述问题，它可以写为：maxu（x）（1a）min（x）（1b）最小Fp（x）=nXi=1nXj=1dijzij（1c）s.t.x∈ （1d）nXj=1zjj=p（1e）nXj=1zij=1 i=1，n（1f）zij≤ zjji，j=1，n（1g）ljzjj≤ xj公司≤ ujzjjj=1，n（1h）zij∈ {0，1}i，j=1，n（1i）式中：zjj=（1，如果资产j在投资组合中被选择并被视为代表性0，则Zij=（1，如果资产i在投资组合中未被选择，但在其他情况下由资产j0表示。约束（1e）确保准确选择p个代表（贷款）；约束（1f）保证每个hasset只属于一个集群，而约束（1g）保证如果选择j作为集群的代表，则资产i由jonly表示。约束（1h）将位置和portfolioselection问题联系在一起。事实上，约束条件（1h）指出，如果选择资产j作为代表，那么我们投资于资产xjan的资本额必须至少等于lj≥ 0，以防止位置保持在最小允许尺寸以下，且最大uj≥ 0，以防止持有过大的头寸。

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大多数88

2022-6-24 09:41:20

式中，Γ表示由（1d）-（1i）确定的可行区域。处理多目标优化问题（1a）-（1i）有不同的方法。大多数方法在对不同的目标函数进行标量化后，将给定的多目标规划转化为单目标规划。在最有效的方法中，可以考虑-约束方法。它包括解决与其一个目标函数相关的问题，其中剩余的目标函数作为约束包括在内，通过参数改变其右侧的值【20】。获取值, u，用于风险度量() 而平均回报率，我们的问题是：minnXi=1nXj=1dijzij（2a）s.t.（x，z）∈ Γ（2b）（十）≤ , （2c）u（x）≥ u, . （2d）该方法还可以通过充分选择右侧的不同值来处理具有完整性约束的问题。从投资组合选择的角度来看，正如Chang等人的开创性论文[13]所示，完整性约束（例如基数约束）的存在可能会使效率边界不连续，这种不连续性可能意味着存在某些非理性投资者会考虑的回报。2.1复杂性问题为了分析我们的位置和投资组合选择问题的复杂性状态，让我们仔细考虑单目标计划（2a）-（2d）。它清楚地包含了网络上的经典p-中值问题作为特例。

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nandehutu2022

2022-6-24 09:41:22

假定= +∞ 和u=-∞, lj=0，uj=1，则可以忽略约束（2c）和（2d），即，通过设置xj=p，始终可以为所有j提供可行的投资组合，使得zjj=1，事实上，问题（2a）-（2d），减少到查找p设施，以最小化开放设施与G顶点之间的距离之和。众所周知，即使网络是最大顶点度为3的平面图，其所有边和顶点的权重均为1，p中值问题也是NP难问题【27】。[27]中的证明基于这样一个事实，即p-中值问题多项式等价于判定最大顶点度为3的平面图中是否存在基数p的支配集的NP完全问题[23]。然后，在[16，17]中，作者证明了支配集问题在一些特殊的完美图类上是NP完全的，即可比图、二部图、弦图、分裂图、k-树（任意k）和无向路径图（定义为树中一组无向路径的相交图）。因此，在同一类图上，p-中值问题仍然是NP完全的。通过以上讨论，我们得出以下结果。定理1位置和投资组合选择问题（2a）-（2d）对于：（i）可比图是NP难的。（ii）二部图。（iii）弦图。（iv）分割图。（v） k-树（任意k）。（vi）无向路径图。最后，我们观察到，在[17]中，作者还报告了一些perfectgraphs族之间的关系。因此，由于各种完美图族之间的包含关系，NP-硬度结果暗示了许多其他NP-硬度结果。3解决方法在本节中，我们介绍了用于解决多目标优化问题（1a）-（1i）的解决方法。

