第一节 从一道初级代数题看主流经济学的数学模型

先看下面这道题
例，市场供给函数为Qs=500P-500，市场需求函数为Qd=4000-400P，P为市场均衡价格，Qs、Qd则为市场均衡的数量，问：
　　（1）市场均衡的数量和价格是多少？
　　（2）假定对每单位产品征收0.9元的税，新的市场均衡价格和产量又为多少？
　　（3）厂商和消费者各负担多少税负？

解：当Qs=QD时市场达到均衡
　　此时 500P-500=4000-400P
　　解得P=5
　　Qs=Qd=2000
　　若对每单位产品征收0.9元的税，那么征税后
　　Qs=500（P-0.9）-500
　　Qd=4000-400P
　　联立Qs=Qd解得P=5.5
　　Q=1800
　　可见征税后价格提高了5.5-5=0.5元
　　所以消费者负担税收0.5元，剩下的0.4元由生产者承担。

　这是一道十分简单的经济学问题而且是通过数学形式给出的，数字和符号以及方程式来描述经济问题是经济学家们最常用的方法，并将其称为“经济模型”。在这里就可看到，经济模型也不是什么高深的概念。事实上，方程式甚至一组几何图形我们都称其为“模型”，经济学家常常用模型来解释世界。

　我们现在根据这道题来提出一些问题。进而看数学与主流经济学的关系。

　问题一：为什么Qd（代表需求）可以用Qd=4000-400P来表示，而 Qs（代表供给）可以用Qs=500P-500来表示呢？

　我们知道在数学上，Qd=4000-400P如果在坐标上画出来，纵坐标表示P横坐标表示Qs，其表示一条向下倾斜的直线。这个式子的含义是：需求曲线可以用一条向下斜的直（曲）线表示，简单的理解，就是价格越高需求越少；而供给曲线可以用向上倾斜的直（曲）线表示，简单的理解，就是价格越高生产的积极性越高，产量越大。需求曲线向右下倾斜和供给曲线向右上倾斜是基本的需求规律和供给规律，这是现代经济学的基石。问题是：为什么需求曲线要向右下倾斜（供给曲线也有同样的问题，这里不是重在讨论经济学原理，故仅以需求曲线为例）？这也就是Qd=4000-400P这一代数式蕴含的经济学道理。事实上，这样一个问题在经济学界曾引起不小的争论。在解释需求曲线向右下倾斜上，现代经济学几乎给出了很好的证明，包括从基数效用理论出发的解释和序数效用理论出发的解释以及许多高深的证明。可见，这样一个代数式背后有着很丰富的内容。需求曲线是不是在任何场全都必然的向右下倾斜？以弗里德曼、张五常等人为代表的芝加哥学派的一部分人笃信需求曲线在任何时候都是向右下倾斜的，而没有例外。张五常甚至说，其毕生所学的经济学只有两招。其中之一便是需求曲线必须向下倾斜。并断言，如果需求曲线不向下倾斜，那么经济学也就不存在了。但是，经济学界也有许多人对此却颇有微词，如汪丁丁等人有着不同的看法。

从数学上，如果Qd不是Qd =4000-400P那么也不能和Qs联立来解了。但是从哲学上我们又倾向于相信“这个世界上没有什么是确定无疑的”这一信条。在此信条指导下有人指出了“吉芬物品”的需求曲线是向下倾斜的。但争论也很多。就从实际情况来论，需求曲线不向下倾斜的场合也非常很多，比如有“买涨不买落”之说。我不能理解向下倾斜为什么对主流经济学那么重要。

　问题二：Qd=Qs意味着什么呢？

　在数学上我们可以容易的把二者联立为二元方程，并解出结果。但是我们要问：这等式背后的东西是什么？其相等的机制是什么？对此问题的回答与探索得出了经济学上最重要的理论，那便是可以追溯到1776年的一本杰出的书和一个杰出的人：《国富论》和亚当斯密。在那本不朽的著作中，他提出了“看不见的手”的原理。其认为在市场中活动的人们像受着一只看不见的手的指引而实现了Qd=Qs。也可以说支持Qd=Qs的机制是“看不见的手”理论。理论的发展远没有仅局限于此。随后的经济学天才们以各种复杂的手段来阐述和证明这个原理，这一智力活动所达到的程度和成果是迄今是人类思想上最宝贵的财富之一。从理性人，到局部均衡又到一般均衡理论的发展至今仍是经济学的核心内容，并继续吸引着一大批优秀的头脑。对此问题的不断追求和证明也让我们至今仍坚定的相信：“市场通常是组织经济的一种好方法”这一经济学的基本原理。

