带有强制遗赠的投资组合选择

2022-5-6 22:25:15

MandatoryBequestJiatcheng FENGMentor投资组合选择：Menglu WangUROP+期末论文，2014年夏季摘要。本文研究了一个投资者的最优消费和投资决策，该投资者可以投资固定利率的银行账户和价格为对数正态分布的股票。我们用修正后的公式a来解决这类交易成本的问题。研究表明，投资者在做出消费和交易决策时，会将强制购买视为一种费用，并将其计入个人财富。此外，投资者在与托默顿的最佳比例和交易成本相关的固定边界内分配其投资组合比例。日期：2014年9月1日。带有强制遗赠的投资组合选择21。导言许多研究者用随机动态规划方法研究了连续时间内的最优消费组合策略。由默顿[1]率先提出，解决这类消费端口问题的主要方法是使用随机控制证明解的存在性。这些投资组合选择的大部分工作都集中在模型的内在运作和从消费中导出的效用率函数上，但通过假设它为0来忽略遗赠函数。然而，遗赠函数通常非常相关，因为它展示了控制问题的不同可能终止条件，允许建立更动态的模型。本文的目的是首先介绍解决随机控制问题后的理论，然后分析一个非常有趣的遗赠函数，类似于指标函数，投资者必须至少持有特定数量的资产。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:25:18

我们发现，当增加这一强制性目标时，投资者将从其有效总财富中移除这一固定财富，并相应调整其消费和交易政策。从质量上来说，随着遗产的增加，最优消费减少，最优投资组合比例将转向安全资产。这个问题可以在金融领域找到优于基准的应用，也可以在低收入家庭的生存中理解资金管理，然而，本文没有讨论这些应用。此外，还展示了固定百分比交易成本影响的演示文稿，其中我们发现，当且仅当投资者的投资组合比例保持在某一特定区域内（约为零交易成本最佳比例），投资者不会进行证券交易。论文的其余部分组织如下。第2节介绍了最优投资组合控制问题背后的一般理论。给出了主要定理的启发式证明。第3节展示了关于市场以及投资者行为的明确解释性假设，以便将投资组合问题正式化。第4节至第7节通过仔细明确地推导双资产问题的最优性方程，给出了最优消费的不同情况，其中收益率由等弹性边际效用下的随机过程产生。这些问题将建立必要的概念概念，用于解决要求投资者满足强制性遗赠交易成本的问题。论文以结束语结束，并讨论了未来可能扩展的工作。带有强制性遗产3确认的投资组合选择。

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2022-5-6 22:25:22

我很高兴感谢我的导师王梦露，她在指导我完成整个研究和写作过程中给予了我巨大的帮助。当然，本文中的所有错误都是我的。我还要感谢斯科特·谢菲尔德教授的宝贵讨论和建议。我感谢Pavel Etingof教授和麻省理工学院数学系对数学UROP+项目的指导，并感谢Paul E.Gray（1954）捐赠的UROP基金的帮助。2.随机控制与HJB方程假设任意时刻t为随机过程Xt∈ 关于概率空间的定义(Ohm, F、 P）可通过选择参数ut来影响∈ U Rk，这被称为控制。这里，假设t仅取决于系统当时的当前状态，也就是说，ut=u（t，Xt）是马尔可夫控制。由于UTI仅由时间t发生的事情决定，函数ω→ u（t，Xt（w））必须相对于过滤比n Ft是可测量的，因此过程utis Ft适应随机过程。让系统Xt由定义良好的随机微分方程描述，初始值为：dXt=dXut=b（Xt，t，ut）dt+σ（Xt，t，ut）dbt∈ （s，T]X=X（2.1），其中b:Rn×R×U→ Rn，σ：Rn×R×U→ Rn×m，和Bt为一维布朗运动。目标是设置控制uto，使性能函数Ju（s，x）最大化，定义为Ju（t，x）=Et，xZTtfu（s，Xs）ds+g（T，XT）（2.2）我们可以看到f:Rn×R×U→ R为收益率函数，g:Rn×R→ R t是遗赠函数，t t是偿付能力集G的第一个退出时间（G可以是整个空间）。假设f，gare连续，U紧。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:25:25

