金融数学中的双边伽马分布和过程

2022-6-24 10:49:26

金融数学中的双边伽马分布和过程Suwe K¨UCHLER和STEFAN Tappeastract。我们提出了一类用于金融市场波动建模的列维过程：双边伽马过程。我们的出发点是探索双边伽马分布的性质，然后我们转向相关的L'evy过程。我们将指数L'evy股票模型与深入的双边Gamma过程以及由双边Gamma过程驱动的期限结构模型相结合，并将我们的结果应用于一组真实的金融数据（DAX 1996-1998）。关键词：双边Gamma分布、参数估计、双边Gamma过程、度量转换、股票模型、期权定价、期限结构模型60G51、91G201。简介近年来，金融市场价格变动的更现实的随机模型已经开发出来，例如用L'evy过程代替经典的布朗运动。这种L'evy过程的常见例子是广义双曲过程[2]及其子类，方差Gamma过程[15]和CGMY过程[4]。例如，可在【21，第5.3章】中找到有关用于融资申请的利维流程的调查。我们提出了另一类似乎很有趣的L'evy过程：双边Gamma过程，它被定义为两个独立Gamma过程的差异。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:30

这类四参数过程比方差伽马过程更灵活，但在分析上仍然可以处理，尤其是这些过程具有简单的累积量生成函数。本文的目的有两个：首先，我们研究这些过程的性质以及它们的生成分布，并说明它们与文献中考虑的其他分布的关系。正如我们将看到的，它们有一系列的特性，使它们的应用非常有趣：双边伽马分布是自分解的，在卷积下是稳定的，并且有一个简单的累积量生成函数。相关的L'evyprocess是有限的变化过程，在每个正长度的间隔处发生无数次跳跃，其所有增量均为双边伽马分布。特别是，可以很容易地模拟双边膜过程的轨迹。因此，我们的第二个目标是应用双边伽马过程对金融市场波动进行建模。我们处理指数L'evy股票市场模型，并推导出欧式看涨期权定价的闭合公式。作为一个例子，我们将我们的结果应用于三年期间德国股票指数DAX的演变。双边伽马过程驱动的期限结构模型得到了很好的考虑。我们感谢迈克尔·瑟伦森和一位匿名裁判的有益评论和讨论。2 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE2。双边伽马分布建立L'evy过程的一种流行方法是取一个从属项S，即独立于S的布朗运动W，并构造时变布朗运动Xt：=W（St）。例如，广义双曲过程和方差Gamma过程就是以这种方式构造的。我们不走这条路。相反，我们定义X：=Y- Z表示两个独立从属关系的差异，Z。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 10:49:34

这些从属函数应该有一个简单的特征函数，因为得到的L'evy过程X的特征函数也很简单。在这些思想的指导下，我们选择Gamma过程作为从属过程。首先，我们需要对Gamma分布进行以下略微概括。对于α>0和λ∈ R{0}，我们通过密度f（x）=λ|αΓ（α）| x |α来定义Γ（α，λ）-分布-1e级-|λ| | x|{λ>0}{x>0}+{λ<0}{x<0}, x个∈ R、如果λ>0，那么这就是众所周知的伽马分布，对于λ<0，伽马分布集中在负半轴上。各一个验证（α，λ）∈ (0, ∞)×R \\{0}aΓ（α，λ）-分布的特征函数由Д（z）给出=λλ - iz公司α、 z∈ R（2.1），其中幂α来自复对数的主分支。参数为α+、λ+、α的双边γ分布-, λ-> 0定义为卷积（α+，λ+；α-, λ-) := Γ(α+, λ+) * Γ(α-, -λ-).注意，对于独立随机变量X，Y和X~ Γ（α+，λ+）和Y~Γ(α-, λ-) 这种差异具有双边伽马分布X-Y~ Γ(α+, λ+; α-, λ-).根据（2.1），双边伽马分布的特征函数为Д（z）=λ+λ+- iz公司α+λ-λ-+ iz公司α-, z∈ R、（2.2）2.1。引理。（1）假设X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-) 和Y~ Γ(α+, λ+; α-, λ-), X和Y是独立的。然后X+Y~ Γ(α++ α+, λ+; α-+ α-, λ-).（2）对于X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-) c>0时，它保持cX~ Γ（α+，λ+c；α-,λ-c）。证据断言的属性遵循characteristicfunction的表达式（2.2）。从特征函数（2.2）可以看出，双边伽马分布在卷积下是稳定的，并且它们是完全可分的。根据[18，Ex。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:37

8.10]L'evy-Khintchine公式（截断函数h=0）中的漂移和高斯部分均等于零，且L'evy测度由f（dx）给出=α+xe-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。（2.3）因此，我们也可以将特征函数Д表示为Д（z）=exp锆eizx公司- 1.k（x）xdx, z∈ R（2.4），其中k:R→ R是函数k（x）=α+e-λ+x（0，∞)（十）- α-e-λ-|x个|(-∞,0）（x），x∈ R（2.5）金融领域的双边伽马分布和过程3，每一个都在减少(-∞, 0）和（0，∞). 【18，Cor.15.11】的直接结果是，双边伽马分布是可自分解的。通过（2.3），它还保持sz | x |>1ezxF（dx）<∞ 对于所有z∈ (-λ-, λ+).因此，累积量生成函数ψ（z）=ln EezX公司（其中X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-))存在于(-λ-, λ+，以及ψ和ψ，关于（2.2），由ψ（z）=α+ln给出λ+λ+- z+ α-自然对数λ-λ-+ z, z∈ (-λ-, λ+，（2.6）ψ（z）=α+λ+- z-α-λ-+ z、 z∈ (-λ-, λ+).（2.7）因此，n阶累积量κn=nznψ（z）| z=0由κn=（n）给出- 1)!α+（λ+）n+(-1） nα-(λ-)n, n∈ N={1，2，…}。（2.8）尤其是对于aΓ（α+，λ+；α-, λ-)-分布随机变量X，我们可以指定o期望e[X]=κ=α+λ+-α-λ-.（2.9）o方差Var[X]=κ=α+（λ+）+α-(λ-).（2.10）oCharliers偏度γ（X）=κ3/2=α+(λ+)-α-(λ-)α+(λ+)+α-(λ-)3/2.（2.11）o峰度γ（X）=3+κκ=3+α+(λ+)+α-(λ-)α+(λ+)+α-(λ-).（2.12）因此，双侧伽马分布为轻轨分布。3、相关分布类别从列维测度（2.3）中可以明显看出，双边伽马分布是广义回火稳定分布的特例【5，第4.5章】。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:41

