多元稳定分布及其在建模中的应用

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收藏 2022-06-25

英文标题：
《Multivariate stable distributions and their applications for modelling
cryptocurrency-returns》
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作者：
Szabolcs Majoros and Andr\\\'as Zempl\\\'eni
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In this paper we extend the known methodology for fitting stable distributions to the multivariate case and apply the suggested method to the modelling of daily cryptocurrency-return data. The investigated time period is cut into 10 non-overlapping sections, thus the changes can also be observed. We apply bootstrap tests for checking the models and compare our approach to the more traditional extreme-value and copula models.
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中文摘要：
在本文中，我们将已知的拟合稳定分布的方法推广到多元情况，并将所建议的方法应用于每日加密货币回报数据的建模。所调查的时间段被划分为10个不重叠的部分，因此也可以观察到变化。我们应用引导测试来检查模型，并将我们的方法与更传统的极值和copula模型进行比较。
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分类信息：

一级分类：Statistics 统计学
二级分类：Applications 应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Statistical Finance 统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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Multivariate_stable_distributions_and_their_applications_for_modelling_cryptocur.pdf
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可人4

2022-6-25 04:10:32

多元稳定分布及其在加密货币收益建模中的应用*a、 bE"otv"os Loránd大学数学研究所，概率论与统计系，布达佩斯，Hungaryabstract本文我们将已知的用于拟合稳定分布的方法扩展到多元情况，并将建议的方法应用于每日加密货币回报数据的建模。所调查的时间段被划分为10个不重叠的部分，因此也可以观察到变化。我们使用bootstraptests来检查模型，并将我们的方法与更传统的极限值和copula模型进行比较。MSC代码：62P05、62H12、62F401简介对加密货币的价格波动进行建模，加密货币的行为相当不稳定，提供了在短期内获得巨大收益的机会，以及类似损失的可能性是一个重大挑战，对潜在投资者和理论家来说都非常有兴趣。人们可能会发现一些初步的、以描述性统计为基础的计算，如[1]。可用的数据量并不巨大，但对于一些初步的二维或三维建模来说可能已经足够了。重尾分布的单变量建模有一些标准方法：极值分布可用于通过块极大值或超过阈值的峰值模型的收益和损失的单独模型（参见Pickands，[18]，*联系人zempleni@caesar.elte.huorEmbrechts等人[7]的总结工作以及其中的参考文献）。然而，两条尾巴的联合模型绝对是首选。这同样适用于多变量方法，早期研究见Coles和Tawn【6】。

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能者818

2022-6-25 04:10:35

一个标准的copula模型——例如尼尔森（Nelsen）[12]中的一个模型——看起来很吸引人，但同样，这些参数族可能不适合捕捉加密货币之间不寻常的依赖关系。非参数copula估计并不比我们提出的方法简单，但没有多元稳定分布的理论背景。稳定分布是一类丰富的概率分布。Paul Lévy是第一个研究此分布族的人，他证明了广义中心极限定理，这为其在建模中的应用提供了理论背景（[8]）。这一应用可以追溯到Benoit Mandelbrot，他用稳定分布来模拟棉花价格变化。从那时起，许多其他研究发表在这一主题上。佐洛塔列夫（Zolotarev）的许多论文进一步发展了这一理论（见例[24]）。最新的著作是J.P.Nolan写的[16]。本文的结构如下：首先，我们定义了多元稳定分布，并在第1.1节中展示了它们最重要的性质。在第2节中，我们介绍了他们的参数估计方法，首先是单变量的，然后是双变量的。这个问题相当具有挑战性，因为它们的密度函数没有闭合形式。我们还提出了一种新的通用估计方法，适用于高维。在第3节中，我们将我们的方法应用于令人兴奋的新金融工具，即三种最重要加密货币的每日对数收益。在第4节中，我们将这些结果与更传统的建模工具（如广义帕累托分布或Opulas）进行了比较，并对本文进行了简短的总结。1.1稳定分布以下对稳定分布的介绍基于【16】。