主要问题是，对于每个（t，Xt），我们能找到一个最优控制u吗*= U*（t，Xt）及其相应的最优性能函数φ（t，Xt），使得φ（t，Xt）=supu（t，Xt）Ju（t，Xt）=Ju*（t，Xt）？我们引入了Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程[2]的概念，它提供了最优性能函数作为连续时间优化问题的解。首先，通过强制遗赠4di-Differential operator Lvto be（Lvf）确定Portfolio选择=Ft（t，x）+nXi=1bi（t，x，v）Fxi+nXi，j=1aij（t，x，v）Fxixj（2.3），其中aij=σ∑Tijand x=（x，…，xn）。在最优控制问题统计中，使用与上述相同的符号，定理2.1（HJB方程）。letφ（s，x）=sup{Ju（s，x）；u=u（s+t，Xs+t）}假设φ∈ C（G）∩ C（\'G）s a tis fise[|φ（α，Xα）|+Zα| Lvφ（t，Xt）| dt]<∞对于所有有界停止时间α≤ T，所有状态（T，Xt）∈ G、和allcontrol v∈ 此外，假设一个最优马尔可夫控制*存在，然后∈对于ll（t，Xt），U{fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）}=0∈ 对于ll（t，Xt），G（2.4）和φ（t，Xt）=G（t，Xt）∈ G（2.5）当v=u时，得到上确界*, 最优控制。相反地，设φ是C（G）中的一个函数∩ 带边界条件限制的C（`G）→Tφ（T，Xt）=g（T，Xt）·χ{T<∞}. 假设所有控制v∈ U和所有州（t、Xt）∈ G、 fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）≤ 0，且φ是与测度有关的均匀l y积分。那么φ（t，Xt）≥ Ju（t，Xt）代表所有控制∈ U和所有s状态（t，Xt）∈ G.此外，如果存在一个控制v，使得fv（t，Xt）+（Lvφ）（t，Xt）=0（2.6），那么v=v（t，Xt）=u*是满足φ（t，Xt）=Jv（t，Xt）=supu的n最优控制∈U{Ju（t，Xt）}（2.7）带有强制性遗产的投资组合选择5备注2.2。Bellman方程是为数学优化而建立的，目的是解决在离散时间内，区间δ满足预算约束的效用最大化问题。

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2022-5-6 22:25:29

方程后面的思想是，强制找到一个最优策略，其性质是，无论初始状态和决策如何，剩余决策相对于当前状态都是最优的。根据这一中心思想，贝尔曼方程规定，不确定时间的值函数φ必须满足φ（t，xt）=maxu∈U{Zfu（t，Xt）dt+φ（R（Xt，U）}（2.8），其中R（Xt，U）表示应用控制U后在时间t+δx的状态变化。HJB方程是通过扩展离散时间Bellman方程和物理学中的Hamilton-Jacobi方程推导出来的。证据利用贝尔曼方程的思想推导出了HJB方程的直观草图[4]。有关完整的严格证明，请参见Oksendal[2]。设φ（s，x）=sup{Ju（s，x）}和Ju（s，x）=Et，xZTtfu（s，Xs）ds+g（T，XT）其中上确界接管了所有可能的控制，从（s，x）开始。假设在切换到最优控制u之前，选择控制v作为时间间隔（t，t+δ）。然后，将其与已建立的最优控制进行比较，必须是φ（t，x（t））≥ fv（t，x）δ+φ（t+δ，R（x，v））（2.9）φ（t+δ，R（x，v））上的泰勒展开式是φ（t+δ，t（x，v））=φ（t，xt）+φt（t，xt）δ+φ（t，xt）·x′tδ+o（δ）（2.10），其中是相对于x的拉普拉斯算子，o（δ）是泰勒展开式中阶数大于1的项。如果我们从两边抵消φ（t，xt），除以（2.10）中的δ，取δ→ 0表示o（δ）→ 0，那么0≥ fv（t，x）δ+Lφ（t，xt）（2.11）此外，如果v是最优策略，在v=u时，等式必须保持不变。强制遗赠的投资组合选择63。假设投资者面对一个具有以下性质的资本市场：假设1。证券与市场我们假设这个市场是完全竞争的，交易是连续进行的。

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2022-5-6 22:25:32

有两种标的证券可以以当前价格购买和出售。这两种证券的价格{Pi（t）}可以通过随机微分方程来确定：dPidt=αi（t，Pi）dt+σ（t，Pi）dbtw，其中α是价格百分比变化的预期值，σi变化的方差，以及Bta一维布朗运动。第一（银行）证券是一种安全的投资，其单价{P（t）}为所有投资支付恒定的无风险利率r>0，并对借款收取相同的利率。银行证券的价值不会出现波动或贬值。银行证券满足dp（t）=P（t）rdt（3.1）第二种（股票）证券是一种风险投资，其单价为{P（t）}，满足方程dp（t）dt=P（t）[r+sWt]dt，其中wt表示白噪声，r表示测量平均变化率和噪声大小的常数。然后，其^o随机微分方程下的价格函数可以表示为[2]：dP（t）=P（t）rdt+P（t）sdBt（3.2），让两种证券都是完全可除的。假设风险证券的预期收益率高于安全证券是很自然的，因此r>r>0。假设2。信息基础证券的概率分布和当前价格包含任何投资者做出决策所需的所有信息。所有投资者均可免费公开和持续获取该信息。假设3。交易成本在第三和第四个问题中，买卖股票将产生交易费用。如果v表示买入（v>0）或卖出（v<0）的风险证券的价值，则交易成本被描述为溢价成本χ，衡量现金或股票是否更可取，加上费用χv与交易价值的比例。

