动态投资组合选择问题的显式解法

2022-5-8 02:34:53

动态投资组合选择问题的显式解法：连续时间迂回法*Djibril Togola+2015年2月16日摘要本文解决了动态投资组合问题。通过使用一个带有powerutility的显式解决方案，我们在连续和离散VAR模型之间建立了一座桥梁，以评估投资组合的敏感性。我们从一个经过充分分析的例子中发现，股票的最优配置对夏普比率特别敏感。我们的定量分析强调，当风险规避降低和/或时间范围增加时，这种敏感性增加。这一发现解释了离散数值方法的低精度，尤其是在状态变量无条件分布的尾部。关键词：动态投资组合选择；长期投资；时间聚集；显式解；数值解。JEL分类：G11；G12。引言至少从Merton（1971）开始，关于投资组合优化问题的许多结果都是在连续时间框架内得到的。当资产回报具有一定程度的可预测性时，即当投资机会随时间变化时，仍然很难解决最优投资组合问题。大量文献提出用VAR模型来预测收益率，并研究其对长期投资组合选择问题的影响。因此，学术文献遵循两个主要方向。第一种方法依赖于数学工具，并建立了一些明确的解决方案（见Kim and O mberg（1996）、Liu（2007）和其中的参考文献）。第二条研究路线是实施一些具有挑战性的数值方法。事实上，Barberis（200 0）开发了一种作为基准的离散化状态空间方法。布兰特等人。

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2022-5-8 02:34:57

vanBinsbergen和Brandt（2007）、Garlappi和Skoulakis（2009）等使用了一些复杂的反向诱导技术，并通过将其与离散状态空间基准进行比较来评估其结果的准确性。然而，所有离散数值程序都直接或间接地逼近一个高度非线性的值函数，并且不能明确地将所谓的享乐需求与所谓的近视需求分开。G arlappi和Skoul akis（2011）对离散时间内的近似精度进行了一般性讨论。*鲁迪特大学，巴黎东部大学，特普大学，F。Legendre@u-佩克。法国+鲁迪特，巴黎大学东部，吉卜里尔。Togola@u-佩克。本文在连续时间下工作，使用投资组合选择问题的显式解，然后在连续和离散VAR模型之间建立一座桥梁，如Campbell等人（2004）所述。事实上，这些理论提供了证据，表明离散时间模型和连续时间模型下的结果应该存在微小差异。因此，我们从continuoustime得出的数值结果与Garlappi和Skoulakis（2009）的结果具有间接可比性。我们发现，对于较大程度的风险规避和/或小范围，当状态变量接近其无条件均值时，两个数值结果非常相似。否则，当风险规避降低和/或时间范围增加时，我们在连续时间的显式解下的结果与Garlappi和Skoulakis（2009）显示出一些差异。我们认为这是由于总需求对状态变量（夏普比率）的敏感性较大。论文的结构如下。第一节阐述了我们映射连续时间投资机会集和离散时间投资机会集的方法。第2节为具有CRRA偏好的长期投资者提供了一些关于明确解决方案的见解。

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能者818

2022-5-8 02:35:00

第3节给出了一些基于Brandt e t al.（2005）例子的数值结果。1投资机会设置我们首先在连续时间框架和离散时间框架中展示模型，以研究股票回报中可预测成分的影响。接下来，我们将展示如何恢复与离散时间VAR估计一致的连续时间参数。1.1持续时间内的机会我们首先假设投资者有两项资产（Campbell等人（2004年）和Kim andOmberg（1996年）等人）。一方面，无风险资产偿还固定利率rPftPft=rt（1），其中pft表示该资产在时间t的价格。另一方面，有一种风险资产的定价满足以下扩散过程ptpt=tt+Bpt（2），其中Bpt表示具有零漂移和单位方差率的标量布朗运动。漂移速率也遵循扩散过程。它应该是时变和状态变量相关的。假设风险资产的波动率为常数t。对于长期投资者来说，这不是一个强有力的假设（见Campbell and Viceira（2002））。让Xt表示夏普比率，即买卖一单位风险资产的风险/报酬的市场价格TXT=t- r（3）然后假设夏普比遵循通常的“Ornstein-Uhenbeck”扩散过程xt=（- t+Bxt，，>0（4），其中Bxt表示另一个具有零漂移和单位方差率的标量布朗运动。参数和分别表示Sharperatio Xt的无条件平均值和平均值恢复参数。事实上，参数反映了夏普比率上的冲击消散，然后恢复到其长期平均值的速率。最后，参数表示Sharperatio的瞬时波动性。

