漂移部分信息下的均值-方差投资组合选择

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收藏 2022-06-11

英文标题：
《Mean-variance portfolio selection under partial information with drift
uncertainty》
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作者：
Jie Xiong, Zuo quan Xu and Jiayu Zheng
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
In this paper, we study the mean-variance portfolio selection problem under partial information with drift uncertainty. First we show that the market model is complete even in this case while the information is not complete and the drift is uncertain. Then, the optimal strategy based on partial information is derived, which reduces to solving a related backward stochastic differential equation (BSDE). Finally, we propose an efficient numerical scheme to approximate the optimal portfolio that is the solution of the BSDE mentioned above. Malliavin calculus and the particle representation play important roles in this scheme.
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中文摘要：
本文研究了具有漂移不确定性的部分信息下的均值-方差投资组合选择问题。首先，我们证明了即使在这种情况下，当信息不完整且漂移不确定时，市场模型也是完整的。然后，导出了基于部分信息的最优策略，该策略归结为求解相关的倒向随机微分方程（BSDE）。最后，我们提出了一种有效的数值格式来逼近最优投资组合，即上述BSDE的解。Malliavin微积分和粒子表示在该方案中起着重要作用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Mean-variance_portfolio_selection_under_partial_information_with_drift_uncertainty.pdf
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mingdashike22

2022-6-11 09:34:47

漂移不确定部分信息下的均值-方差投资组合选择*左权X u+郑家玉摘要本文研究了漂移不确定性部分信息下的均值-方差投资组合选择问题。首先，我们证明了市场模型是完全的，即使在这种情况下，信息是不完整的，漂移是不确定的。然后，导出了基于部分信息的最优策略，该策略归结为求解相关的倒向随机微分方程（BSDE）。最后，我们提出了一种有效的数值格式来逼近最优投资组合，即上述BSDE的解。Malliavin微积分和粒子表示在该方案中起着重要作用。关键词：均值-方差投资组合选择；Malliavin微积分；部分信息；漂移不确定性AMS主题分类：91B28、93C41、93E11*南方科技大学数学系和南方科技大学国际数学中心，深圳，518055。本文作者得到了国家自然科学基金61873325、11831010和南方科技大学创业基金Y01286220的资助。电子邮件：xiongj@sustech.edu.cn.+香港九龙香港理工大学应用数学系。作者感谢国家自然科学基金（编号11971409）、香港国家自然科学基金（编号15204216和15202817）和香港理工大学的资助。电子邮件：maxu@polyu.edu.hk.通讯作者。加拿大埃德蒙顿阿尔伯塔大学数学和统计科学系。本文得到了国家自然科学基金11901598的资助。

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mingdashike22

2022-6-11 09:34:50

电子邮件：jyzheng@outlook.com.1引言马科维茨（Markowitz）[19]开创的均值-方差投资组合选择模型为现代投资组合理论奠定了基础，并在金融经济学中得到了广泛应用。马科维茨在一个时期内提出并解决了这个问题。然而，半个世纪以来，由于方差最小化问题在动态规划意义上的不可分离结构，最优动态均值-方差投资组合问题没有得到解决。Li和Ng【12】以及Zho u和Li【29】通过嵌入方案分别在多周期和连续时间情况下克服了这一困难。从那时起，许多学者将注意力集中于研究马科维茨模型的动态扩展，例如，李等人【13】、林和周【15】、周和尹【30】、胡和周【10】、比莱基等人【5】、李和周【14】、邱和李【7】在连续时间环境中的动态扩展。所有这些工作都假设驱动股票价格的布朗运动对投资者来说是完全可观测的。然而，在现实中，投资者往往无法观察到驱动布朗运动，而股票价格是投资者做出决策所依据的唯一可观察信息。这一事实促使人们研究所谓的部分信息投资组合选择问题。熊和周[23]建立了分离原则，以分离部分信息均值-方差投资组合选择问题的过滤和优化问题。他们还开发了分析和数值方法，以获得过滤器以及解决相关的后向随机微分方程。Xu和Yi[24]研究了不确定性条件下股票贷款的最优赎回问题。

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能者818

2022-6-11 09:34:54

在他们的模型中，股票趋势的固有不确定性由一个分别代表牛市和熊市趋势的两态随机变量建模；投资者不知道股票的当前趋势，因此她/他必须根据部分信息做出决策。他们根据对股票走势的预测，得出最优赎回策略。本文研究了具有漂移不确定性的部分信息下的均值-方差问题。我们对文献的贡献总结如下：首先，我们表明，即使在这种情况下，当信息不完整且漂移不确定时，市场模型也是完整的。其次，推导了基于部分信息的最优策略，其中包括漂移的最优滤波器。第三，提出了一种有效的数值近似方法来解决漂移不确定性下均值-方差问题引起的BSDE。该方案是在条件期望近似的Malliavin演算方法的背景下研究的。我们还证明了数值格式的收敛性，并研究了欧拉近似和强大数定律（SLLN）引起的误差。论文的其余部分组织如下。第2节给出了滤波和Malliavin演算的一些初步结果。在第3节中，我们推导了漂移不确定性模型的后验概率过程相关的新息过程，并研究了部分信息下的优化问题。我们还证明了过滤（部分信息）下市场的完备性。第四节提出了一种新的数值格式，研究了其渐近行为，并给出了一些数值结果。2序言在本节中，为了方便读者，我们陈述了一些关于随机滤波和Malliavin微积分的基本事实。