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2022-5-6 22:25:35

具体来说，交易成本τ可以写成τ（v）=v（χv+χ）=|v |（χ+χ）：v>0-|v |（-χ+χ）：v<00:v=0，其中χ，χ是[0,1]和[1]中合理的小常数(-分别是1,1）。然后，单位交易成本为χ+χ和χ- χasv>0，v<0。假设4。收入和寿命投资者的寿命为m[0，T]，在此期间，她每单位时间的收入预期为y（T）。假设y（t）可从[0，t]中的任何区间积分。在t=0时，她从一个初始财富Z开始，该财富Z全部放在安全资产中。如果T、y（T）和Zare在任何时候都确定知道，投资者就会采取行动∈ [0，T]。表示Z（t）=Z是个人的总财富。在建立财富的随机微分方程之前，我们先陈述并证明以下引理。引理3.1（部分随机积分）。让Xt，Ytbe It^o进程在Rn中。然后d（XtYt）=XtdYt+YtdXt+dXt·dYtProof。应用It^o公式[5]和g（x，y）=x·y，很容易得到d（XtYt）=d（g（Xt，Yt））=Gx（Xt，Yt）dXt+Gy（Xt，Yt）dYt+Gx（Xt，Yt）（dXt）+G十、y（Xt，Yt）dXtdYt+Gy（Xt，Yt）（dYt）=YtdXt+XtdYt+dXtdYt设N（t）表示风险证券中持有的股份数量，N（t）表示银行中持有的金额，两者都是t时间t。带强制性遗赠的投资组合选择8我们首先考虑财富函数的离散时间框架：Z（t）=N（t）P（t）+N（t）P（t）=XNi（t）Pi（t）（3.3），其中Pia是假设1中描述的证券价格。求和p=Pi=0是为了简单起见编写的。在N（t）P（t）和N（t）P（t）上使用MMA 3.1，并让h→ 0，我们得到dzt=X（Ni（t）dPi（t）+Pi（t）dNi（t）+dNi（t）dPi（t））（3.4）股票数量的任何变化都不会影响总财富，因为每一笔资产的出售都伴随着另一笔价值相同的资产的购买。

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kedemingshi

2022-5-6 22:25:39

那么，如果D（t）是财富对t的总调整- h到t，D（t）h=X[N（t）- N（t）- h） [Pi（t）t+h的下一个财富调整区间类似于d（t+h）h=X[Ni（t+h）- Ni（t）]Pi（t+h）=X[Ni（t+h）- Ni（t）][Pi（t+h）- Pi（t）]+X[Ni（t+h）- Ni（t）]Pi（t）取h的极限→ 0，财富变化的持续版本可以被表述出来。D（t）dt=XdNi（t）Pi（t）+dNi（t）dPi（t）（3.5）将D（t）代入（3.4），dZt的方程，dZt=N（t）dP（t）+N（t）dP（t）+D（t）dt让u是投资于风险投资的财富的比例，因此u=N（t）P（t）/Z（t）（1）- u） N（t）P（t）/Z（t）dZt=Z（t）[（1）- u） dP（t）/P（t）+udP（t）/P（t）]+D（t）dt代替dPi（t）/Pi（t）作为消费1中价格的随机公式，财富的连续随机微分方程可以表示为dzt=dZ（u）t=Zt[r（1-[t+t+t[t+t+t]。效用函数我们选择等弹性效用函数u（t，x）=sγγ，带强制性遗赠9的投资组合选择，并将γ设为（0，1）中的一个选定常数，以使效用函数保持并满足基本效用函数性质。Arrow-Pratt的相对风险厌恶度量[6]r（c）=-U′（c）/U′（c）=1- γ是常数。然后，这个效用函数是效用家族中的一员，它描述了一个具有恒定相对风险厌恶（CRRA）的投资者。该模型的一个缺点是决策不受规模的影响，因为这两种证券所承担的风险与投资者拥有的财富无关。4.没有消耗的简单问题首先呈现了一个类似于Okensdal[2]所述的简单系统。假设个人希望在两个证券市场上投资一定数量的基金。她不打算从该基金中提取或存款，因此购买的任何新资产必须通过出售其他资产来融资。

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2022-5-6 22:25:43

她的目标是使效用最大化，而效用仅取决于投资组合在未来t=t时的价值。假设基金在时间t的总价值为Zt，u（t）为马尔科夫控制，它决定了在时间t时投资于风险更高的投资的财富份额。在这种情况下，我们假设不存在交换成本，并且由于投资组合是自融资的y（t）=0。我们的性能函数由J=E[U（ZT）]=E[ZγT/γ给出，其中E是T=0时的期望值函数。根据假设4，财富函数满足随机微分方程dzt=dZ（u）t=Zt（r（1- u（t））+ru（t））dt+Zt（su（t））dBt（4.1）对于φ（s，x）=supuJu（s，x）使用定理2.1的HJB方程是0=supu{（Luφ）（s，x）}=φt+supu{x（r（1- u（t））+ru（t））φx+suxφx} （4.2）终端条件φ（t，x）=Zγt/γ（4.3）表示φx=φx和φxx=φx、通过取表达式（2.3）对控制u的导数，可以得到上确界。0=x(-r+r）φx+sxuφxxu=u（t，x）=-(-r+r）φxsxφxx（4.4）带强制遗赠的投资组合选择由于φx>0且φxx<0，u确实是所有控制的上确界。然后，将控制u替换回HJB方程φt+rφx-(-对于t<tφ（t，x）=Zγt/γ对于t=t（4.5），溶液φ的形式为φ（t，x）=a（t）xγ/γ。

