多谱风险约束下的投资组合选择

2022-5-7 01:36:56

Acerbi[2002]将ES扩展到谱风险度量φ（~L）=RVaRp（~L）φ（p）dp，其中φ（p）是一个非递增概率分布函数。光谱风险度量Mφ（~L）是一致的，事实上，ESβ（~L）=Mφ（~L）与φ（p）=1-ββ≤P≤1.Acerbi[2002]还表明，有限样本估计值mnφ=PNk=1φ（kN）L（N-k）式中，L（k）表示随机损失的N个独立同分布（IID）样本的k阶统计量L，以概率1收敛于toMφ（L）。Acerbi[2002]得出结论，投资组合选择问题的“回报”由投资组合的预期回报给出，“风险”由投资组合的方面风险度量给出，可以用LP近似。Rockafellar和Uryasev[2000]为平均CVA投资组合选择问题建立了这样一个基于LP的近似结果。Agarwal和Naik[2004]表明，当资产的风险在潜在风险因素中是非线性的，例如，当资产是一项主要资产上的衍生工具时，与均值方差法相比，均值CVaRportfolio选择法产生的投资组合更优。然而，结果LP是非常病态的，解决此类LP，尤其是当情景规模较大时，在实践中非常困难（参见，例如[Alexander et al.，2006]）。Lim等人[2011]表明，平均CVaR投资组合问题的解决方案通常对估计误差非常敏感，即在选择最佳投资组合时，在估计情景中的平均值和回报时出现的小误差会被放大。这种敏感性可以通过对几个不同的参数值和不同的风险模型施加光谱风险约束来解决。2008年金融危机后，与多重风险模型相关的约束变得尤为重要（参见[Ceria等人，2009]）。

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2022-5-7 01:36:59

然而，施加多重光谱风险约束会增加LP的规模，以至于最先进的解决方案无法解决投资组合选择问题的大多数实际情况。我们在本文中的贡献如下：（a）我们提出了一种新的基于一阶梯度的算法SpecRiskAllocate，用于解决具有多光谱风险约束的投资组合选择问题，其速度明显快于基于朴素LP的方法。我们利用投资组合问题的两个关键特征来构造该算法。首先，LP公式（2.3）中的约束是非常松散耦合的，因为来自特定风险模型的样本只在相应的约束中起作用。因此，只要保持可行性，就可以通过将这些约束双重化来提高算法的运行时间。我们在定理（3.1）中证明，对于对偶变量的有限值，我们能够恢复可行的投资组合。我们利用的第二个特点是，由于LP实际上是随机优化问题的有限样本近似值，因此在实践中，人们并不试图以非常高的精度（例如10-12相对误差），但ratherone的准确度适中（如10-3相对误差）。这使我们能够将LP平滑为光滑凸优化问题，从而显著加快收敛速度。（b） SpecRiskAllocate通过求解一系列小型可分离凸二次规划（QPs）来计算最优投资组合。因此，投资组合经理将能够使用现有的解决均值-方差问题的工具来解决谱风险约束的投资组合选择问题。每个凸QPs中变量的数量等于资产的数量，因此，这些问题可以非常有效地解决。

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2022-5-7 01:37:02

在某些情况下，平均方差子问题的最优解可以写成封闭形式，也可以通过一维搜索来计算。SpecRiskAllocate还能够解决投资组合选择问题，其目标是最大化预期收益的加权和以及一组光谱风险度量的加权组合或最大值。（c）第4节中的实验结果清楚地表明，SpecRiskAllocates能够有效地解决非常大的谱风险约束投资组合选择问题。对于大多数实际情况，SpecRiskAllocate比最先进的LP解算器至少快一个数量级。此外，我们还表明，与基于LP的方法相比，SpecRiskAllocate不是病态的。这是解决问题的一个附带好处。“平滑”通过一个没有角的凸集来逼近THLP多面体；因此，确保最优解是问题的连续函数，因此不是病态的。（d）引入抗模型不确定性稳健性的一种常用方法是对多个风险模型施加光谱风险约束（参见Brownand Canova[2011]和Renshaw[2012]）。在第4节中，我们证明了SpecRiskAllocate能够以计算可处理的方式解决具有谱风险约束的套期保值投资组合选择问题，该问题对应于多个风险模型。SpecRiskAllocate基于Beck和Teboulle[2009]提出的近似梯度算法FISTA（另见Nesterov[2005]）。我们提出的算法与Iyengar和Ma[2013]提出的算法相似，因为这两种算法都使用了Nesterov平滑技术[Nesterov，2005]。然而，这两种方法之间存在一些关键差异。

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2022-5-7 01:37:07

Iyengar和Ma[2013]中的算法只能解决均值CVaR问题，可以扩展到求解均值加权CVaR问题；然而，它无法计算具有CVaR（或者更一般地说，频谱风险）约束的投资组合选择问题的解决方案。SpecRickAllocate使用了一种不同的平滑技术，允许我们扩展算法来解决非常大的投资组合选择问题，而不会遇到任何数值上的困难。Iyengar和Ma[2013]无法解决大型问题实例，因为其中提出的算法在数值上很快变得不稳定。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了广义谱风险度量，并定义了广义谱风险约束的投资组合选择问题。在第3节中，我们构造了SpecRiskAllocate算法。在第4节中，我们讨论了数值实验的结果。最后，在第5章中，我们以一些最后的评论作为结束。2.单期投资组合选择问题。假设市场上有n个资产。让我=L，~Ln>∈ RN表示资产的随机损失率。让x∈ Rn表示投资者的投资组合，即1>x=Pni=1xi=1。投资组合x的损失率Lx由Lx=~L>x给出。在本文中，我们想要识别相对于预期收益处于帕累托最优前沿的投资组合-E[~Lx]和一组广义光谱风险度量[Acerbi，2002]。除了一些特殊情况外——例如，当随机损失向量L是椭圆分布风险因素Z分布的线性函数时——很难明确描述随机投资组合损失lx的分布。如果投资组合x包含衍生证券，且其在潜在风险因素中的分布是非线性的，则这种情况就完全成立。在实践中，用N个样本{`。