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能者818

2022-6-11 09:34:57

我们请读者参阅Kallianpur【11】的第8.1-8.3节，以了解有关一般滤波问题和最优滤波器随机方程的更多详细信息，以及Nua lart和Nualart【20】关于Malliavin演算的书。设T为代表投资期限的固定正常数。让(Ohm, F，P）为完全概率空间，设Ft，t∈ [0，T]，是F的子σ场的一个不断增加的族。信号ht（ω）和观测值Zt（ω），t∈ [0，T]假设为定义在(Ohm, F，P），进一步相关如下：Zt（ω）=Zthu（ω）du+Wt（ω），（2.1），其中Wt是nn维维纳过程，ht（ω）是RN值，（t，ω）-满足zte（| ht |）dt<∞, （2.2）其中|·|表示N维向量的欧氏范数。此外，对于每个s∈ [0，T]，σ-字段Fh，Ws：=σ{hu，Wu，0≤ u≤ s} 和FWs：=σ{Wu′- 吴，s≤ u≤ u′型≤ T}是独立的。设{FZt}0≤t型≤t由Z生成的过滤。这种过滤称为观察σ场。设vt：=（vt，···，vNt）′，t∈ [0，T]是一个N维FZt适应的更新过程，也是一个N维FZt适应的布朗运动。我们列出了三个定理供参考。以下内容见【11】第8.3节（第208页）。定理2.1。在条件（2.1）和（2.2）下，三元可分FzT鞅Ytis中的每一个可分平方的样本路径都是连续的。并具有代表性- E（Y）=NXi=1ZtΦisdvis，t∈ [0，T]，（2.3），其中中兴通讯（|Φs |）ds<∞ （2.4）和Φs：=（Φs，···，ΦNs）′可连接测量，并适用于FZt。下一个定理称为Clark-Ocone公式（见[20]的定理6.1.1）。它用它的Malliavin导数的条件期望来表示一个平方可积随机变量。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:35:00

设B=（Bt）t≥0是概率空间上的多维布朗运动(Ohm, F，（Ft）t≥0，P），其中（Ft）t≥0是B和F的自然过滤=∨t型≥0英尺。用D表示Malliavin导数运算符。我们将Sobolev空间D1,2自由变量定义如下：D1,2=F∈ L(Ohm, F，P）：kF k1,2=E（| F |）+EhZ∞|DtF | dti<∞,其中L(Ohm, F，P）表示F-可测随机变量集。定理2.2（Clark-Ocone公式）。让F∈ D1,2∩ L(Ohm, 英尺，P）。然后，F接受以下表示F=E（F）+中兴通讯（DtF | Ft）dBt。设M（d，q，R）是一个矩阵的向量空间，其中d行和q列为R-va值列，k·k是标准欧氏范数。用Lp（0，T；Rd）表示所有Rd值{Ft}T的集合∈[0，T]-概率空间中的自适应过程f(Ohm, F、 P）其Lpnorm为有限，名称为KFKLP（0，T；Rd）：=EZT | f（t）| pdtp<∞.设Lp（F，Rd）为所有Rd值随机变量ξ的集合，其中Lpnormkξkp为有限：=（E |ξ| p）p<∞.[21]第7节中出现的下一个定理（定理7.2）说明了解（Xt）t的Euler格式的误差近似∈[0，T]到d维随机微分方程dxt=b（T，Xt）dt+σ（T，Xt）dWt，（2.5），其中b：[0，T]×Rd→ Rd，σ：[0，T]×Rd→ M（d，q，R）a R e连续函数，W=（Wt）t∈[0，T]表示概率空间上定义的q维标准布朗运动(Ohm, F、 P）和X：(Ohm, F、 P）→ RDI是一个随机向量，与W无关。带有步长的离散时间Euler格式由“Xtnk+1=”Xtnk+Tnb定义tnk，(R)Xtnk+ σtnk，(R)XtnkrTnZnk+1，(R)X=X，k=1，···，n-1，其中tnk=kTn，k=1，····，n和（Znk）1≤k≤ndentes由znk：=rnT给出的独立且相同分布的随机向量序列Wtnk公司- Wtnk公司-1., k=1，···，n。定理2.3（Euler格式的强速率）。