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kedemingshi

2022-5-6 22:25:46

通过直接代入（2.7）和（2.8），并求解简单的微分方程f或a（t），φ（t，x）=exprγ+(-r+r）γ2s（1- γ)·xγγ（4.6）同样，最优控制u*可从（4.3）中导出：u*（t，x）=-r+rs（1）- γ）（4.7）首先，我们不认为最佳比例u*事实上是恒定的。folit=1的平均增长率为- U*) + 汝*=（r）- r） s（1）- γ） +rσ=u*2s=（r）- r） s（1）- γ）因为r>rand 0<γ<1，我们有u*∈ （0,1），这意味着这两种证券都会有投资。这是投资组合中套期保值的一个简单例子，证明了多元化的重要性。不可能，投资组合不需要任何借款（u（t）≥ 1）或卖空（u（t）≤ 0）以保持最佳比例。由于模型假设不允许价格降至0，因此永远不会有破产风险（Zt）≤ 0).在异常情况下，当r>r，u为负值时，投资者会以最佳方式卖空股票，以获得更安全、高回报的银行资产。然而，如果shortsoldstock资产产生意外的高回报，投资者就有可能破产。5.无交易成本的消费考虑了一个更具挑战性的双资产问题，类似于默顿[1]中的ed。然而，我们概括了这样一个问题，即个人也会获得大量的外部收入。强制遗赠的投资组合选择假设没有交易成本。在每一个瞬间，投资者都被允许消费她的部分资产（不管是哪一项资产，因为没有交易成本）。portfoliogrows来自资产收益率和已知的持续外部收益。

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kedemingshi

2022-5-6 22:25:49

投资者现在也希望考虑她从持续消费中获得的效用，而不仅仅是最大化她的最终收益。然后，解决方案不仅必须确定每种安全性的最佳投入量，还必须确定适当的内存消耗，以实现效用最大化。设两部分控制为w=w（t，x）=（u，c）∈ U、其中U=U（t，x）是投资于风险资产的财富的分数，c=c（t，x）是消费，两者都是在瞬间t。如消费3中所建议的，让投资者的收入为y（t）。然后，微分健康方程可以写成dzt=[Zt（r（1- u（t））+ru（t））+y（t）- c（t）]dt+Zt（su（t））dbt新的性能函数可以描述为j=E中兴通讯-ρtc（t）γdt+B（t，XT）式中，ρ是决定未来现金流现值的贴现率，B是出口时间t的遗赠函数。表示c（t）=c（t）- y（t）。然后这个问题可以重新表述为：dZt=dZ（u）t=[Zt（r（1-u（t））+ru（t））+c（t）]dt+Zt（su（t））dBt（5.1）J=E中兴通讯-ρt（`c（t）+y（t））γdt+B（t，XT）（5.2）在控制之下‘w=（u，’c）∈使用HJB方程，我们寻求φ（s，x）=supu，\'c{Ju，\'c（s，x）}：0=supu，\'c{fu，\'c（t，x）+（Lu，\'cφ）（t，x）}=supu，\'c的最优性E-ρt（`c+y）γγ+φt+[x（r（1- u） +ru）- \'c]φx+suxφ十、为了达到上确界条件，计算了关于u和c的两个第一或第二条件：φc=0=> \'c=\'c（t，x）=（φx·eρt）1/（γ）-1)- y（t）φu=0=> u=u（t，x）=-(-r+r）φxsxφxx（5.3）带强制性遗赠的投资组合选择12将u，`c替换回原始HJB方程，0=φt+rxφx-（r）- r） φx2sφxx- （φxeρt）1/（γ）-1） φx+yφx+e-ρtγ（φxeρt）γ/（γ）-1）（5.4）首先，如果φ=e-ρtφ，eρt的所有倍数都可以被取消，使得0=~φt- ρρφ+rxφx-（r）- r） φ′2x2s~φxx- （~φx）γ/（γ）-1） +y~φx+（~φx）γ/（γ）-1） γ设φ的溶液形式为φ=a（t）γ（x+N（t））γ。

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2022-5-6 22:25:53

这使得解可以通过将（x+N（t））的幂相等来清除额外的y（t）项。加上1/γ项，使得φ的导数看起来很好。因此，N′（t）+y（t）+rxx+N（t）必须是常数。然而，由于N（t）只依赖于t，常数必须是r，因此我们必须求解简单的微分方程y（t）+N′（t）=rN（t）（5.5）。显然，如果y（t）=0，那么N（t）=0将是问题的简单解。现在，作为t→ 由于预期未来总收入为0，这类似于没有收入的情况，或y（T）→ 0代表t∈ [t，t]。等价地，N（t）→ 0，因此N（T）=0。我主张N（t）被描述为投资者在时间t的未来收入流（在表达式x+N（t）中加上其当前收入）。因此，N（t）可以被描述为，N（t）=ZTty（s）e-r（s）-t） ds（5.6）为了证明这一点，我们首先验证了边界条件，当t=t，N（t）明显为0时。然后，利用积分符号[7]下的微分定理，N′（t）=- y（t）e-r（t）-t） +ZTtry（s）e-r（s）-t） ds=- y（t）+rZTty（s）e-r（s）-t） Dthus，给出的N（t）表达式实际上是微分方程的解。带有强制遗赠的投资组合选择=e-ρta（t）γ（x+N（t））γ回到（5.4），HJB方程可以简化为0=a′（t）- a（t）ρ+a（t）rγ- a（t）（r）- r） γ2s（γ- 1）+a（t）γ/（γ）-1)(1 - γ）表示u=-ρ+rγ+（r-r） γ2s（1）-γ). 这是伯努利方程的形式，它有精确的解：对于u6=0:a（t）=γ - 1+经验u·（C）-t）一,-γu1.-γ和对于u=0:a（t）=C- t+tγ1- γ1.-γ，其中Ca常数取决于遗赠函数。现在，整个问题可以用φ来解决。

