经济学系  桑卓

摘  要：数学对研究经济科学的重要作用，已由近代经济科学发展的历史所证实。越来越多的经济领域渗透了数学的思想和方法，解决了诸多重大问题。数学本身的特点与经济方法论相结合，使得经济研究更加精密准确，实用性更强。

关键字：数学，经济数学，经济学方法论

数学是一切科学的基础。发展经济需要研究经济理论，掌握经济规律，而这些都需要数学。自从1969年颁发诺贝尔经济学奖以来，诺贝尔经济学奖的得主的成果大都是运用数学的理论、思想和方法研究经济问题的结晶。人类运用数学的理论、思想和方法己经解决了经济领域中的许多重大问题。

一、经济学的研究方法对引入数学的必要性

    经济学是一门研究社会的科学。经济学方法论与自然科学方法论有相同之处，两者都属于实证科学，诉诸客观事实，其理论最终由事实来检验。在德布鲁等一批数学家跨入经济学研究之后，经济学中已经没有用不到数学的分支，并且由于经济学的需要和推动，人们还正在发展一系列新的数学理论，例如，集值映射的微积分学，不动点的算法理论，微分包含理论，非光滑分析等。尤其是一些经济局部性问题，没有数学将永远说不清楚。这对于其它社会科学而言，是很难做到的。

西方经济学中基本假设及其思想可概括如下: 注重静态忽略动态、强调理性拒绝非理性、追求确定性避免不确定性。西方经济学研究中不考虑诸如历史文化、人际关系等复杂、易变的

动态因素，着重研究静态的物与物、人与物的关系，而不考虑人与人的关系。数学的分析主要在于理性分析，而对非理性的分析是无力的，理性等价于逻辑上的确定性而排除不确定性，即分析、结论的几何和数学模型形式。因此，西方经济学研究前提的几个基本假设为经济数学的发展提供了可靠依据，为了实现经济学的科学信念，方法上必须引入数学思想和方法，亦即演绎法:从创造性假设出发，经数学推理得到确定性结论。

二、经济数学的发展过程

数学是以抽象的数学关系形式描述客观世界运动方式的一门科学。二十世纪中叶以前，数学主要是为自然科学和生产技术服务，一直到近五六十年来，为了适应经济科学发展的要求，经济数学应运而生。经济数学是用数学方法来研究经济现象以及对经济学中所提出的数学问题进行专门研究的一门学科，在继续深入研究的同时，加强了数量关系的分析和研究。纽曼和莫津斯特思的《博弈论与经济行为》一书的发表标志着数学与经济科学的结合进一步加深。微积分、微分方程、差分方程和矩阵代数等数学方法被经济科学广泛应用，使经济理论的研究工作取得了很大的进展，使人们对经济规律认识的精确性有了显著提高。特别是近二十年来.许多经济学家包括诺贝尔经济学奖获得者保罗·萨缪尔森的《分析技巧、集体选择》,T·C·库普曼的《最优化概念及其应用》以及勒·康托罗维厅的《数学在经济中的应用、成就、困难、前景》等都把数学和经济学结合得十分紧密。这些著作在正确分析经济概念的条件下，利用数学工具做为辅助手段，使经济科学、管理科学的研究做到了简洁、清晰和精确。我国数学家华罗庚先生是将经济数学理论和生产实践活动相结合的典范。他自1958年后，走遍了全国20多个省市，大力推广优选法应用于农业生产，促进了生产效率的提高。数学方法步入经济科学的领域，成为分析、研究社会经济现象和为社会经济发展服务的有力工具。

三、经济数学的研究方法——数学建模

    数学模型是对实际问题的一种数学表述，是以一个特定的对象为一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。这个数学结构可以是数学公式、算法、表格、图示等。建立数学模型是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似描述并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一个近似的反映。所谓数学建模，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该模型所提供的解答来解释现实问题。

在经济理论研究中，借助数学模型至少有4个优势:第一，前提假定用数学语言描述得一清二楚；第二，逻辑推理严密精确，可以防止漏洞和谬误，避免被表面现象所蒙蔽；第三，应用已有的数学模型或数学定理推导新的结果，得到仅凭知觉无法或不易得出的结论；第四，数学符号和用语全世界通用，促进国际间的交流和沟通。从经济实证角度看，使用数学模型优势在于: 以经济理论的数学模型为基础发展出可用于定性和定量分析的计量经济模型；证据的数量化使得实证研究具有一般性和系统性；使用精致复杂的统计方法让研究者从已有的数据中最大程度地汲取有用的信息。因此运用数学和统计方法做经济学的实证研究可以把实证分析建立在理论基础上，并从系统的数据中定量地检验理论假说和估计参数的数值，这就可以减少经验性分析中的表面化和偶然性，可以得出定量性结论并分别确定它在统计和经济意义下的显著程度。