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能者818

2022-6-11 09:35:02

假设DE（2.5）的系数b和σ满足以下正则条件：存在实常数Cb，σ，T>0和expo-entβ∈ （0，1）对于所有s，t∈ [0，T]，x，y∈ Rd，| b（t，x）- b（s，x）|+kσ（t，x）- σ（s，x）k≤ Cb，σ，T（1+| x |）| T- s |β，（2.6）| b（t，x）- b（t，y）|+kσ（t，x）- σ（t，y）k≤ Cb，σ，T | y- x |。（2.7）那么对于所有p>0，存在一个普适常数κp>0，仅取决于p，因此对于每个n≥ Tsup0≤k≤n | Xtnk-(R)Xntnk|p≤ K（p，b，σ，T）（1+kXkp）田纳西州β∧, （2.8）式中，k（p，b，σ，T）=κpC′b，σ，Teκp（1+C′b，σ，T）TandC′b，σ，T=Cb，σ，T+maxt∈[0，T]| b（T，0）|+最大值∈[0，T]kσ（T，0）k<+∞. （2.9）3问题公式3.1模型设置假设(Ohm, F、 P，{Ft}t≥0）是一个完整的过滤概率空间，代表金融市场。过滤离子{Ft}t≥0表示满足通常条件，P表示概率度量。在这个概率空间中，存在一个标准的一维布朗运动W。标的股票的价格过程用St，t表示∈ [0，T]，满足随机微分方程（SDE）：dSt=uStdt+StdWt，（3.1），其中u是随机的，与布朗运动W无关，可能只取满足γ=a的两个可能值a和b：- b>0。当u=a时，股票处于牛市趋势，当u=b时，股票处于熊市趋势。截至时间t的信息由gt：=σ（Ss:s）给出≤ t），t∈ [0，T]。后验概率过程π=（πt）t∈[0，T]定义为πT：=P（u=a | Gt）。（3.2）它用于估计股票在时间t处于牛市趋势的可能性。假设0<π<1。这意味着目前尚不清楚该股在0时是处于牛市趋势还是熊市趋势。让ut（称为投资组合）为t.definition 3.1时投资于股票的金额。

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能者818

2022-6-11 09:35:07

如果投资组合（或交易策略）的所有价值变化都是由于投资实现的收益或损失造成的，即任何时候都没有从投资组合中借入或撤出资金，则该投资组合（或交易策略）称为自我融资。如果投资组合是Gt改编、自我融资且中兴通讯（ut）dt<∞.用YT表示代理人的财富过程和utan可接受的交易策略。从初始财富y>0开始，y满足以下财富方程：dYt=（uut+（Yt- ut）r）dt+utdWt，t∈ [0，T]，Y=Y.（3.3），其中r表示利息率。我们的目标是解决以下优化问题（MV）：根据约束条件e（YT）=z，其中Ytis由（3.3）给出，z是给定的正数，找到最佳容许投资组合utto最小化Var（YT）。作为观察，对数价格过程L=（log St）t∈[0，T]，通过It^o引理，满足以下SDEdLt=u -dt+dWt。（3.4）然后，创新过程νt=Lt-Zt公司b-+ γπsds（3.5）是关于观察过滤Gt的布朗运动。很容易（见[11]，第8.1章）验证πt是以下SDE：dπt=γπt（1- πt）dνt，π=P（u=a）。（3.6）通过（3.3）和（3.5），我们得到Y的νt驱动表示：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，t∈ [0，T]，Y=Y.（3.7）3.2部分信息下的优化优化问题（MV）通过状态方程（3.7）和约束E（YT）=z将Var（YT）最小化。设ρT：=exp-Zt（b- r+γπs）dνs-Zt（r+（b- r+γπs）ds. （3.8）将It^o公式应用于ρt，我们得到ρt=-rρtdt-（b）- r+γπt）ρtdνt.（3.9）进一步，将它的公式应用于Ytρt，我们得到了（Ytρt）=（Yt（rρt- uρt）+utρt）dνt。因此，Ytρ是一个Gt鞅，因此，E（Ytρt）=y。用v表示Yt。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:35:10

为了找到最佳投资组合，我们寻求最佳GT可测量的最终财富v，以最小化方差E（v- z）（3.10）受约束V=z和E（ρTv）=y.（3.11）设H：=L(Ohm, GT，P）。对于X∈ H、 letkXkH：=E（X）.然后，H是赋范数k·kH的Hilbert空间。注意E（v- z） =千伏- 0公里- z、因此，最优v是0在超平面{v上的投影∈ H:Ev=z，E（vρT）=y}。3.3市场的完整性用LG（0，T；R）表示[0，T]上所有R值、Gt适应过程f（T）的集合，使得Ezt | f（T）| dt<∞.然后LG（0，T；R）变成了一个具有normkfkLG（0，T；R）的希尔伯特空间：=EZT | f（t）| dt.定义3.2。未定权益v∈ 如果存在Φs，则称H为可达到∈ LG（0，T；R），使得vρT=E（vρT）+ZTΦsdνs.（3.12）表示AC（G）收集的所有可实现或有权益。那么AC（G）是H的一个空间。用H中AC（G）在范数k·kH下的闭包表示。定义3.3。如果H=H，市场是完整的。下面的陈述令我们非常惊讶。也就是说，尽管信息不完整，漂移不确定，但市场是完整的。值得一提的是，在[23]中，对于他们的模型，完整性是开放的。由于缺少CompletenesResult，文[23]的作者转而在空间H中搜索最优解v。定理3.1。市场是完整的。证据自H起 H、必须显示H H、对于任何V∈ H、设Vn=V min{| V|-n、 1}。然后（Vn- V）=V | V |>1（| V|-n- 1 )≤ V | V |>1≤ 五、自V起∈ H、我们有E | V |<∞. 利用支配收敛定理，limn→∞kVn公司- V kH=limn→∞E[（Vn- V）]=Ehlimn→∞V | V |>1（|V|-n- 1）i=0。因此，如果我们可以显示Vn∈ AC（G），那么V在正规k·kH下是AC（G）的闭包，即V∈ H、下面是索赔。现在显示Vn∈ 任意n的AC（G）≥ 1、通知对象| Vn | 2+n=E|V |（1-n）（2+n）| V |>1+| V | 2+n | V|≤1.≤ E（| V | V |>1+1）<∞,so Vn∈ L2+n。

