阿罗不可能定理（Arrow's Impossibility Theorem）
在为数不少的国人的心目中，选举的意义恐怕就在于大家根据多数原则（majority rule）通过投票推举出最受我们爱戴或信赖的人。然而，通过选举能否达到这个目的呢？
1972年诺贝尔经济学奖获得者、美国经济学家阿罗（K. Arrow）采用数学中的公理化方法，于1951年深入研究了这个问题，并得出在大多数情况下是否定的结论，那就是鼎鼎大名的“阿罗不可能定理（Arrow's impossibility theorem）”。
阿罗遵从经济学研究集体决策（group decisionmaking）和公共选择（public choice）问题时的惯例，首先将个人投票视为每个独立个体根据自己的偏好程度给各种备选方案从大到小排序，个体的偏好排序满足下列要求：
1、完全性（completivity）：对任意一对备选方案 x 、y ，一个人喜欢 x 胜于 y 、喜欢 y 胜于 x 和对两者同样喜欢这三种情况必有其一。
2、反身性（reflexivity）：任意一个备选方案至少和它自身一样好。或者说，从同样的偏好标准出发，一个人不能既喜欢又不喜欢同一个备选方案。
3、传递性（transivity）：如果一个人喜欢 x 胜于 y ，喜欢 y 胜于 z ，那么他应该喜欢 x 胜于 z ；而且只有当他喜欢 x 和 y 的程度相同，喜欢 y 和 z 的程度相同时，他才能同样程度地喜欢 x 和 z 。
显而易见，对于一个正常人来说，这三个要求相当合情合理，绝无过分之处。
阿罗进而将选举视为一种规则，它能够将每个个体表达的偏好次序综合成整个群体的偏好次序，并满足以下五个条件（即阿罗公理[Arrow's atoxism]）的要求：
1、所有投票人就备选方案所想到的任何一种次序关系都是实际可能的。
该公理表明：选民对候选人的任何一种排序都是允许的，也就是每一位选民可以完全按照各自的意愿挑选自己中意的候选人。
2、对任意一对备选方案 x 、y ，如果对于任何投票人都有 x ≥ y ，根据选举规则就应该确定 x ≥ y ；而且当且仅当对所有投票人都有 x = y 时，根据选举规则得到的最后结果才能取等号。
该公理表明：全体选民的一致愿望必须得到尊重，同时每个选民的意愿也不能受到随意的忽略，体现了选民的主权特性。
3、对任意一对备选方案 x 、y ，如果在某次投票的结果中有 x ＞ y ，那么在另一次投票中，如果在每位投票人排序中 x 的位置保持不变或提前，则根据同样的选举规则得到的最终结果也应包括 x ＞ y 。
该公理表明：如果所有选民对某位候选人的喜欢程度相对于其他候选人来说没有降低，那么该候选人在选举结果中的位置不会变化。
4、如果在两次投票过程中，备选方案集合的子集中各元素的排序没有改变，那么在这两次选举的最终结果中，该子集内各元素的排列次序同样没有变化。
该公理表明：某一组候选人在选举结果中的相对位置不会受除他们以外的其他候选人选举地位变动的影响，反映了无关候选人的独立性。公理3和公理4结合在一起，说明候选人的选举成绩只取决于选民对他们作出的评价。
5、不存在这样的投票人，使得对于任意一对备选方案 x 、y ，只要该投票人在选举中确定 x ＞ y ，选举规则就确定 x ＞ y 。
该公理表明：不存在能够仅凭个人意愿就决定选举结果的独裁者。
应该说这五个条件也是一个公平、合理选举的最起码要求。然而通过引入决定性集合（decisive set，选民集合 I 的子集 J 称为候选人x 、y 的决定性集合，如果对于任何一次投票，只要( x ＞ y ) i ，i ∈ J ，选举规则就确定 x ＞ y 。由公理2可以推出这样的集合一定存在）和最小决定性集合概念以及相关引理的证明，阿罗令人惊讶地发现：在只有两名候选人的情况下，采用简单多数规则的选举就能满足上述的五个条件的要求；但在超过三名候选人的情况下，满足前四个公理的选举规则竟然违反第五个公理（本来选举的目的就是让大家作主，结果却整出来个一言九鼎的“独裁者”），因此不存在能同时满足这五个条件的选举规则！这个结论被称为“阿罗不可能定理”，其确切表述如下：
