基于因子模型的基数约束投资组合选择

2022-6-1 05:36:35

简介投资组合选择问题涉及根据投资者的风险偏好选择一组金融资产，并按什么比例进行选择，以获得最大的预期回报。分配给投资组合的资产的选择可以使用不同的方法进行管理：最小风险分配、等权重、风险平价、夏普比率等。J、 F.Monge：基于因子模型的基数约束投资组合选择在Markowitz（1952）的研讨会工作中，通过所选资产的预期价值和方差来评估回报和风险。马科维茨引入了效率前沿的概念，并指出存在一组最优投资组合，而不仅仅是一个。classicalMarkowitz模型可以表示为二次线性模型，投资者可以在风险水平w*= argwmax{wTus.t.wT∑w=σ*, wT1=1}，或在回报水平下最小化风险，w*= argwmin{wT∑w s.t.wTu=r*, wT1=1}，其中w表示投资组合中的权重向量，u表示预期回报向量，以及∑预期回报协方差矩阵。当与回报水平相关的约束放松时，会给出一个非常重要的投资组合，从而获得全局最小风险解决方案。此解决方案在文献中很重要。例如，在（DeMiguel et al.2009）中，作者表明，与传统的均值-方差投资组合相比，最小方差投资组合更可靠、更稳健。另一个重要的投资组合是在考虑回报/风险的权衡目标函数时给出的，w*= argwmax{wT∑w-λwT∑w s.t.wT1=1}，其中λ是风险规避系数。

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2022-6-1 05:36:38

虽然我们在本文中考虑了最小方差组合，但我们将看到结果可以很容易地应用于上述目标函数。因子模型理论通过参数β，将每项资产的预期收益建立为风险因素的线性函数，其中β是单个资产对投资组合的风险贡献的度量。因子模型之父是W.F.Sharpe，其资本资产定价模型（CapitalAsset Pricing Model，CAPM）理论见（Sharpe 1963、1964）。马科维茨均值-方差框架要求估计大量参数。如果有n个资产，我们需要估计n个均值、n个方差和n（n-1） /2协方差，0（n）。因子模型需要估计的参数较少；顺序由因子的数量m给出，即O（m），其中因子的数量m远小于n。基数约束投资组合问题是文献中的经典问题。在（Changet al.2000）中，作者提出了基数J有效前沿的几个性质。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择经典均值-方差Markowitz模型中的约束问题，给出了解的性质，例如，显示了效率边界的不连续性，也因为传统的目标函数均值/风险交易最小化不能提供所有的有效解。作者还针对这个问题提出了不同的启发式方法，而（Woodside Oriakhi et al.2011）与甲烷启发式方法有关。（Cesarone et al.2013）分析了问题的精确解决方案，其中作者提出了一种适用于中等规模问题的精确算法，为较大问题提供了良好的近似。在（Shaw et al.2008）中，作者提出了基数约束投资组合问题的拉格朗日分解方案。

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2022-6-1 05:36:41

给出了协方差矩阵在两个矩阵中的分解；一个对角矩阵包含每项资产的风险，另一个非对角矩阵包含各因素之间的协方差。这个想法使他们能够减少要解决的二次问题的维数。有关拉格朗日分解模式在该问题上的另一个应用，请参见（Gao和Li 2013）。参见（Bertsimas 2009）中的一个替代程序，该程序基于将一系列问题转化为树搜索来解决。文献中关于基数约束问题的另一种选择是指成批进行的投资，多余资本流向无风险资产，参见（Li et al.2006）。在（Castro et al.2011）中，作者提出了一种代数算法来解决线性和非线性约束下具有线性目标函数、期望收益的整数问题。以上所有的论文都只涉及经典的马科维茨模型；这些论文没有在因子模型中整合基数约束。据我们所知，文献中不存在结合因子模型和基数约束的论文。这项工作的主要贡献与二次因子模型问题的线性近似有关。本文考虑了两种线性近似；第一种是通过分段线性函数，第二种是在解决方案中施加相等的权重。因子模型协方差矩阵中存在的奇异性使我们能够利用Cplex解算器之上的优势。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择本文的其余部分组织如下。

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2022-6-1 05:36:44

第2节讨论了因子模型的主要概念，并通过因子模型介绍了基数约束最小方差问题的数学表示法、该问题的分段线性近似以及施加等权约束的模型。第三节研究考虑单一因素的问题；文中还给出了这一新组合问题的理论结果和解决该问题的启发式算法。第4节报告了文献中使用的一组实例的计算结果。最后，第5节总结并概述了未来的计划。2、风险资产因子模型i∈ 一、因子模型假设资产I的回报率Rio由I=αI+βiF+i、其中F=（F，…，fm）是称为因子的随机变量向量，其中e（fl）=0，αi∈IR是一个常数，βi∈IRmis是一个常量向量iis a（误差）平均值为零随机变量，与因子E不相关(i） =0和E(i·fl）=0。因子F与协方差矩阵∑F相关。我们使用符号σlm=E（fl·fm）和σi=E(i）。对于由n项资产组成的投资组合，通过权重wT=（w，w，…，wn）确定，然后通过因子模型确定投资组合，其中收益r=Pi∈Iwiriof the porfolio isr=Xi∈Iwiαi+Xi∈IwiβTiF+Xi∈Iwi公司iIn矩阵形式：r=wT（α+βTF+)其中α∈ IRn，β∈IRm×n，F~N（0，∑F）， ~N（0，∑）)均值-方差参数可根据因子模型直接计算：E（r）=wTα=nXi=1wiαiV（r）=wT∑rw=wT（βT∑Fβ+∑）)w=重量βT∑Fβw+重量∑w==Xi，j∈IXl，m∈Fwiwjβilβjmσlm+Xi∈IwiσiJ。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择2.1。带因子模型的基数约束最小方差投资组合问题。设K为投资组合中所需的资产数量。