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2022-5-7 01:37:10

，`N}由某个场景生成器生成（参见，例如Koskosidis和Duarte[1997]）。LetL=（`，`N）>∈ RN×N注意经验损失矩阵，其中第j列表示资产j的N个损失实现的向量。因此，投资组合x上的随机损失Lx可由样本集{`>x，`>Nx}近似，或等效地由向量Lx近似。在本节的其余部分中，我们定义了向量Lx的广义光谱损失函数，并将其与预期短缺度量相关联。这种关系对于设计第3.2.1节中的求解算法非常重要。广义光谱风险度量。设y=（y，…，yN）>表示一个随机变量的样本。设{y（`）：`=1，…，N}表示向量y的顺序统计量。定义2.1（预期短缺[Acerbi and Tasche，2002]）。β级的预期y短缺∈ [0,1]是κ=d（1）的平均值- β） y的Ne最大值，即ESβ（y）=κNX`=N-κ+1y（`）。很容易检查ESβ（y）是否具有以下变化特征（参见，例如Artzner等人[1999]，Rockafellar等人[2002]，L–uthi和Doege[2005]）：ESβ（y）=maxPN`=1q`y`，因此1>q=1,0≤ Q≤κ· 1.利用线性规划对偶[Bertsimas和Tsitsiklis，1997]可以得出（2.1）ESβ（y）=minz（z+κ·NX`=1（y）`- z） +），其中v+=max{v，0}。Acerbi和Tasche[2002]确定ESβ（·）是一种相干风险度量[Artzner等人，1999]，并在随机变量＠Y的累积分布函数FY（·）在Y=inf{x:FY（x）处连续时收敛于CVaR[Rockafellar等人，2002，L¨uthi和Doege，2005]≥ β}.定义2.2（光谱风险度量[Acerbi，2002]）。设ω=（ω，…，ωN）>表示一个非递减概率质量函数，即ω≥ 0，1>ω=1和ωk≥ ω`k≥ `. 由ω生成的光谱风险度量Mω（y）定义为asMω（y）=NX`=1ω`y（`）。设ω=0。

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2022-5-7 01:37:14

那么，Mω（y）=NX`=1ω\'y（`）=NX`=1（ω`- ω`-1)NXj=`y（j）=NX`=1γ`ESβ`（y），其中γ`=（N- ` + 1)(ω`- ω`-1) ≥ 0和β`=`-1N。因此，Mω（y）是一个一致的风险度量。很容易检查PN`=1γ`=PN`=1ω`=1，即γ是概率质量函数。这激发了以下定义。定义2.3（广义光谱风险度量）。让γ∈ Rd表示概率质量函数，即γ≥ 0和1>γ=1。让β∈ [0,1）d.广义谱风险度量ργ，β（y）定义为ργ，β（y）=dX`=1γ`ESβ`（y）。2.2.投资组合选择问题。我们使用不同的风险模型来度量投资组合x的风险。让Lk∈ RNk×ndenote与第k个风险模型相对应的经验损失矩阵，其中Nk表示根据第k个模型抽取的样本数量。根据k-th模型，投资组合x的风险由广义谱风险度量ργk，βk（Lkx），k=1，m、在本文的剩余部分，我们将把ργk，βk缩写为ρk。谱风险约束投资组合选择问题的目标是找到使预期收益最大化的投资组合x。让我们∈ Rn是平均返回向量。u通常设置为等于加权平均值u=-Pmk=1qkNk（L>k1），其中q是一个概率质量函数，为m个风险模型分配权重。因此，投资组合x的预期回报率为u>x。鉴于基数约束在实际中对控制交易成本非常重要[Chang等人，2000]，我们有兴趣选择稀疏投资组合，即`-normPni=1（| xi |>0）较小的投资组合。不幸的是，相关的基数约束投资组合选择问题通常是NP难问题。尽管如此，一个很好的近似方法是用`-normPni=1 | xi |[Candes等人，2008]替换`-norm。因此，我们想要解决的谱风险约束稀疏投资组合选择问题的形式是：（2.2）maxu>x- λkxks。T

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2022-5-7 01:37:18

ρk（Lkx）≤ αk，k=1，·m，>x=1，kxk∞≤ B、 λ在哪里≥ 0是控制投资组合稀疏性的参数，αkis是第k个风险模型中的风险预算`∞-定义为kk∞= max1≤我≤n | xi |，且B>0的界限控制着投资组合的杠杆。对于（2.2）中的“范数正则化”，还有两种额外的解释。因为1>x=1，`-normkxk=Pi:xi>0xi-Pi:xi<0xi=1- 2Pi:xi<0xi，因此，惩罚`标准相当于惩罚空头头寸[DeMiguel等人，2009年]。惩罚投资组合的`-范数也有助于在存在参数估计误差的情况下提高投资组合的样本外绩效[DeMiguel等人，2009]。实际上，参数λ是通过交叉验证[DeMiguel等人，2009]根据特定的预期性能选择的。在本文中，我们不知道投资组合经理处罚投资组合规范的理由——控制交易成本、限制短期销售或改善投资组合的样本外绩效。因此，wesetλ=u>x*/kx*k其中x*∈ argmax{u>x:1>x=1，kxk∞≤ B} 确保目标中的两个术语始终具有可比性。第4节中报告的数值结果清楚地表明，SpecRiskAllocate的运行时间不依赖于λ的值。我们在第3节中开发的求解方法也能够解决以下投资组合选择问题：（a）稀疏加权平均谱风险投资组合选择问题maxu>x- λkxk-mPk=1θkρk（Lkx）s.t.1>x=1，kxk∞≤ B、 θ在哪里∈ Rm+是权重向量。（b）稀疏平均最大谱风险投资组合选择问题maxu>x- λkxk- θmaxk=1，··，mρk（Lkx）s、 t。