当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。
阿罗还指出了多数规则的一个根本缺陷，那就是在实际决策中往往导致循环投票。例如，假设有 A 、B 、C 三人针对 x 、y 、z 三种选择方案进行投票，其投票次序如下表：
表1 投票悖论
投票者 对不同选择方案的偏好次序
A x y z
B y z x
C z x y
在得多数票获胜的规则下，每个人均按照他的偏好来投票。不难看出，大多数人是偏好 x 胜于 y ，同样大多数人也是偏好 y 胜于 z 。按照逻辑上的一致性，这种偏好应当是可以传递的，即大多数人偏好 x 胜于 z 。但实际上，大多数人偏好 z 胜于 x 。因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果，这就好像一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。在这种循环的脆弱性中，多数规则并不能为任何一个大多数选择出一个绝对好的偏好来，其结果是没有一个选择方案能够获得多数票而被通过，这又被称作“投票悖论（the voting paradox）”。它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。不仅如此，在存在投票悖论的情况下，多数规则还会使一些策略性投票（例如，不投自己偏好的选票，或者通过操纵对各个选项的投票顺序）获益。
阿罗的研究结论意味着：在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。换句话说，也就是在现实生活中，根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案；符合前面五个最起码条件的公平、合理的选举根本就不可能存在，而且其原因来源于选举本身，与具体社会政治生活中可能存在的消极因素无关。
阿罗不可能定理一经问世便对当时的政治哲学和福利经济学产生了巨大的冲击，甚至招来上百篇批驳文章。李特尔（J. Riedel）、萨缪尔森（P. A. Samuelson）试图以与福利经济学不相干的论点来驳倒阿罗不可能定理，但又遭到肯普（M.C. Kemp）、黄有光和帕克斯（Parks）的反驳，他们甚至建立了在给定个人偏好次序情况下的不可能性结果。事实上，阿罗不可能性定理经受住了所有技术上的批评，其基本理论从来没有受到重大挑战。
此后，更多的经济学家以阿罗的研究为基础，继续探究集体决策和选举问题，寻找在哪些限制条件下能够使阿罗公理得到满足或者如何放松阿罗公理的限制以使选举可行（这些做法实际上放弃了“理想的”选举这一想法，等于承认了选举的不完美性），同样得出了许多重要成果。例如1998年诺贝尔经济学奖获得者、印度经济学家阿马蒂亚·森（Amartiya Sen）在20世纪70年代对“投票悖论”的解决。其实森所建议的解决方法非常简单，一言以蔽之，就是退而求其次——森发现，当所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳的情况下，阿罗的“投票悖论”就可以轻松地迎刃而解。比如，我们假定所有人均同意 x 项选择方案并非最佳，这样上面的表1就变为下面的表2：
表2 投票悖论的解决
投票者 对不同选择方案的偏好次序
A y x z
B y z x
C z x y