该六参数族由其L'evy measureF（dx）定义=α+x1+β+e-λ+x（0，∞)（x） +α-|x | 1+β-e-λ-|x个|(-∞,0）（x）dx。CGMY分布（见[4]）是一个具有L'evy measureF（dx）的四参数族=Cx1+Ye-Mx（0，∞)（x） +C | x | 1+Ye-G | x|(-∞,0）（x）dx。我们观察到一些双边伽马分布是CGMY分布，反之亦然。正如即将到来的结果所揭示的，双边伽马分布在弱收敛下并不紧密。4 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE3.1。提议设λ+，λ-> 0是任意的。然后，以下收敛保持不变：Γ(λ+)λ-nλ++λ-, λ+√nλ+(λ-)nλ++λ-, λ-√nw→ N（0，1）表示N→ ∞.证据这是中心极限定理引理2.1和关系式（2.9）、（2.10）的结果。双边伽马分布是[23]术语中广义伽马演化的特例。这些都是可整除分布u，其特征函数的形式为^u（z）=expizb公司-cz公司-锆自然对数1.-izy公司+izy1+ydU（y）, z∈ R带b∈ R、 c类≥ 0和非递减函数U:R→ 满足可积条件sz的U（0）=0的R-1 | ln y | dU（y）<∞ andZ公司-1.-∞ydU（y）+Z∞ydU（y）<∞.由于扩展广义Gamma卷积在弱极限下是闭合的，请参见[23]，双边Gamma分布的每个极限情况都是扩展广义Gamma卷积。设Z是一个从属函数（一个递增实值L'evy过程），X是一个值为Rd的L'evy过程。假设（Xt）t≥0和（Zt）t≥0是独立的。根据[18，Thm.30.1]，过程Y由yt（ω）=XZt（ω）（ω），t定义≥ 0是Rd上的L'evy进程。进程（Yt）t≥0被称为从属于（Xt）t≥让λ=L（Z）和u=L（X），我们确定混合物uo λ：=L（Y）。如果u为异常分布，则uo λ称为正态方差-均值混合（cf。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-24 10:49:44

[3] ，过程Y称为时变布朗运动。u的特征函数o λ是，根据[18，Thm.30.1]，νuoλ=Lλ（log^u（z）），z∈ Rd（3.1），其中Lλ表示拉普拉斯变换Lλ（w）=Z∞ewxλ（dx），w∈ C带Re w≤ 0其中log^u表示u的特征函数的唯一连续对数【18，引理7.6】。漂移u=0的广义双曲线分布GH（λ，α，β，δ，u）是正态方差平均混合，因为（参见，例如，[6]）GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）o GIG（λ，δ，pα- β），（3.2），其中GIG表示广义逆高斯分布。对于GIG分布，它保持收敛GIG（λ，δ，γ）w→ Γ（λ，γ）为δ↓ 0，（3.3）参见，例如，[21，第5.3.5节]。方差γ分布V G（u，σ，ν）的特征函数为φ（z）（见[15，第6.1.1节]）=1.- izuν+σνz-ν、 z∈ R、（3.4）金融中的双边伽马分布和过程5因此，我们通过使用（3.1）验证方差伽马分布是正态方差-均值混合，即它保持sv G（u，σ，ν）=N（u，σ）o Γ（ν，ν）=N（uσ，1）o Γ(ν,νσ).（3.5）根据【15，第6.1.3节】，方差伽马分布是双边伽马分布的特例。在定理3.3中，我们刻画了方差伽马分布的双边伽马分布。之前，我们需要一个关于混合收敛性的辅助结果。3.2. 引理。λnw→ λ和unw→ u表示λno unw→ λ o u为n→ ∞.证据固定z∈ 自log^un起的Rd→ log^u[18，引理7.7]，setK：={log^un（z）：n∈ N}∪ {log^u（z）}是紧凑的。它保持Lλn→ Lλ在紧集上一致（证明类似于L'evy连续性定理）。考虑到（3.1），我们因此得到了Дλnoun（z）→ φλou（z）为n→ ∞. 现在我们推导并证明了宣告定理。3.3. 定理。设α+，λ+，α-, λ-> 0和γ=Γ（α+，λ+；α-, λ-).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:47

（1）γ是方差γ分布。（2） γ是GH（λ，α，β，δ，0）的极限情况，其中δ↓ 0和λ、α、β是固定的。（3） γ是正态方差-均值混合物。(4) α+= α-.证据假设γ=V G（u，σ，ν）。我们设置（λ，α，β）：=ν，rνσ+uσ,uσ!,使用（3.2）、引理3.2、（3.3）和（3.5）GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）得到o GIG（λ，δ，pα- β） =Nuσ, 1o GIG公司ν、 δ，qνσw→ Nuσ, 1o Γν,νσ= γ为δ↓ 0，显示（1）=> (2). 如果GH（λ，α，β，δ，0）=N（β，1）o GIG（λ，δ，α- β） w→ γ表示δ↓ 0，则γ是引理3.2的正态方差-均值混合物，证明了（2）=> (3). 含义（3）=> （4）依据【5，第4.1款】有效。如果α+=α-=: α、使用特征函数（2.2）、（3.4），我们得到γ=V G（u，σ，ν），参数（u，σ，ν）：=αλ+-αλ-,2αλ+λ-,α,（3.6）何处（4）=> （1）如下所示。我们强调，不能将非方差Gamma的双边Gamma分布作为广义双曲分布的极限情况。我们参考文献[6]，其中确定了广义双曲分布的所有极限。6 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE4。双边伽马分布的统计数据前几节的结果表明，双边伽马分布具有一系列特性，使其应用非常有趣。假设我们有一组数据，假设它的定律实际上是一个双边伽玛分布。然后我们需要估计参数。本节专门介绍双边伽马分布的统计数据。让X，Xnbe一个Γ（Θ）-分布随机变量的i.i.d.序列，其中Θ=（α+，α-, λ+, λ-), 让x，xnbe实现。我们想确定参数的估计值。我们从矩量法开始，估计k=1，…，的第k阶矩mk=E[Xk]，4 as^mk=nnXi=1xki。（4.1）根据[16，p.346]，矩和累积量κ之间的下列关系。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:52