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何人来此

2022-6-25 04:10:38

根据定义，一个双变量随机变量X是稳定的，如果是任何正的a，b∈ R、有积极的c和D∈ 因此，FaX+bX=FcX+d，其中随机变量X，X和X是i.i.d。我们可能熟悉正态分布的这个性质，因为它也是稳定分布族的一员。在单变量情况下，分布由四个参数描述：指数α∈ （0，2），偏度β∈ [-1，1]，标度γ>0，位移δ∈ R、通常的分布概念是S（α，β，γ，δ）。一般来说，它们的密度函数没有闭合形式，除了一些特殊情况：众所周知的正态分布、Cauchy和Lévy分布。它们通过其特征函数描述如下：Д（t）=经验值-γα| t |α（1+iβtanπα·sign t）（|γt | 1-α- 1） +iδtα6=1exp- γ| t|1+iβπ符号t·log（γ| t |）+ iδtα = 1.稳定分布总是绝对连续和单峰的。稳定分布有一些不同的参数化。上述表格称为Srepresentation，这是一种主要用于统计建模的表格，因为参数的解释很容易。我们可以确定已知的特例：S（2，0，γ，δ）给出正态分布n（δ，2γ）。S（1，0，γ，δ）是柯西分布，对于α=0.5和β=1，我们得到了莱维分布。稳定分布最有趣的特性之一是，对于α<2，只有l<α矩是有限的。如果β=0，则分布相对于δ对称。

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何人来此

2022-6-25 04:10:41

此外，如果α接近2，则β对偏度没有太大影响。这很容易从特征函数中看出，如果我们替换α=2，特征函数中βtanπα的值将为0，因此β不起任何作用。-4.-2 0 2 40.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5特殊稳定分布的密度函数xf（x）NormalCauchyLévyFigure 1：特殊稳定分布我们可以用与正态分布相同的方法标准化分布。通过将稳定的S（α，β，γ，δ）r.v.除以γ并减去δ，分布将为S（α，β，1，0），其可表示为S（α，β）。这使得分布族在实际使用中非常灵活。现在让我们来看看多变量情况。这里的稳定分布族是非参数的，如下特征所示。1.1. 定理。设∧为Sd的有限度量，其中Sd=s∈ Rd:ksk=1, 单位球的表面。这种度量称为光谱度量。d维变量X是稳定的，用X表示~ S（α，λ，δ），其中0<α≤ 2和δ∈ Rd，if且仅当其特征函数为φX（t）=exp时{-IX（t）+itTδ}，其中IX（t）=ZSdψtTs；α∧（ds）和ψ（u；α）=|u |α1.- i tanπα·符号uα6=1 | u |（1+iπ符号u·log | u |）α=1。函数IX（t）确定分布的形状，δ是位置向量。正如我们所看到的，α和δ基本上与单变量情况下保持相同，而β和γ则不一样。相反，度量值∧接管了它们的角色。此外，这一指标决定了分布的依赖结构，这使得模型拟合更加复杂，因为其非参数估计不可行。因此，我们在后面提出了一个参数模型，其中∧是离散的，更确切地说∧集中在一定数量的点上。

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kedemingshi

2022-6-25 04:10:44

在这种情况下，测量值可以写成∧（·）=nXi=1λiδsi（·），其中λi是集中在质量的δs点上的权重，si∈ Sd。对于离散∧，X的特征函数简化为以下形式：Д*（t） =经验值(-nXi=1ψ（tTsi；α）λi+itTδ）。（1）这个分布族还有一个重要的性质，即其坐标的线性组合的稳定性。1.2. 提议如果X是d维稳定且0<α≤ 2，那么对于每个u∈ RduTX=uX+…+UDXD是一个单变量稳定随机变量，具有相同的α。我们注意到一元变量uTX~ S（α，β（u），γ（u），δ（u）），完全确定性，从下一个定理可以看出。1.3. 定理。设为uTX~ S（α，β（u），γ（u），δ（u））。那么，确定X的参数函数可以写成以下形式：γ（u）=ZSd | uTs |α∧（ds）1/α（2）β（u）=γ（u）-αZSd | uTs |αsign（uTs）∧（ds）（3）δ（u）=uTδα6=1uTδ-πRSduTs·log|uTs公司|∧（ds）α=1。（4）使用这些，可以将IX（t）写入asIX（t）=γα（t）（1- iβ（t）tanπα）α6=1γ（t）（1- iδ（t））α=1。（5）这些性质之间的联系使我们有机会使用单变量投影确定多变量分布，并更容易地进行计算。这些是估算程序的基础，我们可以在第2节中看到。有一些特殊的多元稳定分布值得一提，即使它们在估计过程中不会显式出现。1.4. 提议如果X的分量=（X，X。

