谢谢！但问题就在这里：有什么理由说占优策略是始终射击枪法最准的人？

对于n=3，通过穷举分析可以看出情况的确是这样。但是当n很大的时候，凭什么说射击枪法最准的人一定是占优的呢？比如说当n很大，且其他人都正常表现，但枪法第二准的那个人把你列为首要目标，有什么理由认为不该先射击他呢？

概率问题就要按照概率来办事，这里有个先后顺序我在第一轮是不可能知道n－1号那个人射击的对象的，只有在第二轮时才能。第二轮时如果我没死我可能会在第二轮选择n－2号作为目标，这个是报复不是均衡。
如果不先解决掉命中率高的人，在那些人行动时自己死亡的概率就上升了。每个人都知道的。参与者没有人有动机去偏离这个动机。
假如我射击n－1号，n－1的概率是P（n－1），n的概率是Pn，后者大。那么对于我来说n号更具有威胁性，我不知道他们两个会射击谁（可能n－1号射击我，或者n号射击我，或者都不射击我），但是从我出发，我一定会将潜在的威胁最小化。
就算里面可以交谈那也是不可信的，你不可能把神枪手留到最后和你对决吧！所有人都希望最后和自己对决的人的命中率无限接近零。那么自己活着的希望就大一点。

概率问题就要按照概率来办事，这里有个先后顺序我在第一轮是不可能知道n－1号那个人射击的对象的，只有在第二轮时才能。第二轮时如果我没死我可能会在第二轮选择n－2号作为目标，这个是报复不是均衡。
如果不先解决掉命中率高的人，在那些人行动时自己死亡的概率就上升了。每个人都知道的。参与者没有人有动机去偏离这个动机。
假如我射击n－1号，n－1的概率是P（n－1），n的概率是Pn，后者大。那么对于我来说n号更具有威胁性，我不知道他们两个会射击谁（可能n－1号射击我，或者n号射击我，或者都不射击我），但是从我出发，我一定会将潜在的威胁最小化。
就算里面可以交谈那也是不可信的，你不可能把神枪手留到最后和你对决吧！所有人都希望最后和自己对决的人的命中率无限接近零。那么自己活着的希望就大一点。
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谢谢你的建议，我想我明白你想说的意思。

红字的不完整性在于：如果你允许射击者每轮改变射击对象的先后顺序话，那么第二轮的时候我也不可能知道别人的射击对象，因为他们可以改变；反之，如果你不允许射击者改变射击的对象的先后顺序（如同我定义的策略那样），那么你即使知道了别人的射击对象，第二轮也无法改变自己射击的先后顺序。

蓝字：Pn大代表Pn对我来说更具威胁性。那么什么叫做“威胁性”？ 如果Pn“威胁性大”就是选择射击P(n-1)比选择射击Pn降低我存活的概率的话，那么这等于循环论证了；至少没有给出令人信服的理由。寻求“潜在威胁最小化”的思路也是一样的道理，觉得跳跃太大！




         

让我来说说我到现在为止的思路和结论吧，我只能想到4个人那么远。基本想法是递归。欢迎挑刺~

策略集合按照问题四里的来定义，即可以根据所剩人数多少来改变射击的先后顺序。

首先，对于n=3的情况是容易分析出来的。此时正如dushiliang所言，对于任何开枪顺序，1,2,3号的（严格）占有策略分别是（3,2）,(3,1) 和 (2,1)，它们组成唯一的均衡。

现在需要定义些记号和做些准备工作。定义P(i|a,p1,p2,p3)为开枪顺序为a、三人命中概率分别为p1,p2,p3 时i号幸存的概率. 则下面的命题成立：

命题一：若 p3'>p3, 则P(i|a,p1,p2,p3)>P(i|a,p1,p2,p3'), 对于i=1,2 和任意开枪顺序a.
               若 p2'>p2, 则P(i|a,p1,p2,p3)>P(i|a,p1,p2',p3), 对于i=1,3 和任意开枪顺序a.

证明略.