有这样一个例子。张五常（Steven Cheung）在20世纪60年代末有关佃农制即农民与地主用地固定比例分成的研究，对交易成本对不同合同形式的选择作用提出开创性论断。 后来斯蒂格利茨（Joseph Stiglitz）1974年的数学模型精确地分析了激励与风险分担的交换对农民与地主在土地租赁合同选择的影响。一方面，张五常的想法是开创性的，后来的数学模型中相当多的成分都与那些想法有关；另一方面，如果没有后来的数学模型，人们的认识不仅只局限在农业土地问题上，而且对交易成本的论说也只是一种不大精确的概念。正是后来的数学抽象使得激励理论与合同理论迅速发展到其他领域。比如詹森（Michael Jensen） 和梅克林（William Meckling）于1976年发表的论文，从公司经理的激励问题出发来研究公司债权和股权的分配问题，成为现代公司治理结构理论的开创篇章。地主租赁土地给农民和投资人雇用经理看上去毫不相关，一旦上升到数学模型便都是激励信息和风险分担的问题。由此可见，数学模型的引入会简化经济问题的复杂性，对跨专业研究有极大的帮助作用。

四、一个具体问题的数学分析

决策是人们在政治、经济、技术和日常生活中普遍存在的一种话动，是为了解决当前或未来可能发生的问题选择最佳方案的一种过程。某企业的决策者要根据市场供给情况、同行业企业营销状况、相关企业营销状况等综合判断，采取相应决策达到预期目的。其中，价格是企业营销的主要因素之一。产品价格的变化直接影响着消费者的购买行为，影响着生产经营者赢利目标的实现，是市场竞争的重要手段。随着现代市场营销环境日益复杂，商品价格问题日益微妙，要求生产经营者更加重视商品价格决策问题，科学而艺术地进行商品价格决策。

    例如某企业针对市场的反应作出产品降价的决策。企业的目的是要增加销量、市场占有率而最终增加利润，付出的代价是单位产品利润降低。市场的反应是每个消费者因产品降低而作出相应的是否购买该产品的集体表现。那么企业将产品价格降低到什么限度可以达到增加利润的目标呢？

我们深入分析如下:

假定企业单位产品成本为C，产品售价为P，产品销量为Q，市场需求弹性为Edp ，则总利润     

        TP= ( P- C) Q，

两边求微分

            dTP= Q d( P- C) + ( P- C) dQ，

C为常数，则

            dTP = QdP+ ( P- C) dQ 。                 (1)

由需求价格弹性Edp =(dQ/Q)/(dP/P)，有

        dQ=(QdP/P)EdP                            (2)

将（2）代入（1）有

            dTP=QdP+(P-C)(QdP/P)EdP。

企业决策的目标是使利润增加，则要求dTP >0,即QdP+(P-C)(QdP/P)EdP >0。降价时，dP< 0，两边除以QdP有

         1+(P-C) EdP /P<0,

即 (P-C) EdP /P<-1。

由于价格下降一般会使销量增加，需求价格弹性Edp<0，则

           (P-C)/P>-1/ EdP ,

即(P-C)/P>1/|EdP|。

由此可以得出结论，当产品利润率(P-C)/P大于市场需求价格弹性Edp绝对值的倒数时，降价决策可以增加企业利润。

以上只是一个最简单的例子说明数学在经济决策中的应用，所使用的方法只是高等数学中最基础的微分概念。可以想象，更多精深的数学方法应用在经济学研究中将会对经济发展起到多么大的推动作用。

但我们也必须明确一点，经济学并不是单纯的数学问题。在绝大部分论文中经济思想是最重要的，数学和计量方法只是体现和执行经济想法的工具。经济学的主要领域是靠经济学知识而不是数学取胜。经济学家的工作毕竟不是为了开拓数学理论前沿，那是数学家的事情，因此我们不能以数学水平的高低来衡量一名经济学家的水平，也不能以运用数学的多少和它的难易程度来作为评判经济学论文质量高低的标准。

同时，经济学方法论与自然科学方法论又有不同之处，它具有与一般社会科学方法论的共同点。作为研究经济活动及其规律性的经济学，由于经济活动具有更大的不确定性和复杂性，不能排除一般社会科学所使用的逻辑主义、历史主义等方法论，更加侧重于定性分析和规范分析。可见，经济学方法论的确是有“软”有“硬”，兼容了自然科学和社会科学的基本方法。

现代经济学非常重视实证分析，现代经济学的实证分析，对已有理论的检验，发现新的已有理论尚不可解释的经验证据。这与其他的一些社会科学中的实证分析不尽相同。比如在社会学中许多实证分析并没有一致的理论基础，像通过估计变量间的相关系数来了解事实。而现代经济学的实证分析大都是基于经济学理论的。经济学家应用统计回归方法不仅关心变量的估计值和变量间的相关性，更关心变量间的因果关系、模型假定对预测的影响以及计量结果背后的经济含义。这是计量经济学不同于统计学的最重要方面，因此在本质上经济学不应同数学相类比。

数学是经济学家进行经济研究的有力武器，它以内容的抽象性，应用的广泛性，推理的严谨性和结构的明确性取胜，使得经济研究突飞猛进，越来越多的数学工具将应用于经济问题研究。因此，在大学阶段加强经济类学生的数学教育是大势所趋，掌握坚实的数学功底更是这类学生将来与世界前沿经济研究接轨的必要条件。