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2022-6-1 05:36:47

考虑以下决策变量：xi，如果选择资产i，则取值为1的二进制变量，我∈一、 wi，投资组合中资产I的权重，我∈一、然后，基于因子模型的基数约束最小方差投资组合（CCMVFM）是混合0-1二元二次优化问题的解：（CCMV FM）minw，xXi，j∈IXl，m∈Fβilβjmσrlwiwj+Xi∈Iσiwis。t、 Xi∈Iwi=1，Xi∈Ixi公司≤K、 0个≤wi公司≤xi我∈一、 xi∈{0, 1}, 我∈一、（1）如果因子不相关（σlm=0，l、 m级∈F：l 6=m），问题的目标函数（CCMV FM（1））可以写成：minw，xXi，j∈IXl公司∈Fβilβjlσllwiwj+Xi∈IσI逐段线性近似为了提高求解CCMV FM模型（1）所需的计算时间，我们提出了一种分段线性近似。考虑Sw，变量wi的s有序不相交段集，即区间[0，1]=[wi=0，wi）中的有序不相交段集∪【wi，wi】∪···∪[ws-1i，wsi=1]；和，Sβ，区间[βmin，βmax]=[β·l=βmin，β·l）的变量β·lin的t有序不相交段集∪[β·l，β·l）∪···∪[βt-1·l，βt·l=βmax]，其中β·l=Pi∈Iwiβil。因此，二次模型（1）可以近似为以下0-1纯二次模型：（CCMV FMLA）minx，yXt，t∈SβXl，m∈Fσlmβt·lβt·mytlytm+Xi∈一、 s∈Swσiwsixsi（2）J.F。

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2022-6-1 05:36:50

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择。t、 Xs型∈Swxsi=1，我∈一、（3）Xt∈Sβytl=1，l∈ F、（4）Xi∈IXs公司∈开关：s>0xsi≤K、（5）Xi∈IXs公司∈Sw:s>0wsixsi=1，（6）Xi∈IXs公司∈Sw:s>0βilwsixsi≤Xt公司∈Sββt·lytl，l∈F、（7）xsi∈{0, 1}, 我∈I，s∈Sw，（8）ytl∈{0, 1}, l∈ F、 t型∈Sβ，（9）其中，如果资产i的权重在水平wsi的解决方案中固定，则0-1变量x取值1，如果βt·lis是集合Sβ的β·lin的最小上界，则0-1变量y取值1。如果系数不相关（σlm=0，l、 m级∈ F：l 6=m），则二次模型（2）-（9）变为以下线性纯0-1模型：minx，yXt∈SβXl∈Fσllβt·lytl+Xi∈一、 s∈Swσiwsixsi（10）s.t.（3）-(9).2.2. 等式加权基数约束投资组合问题（CCMV F M（1））的简化模型是施加等式加权约束时的模型，即，如果选择资产i，则资产i的权重wi为1/K，否则为0。找到多因素模型（EWCCMVFM）的最佳等式加权基数约束最小方差投资组合（EWCCMVFM）的问题，即当所选所有资产的权重相同时，CCMVFM问题的解决方案是0-1纯二元二次优化问题的解决方案：J.F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择（EW CCM V F M）KminxXi，J∈IXl，m∈Fβilβjmσlmxixj+Xi∈Iσixis。t、 Xi∈Ixi=K，xi∈{0, 1}, 我∈一、（11）其中，如果选择了资产I，则xit取值1，否则取值0。约束（Pi∈Iwi=1）在（1）中强制我们精确选择K个资产（Pi∈Ixi=K），即我们需要在基数约束中施加相等。

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2022-6-1 05:36:52

注意，我们还可以替换termPi∈IσPI的目标函数中的ixiin∈Iσixi，因为xit使值为0或1。问题（11）可以写成{minxPi，j∈Iaijxixj，s.t.Pi∈Ixi=K，xi∈ {0, 1}我∈ 一} ，whereij=KPl，米∈Fβilβjmσlmif i 6=j，KPl，m∈Fβilβimσlm+σiif i=j。文献中一个众所周知的问题是最大边缘Weigted集团问题（MEWCP），参见（Alidaee et al.2007，Macambira and Souza 2000）等。MEWCP问题可以定义如下：给定一个完整的图G=（V，E），其中包含节点和无限制边权重cij，找到一个子群G，其中包含k个节点，使得子群中的权重之和最大化。该问题的非线性公式为：（MEW CP）maxXi，j∈五、 i<jcijxixjs。t、 Xi∈Vxi≤k、 xi∈{0, 1}, 我∈一、（12）提案1。EWCCMVFM问题的实例可以转换为EWCP的实例。证据设G为larga数，例如G=max{aij，i，j∈ 一} 然后，用cij求解问题（MEW CP）=G-（2 aij+aii+ajjK-1）如果i<j0如果i≥jis问题解决方案（EW CCM V F M）。J、 F.Monge：通过因子模型的基数约束投资组合选择建议1意味着EWCCMVFM问题继承了MEWCP的所有属性。然而，EWCCMVFM具有显著的矩阵系数，见附录。