在对 x 和 y 两种方案投票时，y 以两票对一票而胜出于 x（y ＞ x ）；同理，在对 x 和 z 以及 y 和 z 分别进行投票时，可以得到 z 以两票对一票而胜出于 x（z ＞ x ）；y 以两票对一票而胜出于 z（y ＞ z ）。这样，y ＞ z → z ＞ x → y ＞ x ，投票悖论就此宣告消失，惟有 y 项选择方案得到大多数票而获胜。
森把这个发现加以延伸和拓展，得出了解决投票悖论的三种选择模式——所有人都同意其中一项选择方案并非是最佳；所有人都同意其中一项选择方案并非是次佳；所有人都同意其中一项选择方案并非是最差。森证明：在上述三种选择模式下，投票悖论不会再出现，取而代之的结果是得大多数票者获胜的规则总是能达到唯一的决定。
既然选举并不能保证将最受爱戴或信赖的人推举出来（当然也就更不能保证推举出的人最能干或最称职了），那么通过选举方式选择领导人还有什么意义呢？其实在西方国家民众的心目中，选举还有另外一层也许更为重要的涵义：作为“主权在民”和“统治者的权力来源于被统治者的同意和授予”这一根本原则的集中体现和根本保障，选举是政权合法性的唯一来源，政府和领导人的统治只有在通过选举获得了选民的授权之后才是正当的；而且通过定期举行的自由选举，民众可以将领导人始终置于自己整体的压力和有效监督之下，使之不至于因长期掌权而异化为凌驾于自己头上的实际“主人”。关于这一点，只要回想一下备受中国人讥笑的上届美国大选就可一清二楚：当年布什和戈尔为争总统职位打得头破血流，然而核心却是谁得到了选民更多的授权——那些备受争议的选票究竟是投给谁的，有没有给搞错，要不要重新统计，仅此而已。
民主是一种精神而不是一种制度
谈起政治，最古老而又最新颖的话题无疑是民主，谈论最多分歧最大的话题无疑也是民主，最令人神往而又最使人迷惑的话题无疑还是民主。
1、浅释民主
民主(democracy)一词最初源于古希腊语demos和kratia，前者意指“人民”，后者指“统治”，合在一起构成“民主”，意即“人民的统治”。公元前15世纪，古希腊人就开始用民主这一概念来描述一种特定的政治生活方式。对于民主是“人民的统治”这一基本含义，虽历经几千年人们也没有什么异义，“主权在民”从来都被当作对民主的基本界定。但对于民主的具体含义，即什么是人民和什么是统治，从这个概念的诞生伊始人们便争论不休。 首先，“人民”这一概念在历史上历经变化。在推行民主政治最早的古希腊和古罗马，人民指的是奴隶主贵族，他们仅占人口中的极少数，绝大多数人被排除在“人民”之外，“人民的统治”其实是奴隶主的统治。到了中世纪，在推行过民主政治的少数城邦国家中，“人民”由奴隶主转变为封建领主和少数自由民。到了近代的资本主义社会以后，“人民”才第一次从理论上包括全体平民。但是，即使在最早实行近代民主的西方资本主义国家，很长时期中“人民”也并非指全体国民，而只指一部分公民，人口近半数的妇女在法国直到本世纪二十年代才被纳入享有完全公民权?quot；“人民”之内。但是不管怎么说，民主理论到了本世纪以后有了一个重大的飞跃，即人民的概念首次开始从理论上取得一致。至少在形式上，政治理论家们一致同意人民指的是全体男女公民，尽管在事实上至今也不能说世界各国的全体国民都已成为享有主权（国家的最高统治权）的人民的组成分子。
“统治”的概念也一样。 最早推行民主制度的是古希腊和古罗马的城邦国家，它的规模很小，人数也不多，人民的统治就是全体公民直接参与管理城邦国家的大会，通过全体大会的方式体现民主的统治。后来，随着政治体规模的日益扩大，当初那种全体直接参与的简单的民主方式显然不再适用了，于是统治的方式不断发生变化，一整套间接的民主方式发展了起来，并且随着社会的前进而变得越来越复杂。到了现代以后，在民主的统治方式上，人们在一些重大的基本问题上也取得了共识。现在当人们一提到民主政治，就会想到代表制、议会制、普选制、参与制、投票制，对于西方国家的公民来说，还会想到多党制和三权分立等等。