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能者818

2022-5-7 01:37:22

1> x=1，kxk∞≤ B、 θ在哪里≥ 0是对最大光谱风险度量的惩罚。从ES的对偶表示（2.1）可以看出，投资组合选择问题（2.2）可以重新表述为maxu>x- λkxks。t、 dkP`=1γk`zk`+（1）-βk`）nkpj=1（（Lkx）j- zk`）+！≤ αk，k=1，·m，>x=1，kxk∞≤ B、其中（Lkx）jdenotes表示向量Lkx的第j个分量∈ 恩。通过引入新变量yjk`=（（Lkx）j- zk`）+，ξi=|xi |，上述优化问题可以重新表示为LP（2.3）maxu>x- λ1>ξs.t.dkP`=1γk`zk`+（1）-βk`）nkpj=1yjk`！≤ αk，k=1，·，m，yjk`≥ （Lkx）j- zk`，j=1，Nk，`=1，dk，k=1，m、 ξ≥ x、 ξ≥ -x、 >x=1，kxk∞≤ B、 y≥ 不幸的是，LP.0通常非常大。例如，当每个广义drisk度量ρkhas d ES分量，且样本数nk等于N foreach k时，LP（2.3）有O（mdN+N）个变量和约束。因此，如果n=100个资产，m=5个风险约束，每个约束都有d=3个ES组件，n=10000个样本，LP有150，100个变量，即使最初的投资组合选择问题只有n=100个变量！此外，在任何最优解中，YJKL变量的很大一部分为零；因此，LP非常病态。大型病态LPs在实践中极难解决。在第4节中，我们给出了支持这一主张的经验证据。3.谱风险约束投资组合选择算法。在本节中，我们提出了一种快速迭代算法，用于在不引入任何新变量的情况下计算（2.2）的解。我们的目标是能够大规模地解决大规模的投资组合选择问题；因此，我们只能使用梯度下降算法。

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2022-5-7 01:37:25

SpecRiskAllocate是近端梯度算法FISTA[Beck and Teboulle，2009]的一个应用，可精确定义（2.2）的“平滑”惩罚重新公式。在定理3.1中，我们为惩罚参数建立了一个显式值，该值保证（2.2）的ε-最优解可以从解重构为惩罚公式。第4节中的数值结果清楚地表明，我们的算法解决了几个小的凸QP，明显快于解决一个非常大的LP的LP公式。SpecRiskAllocate可以被视为一种分解算法，利用其约束非常松散耦合的事实，将大型LP分解为多个小型QP，然后平滑较小的QP以提高收敛性。3.1. 平滑的处罚公式。投资组合选择问题（2.2）显然相当于问题maxu>x- λkxks。t、 max1≤K≤m{ρk（Lkx）- αk}≤ 0，k=1，··，m，>x=1，kxk∞≤ B.该优化问题的精确惩罚公式由minη给出λkxk- u>x+ （max1）≤K≤m{ρk（Lkx）- αk}）+s.t.1>x=1，kxk∞≤ B、其中η表示惩罚参数。我们将发现，用η来衡量目标，而不是衡量惩罚条款，是很方便的。让我们表示M+1值的最大值，t，tm+1，作为ψ（t，·，tm+1）=maxut> u:1>u=1，u≥ 0, 定义g（x）=ψ（ρ（Lx）-α, . . . , ρm（Lmx）-αm，0）。然后，上述精确的惩罚公式可以写成（3.1）G（η）=minηλkxk- u>x+ g（x）s.t.1>x=1，kxk∞≤ B.我们期望（3.1）的解收敛到（2.2）的解η→ 0.下一个结果证实了这一说法，并表明存在一个下限η*对于惩罚参数，它保证我们可以构造（2.2）的ε-最优解，从ε-最优解到G（η）的适当平滑版本*).定理3.1（惩罚表示）。

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能者818

2022-5-7 01:37:29

假设存在一个投资组合z，>z=1，kzk∞≤ B、使得z严格满足所有广义谱风险约束，即ρk（Lkz）<αk，对于k=1，m、定义gmax（x）=max1≤K≤m{ρk（Lkx）-αk}。设Pudenote为最优值P的任何上界*光谱风险投资组合选择问题（2.2）。假设x是η为的问题（3.1）的ε-最优解*=|gmax（z）| Pu- （u>z）- λkzk）。然后，^x=1+θ·x+θ1+θ·zi是谱风险投资组合选择问题（2.2）的ε-最优解，其中θ=max{gmax（x）/|gmax（z）|，0}。证据该证明与Iyengar等人[2011]的定理2相同。我们希望使用基于梯度的算法来解决问题（3.1）。然而，ψ和谱风险测度ρ都是其参数的非光滑函数；因此，g（x）=ψ（ρ（Lx）-α, . . . , ρm（Lmx）-αm，0）是投资组合x的一个非光滑函数。我们对函数g（x）使用光滑近似gνδ（x），例如g（x）-ν -δ ≤ gνδ（x）≤ g（x）。在附录A中给出了gνδ的构造细节。通过将（3.1）中的g（x）替换为gνδ（x），我们得到了以下光滑优化问题：gνδ（η）=minηλkxk- u>x+ gνδ（x）s.t.1>x=1，kxk∞≤ B.由于基于情景的光谱风险投资组合选择问题本身是一个近似于随机优化问题的问题，其中损失的分布是已知的，因此人们不希望以非常高的精度来解决这些问题，即10阶的解算误差-12.在实践中，误差为10-3是足够的。因此，在大多数实际情况下，为适当选择的ν和δ值解决平滑问题是有效的。此外，在第4节中，我们展示了平滑显著提高了这个问题的计算可处理性。3.2. 一阶近似梯度算法。SpecRiskAllocate显示在算法1中。