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mingdashike22

2022-6-1 05:36:56

这一事实使得这个问题（EWCCMVFM）在计算上更容易处理。文献中存在MEWCP的线性公式，但本研究中不考虑这些公式，因为它们的表现比二次公式（12）差，请参见（Macambira和Souza 2000）和其中的参考文献，以获得MEWCP问题的良好解释。分段线性近似使用（CCMVFM）中使用的相同近似，问题（EWCCMVFM）可近似为以下二次0-1问题：（EW CCM V F MLA）KminXt，t∈SβXl，m∈Fσlmβt·lβt·mytlytm+Xi∈Iσixi（13）s.tXixi=K，（14）KXiβilxi≤Xtβs·lytl，l∈F、（15）Xt∈Sβytl=1，l∈ F、（16）xi∈{0, 1}, 我∈一、（17）ytl∈{0, 1}, l∈ F、 t型∈Sβ。（18）如果系数不相关（σlm=0，l、 m级∈ F：l 6=m），则二次模型（13）-（18）变为以下线性纯0-1模型：KminXi∈Iσixi+Xt∈SβXl∈Fσllβt·lytl（19）s.t（14）-（18） J.F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择我们提出了通过因子模型进行基数约束投资组合选择的不同模型：CCM V F M问题及其线性近似（CCMV FMLA），以及新CCM V F M问题及其线性近似（EW CCM V F MLA）。所有这些模型在数学规划理论中都有不同的分类，这取决于它们的特征：线性或非线性目标函数、连续或整数变量等。表1显示了上述问题的特征，这取决于模型是否考虑了相关或不相关的因素。

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2022-6-1 05:36:59

注意，考虑到不相关因素，这两个近似值都变成了0-1纯线性问题。CCMV FM和CCMV F MLAmodels的线性近似值需要向模型中添加新的二进制变量，每个资产的一个二进制变量xsifi∈I和每个段s∈sw考虑，每个因子l有一个变量ytlf∈F和每个t段∈ Sβ。表2：。显示了每个模型的维度，其中标题n01下的一列给出了每个模型的二进制变量数，下面的nc列给出了连续变量数，最后M列给出了约束数。这些维度由N资产数量、nf因子数量、| Sw |每个变量所考虑的段数xsiand和| Sβ|每个变量ytl所考虑的段数给出。对于| Sβ|，计算经验中考虑的分段数固定为500，对于| Sw |，作为基数K参数的函数。虽然线性近似的维数远高于原始二次模型（CCMVFM），但我们将看到，鉴于组合问题优化求解器目前的巨大进步，这些线性模型的分辨率比等效二次模型的成本低得多。3、单因素模型的等式加权基数约束最小方差组合问题。在本节中，我们研究了EWCCMV问题的一些性质，其中只考虑了一个因素。对于单因素f，资产i的回报率Rio∈ I由ri=αI+βif+i、式中，E（f）=0，E（f）=σf.J.f。

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2022-6-1 05:37:02

Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择等式加权基数约束最小方差组合（EWCCMVSF）的二次0-1模型为：（EW CCM V SF）KminxσfXi，j∈IβIβjxixj+Xi∈Iσixis。t、 Xi∈Ixi=K，xi∈{0, 1}, 我∈一、（20）问题（20）可以写成：（EW CCM V SF）Kminβ，α，xβ+αs.t.Xi∈Ixi=K，β=σfPi∈一、 βixi，α=π∈一、 σixi，xi∈{0, 1}, 我∈一、（21）3.1。理论结果设A为平面上的点集，A=（βiσf，σi），则，我∈我, 和基数参数k。定义1。A的加法集由A（K）表示，是由A.A（K）=（Xai）的K个点的加法生成的所有点的集∈SAai，SA：| S |=K）定义2。集合A（K）的凸包由conv（A（K））表示，是由A中的K个点相加生成的所有点的凸组合的集合，即：conv（A（K））=（NXi=1xiai：ai∈A、 xi∈R、 0个≤xi≤1，NXi=1xi=K）。问题（20）和（21）的线性松弛可写为：（EW CCM V SF）Kminβ，αβ+αs.t.（β，α）∈ conv（A（K））。（22）J.F.Monge：通过因子模型的基数约束投资组合选择建议2。（22）的最优解在集合conv（A（K））的边界上达到。证据这仍然需要证明这一主张是正确的。定理1（Carath\'eodory，（caratheodory 1907））。对于S Rd，如果x∈ conv（S）然后x∈某些T的conv（T）S、 | T|≤d+1。证据Carath'eodory定理确定conv（A（K））中的任何点RCA可以表示为a（K）的3个点的凸组合。请注意，这3个点来自A（K），A（K）中的每个点都是A的K点的加法。下一个推论将Carath'eodory定理限制在集合conv（A（K））的边界上。推论1。