不知道为什么了很多人老是对中国大陆的“一党执政”过不去，总以为西方的制度有多少民主，我看也不见得怎么样啊？就拿美国来说吧，号称是世界上最民主的国家，但是为什么美国总统选来选去不是民主党就是共和党呢？如果说中国大陆是“一党专政”，那美国为什么就不是“两党专政”呢？况且美国的总统选举也有很多弊端的呀，比如2000年总统选举戈尔的选票比布什多却失败了，仔细一看里面竟然还有个“选举人票”，这不是对所谓民主的莫大的讽刺吗？
其实在我看来，我还是欣赏邓小平的“白猫、黑猫理论”，不管是“一党执政，千秋万代”，还是“两党执政，轮流坐庄”，只要能够让人民幸福国家富强，它就是一种非常民主的制度！只有让一个国家一个民族的大多数人能够享受到社会的文明进步，这个制度就是民主的，民主在于实质内涵，而不在外在形式。大陆人民选择共产党是经过时间和历史的考验的，大陆13亿人民不是傻瓜，谁都知道民主的重要，让一两个人主宰一个国家是不正常的，但是民主的形式多种多样，为什么只有美国的那种制度才是最民主的呢？为什么一定要两个政党或蓝绿阵营争来抢去就是民主呢？
2、 投票悖论
现代西方民主制度的基本方法之一是投票，通常用于做政治决策；另一种是市场机制，通常用于做经济决策。在理想的社会状态下，社会选择是按照全体人的共同意志作出的。所以西方的政治人物总是以自己的民主投票制度自鸣得意，然而，这种在政治理论上十分完美的方式在科学的角度上看却是另外一回事。
投票能否完全代表公意？美国诺贝尔经济学奖得主阿罗（Arrow）在《社会选择与个人价值》一书中 提出了“投票悖论”，按阿罗的说法：
假定对于A、B、C三个备选方案，1、2、3是三个投票人，假定1认为A优于B和B优于C(从而A优于C)，2认为B优于C和c优于A(从而B优于A)，3认为c优于A和A优于B(从而C优于B)。于是，多数认为A优于B，多数认为B伏于c。根据少数服从多数方法，可以说共同体认为A优于B和优于C。如果共同体被视为是理性地行动的，那么共同体也认为A优于c。但事实上共同体中的多数认为C优于A。因此上述从个体偏好推导社会偏好的方法不满足通常所理解的理性条件。
社会选择有几个要素，一是组成社会的个人，二是可供选择的社会结果，比如，选举中的候选人就是可供选择的结果。三是社会进行选择或排序所用的方法。选择是从可供选择的结果中选择一个社会认为最好的；排序则是将所有可能结果按社会偏好进行好坏的排列。
阿罗定理所依据的四个公理是，第一，完备性，即社会选择必须接受任何可能的个人偏好；二，独立于无关选择公理，即社会对两个选择的排序只与个人对这两个选择的排序有关，而与他们对其它选择的排序无关。第三是累帕累托原则，即，如果社会中所有的人都认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好，则社会排序也应该认为X比Y好；第四个公理是说社会中不应该存在一个独裁着，即不存在一个在任何时候都说话算数的人。
阿罗不可能定理证明，在满足四个公理的条件下，社会选择不可能满足理性原则。所谓理性的社会排序，指的是排序能满足完整性和传递性，完整性意味着社会必须对任意两个社会结果进行排序，传递性意味着如果社会认为A比B好，B比C好，则应该认为A比C好。传递性对个人来说似乎是毫无问题的，但在社会选择中，传递性不满足，那集体行动不可能达到个体行动所具有的理性。
因此，以投票的多数规则来确定社会或集体的选择会产生循环的结果，这就好象一只狗在追自己的尾巴，会没完没了地循环下去。结果，在这些选择方案中，没有一个能够获得多数票而通过，这又被称作“投票悖论”(the voting paradox)，它对所有的公共选择问题都是一种固有的难题，所有的公共选择规则都难以避开这种两难境地。