现在，考虑n=4的情况. 先考虑a=(1,2,3,4)的情况：

给定其他人的任意策略，若1首先射击枪法最准的4号，则由条件概率展开：P(1|(1,2,3,4))=p1P(1|(2,3,1))+(1-p1)P(1|(2,3,4,1))  

若1首先射击2号或3号，则由条件概率展开： P(1|(1,2,3,4))=p1P(1|(3,4,1))+(1-p1)P(1|(2,3,4,1)) 或 P(1|(1,2,3,4))=p1P(1|(2,4,1))+(1-p1)P(1|(2,3,4,1))。

现在来看等式的右边第二项，它是1号没有射中目标且最终获胜的概率。我们按照上面的方法把P(1|(2,3,4,1))也按条件概率展开，然后把展开后的第二项继续按条件概率展开，依次进行下去。这样做了3次之后我们又会回到P(1|(1,2,3,4))，它前面的系数是(1-p2)(1-p3)(1-p4). 所以3次展开以后：

P(1|(2,3,4,1))=(1-p2)(1-p3)(1-p4)P(1|(1,2,3,4))+C，回顾我们展开条件概率过程，我们可以看出C的值与1号选择谁做他最先射击的对象是无关的 (理由是，C中的所有条件概率都是只对三个人而言的，所以1号在四个人的时候选择最先射击谁于它们无关).

所以，若1首先射击4号，则 P(1|(1,2,3,4))=（p1P(1|(2,3,1))+(1-p1)C）/ (1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)(1-p4))
          若1首先射击2号，则  P(1|(1,2,3,4))=（p1P(1|(3,4,1))+(1-p1)C）/ (1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)(1-p4))
           若1首先射击3号，则 P(1|(1,2,3,4))=（p1P(1|(2,4,1))+(1-p1)C）/ (1-(1-p1)(1-p2)(1-p3)(1-p4))
         由命题一，P(1|(2,3,1)>P(1|(3,4,1)  且 P(1|(2,3,1)>P(1|(2,4,1)
          所以，1首先射击4号时，他最终幸存的概率最大。所以此时1号的占优策略为（4,3,2）

         类似的思路，展开P(2|(1,2,3,4))得2号的占优策略为(4,3,1);  展开P(4|(1,2,3,4))得4号的占优策略为(3,2,1).

         但是，当我们展开P(3|(1,2,3,4)) 时，却发现3号没有在任何概率下都占优的策略。若3号选择最先射击4号，那么P(3|(3,4,1,2))=p3P(3|(1,2,3))+(1-p3)P(3|(4,1,2,3)) ; 但若3号最先射击2号，那么P(3|(3,4,1,2))=p3P(3|(4,1,3))+(1-p3)P(3|(4,1,2,3)).  实际上，我们可以选择某组p1<p2<p3<p4满足P(3|(1,2,3))>P(3|(4,1,3)), 也可以选择另一组p1<p2<p3<p4满足P(3|(1,2,3))<P(3|(4,1,3)).  所以，3号选择最先射击2号还是最先射击4号，依赖于四个人命中的概率。

所以在n=4的时候，对于问题三的回答是：任意开枪顺序下第一个人没有占优策略（这种开枪顺序是3,4,1,2）；但是游戏依然有均衡。
在n=4的时候，对第一问和第二问的回答是肯定的；但因为第三个人的占优策略不固定，均衡的时候他可能不会首先射杀4号。其他人的表现均正常。

为给那个反直观的结果一个直观的印象，我来举一个数值的例子：p1=0.91, p2=0.92, p3=0.93, p4=0.94，开枪顺序为3,4,1,2. 那么3该如何做想呢？ 他可以选择先射杀4，并且成功的概率很高。但一旦4被射死，他就被打回开枪顺序为1,2,3的三个人的情况。经过上面的分析，在三人的时候，1和2号都会先射3，并且由于他们的命中率都很高，所以3此时就把自己置于了非常危险的境地。考虑到这一层，3这时可以选择先射杀2，这时顺序变成4,1,3的三个人的情况，这时4号会先射3，但是他命中的概率远低于1号和2号连续开枪命中3的概率，且轮到1号时，他会先射4而不是3，反过来还帮了3一把。所以这时3号最好的做法是首先射击2号，而不是命中率最高的4号。