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2022-5-6 22:25:56

因此，由于c（t）=c（t）+y（t），最优控制是c*（t，x）=a（t）1/（γ）-1） ·（x+N（t））（5.7）u*（t，x）=（r）- r）（x+N（t））xs（1）- γ）（5.8）我们需要检查问题的条件，以验证解决方案是明确的，特别是1。φ相对于x2单调递增且凹。最优消耗函数c大于0。自从γ∈ （0,1），条件1和2不满足当且仅当我们有a（t）≥ 0.因此，我们只需要u6=0：γ - 1+经验u·（C）- t）一,- γu-1.≥ 对于u=0C，则为0≥ t（1）- γ）对于t的所有值∈ [0，T]。为了得到一个完整的解决方案，让投资者有一个单位时间y（t）=y的康斯坦丁康，即u6=0。此外，takeB[T，ZT]=0——也就是说，在时间T时，投资者不会从任何超额资产中获得任何进一步的效用。使用（5.6）并以y（t）=y为常数，N（t）可以作为N（t）=yr（1）来求解- 呃(t)-T））。（5.9）强制遗赠的投资组合选择14另一方面，边界条件要求a（T）=0，或等效地，expu·（C）- T）1- γ= 1.- 求C的γ，我们得到C=（1）- γ） /u·log（1- γ） +t推导出a（t）的表达式并简化，我们得到a（t）=（γ）- 1 ) (1 - exp（u（T）-t）一,-γ))u#1-γ（5.10），对于所有的u6=0都有很好的定义。证明：由于γ<1，对于u>0，井密度保持if1- exp（u（T）- t） /（1）- γ））（5.11）为阴性。这是正确的，因为u>0且t<t，因此使得术语eu（t-t） /（1）-γ）大于1。对于u<0，如果（5.11）项为正值，则定义良好。然而，现在由于u>0，eu（T-t） /（1）-γ）小于1。这意味着对于所有的ua和t<t，对于这个问题，a（t）的表达式定义得很好。备注5.1。在u=0的情况下，C=T（1- γ).

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2022-5-6 22:25:59

然后，a（t）=（t- t）一,-γ≥ 0，这本身就是对时间效应的一个令人惊讶的简单表达。因此，对于遗赠函数B=0的问题，完整的解决方案是：*（t，Zt）=u（Ztr+y（1- 呃(t)-T）r（1- γ)经验u（T）-t）一,-γ- 1.（5.12）美国*（t，Zt）=（r- r）（Xtr+y（1）- 呃(t)-T））Zts（1- γ） r（5.13）从完整解（5.12）和（5.13）中得出的一个重要观察结果是，当y=0时，最佳比例保持与从之前的r问题中得出的固定比例u相同，而这仅与最终财富有关。随着收入的增加，文件夹选择不再独立于财富和时间。这是意料之中的，因为随着更高的收入流或更大的当期收入，投资者能够接受更高风险的投资组合，以获得更高的收益。从数学上讲，这可以表示为u/y>0和u/x>0。另一方面，如果y为负，那么我们可以将带有强制性遗产的投资组合选择15作为固定的基本消费进行讨论，投资组合持有比例将更倾向于安全资产。将个人的有效未来财富表示为受无风险利率或Y（t）影响的收入流的现值是有意义的，其中Y（t）=N（t）=ZTty（t）e-r（s）-t） dt（5.14）随着t的增加，从“u”的比例中选择er的动机降低→ 因为有效的未来财富趋于0。在计算最优消费时，投资者将有效总财富视为其当前财富和有效未来财富之和。然后，这组解符合弗里德曼的永久收入假说[8]的性质。如果有效的总财富是固定的，c′*（t） c*（t）=C*（t）tc*（t） =u（1）- γ）（实验）u（T）-t）一,-γ- 1）表示消费相对于时间的瞬时增长率。显然，随着时间的推移，消费将会增加*（t） /c*（t） >0。