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能者818

2022-6-25 04:10:47

，Xn），Xi~ S（α，βi，γi，δi）是独立的，那么X的特征函数可以写成φX（t）=exp(-nXi=1ω（ti；α，βi）γαi+itTδ），因此独立分量的情况可以用离散∧表示，其中只有超球sda和轴的交点具有正权重。稳定分布最重要的理论性质是广义中心极限定理[16]。1.5. 定理。随机变量X是稳定的，其中0<α≤ 2当且仅当存在非退化、独立、同分布的随机变量X，X，Xnand an，bn∈ R规范化序列，使X+X+…+Xnbn公司- 和→ 十、经典中心极限定理与上述定理之间的主要区别在于，它不要求X具有有限的二阶矩。该理论的结果是稳定分布的吸引域不是空的。一个可选择的例子是，如果其尾部满足xαP（x>x）→ c+和xαP（x<-x）→ c-作为x→ ∞,使用c++c-> 0，除非α<1且|β|=1（参见Nolan，[16]）。一个类似的理论也适用于多元情况，这里的极限必然是多元稳定分布。2参数估计由于稳定分布的密度函数不能以闭合形式给出，因此参数估计是一项困难的任务。最大似然法可用于单变量情况，但在实践中速度非常慢，因为它基于特征函数的反演，所以我们仅将其用于估计最重要的参数α。无法使用矩估计方法，因为矩可能不存在。因此，在这种情况下，McCulloch在[11]中提出的分位数方法是最常见的选择。该估计过程基于样本分位数，我们可以轻松计算。

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mingdashike22

2022-6-25 04:10:50

它的另一个优点是，α的ML估计量可以很容易地合并到确定其他参数估计量的方程中。【14】、【17】和【15】中提出了一种基于第1节中提到的分布性质的双变量估计方法。该方法基于单变量投影和分布的特征函数，其中假设∧是离散的。利用这些，我们得到一个方程组，其解将是∧的估计。2.1二维估计程序本小节基于Nolan等人【17】的工作。让X，Xmbe我们的二元样本，来自二元稳定分布。此外，我们假设∧是离散的，并且集中在n个点上。步骤1首先，偏移δ=“Δδ#被消除。这种校正使计算更容易。可以通过分别估计δ和δ来执行，例如，对两种边际分布使用分位数方法，然后从相应的裕度中减去^δ和^δ。我们可以这样做，因为偏移不会改变第1.1节中所示的其他参数。现在，特征函数看起来像ν（t）=经验值(-nXi=1ψ（tTsi；α）λi）。步骤2在下一步中，点sj=余弦2π（j-1） n个, 罪2π（j-1） n个, j=1，选择n作为光谱密度∧的支撑。这些构成单位圆上点的等距分区。此外，我们需要一个特征函数t，…，的网格，田纳西州∈ S、这决定了预测htj、Xi、，htj，Xmi。为了简化计算，我们采用与sj相同的网格点：tj=sj，j=1，n、步骤3：对于每个投影，估计（2）和（3）的值。为了做到这一点，我们需要使用分位数或ML方法来估计所构建投影上的α。