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2022-6-24 09:41:25

我们采用了众所周知的-约束方法，该方法基于只保留三个目标中的一个，并将所有其他目标转化为约束[20]。我们保留风险度量作为目标，因此模型（1a）-（1i）可以重写如下：（x）（3a）s.t.u（x）≥ u（3b）Fp（x）≤ Fp（3c）（x，z）∈ Γ（3d），其中u和Fp分别是u（x）的下界和Fp（x）的上界。问题（3a）-（3d）是一个一般的选址和投资组合选择问题，因为任何（一致的）风险度量都可以被视为目标函数。然而，在本文中，我们只关注基于历史收益率的一些度量。特别是，我们将R isk的条件值（CVaR）视为目标函数[40]。我们观察到，可以使用其他基于历史收益率的指标（平均绝对偏差、基尼指数、极大极小目标函数…）。这种选择有几个原因。从计算角度来看，基于过去观察期的风险度量会导致整数线性规划问题，而不是更难解决的非线性（如二次）整数规划。此外，在方差（或基于相关性的）风险度量的情况下，众所周知，它基于这样一个假设，即投资者厌恶风险，并且收益率的分布是多元正态的，或者投资者的效用是收益率的二次函数。不幸的是，上述两个条件在实践中均不成立（除其他外，请参见，例如，【14、28、32】及其参考文献）。

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大多数88

2022-6-24 09:41:29

最后，当投资组合目标函数基于方差时，我们发现最优投资组合的组成对基础资产预期收益的估计误差非常敏感【14、26、36】。尽管有上述原因，但不可能完全忽视每项资产回报时间序列之间的相关性，为了量化股票价格之间的相似性度量，必须考虑这些时间序列之间的相关性。一种广泛的选择是用皮尔逊相关性量化两种资产之间的相似性。因此，资产图G表示股票之间的相关性结构，其中与每条边相关的权重/距离指的是它们之间的线性相关性【15】。因此，按照文献中关于基于相关性聚类的过滤程序的常见做法，我们将每个边（i，j）指定为∈ E（G）相似性度量（距离）dij=p2（1- ρij），其中ρij=σij√σiiσjjis是资产回报率之间的相关系数。我们在此指出，Kendall秩相关系数或尾部系数等任何替代指标都可以用作资产之间的距离（参见，例如，[15]）。因此，通过这些选择，在我们的模型中，两个主要标准（位置和风险）用两种不同的度量进行评估，以使聚类和投资组合选择阶段具有良好的特征和区别。根据上述讨论，下面我们介绍CVaRas目标函数的问题（3a）-（3d）。让我们考虑n项资产收益的不同情况。每种情况都有一个概率pt，t=1，T，PTT=1pt=1。设rjtbe为资产收益率j时间t，j=1，n、 t=1，TL etujbe资产j的平均回报率，即uj=PTt=1ptrjt，j=1，n

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2022-6-24 09:41:33

投资组合在时间t的回报率x=（x，…，xn）∈ isyt（x）=nXj=1rjtxj，相应的预期收益率为u（x）=nXj=1ujxj。投资组合的CVaR x=（x，…，xn）∈ 公差等级为β∈ （0，1）定义为asMβ（x）=分钟{βTXt=1yt（x）ut | TXt=1ut=β，0≤ 美国犹他州≤ ptt=1，T}。为了得到模型（3a）-（3d）的线性表达式，我们考虑了问题Mβ（x）的对偶，即isMβ（x）=maxη，d-t{η-βTXt=1ptd-t： d-t型≥ η - yt（x），d-t型≥ 0 t=1，T、 η∈ R} 。因此，我们的问题（3a）-（3d）可以重新表述为混合整数线性规划（MILP）问题maxη-βTXt=1ptd-t（4a）s.t.d-t型≥ η - yt（x）t=1，T（4b）d-t型≥ 0 t=1，T（4c）η∈ R（4d）u（x）≥ u（4e）Fp（x）≤ Fp（4f）（x，z）∈ Γ. （4g）备注1【22】在网络上的p-中值问题中，变量zij，i 6=j，在代表性j的最优解中取值1，使得dij=mink:zkk=1{dik}。备注1表明，在模型（4a）-（4g）中，我们可以通过用以下约束zjj替换Γ中的（1i），将二进制变量的数量从O（n）持续减少到O（n∈ {0，1}j=1，nzij≥ 0 1 ≤ i、 j≤ n、 i 6=j.3.1 FP的选择模型（4a）-（4g）中投资组合预期收益u的下界选择显然是投资者的喜好。然而，如何利用上限fp来控制集群化的效果并不明显。在本节中，我们将描述如何计算Fpin（4a）-（4g）。考虑问题min Fp（x）（5a）s.t.u（x）≥ u（5b）（x，z）∈ Γ（5c）并设Flpbe的最佳值。请注意，Flpis是使问题（4a）-（4g）可行的FP的最小值。设我们是由（1d）和（4b）-（4d）定义的可行解集。现在考虑问题maxη-βTXt=1ptd-t（6a）s.t.（x，d-, η) ∈ S（6b）u（x）≥ u（6c）nXj=1zj=p（6d）ljzj公司≤ xj公司≤ ujzjj=1，n（6e）zj∈ {0，1}j=1。