，κin（2.8）有效：κ=mκ=m- mκ=m- 3mm+2mκ=m- 4毫米- 3m+12mm- 6米。（4.2）对于n=1，…，插入累积量（2.8），4到（4.2），我们得到α+λ-- α-λ+- cλ+λ-= 0α+(λ-)+ α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0α+(λ-)- α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0α+(λ-)+ α-(λ+)- c（λ+）（λ-)= 0，（4.3），其中常数c，护理人员c=mc=m- mc=m-mm+mc=m-毫米-m+2mm- m、我们可以显式求解方程组（4.3）。一般情况下，如果我们避免特殊情况（α+，λ+=（0，0），（α-, λ-) = （0，0）和（λ+，λ-) = （0，0），它有很多但不止一个解决方案。注意，对于（α+，α-, λ+, λ-) 向量（α-, α+, -λ-, -λ+）也是（4.3）的溶液。然而，在实践中，参见第9节，限制α+，α-, λ+, λ-> 0确保解决方案的唯一性。让我们仔细看看关于解的可解性和唯一性的方程组（4.3）。当然，α+，α的真值-, λ+, λ-> 如果Cn等于κn（n），则求解0（4.3-1)!, 见（2.8）。（4.3）的左侧定义了齿函数G:C×（0，∞)→ R、式中，C：=（R×（0，∞)). 现在我们考虑g（c，θ）=0，θ=（α+，α-, λ+, λ-) ∈ (0, ∞)（4.4）金融中的双边伽马分布和过程7，固定向量c=（c，…，c）由cn=κn（n）给出-1)!对于n=1，4、因为自由Gθ（c，θ）=detλ--λ+-α+λ-/λ+α-λ+/λ-(λ-)(λ+)-2α+(λ-)/λ+-2α-(λ+)/λ-(λ-)-(λ+)-3α+(λ-)/λ+3α-(λ+)/λ-(λ-)(λ+)-4α+(λ-)/λ+-4α-(λ+)/λ-= α+α-λ+λ-· det公司1 1 1 1λ-(-λ+) 2λ-2(-λ+)(λ-)(-λ+)3(λ-)3(-λ+)(λ-)(-λ+)4(λ-)4(-λ+)= α+α-(λ+)(λ-)(λ++ λ-)> 0对于每个θ∈ (0, ∞), 方程（4.4）隐含地定义了ca唯一定义函数θ=θ（γ），G（γ，θ（γ））=0，γ的邻域U∈ U、假设基于^mnare计算的^cnare接近真实cn，我们得到（4.3）的唯一解。该程序产生向量^Θ作为参数的第一次估计。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:55

双边伽马分布相对于Lebesguemeasure是绝对连续的，因为它们是两个伽马分布的卷积。为了进行最大似然估计，我们需要其密度函数的适当表示。由于密度满足对称关系f（x；α+，λ+，α-, λ-) = f级(-x；α-, λ-, α+，λ+，x∈ R \\{0}（4.5）分析正实线上的密度函数是有效的。作为两个伽马密度的演化，它们是x的∈ (0, ∞) 给定byf（x）=（λ+）α+（λ-)α-(λ++ λ-)α-Γ(α+)Γ(α-)e-λ+xZ∞vα--1.x+vλ++λ-α+-1e级-vdv。（4.6）我们可以用Whittaker函数Wλ，u（z）[10，p.1014]来表示密度f，这是一个研究得很好的数学函数。根据[10，p.1015]，Whittaker函数的表达式为wλ，u（z）=zλe-zΓ（u- λ++Z∞tu-λ-e-t型1+tzu+λ-u的dt- λ > -.（4.7）从（4.6）和（4.7）中，我们得到x>0f（x）=（λ+）α+（λ-)α-(λ++ λ-)(α++α-)Γ（α+）x（α+）α-)-1e级-x（λ+-λ-)（4.8）×W（α+-α-),(α++α--1）（x（λ++λ-)).8 UWE K¨UCHLER和STEFAN TappethΘ=（α+，α）的似然函数的对数-, λ+, λ-) 通过密度的对称关系（4.5）和表示（4.8），由n L（Θ）=-n+ln（α+）- n-ln（α-))（4.9）+nα+ln（λ+）+α-ln（λ-) -α++ α-ln（λ++λ）-)+α++ α-- 1.nXi=1ln | xi |！-λ+- λ-nXi=1xi+nXi=1lnWsgn（xi）（α+-α-),(α++α--1）（| xi |（λ++λ）-)),其中n+表示正的数量，n-负面观察的数量。我们将从矩量法获得的向量^Θ作为算法的起点，例如胡克-杰夫斯算法【17，第7.2.1节】，该算法在数值上最大化对数似然函数（4.9）。这给出了参数的最大似然估计。我们将在第9.5节中说明整个过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:49:58

双边伽马过程正如我们在第2节中所示，双边伽马分布完全可以区分。让我们列出相关L'evy过程的性质，在后半部分中用X表示。从L'evy测度F的表示（2.3），我们可以看到F（R）=∞ andRR | x | F（dx）<∞. 由于高斯部分为零，X在[18，定义11.9]的术语中属于B类。我们得到了以下性质。双边伽马过程是指有限的变化过程[18，Thm.21.9]，在每个腹股沟处以正长度进行无数次跳跃[18，Thm.21.3]，它们等于它们的跳跃之和[18，Thm.19.3]，即Xt=Xs≤t型Xs=x* uX，t≥ 0其中uXdenotes是X跳跃的随机测度。双边Gamma过程是具有正则分解的特殊半鞅[12，Cor.II.2.38]Xt=X* （uX- ν） t型+α+λ+-α-λ-t、 t型≥ 0其中，ν是uX的补偿器，由ν（dt，dx）=dtF（dx）给出，其中f表示（2.3）给出的L'evy度量。我们立即从特征函数（2.2）中看到，x的所有增量都有双边伽马分布，更精确的是x- Xs型~ Γ（α+（t- s），λ+；α-（t- s），λ-) 对于0≤ s<t.（5.1）有许多生成伽马随机变量的有效算法，例如[5，第6.3节]中选择的Johnk生成器和Best的伽马变量生成器。由于（5.1），因此很容易模拟双边GammaProcess。6、双边伽马过程的度量变换为了定义无套利金融模型，度量的等效变化很重要。在本节中，我们讨论双边Gamma过程的等效测度变换。金融中的双边伽马分布和过程9我们假设概率空间(Ohm, F、 P）如下所示。允许Ohm = D、函数ω（t）从R+到R的集合，右连续，左极限。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-24 10:50:01