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何人来此

2022-6-11 09:35:13

通过H¨older不等式，我们得到了e | VnρT|≤E | Vn | 2n+12n2n2n+1Eρ2（2n+1）T2n+1<∞,作为EρpT<∞, 对于所有p>1。因此E（VnρT | Gt）是一个平方可积鞅。根据定理2.1，我们得到了（VnρT | Gt）- E（Vnρ）=ZtΦsdνs，t∈ [0，T]，（3.13）对于某些Φs∈ LG（0，T；R）。当t=t时，由于Vnρt是可测量的，因此上述方程将减小到Vnρt- E（Vnρ）=ZTΦsdνs，（3.14），这意味着Vn∈ AC（G）。如【23】所示，对于【23】中的模型，优化问题的最优终端v由v=（zhβ，βiH）给出- xhα，βiH）α+(-zhα，βiH+xhα，αiH）βhα，αiHhβ，βiH- hα，βiH，（3.15），其中α，β分别是Hof 1和ρT上的正交投影。在完备性假设下，在[23]中给出了一个数值格式。虽然该数值格式可以扩展到当前模型，但我们将为我们的模型提出一个更有效的数值格式，这是本文的主要贡献之一。3.4找到类似于[23]的最优策略，终端问题可以如下解决。引理3.1。问题（3.10）的最优终端财富为v=zE（ρT）- yEρT+（y- zEρT）ρTVar（ρT），（3.16），其中ρT由（3.8）给出。在找到最佳终端财富后，我们寻求一个投资组合来实现它。即，对于（3.16）给出的v，我们需要找到以下BSDE的解决方案：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，t∈ [0，T]，YT=v.（3.17）定理3.2。最优投资组合由ut=（b）给出- r+γπt）Yt+ρ-1tηt，（3.18），其中ηt∈ LG（0，T；Rd）由马丁格尔e表示定理（θ| Gt）=e（θ）+Ztηsdνs唯一确定，t型∈ [0，T]，（3.19）和θ=ρTYT。证据

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能者818

2022-6-11 09:35:16

如上所述，我们需要寻求以下正向反向SDE的解决方案：dYt公司=（b+γπt- r） ut+rYtdt+utdνt，Y=Y，dπt=γπt（1- πt）dνt，dρt=-rρtdt-（b）- r+γπt）ρtdνt，ρ=1，π=c，YT=c+cρt，（3.20），其中c=P（u=a），c=zEρt-yEρTVar（ρT）和c=y-zEρTVar（ρT）是已知常数。为了证明ρt的可逆性，我们通过以下SDE定义Φt：dΦt=（r+（b- r+γπt））Φtdt+（b- r+γπt）Φtdνt，Φ=1。（3.21）将It^o公式应用于ρtΦt，我们得到（ρtΦt）=0，因此，ρtΦt≡ ρΦ= 1. 由于ρtYtis a mar tingale，则nyt=ρ-1tE（ρTYT | Gt）=ρ-1tE（θ| Gt）=ΦtE（θ| Gt）。（3.22）将It^o公式应用于（3.22），并将结果与（3.20）进行比较，得到最优投资组合的表达式（3.18）。下一节的目标是求FBSDE（3.20）的数值解（ut，Yt，πt，ρt）。1990年，基于Malliavin calculusPa rdoux和Peng[2 2]的4种数值格式获得了非线性BSDE的唯一可解性结果。此后，越来越多的文献研究了BSDE的数值方法（[17]、[8]、[1]、[18]、[16]、[28]、[2]、[3]、[9]、[27]）。在[4]中，Malliavin微积分方法和MonteCarlo近似被用于研究条件期望，在Zhang的博士论文[26]中，还研究了在较弱条件下使用Malliavin导数的BSDE的一些精细性质。然而，上述工作基于BSDE漂移系数具有确定性的设置。我们不能将这些数值模式直接应用于我们的模型。在熊和周的[23]模型中，漂移项中出现的Utan和Yt的系数通常是随机的。他们对具有随机系数的BSDE的解（ut，Yt）提出了一种数值近似（unt，Ynt）。