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kedemingshi

2022-5-8 02:35:03

它控制过程的扩散速率。上述方程式表明，股票瞬时收益率Pt/Pt遵循一个扩散过程，其漂移为均值回复，其创新与风险本身的市场价格相关，相关系数为。因此，以下方程式成立。Pt/Pt=（Xt+r）t+Bpt（5）Xt=（-Xt）t+Bxt（6），其中BptBxt=t。方程（5）和（6）定义了连续时间内的联合随机过程。1.2离散时间内的机会集离散时间内的标准模型是一个受限的VAR（1）过程，它捕获股票收益的可预测性（例如，见Barberis（2000））。我们关注的是Brandt等人（2005年）分析的例子，该例子在van Binsbergen和Brandt（2007年）以及G arlappi和Skou lakis（2009年）中重复使用。风险资产的对数超额收益ln Pt+1-根据对数分割价格比zt（Rf表示无风险利率，在年化基础上等于6%）假设Rf是可预测的。这两个变量的联合动力学规定为Ln Pt+1- rf=ar+brzt+rt+1（7）zt+1=az+bzzt+zt+1（8）带rt+1zt+1~ N,rrzrzz（9）事实上，坎贝尔和希勒（Campbell and Shiller，1988）有力地宣称，如果回报是可预测的，至少，对数股息与价格的比率应该包含一些可预测性。大量长期的经验文献记录了这两种回归的许多性质。Brandt等人（2005年）报告了以下估计值（使用1986年1月至1995年12月的CRSP美国季度指数）br=0.060 bz=0.958rzr z=-0.941回报是弱可预测的，股息率是高度持续的，冲击是强负相关的。1.3从离散时间变量中恢复连续时间参数我们密切关注Campbell等人的研究。

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2022-5-8 02:35:08

（2004）从受限VAR（1）方程（7）-（8）中恢复连续时间系统方程（5）-（6）的参数。然而，Campbell等人（2004年）使用风险溢价作为状态变量；我们更喜欢使用夏普比率。在矩阵形式下，离散时间变量（7）-（8）为ln Pt+1- rfzt+1=阿拉兹+0 br0 bz在Pt- rfzt+rt+1zt+1（10）第一步是在均匀间隔的点{t，t，，tn，tn+1，}，t=tn的时间点观测范围内聚合连续时间模型- tn-1.然后，我们使用Bergstrom（1984）开发的离散化方法获得ln P- r tX=(-/2+t-(1 --t）（1）--（t）+1 (1 --（t）-Tln Ptn- rXtn+UpUx（11）离散时间世界连续时间世界模型布兰特等（2005）金和欧姆伯格（1996）ln Pt+1- rf=ar+brzt+rt+1zt+1=az+bzzt+zt+1V（rt）=rV（zt）=sCov（rt，zt）=rzPft/Pft=r tPt/Pt=（Xt+r）t+BptXt=（-Xt）t+BxtBptBxt=t参数值布兰特等人（2005）我们的计算公式为（13）-（18）rf0。015 aR0。227br0。060az-0.155bz0。958r0。0060z0。0049rz-0.0051r 0.0150.1110.04290.00600.0542-0.941表1：在此处恢复连续时间参数UpUx=Zt=01 (1 --（t）-Tp1-Bptn+Zxtn+（12） Bxt=Bpt+p1时-其中bpt和zx是两个独立的布朗项。第二步是对过程Xtin（11）进行线性变换，以便我们可以将变换后的系统参数与离散时间VAR模型的矩阵形式（10）的参数联系起来。因此，当我们标准化时间跨度t=1时，因为所有的东西都是四分之一，我们得到（对于bz，br>0）r=rf（13）=azbrr（1）-bz）+ar+r/2r（14）=-附录证明了这些结果。表1显示了Brandt等人提出的连续时间当量VAR的参数值。