对于ω∈ Ohm, 设Xt（ω）=ω（t），设F=σ（Xt:t∈ R+）和（Ft）t≥0be filtrationft=σ（Xs:s∈ [0，t]）。我们考虑一个概率测度P(Ohm, F）这样Xis就是一个双边伽马过程。6.1. 提议设X为aΓ（α+，λ+；α-, λ-)-测度P和letα+，λ+，α下的过程-, λ-> 0、以下两种说法是等效的。（1）还有另一个衡量Qloc的指标~ 其中X是参数为α+、λ+、α的双边Gammaprocess-, λ-.（2） α+=α+和α-= α-.证据【18，Thm.33.1】中的所有条件均明显满足，Zr除外1.-pΦ（x）F（dx）<∞,（6.1）其中Φ=dfdf表示各个L'evy度量的Radon-Nikodym导数，由Φ（x）=α+α+e给出（2.3）-(λ+-λ+）x（0，∞)（x） +α-α-e-(λ--λ-)|x个|(-∞,0）（x），x∈ R、（6.2）（6.1）中的积分等于Zr1.-pΦ（x）F（dx）=Z∞x个qα+e-（λ+/2）x-qα+e-（λ+/2）xdx+Z∞x个qα-e-(λ-/2） x个-qα-e-(λ-/2） x个dx。因此，当且仅当α+=α+和α-= α-. 应用[18，第33.1条]完成证明。命题6.1意味着我们可以变换任何方差Gamma过程，这是根据定理3.3双边Gamma过程Γ（α，λ+；α，λ-), 任意参数λ>0的对称双边伽马过程Γ（α，λ；α，λ）。现在假设过程X是Γ（α+，λ+；α-, λ-) 在P和Γ（α+，λ+；α）下-, λ-)在Qloc措施下~ P、根据命题6.1，存在测量值的这种变化。对于似然过程的计算∧t（Q，P）=dQ | FtdP | Ft，t≥ 0我们需要以下辅助结果引理6.2。为了证明它，我们需要指数积分的下列性质[1，第5章]E（x）：=Z∞e-xttdt，x>0。指数积分具有级数展开式（x）=-γ - ln x-∞Xn=1(-1） nn·n！xn，（6.3），其中γ表示欧拉常数γ=limn→∞“nXk=1k- ln（n）#。10 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tapper指数积分的导数如下所示：xE（x）=-e-xx。(6.4)6.2. 引理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:05

对于所有λ，λ>0，它保持sz∞e-λx- e-λxxdx=lnλλ.证据由于（6.4）关系和指数积分Ewe obtainZ的级数展开式（6.3）∞e-λx- e-λxxdx=肢体→∞[E（λb）- E（λb）]- 利马→0[E（λa）- E（λa）]=肢体→∞E（λb）- 肢→∞E（λb）+lnλλ+ 利马→0∞Xn=1n·n！（λa）n- 利马→0∞Xn=1n·n！（λa）n。四个限值中的每一个都为零，因此声明的等式如下。对于我们在金融领域的应用，相对熵Et（Q，P）=EQ[ln∧t（Q，P）]，也称为Kullback-Leibler距离，通常用作两个等效概率度量的接近度度量，这一点非常重要。接下来的结果提供了似然过程和相对熵。在退化情况下λ+=λ+或λ-= λ-, （6.5）中的相关伽马分布被理解为狄拉克测度δ（0）。6.3. 提议它保持∧t（Q，P）=eUt，其中U在P下，L'evy过程生成分布U~ Γα+,λ+λ+- λ+* Γα-,λ-λ-- λ-* δα+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-.（6.5）设置f（x）=x- 1.- lnx，它适用于相对熵（Q，P）=tα+fλ+λ++ α-fλ-λ-.（6.6）证明。根据[18，Thm.33.2]，似然过程的形式为∧t（Q，P）=eUt，其中，在度量值P下，U是L'evy过程ut=Xs≤tln（Φ(Xs））- tZR（Φ（x）- 1） F（dx），（6.7），其中Φ是由（6.2）给出的Radon-Nikodym导数，α+=α+=：α+和α-= α-=: α-. 对于每t>0，用X+t表示集水坑≤t型(X）+和X-t集水坑≤t型(Xs）-. 那么X=X+- 十、-. 通过Q的构造和定义，过程X+和X-独立于Γ（α+，λ+）和Γ（α-, λ-)-P和独立Γ（α+，λ+）和Γ（α）下的过程-, λ-)-分别在Q下处理。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 10:50:08