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nandehutu2022

2022-6-24 09:41:35

，n（6f），并设xp为最优解中p个选定资产的集合。那么，Fp（Xp）=Fupis是Fp的最紧上界，也就是说，对于所有Fp≥ f目标Fp（x）在（4a）-（4g）中可以忽略不计。最后，给定γ∈ [0，1]，参数fp可计算如下fp=γFlp+（1- γ）福普。这样，参数γ的选择允许我们控制所需的聚类效果，从最高值（γ=1）到最低值（γ=0）。4实验结果本节提供了一个实证分析，旨在评估我们的位置和选择模型（4a）-（4g）选择的投资组合的绩效。此外，我们还将我们的模型与被视为基准程序的纯CVaR方法[40]以及具有基数约束的CVaR模型进行了比较。纯CVaR模型为[32，40]maxη-βTXt=1ptd-t（7a）s.t.（x，d-, η) ∈ S（7b）u（x）≥ u（7c）和资产数量有限的C VaR模型（CVaR CC）正是上述模型（6a）-（6f）（参见，例如，[12]）。4.1数据s etsWe在全球主要股票市场的一些真实数据集上测试上述所有投资组合选择策略。我们考虑以下数据集：1。DJIA（美国道琼斯工业平均指数），包含28项资产和1353项价格观察（期间：1990年5月7日至2016年4月4日）；2、EUROSTOXX50（欧洲领先的蓝筹股指数，EU），包含49项资产和729项价格观察（期间：2002年4月22日至2016年4月4日）；3、FTSE100（英国金融时报证券交易所），包含83项资产和625项价格观察（期间：2004年4月19日至2016年4月4日）；SP500（美国标准普尔），包含442项资产和573项观察结果（期间：2005年4月18日504年4月2016年）。每个数据集由每周价格数据组成，如【32】所述，“每周周期的选择与减少估计误差的目标一致【43】”。

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nandehutu2022

2022-6-24 09:41:39

为了评估我们模型在实践中的表现，我们将观察分为两组，其中第一组被视为过去（在样本窗口中），因此它是已知的，其余被视为未来（在样本窗口外），在投资组合选择时假设未知。样本内窗口用于选择投资组合，而样本外窗口用于测试所选投资组合的性能。设0，1，T为样本内窗口中的观察值；对于每个数据集，为了计算历史收益的T×n矩阵，我们考虑n只股票价格的时间序列，并用pi（T）表示第i项资产在T时的价格，T=0，T时间t的第i个资产回报计算为rit=Pi（t）-Pi（t-1） Pi（t-1），t=1，T按照文献中的标准做法，为了模拟股票之间的相关性结构，我们参考了每种资产的样本内对数收益率序列，计算为Rit=ln Pi（t）- ln Pi（t- 1），t=1，T（参见，例如，【34，39】）。然后，我们计算资产i和j之间的距离dijb，i 6=j=1，n、 dij=p2（1- ρij），其中ρij是资产对数回报之间的皮尔逊相关系数。我们没有为相关系数设置任何阈值，因此得出的资产图G是一个完整的加权图。在我们的实验中，我们使用滚动时间窗方案，允许在持有期间以固定间隔重新平衡投资组合。在【25，32】之后，对于每个数据集，我们采用104周（两年）作为样本窗口，在第一次实验设置中，我们认为52周（一年）为样本外，每52周允许重新平衡。