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kedemingshi

2022-6-25 04:10:53

由于α必须是常数，我们将估计量的合并版本取为^α*=nPnj=1^α（tj）。在计算（2）和（3）之后，我们可以计算每个投影的IX（t）估计值。步骤4由于∧是离散的，因此可以将IX（t）写入以下形式：IX（t）=Pnj=1ψtTsj；^α*λj.在此基础上，将n×n复矩阵ψ定义为ψ（t，…，tn；s，…，sn）=ψtTs；^α*. . . ψtTsn；^α*.........ψTNT；^α*. . . ψtnTsn；^α*（6） n×1未知向量λ=hλ，λni，我们最终将发现什么。我们定义了向量IX（t*) =hIX（t），IX（tn）i，使用上一步的计算值。所以我们通过解（7）得到方程组ψλ=IX.（7），我们可以确定^λ，但是我们遇到了一些问题。首先，^λ很可能是一个复向量，不能用来描述分布。第二个问题是，如果网格的大小是均匀的，那么系统（7）是奇异的。那是因为ψ(-t；α） =ψ（t；α）和IX(-t） =IX（t）。幸运的是，我们可以通过一些修改来解决这些问题。步骤4/1假设我们尝试根据偶数个点（n=2k）来确定^λ，其中tj=sj。我们看到，使用偶数个点会导致系统中出现奇点，但我们可以利用这种对称性。在这种情况下，IX（ti）=IX（ti+k）和ψtiTsj；α= ψti+kTsj；α, 正如我们以前看到的那样。对于这些对，ReⅡ=Ⅱ+Ⅱ+k=nXj=1Reψi，jλjandImⅡ=-二- Ii+k=nXj=1Imψi，jλj，其中IX（ti）=Ii和ψi，j=ψtiTsj；^α*. 我们现在可以定义一个新的n×1向量，其中IX（t）asc=hRe I，Re I，Re-Ik，Im-I，Im-I，Im-ikian和一个新的n×n矩阵a-asai，j=Reψi，j，i=1，kImψi，j，i=k+1，系统Aλ=c现在是非奇异的，解将是实向量，但仍然不可用。

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kedemingshi

2022-6-25 04:10:57

问题是，解决方案可能包含我们无法解释的负权重。步骤4/2为了获得非负权重，我们必须再次修改系统。为了保证无负性，我们将问题重新定义为二次规划问题asminλkc- Aλk=最小λ（c- Aλ）T（c- Aλ），λ≥ 我们使用这种方法估计∧，在R编程语言中实现。2.2属性在继续之前，我们需要注意估计程序的一些重要事实和属性我们可以用一个离散的∧来近似实谱测度。Byczkowski、Nolanand Rajput在[4]中指出，对于稳定的向量X，具有∧谱测度，其中0<α<2存在离散∧*, 这样就好了∈Rd | p（x）- p*（x） |≤ ,其中p（x）是理论密度，p*（x）是∧对应的密度*, > 由于分位数法和最大似然法都是一致且渐近无偏的，使用建议的方法估计投影参数在建议的多元估计程序中给出了一致的结果，我们将在下一小节介绍Shas的点数为偶数，n=2k，其中k∈ N \\{1}。我们在步骤4/1中看到，为了能够执行必要的转换，我们需要这个条件。k=1将导致使用选定的S点集对初始边缘分布进行简单估计。除此之外，n是一个自由参数，但选择n作为2的幂是最可取的。找到适当数量的点并非易事。如果选择的n不够大，则固定分布的依赖结构将与样本的不匹配。

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可人4

2022-6-25 04:10:59

然而，如果n太大，分布可能会过拟合，尽管理论上它会给我们最好的结果。2.3高维参数估计在d>2维的情况下，由于∧集中在球体上而不是圆形上，估计过程变得更加困难。主要困难在于从球体表面选择一组点，我们可以重复第2节中相同的修改。我们还没有发现任何涉及高维估计的论文，因此，下一个对估计的推广，建立在之前看到的双变量方法的基础上，是一种新方法，具有快速的运行时间。d＞2维稳定分布参数估计的关键是从边缘中选择Sdpairwise点。我们的建议是从球体的圆形横截面中选择点，对于给定的圆，除了两个坐标外，所有坐标始终为0。这意味着，通过为每个圆选择n个点，我们将根据d· 总共n个点。-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0-1-0.5 0.0 0.5 1.0xyz●●● ●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●● ●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●图2：步骤1第一步中建议的点集类似于双变量估计方法。在这种情况下，我们必须估计向量δ=hδ，δdiTby组件，例如。

