变量之间是有一定的逻辑关系的。经济学的数理化不是符号堆砌，而要严格遵循变量逻辑，否则所谓数学应用就变成了数学滥用和谬用。变量之间除了要遵从物理意义上的逻辑一致性（如等式两边量纲要求一致）之外，还要遵从变量性质方面的逻辑。本文作为之前系列文章（“经济学数理方法·变量逻辑综论，兼对热力学熵之清算”https://bbs.pinggu.org/thread-243703-1-1.html&page=1）的一个缩减精编版本，为大家提供更加方便的阅读。

 

人们对事物的认识和描述分为两个方面：事实描述（认知）和价值描述（认知）。

价值判断即确定事物对人的有用性。有用与否是针对具体使用者而言的，因此有用性因人而异，具有主观性，此文暂且将价值认识问题放在一边。

就对事实的具体描述方法来说又分为两种：第一，事物是什么样子；第二，事物如何演变。样子，即存在状态；演变，即发展变化运动过程。描述事物存在状态的符号或变量对应于事物的状态，因此被称为“状态函数”、“态函数”或“状态量”；而描述事物发展变化的符号或变量对应于一个时间过程，故而谓之“过程函数”或“过程量”。

状态，是事物的“模样”，即在某个时点上“样子”，因此，描述事物状态的变量又被称为“时点数”。而“过程”涉及到一个有始有终的过程的时间段长度问题，所以，描述事件过程的变量又被称为“时段数”。形象地说，状态是一张照片，而过程是一段录像。

时点数用来描述事物在某个时间点上的存在状态，因此又被称为“存量”，stock。时段数是描述事物的发展的，涉及到时间的流动性问题，因此又被称为“流量”，flow。存量之“存”，是“存在状态”之“存”；流量之“流”是“时间流动过程”之“流”。英文stock具有库存、藏品之意，库存数当然是存量，但不可望文生义推而广之。反过来，把存量当作“可以保存下来的量”理解，这样就太过狭义并偏离本质了。例如，“年储蓄量”就是“可以保存的量”，但却是一个标准的流量，而不是存量。有人将表述流体质量流速或体积流速的“流量”之“流”解释“流量”性质之“流”，都是对流量概念的误解。

 

显然，状态函数的取值对应于时间点，即任意一个时间点上都可以观测取值；而过程函数对应于一个事件过程，一个时间段内的过程完结了，才可以测到一个“时段数”数值。

由于人们观测外界事物，看到的总是事物在某时某刻的“状态”、“模样”，因此，直接观测到的变量大都是“存量”（时点数、状态函数），比如国际基本单位制当中规定的七个基本变量如尺度（米）、时间（秒）、质量（kg）、物量（摩尔）、温度（K）、光照强度（勒克斯）和电流（安培）全部都是状态函数即存量。这不过就是说，存量是可以随机观测的，而流量作为存量的积累，只能通过不断的观测数据加以推算才能在过程终结后得到。比如，要得到“月采购量”这种流量数据，就只能把某月份的每一笔采购数量（存量）加和起来。变量的这种观测特征可以总结为：存量是可以直接观测的，而流量要依靠间接计算得到。

 

我们注意到，“存量”、“流量”、“时点数”或者“时段数”这些说法并不十分严格，有时很容易误导研究的思路。实际上旧有的观念已经受此严重误导。

人们观测事物的状态，有局部和整体之分。例如我们看到一支红杏探出墙头，我们可以根据墙的高度（参照系）来判断花木的高度，但是所知只是高度而已。如果是站在墙内观察它或者是一堵篱笆墙，依然可以墙为参照物认知花木的高度，但是所知信息更加丰富，不仅仅知道花木高度，而且知道树干树形。也就是说，后一种状态是“整体”的，而前一种状态是“局部”的。前一种只是告诉我们它的高度状态，后一种状态还告诉我们这个状态的历史，是怎么来的。

因此，状态函数实际上有两类，纯粹表示当前时点上状态的，和同时表述此状态历史的。纯粹表示当前时点上状态的状态函数，谓之“点存量”，而同时表达此状态形成历史的，谓之“流存量”。《西方经济学的终结》用一个形象的词汇“水表数”来表示“流存量”。这就是“流存量”概念的由头。