从（6.2）开始，它遵循Xs≤tln（Φ(Xs））=（λ+- λ++X+t+（λ-- λ-)十、-t、金融中的双边伽马分布和过程11（6.7）中的积分，使用引理6.2，等于Zr（Φ（x）- 1） F（dx）=α+Z∞e-λ+x- e-λ+xxdx+α-Z∞e-λ-x个- e-λ-xxdx=α+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-.因此，我们得到了=（λ+- λ++X+t+（λ-- λ-)十、-t型+α+lnλ+λ++ α-自然对数λ-λ-t、（6.8）方程（6.8）得出（6.6），并与引理2.1一起得出关系式（6.5）。由于似然过程的形式为∧t（Q，P）=eUt，其中L'evy过程u由（6.8）给出，因此∧t（Q，P）=exp(λ+- λ++X+t- tψ+（λ+- λ+)（6.9）×exp(λ-- λ-)十、-t型- tψ-(λ-- λ-),式中ψ+，ψ-表示Gammaprocesses X+，X的各自累积量生成函数-在测量P下，保持α+，α-, λ+, λ-全部为正且固定，然后通过将θ+=λ+- λ+,θ-= λ-- λ-, θ = (θ+, θ-)>∈ (-∞, λ+) × (-∞, λ-) =: Θ，Q=Qθ我们得到了一个双参数指数族（Qθ，θ∈ Θ）的L'evy过程，其中规范过程Bt=（X+t，X-t）。特别是，对于每t>0，向量bt是θ=（θ+，θ）的有效统计-)>根据（Xs，s）的观察≤ t）。考虑由θ+=θ获得的子族-, 我们得到了一个具有X+t+X的单参数指数族l'evy过程-t=Ps≤t型|Xs |作为有效的统计和规范过程。检查前一节的典型路径命题6.1表明参数α+，α-应通过检查双边伽马过程的典型路径来确定。事实确实如此。我们从伽马过程开始。设X为aΓ（α，λ）-过程。选择一个时间范围T>0，设置N：=nT#t型≤ 电话：Xt公司≥ e-n, n∈ N、 7.1。定理。它保持P（limn→∞Sn=α）=1。证据由于[18，Thm。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:11

19.2]，X跳跃的随机测度uxo是aPoisson随机测度，强度测度ν（dt，dx）=dtαe-λxx（0，∞)dx。因此，sequenceYn：=TuX[0，T]×[e-n、 e1级-n）, n∈ 用e[Yn]=αZe1定义一系列独立随机变量-氖-氖-λxxdx=αZnn-1exp-λe-vdv↑ α为n→ ∞,Var[Yn]=αTZe1-氖-氖-λxxdx=αTZnn-1exp-λe-vdv↑αTas n→ ∞,12 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPEbecause exp公司(-λe-五）↑ v为1→ ∞. 因此，我们有∞Xn=1Var【Yn】n<∞.因此，我们可以应用科尔莫戈罗夫的强大数定律[22，Thm.IV.3.2]，并推导出thatlimn→∞Sn=limn→∞nnXk=1Yk+limn→∞nTuX（[0，T]×[1，∞)) = α、完成证明。现在，让X是一个双边伽马过程，比如X~ Γ(α+, λ+; α-, λ-). We集合+n：=nT#t型≤ 电话：Xt公司≥ e-n, n∈ N、 S-n： =nT#t型≤ 电话：Xt公司≤ -e-n, n∈ N、 7.2。推论它保持P（limn→∞S+n=α+和limn→∞S-n=α-) = 1.证明。我们定义了流程X+和X-当X+t=Ps时≤t型(Xs）+和X-t=Ps≤t型(Xs）-. 通过构造，我们得到X=X+-十、-以及过程X+和X-独立于Γ（α+，λ+）和Γ（α-, λ-)-过程。应用定理7.1可以得到期望的结果。8、股票模型我们将继续介绍一些应用于上述理论的融资。假设资产价格的演变由指数型evy模型St=Sert+Xt描述，其中S>0是股票的（确定性）初始值，r是利率，其中L'evy过程X是双边GammaprocessΓ（α+，λ+；α-, λ-) 在度量值P下，它起着现实世界度量值的作用。为了避免套利，出现了是否存在等价鞅测度的问题，即测度Qloc~ P，使Yt：=e-rtsti是局部鞅。8.1. 引理。假设λ+>1。那么Y是局部P-鞅当且仅当λ+λ+- 1.α+=λ-+ 1λ-α-.（8.1）证明。由于双边伽马过程X的高斯部分为零，因此It^o\'s公式[12，Thm]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:14

一、 4.57]，适用于Yt=SeXt，贴现股票价格的收益率Y=Y+ZtYs-dXs+SX0<s≤t型eXs公司- eXs公司-- eXs公司-Xs型.回想第5节，X=X*ux且uXis的补偿器ν由ν（dt，dx）=dtF（dx）给出，其中F表示（2.3）中的L'evy度量。所以我们得到Y=Y+ZtZRxYs-uX（ds，dx）+ZtZRYs-（例如- 1.- x） ux（ds，dx）（8.2）=Y+ZtZRYs-（例如- 1）（uX- ν）（ds、dx）+ZtYs-ZR（ex- 1） F（dx）ds。金融中的双边伽马分布和过程13应用引理6.2，漂移项中的积分等于Zr（ex- 1） F（dx）（8.3）=α+Z∞e-(λ+-1） x个- e-λ+xxdx- α-Z∞e-λ-x个- e-(λ-+1） xxdx=α+lnλ+λ+- 1.- α-自然对数λ-+ 1λ-.贴现价格过程Y是局部鞅，当且仅当（8.2）中的漂移消失时，到（8.3）时，当且仅当（8.1）满足时，才是局部鞅。与通常使用跳跃过程的金融建模一样，市场没有套利，但并不完全，即存在多个鞅测度。下一个结果表明，我们可以通过保持在双边伽马过程类中来找到鞅测度的连续统。我们定义φ：（1，∞) → R为φ（λ）：=φ（λ；α+，α-) :=λλ - 1.α+/α-- 1.-1, λ ∈ (1, ∞).8.2. 提议对于每个λ∈ (1, ∞) 存在鞅测度Qλloc~ Psuch在Qλ下我们有x~ Γ(α+, λ; α-, φ(λ)).（8.4）证明。回想一下，X是Γ（α+，λ+；α-, λ-) 根据命题6.1，对于每个λ∈ (1, ∞) 存在概率测度Qλloc~ P使得在Qλ关系（8.4）下是满的，而且该测度Qλ是鞅测度，因为引理8.1中的方程（8.1）是满足的。所以，我们有一个连续的鞅测度，问题是，我们应该选择哪一个。文献中有一些建议，参见，例如，[5]。一种方法是最小化相对熵，即找到λ∈ (1, ∞) 它最小化E（Qλ，P），然后取Qλ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 10:50:19