那么，能不能设计出一个消除循环投票，做出合理决策的投票方案呢？阿罗的结论是：根本不存在一种能保证效率、尊重个人偏好、并且不依赖程序(agenda)的多数规则的投票方案。阿罗的不可能定理意味着，在通常情况下，当社会所有成员的偏好为已知时，不可能通过一定的方法从个人偏好次序得出社会偏好次序，不可能通过一定的程序准确地表达社会全体成员的个人偏好或者达到合意的公共决策。
3、如何对待民主
我们可以从民主之源古希腊的灭亡来管窥一下应该如何对待民主。
古希腊的民主并不是在其内部消亡的，希腊城邦民主制的消亡很大程度上受到伯罗奔尼撒战争的影响。在这场旷日持久的希腊内战以后，各个城邦的实力都受到了很大程度的削弱。而战胜国斯巴达反而因为战争中获得的财富而破坏了国内原有的均衡状态，使公民权大量沦丧，而紧随其后的马其顿入侵，则将希腊城邦由民主政治改变为了贵族政治，希腊城邦的民主时代到此终结。
有关于希腊的民主制度，雅典走的是比较极端的路线，从梭伦改革到以后的克里斯提尼改革，将国家的权利完全向下，交到了公民的手里，雅典的民主在以后也被一些历史学家称为“庶民暴政”，人民可以通过公民大会决定处决流放任何他们认为“对民主造成威胁”的人，无论对方的身份地位。这也就是为什么梭伦、克里斯提尼、苏格拉底等人最后会有那样的结局。
从这个角度来看，绝对民主是一种可怕的暴政，有时候甚至比专制下的暴政更可怕。马基雅维里也在其作品中强烈地反对“庶民政权”，因为庶民们的权利是如此巨大，而他们的情绪又是如此容易被少数人所*纵，而且这种情绪就象传染病一样可以在人群中迅速地传播，而要修正其中的错误几乎就是不可能的，而且这些情绪并不见得就是真实大众的情绪。（在社会心理学著作中，有关于这种现象的论述。）民主政治的缺陷并不仅仅是效率上可能的缺陷，更存在“民主”是不是真正的民主，在面对一个令人困扰的决策时，大众反映出来的究竟是一个理智的心态，还是盲从。而一旦有人利用了这个缺陷*纵人民，任何反对他的人都成了全体公民的敌人——即使公民们并没有要控诉他的打算。一切似乎都是按照人民理智的决定在进行，但就象《银英》中提出的一样，专制的腐朽是显而易见的，而民主就好象熟透的桃子，从其内部无声息地开始腐烂。
在公民真正成为“理智”人以前（在很大程度上，这是很难的），民主全面的铺开是极其危险的，目前世界上治理较好的民主国家，大多数采用的是权利平衡的方法：以国会代表人民的权利，同时又通过司法、行政两项权利对它进行制约。一旦国会作出了可能“损害国家”的决定，最高行政领袖可以将它退回，或者通过法院裁定其非法。这样就大大降低了“庶民暴政”的可能。但对于一个内部不健全，运作不规范的民主国家而言，这样的制度不会对其有太多改善。
但人民反对专制政权时，他们的敌人是失道的国王或皇帝，而一旦反对一个民主的政权，他们反对的人在名义上难道不就是他们自己吗？这样人们反而陷入了一个难以挣脱的怪圈。在历史上有很多治理不善的王国很快地经历了朝代的更迭，而现在许多治理混乱的民主国家却还只能漫漫摸索，希望迷惘的人群能找到一条路。
实际上民主的真意就是体现每个人的愿望和利益，前提是每个人都是理智而且科学的，在判断、预测、决断、行为能力上都达到了同一层次，否则，终有少数人来执行民主的，从人性上看这个前提是不可能的，就像共产主义，追求的是没有私产，劳动是最大需要，前提是资料资源的极大丰富，这在理论上也是不可能的，
所以，民主就是合情、合理、合法而已，它不过就是科学精神和人文精神的体现，实事求是，群众路线，具体而千变万化。如果民主仅仅是选举，不过是“票主”而已，那些落后的“民主国家”，恐怕就是这个水平。民主在于实质内涵，而不在外在形式，中国人要走自己的民主之路。民主要从自身做起，尊重自己，尊重对手，平等看人，科学实证。建设中国式的民主制要从解放人性，提倡人本主义始，还人为自然自在自由的人是当代中国人必须首先做的事，海纳百川方成海，山容小丘使为山。
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