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大多数88

2022-5-6 22:26:02

然而，更有趣的是，我们可以从背后得出一个经济意义。如果u>0，则c′*（t） /c*（t）生成指数增长形式的图形。这意味着随着时间的推移，大部分消费增长的速度要快得多。另一方面，当u<0时，c′*（t） /c*（t）是一种逆合一的形式，消费增长发生得更快。然后，u作为未来消费倾向的衡量指标，高回报投资选项的好处与高贴现率的缺点相比有很大的不同。6.具有交易成本的消费本节对Magill和Constantinides的论文[3]进行了阐述，并进行了轻微的修改和简化。前面的问题表明证券交易是连续的。由于偿付能力区域内的每个可能州都有一个最佳比例，因此投资组合需要进行微小的持续调整，以达到HJB方程规定的最佳控制。然后，交易的无成本成为一种可能的假设，因为即使交易机会在时间上持续可用，投资者也无法持续执行交易。因此，在这个问题中，我们引入了一个带有强制遗赠的交易对价选择，这样交易就不会持续发生。预计这一增加将导致投资者随机使用其可用的交易机会，但这是一个更现实的场景。投资者从财富Z=（Z（0），Z（0））开始，其中Z（0）是她持有的现金，Z（0）是股票财富。

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可人4

2022-5-6 22:26:05

然后她的两个资产满足随机微分方程dz=[rz+y（t）- c（t）- （1+χ+χv）v（t）]dtdz=[rz+v]dt+[sz]dBt（6.1），其中v（t）=z′（t）·p（t）=-z′（t）·p（t）是投资者决定的时间t的交易金额。假设函数的性能与前一个问题的性能没有变化：Jv，c=E中兴通讯-ρtc（t）γdt（6.2）设控制为w（t，x）=w=（c，v）。为了使用随机控制问题解决这个问题，让dzbe修改为todz=lim→0[rz+v]dt+[s（z+v）]dBt（6.3）备注6.1。Magill和Constantinides[3]提出的这个限制程序是解决这个问题的关键。它的美妙之处在于，解控制可以线性地进入HJB方程，但不影响扰动项。用HJB方程计算φ（s，x）=supv，c{J（s，x）}：φ（s，x）=sup{e-ρtcγ/γ+φ（rz+Y）- C- （χ+1+χv）v）+φ（rz+v）+φ1,1s（z+v）+φt}（6.4），适当的终端条件φ（t，zT）=0（6.5），其中φi=φ/Zi和φi，j=φ/zizj。关于c，v的一阶条件，我们必须有0=e-ρtc*γ-1.- φ0 = - φ（χ+1+χv）+φ+φ1,1s（z+v）*)带有强制性遗产的投资组合选择，这意味着*= （eρtφ）1/（γ）-1）五*= （1/）{（φ（χ+1+χv）- φ） /（sφ1,1）- z} （6.6）代以c*和v*回到HJB方程（6.4）0=e-ρtγ（eρtφ）γ/（γ）-1） +φrz+φ（rz+Y）+φt- φ（eρtφ）1/（γ）-1） +（φ（χ+1+χv）- φ） z-φ1,1（φ（χ+1+χv）- φ）受上一个问题的启发，代换φ=e-取ρtγa（t）（z+bz+N（t））γ作为解φ偏微分方程的猜想。这样，在方程中（z+bz+N（t））被取为相同的幂，brz+rz+Y+N′（t）+z（χ+1+χv- b） /z+bz+N（t）必须是常数。由于z的系数在交叉相乘后应该在两侧相同，所以这个常数是r。

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2022-5-6 22:26:10

然后，通过将其余的项相等，b=χ+1+χv1+（r- r） rN（t）=y（t）+N′（t）（6.7）右手方程简单地将N（t）描述为我们在上一节中展示的财富（5.6）的效果。N（t）=ZTty（s）e-r（s）-t） ds=Y（t）HJB方程可以简化为a′（t）+（1）- γ） a（t）γ/（1）-γ） +ua（t）=0，其中u=-ρ+rγ-γ（χ+1+χv）- b） 2bs（γ）- 1 )=-ρ+rγ+γ（r- r） 2（1）- γ） s从而满足终端条件a（T）=0。求解a（t）的微分方程时，该解与强制遗赠的投资组合选择的解没有变化18（5.10），a（t）=（1- γ）（exp（u（T-（t）-11-γ)u#1-γ（6.8），对于所有u6=0都有很好的定义（见上一节的演示）。然后，在z=（z，z）下的一整套解可以被刻画为φ（t，z）=e-ρtγ“（1- γ）（exp（u（T-t）一,-γ- 1)u#1-γz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）γc*（t，z）=uz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）(1 - γ）（exp（u（T- t）一,- γ) - 1)-1v*（t，z）=（r）- r）（γ）- 1） s·1+（r）- r） χ+1+χvz+χ+1+χv1+（r- r） z+Y（t）- Z（6.9）消费的表达式与第二个问题（5.12）的表达式没有区别，因此将省略分析。相反，我们将深入研究事务函数v*理解它。v的公式*令人惊讶的是→ 0，v*→ ∞. 这可以用v来解释*作为一种瞬间变化，以满足特定标准，从而产生期望的行为，即交易发生在随机情况下，而不是连续发生。为了进行完整的分析，我们将v除以*假设W（t）>0，则通过个体W（t）W（t）=z（t）+z（t）+Y（t）的总财富的影响。表示πi=zi/W，πy=y/W，因此，π+π+πy=1。设π=（r）-r）（1）-γ）注意π>0，π是第一个问题中导出的一个最优控制。