相对熵在命题6.3的方程式（6.6）中确定。取关于λ的第一个导数，并将其设置为零，我们必须找到λ∈ (1, ∞) 这样α-αλα-1.λα(λ - 1) - (λ - 1)α+1-λ-(λ - 1)α+1+α+λ1.-λ+λ= 0，（8.5），其中α：=α+/α-. 这可以通过数字实现。另一种观点是，鞅测度是由市场给出的。我们希望将双边GammaProcess系列中的L'evy过程X校准为期权价格。根据命题8.2，我们可以通过调整λ∈(1, ∞), 保留鞅属性，这给我们留下了一个要校准的参数。为简单起见，我们将r设置为0。对于每个λ∈ (1, ∞), t时刻欧式看涨期权的无套利定价规则≥ 0是，前提是St=s，由cλ（s，K；t，t）=等式λ[（St- K） +| St=s]，（8.6），其中K表示履约价格，T>T表示到期时间。我们可以在（8.6）asEQλ[（ST- K） +| St=s]=∏（s，K，α+（T- t），α-（T- t），λ，φ（λ）），（8.7），其中∏定义为∏（s，K，α+，α-, λ+, λ-) :=Z∞ln（Ks）（性别- K） f（x；α+，α-, λ+, λ-)dx，（8.8）14 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPEwith x 7→ f（x；α+，α-, λ+, λ-) 表示具有这些参数的双边伽马分布的密度。为了计算期权价格，我们必须评估（8.8）中的积分。在续集中，F（α，β；γ；z）表示超几何系列[10，p.995]F（α，β；γ；z）=1+α·βγ·1z+α（α+1）β（β+1）γ（γ+1）·1·2z+α（α+1）（α+2）β（β+1）（β+2）γ（γ+1）（γ+2）·1·2·3z+。8.3. 提议假设λ+>1。对于（8.8）中的积分，以下等式有效：∏（s，K，α+，α-, λ+, λ-) =Zln（Ks）（性别）- K） f（x；α+，α-, λ+, λ-)dx（8.9）+（λ+）α+（λ-)α-Γ(α++ α-)Γ(α+)Γ(α-+ 1） ×sF（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-+1λ+-1)(λ+- 1)α++α--KF（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-λ+)(λ+)α++α-!.证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:23

注意，双边伽马分布的密度由（4.8）给出。该断言随后应用了[10，p.816]中的恒等式3。命题8.3为具有潜在双边伽马过程的exp-L'evy模型提供了一个封闭的定价公式，如Black-Scholes模型的Black-Scholes公式。在公式（8.9）中，仍需计算紧致区间上的积分【ln（Ks），0】。这可以通过数字实现。在特殊情况下K=s，我们得到了一个精确的定价公式。8.4. 推论假设λ+>1。在K=s的情况下，它适用于（8.8）：π（s，K，α+，α-, λ+, λ-) =K（λ+）α+（λ-)α-Γ(α++ α-)Γ(α+)Γ(α-+ 1）（8.10）×F（α++α-, α-; α-+ 1.-λ-+1λ+-1)(λ+- 1)α++α--F（α++α）-, α-; α-+ 1.-λ-λ+)(λ+)α++α-!.证据这是命题8.3的直接结果。我们将在下一节中使用此结果，以便将我们的模型校准到市场上观察到的期权价格。例证：DAX 1996-1998我们转向前面理论的例证。图1显示了751个观测值S，S，三年内德国股票指数DAX的Sof。我们假设这种价格演变实际上是指数双边伽马模型的轨迹，即St=SeXtwith S=2307.7和X beingaΓ（Θ）-过程，其中Θ=（α+，α-, λ+, λ-). 为简单起见，我们假设利率r为零。然后是增量Xi=Xi-xi-1对于i=1，750Γ（Θ）-分布随机变量的i.i.d.序列的区域实现。为了估算Θ，我们执行了第4节所述的统计程序。对于给定的观测值十、十、矩量法（4.1）收益率横向伽马分布和金融过程150100020003000400050006000100 200 300 400 500 600 700图1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-6-24 10:50:27

DAX，1996-1998年。估算值^m=0.001032666257，^m=0.0002100280033，^m=-0.000000 8191504362，^m=0.0000002735163873。我们可以显式地求解方程组（4.3），并获得，除了少数情况（α+，λ+=（0，0），（α-, λ-) = （0，0）和（λ+，λ-) = （0，0），两种溶液（1.28，0.78，119.75，80.82）和（0.78，1.28，-80.82, -119.75). 考虑到参数条件α+，α-, λ+, λ-> 0时，系统（4.3）具有唯一解^Θ=（1.28、0.78、119.75、80.82）。从Hooke-Jeeves算法【17，第7.2.1节】开始，该算法以^为起点，在数值上最大化对数似然函数（4.9），我们得到最大似然估计^=（1.55，0.94，133.96，88.92）。我们在测量P下估计了双边伽马过程X的参数，这起到了实际测量的作用。下一个任务是找到适当的鞅测度Qλloc~ P、假设在某个时间点t≥ 0该股票的价值为St=5000欧元，市场上有一个欧洲看涨期权，行使价格为5000欧元，行使时间为100天，即T=T+100。我们的目标是根据该选项的价格校准我们的模型。由于股票价值和罢工价格重合，我们可以使用推论8.4中的精确定价公式（8.10）。结果图2显示了λ的看涨期权价格Cλ（5000，5000；t，t+100）∈ (1, ∞). 注意，我们得到了合理的看涨期权价格的整个区间（0，5000）。这是exp-L'evy模型的典型特征，参见【7】。因此，我们可以将我们的模型校准到任何观察到的价格C∈ （0，5000），通过选择λ∈ (1, ∞) 使得C=Cλ（5000，5000；t，t+100）。如第8节所述，另一种确定鞅测度的方法是最小化相对熵，即确定λ∈ (1, ∞) 使E（Qλ，P）最小。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:30