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2022-5-8 02:35:11

（2005）估计数。2具有CRRA优先权的连续时间投资组合选择问题我们现在可以解决具有长期视野的投资者的投资组合选择问题，他们面临前一节中描述的投资机会集。我们依赖于Honda和Kamimura（2011）的最新进展，他们使用了验证定理，并证明了连续时间下的显式解实际上是一个最优解，尤其是对于大于1的风险规避。我们考虑初始财富Wt>0且仅有两项资产（无风险短期债券和股票）可供投资的投资者。金融市场是不完整的。此外，投资者可以进行连续交易，他没有劳动收入，只关心最终财富，而WTT是最终的规划范围。价格变化的动态由（1）和（5）-（6）描述。如果是投资于股票的财富份额，那么瞬时财富将由WTWT=TPT+（1）给出-t） PftPft（19）恰当地替代Pt/P和Pft/Pft的动态，财富动态（也称为预算约束）变成：Wt=（tXt+r）Wtt+tWtBpt（20）。注意，财富过程反映了瞬时回报（术语Bpt）和状态变量（术语Xt）的不确定性。考虑到财富过程的这种形式化，在时间t，投资者的优化问题可以表示为axtet-Tu（WT）受约束（20）WT fixed（21），其中Et表示t日的条件理性预期算子、时间折扣参数（大于0）和u（）终端财富定义的效用函数。

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2022-5-8 02:35:15

让J（Wt，Xt，t）定义（22）中定义的问题在时间tJ（Wt，Xt，t）=maxtEt时的值-Tu（WT）（22）Bellman方程将这个问题推广到每一次t，因此j（WT，Xt，t）=maxtEtJ（WT+WT，Xt+Xt，t+t）（23）方程（23）强调了一个事实，即当前的最优决策取决于问题的条件期望值，而该值又与未来财富和状态变量密切相关。将伊藤引理应用于贝尔曼方程，我们发现0=maxtJWt（tXt+r）Wt+Jt+JXt（-Xt）+JWttWt+JXt+JWtXttWt（24）方程式（24）关于Tot的一阶条件意味着t=J/WtJ/WtWtXt+J/（WtXt）J/WTWTWTWT（25）默顿（1971）是第一个提出短视需求（Firsterm）和对冲需求（第二项）之间的叠加分解的股票最优配置。当机会集是非随机的（=0）或当机会集与资产回报不相关（=0）时，不存在Hedginges需求。现在，我们需要明确定义函数J（）。第一个猜想（见Kim和Omberg（1996））是假设J（Wt，Xt，t）=-tu（Wt）[f（Xt，t）]（26），其中f（）是终端条件为f（Xt，t）=1的辅助函数。我们考虑CRRApreferences u（Wt）=W1-t/（1）-) 其中是相对风险规避系数。因此，（25）中的hedging需求可以直接表示为f/Xtf=ln fxtt。然后，在CRRA偏好假设下，股票的最优配置可以按t=Xt+ln-fXt（27），因此，bellman方程（24）可以重写为0=f′tf+1-R- +1.-Xt+f′xf1-Xt+f′xf（- Xt）+f′x xf+f′xf1.-(-1）（28）我们对函数f（）的导数使用直观的符号。

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2022-5-8 02:35:18

方程（28）是一个偏微分方程，它允许解析解，尤其是当效用为对数（=1，由l\'Hopital\'规则）或市场完整（±1）时。第二个猜想是假设f（Xt，t）=expC（t）+C（t）Xt+C（t）Xt（29）其中C（t）、C（t）和C（t）是一些不确定的时变系数（C（t）=C（t）=C（t）=C（t）=0）。在这个猜想下，利用方程（27），股票的最优配置是我们只需要恢复C（t）和C（t）系数。Kim和Omberg（1996年）以及Liu（2007年）等人也使用了这个猜想。最近，Honda和Kamimura（2011）证明，从Bellman方程导出的解实际上是对长期投资者问题的最佳解决方案，即使市场是不完整的，他们只关心终端财富，风险厌恶大于统一。让我们用等式（28）0代替我们的第二个猜想=Ct+AC+BC+CXt+Ct+bC+C+a CCXt+Ct+1-R- + C+C+aC（31）式中a=[1+（1-)(-1），b=2[（1-)/ - ] c=（1）-)/. 无论Xt的值是多少，等式（31）必须保持不变，括号内的所有项都同时设置为零，以解C（）、C（）和C（）的方程。定义判别式DD=b-4圆锥体可以检查，如果大于1，则D>0。因此，感兴趣的两个解由c（t）=2c给出1.--（T）-（t）2.- （b+）1.--（T）-（t）（32）C（t）=4 C1.--（T）-t） /22.- （b+）1.--（T）-（t）（33）5 10 15 20风险规避（参数）-0.50-0.250.250.500.75T=10T=20T=30T=40图1：短视（虚线）和对冲（实线）需求作为Xt的风险规避函数=其中表示SPD。Kim和Omberg（1996）称之为范数解，并讨论了一些超出本文范围的替代解。附录提供了有关（32）和（33）的详细信息。