　问题三：为什么征收0.9元的税收后价格上升了？数量下降了？

　在数学上我们轻易的接受了计算结果并相信不疑。但是我们仍要问，这结果背后的东西是什么？对此的问答也构成了经济学理论的重要内容，并让我们接受另一个经济学的基本原理：“理性人会对激励作出反应”。面对来自政府的税收（激励机制），理性的人无论是消费者还是生产者都会敏感的作出相应的反应。如果对消费者征税，那么，她会以其他的物品来替代此种要纳税的物品。而对生产者征税，因其利润的缩减（或说成本的增加）而生产动机不强，因此要减少产量。任何一种原因都会导致均衡数量的下降。学过微观经济学的读者会知道无论对谁征税，事实上差别是不大的。有一种机制会使这种“由谁来买单”并不重要，关键在于最后“谁来掏钱”。这是我们下面即将说及的。正是由于这种激励（税收）使得产品价格更高，数量更少了。

上面的数学描述非常简单，小学生就可以求解，构造了现代经济学的基础。（注：上面的数学描述是抄袭的）。但却有重大缺陷，即只是个静态描述，均衡之后的结果如何。如果深入探究，需要了解从一个均衡状态是如何跃迁到另一个均衡状态，需要多少时间才能达到均衡状态，由于系统的震荡，甚至可能永远也不能达到均衡状态。进入下面的章节前，只有求解联立二元方程的数学基础是远远不够的，由于是描述动态系统，需要微分方程，拉氏变换的知识，最好有自控原理的基础知识。对于只有小学文化程度的主流经济学家而言，这些要求可能有些过份。

第二节 从静态模型到动态模型

上一节的数学模型可以表达为图1，Qd代表需求，Qs代表供给。

图1 理性人的静态描述

在静态系统描述中，由于看不见的手Qd=Qs，于是把理性人的传递函数当作1处理，Qd、Qs始终相等。但是，实际情况是市场需求Qd是时间的动态函数，由Qd(t)表达，供给Qs也是时间的函数，由Qs(t)表达。这也很好理解，市场需求是瞬息万变的，供给自然也会跟着瞬息万变，在动态过程中，是很难做到Qd=Qs，即理性人的传递函数不可能为1。于是需要对理性人建立动态数学模型，动态系统的理性人数学模型可以表达为图2，图中的变量Qd(t)和Qs(t)经过拉氏变换由时域变换到复域的Qd(s)和Qs(s)，而理性人的传递函数为G(s)。

图2 理性人的动态描述

那么动态供需平衡方程可以表达为Qs(s)= G(s)Qd(s)。现在的问题是如何得到理性人的传递函数G(s)。虽然理性人的概念满天飞，是主流经济学的基础，但却没有看到过关于理性人的动态数学描述，这不能不说是缺憾。下面的章节就是尝试构造理性人的动态数学模型，并以此模型为基础，解释一些经济现象。

第三节 典型的需求函数

市场需求瞬息万变，但还是有规律可循，可以把市场变化抽象为几个典型的简单变化，其它变化只是这几个典型变化的排列组合，如图3。

图3 典型的输入函数

图3中横坐标代表时间，纵坐标代表市场需求。(a)表示在零时刻有单位市场需求，称为脉冲函数，在此时刻前后，均没有市场需求，对应的拉氏变换为Qd(s)=1；(b)表示从零时刻起，一直有单位的市场需求，称为单位阶跃函数，对应的拉氏变换为Qd(s)=1/S；(c)表示从零时刻起，市场需求单位线性增长，Qd(t)=t，称为单位斜坡函数，对应的拉氏变换为Qd(s)=1/S2 ；(d)表示，市场需求与时间呈加速度增长，称为单位加速度函数，Qd(t)=1/2t2，对应的拉氏变换为Qd(s)=1/S3。

