“维”与“合”
　　漫谈“维”与“维数”

　　“维”与“合”，都含有方向之意。
　　先说“维”字。《金刚经》卷4“妙行无住分”有“南西北方，四维上下虚空，可思量不”之问，其中“四维上下”中的“四维”就是指东西南北四个方向，也可以是指前后左右四个方向。加上上下两个方向，合称“六维”。
　　再说“合”字。在昌平沙河镇居住的时候，我见过一副对联，上联是“一元二气三阳开泰”，下联是“四时五福六合同春”。颐和园乐寿堂前面有“铜鹿、铜仙鹤、铜花瓶”，寓意为“六（鹿）合（鹤）太平（瓶）”。这里的“六合”也是指上下左右前后这六个方向。
　　“维”与“合”的区别，前者方向是向外的，就是以观察者站立的地方为中心，指向前后左右四个方向；而后者方向是向内的，就是从上下左右前后六方向指向观察者站立的地方，有“上与下合，左与右合，前与后合”之意。
　　从上面的例子可以看出，不管是“维”还是“合”，它们的方向或者相反，或者相互垂直，这与我们在近现代几何和线性代数知识中所谈到的“维”与“维数”略有不同。
　　近现代几何和线性代数知识中所说的“维”与“维数”，往往只是强调各个方向的正方向，而忽略它们的反方向，即，以一个右手系的三维直角坐标系为例，前后方为一个方向（x轴），前方为正，后方为负；左右方为一个方向（y轴），左方为正，右方为负；上下为一个方向（z轴），上方为正，下方为负。这样，前后、左右、上下，被归结为三个互相垂直的方向。这是近现代人们对“维”的概念所作的一种解释。
　　过去，人们对“维数”的解释为：过空间一点可以引两条互相垂直的直线，这空间就称为“2维”的；过空间一点可以引三条互相垂直的直线，这空间就称为“3维”的。
　　根据我在《空间无我》一帖中的分析，这种表述方法有一定问题，人们往往容易将直线与坐标轴混为一谈，将平面与坐标面混为一谈。正确的表述方法应是：过空间一点可以引两条互相垂直的射线，这空间称为“2维”的；过空间一点可以引三条互相垂直的射线，这空间称为是“3维”的。
　　由此引伸开来，可以有“过空间一点可以引四条互相垂直的射线，这空间称为4维的”，“过空间一点可以引五条互相垂直的射线，这空间称为5维的”，……，“过空间一点可以引n条互相垂直的射线，这空间就称为是n维的”。
　　站在一个坐标系的原点去观察各个坐标轴的情况，每条坐标轴的正方向具有“维”的特性，而负方向则具有“合”的特性。
　　坐标轴可不可以表示直线呢？可以当然是可以的，但应当明白，它表示的仍然不是它自身，而是表示与它自身相互重合的那条直线。同样，坐标面表示平面时，也仅仅表示与它重合的那个平面，而不是表示坐标面本身。
　　为什么是这样的？因为坐标系中的图形，不仅是画在纸面上的那个有形的东西，还包括与之相应的代数方程。而坐标轴、坐标面本身通常说来是无法用相应的方程或方程组来表示的。《空间无我》一帖中对这些概念进行了非常详细的表述。
　　一般说来，画在直角坐标系中的图形，它的维数要比坐标系的维数小一些，这是因为，这些图形上面所有的点不能充满整个坐标系所表示的那个空间。
　　但是也有例外，比如我们常常说二维直角坐标系中被一个圆所包围的圆形平面是二维的；又比如我们说三维直角坐标系中一个被球面所包裹的球形立体是三维的。
　　这里的“圆形平面”和“球形立体”，都是不能用简单的代数方程来表示的，而需要用定积分的方法才能表示出来。而那些可以用普通简单的代数方程表示的图形，它们的维数都比坐标系的维数要小。
　　非欧几何与上面介绍的情形大致相符。
　　以地球表面为例，这可以看作一个黎曼空间。
　　过我们所站立的点向任意一个方向引一条直线，这直线向前无限延伸，最终会与我们所站立的这一点会合，形成一条封闭的曲线。在我们不了解这曲线的整体的情况下，只看我们眼前的情形，这就是一条直线，它的维数为1，这几乎是没有任何争议的事实。但为什么在整体观察这条曲线的时候，在一些人的眼中，它就变成“2维”了呢？这是因为，要在一个坐标系中表示这条封闭曲线，至少要有一个二维的坐标系才能满足要求。于是，他们将坐标系的维数与这封闭曲线的维数互相混淆了，就将这封闭曲线也说成是2维的了。
　　事实再简单不过，要想沿着这曲线移动，始终不离开这条曲线，移动的方向就只有一个：或前或后，没有可能向左右移动，因为一旦那样移动就会离开这条曲线了。
　　设想我们是一个像姚明那样的大高个子，一步跨出去就是一米的距离，那么，只要走完四千万步，就会回到原来站立的地方。
　　我们每跨出一步，我们的脚就站在了这曲线的一个新的点上，新的点与原先的点之间，在我们眼里，它就是一条直线的线段，这线段与我们出发时所站立的点上画出的这整条曲线的一段切线是互相重合的。从新的点出发再向前跨出一步，我们就站在这曲线的一个更新的点上了，这更新的点与前面那个新的点之间，在我们眼里，它也是一条直线线段，是一条更新的直线线段，这更新的线段与从前面那个新的点所画的该点的切线的一段也是互相重合的（至少在我们眼中是这样的）。
　　但是，现在，线段有两条了，切线也有两条了，两条线段各自向两端延伸时，它们仍然是重合的，但是，两条切线线段若也向两端延伸，尽管在我们眼中仍然重合，但实际上已经发生了肉眼看不到的微小的分离了。
　　以我们所站立的点为圆心画一个半径有限的圆（比如半径为10米），这圆所包围的区域在我们眼中是一个圆形平面。从圆心出发，向前（或者向后）能够移动且不脱离这圆形平面，向左（或者向右）也能够移动且不脱离这平面，就是说，可以有两个互相垂直的移动方向，这圆形平面是二维的也不会有争议了。但是，为什么一谈到整个球形曲面时，有人就将它看成是三维的了呢？误区仍然是将所需坐标系的维数与这球面的维数相混淆了。
　　我们所以用“过图形上一点可以作出该点的互相垂直的切线的数目”来定义该图形的维数，就是是出于上面这样的道理。有人诬蔑这是我一个人的道理，我可没有贪天之功。这样的道理在内行人眼里其实都是常识。
　　线性代数和解析几何中定义“维”和“维数”的方法，大致就是上面所介绍的常识性的内容。违反上述常识性内容的种种所谓“定义”往往都是说不通的。