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能者818

2022-6-11 09:35:20

然而，由于技术困难，只有YNTO的收敛性得到了验证，而投资组合的收敛性问题没有得到解决。Yntto Ytis的收敛速度在那篇论文中没有确定。在本节中，我们为BSDE（3.17）提出了一个有效的数值方案f，其中终端值v的形式为c+cρT，其中c、care常数和ρ是一个马利雅文可区分的微分过程（详细计算见定理4.1）。借助Malliavin演算，我们证明了我们的投资组合方案和财富过程在强Lsense中收敛，并导出了收敛速度。表示N（t）：=E（θ| Gt）。我们注意到，熊和周[23]的BSD Es数值格式的主要复杂性来自被积函数ηtin（3.19）的近似，这很难直接计算。他们使用下面的程序来近似ηt：首先，他们将[0，t]划分为n个区间，并通过分区点上的离散版本来近似二次协变量过程：=hN，νit=Ztηsdsb。他们进一步将上述每个子区间划分为更小的子区间，并获得ηs，s的近似值≤ t、这一过程的计算效率不高，因为双分区会极大地增加错误。这将在下一节的数值示例中看到。为了克服上述数值格式的上述缺点，我们转而使用Malliavin演算中的Clark-Ocone公式来获得ηt的显式表达式。事实上，这将是Malliavin导数的条件期望。我们的数字模式将基于此表示。定理4。我们可以表示ηtas E（Dtθ| Gt），其中Dt是Malliavin导数算子。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:35:23

此外，Dtθ=（c+2cρT）DtρT（4.1）和DtρTis给出n byDtρT=ρT-ZTtγ（b- r+γπs）Dtπsds- （b）- r+γπt）+ZTtγDtπsdνs, （4.2）dtπs=γπt（1- πt）expZstγ（1- πr）dνr-Zstγ（1- 2πr）dr. （4.3）证明。注意θ=ρTYT=cρT+cρT，因此，（4.1）通过在两侧应用Malliavin导数。ρT=exp-ZT[r+（b- r+γπs）]ds-ZT（b- r+γπs）dνs,直接计算得出（4.2）。将Malliavin导数应用于恒等式积分形式（3.6）的两侧，wegetDtπs=γπt（1- πt）+Zstγ（1- 2πr）Dtπrdνr.（4.4），然后，（4.3）求解线性SDE（4.4）。最后，（4.1）遵循第2节中给出的ClarkOcone公式。备注4.1。我们的方法基于ρTso的Malliavin微分，即（3.17）的解可以明确表示。在本文中，我们的设置是一个漂移不确定的ty模型，u只取两个值，然而，整个分析可以推广到一个具有多个风险资产的模型，其中漂移向量取有限状态，在此假设下，我们仍然可以推导出ρT.4.1数值格式的Malliavin可微性及其基于定理4.1的分析，很容易证明ηt=E（Dtθ| Gt）：=N（t）+γN（t）+γN（t），其中Nj（t）=E（Ij | Gt），j=1，2，3，其中i=-（cρT+2cρT）（b- r+γπt，（4.5）I=（cρt+2cρt）zttdtdtπsdνs，（4.6）I=-（cρT+2cρT）ZTt（b- r+γπs）Dtπsds，（4.7）和Dtπsis由（4.3）给出。在定理3.2的证明中，求解最优投资组合的关键是Gt鞅E（θ| Gt）的鞅表示。我们将建立这个鞅的粒子表示f。（3.9）的解由ρt=exp给出-Zt（b- r+γπs）dνs-Zt（r+（b- r+γπs）ds, （4.8）表示▄ρt：=对数ρt，然后d▄ρt=-（b）- r+γπt）dνt- （r+（b- r+γπt）dt。

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kedemingshi

2022-6-11 09:35:26

（4.9）为了近似E（πt | Gt′），我们使用条件SLLN，使得π由（3.6）给出，其中νsbe替换为νiss表示s≥ t′，其中νi，i=1，2，····是ν的独立副本。更准确地说，我们用两个时间指数定义了以下过程πi（t，t′），如下所示：≤ t′，πi（t，t′）=πt，对于t≥ t′，dπi（t，t′）=γπi（t，t′）（1- πi（t，t′）dνit，πi（t′，t′）=π（t′）。（4.10）为了近似E（ρt | Gt′），我们使用E（exp（|ρt）| Gt′）。对于t≤ t′，ρi（t，t′）=ρt，和fort≥ t′，dρi（t，t′）=-（b）- r+γπi（t，t′）dνit- （r+（b- r+γπi（t，t′）dt，|ρi（t′，t′）=|ρ（t′）。（4.11）通过条件SLLN，我们可以很容易地证明下列恒等式。提案4.1。表示ρi（T，T）=exp（|ρi（T，T）），我们有（T）=-（b）- r+γπt）limm→∞mmXi=1（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）），N（T）=limm→∞mmXi=1（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）））zttdtdtπi（s，T）dνis，N（T）=limm→∞mmXi=1-（cρi（T，T）+2c（ρi（T，T）））ZTt（b- r+γπi（s，t））Dtπi（s，t）ds。为了近似Nk（t），（k=1，2，3），我们使用离散Euler格式来近似πt。为了便于记法，从现在起我们假设t=1。然后，我们将时间间隔[0，1]离散为n个小间隔，并设δ=n。注意，SDE（3.6）中的扩散系数为σ（x）=γx（1- x），不满足全局Lipschitz条件（2.7）。为了克服这一障碍，我们将σ（x）定义为以下σ（x）=γx（1- x），x∈ [0，1]，0，x/∈ [0, 1].使用πt的事实t∈ [0，1]对于所有t∈ [0，T]，很容易看出，π是以下SDEdπT=(R)σ（πT）dνT.（4.12）的解，该SDE满足全局Lipschitz条件（2.7），所以π是唯一解。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:35:30