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2022-5-8 02:35:21

很容易看出C（）和C（）之间存在线性关系。然后，对于>1，Cand Care始终为负值。因此，由于<0，当参考值不是对数（更准确地说是>1）且风险市场价格为正时，套期保值需求始终为正。3数值结果如上所述，我们使用文献充分的Brandt et al.（2005）e x Sample来说明我们的方法。表1收集了从该示例中恢复的连续时间参数。为了进行比较，我们还使用了G arlappi和Skoulakis（2009）的结果，这些结果来自于相同的离散时间Var（1）估计，并通过复杂的数值方法获得。图1和表2有助于理解长期投资者的问题。对于=1，即对数效用的情况，不需要对冲需求。在这种情况下，无论时间跨度如何，动态投资组合选择都会简化为静态投资组合选择。否则，对于大于1且期限长于1的情况，在CRRA参考和均值回复回报下，代理人应具有积极的对冲需求，以防止投资机会的不利变化（Merton，1971）。然而→ ∞, 更具体地说，对于一个非常保守的经纪人来说，股票没有吸引力。因此，他不会投资股票，因为总需求（近视需求和对冲需求之和）趋于零。我们的结果重置了所有这些基本的重要特征。总需求对风险规避非常敏感。以往研究的结果表明，近视眼和对冲需求对较小的风险厌恶值更为敏感。我们证实了这一点，并认为套期保值需求对状态变量的敏感性在临界点附近是最大的≈ 2.我们的等式（30）和图1显示了这一证据。

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2022-5-8 02:35:24

要从数量上看这一点，只需评估关于X。表2报告了短视和对冲需求对夏普比率初始值敏感的证据。最优分配的这两个组成部分分别随着夏普比无条件分布的百分位数的增加而增加。因此，总需求表现出相同的行为。这个=5=15T X（10）X（30）X（50）X（70）X（90）X（10）X（30）X（50）X（70）X（90）10MD-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-10.9 3.5 13.5 23.6 38.0 -4.6 1.5 5.7 9.9 15.920 MD-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-15.9 10.8 29.2 47.7 74.3 -7.2 4.9 13.3 21.6 33.730马里兰州-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-16.0 19.8 44.7 69.5 105.3 -7.7 9.8 21.9 34.1 51.640马里兰州-34.0 3.0 28.6 54.2 91.1 -11.3 1.0 9.5 18.1 30.4HD-13.2 29.1 58.3 87.6 129.8 -6.5 15.5 30.7 46.0 68.0对于每种风险规避，第一行报告短视需求（MD），第二行报告没有卖空约束的享乐需求（HD）。我们给出了夏普比X的5个不同初始值的结果。每个值对应于X的无条件分布的第p个百分位数，由等式（49）定义，用X（p）表示，其中p取值10、30、50、70和90（然后X（50）=）。表2:T季度投资期限的短视和套期保值需求（%）与Campbell等人（2004）等一致。事实上，高夏普比率或相对波动性相当高的风险溢价意味着更好的投资机会。因此，分配到股票中的最优细分应该从均值回复参数的知识中增加，均值回复参数用于量化ex-pe c-ted Sharpe比率。短视需求独立于时间范围，而对冲需求随时间范围非线性增加。