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nandehutu2022

2022-5-6 22:26:13

这使我们能够分离v的作用*只有有效总财富在当前风险资产中的比例π。林→0χ+1+χv1+r- r）五*W=ν（π，χ）ν（π，χ）=π（π+（χ+1+χv）π+πy）- π（χ+1+χv）=π（π+π+πy）+πχπ+πχvπ- π（χ+1+χv）=（χv+χ）π+π- （χ+1+χv）π（6.10）函数ν作为一个信号函数，只要sν6=0，v→±∞, 证券将即时交易。如果χv=χ=0，即交易成本为0，则只有当π6=π时，投资者才会表现出无交易If和带有强制遗赠19的投资组合选择。这与第二个问题中的（5.13）完全对应，在这个问题中，我们可以将opt ima l比例方程重新排列为getz（t）Z（t）=u*（t，z）=（r）- r） W（t）s（1）- γ） rZ（t）==> π=π投资组合策略将迫使π在每一时刻都与π相同，这突出了发生的大量交易，从而使该策略保持不变。在非零交易成本的情况下，分析变得更加有趣。当0=（χv+χ）π+π/π时，等于ν=0- （χ+1+χv）π=π-（χv+χ）π+χ+1+χv=π（χv+χ）（1）- π） +1（6.11）由于χVASSUME根据v的符号得出不同的值，因此必须至少有2个值不会发生变化。设它们为π（χ+χ）（1）- π） +1=Lπ(-χ + χ)(1 - π） +1=H（6.12）显然，L<H，a和L，H将生殖线分为三个区域。然后，我们需要考虑π：情况1：π<L的位置<==> 五、*> 0.如果π（风险资产的比例）太低，最优投资组合策略要求*选择π时，π立即接近L，即→ 因此，v*> 即投资将从银行转入风险资产。一旦π=L命中，ν=0，交易停止。另一方面，如果v*> 0，那么χv=χ和ν>0。然后是（6.11），π<π-（χ+χ）π+χ+1+χ=LCase 2:π>H<==> 五、*< 0.这里的proo f类似于案例1。

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2022-5-6 22:26:16

投资者将立即与v进行交易*< 0，直到π=H命中。案例3:L≥ π≥ H<==> 五、*= 0案例3紧接着案例1和案例2。这意味着投资者不会在区域[L，H]中交易比例π。带有强制性遗赠的投资组合选择206.2条：假设满足假设1-5和绩效函数。那么投资者总是将其投资组合比例定义为固定区域K=[L，H]，其中L，H在（6.12）中描述。投资组合比例与区域的任何偏差将立即通过交易v进行处理，从而使投资组合转向K的最近边界。可以在inDavis和Norman的论文[9]中找到提案6.2的出色视觉表现，该论文建立在Magill的工作基础上。投资组合比例nπ=z/W在区域K上充当一个随机微分过程，对于该区域，每次退出K的边界时，它都是通过最优交易控制回购的。这对应于投资者在随机的有限个t∈ [0，T]，这是一个合理的交易行为，而不是我们开始模拟的。经济含义是，投资者需要平衡其改善的多元化和交易成本。当比例在K区内时，投资者不认为有必要改变比例，使其更接近最佳多元化比例π=\'u，因为多元化的收益不受交易成本的影响。然而，如果比例离开K区域，改进后的多元化效益超过交易成本，投资者进行交易，使πi达到K的界限是有意义的。假设现金对股票的实际交易成本为λ，股票对现金的实际交易成本为δ，那么（λ+δ）/2=χ，和（λ）- δ)/2 = χ. 这表明χ是运输的平均成本，而χ是库存现金的溢价。

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2022-5-6 22:26:20

如果平均交易成本χ上升，区域K会变小，H会变大。更大的区域表明，由于比例过程更难离开边界，因此提升的频率降低。当χ=χv=0时，即平均交易成本为0，且投资者在某一瞬间来回交易相同金额时，不会损失任何资金，这是L=H的唯一情况，因此只有一个最佳比例点。增加χ值的主要作用是使L和H的值都降低。这是意料之中的，因为如果获得风险资产的交易成本高于获得现金的交易成本，那么投资者持有安全资产应该更有利，也更值得，对她来说，安全资产的价值相当于美元对美元。带有强制遗赠的投资组合选择217。交易成本和强制遗赠在本节中，我们着手解决强制遗赠功能的问题。第一我最初提出了一个小故事，作为这个问题的背景和动机：“一个古老的村庄有两项资产，市长必须决定投资：猪和黄金，猪的生长取决于拥有多少头猪，黄金的价值取决于市场。目前是秋季。市长可以随时与邻近村庄进行黄金和猪的交易，但她必须支付购物中心的交易成本。市长也可以指导村庄的交易吃掉一些猪，这会让她在镇上有一些人气。冬天来临时，镇长必须有一定数量的猪，供村里储存和食用，以便生存。任何额外的资产都将产生微小的影响，但对市长的受欢迎程度是积极的。