在数学描述上，“点存量”是一个点，是数轴上的一个点，是一个“数”；而“流存量”是一个以当前状态点为头部的一个线段，也就是数学上所说的“变上限定积分”或“积分上限的函数”概念。因为“上限”是一个可变的状态量（如时间变量，或其函数），因此作为“积分上限的函数”也就是一个状态量。

之所以点存量和流存量都归于“存量”，是因为它们都对应于“拍照”的那个瞬间时点，差异在于一个是“面部特写”，一个是“全身照”，但是都不是涉及时间流动的“录像”。

 

我们常用“变化”、“运动”、“过程”等术语描述事物运动，其实三种词语是三位一体的同义词。如果我们观测不到“变化”就无法确定运动的存在，也不能称其为“运动”，而任何运动和变化都必须假以“时间过程”来实现。“量变”就是指某一状态量在一个过程始末两点的状态改变，因此，“变量”若是态函数，对应于一个时点，则态函数的“量变”对应于由两个点（始末）确定的过程，是过程量。使用“过程”一词既可以单单意味着变化，也可以意味着描述路径，总之是针对一个完整的过程。

所以，如同状态函数分为两种一样，过程函数同样分为两种：一种单纯描述“变化”的，它只与过程的起始点的状态有关，考察的是状态的变化量即同一存量在起始两点上状态量的差值；另一种不仅仅描述变化，而且描述变化的中间过程，即不仅仅与起始点状态有关，还与路径有关。第一种谓之“点流量”，第二种谓之“积流量”。

同样，过程函数的两种类型在数学上的描述表现为：“点流量”简洁地表示为存量在起始点上的差额，如⊿S＝S2－S1。而“积流量”表示为一个定积分，如∫f(t)dt从过程开始点a点积到终点b点，实际上也就是“流存量”的上限b被指定为终点（非变量化）后的结果。量变“⊿”已经涉及到从1到2两个状态点之间的变化问题，即涉及到由始末两点确定的一个运动过程，所以是过程函数而不是状态函数。

在微积分条件假定成立的基础上，在数学上“点流量”和“积流量”是统一的，即：

⊿S＝S2－S1＝∫₁²(dS/dt)dt，其中dS/dt为S流随时间t变化的速度函数。

“点存量”和“点流量”类比于“流存量”和“积流量”，前者都是后者的部分内容，后者包含着更加丰富的认知信息。“点存量”考察的是一个点的状态，“点流量”考察的是两个点的变化，“流存量”是考察两个指定点中间的任意状态，而“积流量”考察的是两点中间的完整过程的问题。

 

物理学界并没有认识到状态函数和过程函数的这种细分，以往学界对流量、存量的认识只是简单地局限于“点存量”和“积流量”。既没有人指出“流存量”的存在（往往是因为它涉及到状态点的历史过程而错误地将之当作流量），也没有人指出“点流量”属于流量的一种（往往是采取避而不谈其性质的态度）。

【特别规定】一个流量在两个时段内的取值大小对比结果还是一个流量。此即：过程量F在过程1和过程2当中的取值分别是F1和F2，则变量F的量变为⊿F＝F2－F1是一个流量，此流量因为涉及到两个过程，所以称其为“二级过程量”（二级流量）。“二级流量”考察的是“变化之变化”。

【变量逻辑规则1：同性质的不同变量运算的结果性质不变。】

特别提醒几点：

第一，时间变量t本身是态函数，而且是“状态原函数”，因为状态就是针对时点而言的。

第二，时间段长度或说时间的增量⊿t（＝t2－t1）是过程量，是“过程原函数”。正是因为t的存量本质和⊿t的流量本质，决定了与之对应的变量的性质；

第三，对一个变量的纯粹运算，如改变正负号、求微（d）、求对数（log、ln）、求倒数、改变计数方式（如％、科学记数法）等等，都不改变变量的性质。因此，如果某变量A是一个态函数，则－A、dA、1/A、logA、－lnA等等也依然是态函数。

对存量、流量的细分是认识论上的一大飞跃，完全理顺了有关流量存量的变量逻辑。

 