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2022-5-8 02:35:29

然而，表2的定量数据表明，这种关系几乎是线性的，但地平线的微小变化会导致大量对冲需求。地平线效应很重要，但对于给定的s状态变量无条件分布百分位数，它是静态单调的。固定风险规避和状态变量总需求的所有变化都是由于地平线的变化造成的，对于小风险规避来说，变化很大。套期保值需求的水平效应在最优配置中很重要，因为它在更长的水平上广泛占主导地位。事实上，当视界大于20个季度时，当夏普比率初始值在30%到70%之间时，对冲需求通常会大于近视需求。我们最终使用了无借贷和卖空约束的共同假设。因此，在表3中，我们将所有投资组合权重限制在0到1之间。我们可以注意到，我们通常获得的价值非常接近Garlappi和Skoulakis（2009）的价值，而框架则不同。Garlappiand Skoulakis（2009）在离散时间内工作，并为季度股息价格比的无条件分布绘制了其状态变量的初始值。他们使用复杂的数字优化技术。我们在连续时间（无数值优化）中工作，我们的初始值是使用连续夏普比率的条件分布计算的，我们将观察点离散化，并使用相同的季度股息价格比率恢复。然而，对表3图表的仔细观察表明，与Garlappi和Skou lakis（200 9）获得的灵敏度相比，股票的最优配置对状态变量和时间范围更为敏感。我们在离散时间框架内进行了一些数值模拟，以评估我们的结果，从而找出两个框架之间差异的原因。

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2022-5-8 02:35:32

我们无法定性和定量地使我们的结果无效。为了测试我们的结果，我们在离散时间内进行了一些正向纯模拟。例如，更准确地说，我们探讨了夏普比率的初始值为第30百分位（X=X（30））的情况，相对风险规避等于5（=5），计划期限等于10（T=10个季度）。在这种情况下，当我们获得0.065的初始最优股票配置时，Garlappiand Skoulakis（2009）获得了两倍的数量（0.133，见表3）。太大了。

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2022-5-8 02:35:35

因此我们首先构建a0 5 10 15 20 25 30 35 40四分之一水平线（T参数）Xt=X（10）Xt=X（30）Xt=X（50）Xt=X（70）Xt=X（90）0 5 10 15 20 25 35 40四分之一水平线（T参数）Xt=X（10）Xt=X（30）Xt=X（50）Xt=X（90）图2：对于夏普比率X的5个不同初始值，作为水平线的函数对股票的最优配置（如表2或表3所示）0 1 2 3 4 6 7 8 9 10四分之一0。050.100.150.200.25图3：通过显式求解（实线）以及模拟和试验{0.05,0.10,0.15,0.20,0.25}网格（虚线）=5=15TX（10）X30（30）X50（70）X90（10）X30（50）X70（70）X90）10LT 0.6.42.1 77.7 100.0.0.0.0.2.5 15.2 15.13.0.3.0.0.4-6.8-1.1 4.6 0.0 0.0 -1.8-0.2 0.9 1.620 LT 0.0 13.7 57.8 100.0 100.0 0 5.9 22.8 39.7 64.1GS 0.0 24.4 57.2 89.7 100.0 0 0 10.7 25.1 40.4 63.20.0-10.7 0.6 10.3 0.0 0.0 -4.8-2.3-0.7 0.930 LT 0.0 22.8 73.2 100.0 100.0 10.8 31.5 52.1 81.9GS 0.0 32.8 68.4 100.0 100.0 0 0.0 17.5 35.2 54.0 80.70.0-10.0 4.8 0.0 0.0 0.0 -6.7-3.7-1.9 1.240 LT 0.0 32.0 86.9 100.0 100.0 16.5 40.2 64.0 98.3GS 0.0 38.8 77.6 100.0 100.0 0 0.0 24.1 44.5 65.7 94.60.0-6.8 9.3 0.0 0.0 0.0 -7.6-4.3-1.7 3.7对于每一种风险规避，第一行报告我们的结果（LT–A,在连续时间内对股票的最优配置），第二行报告Garlappi和Skoulakis（2009）的结果（GS–A,在不确定时间内对股票的最优配置），第三行报告我们的结果与Garlappi和Skoulakis（2009）的结果之间的差异。我们给出了夏普比率X的5个不同初始值的结果，这些初始值使用与GS中相同的股息价格比率估计值进行校准。