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2022-6-1 05:37:05

多面体conv（A（K））的边界对于尺寸为0和1的面形成Ris，然后是（22），（β）的解*, α*), 是a（K）两点的凸组合。假设conv（A（K））边界上没有共线点。证据从推论1可以看出，（22）的解是在A（K）的一个点上，或在两个点的线性组合中达到的。这个结果的一个结果是，解只有两个或更少的分数值。我们在下面的命题中建立这个性质。提案3。问题（20）的解最多包含两个具有分数值的变量。证据如果（20）的解在conv（a（K））的顶点v中达到，则该点是a的K点的加法，因此存在S A：| S |=K，使得v=Pai∈Sai，如果i，则xi=1∈S、如果解在维数为1的面上达到，则解是两个顶点的凸组合，v=Pai∈SAI和v=Pai∈Sai，来自conv（A（K）），描述arista的两个顶点。假设S∪S> K+1，即从A开始在两个或多个点上进行vand vdi ffer。例如，v=A+A+A+······+aK+aK+1+aK+2，以及v=A+A+A+···+aK+1+aK+2。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择内部点0.5v+0.5v=0.5（a+a）+0.5（a+a）+a+·····+aK+aK+1+aK+2也可以写0.5（a+a）+0.5（a+a）+a+···+aK+aK+1+aK+2=0.5（a+a+··+aK+aK+1+aK+2）=0.5z+0.5z z，其中z，z∈A（K）。

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2022-6-1 05:37:08

如果zand zbelong到A（K）的内部，那么0.5v+0.5v是一个内部点，也是一个矛盾。如果conv（A（K））的zor-zare顶点，那么v，vand z（或v，vand z）是共线点，这与conv（A（K））边界上没有共线点的假设相矛盾。因此，conv（a（K））边界上的一个点是a（K）最多两个点的线性组合，而a（K）的这两个点与a（K）最多在一个点上不同。备注：在多因素模型中，解决方案也在前沿，但在这种情况下，多面体面的维数小于或等于| F |，其中| F |是因素数。在这种情况下，解决方案是a（K）的| F |+1个点（顶点）的组合，但现在，这些点（顶点）不必是连续的，因此它们可以在多个点上与a不同。从计算经验中可以看出，因子模型问题的解决需要一点时间，因为在实践中，EWCCMVFM问题的线性松弛解几乎没有分数变量。3.2. 单因素模型的等式加权基数约束最小方差投资组合问题的算法作为EWCCMVSF模型的替代方案，在本节中，我们介绍了一种新算法，用于快速求解该模型。该算法基于下一个命题命题4。给定基数为K的资产T集，（20）中的目标函数值（不含常数因子1/K）为：obj（S）=Pi∈Tσi+σfPi，j∈Tβiβj=Pi∈Tσi+σfβT，其中βT=Pi∈Tβi.Let S∪{i} 和S∪{j} 两组基数K，在单个元素中不同，然后：obj（S∪{i} （）-obj（S）∪{j} ）=σ我-σj+σf（βS+βi）-σf（βS+βj），（23），其中βS=Pi∈Sβi.J.F.Monge：通过因子模型的基数约束投资组合选择定义3。

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2022-6-1 05:37:10

我们说，对于集合S，如果obj（S），资产i优于资产j∪{i} （）≤obj（S）∪{j} ）。提案4。如果存在S* I和S I带I<<S*j和（βS*- βS）（βi- βj）>0，则i<<Sj。证据如果i<<S*j、然后σ我-σj+σf（βS*+ βi）-σf（βS*+ βj）<0。假设一个矛盾i<<Sj不是真的，那么σj-σi+σf（βS+βj）-σf（βS+βi）≤通过将上述表达式相加，我们得到σf（βS*+ βi）-σf（βS*+ βj）+σf（βS+βj）-σf（βS+βi）<0，则（βS*-βS）（βi-βj）<0，我们有一个矛盾，这证明了如果i<S*j当i<<Sj时，带（βS*-βS）（βi-βj）>0。前面的命题允许我们为EWCCMVSF问题构建一个构造性的启发式，请参见算法1中的算法描述。让我们描述一下算法。作为第一步，该算法从初始解S开始，由β值较小的资产组成。第二步，算法识别资产j*∈S、在当前解决方案中选择的资产集中，在目标函数中贡献最大。接下来，确定资产i*∈ 在当前解决方案中未选择的资产中，具有较低的贡献。因此，如果测试结果是肯定的，那么可以通过当前解的算法局部地改进modelEWCCMVSF的解值。否则，无法对当前解决方案进行改进，算法将结束。虽然该算法不能保证找到问题的最佳解决方案（EWCCMVSF（20）），但让我们证明其良好的性能。这也将在后面的计算体验中看到。（20）的最优解是一组K资产，即S*. 如果资产i属于S*然后*\\{i} j、，j/∈ S*, i、 e，资产i优于任何j，j/∈ S*, 结合S的资产*\\{i} 。该算法从一个由较低β的资产组成的集合开始。