其中，单位阶跃函数在分析系统行为中应用最为广泛。如果不考虑动态过程，其实就是第一节的例题，给定一个固定的市场需求函数Qd=4000-400P，系统均衡时Qd=Qs。但现在是求解的动态过程，系统是如何实现Qd=Qs的。为了求解这个问题，需要建立理性人的传递函数。

第四节 理性人的一阶传递函数

人是非常复杂的动物，对人的行为建立数学模型非常复杂，甚至不可能，需要进行近似简化。理性人是个简化的理想模型，在这里依然继承主流经济学对理性人的假设，即信息获得充分，非常理性，能够根据市场的变化，合理调整自己的行为。那么一个简单的动态数学模型如图4：

图4 理性人的简单动态数学模型

理性人是一个负反馈闭环系统，理性人能准确获得市场需求和供给信息，得到其中的差值，对应的就是图中附带了正负号的圆圈，在控制系统中称为比较器。根据看不见手的原理，系统处于稳态时，Qd=Qs，即没有静态误差，那么闭环中必然存在一个积分环节1/S，这个1/S就代表看不见的手。K是闭环增益，简单的理解就对应理性人的生产能力。用通俗的语言描述理性人的动作就是，准确获得市场需求和供给信息，根据差值，在看不见的手推动下，调动自己的生产能力，从而使供给与市场需求相等。
根据图4的理性人动态数学模型，可以得到理性人的传递函数G(s)=1/(TS + 1)，其中T=1/K。那么在单位阶跃函数激励下，系统的输出响应，Qs(s)= G(s)Qd(s)，即：

Qs(s)= 1/(TS + 1) * 1/S

经过拉氏反变换后，可以得到供给的变化曲线Qs(t)，如图5。

图5理性人在单位阶跃函数激励下的输出响应

图5的横坐标代表时间，纵坐标代表幅度。市场需求函数Qd(t)从0时刻开始是常数，为图中的水平线。供给函数Qs(t)为指数规律上升的曲线，初始斜率为1/T，如果维持初始斜率上升，则过T时间，Qd=Qs。但实际情况是，要经过3~5倍的时间常数T，才能达到Qd=Qs，进入稳态。作为一阶系统，系统总是稳定的，没有超调和震动。理性人的增益K是个重要的参数，对应理性人的生产能力，K越大，时间常数越小，越容易跟踪市场需求。如果市场需求变化非常缓慢，即>>T，那么就可以简单认为Qd=Qs，系统也就简化为第一节所描述的静态系统。

进一步还可以推论理性人在市场需求线性扩张及加速度扩张时的表现，对应的是单位斜坡函数和单位加速度函数。可以知道在市场需求线性扩张时，存在稳态误差，即Qd-Qs=T；加速度扩张时，则不能跟踪，Qd-Qs趋向无穷，系统永远不能达到均衡。详细讨论可查阅《自控原理》。

第五节 理性人的二阶传递函数

在前一节里，把理性人的生产能力做了简化，用增益环节K来表达，意思是说理性人能根据误差，立即调动生产能力从事生产。但实际情况是，生产能力的调动需要时间，理性人由于足够理性，需要“持重”，生产能力的投入也会逐步进行，表现出生产能力的调动呈现巨大的惯性。为了描述这种惯性，对图4进行进一步完善，如图6。

图6 理性人的二阶动态数学模型

图6在图4的基础上增加了一个一阶惯性环节1/(TS + 1)，T为此一阶惯性环节的时间常数，代表理性人的理性程度。可以得到理性人的二阶传递函数G(s)= ω2/(S2 + 2ζωS + ω2)，式中，ω=(K/T)1/2为系统的振荡频率，ζ=(1/TK)1/2/2为系统的阻尼系数。如果系统的阻尼系数ζ > 1，则是过阻尼系统，系统的行为与一阶系统相似，供给函数Qs(t)类似于图5的一阶理性人在单位阶跃函数激励下的输出响应。如果阻尼系数ζ < 1，则二阶理性人在单位阶跃函数激励下的输出响应如图7。