因此，我们通过将Euler格式应用于（4.12）而不是SDE（3.6）来近似πtb。首先，我们定义πi，δ（t，t′），t，t′≥ 0，分两步执行。对于l≤ k、设πδ（lδ，kδ）：=πδ（（l- 1） δ，kδ）+σ（πδ（（l- 1） δ，kδ）νlδ- ν（l-1)δπδ（0，kδ）：=c（c是[0，1]中的常数）；对于l>k，设πi，δ（lδ，kδ）：=πi，δ（（l- 1） δ，kδ）+σ（πi，δ（（l- 1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ.对于l≤ k、设ρδ（lδ，kδ）：=expρδ（（l- 1） δ，kδ）- δ（r+（b- r+γπδ（（l- 1） δ，kδ）））-（b）-r+γπδ（（l- 1） δ，kδ）νlδ- ν（l-1)δ; （4.13）对于l>k，设ρi，δ（lδ，kδ）：=expρi，δ（（l- 1） δ，kδ）- δ（r+（b- r+γπi，δ（（l- 1） δ，kδ）））-（b）- r+γπi，δ（（l- 1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ, （4.14），其中|ρδ=0。类似地，表示￠Φt=对数Φt，并让￠Φδkδ：=￠Φδ（k-1)δ+ δr+b- r+γπδ（（k- 1） δ，kδ）+b- r+γπδ（（k- 1） δ，kδ）νkδ- ν（k-1)δ,当||Μδ=0时。那么Φδkδ=exp（|Φδkδ）。接下来，我们用Nm近似Ni（t），δi（kδ），（i=1，2，3；m与SLLN相关，稍后选择）。对于所有s∈ [t，t]，t∈ [0，T]，设k=[nt]，j=[ns]。然后t∈ [kδ，（k+1）δ）和s∈ [jδ，（j+1）δ）。我们将Nm，δi（kδ），（i=1，2，3）定义如下：Nm，δ（kδ）=-b- r+γπδ（kδ）mmXi=1cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））,Nm，δ（kδ）=mmXi=1cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））Si，δ（T，kδ），Nm，δ（kδ）=mmXi=1-cρi，δ（T，kδ）+2c（ρi，δ（T，kδ））Si，δ（T，kδ），其中Si，δ（T，kδ）=n-kXl=1Dkδπi，δ（（l+k-1） δ，kδ）νilδ- νi（l-1)δ,Si，δ（T，kδ）=n-kXl=1δ（b-r+γπi，δ（（l+k- 1） δ，kδ））Dkδπi，δ（（l+k- 1） δ，kδ）。在上述公式中，Dkδπi，δ（jδ，kδ），（j=k，··，n-1）仍然是随机积分。根据（4.4），我们仅在一步中确定Dkδπi，δ（jδ，kδ）。即，对于j≥ k、我们定义了kδπi，δ（jδ，kδ）：=Dkδπi，δ（（j- 1） δ，kδ）+γ1.- 2πi，δ（（j- 1） δ，kδ）Dkδπi，δ（（j- 1） δ，kδ）νijδ- νi（j-1)δ对于Dkδπi，δ（kδ，kδ）=γπkδ（1- πkδ）。最后，我们得到ηδ，mkδ=Nm，δ（kδ）+γNm，δ（kδ）+γNm，δ（kδ）。

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nandehutu2022

2022-6-11 09:35:33

（4.15）综上所述，我们可以近似计算y和ut，kδ≤ t<（k+1）δ，Yδ，mkδ和uδ，mkδ，其中Yδ，mkδ=ΦδkδmmXi=1cρi，δ（T，kδ）+cρi，δ（T，kδ）（4.16）anduδ，mkδ=（b- r+γπδkδ）Yδ，mkδ+Φδkδηδ，mkδ。（4.17）定理4.2。存在一个常数C，使得对于任何kδ≤ T=1，we h avekukδ- uδ，mkδk≤ C√δ +√m级andkYkδ- Yδ，mkδk≤ C√δ +√m级.证据因为我们对满足定理2.3中所有条件的新方程（4.12）应用了Euler格式。