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2022-5-7 01:37:33

SpecRiskAllocate通过近似求解η递减序列的平滑惩罚问题序列Gνδ（η），计算出谱风险约束投资组合选择问题（2.2）的ε-最优解。韦伯金与η← η，然后逐渐降低η← cη，其中cη<1。这种延续方案确保了SpecRiskAllocate在利润率远未达到最优时能够采取较大的措施。在定理3.1中，我们证明了η的存在*> 这样我们可以通过求解Gνδ（η）来恢复（2.2）的ε-最优解*), i、 e.我们不必把η一直开到零。由于求解Gνδ（η）所需的数值精度随着η和0的增加而增加（参见Nocedal和Wright[1999]），因此该特性增加了SPEC的稳定性。在实践中，只要迭代x（j）中的相对变化小于公差，并且迭代x（j）是-可行的，我们就停止，即gmax（x（j））≤ . SpecRiskAllocate调用FISTA来近似求解η固定值的Gνδ（η）。FISTA是一种近端梯度法，即一种梯度下降算法，带有额外的近端项来控制步长。参数τ控制FISTA要求的精度。我们需要τ&0，以确保精度增加为η&0。接下来，我们将介绍FISTA的一些基本特征。有关算法的详细信息，请参阅Beck和Teboulle（2009）的读者。算法2中显示了我们使用的FISTA的具体实现。FISTA通过迭代求解一系列形式为（3.2）minηλkxk+ξ>（x）的二次优化问题来计算Gνδ（η）的近似解- y） +Ckx- yk，s.t.1>x=1，kxk∞≤ B、式中ξ=-ηu>y+gνδ（y）= -ηu + gνδ（y），C是梯度ξ的Lipschitz常数。

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大多数88

2022-5-7 01:37:37

虽然可以显式计算其值，但通常是算法1（η，cη，τ，cτ，ν，δ，）1:η← η2: τ ← τ3:C← 14:x←n5:repeat6:^x← x7:（x，C）← FISTA（^x，C，η，τ，ν，δ）8:η← cηη9：τ← cττ10:until（kx-^xk/k^xk<）和max1≤K≤m{ρk（Lkx）- αk}<11：返回xAlgorithm 2函数FISTA（x，C，η，τ，ν，δ）1:ζ← 1.52:t← 13:y← x4:repeat5:^x← x6:^t← t7:ξ← 计算半径（y，ν，δ）8:repeat9:x← argminnηλkzk+ξ>（z- y） +Ckz- yk:1>z=1，kzk∞≤ Bo10:F← -ηu>x+ηλkxk+gνδ（x）11:Q← ηλkxk- ηu>y+gνδ（y）+ξ>（x- y） +Ckx- yk12:C← Cζ13：直到F<Q14:C← C/ζ15:t←1+√1+4^t16:y← x+t-1t（x-^x）17：直到kx-^xk/k^xk≤ τ18：在Lipschitz常数C太大的情况下返回（x，C）。在实践中，使用回溯法计算C更有效。函数FISTA在算法2的第8–13行中进行回溯。FISTA保证在O（/ε）迭代中收敛到ε-最优解。然而，在实践中，最坏情况的界限往往过于保守。当利润率的相对变化低于阈值τ时，我们终止FISTA迭代。当η减小时，我们使τ逐渐变紧。让y（k）表示当前的FISTA迭代。自从-ηu>x+gνδ（x）是一个具有Lipschitz连续导数的凸函数，因此二次函数ξ>（x-y） +Ckx-这是一个上限-ηx+δ。这确保了在新的迭代y（k+1）时，真实目标的改善至少与二次近似（3.2）预测的改善一样大。二次近似（3.2）仅使用一阶梯度信息。

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大多数88

2022-5-7 01:37:41

因此，用于求解νδ（η）的算法可以扩展到更大的问题规模，并且与使用所有Hessian信息的全边界二次近似相比，随着问题规模的增加，算法也更加稳定；然而，以更大的迭代次数为代价。最后，注意（3.2）相当于原子ηλkxk+（ξ）- Cy）>x+Cx>x，s.t.1>x=1，kxk∞≤ B、也就是说，FISTA迭代是通过求解一个决策变量数量等于资产数量的“惩罚可分离凸”来计算的。因此，如果有机会使用均值-方差解算器，这个问题可以非常有效地解决。在附录B中，我们展示了如何使用单个一维搜索来解决这个问题。在实际情况下，如果投资组合选择问题可能有额外的线性约束，投资组合经理可以使用均值-方差或二次解算器来计算FISTA迭代。在附录B中，我们还展示了如何使用pmk=1dk+1一维搜索计算梯度ξ。4.数值结果。在本节中，我们给出了数值实验，表明在处理谱风险约束投资组合选择问题的大型实例时，SpecRiskAllocate优于LP公式。接下来，我们说明了在选择一个投资组合来对冲现有投资组合的风险时，考虑几种风险模型以克服风险参数的不确定性的便利性。4.1. 病态和问题缩放结果。我们在谱风险约束投资组合选择问题（2.2）的随机实例上测试了我们的算法。我们生成了具有不同资产数量n值的实例。所有实例的光谱风险约束数量均为m=5。对于每个spectralrisk度量，我们将ES组件的数量固定为d=3。所有风险模型的损失次数都设置为相等。

