0. 前言 (随机序列的条件均值与条件方差简介)

考察严平稳随机序列{y_t}, 且E|y_t|<¥. 记其均值Ey_t=m,

协方差函数g_k=E{(y_t-m)(y_t+k-m)}. 其条件期望(或条件均值):

E(y_t½y_t-1,y_t-2,…)ºj(y_t-1,y_t-2,…), (0.1)

依条件期望的性质有

Ej(y_t-1,y_t-2,…)=E{E(y_t½y_t-1,y_t-2,…)}= Ey_t =m. (0.2)

记误差(或残差):

e_t º y_t -j(y_t-1,y_t-2,…). (0.3)

由(0.1)(0.2)式必有:

Ee_t=Ey_t-Ej(y_t-1,y_t-2,…)

=Ey_t-Ey_t=0, (0-均值性) (0.4)

及

Ee_t²=E[y_t -j(y_t-1,y_t-2,…)]²

=E{(y_t-m)-[j(y_t-1,y_t-2,…)-m]}² (中心化)

=E(y_t-m)²+E[j(y_t-1,y_t-2,…)-m]²

-2E(y_t-m)[j(y_t-1,y_t-2,…)-m]

=g₀+Var{j(y_t-1,y_t-2,…)}

-2EE{(y_t-m)[j(y_t-1,y_t-2,…)-m]½y_t-1,y_t-2,…}

( 根据 Ex=E{E[x½y_t-1,y_t-2,…]} )

=g₀+Var{j(y_t-1,y_t-2,…)}

-2E{[j(y_t-1,y_t-2,…)-m]E[(y_t-m)½y_t-1,y_t-2,…]}