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2022-6-1 05:37:13

对于optima解决方案中显示的每个资产，我∈S*不存在于S中，它认为（βS*> βS）和（βi>βj）。F、 Monge：基于因子模型的基数约束投资组合选择J∈ S\\S*. 因此，资产i改进了S提供的解决方案。很容易证明，只要从集San最优资产i中删除，算法就会找到最优解决方案∈S*.为了改进为算法1提供的解决方案，我们开发了第二个算法，请参见算法2。可能施加的基数参数很大，得到的解决方案比数量较少的资产更糟糕。算法2在解决方案中查找贡献最大的资产，并查看是否通过移除资产获得了改进。该算法在改进解的同时重复该过程。算法1：EWCCMVSF问题的构造性启发式输入：由N个有序资产组成的一组I（小于βI，具有I∈一），和刚毛=（βiσf，σi），则，我∈我.输入：基数K.1的参数设S={1，2，…，K}j的I.2 repeat3的前K个资产集∈Sdo4计算对象-obj（S \\{j}）=σj+σf（主键∈Sβk）-（主键∈S： k6=jβk）5让j*= argj公司∈Smax{obj（S）-obj（S \\{j}}），即j*资产是否在S中在目标函数中贡献较大。6对于i∈I\\Sdo7计算对象-对象（{S\\{j*}}∪{i} ）=σj-σi+σf（βS+βj）-σf（βS+βi）8 Let i*= 阿吉∈I\\S最大{obj（S）-对象（{S\\{j*}}∪{i} ）}，即*当资产j*从S.9中删除，如果i*<<S \\{j*}j*然后S={S \\{j*}}∪{i*};10至j*<<S \\{j*}我*;输出：设置基数K.J.F。

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2022-6-1 05:37:16

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择算法2：改进算法1的解决方案输入：来自算法1的集合S和来自算法1的集合A=（βiσf，σi），则，我∈S我.1对i重复2次∈Sdo3计算对象-obj（S \\{i}）=σi+σf（主键∈Sβk）-（主键∈S： k6=iβk）4让我*= 阿吉∈Smax{obj（S）-obj（S \\{i}}），即i*资产是否在S中我在目标函数中贡献最大。5如果iobj（S）>K（K-1） obj（S \\{i*}) 那么S=S \\{i*}, K=K-1.6至j*<<S \\{j*}我*;输出：设置Sof基数K.4。计算结果在本节中，我们介绍了从计算经验中获得的结果。我们已经从OR库中可用的索引跟踪实例生成了几个实例（Beasley 1990）。对于单因素模型，OR库中测试数据集的完整列表可以在中找到http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/orlib/indtrackinfo。html。所选的仪表分别为INTRACK5、6、7和8，最大。这些数据集已在多家公司中使用，见（Beasley et al.2003、Canakgoz and Beasley 2009、Chang et al.2000、Woodsideriakhi et al.2011）。每个数据集包含一组资产的每周市场价格和市场指数。此外，我们考虑了每个数据集的四个主要成分，以便将这些成分用作因子，并评估第2节中介绍的因子模型。计算实验在一台配有2.9千兆赫兹Intel Core i5处理器、8GB RAM和操作系统OX的PC上进行。我们使用优化引擎CPLEXv12.5。我们将计算经验分为三部分。首先，我们比较了我们为因子模型提出的不同模型的性能。接下来，我们重复computaJ。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择单因子模型的模拟实验。

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2022-6-1 05:37:19

最后，我们生成了一个ad-hoc实例，以最大限度地利用模型和算法。4.1. 因子模型的计算结果。对于所考虑的每个数据集，我们计算了它们的前四个主成分，然后是β和σifor这些组成部分（因子）中的每项资产。注意，主成分作为因子的使用提供了不相关的因子。计算经验是在以下四个模型上进行的：CCMV F M、CCMV F MLA、EW CCMV FM和EW CCMV F MLA。针对基数参数K的不同值求解每个数据集。表3-6显示了每个数据集中四个模型的计算结果（每个表的标题收集数据集名称、市场和资产数量），其中每个模型和基数考虑区域的列如下所示：时间，获得最佳解决方案所用的时间或3600秒的时间限制；对象，解决方案值；%desv=100（目标（·）-obj（CCM V F M）/obj（CCMV FM）），模型获得的解值与CCMVFM问题解的偏差；K、 CCMVFM问题解决方案中的资产数量、解决方案中的资产数量以及与问题CCMVFM解决方案一致的资产数量||w- w*||, l解变量与CCMVFM问题解变量的距离；SD公司=√wT∑w，各溶液的标准偏差，%desv，%SD对各模型的偏差（CCMV-FM）；和SR回报/风险比率（wTR/√各型号的wT∑w）。CCM V F MLA解决方案的质量评估。

