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An Introduction to Statistical Inference and Data Analysis

Contents
1 Mathematical Preliminaries 5
1.1 Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Counting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Probability 17
2.1 Interpretations of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Axioms of Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Finite Sample Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Conditional Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Random Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Discrete Random Variables 55
3.1 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.4 Binomial Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 Continuous Random Variables 81
4.1 A Motivating Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Basic Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.3 Elementary Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Normal Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.5 Normal Sampling Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1
2 CONTENTS
4.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Quantifying Population Attributes 105
5.1 Symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.2 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.2.1 The Median of a Population . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2.2 The Interquartile Range of a Population . . . . . . . . 112
5.3 The Method of Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.3.1 The Mean of a Population . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3.2 The Standard Deviation of a Population . . . . . . . . 114
5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6 Sums and Averages of Random Variables 117
6.1 The Weak Law of Large Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . 118
6.2 The Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7 Data 129
7.1 The Plug-In Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2 Plug-In Estimates of Mean and Variance . . . . . . . . . . . . 132
7.3 Plug-In Estimates of Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
7.3.1 Box Plots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.2 Normal Probability Plots . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4 Density Estimates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8 Inference 147
8.1 A Motivating Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.2 Point Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.1 Estimating a Population Mean . . . . . . . . . . . . . 150
8.2.2 Estimating a Population Variance . . . . . . . . . . . 152
8.3 Heuristics of Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . 152
8.4 Testing Hypotheses About a Population Mean . . . . . . . . . 162
8.5 Set Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9 1-Sample Location Problems 179
9.1 The Normal 1-Sample Location Problem . . . . . . . . . . . . 181
9.1.1 Point Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
CONTENTS 3
9.1.2 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
9.1.3 Interval Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
9.2 The General 1-Sample Location Problem . . . . . . . . . . . . 189
9.2.1 Point Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.2 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
9.2.3 Interval Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
9.3 The Symmetric 1-Sample Location Problem . . . . . . . . . . 194
9.3.1 Hypothesis Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.3.2 Point Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
9.3.3 Interval Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
9.4 A Case Study from Neuropsychology . . . . . . . . . . . . . . 200
9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
10 2-Sample Location Problems 203
10.1 The Normal 2-Sample Location Problem . . . . . . . . . . . . 206
10.1.1 Known Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
10.1.2 Equal Variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
10.1.3 The Normal Behrens-Fisher Problem . . . . . . . . . . 210
10.2 The 2-Sample Location Problem for a General Shift Family . 212
10.3 The Symmetric Behrens-Fisher Problem . . . . . . . . . . . . 212
10.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11 k-Sample Location Problems 213
11.1 The Normal k-Sample Location Problem . . . . . . . . . . . . 213
11.1.1 The Analysis of Variance . . . . . . . . . . . . . . . . 213
11.1.2 Planned Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
11.1.3 Post Hoc Comparisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
11.2 The k-Sample Location Problem for a General Shift Family . 225
11.2.1 The Kruskal-Wallis Test . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
11.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4