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能者818

2022-6-24 09:41:42

在这一阶段，对于每个p值，每个模型解决了总共55个问题（24个用于DJIA，12个用于EUROSTOXX50，10个用于FTSE100，9个用于SP500）。与其他几篇论文（例如，见[10]和其中的参考文献）一样，代表人数的p值（也用于限定投资组合中的资产数量）设定为p=5、10、15、20。我们选择li=nand ui=1，作为每项资产i，i=1，…，投资的最小和最大允许资本额的上下限，n、在投资组合选择问题中，通常使用一些性能度量来评估投资组合的样本外性能。在我们的实验中，我们考虑以下措施（例如，参见[8]）1。夏普比率（Sh）（[41，42]）：定义为投资组合的样本外回报率x的平均值uout（x），减去恒定的无风险回报率rf（我们将其设置为0）与其标准偏差之间的比率，即：E[uout（x）- rf]σ（uout（x））。指数值越大，投资组合表现越好。2、平均回报率（Av）：定义为aportfolio样本外回报率的平均E【uout（x）】。这些模型已在M ATLAB R2017A中实现，它们调用XPRESS solverversion 8.5来解决MILP程序。所有实验都是在一台配备处理器Intel（R）Xeon（R）的DellT5500计算机上进行的，该处理器的CPU为X5690，频率为3.75 GHz，内存为48 GB。我们在下表中报告了样本外的性能。在每个表中，第一列是指用于比较的模型。特别是，γ=0.1，1我们参考MILPmodel（4a）-（4g）了解用于确定参数fp的不同γ值，该参数将函数fp（x）限定在（4a）-（4g）中（见第3.1节）。

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可人4

2022-6-24 09:41:45

CVaR CC和CVaR分别指基数约束CVaR模型（6a）-（6f）和纯CVaR模型（7a）-（7c）。在所有模型中，我们选择每个样本期的平均指数回报率作为预期回报率的下限u。我们还将m市场指数（index）的样本外表现作为基准。对于p=5、10、15、20的每个值，我们在列中报告样本外平均回报率（Av-p）和夏普比（Sh-p）的值。此外，对于前三个数据集（DJIA、EUROSTOXX50和FTSE100），我们还报告了样本溶液中的平均时间。最后，对于纯CVaR模型，我们还报告了最佳样本投资组合中的平均资产数量。对于SP500数据集，由于相应的MILP模型的大小，我们无法在合理的时间内找到非最优的解决方案。因此，我们将时间限制设置为7200秒，并在相应的表格中报告平均百分比G AP（GAP%），以代替求解时间。此外，我们还采用了一种特殊的方法来求解每个采样期内的模型。请注意，γ=1的MILP模型（4a）-（4g）可以通过两个简单的步骤进行求解：首先，解决问题（5a）-（5c），然后，根据找到的p-中值解确定二元变量zj后，解决问题（6a）-（6c）。还要注意，对于γ=1，问题（4a）-（4g）的最优解是对于γ=0.9，问题（4a）-（4g）的可行解，因此它可以用作分支过程中的初始解，以便在较小的时间内获得更好的解。对于γ=0.9的问题（4a）-（4g）和γ=0.8的问题（4a）-（4g）的可行解也是如此，依此类推。在表中，我们以粗体显示了每个p值的样本外性能度量的最佳值。

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2022-6-24 09:41:49

为了突出我们的MILP方法的有效性，对于每个p和γ值，如果两个性能指标的值都优于其他模型（C VaR CC、CVaR、Index）的相应值，我们用斜体书写这两个性能指标的值。通过这种方式，我们可以计算出我们的方法在任何时候都优于其他竞争性投资组合选择模型的情况。从表1-4中可以看出，除了两种情况（EUROSTOXX50拥有5项资产和SP 500拥有10项资产）外，始终存在至少一个γ值，对于该值，我们的MILP模型优于其他竞争模型，即CVaR CC、CVaR和市场指数。我们还注意到，正如预期的那样，对于SP500数据集，当p增加时，差距值（p=5，10时相当高）往往变得非常小。事实上，对于p=15，20，我们的MILP模型生成的样本解非常接近最优解，但XPRE SS solver无法证明其最优性。这将建议开发一种有效的启发式程序，将区位和投资组合选择模型的良好特征结合起来，以获得最佳或接近最佳的样本投资组合，从而可能产生更好的样本外绩效，尤其是对于大型金融数据集。为了强调我们方法的有效性，我们还决定提供第二组实验。在这种情况下，我们采用样本窗口内的104周和样本外的12周（三个月），每12周允许重新平衡一次（另见[32]）。对于p的每个值，每个模型解决了总共204个问题（DJIA 104个，EUROSTOX X50 55个，FTSE100 45个）。请注意，在这种情况下，我们没有考虑SP500数据集，因为当我们的MILP模型能够在样本解决方案中找到最优（经验证）时，我们现在有兴趣将我们的方法与其他计划进行比较。