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2022-6-1 05:37:22

如果我们将注意力集中在表6（考虑的最大数据集）上，我们可以观察到所需的非常小的运行时间，以及与模型（CCMV F M）提供的解决方案相比，解决方案的优点（%desv），它并不太高。您还可以观察到，对于基数K的不同值，在我们所试验的所有实例中，CPLEX都达到了时间限制（1小时），而CCMV F MLAPR问题的经过时间比所考虑的CPLEX限制小一到两个数量级。例如，我们应该指出基数K=10的例子，其中线性近似模型（CCMV FMLA）得到的解与（CCMV F M）模型inJ的偏差为0.16%。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择大约20秒，标准差比（CCMV FM）模型的标准差高出6%。尽管两种解决方案中相同资产的数量仅为10个中的5个，而D值为0.88。这些注释也适用于较小的数据集，见表3-5。EW CCMV FM和EW CCMV F MLA解决方案的质量评估。首先，我们可以观察到获得EW CCMV F M的最优解及其近似值EW CCMV FMLA所需的非常短的时间。在任何情况下，都需要3秒钟以上。新CCM V F M及其近似值的解非常相似，因此EW CCMV F MLAdoes没有提供任何优势来证明其使用的合理性。在表6中，EW CCMV F M溶液与CCMV FM溶液的偏差在0.48%到7.55%之间。这种差异来自于对解决方案施加相等权重约束。

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2022-6-1 05:37:26

然而，在某些情况下，当评估标准偏差和收益/风险比率时，等式加权解决方案提供了更好的结果。表3中出现了一个例外，将基数参数K设置为20或30会迫使我们在不超过13个资产的情况下选择更多的资产。每个问题的尺寸可从表2中获得。表7显示了每个模型考虑的最大实例的尺寸，该尺寸是从indtract8中获得的。txtdataset；此实例包含Russel 300指数中的N=2151个资产和固定为50的心形参数。线性近似中的分段数已固定为| Sw |=4·K+1=4·50+1=201，| Sβ|=500。虽然这个实例的EW CCMV F MLA问题有四十多万个二进制变量，但CPLEX只需要155秒就可以解决它。总之，从模型获得的结果中，我们可以从初步的计算实验中推断出，解的值相差不大。CCMV F M问题需要很长的运行时间，而其他模型的运行速度非常快，事实上，运行时间可以在几秒钟内测量。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择4.2。单因素模型的计算结果。接下来，我们将比较第3节中针对单指数因子提出的模型和算法的性能。我们使用了相同的数据集和其中包含的索引。此外，我们已将模型名称替换为单因素模型中的对应名称，并用第3节中提出的算法替换了EW CCMV SF（EW CCMV SFLA）的近似值。表8-11显示了与表3-6相同的信息，但针对单因素模型。我们首先讨论表8中的小实例。

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mingdashike22

2022-6-1 05:37:29

显然，在小型网络中，模型之间的时间差很小。在基数为20和30的情况下，由于我们施加了这些基数参数，当CCMV-SF问题的最优解仅选择16个资产时，EW CCMV-SF模型在20和30个资产的情况下获得了非常糟糕的解决方案。从这个意义上讲，算法2通过从解决方案中移除资产来改进解决方案，从而获得该实例的最大基数为9个资产。为了简单起见，我们现在只讨论最大的实例，即表11，但可以从表9和表10中报告的其他两组实例中得出类似的结论。我们的首要观察是，对于所有实例，解决问题的计算时间（CCMV SF）（即通过简单使用CPLEX产生的原始问题）都很高（在我们的实验中，1小时是允许的计算时间）。另一方面，线性近似（CCMV SFLA）只需几秒钟即可获得一个解，而在最坏的情况下，偏差仅为0.28%（基数K=30的实例），在某些情况下提供了比CCMV SF问题获得的解更好的结果。现在比较从EW CCM V SF模型获得的结果，在所有情况下，EW CCMV SF问题花费的时间都少于三秒，这是第3节中命题3的结果。此外，从（EW CCMV）获得的解决方案的质量很高，在最坏的情况下偏差为4.35%，在（CCMV SF）问题的解决方案中选择了50个资产中的48个，偏差为0.31。在标准偏差SD a比率SR中也观察到了良好的溶液质量，所有溶液彼此接近。J、 F。

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2022-6-1 05:37:32

Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择从实用的角度出发，我们评估了本文中提出的模型的有效性。我们相信，这些模型，尤其是平等加权模型，有助于实践者评估要考虑的最佳资产，并在后验分析中应用其他更复杂的技术。最后，从表8-11可以看出，当K增加时，所有测量值都采用相似的值。4.3. 一个特殊实例为了在更困难的问题中测试模型和算法，我们构建了以下实例，称为indtrack5678。对于单因素模型，我们添加了所有βi和σ从数据集INTRACK5、INTRACK6、INTRACK7和INTRACK8。此新数据集包含4151个资产。在图1中，我们为每个资产i绘制一个点∈ 一、表示系统（βI）和非系统（σi）每个人的风险。在原始数据集中（左图），点云位于所有图形区域周围。理想情况下，人们希望在代表低风险（系统性和非系统性）的坐标交叉点附近设置点。另一方面，不靠近轴交点的定位点对其余点占主导地位，希望这些点不会出现在CCMVFM问题的解决方案中。数据集中的这一特性使实例在计算上更易于处理。我们称之为特殊实例，即indtrack5678中的实例，其中资产已按系统风险β值（从最低到最高）排序，并将每个β值与非系统风险（σ）匹配i）按相反顺序排序。这个特殊实例在它们之间提供了非支配资产，在帕累托意义上是非支配的。特设实例的点云（右图）是结构化的，因为所有点都是非支配的。