微积分理论体系的建立使得我们可以在自然科学研究当中用数学来考察事物的两个方面，不仅仅可以表述其存在状态S，还可以表明其运动变化的过程⊿S。

任何事物运动（变化），都可以从运动学角度考虑运动（变化）速度的问题，也就是可以建立一个变量随时间而改变的速度概念。定义某存量S对时间的变化速度为Vs＝V(t)＝dS/dt，为一瞬时速度概念。由于瞬时速度对应于时点，是一个存量概念，因此我们可以做出一个“速度—时间”曲线。如下图－1：

http://s11.album.sina.com.cn/pic_3/5562bb43020014wm

图中，变量的变化对应于一个定积分过程——速度函数在时间段上的定积分。所以说，若变量是状态函数，而量变（变量的增量）是过程函数。这就是量变是过程函数的数学理论基础，即一个定积分表示为原函数在过程始末点上的差值，∫_a^bf(x)dx＝F(b)－F(a)。决不可把“变量”（运动流主体）和“量变”（流运动结果）混为一谈。阴影部分面积表示变量S在指定的第n＋1时段内的变化量，是变化速度曲线Vs＝V（t）在时段t_n→t_n＋1上的积分。这就是说，过程可以看作是状态的积累，由于时间的流动连续性，所以，一个“过程”中包含着无数的“状态”点，如图－1中曲线Vs＝V（t）上从t＝t_n到t＝t_n＋1之间有无穷多个（Vst，t）点。一个流量（过程函数、时段数）可以看作是存量运动速度在时间上的累积，即在t_n→t_n＋1过程中有无穷多个点（Vst，t），但只能积分得到一个面积值⊿S_n＋1。⊿S_n＋1对应于从t_n→t_n＋1这个事件过程，所以是个过程函数。

这就是说，由于任何状态函数都是事物在某时点t上的状态描述，即状态函数是时间t的函数，所以，“过程”和“状态”不是逐一对应的关系，而是一对无穷多的关系。换句话说，一个流量和一个存量之间无法构建一一对应的二元函数关系（方程）。

 

【变量逻辑规则2】构建二维坐标系的两个变量必须是相同性质的变量。

 

请注意，不存在“某流量的瞬时变化速度”这种概念。因为流量对应于时段序数，而不是对应于时间，不存在“瞬时”问题。即在⊿Sn＋1当中，n是时序，而非时间，其取值是1、2、3、4……等序数，序数不连续，可以构建一个流量和时段序数之间一一对应的数据表，但不可以将流量对其序数求导。

 

数学理论本身根本上不支持在流量和存量之间构建函数关系。这可以从多个数学概念来理解。先说“函数”的概念。

【函数】设D是一个给定的非空数集，在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于数集D中的每一个数x，变量y按照某种规则f总有确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。数集D成为这个函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。

据此函数概念，x和y必须同是“某一过程中”的变量，而如果y是一个流量，则它相当于存量x来说，就不是这个过程中的变量，因为流量对于某一指定的过程来说只有一个取值，它是对应于一个过程的定积分，是一个数，而非对于“每一个数x”取值的；也就是说，不存在规则f可以使得存量x与y逐一对应。

所以，函数之定义已经表明了一种变量逻辑：不可以在某存量x和某流量y之间构建函数关系y＝f（x），或者说，y＝f（x）的成立意味着y和x变量性质的一致性。

关于在流量和存量之间无法构建二元函数关系这一逻辑，还可以推广到多元函数上面。为此，我们可以借用数学上的“隐函数”概念加深理解。众所周知，如果z是y的函数，z＝z（y），而y又是x的函数，y＝y（x），则z一定可以表述为x的函数。所以，如果在某个流量F（过程函数、时段数）和某个存量S（状态函数、时点数）之间建立起了函数关系，则意味着F是S的函数，即过程函数是状态函数的函数，这就同F是过程函数的定义相违背了，因为状态函数的函数一定是状态函数。进而普遍地，如果x是状态量，则y＝y（x）同z＝z（y）的成立意味着y和z必然都是状态量。因此，从变量逻辑上是不能建立流量和存量函数关系的。如果否认这个逻辑，就必然会陷入认知混乱。