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2022-6-24 09:41:54

无论如何，我们观察到SP500数据集的一些初步结果与表4中报告的结果一致。根据表5-7中的结果，很明显，当MILP模型能够找到最佳样本解时，我们的方法从计算时间来看都是有效的，并且始终主导着其他方法。最后，我们注意到，令人惊讶的是，在所有的实验分析中，纯CVaR模型总是被其他方法所支配。5结论在本文中，我们提出了一种新的投资组合选择框架，该框架通过硬混合整数线性规划问题的全局解，将聚类的特定特征与投资组合优化技术相结合。我们的方法的思想是克服经典的两阶段方法，其特点是两个不同的步骤：首先聚类，然后选择。我们表明，由于在我们的框架中可以采用其他风险度量以及相关度量，因此我们的方法是非常通用的。事实上，在模型（4a）-（4g）中，只有方程（4a）-（4d）取决于所采用的特定风险度量，由此产生的MILP计划是可移植的。实际上，约束条件（4e）-（4g）独立于此类风险度量，可用于基于其他度量（例如，平均绝对偏差、基尼指数、最小值目标函数等）的MILP计划的制定。我们的模型在真实金融数据集上进行了测试，并与一些基准模型进行了比较，结果表明该模型在实现利润方面取得了良好的效果。我们还指出，MIL P计划（4a）-（4g）至少可以有效地解决中等规模的问题。总之，本文报告的结果令人鼓舞，通过提供一种特殊的启发式方法来解决大型数据集，优化阶段还有改进的空间。

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2022-6-24 09:41:57

事实上，这是我们未来的研究方向之一。参考文献[1]Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.M。，Heath，D.：连贯的风险度量。《金融数学》，9203–228（1999）[2]Bellini，F.，Di Bernardino，E.：《带预期的风险管理》。《欧洲金融杂志》23487–506（2017）[3]Benati，S.：《分类数据模糊聚类：局部搜索启发式分析》。计算机与运筹学35766–775（2008）[4]Benati，S.，García，S.：一种用于变量选择聚类的混合整数线性模型。《计算机与运筹学》43280–285（2014）【5】Benati，S.，García，S.，Puerto，J.：聚类中特征选择的混合整数线性规划和启发式方法。运筹学学会杂志69，1379–1395（2018）【6】Beraldi，P.，Bruni，M.E.：《场景树约简的聚类方法：一种对astochastic编程组合优化问题的应用》。TOP 22，934–949（2014）【7】Boginski，V.，Butenko，S.，Shirokikh，O.，Trukhanov，S.，Lafuente，J.G.：一种基于网络的数据挖掘方法，通过加权集团松弛进行投资组合选择。《运营研究年鉴》216，23–34（2014）【8】Bruni，R.、Cesarone，F.、Scozzari，A.、Tardella，A.：投资组合选择的精确和近似随机优势策略。《欧洲运筹学杂志》259322–329（2017）[9]Bruni，R.、Cesarone，F.、Scozzari，A.、Tardella，A.：投资组合选择的真实世界数据集和一些随机优势投资组合模型的解决方案。《简介》8，858–862（2016）中的数据【10】Cesarone，F.，Scozzari，A.，Tardella，A.：基数约束下均值-方差投资组合优化的新方法。

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2022-6-24 09:42:00

《运筹学年鉴》205213–234（2013）【11】Cesarone，F.，Tardella，A.：在投资组合选择中，同等风险边界优于风险平价。《全球优化杂志》68439–461（2017）【12】Cesarone，F.、Scozzari，A.、Tardella，A.：具有硬现实世界约束的线性与二次投资组合选择模型。《计算管理科学》12345–370（2015）【13】Chang，T.J.，Meade，N.，Beasley，J.E.，S haraiha，Y.M.：基数约束投资组合优化的启发式方法。计算机与运筹学27，1271–1302（2000）[14]Chopra，V.K.，Ziemba，W.T.：均值、方差和协方差误差对最优投资组合选择的影响。《金融决策基本原理手册：第一部分》，第365373页（2013）[15]Clemente，G.P.，Grassi，R.，Hitaj，A.：资产分配：通过网络方法的新证据。运筹学年鉴。https://doi.org/10.1007/s10479-019-03136-y（2019）[16]Corneil，D.G.，Perl，Y.：完美图中的聚类和支配。离散应用数学9，27–39（1984）【17】Corneil，D.G.，Stewart，L.K.：完美图中的支配集。离散数学86，145–164（1990）[18]DeMiguel，V.，Garlappi，L.，Uppal，R.：最优与幼稚的多元化：1/n投资组合策略的效率如何？《金融研究回顾》22，1915–1953（2007）[19]E lton，E.J.，Gruber，M.J.，Spitzer，J.：相关系数及其对最佳投资组合的影响的改进估计。欧洲财务管理12，303–318（2006）[20]E hrgott，M.：多准则优化。第491卷。