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2022-6-1 05:37:35

同样的考虑在这里也是有效的，最好的资产位于相交轴附近，但现在这些点在这些点中并不占主导地位。因此，对于factor modelsproblem，这个新实例比前面的示例更困难。在表12中，我们报告了该结构化数据集的结果。首先，我们可以看到，该算法在6个实例中的3个实例中没有提供最优解。结果中的另一个重要特征是EW CCMV模型获得最佳J。F、 Monge：在6个实例中的4个实例中，通过因子模型求解基数约束的投资组合选择，参数K的值正好等于5、10、20和40。CMV SF模型对于其余实例来说是最好的，但需要一小时的计算时间。获得的解决方案建议了资产的多种选择。例如，在基数为30的情况下，CCMV SF和EW CCMV SF的目标解值非常相似（只有0.01%的偏差），但从质量上讲，它们非常不同，只有11个共同点。结论在本文中，我们提出并分析了两个备选模型，通过因子模型获得基数约束最小方差投资组合。这两个模型的目的是获得一个线性模型，与文献中的二次因子模型相比。当这些因素不相关时，就达到了这个目标。这一假设在财务方面没有太大限制。关于模型的比较，等式加权基数约束的投资组合问题提供了最有希望的结果，获得了商品解。就计算时间而言，所有实例都需要不到三秒钟的时间来求解它们。

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2022-6-1 05:37:38

另一方面，本文提出的启发式算法在考虑单个因素的情况下，除生成的自组织实例外，可以在所有实例中获得最优解。因此，EWCCMFmodel和启发式方法在可用性方面可以被视为优于经典因素模型；它以较少的计算时间获得高质量的解。此外，由于这项工作中提出的模型提供了良好的结果，我们还计划扩展这些模型，例如，当目标是最小化权衡功能风险/回报时。致谢该项工作得到了西班牙经济和竞争力部、国家研究局和欧洲区域发展基金MTM201679765-P（AEI/FEDER，UE）的部分支持。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择Pendix。EWCCMVSF问题能否在多项式时间内解决？定义4。如果每对行i<j和每对列k<l满足M onge属性mik+Mjl，则矩阵M是M onge矩阵≤Mil+Mjk。（24）定义5。如果矩阵M满足逆MongepropertyMik+Mjl，则称其为逆M长矩阵≥Mil+Mjk，对于所有i<j，k<l.（25）注意，对称Monge矩阵称为Supnick矩阵。Monge矩阵在组合优化问题中有许多应用，参见（Pferschy等人1994、Woeginger 2003、Burkard等人1996、Rudolf和Woeginger 1995）。例如，如果基础距离矩阵是Monge矩阵，则旅行推销员问题（TSP）可以在线性时间内解决，请参见（Park 1991）。提案5。（EW CCMV SF（20））中的基础矩阵是逆Monge矩阵。证据EW CCM V SF模型的目标函数可以表示为minkxi，j∈Iσi+σj2K+σfβiβj！xixjwherePi∈Ixi=K。

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2022-6-1 05:37:42

问题（20）由矩阵Mij给出=σi+σj2K+σfβiβjij。如果我们考虑有序集I，即β≤ β, ··· ≤ βn，很容易证明Mik+Mjl≥ Mil+Mjk，对于所有i<j y k<l。σi+σk2K+σfβiβk+σj+σl2K+σfβjβl！≥σi+σl2K+σfβiβl+σj+σk2K+σfβjβk！σi+σk2K+σfβiβk+σj+σl2K+σfβjβl！-σi+σl2K+σfβiβl-σj+σk2K+σfβjβk==σf（βi-βj）（βk-βl）≥0J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束投资组合选择。此外，对于单因子模型，寻找等式加权基数约束投资组合减少到在矩阵中查找K列/行σi+σi2K+σfβiβjij，成本更低。一个开放的问题如下：EW CCM V SF问题能否在多项式时间内解决？我没有找到上述问题的答案，我建议读者尝试回答这个问题。参考B。Alidaee、F.Glover、G.Kochenberger和H.Wang。用无约束二次规划求解最大边权团问题。《欧洲运筹学杂志》，181:592–5972007。K、 P.Anagnostopoulos和G.Mamanis。均值方差基数约束投资组合优化问题：五种多目标进化算法的实验评估。《专家系统与应用》，38:14208–142172011。D、 Bertsimas和R.Shioda。基数约束二次优化算法。《计算优化与应用》，43:1–22，2009年。J、 E.Beasley、N.Meade和T.J.Chang。索引跟踪问题的进化启发式算法。《欧洲运筹学杂志》，148:621–6432003。J、 E.比斯利。或库：通过电子邮件分发测试问题。运营研究学会杂志41:1069–107219990。D、比恩斯托克。一类混合整数二次规划问题的计算研究。数学规划，74:121–140，1996年。N、 A.Canakgoz和J.E.Beasley。

