第四节  关于分布函数的皮尔逊检验法（卡方检验法）

H0：F(x)=F0(x), F(x)=F0(x,θ), θ未知。H1：F(x)≠F0(x)

一、皮尔逊的卡方检验法        

设总体X的分布是H0，

X   1     2  ……  i  ……     m

P   p1   p2  ……  pi ……    pm

0<pi≤1，i=1,2,……,m,

从中任取一个样本（x1,……,xn）,x=i,记事件（x=i）=Ai, i=1,……,m

A1,……,Am是完备事件组。

试验模型：作n次独立试验，每次只能出现Ai之一。ni表示n次独立试验中Ai出现的频数。要检验：H0：P(x=i)=pi, i=1,……,n, 即 H0：P(Ai)=pi,

	A1	A2	……	Ai	……	Am
第一次	1	0	……	0	……	0
第二次	0	1	……	0	……	0
第三次	0	0	……	0	……	0
……	……	……	……	……	……	……
第i次	0	0	……	1	……
			……		……
第n次	0	0	……	0	……	0
Ai出现的次数	n1	n2	……	ni	……	nm

	A1	A2	……	Ai	……	Am
实际频数	n1	n2	……	ni	……	nm
理论频数	np1	np2	……	np3	……	npm
实际频率	n1/n	n2/n	……	n3/n	……	nm/n
概率	p1	p2	……	p3	……	pm

如果H0成立， 应当小，从而是大概率事件，转化为： 应该小，或者

把ni看成RV, 由于平方减少了差异，采用下式:

, n很大（n>50）时，皮尔逊证明此结论。

定理一（皮尔逊定理）：设A1，……,Am是完备事件组，P(Ai)=Pi, i=1,2,……,m,Pi是已知的。ni是n次独立重复试验中Ai发生的次数，并且 ，则当n充分大时，

，给定α，使得：

H0的拒绝域为：

检验步骤：

H0：F(x)=F0(x), 已知F0(x)的分布律，H1可以不设。

H0成立，拒绝域为

计算H0成立时，P(Ai)=Pi, i=1,……,m

计算落入Ai中样本数量ni, 计算

查表 。

统计推断，若 ，拒绝H0；否则若  ，H0相容。

第二节    关于分布函数的假设检验

一、皮尔逊 卡方检验

H0：F(x)=F0(x),H1: F(x)≠F0(x)

找m个完备事件组，A1，……,Am

计算：P(A1)=p1,……,P(Am)=pm

Ai个数：n1,……,nm, ,样本点个数很大。

选择统计量：

给定α，使得

H0拒绝域为

计算 ，查表

推断：若 ，拒绝H0；若，H0相容。

例1：盒中有黑球和白球，有放回的抽取方式取球，抽到白球为止，记下抽取次数，试验100次的结果如下：

抽取结果

抽取次数	1	2	3	4	≥5
频数	43	31	15	6	5

问盒中白球和黑球个数比是否是1:3（α=0.05）。

解：总体X是首次摸到白球所需的抽取次数： ，k=1,2,……, q+p=1

H0: , H1:

A1(x=1), A2(x=2),……, A5(x≥5)是完备事件组。

, , ,

,

n1=43, n2=31, n3=15, n4=16, n5=5

,

所以在α=0.05下，拒绝H0，认为其概率不等于1/4。

二、检验：H0， F(x)=F0(x,θ1,……,θr)有r个参数

皮尔逊推广定理：P275

参照书P276，例2

H0， ，i=0,1,2,……

在H0成立的条件下，用最大似然估计法（样本值）估计未知参数。

， ，xi=0,1,2,……, i=1,2,……,n

x=0,1,2,……

这是λ的极大似然估计值。

,i=0,1,2,……

ni≥5，或者npi≥5较好。

A1(x=0,x=1), A2(x=2),……,A7(x=7), A8(x≥8)

,……,

(n很大时，近似服从卡方分布，m是事件组个数，r是未知数个数，这里是1)。

计算。

P277，例3

H0： X~ N(μ,σ2), 似然估计μ,σ2

H0: X~ N(1.406, 0.0482)

分组： A1=(x<a2), A2=(a2,a3),……, Ak=(ak-1, ak),……, Am=( am,+∞)，A1，……,Am为完备事件组。

P278 例3

相容，接受H0。

                       

（至此概率论与数理统计所有内容就介绍完了，由于格式原因，省略了其中的有些图片，有些公式也不能正常显示，读者可以参照教材阅读。）