摘要：把Poisson分布的普通性修改后得到一种推广的Poisson分布—Stuttering Poisson分布，它具有在充分短的时间段内来到多次事件的性质，它在库存管理、运筹学、经济学等领域都有应用。类似微分方程法解得Poisson分布的密度函数，本文构造差分微分方程，然后将其转变为常系数线性微分方程组，用欧拉方法最终求得了Stuttering Poisson 分布的密度函数，并对密度函数形式给出了一个直观解释。

关键词： Poisson 过程的叠加；Stuttering Poisson 分布；差分微分方程；常系数线性微分方程组

      萨尔斯伯格（David Salsburg ）的 女士品茶：20世纪统计怎样变革了科学（The Lady Tasting Tea  How Statistics Rvolutionized Science in theTwentieth Century）的第28章    电脑随心所欲 注释有提到这种分布:

第28章 电脑随心所欲

圭多·卡斯泰尔诺沃（Guido Castelnuovo）出生于显赫的意大利犹太家庭，他的家庭背景可以追溯到古罗马最早的凯撒时代。1915年，卡斯泰尔诺沃当时是罗马大学（University of Rome）的数学教授，他正在进行一场孤独的战争，他想在研究生项目中引入一些有关概率和精算数学的课程。当时，安德烈·柯尔莫哥洛夫还没有建立起概率论的基础，数学家认为概率只是一个使用了复杂计算技术的众多方法的集合，是数学中的一个有趣的花絮，经常作为代数课里的一个部分来教授，在纯数学美丽的微光尚待关注的时候，没有人认为值得在研究生项目中开设这种课程。就精算数学而言，这段时间是应用数学最低迷的时期，人的寿命及意外事故发生频率的计算都只是采用简单算术，所以，系里其他的数学教授都认为没有开设这个课程的必要。

卡斯泰尔诺沃不仅在代数几何学这个抽象领域做了许多开创性工作，他对数学应用也有着浓厚的兴趣，他还劝说系里的其他人允许他开设这个课程。作为教学的成果，他在1919年出版了第一本关于概率与统计应用的教科书《概率运算与应用》（Calcolo della probabilità e applicazioni），这本书被意大利其它一些大学用于类似课程的教学中。到了1927年，卡斯泰尔诺沃已经在罗马大学成立了统计与精算科学学院（The School of Statistics and Actuarial Sciences），而且在整个20年代和30年代，意大利学校里致力于精算研究的统计学家越来越多，他们与瑞典该领域的专家进行极其活跃的交流。

1922年，贝尼托·墨索里尼（Benito Mussolini）在意大利实行法西斯主久，利用强权控制人民的言论自由，对大学里的学生和教职工都进行调查，以驱逐所谓的“国家的敌人”。在这次驱逐行动中，因为没有提及种族问题，所以卡斯泰尔诺沃是犹太人这件事没有被考虑进去[1]。所以最初的7年里他能够继续在法西斯ZF的统计下工作。到了1935年，意大利法西斯与德国纳粹的联合导致在意大利实行反犹太的法律，70岁的卡斯泰尔诺沃失去了工作。

但是，这些并没有使这位不知疲倦的人停止工作，直到1952年去世。随着纳粹种族政策的实施，许多有前途的犹太研究生也被逐出大学。卡斯泰尔诺沃就在他和其他犹太教授的家里设立了特殊的课堂，坚持授课，以帮助这些犹太研究生继续他们的学业。卡斯泰尔诺沃除了写一些关于数学历史的书外，还在他87岁时的最后日子里，研究决定论和机遇之间的哲学关系，并试图去说明因果的概念——这些我们已经在前面的章节中接触过了，在本书的最后一个章节我将作进一步的探讨。

由于卡斯泰尔诺沃的努力而建立起来的意大利统计学派，拥有稳定的数学基础，但大多数研究都是以在实际应用中遇到的困难作为出发点。而与卡斯泰尔诺沃同时代的年轻人科拉多·基尼（Corrado Gini）则带领罗马中央统计研究所（Istituto Centrale Statistica in Rome）进行了在精算方面的深入研究。罗马中央统计研究所是一家由保险公司设立的私人研究机构。基尼对所有应用课题的极大兴趣促使他在20世纪30年代期间与活跃在数理统计领域大部分年轻的意大利数学家保持着密切的联系。

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重复抽样和其它运算密集方法

还有其它一些与“解靴带”类似的方法，总称为重复抽样（resampling）。事实上埃弗龙已经阐述了费歇尔的许多标准统计方法都可以看作是重复抽样，而且，重复抽样方法属于范围更广的统计方法的一种，我们称之为“运算密集”（computer-intensive）。运算密集法充分利用现代计算机，对相同的数据不断地重复进行大量的运算。