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能者818

2022-6-11 09:35:37

因此，kπ- πδk≤ C√δ.此外，由于Φt、ρ和Dtρ是由指数随机积分给出的，然后由Burkholder-Davis-Gundy不等式和H¨older不等式给出，我们得到了kΦ- Φδk≤ C√δ、 kvρ- vδρδk≤ C√δ、 kDtρ- Dtρδk≤ C√δ.根据表达式（3.18）和近似值（4.17），我们首先估计ukδ和uδ之间的误差，mkδ，ukδ- uδ，mkδ≤Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）+ΦkδE（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）- ΦδkδmmXi=1cDkδρi，δ（T，kδ）+2cρi，δ（T，kδ）Dkδρi，δ（T，kδ）:= J+J，（4.18），其中J=Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤Φkδ（b- r+γπkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ（b- r+γπδkδ）E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）- Φδkδ（b- r+γπδkδ）mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤Φkδ（b- r+γπkδ）-Φδkδ（b- r+γπδkδ）×E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ（b- r+γπδkδ）×E（v（T，kδ）ρ（T，kδ）| Gkδ））- Evδ（T，kδ）ρδ（T，kδ）| Gkδ+Φδkδ（b- r+γπδkδ）×Evδ（T，kδ）ρδ（T，kδ）| Gkδ-mmXi=1（vi，δ（T，kδ）ρi，δ（T，kδ）≤ C√δ +√m级, （4.19）andJ≤Φkδ- Φδkδ×E（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ×E（cDkδρ（T，kδ）+2cρ（T，kδ）Dkδρ（T，kδ）| Gkδ）- E（cDkδρδ（T，kδ）+2cρδ（T，kδ）Dkδρδ（T，kδ）| Gkδ）+Φδkδ×E（cDkδρδ（T，kδ）+2cρδ（T，kδ）Dkδρδ（T，kδ）| Gkδ）-mmXi=1cDkδρi，δ（T，kδ）+2cρi，δ（T，kδ）Dkδρi，δ（T，kδ）≤ C√δ +√m级. （4.20）到（4.19）和（4.20），我们已经ukδ- uδ，mkδ≤ C√δ +√m级.同样，我们可以证明Ykδ- Yδ，mkδ≤ C√δ +√m级, （4.21），如果我们取m=n（在这种情况下，δ=m），则收敛到0。备注4.2。在熊和周的[23]模型中，只有Yntto Ytis的收敛性得到了证明，然而，由于技术上的困难，Yntto Ytis的收敛速度并没有在该论文中建立。

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kedemingshi

2022-6-11 09:35:40

上述定理不仅证明了Yntto Yt的收敛性，而且还证明了收敛速度。请注意，我们的nume-ri-cal方案中的错误包括来自Euler ap近似的错误和来自SLLN的错误。从这个角度来看，在漂移不确定性模型下，我们提出的数值格式比[23]的更有效。4.2数值结果在最后一小节中，我们证明了数值格式的收敛性。现在，我们使用Matlab给出一个示例，将我们的方法与[23]的方法进行比较。为此，我们首先构造漂移项为随机项的aBSDE，并且可以显式计算解（X（t），Z（t））。然后，通过应用两种不同的模式，我们得到了（X（t），Z（t））的数值近似。接下来，我们将这两种近似值与实际解进行比较。最后，应用新算法对漂移不确定性模型进行了仿真。为方便起见，我们将熊和周[23]提出的数值方法称为“旧算法”，将我们提出的数值方法称为“新算法”，将显式解称为“真值”。对于表示的外观，我们现在编写Wtas W（t）（尤其是当t具有复杂表达式时）。LetH（t）=Zt（1+W（s））dW（s）-Zt（W（s）+2W（s））ds。我们考虑具有如下随机系数的BSDEdX（t）=-1.- 2W（t）- W（t）X（t）- （1+W（t））Z（t）dt+Z（t）dW（t），X（t）=expH（T）- 2吨, t型∈ [0，T]。（4.22）按照步骤（见[25]第7章定理2.2），我们可以显式求解上述线性BSDE（4.22）asX（t）=eH（t）-2t，Z（t）=（1+W（t））X（t）。（4.23）为简单起见，设T=1。我们将[0，1]离散为nn个小区间。表示δ=nandδ=nn。设θ=expRT（1+W（s））dW（s）- 2RT（1+W（s））ds和Φ（t）=e-H（t）。

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大多数88

2022-6-11 09:35:43

使用旧算法，（X（t），Z（t））的近似值如下所示：Xm，δ（t）=Φδ（t）Nm，δ（t），Zm，δ（t）=-Xm，δ（t）+Φδ（t）ηm，δ（t），其中N（t）=E（θ| FWt），Φδ（t）是由Euler格式生成的Φ（t）的近似值，Nm，δ（t）是由粒子表示和Euler格式生成的N（t）的近似值，ηm，δ千牛:= nnXj=1Nm，δk- 1n+jnn- Nm，δk- 1n+j- 1nn×Wδk- 1n+jnn- Wδk- 1n+j- 1nn, （4.24）k=1，2，···，n- 1，n，n=1，2，···。另一方面，由于θ是Malliavin可微分的，我们得到η（t）：=EDtθ| FWt= EeRTt（1+W（s））dW（s）-2RTt（1+W（s））dsh2W（T）- 4ZTt（1+W（s））ds+2iFWt公司.（4.25）根据新算法，（X（t），Z（t））的近似值如下所示：Xm，δ（t）=Φδ（t）Nm，δ（t），Zm，δ（t）=-Xm，δ（t）+Φδ（t）ηm，δ（t），其中ηm，δ（t）是由粒子表示和Euler格式生成的η（t）的近似值。使用上述算法，我们生成以下图表。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11000个离散区间0.51.5真值新算法旧算法图1:X（t）带100个离散区间0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1100个离散区间-1.5-1-0.50.51.5真值新算法旧算法图2:Z（t）带100个离散区间0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 11000离散间隔0.20.40.60.81.2真值新algorithmold算法图3:X（t）带10个离散区间0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 11000个离散区间-1.5-1-0.50.51.5真值新算法图4:Z（t）带10个离散区间从图1、2、3、4可以看出，我们的新数值格式很好地逼近了真过程X（t）和Z（t）。新方案生成的X（t）和Z（t）g曲线与真实过程几乎相同。