关于这一点，热力学曾经有着明确的、但却不为一般人所注意的提示：状态函数变量之间运算的结果也是状态函数。例如焓H是几个状态函数的组合（H＝E＋PV），因为内能E、压力P、体积V都是状态函数，所以H也是状态函数。H之所以是状态函数的这种理由可以在任何一本引入焓概念的热力学书籍中看到。焓被确定为态函数的理由，是热力学当中少有的、正确运用变量逻辑的例子。

需要特别注意的是，“不同状态函数之间运算的结果是状态函数”，这一原则只是针对“不同的状态函数”的运算而言的，而不是针对同一状态函数的。这些不同的状态函数是在同一个时点上取值的，即这个“运算结果”考察的是同一时点上不同状态量之间的关系，而不是考察同一状态量在不同时点的变化。如前段所述，“量变”⊿是同一个状态函数在不同时点上的取值之间的差值（变化程度），考察的就是一个过程而非一个状态点，故而⊿不是态函数。例如状态函数S，其量变⊿S＝S2－S1就应该是一个过程函数，这个“减法”是指自身变化，而不是不同状态函数之间的运算。S1和S2是变量S在不同时点上的取值，而非两个变量在同一时点上的取值。

 

在微观经济学当中，需求定律就是构建了一个过程函数与状态函数之间的虚拟关系Q_T＝Q（P_t）（T代表流量对应的时段序数，t代表存量对应的时点），按照变量逻辑，作为状态函数（Pt）的函数，Q_T也应该是一个状态函数才对，这就同经济学人坚持说需求量就是过程函数（流量、时段数）矛盾了。经济学应对这个内部逻辑矛盾的办法是采用了一个瞒天过海的方法，即不提价格变量的性质，或者用一个事后的平均价格混淆价格概念，然后再当作事前变量（自变量）使用；现在则有人试图用否定价格（即每次具体交易对应的交换比例）的存量性质的方法来维持这种传统错误。

如果把价格严格地理解为平均价格，当然理顺了变量逻辑，即Q＝Q（P）意味着考察两个流量之间的关系。但仅仅是理顺了变量逻辑而已，从平均价格的定义式我们知道，它作为事后变量不可能对事前的交易起到“自变量”的作用——没有人会根据一个平均价格来决定自己的需求判断——因为决定平均价格数据只有等指定过程的所有交易完成后才得到。

现实中国家统计部门计算CPI之类价格数据的时候，并非用理论上的“总销售额/总销售量” 计算平均价格，（阅读链接 http://finance.sina.com.cn/g/20070826/07363917049.shtml）而是采用瞬时踩点的办法获取瞬时价格数据，然后按照一点的规则运算。所得的CPI数据和经济学理论上的价格概念相去甚远。

再例如香港股市的收盘价，是从最后一分钟开始每隔15秒纪录一次成交价格，把0、15、30、45、60秒上的5个价格按照大小顺序排列，取中间一个数作为当日某只股票的收盘价。显然，这既不是真正的收盘时的价格，也不是最后一分钟内的平均价，而是一个标准的时点数概念。

一个状态函数（时点数、存量）就是时间变量t的函数，在任意两个前后时点上的取值，都可以拿来对比大小，以判断事物的状态是否发生了变化。例如，我们可以用下午6点的气温和中午12点的气温做一个比较，以判断温度的升降变化。而对于某一个过程函数（时段数、流量）来说，通常只有对应于等时长的两个数据才能够比较大小，以判断两个不同过程的变化，而不等长时段内的流量变化不具有对比意义。比如，我们不会用上个月的用水量和去年的用水量作对比，然后下结论说用水量增减了多少，因为这种对比不具有意义，而只有将之同去年某个月（都是一个月时长）的数据的对比才有意义。

这种变化对比的方法差异告诉我们，第一，流量一定是对应于一个完整的时间过程的。这在数学上意味着一个上下限确定的“定积分”；第二，对于流量来说，时间轴是被等分的，时段长度不是任意取值的，每一等分是被顺序编号的。按照《西方经济学的终结》的说法就是，流量是双时间变量的函数。（请续看下部）