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2022-5-7 01:37:44

我们随机生成了预期回报百分比向量u、基于情景的损失矩阵Lk、ES权重向量γk和ES水平βk∈ [0.9,1）d.光谱风险预算αk设置为αk-0.1 |αk |，其中^αkis是投资组合^x=/n1的第k个谱风险度量值ρk（Lk^x）。我们将杠杆率设为B=1，将控制投资组合稀疏性的参数设为λ=0或λ=λ*, λ在哪里*=u>x*/kx*k、安德斯*= argmax{u>x:1>x=1，kxk∞≤ B} 。对于生成的所有实例，λ的值*处于[0.01,0.03]区间。SpecRiskAllocate参数设置如下η=10，cη=0.99，τ=10-4，cτ=0.95，ν=0.01 min |αk |，δ=0.01，=10-2.我们使用SpecRiskAllocate的MATLAB实现解决了谱风险约束稀疏投资组合选择问题的每个实例。对于每种情况，wealso都使用最先进的LP求解器Gurobi[GurobiOptimization，Inc.，2014]求解LP公式（2.3），最优性公差为=10-2.我们使用Gurobi 5.0.2版和Gurobi 5.6.0版解决了这些问题。我们的结果表明，尽管Gurobi的性能从一个版本到另一个版本有了显著的改善，但我们的算法仍然比这种先进的LP解算器具有显著的优势。我们使用古罗比的MATLAB接口从MATLAB中调用了古罗比。MATLAB在6核、3.07GHz英特尔至强处理器上运行，66GB内存运行Ubuntu操作系统。扰动t解算器uSσSσS/uS0。05 Gurobi 5.0.2 132.53 202.75 1.52980.05 Gurobi 5.6.0 111.77 4.30 0.03850.05 Specrisk分配82.12 0.41 0.00500.10 Gurobi 5.0.2 107.14 169.25 1.57970.10 Gurobi 5.6.0 118.65 13.59 0.11450.10 Specrisk分配81.96 0.75 0.0092表1解决100个扰动问题所需迭代次数的平均值、标准差和变异系数。

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2022-5-7 01:37:47

由于LP公式的病态性，Gurobi情况下的方差远高于SpecRiskAllocate情况下的方差。如第3节所述，LP配方（2.3）非常病态。这表现在解决类似问题所需的迭代次数差异很大，即参数值的扰动非常小。我们现在从经验上证明，当使用SpecRiskAllocate解决（2.2）时，不会遇到这个问题。我们生成了一个（n，n）=（1001000）的基本实例。接下来，我们创建了S=100个扰动实例，方法是将损失矩阵Lsk的每个条目`sijk，对应于第S个扰动问题，设置为`sijk=`ijk+t |`ijk |εsijk，其中∈ {0.05,0.1}和εsijk是I.I.D.标准正态随机变量。表1显示了Gurobi和SpecRiskAllocate（本例中为总FISTA迭代）所需迭代次数的平均u和标准偏差σ，以求解S=100扰动实例。表1还显示了求解扰动实例所需迭代次数的变化系数σS/u。SpecRiskAllocate要求的迭代次数的变异系数小于1%，其中Gurobi 5.0.2（分别为Gurobi 5.6.0）的相同迭代次数约为158%（分别为11%）。很明显，这种病态完全是通过特殊的方法解决的。在第3节中，我们认为LP（2.3）中的约束和变量数量非常大。因此，我们预计使用LPM公式解决大型实例的时间会很长。相比之下，我们希望SpecRiskAllocate能够在非常合理的时间内解决大型实例。为了支持这些说法，我们为每对参数（n，n）生成了10个随机实例，并用稀疏性参数λ集等于λ来求解它们*或者0。表2报告了这项问题比例研究的结果。

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2022-5-7 01:37:50

标有“err”的列列出了SpecRiskAllocate找到的最佳值相对于Gurobi找到的最佳值的平均相对误差。除了最小规模的问题，即（n，n）=（10100），Specrisk发现了一个目标值在最优值0.5%以内的解决方案，并为（n，n）参数化的11个问题中的7个找到了最优解。对于每种情况，我们都设置了1小时的最大解决时间限制。标有“限制”的列列出了在时间限制内无法解决的实例数。标有“time（s）”的列列出了以秒为单位的平均运行时间，其中我们为那些达到解决方案时间限制的实例提供了3600秒的运行时间。请注意，对于三个最大规模的问题，即（n，n）∈ {（100,15000），（1000,10000），（1000,15000）}，古罗比在时间限制内至少无法解决1个实例，最多无法解决10个实例中的9个。尽管Gurobi 5.6.0的运行时间对于较小的问题显示出了显著的改进，但它仍然难以解决与两个最大参数值对应的实例。相比之下，SpecRiskAllocate能够解决所有问题，比Gurobi至少快一个数量级。

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2022-5-7 01:37:53

请注意，运行时间报告λn Nerr Gurobi 5.0.2 Gurobi 5.6.0 specrisk allocate（%）限制时间限制时间限制时间λ*10 100 3.1 – 0.01 – 0.02 – 0.1210 500 – – 0.51 – 0.12 – 0.2410 1000 0.1 – 1.54 – 0.24 – 0.2910 1500 – – 0.5 – 0.48 – 0.6100 1000 – – 4.61 – 2.93 – 3.21100 5000 0.1 – 230.37 – 18.96 – 14.19100 10000 – – 497.36 – 54.33 – 15.73100 15000 – – 98.38 – 98.58 – 67.71000 5000 0.1 1 943.61 – 232.74 – 63.61000 10000 – 1 1050.15 1 1199.99 – 247.441000 15000 – 6 2538.93 5 2238.47 – 440.0710 100 0.2 – 0.01 – 0.01 – 0.2510 500 0.5 – 0.27 – 0.07 – 0.2810 1000 – – 0.13 – 0.13 – 0.3910 1500 0.2 – 0.27 – 0.22 – 0.57100 1000 – – 1.61 – 1.55 – 13.76100 5000 – – 133.78 – 10.61 – 42.77100 10000 – – 26.02 – 25.56 – 94.97100 15000 – – 41.8 – 40.88 – 68.791000 5000 – – 210.29 – 93.45–142.001000 10000–9 3274.86–286.17–408.131000 15000–9 3268.33 5 1960.7–420.17表2关于Gurobi的SpecRiskAllocate平均错误（err），在找到解决方案之前达到运行时间限制1小时的问题数量（共10个），以及在解决光谱风险约束的portfoliooptimization问题的随机实例时Gurobi和SpecRiskAllocate的平均运行时间。因为古罗比不包括设置LP所需的时间。还请注意，当稀疏性参数λ=0时，在较小的实例上SpecRiskAllocate比Gurobi慢，但在最大的实例上更快；此外，与古罗比相比，SpecRiskAllocate能够在不到一小时内解决所有实例。在这种情况下，SpecRiskAllocate的速度较慢，因为当我们不通过惩罚其`-norm来正则化Portfoliob时，子程序Efista（参见算法2）中的停止标准更难实现。