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2022-6-24 09:42:04

Springer Science&Business Media，BerlinHeidelberg（2005）[21]E hrgott，M.：多目标整数规划的尺度化技术讨论。运筹学年鉴147343–360（2006）[22]加西亚，S。，Labbé，M.，Marín，A.：用半径公式解决大型p-中值问题。通知《计算杂志》23546–556（2011）【23】Garey，M.R.，Johnson，D.S.：《计算机与难处理性：NPCompletion理论指南》。W、 H.Freeman and Company，纽约（1979）[24]Hansen，P.，Brimberg，J.，Urosevic，D.，Mladenovic，N.：通过原始-对偶变量邻域搜索解决大型P-中值聚类问题。数据挖掘和知识发现19351–375（2009）[25]Jegadeesh，N.，Titman，S.：《动量策略的可行性：对替代解释的评估》。《金融杂志》56699–20（2001）【26】Jobson，J.D.，Korkie，B.：马科维茨有效投资组合的估计。《美国统计协会杂志》75544-554（1980）【27】Kariv，O.，Hakimi，L.：网络定位问题的算法方法。二：普米迪亚人。暹罗应用数学杂志37539–560（1979）[28]Konno，H。，Yamazaki，H.：平均绝对偏差投资组合优化模型及其在东京股市的应用。《管理科学》，37519–531（1991）。【29】Kullmann，L.、Kertesz，J.、Kaski，K.：不同股票收益率之间的时间相关交叉相关性：一个有向影响网络。《物理评论》E 66026125（2002）【30】Kullmann，L.，Kertesz J.，Mantegna，R.：通过Potts超顺磁转换识别股票指数中的公司集群。Physica A：统计力学及其应用287412–419（2000）[31]Maillard，S.，Roncalli，T.，Telietche，J.：等权重风险贡献组合的性质。

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大多数88

2022-6-24 09:42:07

《投资组合管理杂志》36，60–70。[32]Mansini，R.，Ogryczak，W.，Speranza，M.G.：投资组合优化的条件风险值和相关线性规划模型。《运筹学年鉴》152，227–256（2007）[33]Mansini，R.，Ogryczak，W.，Speranza，M.G.：PortfolioOptimization的线性和混合整数P程序设计，瑞士斯普林格（2015）[34]Mantegna，R.N.：金融市场的层次结构。《欧洲物理杂志》BCondensed Matter and Complex Systems 11193–197（1999）【35】Markowitz，H.：投资组合选择。《金融杂志》第7期，第77–91页（1952年）[36]默顿，R.C.：《关于估计市场预期回报：探索性调查》。《金融经济学杂志》8，323–361（1980）【37】Mirchandani，P.B.，Francis，R.L.《离散位置理论》，Wiley Interscience Series in DiscretMathematics and Optimization，New York（1990）【38】Ng，R.T.，Han，J.《高效的空间数据挖掘聚类方法》，第20届超大数据库国际会议，VLDB’94，加利福尼亚州旧金山，美国，1994年，摩根考夫曼出版社，第144-155页。【39】J.-P.Onnela，J.P.，Kaski，K.，Kertesz J.：C基于相关性的金融网络中的聚类和信息。《欧洲物理杂志》B 38353–362（2004）【40】Rockafellar，R.T.，Uryasev，S.：一般损失分布的条件风险价值。《银行和金融杂志》261443–1471（2002）[41]S harpe，W.F.：共同基金业绩。《商业杂志》39，119–138（1966）[42]S harpe，W.F.：夏普比率。《投资组合管理杂志》21，49–58（1996）【43】S Iman，Y.：投资组合选择中的估计风险：均值-方差模型和均值-绝对偏差模型。《管理科学》431437–1446（1997）[44]Tola，V.，Lillo，F.，Gallegati，M.，Mantegna，R.N.：投资组合优化的聚类分析。

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