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求助：范里安的预期效用函数习题
乡下蜗牛
8311 6
2007-01-09
<P>课后复习题：</P>
<P >为什么<FONT face="Times New Roman">u</FONT>（<FONT face="Times New Roman">c<SUB>1,</SUB>c<SUB>2,</SUB></FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1,</FONT></SUB>p<SUB><FONT face="Times New Roman">2</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">=</FONT>p<FONT face="Times New Roman"><SUB>1</SUB>ln c<SUB>1</SUB>+</FONT>p<FONT face="Times New Roman"><SUB>2</SUB> lnc<SUB>2</SUB></FONT>具有预期效用函数性质，而<FONT face="Times New Roman">u</FONT>（<FONT face="Times New Roman">c<SUB>1,</SUB>c<SUB>2,</SUB></FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1,</FONT></SUB>p<SUB><FONT face="Times New Roman">2</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">=ln c<SUB>1</SUB>+</FONT>（p<FONT face="Times New Roman"><SUB>2</SUB> /</FONT>p<SUB><FONT face="Times New Roman">1</FONT></SUB>）<FONT face="Times New Roman">lnc<SUB>2</SUB></FONT>就不是具有预期效用函数性质。<o:p></o:p></P>
<P >另那位高人能具体举例一下正仿射变换！<o:p></o:p></P>
<P >谢谢哦！！！<o:p></o:p></P>
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乡下蜗牛
2007-1-9 23:01:00

我写的“派”怎么变成p了〉〉〉

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demander
2008-12-21 12:37:00
p1不能算是一个常数，除以变量不能保证正仿射吧
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猫爪
2008-12-21 14:39:00

预期效用函数？是指期望效用函数？

以下是引用sungmoo在2008-5-17 22:12:00的发言：

若彩票空间及定义在其上的偏好满足一定条件（公理），

则存在定义在该彩票空间上的一个满足“期望效用函数特征”的效用函数——期望效用定理。

已知一个满足“期望效用函数特征”的效用函数，当且仅当对其进行的正单调变换是仿射变换，

变换后的效用函数保持“期望效用函数特征”。

如果某个随机变量X以概率Pi取值xi，i=1,2,…,n，而某人在确定地得到xi时的效用为u(xi)，

那么，该随机变量给他的效用便是：

U(X) = E[u(X)] = P1u(x1) + P2u(x2) + ... + Pnu(xn) （P1+p2..........+Pn=1）

其中，E[u(X)]表示关于随机变量X的期望效用。因此U(X)称为期望效用函数，

又叫做冯·诺依曼—摩根斯坦效用函数（VNM函数）。

很显然，第一个式子具有这样的特征，而第二个不具备。（概率和不为1）

[em09]

[此贴子已经被作者于2008-12-21 15:46:59编辑过]

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sungmoo
2008-12-21 14:58:00
以下是引用乡下蜗牛在2007-1-9 22:59:00的发言：为什么u（c1,c2,p1,p2）=p1ln c1+p2 lnc2具有预期效用函数性质，而u（c1,c2,p1,p2）=ln c1+（p2 /p1）lnc2就不是具有预期效用函数性质

设L是简单彩票空间，R是实数集。效用函数u:L->R具有“期望效用表示”，指的是，存在常向量(a1, a2, …, an)，使得对于任意一张彩票(p1, p2, …, pn)∈L，该彩票的效用u(p1, p2, …,pn)都是p1, p2, …,pn的线性组合a1p1+a2p2+…+anpn。

这里的彩票，是一个多维变量（或者一个“变矢”），各分量即各可能结果的概率。

或者说，即使把彩票写作(c1, c2, …, cn; p1, p2, …, pn)，其中的c1, c2, …, cn也都是常量。

a+p2/p1b这种形式，并非p1与p2的线性组合。

[此贴子已经被作者于2008-12-21 15:43:04编辑过]

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sungmoo
2008-12-21 15:33:00

一张彩票，其实就是一个概率空间{Ω, σ, P}。

给定彩票空间，其中不同的彩票，它们所对应的可测空间{Ω, σ}是相同的，区别只在于概率测度（σ到[0, 1]的映射）不同。

已知可测空间{Ω, σ}，一张彩票可以理解为一个概率测度，彩票空间则可以理解为一些概率测度的集合。

给定彩票空间L及效用函数u:L->R，若存在{Ω, σ}上的某个随机变量（即有限值可测函数）f:Ω->R，使得对于任意彩票（概率测度）P，其效用u(P)总可以表示为f的期望（且该期望总存在），则称u具有“期望效用表示”。

具有期望效用表示的效用函数u:L->R，即vNM期望效用函数。

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