20世纪60年代，美国国家标准局（the National Bureau of Standards）的琼·罗森布拉特（Joan Rosenblatt）和德州农工大学（Texas A&M University）的伊曼纽尔·帕仁（Emmanuel Parzen）发展了这种运算密集的程序，他们的方法被称为“核密度估计”（kernel density estimation），而且，由此产生了“核密度回归估计”（kernel density-based regression estimation）。这两种方法涉及到两个任意参数，一个是“核”（kernel），另一个是“带宽”（bandwidth）。这些方法出现不久，1967年（远在计算机可以解决这些问题之前）哥伦比亚大学的约翰·范里津（John van Ryzin）利用格利文科－坎泰利引理确定了参数的最优配置。

当数理统计学家们还在研究理论，并在他们自己的期刊发表文章时，罗森布拉特和帕仁的核密度回归已经被工程界独立地发现了，在计算机工程师中，它被称为“模糊近似值”（fuzzy approximation）。它用了范里津所称的“非最优核”（nonoptimal kernel），并且，只是非常随意地选用了一个“带宽”。工程实践不是为了寻找理论上最佳的可能方法，而是在于追求可行性。当理论家们还在为抽象的最优标准而大费周折时，工程师们已经走出去，到了真实的世界，用模糊近似值的概念建立了以计算机为基础的模糊系统。模糊工程系统应用于傻瓜相机，可以自动对焦和调整光圈。这一系统还应用于新建筑物中，根据不同房间的不同需要调整和保持舒适的恒定室温。

统计模型的胜利

运算密集法在标准工程实践中的扩展，是20世纪末统计革命已经渗透到科学界各个角落的一个实例。数理统计学家们已经不再是统计方法发展唯一的、甚至已经算不上是最重要的参与者了。在过去的70年中，科学家和工程师们并不知道那些刊载于他们期刊中最重要的理论经常一次次地被重新发现[3]。

有时，应用者应用基础定理时没有进行重新论证，仅仅凭直觉上以为是对的就假定它是正确的。还有的情况是，使用者使用了已经被证明是错误的定理，仅仅是因为这些定理直观上看起来是正确的。存在这种问题的原因，是因为在现代科学教育中概率分布的概念已经根深蒂固，以至于统计学家和工程师们思考问题的方式也是基于概率分布的角度。一百多年前，K·皮尔逊认为，所有的观测都来自于概率分布，而科学的目的就在于估计这些分布的参数。在这之前，科学界相信宇宙遵守着某些规律，如牛顿运动定律，而观测到的任何差异都是因为误差的存在。逐渐地，皮尔逊的观点占据了优势，其结果，每个在20世纪接受科学方法训练的人都理所当然地接受了皮尔逊的观点。这种观点深深地植根于现代数据分析的科学方法之中，几乎没有人去考虑其所以然。很多科学家和工程师使用这些方法，但从不考虑K·皮尔逊观点的哲学含义。

然而，当科学研究的真正“主体”是概率分布这一观念被广为接受时，哲学家和数学家发现了许多严重的基本问题，我已经在以上的章节中概略地列举了一些，在下一章节将详细论述。

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[1] 意大利法西斯主义在最初是非常重视家庭的，因此，只有已婚男子才可以在ZF任职，包括在大学里任教。1939年，非常有才华的布鲁诺·德费奈蒂（Bruno de Finetti）参加了里雅斯特大学（the University of Trieste）一个数学系全职教授职位在全国范围内的竞争，虽然胜出，但是，因为他当时还是一个单身汉，所以没有资格得到这个职位。

[2] 在18世纪，欧几里德的《几何原本》（Elements）的形式数学（formal mathematics）被编入几何学教科书，而且将逻辑推理的模式也编进去了。在编篡过程中，“定理”（theorem）一词被用来描述手头特定问题的结论。而为了证明某些定理，我们必须先去证明在最终定理中要用到的一些过程结论，当然，这些过程结论也可用来证明其它定理。这样的过程结论称为“引理”（lemma）

[3]我在我的博士论文中，使用了一种众所周知的、至少统计学家们都称之为“复合泊松分布”（compound-Poisson distribution）的分布。当我写论文时我必须去查相关的资料，结果我发现了在经济学、运筹学、电子工程以及社会学中都有同样的分布。有些地方它被称为“结巴泊松”（stuttering Poisson）或泊松二项分布（Poisson-binomial）。在一篇论文中，它还被称为“第五街公共汽车分布”（Fifth Avenue bus distribution）。

      笔者根据这个注释，及相关文献，对Stuttering Poisson分布有了更进一步的了解，然后写的这篇论文。