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2022-6-1 05:37:45

用于索引跟踪和增强索引的混合整数规划方法。《欧洲运筹学杂志》，196:384–3992009。R、 E.伯卡德。B、克林茨和鲁道夫。优化中Monge属性的透视图。离散应用数学。70:95-161, 1996.C、卡拉斯·埃奥多里。¨更大的变化性¨在未来的几年里，我们将继续努力。Mathematische Annalen，64:95–1151907年。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择F。卡斯特罗、J.加戈、I.哈蒂略、J.波多黎各和J.M.乌查。整数投资组合问题的代数方法。《欧洲运筹学杂志》，210:647–6592011。F、 Cesarone、A.Scozzari和F.Tardella。一种新的基数约束均值-方差投资组合优化方法。《运筹学年鉴》，8:213-234，2013年。T、 J.Chang，N.Meade，J.E.Beasley，Y.M.Sharaiha，《基数约束投资组合优化的启发式方法》。计算机与运筹学，27:1271–13022000。五、 DeMiguel、L.Garlappi和R.Uppal。最优与幼稚的多元化：1/n投资组合策略的效率如何？《金融研究回顾》，181219–1251。2009年，J.Gao和D.Li。最优基数约束投资组合选择。运筹学，61:745–7612013。D、李，X.孙和J.王。投资组合选择中基数约束均值方差公式的最优批量解。《数学金融》，16:83–101，2006年。E、 M.Macambira和C.C.de Souza。边加权团问题：有效不等式、面和多面体计算。《欧洲运筹学杂志》，123:346-3712000。R、 Mansini、W.Ogryczak和M.Grazia Speranza。二十年的基于线性规划的组合优化。《欧洲运筹学杂志》，234:518–5352014。H、马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，第7期：77–91页。D、 Maringer和H。

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2022-6-1 05:37:48

凯勒勒。基于混合局部搜索算法的基数约束投资组合优化。或Spectrum，25:481–4952003。J、 K.停车。n顶点旅行商问题的一个特例，可以在O（n）时间内求解。Inf.Process。利特。40:247-254, 1991.U、 Pferschy、R.Rudolf和G.Woeginger。Monge矩阵使最大化易于管理。运营研究信函。16:245-254,1994.R、 Rudolf和G.Woeginger。Monge矩阵的锥：极值射线及其应用。运筹学的数学方法。42:161-168, 1995.W、 F.夏普。投资组合分析的简化模型。《管理科学》，9:277–293，1963年。J、 F.Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择。F、夏普。资本资产价格：风险条件下的市场均衡理论。《金融杂志》，19:425–4421964。D、 X.Shaw、S.Liu和L.Kopman。基数约束组合优化的拉格朗日松弛法。《优化方法与软件》，23:411–420，2008年。Woeginger，G.J.《没有计算的计算问题》。Nieuw Archief voor Wiskunde。2： 140-147，M.Woodside Oriakhi，C.Lucas和J.E.Beasley。基数约束有效边界的启发式算法。《欧洲运筹学杂志》，213:538–550，2011年。J、 F.Monge：通过因子模型的基数约束投资组合选择模型线性二次二次二次型pure 01 pure 01 mixed 01 CCMV FM--UF M，CF MCCMV FMLAUF M CF M EW CCM V F M-UF M，CF M EW CCM V F MLAUF M CF M UFM；不相关因子模型。

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2022-6-1 05:37:52

CFM；相关因子模型稳定1分类模型模型n01 nc mCCMV FM N N N+2CCMV FMLAN·| Sw·+NF·| Sβ·-N+2NF+2EW CCM V F M N-1EW CCM V F MLAN+NF··| Sβ·-2NF+2 | Sw·=4·K+1，和| Sβ|=500表2尺寸模型0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025βσ20.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.000 0.005 0.015 0.020 0.025βσ2图1 INTRACK5,6,7,8：系统（βi）和非系统（βii）风险J。F、 Monge：通过因子模型进行基数约束的投资组合选择n=225解决方案模型时间目标%desv K | | w- w*||SD%desv SRK=5 CCM V F M 0.11 0.01939 5 0.01971 0.00000CCM V F MLA0.90 0.01941 0.10%5-5 0.21 0.02024 2.73%0.00419EW CCM V F M 0.03 0.01967 1.37%5-5 0.24 0.02006 1.78%0.00315EW CCM V F MLA0.04 0.01968 1.40%5-5 0.24 0.02006 1.78%0.00315K=10 CCM V F M 0.12 0.01886 10 0.01945 0.01633CCM V F MLA0.82 0.01897 0.61%10-8 0.39 0.01998 2.74%0.00942EW CCM V F M 0.07 0.019674.30%10-8 0.71 0.02029 4.30%-0.00263EW CCM V F MLA0.09 0.01967 4.32%10-8 0.71 0.02029 4.30%-0.00263K=20 CCM V F M 0.06 0.01882 13 0.01938 0.01180CCM V F MLA1.45 0.01887 0.26%15-13 0.17 0.01970 1.62%0.00855EW CCM V F M M 0.31 0.02064 9.63%20-13 0.98 0.02112 8.97%-0.00513EW CCM V F MLA0.20 0.02064 9.66%20-13 0.98 0.02112 8.97%-0.00513K=30 CCM V F M 0.03 0.01882 130.01938 0.01180CCM V F MLA1.66 0.01887 0.25%15-13 0.17 0.01958 1.04%0.00874EW CCM V F M 0.36 0.02170 15.31%30-13 1.22 0.02200 13.52%0.00376EW CCM V F MLA0.20 0.02171 15.32%30-13 1.22 0.02200 13.52%0.00376时限3600秒。表3 INTRACK5。txt日经225指数。

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