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2022-5-6 22:26:23

市长如何才能最大限度地提高自己的声望？”根据这个问题的公式，遗赠函数可以写成：B[T，ZT]=A′·1ZT>kw其中1是指示函数，A′是合适的常数。定义有效总财富W（t，z）=Zt+N（t）。理想情况下，我们可以将遗赠函数转换为形式w（T）γG（T）e-ρT.（7.1）那么，给定初始条件和适当的y（T）定义，随机控制问题的解应该是容易解的。注意，我们假设最优c（t）<<K，然后通过降低边际效用，持有比K大得多的财富所产生的额外效用有效地为0。LetN（t）=-K·1t=t的t∈ [0，T]（7.2）这意味着投资者在T=T时拥有K笔总财富，但在T<T时拥有0笔财富。然后，通过将适当的常数设置为G（T），N（T）选项允许（7.1）作为所需遗赠函数的替代表示。在（5.5）中N（t）的原始公式中，它被描述为解撕裂（t）=N′（t）+y（t），因此，我们需要找到一个合适的y（t）（在数学上和经济上与模型一致），以便在最终解中获得具有强制遗赠22的N（t）投资组合选择。关键思想是，N（t）可以用一条类似于高斯分布的曲线来近似，其均值t和方差σ：N（t）=- limσ→ 0K·e-（t）-T）2σ（7.3）那么，N′（T）=- limσ→ 0K·（T）- t） σ·e-（t）-T）2σ，即y（T）=- limσ→ 0K·e-（t）-σr（2）-T- tσ）asσ→ 0，r<<（T- t） /σ，我们可以忽略ry（t）=limσ→ 0K·（T）- t） σ·e-（t）-T）2σ=-N′（t）。（7.4）注意n（T）- N（a）=TZaN′（t）dt=-TZay（t）dtAsσ→ 0，存在（δ）→ 0使得| N（T- ) - N（0）|<δ，其中δ是一个小的正常数。

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2022-5-6 22:26:27

自N（T）- N（0）=-K、我们可以建立一个界限-（K）- δ） >N（T）- N（T）- ) > -这表明，如果在短时间内出现正收入波动，如TZT-y（t）≈ K、然后，这个问题就可以解决了，因为强制性的遗赠功能是用K值来保存财富-如果K是我们希望获得的价值，那么问题陈述将解释为投资者在T接近尾声时迅速取出K笔现金。任何多余的现金都会流入遗产B[T，ZT]，这会给剩余的现金带来最小但正的价值。这为我们提供了一个原始问题的可解决替代结构，即强制遗产由固定收入函数处理，其中收入函数在时间T趋于一个j olt。带强制遗赠的投资组合选择23我们现在将明确地计算更新后的等价问题。dz=[rz+y（t）- c（t）- （1+χv）v（t）]dtdz=[rz+v]dt+[sz]dBt（7.5）受性能函数jv，c的影响=中兴通讯-ρtc（t）γdt+e-ρTA′（x）- K） γ（7.6）和收入函数y（t）=limσ→ 0-K·（T）- t） σ·er-（t）-T）2σ，N（T）=0（7.7）我们需要求解两个未知函数W（T）和a（T），以确定HJB方程的解。利用（6.7）的系数、（7.4）的估计和（7.7）的终端条件，我们可以求解N（t）并导出w（t）=x+N（t）=limσ→ 0z+χ+1+χv1+（r- r） z+（K·e）-（T）-t） 2σ- K） =z+χ+1+χv1+（r- r） z- K·（1）- 1t=T）（7.8）由于伯努利方程在第5节中保持不变，a（T）不变：a（T）=γ - 1+经验u·（C）-t）一,-γu1.-然而，这一次遗赠函数要求a（T）=a′。求Cand，然后a（t）C=（1- γ） /u·对数（uA′1/（1）-γ)+ 1 - γ） +Ta（t）=“γ”- 1+（uA1/（1）-γ)+ 1 - γ） exp（u（T）-t）一,-γ)u#1-γ.

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2022-5-6 22:26:30

（7.9）最优控制u和c分别为：*（t，z）=uW（t）γ - 1+（uA1/（1）-γ)+ 1 - γ） exp（u（T）- t）一,- γ)-1v*（t，z）=（r）- r）（γ）- 1）s·1+（r）- r） χ+1+χvW（t）- Z（7.10）由于该问题与永久收入假设[8]密切相关，因此当投资者选择带有强制遗赠24强制遗赠功能的投资组合时，预计其消费会减少。事实上，在考虑有效总财富的同时，投资者将从其当前财富中减去她在T时需要支付的金额。常数A’衡量过剩现金的重要性，以及C*/A′取决于u的符号，它描述了现在还是将来消费更好。一个奇怪的情况是，当A′下降到0以下时——也就是说，如果投资者持有的某个金额超过了法定支付金额，那么她就被激活了。当u<0时，消费可能会更低，因为贴现系数将超过投资机会。当然，我们仍然必须注意a（t）>0的初始适配条件。动作控制*另一方面，根本没有考虑到遗赠功能。投资者将选择一种交易政策，在受其有效总财富约束时，该政策将最大限度地发挥预期效用。需要注意的是，当法定遗产价值增加时，W（t）增加，π减小，而基准π不变。从命题6.2来看，风险资产的最佳比例下降，而安全资产的最佳比例相应上升。直觉上，投资者正在走上一条更安全的道路，这样她对法定遗产的满足感就更为可靠。上一节对交易成本导致的交易行为进行了详细分析。8.

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