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大多数88

2022-6-25 04:11:02

分位数法，我们必须从原始样本中减去，使样本移到原点。步骤2我们在第2节的开头看到，圆的点数必须为。我们仍然需要这个假设，但对于球体的每个圆形横截面。此外，我们不能从每个圆形横截面中选择相同的点，因为这样我们将在它们的交点处有重复的点，这将给我们带来无法理解的结果。因此，我们选择旋转的点assl，kj=0, . . . , 0，cos2π（j- 1） n+πn| {z}第l坐标，0，0，罪恶2π（j- 1） n+πn| {z}第k坐标，0，0,式中，sl，kjis为第l条和第k条边所构造球体的圆形横截面，l 6=k，j=1，n、我们选择网格点为tl，kj=sl，kjt，以便能够计算投影htl，kj，Xi，htl、kj、Xmi。步骤3我们必须像以前一样，为每个投影计算（2）、（3）和（4）。汇集的α在本质上是相同的，唯一真正的区别是它是从更多的投影中计算出来的*=（d） ·nPl6=kPnj=1^α（tl，kj）。在这些之后，我们可以计算出sil值，k（tj）=nXj=1ψtTsj；^α*λl，kj，其中l 6=k，j=1，n、然而，我们在第2小节中求解的方程组需要修改。步骤4修改后的系统基于矩阵ψ*=Ψ1,20 . . . 0............0 . . . 0ψd-1，d, 我*=I1,2I1,3。。。身份证件-1，d,其中ψ*∈ R（d）·n×（d）·n，包含每个计算的ψl，k矩阵，与（6）相同，但从第l和第k边缘计算。ψ*矩阵的对角线上有ψl，kmatricesin，而其他元素为零。向量I*∈ R（d）·使用与ψ相同的逻辑进行修改*, 所以它包含组合在一起的向量Il，K。

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何人来此

2022-6-25 04:11:06

现在，我们可以确定方程组ψ*λ*= 我*十、（8）也必须修改，因为由于点的对称构造，它也是单数的。步骤4/1我们必须像以前一样将该方法限制为偶数个点（n=2r）。现在，是真的，IX（tl，ki）=IX（tl，ki+r）和ψtiTsj；α= ψ（ti+rl，k）Tsj；α. 我们必须在系统上进行与第2节之前相同的变换，因此我们计算向量re-Il，ki=Il，ki+Il，ki+r=nXj=1Reψl，ki，jλjIm-Il，ki=-Il，ki- Il，ki+r=nXj=1Imψl，ki，jλj，其中IX（tl，ki）=Il，ki和ψl，ki，j=ψ（tl，ki）Tsj；^α*. 我们现在定义新的d· n×1ix（tl，k）asc的实部和虚部向量*=hRe I1,2，Im I1,2，Re I1,2，Im I1,2，Re I1,2r，Im I1,2r，Re I1,3，Im I1,3，重新输入-1，nr，Im In-1、N和新d· n×d· n矩阵A*asa公司*i、 j=Reψ1,2i，j，i，j=1，rImψ1,2i，j，i，j=r+1，nReψ1,3i，j，i，j=n+1，n+rImψ1,3i，j，i，j=n+r+1，2n。。。Reψd-1，di，j，i，j=d（n）- 1) + 1, . . . ,d（n）- 1） +边缘ψd-1，di，j，i，j=d（n）- 1） +r+1，dnNow系统A*λ*= c*是非奇异且真实的，因此我们可以执行最后一个修改步骤，以获得正权重。步骤4/2我们可以类似地将该问题重新定义为具有*和c*:最小λkc*- A.*λ*k=最小λ*（c）*- A.*λ*)T（c*- A.*λ*), λ ≥ 该解给出了λ的期望结果。由于该方法的计算复杂性，我们希望它仅适用于中等高维的inits当前形式。在下一节中，我们将对三维数据集应用估计算法。3应用程序在这些应用程序中，我们将多元稳定分布用于加密货币每日对数回报，并具有较大的市场资本：比特币、Ripple和Litecoin。加密货币数据来自www.kaggle。通用域名格式。