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2022-5-7 01:37:57

我们认为，将FISTA停止标准更改为更适合非正则化问题的标准，将显著提高运行时间。表2中报告的运行时间适用于SpecRiskAllocate版本，该版本使用迭代行搜索解决受约束的QP子问题。在典型的应用中，投资组合选择问题可能会有其他方面的约束，并且不太可能以这种方式解决QP子问题。为了确保运行时不是简单可行集的产物，我们还测试了SpecRiskAllocate的一个实现，其中QP步骤（以及梯度计算步骤）是使用二次规划solverin Gurobi求解的。此替代实现的运行时间与表2.4.2中报告的运行时间相似。参数不确定性。接下来，我们将说明如何利用SpecRiskAllocate的稳定性和可伸缩性来克服衍生工具组合风险时的参数不确定性。假设一个投资组合经理想要使用一组n个流动衍生头寸对冲现有xof衍生工具投资组合的风险。让V（~St）和Vi（~St）分别表示初始投资组合X的价值和衍生工具i的价值∈ 时间t时的{1，…，n}，作为基础资产价格向量的函数∈ r.让?`（t）=V（~S）-~V（~St）（分别为i（t）=~Vi（~S）-~Vi（~St））表示初始投资组合（以及衍生工具i）在时间t时的损失。然后是套期保值投资组合x在时间t时的损失∈ Rn由Pni=1`i（t）xi给出，投资组合经理在t时的总损失为`（t）+Pni=1`i（t）xi。请注意，与前面的符号不同，xinow表示所购买的导数i的总单位数。

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2022-5-7 01:38:01

因此，在接下来的内容中，我们放弃投资组合约束1>x=1。假设标的资产价格为对数正态分布，均值向量为π，协方差矩阵为未知∑t=~DtRDt，其中R为常数相关矩阵，~Dt=diag（~σt）为t时未知波动率的对角矩阵。假设投资组合经理知道当前波动率σ，并且相信时间范围T的波动率的形式为σT=σ+Pqp=1ωpρp，其中ρp∈ r为已知因子和ωp∈ [-1，1]是相应的未知权重。对于ω∈ Ohm := {-1,1}q∪ {0}，设`（ω）∈ RN（resp`i（ω）∈ RN）表示当波动率向量σT=σ+Pqp=1ωpρp时，初始投资组合（分别是衍生工具i上的损失i（T））上n个样本的向量Ohm, 考虑以下套期保值投资组合选择问题：∏（W）：=maxxminω∈Wu+u（ω）>x- λkxks、 t.ESβ（`（ω）+L（ω）x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wkxk∞≤ B（4.1）=maxx，μ- λkxks。t、 u≤ u+u（ω）>x，ω∈ WESβ（`（ω）+L（ω）x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wkxk∞≤ B、其中L（ω）=[`（ω）..`n（ω）]，u（ω）=-NL（ω）>1，且u=-N`（ω）>1。通过解决问题（4.1），投资组合经理希望计算一个`-正则化边际投资组合x，使总投资组合的最坏情况（w.r.t.w）预期收益最大化[x>，x>]>，同时确保最坏情况下的预期空头以α<1的系数下降。我们定义了∏（{0}）（分别为∏({-1，1}q）作为名义（相对稳健）投资组合选择问题。由于我们允许对冲组合x同时持有多头和空头头寸，为了对参数ωpwe中的不确定性保持稳健，我们必须考虑所有可能的最坏情况风险模型ω∈ {-1,1}q.问题（4.1）相当于tomax\'x\'u>\'x- λk′xks。T

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2022-5-7 01:38:04

ES（`（ω）+^L（ω）`x）≤ 0, ω ∈ WESβ（`（ω）+L（ω）`x）≤ αESβ（`（ω）），ω∈ Wl≤\'x≤ u、（4.2）式中，\'x=[x>，u+，u-]>,u = [0>, λ + 1, λ - 1] >，^L（ω）=[L（ω），1，-1] ，\'L（ω）=[L（ω），0,0]，L=[-B1>，0,0]>，而u=[B1>，∞, ∞]>. 因此，通过稍微修改SpecRiskAllocate来处理表格l的框约束≤ 十、≤ 而不是投资组合和杠杆约束1>x=1和kxk∞≤ B、我们能够利用它的稳定性和可扩展性来构建对参数不确定性具有鲁棒性的对冲投资组合。在接下来的内容中，我们表明，使用SpecRiskAllocate，可以构造一个减少初始投资组合风险的投资组合，同时消除不确定参数对预期收益的影响。继Alexander等人[2003]之后，我们假设初始投资组合由四个Europeanat货币二元看涨期权的空头头寸组成，每一个都在四个相关资产中的一个上，到期时间分别为4、6、8和10个月。对冲范围由每项资产的20个普通欧洲看涨期权组成，由履约价格[0.9,0.95,1,1.05,1.1]和到期日[2,3,4,6]个月以及资产本身组成。时间范围为T=1个月。我们使用N=25000个蒙特卡罗样本来模拟基础资产价格。衍生品的定价采用布莱克-斯科尔斯公式。其余的问题参数设置如下：q=2影响波动性的因素，ρ=0.02[1,1,1]>和ρ=0.02[1，-1, 1, -1]>; 预期短缺水平β=0.95；风险降低系数α=0.5，即。