因为网络的问题，上面三楼的帖子发重了，麻烦斑竹看到删除一下重复的帖子。谢谢！

bian哥犀利，这个题目深了。。。
我有点小思路，不是很完备，没有什么证明，bian哥拿去听听好了。
如果到了射击者I，他会把枪法比他差的作为一组进行概率加和，设为A，枪法比他好的人作为一组进行概率加和，设为B。比较A和B,哪个大，就打哪一组里枪法最好的那个。
所有人都会这么做，理由很简单，为了生存。不断降低敌人的射击命中概率，同时尽量不使自己成为射杀概率高的人的射击对象。
不太成熟，bian哥见谅

过奖了，你的洞察也许是对的：
有一点相契的地方，我在考虑（1,2,3,4）这样开枪顺序的四个人的时候，发现只有3会出现模棱两可的情况：他可能射击2或者4。这和你的说法是完全一致的。

同时，按照你的说法，射击的策略是不依赖于事先给定的开枪顺序的，我没有想到是这样的。

我想你的意思是这样的策略对于每个人而言都是占优策略，而不只是说如果每个人都这样的话，那就可以达到均衡。也许是我愚钝，不太能看出来为什么这样的策略是占优的。还请详细说说怎么得出这样的结论的？什么样的动机使你把射击者分成那样的两组？

针对第三个问题：首先我假设P4＝1即4号一定中。
任意开枪顺序（3，4，1，2）。3号先攻击4号，存活概率是1－P3。如果攻击1号或者2号他的存活概率就是0了。

我的题目已经假定pn<1。即使假定p4=1, 若3号先攻击4号，他存活的概率也不是1-p3，因为他还要继续和1号2号火拼。

但你的想法是正确的，它说明15楼的方法是不正确的。原因如下，比如考虑p4=0.9999，p1=0.49, p2=0.51, p3=0.6. 这时如果p3不射击p4, 他存活的概率就会小于0.00001，如果他射击p4，他存活的概率显然会是某个远大于0.00001的值。所以虽然p1+p2>p4，3号也该先射击p4. 说明决定3号射击2号还是4号并不能按照15楼的方法。15楼的方法是不正确的。遗憾。

嘿嘿，bian哥很认真嘛，我只是提供个思路。最终还得bian哥定夺。或许不是简单的概率加和，可能是比较两边杀死I的概率进行比较吧

回十八楼，个人认为不应考虑p1+p2>p4，而应该考虑1-(1-p1)*(1-p2)<1-(1-p4)，所以射击p4

十五楼的表述应该是这样的，在此条件下0<p1<p2<...px...<pn<1，轮到x行动时，他比较的是A和B的大小，A=[1-求积(1-pi)]，其中i=1~(x-1)，B=[1-求积(1-pj)]，其中j=(x+1)~n，若A大，x射击x-1，若B大，x射击n

由于无法打上数学符号，只能用“求积()”来表示多项乘积

我用动态规划算了一下，n=10，1~10号命中率分别为1/20,3/20,...,19/20时，在全部人都还在的情况下，1~10号首选的射杀对象依次是：8号, 7号, 5号, 2号, 9号, 8号, 3号, 5号, 5号, 9号. 所以你说的方法也不对。这道题目似乎是没有规律可循的。

bian哥啊，你就用我的方法算一下啊，两边算一下能够干掉射击者I的概率，哪边大，I就打哪边枪法最准的！肯定对，你赶紧把币奖励给我啊！

我个人觉的1号的生存几率大概为0，原因是1号的精准率是最高的，人们的威胁感就是最大了，所以所有的选手都必须依次涉及，那1号的生存比率为99/100 98/100 97/100 ......依次力推，所以必死

backward induction

话说这题对我来说好难啊！！！