图7二阶理性人在单位阶跃函数激励下的输出响应

在阻尼系数ζ < 1时，系统会出现超调和振动，阻尼系数ζ越小，超调越大，振动越厉害，震动的衰减越缓慢。如果阻尼系数ζ = 0，则是持续不衰减的震荡，不可能实现Qd=Qs的均衡。如果ζ < 0，则一个微小的激励会引发一个发散的振荡过程，最终使系统崩溃。二阶系统的输出响应与ζ和ω的详细讨论，可查阅《自控原理》。
用二阶系统描述理性人，比一阶系统更贴近实际。正如我们在市场中看到的一样，时而经济过热，时而经济不景气。引发经济剧烈波动的原因是阻尼系数ζ过小，生产能力K约大，理性程度T越大，使阻尼系数ζ越小，越容易引起系统振动。市场经济条件下，生产能力K有过剩倾向，理性程度T增大的倾向，因为是花自己的钱，自己责任，更加“持重”。我们可以看到，理性人由于理性，反而加剧了整个系统的不稳定，这也就是常说的，个体的理性招致群体的非理性。实际的理性人应该是比二阶系统更加高阶的系统，高阶系统维持稳定更加困难，可能Qd=Qs根本就不成立，因为没有稳态。
当然，即使系统不稳，我们还是可以假想通过一个低通滤波器提取直流分量，把此直流分量当作是Qs，然后认为Qd=Qs，理论上可以这么假定，但实际上我们无时无刻不生活在非均衡的世界中。

第六节 理性人的非线性

前面的讨论，只把理性人当作线性系统看待，实际情况是存在很多非线性环节。比如，现代工业的投资收益是非线性的，通常呈现如图8所示的曲线。

图8 投资收益的非线性

图8的横坐标为投资纵坐标为产出。如果投资低于某一阈值，没有任何产出。比如对于一家典型的中国钢铁厂来说，2004年的5月份钢铁造价大致为320美元一吨，但是我们不可能用1000美元的启动资金就来获得一个年产钢铁为3吨的迷你钢铁厂。越过阈值后，投资收益曲线会呈现指数急剧上升，微小的投资增量会带来大幅度产出增长。投资超过一定规模后，会遇到现有技术和市场壁垒，投资增长并不带来收益提高，系统趋向饱和。

即使有合理的投资，收益也是时间的函数，也通常呈现如图8所示的曲线。横坐标为时间，纵坐标为产出。在开始的一段时间内，由于工厂的建立，人员的培训，没有任何产出，呈现显著的时间滞后。试生产阶段，由于设备人员的调试磨合逐步顺畅，产出随时间推移指数急剧上升。随后产出逐步趋近设计产量。

实际上，农业生产也有这种阈值和时滞效应，比如，受气候制约，往往要等一年才有产出，对农业的投入超过一定的阈值才有产出，产出超过一定程度后，再增加对土地的投入则产出增长缓慢。不过对于农业社会，市场变化缓慢，农业生产的这种阈值和时滞效应往往可以忽略不计，于是把理性人当作线性系统处理不会带来太大的误差。但在工业社会，市场变化剧烈，阈值和时滞效应相对又那么大和漫长，于是理性人的非线性不能忽略。那么需要对图6的线性理性人进行进一步完善，如图9。

图9 非线性理性人的二阶动态数学模型

由于纯时间延迟环节的存在，加剧了系统的不稳定性。死区（阈值）的存在，会使系统出现静态误差，即Qd不等于Qs，甚至导致滞环振荡。非线性系统的详细讨论可查阅《自控原理》。另外，假设了理性人能够准确获取供求信息，在实际中这也是不成立的，在信息采集传递处理过程中必然会混入噪音。而这种噪音很可能通过媒体等放大，而干扰系统的稳定运行。

在前面的讨论中，把理性人内部的各参数当作常数处理了，是时不变系统。实际上，理性人会学习适应和改进自己的参数，真实的系统应该是时变系统。不过由于江山易改，本性难移，尤其对于国家民族这样的大系统来说，文化的传承不是容易改变的，市场的变化速度远远超过人性的变化，把人性当作常数处理是恰当的。