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2022-5-7 01:38:07

投资组合经理将其风险敞口减少一半；杠杆约束B=1；以及控制投资组合的稀疏性的参数λ=θ2u（0）>x*kx*k、 θ在哪里∈ {0,0.5,1}和x*是λ=0的∏（{0}）的最优解。图1和图2显示了初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报，作为不确定参数（ω，ω）的函数∈ [-1, 1] × {-1,0,1}，当稀疏性参数θ=0和θ=1时。请注意，在所有情况下，风险约束均为ESβ（`（ω）+`L（ω）`x）≤ ω>0时，名义投资组合违反了αESβ（`（ω））。另一方面，尽管参数值不确定，最终稳健投资组合的风险始终小于初始投资组合的一半。此外，股票投资组合的预期收益率实际上与不确定参数（ω，ω）无关。相比之下，名义投资组合的预期收益率随着不确定参数ω和ω的变化而显著变化。请注意，我们之所以能够求解robustportfolio，是因为SpecRiskAllocate的计算效率比naive LP方法高得多。事实上，SpecRiskAllocate非常有效，通过在（4.1）中加入更多风险约束，可以解决协方差矩阵∑中存在更复杂不确定性或平均收益向量π中存在不确定性的投资组合选择问题。最后，图3显示了θ=0.5和θ=1时，最优名义和稳健投资组合的头寸。请注意，稳健的Porfolio在几乎所有仪器中的位置都与标称Porfolio相同。然而，稳健的投资组合持有其他额外资产的头寸。这些职位具有降低样本外风险和降低预期回报差异的预期效果。

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2022-5-7 01:38:10

同样值得注意的是，稀疏参数θ对稳健投资组合持有量的影响似乎大于对名义投资组合持有量的影响。5.结论。在本文中，我们提出了一种简单的基于梯度的SpecRiskAllocate算法来解决多光谱风险约束下的投资组合选择问题。该算法通过求解初始可行集上的一系列可分离凸QPs来计算最优投资组合，即公式不会增加问题的维数来表示风险度量。无论在理论上还是在实践中，这都是非常有效的。我们的数值实验表明，SpecRiskAllocate至少比最先进的通用求解器快一个数量级，适用于大多数具有实际意义的频谱风险约束投资组合选择问题。此外，我们的数值实验表明，SpecRiskAllocate允许投资组合管理者对多个风险模型施加约束，作为在其投资组合中引入抗参数不确定性稳健性的一种手段。-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2=-1预期短缺-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1平均回报率-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 1θ = 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1初始标称鲁棒性图。1.作为不确定参数（ω，ω）的函数，初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报∈ [-1, 1] × {-1, 0, 1}. 稀疏参数θ=0。参考资料。C.Acerbi。风险的光谱度量：主观风险厌恶的一致表示。《银行与金融杂志》，26（7）：1505-15182002。C.Acerbi和D.Tasche。

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2022-5-7 01:38:15

预期短缺：风险价值的自然一致替代品。《经济笔记》，31（2）：379-3882002。V.阿加瓦尔和N.Y.奈克。涉及对冲基金的风险和投资组合决策。金融研究回顾，17（1）：63-982004。S.亚历山大、T.F.科尔曼和Y.李。基于CVaR的衍生产品组合套期保值。投资和监管中的新风险措施：约翰·威利父子有限公司，2003年。S.亚历山大、T.F.科尔曼和Y.李。最小化组合衍生工具的CVaR和VaR。《银行与金融杂志》，30（2）：583-6052006。P.阿特兹纳、F.德尔班、J.-M.埃伯和D.希思。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203–228，1999年。A.贝克和M.特布尔。线性逆问题的快速迭代收缩阈值算法。暹罗成像科学杂志，2（1）：183–202，2009年。D.贝尔西马斯和J.N.齐齐克利斯。线性优化导论，第6卷，第4章。马萨诸塞州贝尔蒙特市雅典娜科学院，1997年。布朗和卡诺瓦。使用多种风险模型进行卓越的投资组合管理。。。这不仅仅是定量的练习。2011年第032号Axioma研究论文。E.J.坎迪斯、M.B.沃金和S.P.博伊德。通过重新加权“最小化”来增强稀疏性。傅立叶分析与应用杂志，14（5）：877–9052008。S.Ceria、F.Margot、A.Renshaw和A.Saxena。投资组合构建的新方法：多风险模型和多解决方案生成。优化Op-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2=-1预期短缺-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1平均回报率-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 0-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-10123ω1ω2= 1θ = 1-1.-0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.0%0.0%1.0%2.0%3.0%ω1初始标称鲁棒性图。2.