为此，我们必须找到λ∈ (1, ∞) 满足（8.5）。我们用数值方法求解该方程，并找到λ=139.47给出的唯一解。使用相应的鞅测度Qλloc~ P、我们得到了看涨期权价格cλ（5000，5000；t，t+100）=290.75，参见图2。根据命题8.2，在Qλ下，过程X是一个双边伽马过程（1.55，139.47；0.94，83.51）。16 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tappe010000200030004000500020 40 60 100 120 160 180 200λ图2。λ的看涨期权价格Cλ（5000，5000；t，t+100）∈ (1, ∞).仍需分析双边伽马分布的拟合优度，并将其与其他分布族进行比较。图3显示了经验和确定的双边伽马密度。我们提供了广义双曲（GH）、正态逆高斯（NIG）的最大似然估计，即λ=-, 双曲线（HYP），即λ=1的GH、双边伽马、方差伽马（VG）和正态分布。在下表中，我们可以看到Kolmogorov距离（L∞), 经验分布函数和估计分布函数之间的L距离和L距离。括号中的数字表示各自分布族的参数数量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:35

尽管它具有实际意义，但我们忽略了GMY分布的类别，因为它们的概率密度在封闭形式下是不可用的。Kolmogorov距离L-距离L-距离GH（5）0.0134 0.0003 0.0012NIG（4）0.0161 0.0004 0.0013HYP（4）0.0137 0.0004 0.0013双边（4）0.0160 0 0.0003 0.0013VG（3）0.0497 0.0011 0.0044正态（2）0.0685 0.0021 0.0091我们注意到双边伽马分布所提供的函数与广义超对数分布的四个参数子类NIG和HYP具有相同的质量。我们使用下表执行Kolmogorov测试，该表显示了分位数λ1-1阶α-Kolmogorov分布的α除以观测数n的平方根。回想一下，在我们的示例中，n=750。α 0.20 0.10 0.05 0.02 0.01λ1-α/√n 0.039 0.045 0.050 0.055 0.059从上表中取Kolmogorov距离，并将其与值λ1进行比较-α/√n在这个框中，我们可以看到正态分布的假设可以被明确否定，方差伽马分布可以被否定，误差概率为5%，而其余的分布族则不能被否定。10、期限结构模型lt f（t，t）是Heath-Jarrow-Morton期限结构模型（[11]）df（t，t）=α（t，t）dt+σ（t，t）dXt，双边伽马分布和金融过程17010203040–0.06–0.04–0.02 0.02 0.04 0.06X图3。经验密度和拟合的双边伽马密度。由一维L'evy过程X驱动。我们假设累积量生成函数ψ存在于某个非空闭区间I上以零为内点的R。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:39

根据方程式（2.6），通过取任何非空隙闭合区间I，双边伽马过程满足该条件 (-λ-, λ+，内点为零。我们假设波动率σ是确定性的，为了避免风险，漂移α满足HJM漂移条件α（t，t）=-σ（t，t）ψ（∑（t，t）），其中∑（t，t）=-ZTtσ（t，s）ds。例如，漂移条件在【8，第2.1节】中推导。由于ψ仅定义在I上，我们施加附加条件∑（t，t）∈ I代表所有0≤ t型≤ T（10.1）[9]和[13]表明，当且仅当波动率因子化，即σ（t，t）=τ（t）ζ（t）时，短期利率过程rt=f（t，t）为马尔可夫过程。此外，提供了τ的可微性以及τ（t）6=0，t≥ 0和ζ（T）6=0，T≥ 0时，存在一个有效的一维实现。由于σ（·，T）满足每个固定T≥ 0普通微分方程tσ（t，t）=τ（t）τ（t）σ（t，t），t∈ [0，T]我们使用It^o的公式[12，Thm.I.4.57]验证固定T≥ 该区域化f（t，t）=a（t，t）+b（t，t）Zt，0≤ t型≤ T（10.2）由a（T，T）=f（0，T）+Ztα（s，T）ds，b（T，T）=σ（T，T）（10.3）和一维状态过程Z给出，它是随机微分方程（dZt=-τ（t）τ（t）Ztdt+dXtZ=0。我们可以将这种实现转化为一种有效的短速率实现。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:42

根据（10.2），i表示短期利率rt=a（t，t）+b（t，t）Zt，t≥ 0，表示ZT=rt- a（t，t）b（t，t），t≥ 0.18 UWE K¨UCHLER和STEFAN Tappein将此方程插入（10.2），我们得到f（t，t）=a（t，t）+b（t，t）b（t，t）（rt- a（t，t）），0≤ t型≤ T、结合（10.3），我们得出atf（T，T）=f（0，T）-Zt[ψ（∑（s，T））- ψ（σ（s，t））]σ（s，t）ds+ζ（t）ζ（t）（rt- f（0，t））。（10.4）例如，设f（t，t）为具有Vasi^cek挥发性结构的期限结构模型，即σ（t，t）=-^σe-a（T-t），0≤ t型≤ T（10.5），实际常数^σ>0，a 6=0。我们假设a>0且^σa<λ+。因为∑（t，t）=σa1.- e-a（T-t）, 0≤ t型≤ T（10.6）我们找到了一个合适的区间I (-λ-, λ+，从而满足条件（10.1）。根据上述结果，短期利率r是一个马尔可夫过程，存在短期利率实现。方程式（10.4）简化为tof（t，t）=f（0，t）+ψ（∑（0，t））- ψ（∑（t，t））- e-a（T-t） ψ（∑（0，t））（10.7）+e-a（T-t）（rt- f（0，t））。我们可以使用以下结果计算债券价格P（t，t）。10.1. 提议它适用于债券价格sp（t，t）=eφ（t，t）-φ（t，t）rt，0≤ t型≤ t其中函数φ，φ由φ（t，t）=-ZTtf（0，s）ds-ZTtψ^σa1.- e-像ds（10.8）+ZTtψ^σa1.- e-a（s）-t）ds+a1.- e-a（T-t）f（0，t）+ψ^σa1.- e-在,φ（t，t）=a1.- e-a（T-t）.（10.9）证明。所声称的债券价格公式如下所示：identityP（t，t）=e-RTtf（t，s）dsand方程（10.6），（10.7）。问题是（10.8）中的φ很难计算一般驱动L′evyprocess X，因为我们必须在一个包含累积生成函数ψ的表达式上进行积分。然而，对于双边伽马过程，我们可以导出封闭形式的（10.8）。为此，我们考虑dilogarithm函数【1，第1004页】，定义为Dilog（x）：=-Zxln tt- 1dt，x∈ R+双边伽马分布和金融过程19，将出现在我们的封闭形式表示中。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:47