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能者818

2022-6-11 09:35:46

相比之下，旧方案产生的pat H相对较低，这是由于该方案的主要缺点是双重分区。新算法通过使用Malliavin演算克服了这一缺点。最后，我们应用我们的高效数值格式模拟了漂移不确定性模型的财富过程Y和最优控制UT。我们选择的参数如下：n=1000，δ=，m=1000，r=0.03，a=0.04，b=0.032，y=100，z=y·（1+r+0.03），π=0.1。下图5是创新过程νt、财富过程y和最优控制ut的数值结果。0 0.5 1创新过程-1-0.50.50 0.5 1财富过程0.5 1最优控制30.531.5图5：具有10个离散区间的漂移不确定性模型。参考文献【1】V.Bally。反向随机微分方程中BSDE解的近似格式，Pitman R es。数学笔记。序列号。177-1911997年，英国哈洛朗曼364号。[2] V.Bally和G.Pag\'es。解决离散时间多维最优停止问题的量化算法，Bernoulli，6，1–4 7，2003。[3] V.Bally和G.Pag\'es。障碍物问题最优量化算法的误差分析，随机过程。应用程序。，106, 1–40, 2003.[4] B.Bouchard、I.Ekeland和N.Touzi。关于条件期望、金融和随机的蒙特卡罗近似法的Malliavin方法，8（1），45-712004。[5] T.R.Bielecki、H.Q.Jin、S.R.Pliska和X.Y.Zhou。连续时间均值Va ri a ncePortfolio Selection with Bankreption，Math。《财务》第15213-2442005页。[6] F.Biagini。《资产定价第二基本定理》，R.Cont，ed.，定量金融百科全书（英国奇切斯特约翰·威利父子出版社），1623-16202010年。[7] M.C.Chiu和D.Li。连续时间均值方差优化框架下的资产负债管理，保险：数学经济。

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mingdashike22

2022-6-11 09:35:50

39, 330-355, 2006.[8] J.Douglas，Jr.、Jin Ma和P.Protter。前向后随机微分方程的数值方法，Ann。应用程序。问题。，6, 940–968, 1996.[9] E.Gobet、J.P.Lemor和X.Warin，一种基于回归的蒙特卡罗方法，用于求解反向随机微分方程，Ann。应用程序。概率。15, 2172-2202, 2004.[10] 胡勇和周小燕。具有随机系数的约束随机随机LQ控制及其在投资组合选择中的应用，SIAM J.Contl。选择44, 444-466, 2005.[11] G.Kallianpur。随机滤波理论。纽约柏林斯普林格出版社，1980年。[12] D.Li和W.L.Ng。最优动态投资组合选择：多期均值方差公式，数学。《金融》10387-4062000。[13] 李学友、周学友和林爱斌。无卖空约束的动态均值-方差投资组合选择，暹罗J.Contl。选择40, 1540-1555, 2001.[14] X.Li a和X.Y.Zhou。连续平均方差效率：80%规则，Ann。应用程序。概率。16, 1751-1763, 2006.[15] A.E.B.Lim和X.Y.Zhou。完全市场中随机参数的均值-方差投资组合选择，数学。操作员。第27、101-120、2 002号决议。[16] J.Ma、P.Protter、J.San Martin和S.Torres。反向随机微分方程的数值方法，Ann。应用程序。概率。，12, 302–316, 2000.[17] J.Ma、P.Protter和J.Yong。显式求解正倒向随机微分方程——一种四步格式，Probab。理论相关领域，98339–3591994。[18] 马俊杰和杨俊杰。向前向后的S-tochastic微分方程及其应用，数学课堂讲稿。1702年，斯普林格·维拉格，纽约，1999年。[19] H.M.马科维茨。《投资组合选择》，J.Finance 7，77-911952年。[20] D.Nualart和E.Nualart。Malliavin微积分简介。剑桥大学出版社，剑桥，2018年。【21】G.帕格斯。

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kedemingshi

2022-6-11 09:35:54

数字概率：金融应用导论。巴黎斯普林格，2018年。[22]E.Pardoux和S.G.Peng。倒向随机微分方程的自适应解，系统控制。，14、55–61990年，[23]熊俊杰和周小燕。部分信息下的均值方差投资组合选择，暹罗J.Contl。选择46, 156-175, 20 07.【24】徐志强、易福华。漂移不确定性下S股票贷款的最优赎回策略，数学。操作员。是的。45 , 384-401, 2020.[25]J.Yong和X.Y.Zhou。随机控制：哈密顿系统和HJB方程。斯普林格，纽约，1999年。[26]J.Zhang。《后向随机微分方程的某些性质》，普渡大学博士论文，西拉斐特，2001年。[27]J.Zhang。BSDE的一种数值格式，Ann。应用程序。概率。14, 459- 488, 2004.[28]Y.Zha ng和W.Zheng。离散倒向随机微分方程，国际数学杂志。数学Sci。32, 103–11 6, 2002.[29]X.Y.Z ho u和D.L i.连续时间均值-方差投资组合选择：随机LQ框架，应用。数学选择42, 19-33, 200 0.【30】周晓勇、尹国荣。Markowitz的均值-方差组合选择与区域切换：一个连续时间模型，SIAM J.Contl。选择42, 1466-1482, 2003.

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