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大多数88

2022-5-8 02:35:40

每个值对应于X的无条件分布的第p个百分位数，由等式（49）定义，用X（p）表示，其中p取10、30、50、70和90。表3:T季度投资期限内的股票最优配置（%）样本规模为10万，适用于zt+1、zt+2、Ae和zt+10，以及ln Pt+1、ln Pt+2、Ae和ln Pt+10，使用严格的VAR（1）Eqs（7）-（8）。我们选择网格G={0.05,0.10,0.15,0.20,0.25}对股票进行试验分配，以覆盖我们和Garlappi以及Skoulakis（2009）的解决方案。然后，对于样本中的每条路径，根据所有可能策略的笛卡尔积G×G××G计算终端财富的值。当我们评估5=9765625策略时，计算负担非常高。图3显示，离散时间内的正向路径（无数值优化）接近我们显式解的路径，尤其是在临界起点，即小风险规避（=5）状态变量的第30个百分位。结论当股票收益是可预测的时，我们研究了“连续时间迂回”来解决长期投资者问题。我们在连续时间世界中获得了一个显式的最优解，在从离散时间世界估计中恢复连续时间参数后，我们重新使用该解来评估最优分配对状态变量初始值、风险规避和时间范围的敏感性。我们发现比文献中报道的敏感度更高。我们还发现，总需求对状态变量的敏感性与状态变量的无条件分布不一致。以前的数值逼近技术处理我们所考虑的问题时会受到一些数值误差的影响。因此，它们并不总是提供准确的结果。

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可人4

2022-5-8 02:35:43

我们发现，在较长的时间范围内，配置的套期保值需求部分占主导地位，它对状态变量非常敏感，尤其是当风险规避降低和/或时间范围增加时。这一发现解释了离散数值方法的低精度，尤其是在状态变量无条件分布的尾部。参考巴伯里斯，N.（2000）。当回报是可预测的时，进行长期投资。《金融杂志》，55（1）：225-264。伯格斯特罗姆，A.R.（1984年）。连续时间随机模型和随时间聚集的问题。Z.InGriliches和医学博士Intriligator主编，《计量经济学手册》，第2卷，第20章，第145-1212页。爱思唯尔，1版。勃兰特，M.W.，戈亚尔，A.，安塔克拉拉，P.，和斯特劳德，J.R.（2005）。动态投资组合选择的模拟方法，用于学习收益可预测性。金融研究回顾，18（3）：831-873。Campbell，J.Y.、Chacko，G.、Rodriguez，J.和Viceira，L.M.（2004）。连续时间VAR模型中的战略资产配置。《经济动力与控制杂志》，28（11）：2195-2214。坎贝尔，J.Y.和希勒，R.J.（1988）。股票价格、收益和预期股息。《金融杂志》，43（3）：661-676。坎贝尔，J.Y.和维切拉，L.M.（2002）。战略资产配置：长期投资者的投资组合选择。福特大学出版社。Garlappi，L.和Skoulakis，G.（2009）。动态投资组合问题的数值解：泰勒近似值函数迭代的例子。计算经济学，33（2）：193-207。Garlappi，L.和Skoulakis，G.（2011）。泰勒级数逼近期望效用和最优投资组合选择。数学与金融经济学，5（2）：121-156。汉密尔顿，J.D.（1994）。时间序列分析。普林斯顿大学出版社。本田T.和镰村S.（2011）。

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2022-5-8 02:35:47

关于具有随机风险市场价格的动态投资组合消费问题的验证定理。亚太金融市场，18（2）：151-166。Kim，T.和Omberg，E.（1996年）。有活力的非近视投资组合。金融研究回顾，9（1）：141-161。刘杰（2007）。随机环境下的投资组合选择。金融研究回顾，20（1）：1-39。R.C.默顿（1971）。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。经济理论杂志，3:373-413。van Binsbergen，J.H.和Brandt，M.W.（2007）。通过递归优化投资组合权重或基于价值函数求解动态投资组合选择问题？计算经济学，29（3-4）：355-367。附录A。1用离散VAR恢复连续VAR的证明矩阵（10）可以重写为LN Pt+t- rf=ar+brzt+rt+t（34）zt+t=az+bzzt+zt+t（35）方程（34）和（35）描述了一个经济计量模型的联合过程，其中z表示分割价格比。矩阵（11）中连续时间模型的相应离散化版本可以重写为log P- RT=(-/2+t-(1 --t） +（1）--t） Xtn+Up（36）X=（1）--（t）+-tXtn+Ux（37）比较（34）和（36）的期望值，我们得到zt=-arbr+(-/2+）待定-(1 --t） br+（1）--t） brXtn（38）向前迭代（38），提前t个周期，使用（35），我们得到-arbr+(-/2+）待定-(1 --t） br+（1）--t） brX=az+bz-(-/2+）tbr+（1）--t） br-(1 --t） brXtn+zt+t（39）经过一些代数运算，我们发现=-azbr+（1）-（bz）-ar+(-/2+t-1.--t+bzXtn-br1--tzt+t（40）注意→01.--T= t、最后，将等式（40）与等式（37）进行比较，等式（13）-（15）直接如下。