dilogarithm函数具有级数展开dilog（x）=∞Xk=1(-1） k（x- 1） kk，0≤ x个≤ 2此外，还有identitydilog（x）+dilogx个= -（ln x），0≤ x个≤ 1有效，见【1，第1004页】。对于计算机程序来说，双对数函数与自然对数一样容易计算。以下辅助结果将有助于计算债券价格P（t，t）。10.2. 引理。设a，b，c，d，λ∈ R应确保≤ b和c>0，λ6=0。进一步假设所有x的c+deλx>0∈ 【a、b】。那么我们有Zbalnc+deλxdx=（b- a） ln（c）-λdilog1+dceλb+λdilog1+dceλa.证据对于ν（x）：=1+dceλx，我们通过替换zbaln获得c+deλxdx=（b- a） ln（c）+Zbaln1+dceλxdx=（b- a） ln（c）+λZД（b）Д（a）ln tt- 1dt=（b- a） ln（c）-λdilog1+dceλb+λdilog1+dceλa.现在假设驱动过程X是双边伽马过程（α+，λ+；α-, λ-).我们得到了债券价格P（t，t）的自然对数公式和双对数函数公式。10.3. 提议（10.8）中的函数φ表示φ（t，t）=-ZTtf（0，s）ds+α+a[D（λ+，T）- D（λ+，t）- D（λ+，T- t） +D（λ+，0）]+α-a[D（λ-, T）- D（λ-, t）- D（λ-, T- t） +D（λ-, 0）]+a1.- e-a（T-t）[f（0，t）+α+L（λ+）+α-L（λ-)],式中，dβ（λ，t）=dilog1+σe-λ+a+(-1)β^σ, β ∈ {0，1}，Lβ（λ）=lnλaλa+(-1)β^σ(1 -e-at）, β ∈ {0, 1}.证据在断言之后，将双边伽马过程X的累积量生成函数（2.6）插入（10.8）并使用引理10.2。20 UWE K¨UCHLER和STEFAN TAPPE11。结论如上所述，双边伽马过程可用于财务数据建模。原因之一在于它们的四个参数，确保了良好的拟合性能。它们与第3节中提到的其他几类过程或分布共享这一数量的参数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:51

此外，他们的轨迹在每个间隔上都有很多跳跃，这使得模型非常逼真。与其他研究充分的L'evy过程相反，这些轨迹在每个有界区间上都有有限的变化。因此，可以将每个轨迹分解为其递增和递减部分，并将其用于统计曲线。这类过程的其他优点是l'evy特征和累积量生成函数及其导数的简单形式。这使得能够透明地构建参数的估计程序，并使某些期限结构模型中的计算变得容易。参考文献【1】Abramowitz，M.和Stegun，I.A.（1972）《数学函数手册》。多佛出版社，纽约。[2] Barndorff-Nielsen，O.E.（1977）粒子大小对数的指数递减分布。《伦敦皇家学会会刊》A辑，第353卷，401-419页。[3] Barndor Off-Nielsen，O.E.、Kent，J.和Sorensen，M.（1982）正态方差平均混合和z分布。Internat公司。统计学家。复习50145-159。[4] Carr，P.、Geman，H.、Madan，D.和Yor，M.（2002年），《资产回报的详细结构：实证调查》。《商业杂志》75（2），305-332。[5] Cont，R.和Tankov，P.（2004）《带跳跃过程的金融建模》。查普曼和霍尔/CRC出版社，伦敦。[6] Eberlein，E.和v.Hammerstein，E.A.（2004）《广义双曲和逆高斯分布：极限情况和过程近似》。摘自：Dalang，R.C.，Dozzi，M.和Russo，F.（编辑），第105-153页。随机分析，随机场与应用研讨会IV，概率进展58。Birkh–auser Verlag。[7] Eberlein，E.和Jacod，J.（1997）关于期权价格的范围。金融与随机1131-140。[8] Eberlein，E.，¨Ozkan，F。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-24 10:50:54

（2003）《可违约的列维期限结构：评级和重组》。数学金融13，277–300。[9] Eberlein，E.和Raible，S.（1999）一般L’evy过程驱动的期限结构模型。数学金融9（1），31-53。[10] Gradshteyn，I.S.和Ryzhik，I.M.（2000）《积分、系列和产品表》。圣地亚哥学院出版社。[11] Heath，D.、Jarrow，R.和Morton，A.（1992年），《债券定价和利率期限结构：未定权益估价的新方法》。计量经济学60（1），77-105。[12] Jacod，J.和Shiryaev，A.N.（1987）随机过程的极限定理。柏林斯普林格。[13] K¨uchler，U.和Naumann，E.（2003）具有一般L'evy过程的远期利率模型中的马尔可夫短期利率。讨论文件6，Sonderforschungsbereich 373，柏林洪堡大学。[14] K¨uchler，U.和Sorensen，M.（1997）随机过程的指数族。斯普林格，纽约。[15] Madan，D.B.（2001）纯粹不连续资产定价过程。摘自：Jouini，E.，Cvitaniˇc，J.和Musiela，M.（编辑），第105-153页。期权定价、利率和风险管理。剑桥大学出版社，剑桥。[16] M¨uller，P.H.（1991）《随机性的列克西肯》（Lexikon der Stochastik）。Akademie Verlag，柏林。[17] Quarteroni，A.、Sacco，R.和Saleri F.（2002）Numerische Mathematik 1。柏林斯普林格。[18] Sato，K.（1999）L'evy过程和不完全可分分布。剑桥研究高级数学，剑桥。[19] Sato，K.和Yamazato，M.（1978）关于L.Zeit类的分布函数。瓦赫希。Verw公司。Gebiete 43，273-308。[20] Sato，K.和Yamazato，M.（1981）关于L类分布函数的高阶导数。J、京都大学数学第21卷，575-591页。【21】Schoutens，W.（2005）L’evy过程融资。《概率与统计》威利系列，西苏塞克斯。金融中的双边伽马分布和过程21【22】Shiryaev，A.N。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