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能者818

2022-6-25 04:11:09

这些数据和更多加密货币也可在R的最新加密软件包中找到【26】。在stabdist软件包的帮助下，对概率和单变量稳定分布的抽样进行了计算【27】，而单变量参数估计是使用fBasics进行的【28】。我们在多元估计和采样中使用了这两种方法，并使用了quadprog软件包【29】，该软件包解决了QP问题。Anderson-Darling测试由ADGofTest软件包进行，使用ns确定最佳自举块长度，使用ks确定密度估计。3.1数据和单变量估计，优度数据为2013年4月至2018年2月。这三项资产的每日收盘价和每日收益率见下图3.1和3.1。2014、2015、2016、2017、2018、5000、10000、15000、20000C比特币价格（$）图3：所选加密货币的美元价格。比特币轴位于左侧，Litecoin轴和Ripple轴位于右侧，比例不同。Ripple的价格是100的倍数，以获得更好的可视化效果。2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150BitcoinDateLog回报率（%）2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150LiteCondatelog回报率（%）2014 2015 2016 2017 2018-150-100-50 0 50 100 150 RippledAtelog回报（%）图4：所选加密货币的每日对数回报为了能够将多元稳定分布应用于对数回报，我们必须检查它们的边际分布是否可以被接受为完全稳定。因此，在进行分析之前，我们检查了损失和收益是否具有相同的大小（稳定分布所需）。

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可人4

2022-6-25 04:11:12

作为一种图形工具，图3.1中比较了高分位数，表明在两种情况下，收益的高分位数甚至比损失的高分位数更大（值大于1）。对于传统股票，预期值（可能很大程度上）低于1.0.80 0.85 0.90 0.95 1.000.8 1.0 1.2 1.4 1.6损失分位数收益-比例BitcoinLiteConRippleFigure 5：高q值和低q值的比较-所选加密货币每日日志返回的分位数。我们将整个数据分成10个重叠部分，≈ 40个月宽的窗户≈ 1000次观察。在应用程序中，第一个周期最长，第十个周期最新。在这一初始步骤之后，我们对α使用极大似然估计，对β、γ和δ使用分位数方法估计参数。比特币参数Litecoin参数αβγδαβγδ1.319-0.014 1.768 0.064 1.211 0.015 2.058-0.2461.292 0.043 1.636 0.033 1.15 0.064 1.824-0.241.254-0.014 1.418 0.072 1.117 0.016 1.607-0.1211.291-0.067 1.243 0.069 1.15-0.041 1 1 1 1 0.426 0.0211.3 0.014 1.131 0.08 1.144-0.035 1.21 0.0161.295-0.059 1.144 0.163 1.107-0.027 1.169 0.0121.27-0.005 1.136 0.217 1.063 0.046 1.175-0.021.2730.001 1.167 0.244 1.058 0.115 1.262-0.0541.225-0.054 1.223 0.283 1.043 0.149 1.395-0.0781.184-0.07 1.381 0.361 1.051 0.096 1.5-0.054表1：每个时段比特币和Litecoin每日日志回报的估计参数（从最早的（1）最新的（10）。注意，随着时间的推移，α减小，而γ在快速下降后略有增长。这些参数变化的影响是，更多的概率集中在尾部。

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能者818

2022-6-25 04:11:15

此外，在Litecoin的情况下，在最后一个周期中会出现轻微的正偏态。作为一种拟合优度程序，我们对所有时期的比特币和Litecoin logreturns进行了Anderson-Darling测试（使用模拟临界值，因为参数估计的效果取决于分布）。比特币1。2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 临界值2.428 2.387 2.399 2.664 2.343 2.426 2.55 2.659 2.57 2.491测试统计量1.709 1.123 0.824 1.232 1.269 1.582 1.777 2.473 3.906 4.054 Litecoin 1。2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10临界值2.625 2.591 2.334 2.577 2.358 2.366 2.594 2.548 2.172 1.967检验统计量0.747 0.787 1.041 1.807 1.963 1.069 1.011 1.293 1.397 1.663表2：每个时期进行的Anderson-Darling试验结果。只有在比特币的最后两个测试阶段，才出现了对完全假设（单变量稳定性）的否定。测试统计的结果很有希望，但我们有两次被拒。这可能是由于过去几年波动性的快速变化造成的，这一变化包含在最后两个窗口中。这些年来，价格从几百美元涨到了一万多美元，收益/损失明显不对称。我们仍然对这两种情况进行多元稳定分布，并且可能会显示两种货币之间依赖结构的有趣变化。

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