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2022-5-8 02:35:50

为了计算相关的第二个矩，可以计算（12）中U向量的方差。变量UpUx=Zt=0F′F（41）其中=1 (1 --（t）-Tp1-（42）使用涉及方程式（34）-（41）的匹配程序，我们可以直接重置方程式（16）-（18）。此外，每t的总公式a变为Var（X）=（1--2t）（43）Cov（X，对数Pt+t）=ρ1.--T+1.--T-1.--2t（44）Varln（Pt+t）=+ 2ρ+T- 2ρ1.--（t）-2.1.--（t）+1.--2（t）（45）式（17）给出了表示X的瞬时标准偏差。再次注意，对于小的，即当→ 0，术语（1）--（t）→ t、所以当t=1时，所有的秒动量都可以用它们的瞬时对应物来近似。否则，当t6=1时，这类近似不再有效。坎贝尔等人（2004年，第2208页）讨论了本案的陷阱。例如，考虑到这一点，只需设置t=t和t=0，就可以计算终端条件方差。本文中使用的X的无条件动量是从方程（38）中导出的，当t归一化为1时。Xtn=+ar+brzt（46）E（Xtn）=+ar+brE（zt）=+ar+braz/（1）-bz）（47）那么，X的无条件平均值等于azbrr（1）-bz）+ar+r/2r（48）事实上，我们使用了结果=rin方程（16）和z遵循ar（1）过程的事实（Brandt等人（2005年），随后是G arlappi和Skoulakis（2009年）等）。因此它的无条件时刻是已知的，Ezt= az/（1）- bz）和Varzt=z/（1）- 汉密尔顿（1994年，第53页）。因此，在等式（38）下，我们可以将所有无条件的百分位数z（p）与其无条件的计算部分X（p）（p表示第p百分位数）匹配，并得出这些值的最佳策略。

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大多数88

2022-5-8 02:35:54

由于套期保值需求对状态变量非常敏感，为了避免计算误差，我们直接从连续时间状态变量X的点观测Xtno的非条件分布中提取X（p）。因此，X（50）=和以下无条件分布成立。Z~ Naz1- bz，z1- bz==> 十、~ N、 br1.- bzzr！（49）A.2参数的证明和确认（31），C的解可以从以下方程中导出：Ct+A C+b C+C=0（50）。该方程可以直接改写为Ztta C+b C+cC=-（T）- t）（51）由于参数a、b和c是常数，给定c（t）=0，积分表提供了c的解。将其代入以下等式CT+c+b+a+CC=0（52），我们从方程（31）推导得出。再次使用终端条件C（T）=0和恒常变量方法，可以得到Cas的解：C（T）=ZTt-RTt+s（b/2+aC（u））u-丙(s)s=ZTte-b（T）-T-s） /2-aRTt+sC（u）u-丙(s)s=ZTte-（T）-T-(s)/2(b)(s)-1） +2（+b）（（T）-（t）-1) + 2-丙(s)s=2c（T-t） /2（+b）（（t）-（t）-1） +2ZTts/2--s/2s=4c/-（+b）（1）-（T）-t））+2（T）-t） /2-1.=2c2- （+b）（（T）-（t）-1)1.-（T）-t） /2=1.-（T）-t） /21.-（T）-t） C（t）Noname手稿号（将由编辑插入）插入你的标题Hered你有副标题吗？如果是这样，请写在这里第一作者·第二作者或接收：日期/接受：日期摘要在这里插入你的摘要。根据需要包括关键词、PACS和数学科目类别编号。关键词第一个关键词·第二个关键词·更多1介绍您的文本来到这里。用两个章节标题分隔文本章节，并附上引文[2]和[1]。需要2.1小节标题。别忘了给每个章节和小节贴上一个独特的标签（见第2节）。段落标题根据需要使用段落。a+b=c（1）F.作者第一地址电话：+123-45-678910传真：+123-45-678910电子邮件：fauthor@example.comS.

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