第七节 经济系统的最优控制

把理性人当作静态系统描述有条件的，首先要市场需求变化非常缓慢，市场需求的变化率远远慢于理性人的时间常数。其次要生产能力低下，不会引起系统不稳定。第三系统不能有纯时间延迟和死区等非线性环节，至少它们的影响可以忽略。
那么，满足上面条件的只有古代农业社会，或工业社会的早期。常年的需求相似，生产力低下，没有机器化大生产。虽然存在季节引起的纯时间延迟，但这种时间延迟与市场变化速度相比微不足道。技术门坎很小，别人的耕作生产技术比较容易学会掌握，不存在技术壁垒。于是《国富论》和亚当斯密。在那本不朽的著作中，他提出了“看不见的手”的原理。其认为在市场中活动的人们像受着一只看不见的手的指引而实现了Qd=Qs。
但在现代工业社会，这几个条件都不满足。市场变化非常快，理性人的动态模型不能忽略。机器化大生产使生产能力急剧扩张，极易引起震荡。工厂建设，产品开发需要很长时间，几年甚至数十年都可能，而对应的市场需求时间可能很短，存在着很长的纯时延环节。技术和资金壁垒在现代工业社会司空见惯。从前面的动态模型分析，可以得到，在现代工业社会Qd=Qs只在理论上成立，在实际的动态系统中并不成立。
Qd=Qs在现代工业社会中不成立，那么第一节求解静态均衡的联立方程，则需要转换为：

1． 在给定的动态需求曲线Qd(t)下，最优的供给曲线Qs(t)是什么，要求Qd(t)=Qs(t)既没有必要也没有可能。需要建立一套评价函数，评价什么样的需求曲线Qs(t)最优。
2． 通过最优需求曲线Qs(t)，可以推导出系统应该具有什么样的理想传递函数。
3． 辩识市场经济条件下理性人的传递函数。
4． 对照理想传递函数对理性人的传递函数进行校正。

综合上面的因素，经济系统的最优控制如图10

图10 经济系统最优控制的动态数学模型

图中的理性人传递函数G(s)就是前面介绍的动态数学模型，它本身不满足最优的供给曲线Qs(t)，而且还不一定稳定。为此增加了一个校正环节P(s)。由于在市场经济的大闭环中，复杂的校正环节不易使系统稳定，为此，需要在大闭环外增设前馈校正环节F(s)，对真实的市场需求进行“扭曲”， 前馈校正环节不影响系统的稳定性。系统参数辩识环节则在线辩识理性人的传递函数（理性人的传递函数是时变的），据此调节校正环节的控制参数。如果理性人G(s)代表了看不见的手——市场经济，那么校正环节P(s)和F(s)则代表了看得见的手——计划经济。

第八节 总结

本文从动态系统的角度尝试给现代经济学的基础概念理性人建立动态数学模型，建模的方法是自动控制理论的常用方法，并提出了最优控制的模式。可能是笔者孤陋寡闻，至今没有看到有论述如何建立理性人的动态数学模型，而就直接假定Qd=Qs，于是整个主流经济学的大厦建筑在沙滩上。

从动态模型出发和从静态模型出发，得出的经济学的结论是完全不同的，这里可以对照第一节介绍的静态数学模型。

问题一：主流经济学认为市场需求曲线必须向下倾斜，如不这样，Qd=Qs就无法联立求解了。但实际情况是，市场需求曲线向上倾斜的例子非常多。如果市场需求曲线向上倾斜则主流经济学无法求解，说明其静态数学模型有重大缺陷。对于动态系统来说，市场需求曲线是否向下倾斜不重要，依然可以求解描述系统的行为。

问题二：依照静态模型Qd=Qs，得出看不见的手的神奇能力，于是坚定的相信：“市场通常是组织经济的一种好方法”这一经济学的基本原理。但从动态模型出发，Qd=Qs只有理论期望的意义，实际上不存在。看不见的手不能使系统最优化，需要看得见的手进行校正。

问题三：主流经济学的一个基本原理：“理性人会对激励作出反应”。作为静态线性系统，没有大问题。但对于实际的动态非线性系统来说，则：“理性人不一定会对激励作出反应”。由于门坎和时滞效应，理性人对小的和短时间的激励不会反应。由于理性人的理性“持重”，引起的低通滤波效应，会使理性人对激励作出反应滞后，不能忠实跟踪激励，而可能引起系统振荡不稳。微小的激励可能引起系统巨大波动。