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2022-5-7 01:38:18

作为不确定参数（ω，ω）的函数，初始、名义和稳健投资组合的样本外预期短缺和平均回报∈ [-1, 1] × {-1, 0, 1}. 稀疏参数θ=1。《优化：下一代优化应用与理论》，2009年第23-52页。T.J.Chang、N.Meade、JE Beasley和YM Sharaiha。基数试探法与投资组合优化。计算机与运筹学，27（13）：1271-13022000。V.德米格尔、L.加拉皮、F.J.诺加莱斯和R.乌帕尔。拓扑组合优化的一种广义方法：通过约束组合规范来提高性能。《管理科学》，55（5）：798-8122009。古洛比优化公司，《古洛比优化参考手册》，2014年。统一资源定位地址http://www.gurobi.com.S.霍达、A.吉尔平、J.佩纳和T.桑德霍姆。计算序列博弈纳什均衡的平滑技术。运筹学数学，35（2）：494–512，2010年。G.艾扬格和A.K.C.马。平均CVaR优化的快速梯度下降法。运筹学年鉴，205（1）：203–212，2013年。G.Iyengar、D.J.Phillips和C.Stein。近似半限定包装程序。暹罗优化杂志，21（1）：231–2682011。P.乔里昂。风险价值。麦克劳希尔，纽约，2006年。Y.A.科科西迪斯和A.M.杜阿尔特。基于情景的主动资产配置方法。《投资组合管理杂志》，23（2）：74-851997。A.E.B.Lim、J.G.Shanthikumar和G.-Y.Vahn。投资组合优化中的条件风险价值：连贯但脆弱。运筹学快报，39（3）：163–1712011.1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 13 16 18 20 21 22 24 33 37 38 40 54 67 69 72 77 81 84-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81仪器指数θ=0.51 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 14 16 18 20 21 22 24 33 38 40 54 67 69 72 77 81 84-1.-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81仪器指数θ=1位置标称稳定性图。3.

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2022-5-7 01:38:21

持有名义上和稳健的投资组合。稀疏度参数θ=0.5（顶部）和θ=1（底部）。H、 J.L–uthi和J.Doege。投资组合优化和灵活性概念的凸风险度量。数学规划，104（2）：541–5592005。H·M·马科维茨。投资组合选择。《金融杂志》，7（1）：77-911952年。Y.内斯特罗夫。非光滑函数的光滑最小化。数学规划，103（1）：127-1522005。J.Nocedal和S.J.Wright。数值优化，第17章，第511-522页。斯普林格·维拉格，1999年。A.A.伦肖。前面的路标是：危险区。多重风险模型可以告诉我们未来的提款情况。Axioma研究论文第04012号。R.T.Rockafellar和S.Uryasev。条件风险价值的优化。《风险日记》，2000年2月21日至42日。R.T.Rockafellar、S.Uryasev和M.Zabarankin。风险分析和优化中的偏差措施。佛罗里达大学工业与系统工程系，2002年。附录A.g（x）的平滑。定义函数（A.1）f（ν）β（ζ）=maxζ>q-νkqks。t、 0≤ Q≤(1-β） N1，>q=1。Nesterov[2005]证明f（ν）β（ζ）是一个具有梯度的可微强凸函数f（ν）β（ζ）=q*, q在哪里*是（A.1）的唯一解决方案。梯度f（ν）β是Lipschitz连续的，且Lipschitz常数/ν。此外，f（ν）β满足β（ζ）- ν ≤ f（ν）β（ζ）≤ ESβ（ζ），即f（ν）β（ζ）是ESβ（ζ）的一个ν-近似值。设ρ（ζ）=Pd`=1γ`ESβ`（ζ）表示任何广义谱风险函数。我们将平滑的光谱风险函数定义为ρ（ν）（ζ）=dX`=1γ`f（ν）β`（ζ）。当d`=1γ`=1时，对于所有广义谱风险函数，ρ（ζ）-ν ≤ρ(ν)(ζ) ≤ ρ(ζ). ρ（ν）（ζ）的梯度由下式给出：ρ（ν）（ζ）=Pd`=1γ`q*`, q在哪里*`是（A.1）的唯一最优解，β=β`。最后，定义（A.2）ψ（δ）（t）=最大t>u-δ库克斯。T

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2022-5-7 01:38:24

1> u=1u≥ ψ（δ）是一个具有Lipschitz连续梯度的可微凸函数ψ（δ）（t）=u*, 你在哪里*是（A.2）和Lipschitz常数/δ的唯一解[Nesterov，2005]。此外，我们还有ψ（t）- δ ≤ ψ（δ）（t）≤ ψ（t）。我们定义了g（x）asgνδ（x）=ψ（δ）的平滑ρ（ν）（Lx）- α, . . . , ρ（ν）m（Lmx）- αm，0.Iyengar等人[2011]中的定理[7]（另见Hoda等人[2010]）保证Gνδ（x）是具有Lipschitz连续梯度的凸函数（a.3）gνδ（x）=mXk=1u*kL>kρ（ν）k（Lkx），其中u*= argmaxPmk=1ukρ（ν）k（Lkx）- αk-δ库克斯。t、 1>u=1u≥ 此外，gνδ（x）是g（x）的（ν+δ）近似值，即g（x）-ν -δ ≤ gνδ（x）≤ g（x）。附录B.规范的详细信息。回想一下，FISTA迭代是通过求解一个“惩罚QP”形式（3.2）来计算的。接下来，我们将展示如何使用一维搜索解决这个问题。将约束1>x=1二元化，我们得到以下优化问题：L（γ）=minkxk∞≤Bηλkxk+（ξ）- Cy+γ1）>x+Cx>x.写x=w- v、 w，v在哪里≥ 0，观察l（γ）=min0≤W≤地下一层(ηλ1 + ξ - Cy+γ1）>w+Cw>w+ min0≤五、≤地下一层(ηλ1 - ξ+Cy- γ1）>v-v>Cv,我们忽略了交叉项w>v，因为它们在任何最优解中都为零。L（γ）的最优解由x给出*i（γ）=min{（\'ci）- γ） /C，B}+-min{（ci+γ）/C，B}+，其中`ci=-ηλ-ξi+Cyi和ci=-ηλ+ξi-Cyi，i=1，n、（3.2）的最优解可以通过找到双变量γ来恢复*以至于>x*(γ*) = 1.自limγ以来→∞十、*(γ) = -B1和limγ→-∞十、*（γ） =B1，因此存在γ*∈ (-∞, ∞) 使1>x*(γ*) = 1.查找γ的计算复杂性*由排序集合的计算成本决定∪1.≤我≤n{ci，ci}。FISTA（参见算法2）调用算法3中显示的子程序ComputeGradent来计算梯度ξ。计算梯度ξ需要计算梯度gνδ（x）（cf。

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